F5170 Úvod do fyziky plazmatu

Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u pro univeritn´ı kurz ´ F5170 Uvod do fyziky plazmatu ˇ Jiˇr´ı Sperka, Jan Vor´aˇc, Lenka Zaj´ıˇckov´a

´ Ustav fyzik´aln´ı elektroniky Pˇr´ırodovˇedeck´a fakulta Masarykova univerzita

2014

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Odvozen´ı plazmov´e frekvence . 1.2.2 Plazmov´ a frekvence a Debyeova 1.2.3 Debye–H¨ uckel˚ uv potenci´al . . .

. . . . .

. . . . .

5 5 7 7 8 8

2 Pohyb ˇ c´ astic v elektromagnetick´ ych pol´ıch 2.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Magnetick´e zrcadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Jinak konstruovan´e magnetick´e zrcadlo . . . . . . . . 2.2.3 Elektron ve vakuu natˇrikr´at . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 E × B drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Relativistick´ a cyclotronov´a frequence . . . . . . . . . 2.2.6 Relativistick´ a ˇc´astice v elektromagnetick´em poli . . 2.2.7 Z´ akon zachov´an´ı n´aboje . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Magnetostatick´e pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Cyklotronov´ a frekvence elektronu . . . . . . . . . . . 2.2.10 Cyklotronov´ a frekvence ionizovan´eho atomu vod´ıku . 2.2.11 Magnetick´ y moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12 Magnetick´ y moment 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13 Lorentzova s´ıla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

9 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13

. . . . . . . . . . . . d´elka . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Z´ aklady kinetick´ e teorie plazmatu 14 3.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 Rozdˇelovac´ı funkce rychlost´ı ˇc´astic rovnomˇernˇe rozdˇelen´ ych v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.2 Line´ arn´ı rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı . . . . . 15 3.2.3 Kvadratick´ a rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı . . . 15 3.2.4 Sinusoid´ aln´ı rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı . . . 15 3.2.5 Boltzmannova kinetick´a rovnice . . . . . . . . . . . . . 15

1

OBSAH

2

4 Stˇ redn´ı hodnoty a makroskopick´ e veliˇ ciny 16 4.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2.1 RMS velikost rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2.2 Stˇredn´ı rychlost sinusoid´aln´ıho rozdˇelen´ı . . . . . . . . 17 4.2.3 Stˇredn´ı rychlost kvadratick´eho rozdˇelen´ı . . . . . . . . 17 4.2.4 Rovnov´ aˇzn´ a teplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2.5 Hustota ˇc´ astic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2.6 Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost line´arn´ıho rozdˇelen´ı . . 18 4.2.7 Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost sinusoid´aln´ıho rozdˇelen´ı 18 5 Rovnov´ aˇ zn´ y stav 19 5.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.1 Gama funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.2 1D Maxwell-Boltzmannova rozdˇelovac´ı funkce . . . . . 20 5.2.3 Dvojrozmˇern´a Maxwell-Boltzmannova rozdˇelovac´ı funkce 21 5.2.4 Trojrozmˇern´ a Maxwell-Boltzmannova rozdˇelovac´ı funkce 22 5.2.5 Exotick´ a jednorozmˇern´a rozdˇelovac´ı funkce . . . . . . 22 ´ cinn´ 5.2.6 Uˇ y pr˚ uˇrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Interakce ˇ c´ astic v plazmatu 6.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Stˇredn´ı voln´ a dr´aha iont˚ u Xe 6.2.2 Sr´ aˇzka tuh´ ych koul´ı . . . . . 6.2.3 Celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

23 23 24 24 24 25

7 Makroskopick´ e transportn´ı rovnice 26 7.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2.1 Dohas´ın´ an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2.2 Makroskopick´ y sr´aˇzkov´ y ˇclen z podm´ınky zachov´an´ı hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2.3 Makroskopick´ y sr´aˇzkov´ y ˇclen z podm´ınky zachov´an´ı hybnosti II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.2.4 Zjednoduˇsen´ a rovnice pro tepeln´ y tok . . . . . . . . . 29 8 Makroskopick´ e rovnice pro vodivou tekutinu 8.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Hustota elektrick´eho proudu . . . . . 8.2.2 Plnˇe ionizovan´e plazma . . . . . . . . 8.2.3 Dif´ uze kolmo na siloˇc´ary magnetick´eho

. . . . . . . . . . . . pole

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

30 30 30 30 31 31

OBSAH

3

9 Vodivost plazmatu a dif´ uze 9.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Stejnosmˇern´ a vodivost plazmatu . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Tenzor pohyblivosti elektron˚ u v plazmatu za pˇr´ıtomnosti magnetick´eho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Ohm˚ uv z´ akon v pˇr´ıtomnosti magnetick´eho pole . . . . 9.2.4 Dif´ uzn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 34 34

10 Nˇ ekter´ e z´ akladn´ı jevy v plazmatu 10.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇıˇren´ı vln v nemagnetizovan´em plazmatu 10.2.1 S´ 10.2.2 Plovouc´ı potenci´al . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Bohmova rychlost . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Plazmov´ a frekvence . . . . . . . . . . . .

35 35 36

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

37 37 38 38 38 38 38

11 Boltzmann˚ uv sr´ aˇ zkov´ yˇ clen 11.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Sr´ aˇzky, Maxwell-Boltzmannova rozdˇelovac´ı funkce 11.2.2 Sr´ aˇzky pro rozd´ıln´e rozdˇelovac´ı fukce . . . . . . . . 11.2.3 Sr´ aˇzky pro Druyvesteynovo rozdˇelen´ı . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

40 40 41 41 42 42

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Seznam obr´ azk˚ u 1.1

Ilustrace k pˇr´ıkladu ˇc. 1.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1

Ilustrace k pˇr´ıkladu 2.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.1 4.2

Graf k pˇr´ıkladu nejvyˇsˇs´ı rovnov´aˇzn´e teploty 4.2.4. . . . . . . . Graf k pˇr´ıkladu nejvyˇsˇs´ı hustoty ˇc´astic 4.2.5. . . . . . . . . .

17 18

4

Pˇ redmluva ´ Tato sb´ırka procviˇcovac´ıch pˇr´ıklad˚ u k pˇredn´aˇsce F5170 Uvod do fyziky ˇ 12/2013/G6. Nejd˚ plazmatu vznikla v r´ amci projektu FRVS uleˇzitˇejˇs´ım zdrojem byla kniha Fundamentals of Plasma Physics od J. A. Bittencourta [4]. Autoˇri uv´ıtaj´ı veˇsker´ a upozornˇen´ı na pˇr´ıpadn´e chyby. Aktu´ aln´ı verzi t´eto sb´ırky je moˇzno naj´ıt a zdarma st´ahnout na adrese http://physics.muni.cz/~sperka/exercises.html. Kontakty ˇ Jiˇr´ı Sperka Jan Vor´ aˇc Lenka Zaj´ıˇckov´ a

[email protected] [email protected] [email protected]

Fyzik´ aln´ı konstanty Klidov´ a hmotnost protonu Klidov´ a hmotnost elektronu Element´ arn´ı n´ aboj Boltzmannova konstanta Permitivita vakua

mp me e k ε0

1, 67 · 10−27 kg 9.109 · 10−31 kg 1.602 · 10−19 C 1.38 · 10−23 J K−1 8.854 · 10−12 A2 s4 kg−1 m−3

Pouˇ zit´ e znaˇ cen´ı Vektorov´e veliˇciny se znaˇc´ı tuˇcnˇe (v), skal´arn´ı veliˇciny, vˇcetnˇe velikosti vektor˚ u, kurz´ıvou (v). Tenzory se obvykle znaˇc´ı velk´ ymi kaligrafick´ ymi p´ısmeny (P).

5

Oper´ atory skal´ arn´ı souˇcin

a·b

vektorov´ y souˇcin

a×b

i-t´ a derivace podle x parci´ aln´ı derivace

di dxi ∂ ∂x

oper´ ator nabla

∂ ∂ ∂ ∇ = ( ∂x , ∂y , ∂z )

Laplace˚ uv oper´ ator

∆ = ∇2

u ´pln´ a derivace podle ˇcasu

D Dt

=

∂ ∂t

+u·∇

Fyzik´ aln´ı veliˇ ciny koncentrace elektron˚ u teplota elektron˚ u elektronov´ a plazmov´ a frekvence Debyeova d´elka Larmor˚ uv polomˇer Larmorova frekvence magnetick´ y moment s´ıla intenzita elektrick´eho pole indukce magnetick´eho pole lib. veliˇcina pro jeden druh ˇc´astic rozdˇelovac´ı funkce pr˚ umˇern´ a rychlost hustota n´ aboje hustota hmotnosti sr´ aˇzkov´ a frekvence vznik a z´ anik ˇc´ astic v d˚ usledku sr´aˇzek skal´ arn´ı tlak tenzor kinetick´eho tlaku pohyblivost ˇc´ astic

6

ne Te ωpe λD rc Ωc m F E B χα f (χα ) u ρ ρm ν Sα p P Mα

Kapitola 1

´ Uvod 1.1

Teorie

Elektronov´ a plazmov´ a frekvence s √ ne e 2 ωpe = = const ne ε0 me

(1.1)

popisuje typick´e elektrostatick´e kolektivn´ı kmity elektron˚ u v d˚ usledku mal´e separace elektrick´eho n´ aboje. Podobn´ ym zp˚ usobem mohou b´ yt definov´any plazmov´e frekvence jin´ ych druh˚ u ˇc´astic, nicm´enˇe elektronov´a plazmov´a frekvence je d´ıky velk´e pohyblivosti elektron˚ u nejv´ yznamnˇejˇs´ı (pomˇer hmotnosti 3 protonu a elektronu mp /me je 1.8 × 10 ). Plazmov´e oscilace mohou b´ yt pozorov´any jen tehdy, je-li syst´em zkoum´an usob´ı-li na syst´em extern´ı s´ıly rychleji neˇz na ˇcasov´e ˇsk´ ale delˇs´ı neˇz ωp−1 a nep˚ s frekvenc´ı ωp . Pozorov´ an´ı na d´elkov´e ˇsk´ale kratˇs´ı, neˇz je vzd´alenost, kterou uraz´ı typick´ a ˇc´ astice v plazmatu bˇehem jedn´e plazmov´e periody, nepostˇrehne kolektivn´ı chov´ an´ı plazmatu. Tato vzd´alenost je prostorov´ ym ekvivalentem plazmov´e periody a naz´ yv´ ame ji Debyeovou d´elkou [10]: r r p k Te −1 ε0 k T e λD = ωp = = const Te /ne . (1.2) me ne e2 Debyeova d´elka je nez´ avisl´a na hmotnosti, takˇze je srovnateln´a pro r˚ uzn´e druhy ˇc´ astic.

7

´ KAPITOLA 1. UVOD

Plazmov´e obrazovky

Zemsk´ a ionosf´era

8

ne [cm−3 ] (2.5–3.7) ×1011 max 3 ×1012 (0.2–3)×1013 max 106

Te [eV] 0.8–1.8

10−5 0.5-10 0.3–2.6 0.5–2.5

Ref. [8] [23] [20] [6] [2] [16] [21] [24]

105

[11]

0.2–6 1.2–1.9

105 105

[13] [15]

1.5

105 105 105 6–7

[12] [3] [22] [19] [25]

4.7 8 × 103

[5] [7]

1.6–3.4 max 0.26

RF Magnetrony Stejnosmˇern´e Magnetrony RF Atmosferick´e plazma

1–8×109 1018

2–9 1-5

1013 –1014

Mikrovlnn´e atmosferick´e plazma

tlak [Pa] (20–50) ×103 (40–67) ×103

3 × 1014 Svaˇrovac´ı oblouk

N´ızkotlak´e kapacitnˇe v´ azan´e plazma Fluorescenˇcn´ı z´ aˇrivky

1.5 × 1017 1.6 × 1017 6 × 108

1.3

(0.5–4.5) ×1010 1010 –1011

1.4–1.6 1

Tabulka 1.1: Pˇrehled obvykl´ ych hodnot nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch parametr˚ u plazmatu.

´ KAPITOLA 1. UVOD

1.2 1.2.1

9

Pˇ r´ıklady Odvozen´ı plazmov´ e frekvence

Uvaˇzujme, ˇze na poˇc´ atku m´ame v prostoru rovnomˇernˇe rozloˇzen´e ionty, jejichˇz elektrick´ y n´ aboj je neutralizov´an stejn´ ym poˇctem elektron˚ u. Zanedbejme tepeln´ y pohyb ˇc´ astic a pˇredpokl´adejme, ˇze ionty jsou nepohybliv´e. Ukaˇzte, ˇze mal´ a v´ ychylka skupiny elektron˚ u vyvol´a oscilaˇcn´ı pohyb elektron˚ u s plazmovou frekvenc´ı podle vztahu (1.1).

Obr´ azek 1.1: Ilustrace k pˇr´ıkladu ˇc. 1.2.1. ˇ sen´ı Situace je zn´ Reˇ azornˇena na obr´azku 1.1. Uvaˇzujme, ˇze elektrick´e pole v rovinˇe kolm´e na osu x je nulov´e (coˇz odpov´ıd´a zn´am´emu pˇr´ıpadu nekoneˇcn´e nabit´e roviny nebo kondenz´ atoru). Na uzavˇrenou v´alcovou plochu aplikujeme Gauss˚ uv z´ akon (na obr´ azku je zn´azornˇena pouze hranice t´eto plochy v rovinˇe x-y):   I Q Sne e E · dS = = x, (1.3) 0 0 S kde S je plocha podstavy v´ alce. V´ ysledn´e elektrick´e pole je tedy   n0 e Ex = x. 0

(1.4)

Po dosazen´ı elektrick´eho pole do pohybov´e rovnice pro jeden elektron dostaneme   n0 e 2 d2 x + x = 0. (1.5) dt2 me 0 To je rovnice harmonick´eho oscil´atoru s frekvenc´ı  ωpe =

n0 e 2 me 0

1/2 .

(1.6)

´ KAPITOLA 1. UVOD

1.2.2

10

Plazmov´ a frekvence a Debyeova d´ elka

Spoˇctˇete plazmovou frekvenci a Debyevu d´elku pro n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıpady (a) Zemsk´ a ionosf´era s hustotou elektron˚ u ne = 106 cm−3 a jejich teplotou Te = 0.2 eV. [ωp = 5, 6 × 107 rad · s−1 = 3, 5 × 108 Hz, λD = 3, 3 mm] (b) Buˇ nka bˇeˇzn´e plazmov´ a obrazovky s koncentrac´ı elektron˚ u 1013 cm−3 a jejich teplotou 1 eV. Rozmˇer jedn´e buˇ nky je okolo 100 µm. Splˇ nuje to podm´ınku, ˇze rozmˇery syst´emu by mˇely b´ yt mnohem vˇetˇs´ı neˇz Debyeova d´elka? [ωpe = 1, 79 × 1011 rad · s−1 = 28, 4 GHz, λD = 2, 35 µm] (c) Svaˇrovac´ı oblouk s koncentrac´ı elektron˚ u 1, 6 × 1017 cm−3 a jejich teplotou 1, 3 eV [ωpe = 2, 3 × 1013 rad · s−1 = 3, 6 THz, λD = 21 nm] (d) Z´ aˇrivka s koncentrac´ı elektron˚ u 1010 cm−3 a jejich teplotou 1 eV [ωpe = 5, 6 × 109 rad · s−1 = 0, 90 GHz, λD = 74 µm]

1.2.3

Debye–H¨ uckel˚ uv potenci´ al

Ukaˇzte, ˇze Debye–H¨ uckel˚ uv potenci´al

ϕ(r) =

e 4 π ε0

  exp − λrD r

(1.7)

je ˇreˇsen´ım rovnice ∇2 ϕ(r) =

ϕ(r) ne e 2 ϕ(r), = 2 ε0 kTe rD

(1.8)

kde rD je Debye–H¨ uckel˚ uv polomˇer. Pozn´ amka: Debye–H¨ uckel˚ uv potenci´al je pojmenov´an po Pietru Debyeovi (1884-1966) a Erichu H¨ uckelovi (1896-1980), kteˇr´ı studovali polarizaˇcn´ı jevy v elektrolytech [9]. ˇ sen´ı Jednoduˇse vloˇzte Debye-H¨ Reˇ uckel˚ uv potenci´al do rovnice a ˇreˇste Laplace˚ uv oper´ ator     1 ∂ 1 ∂ ∂f 1 ∂2f 2 ∂f ∆f = 2 r + 2 sin θ + 2 2 (1.9) r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2

Kapitola 2

Pohyb ˇ c´ astic v elektromagnetick´ ych pol´ıch 2.1

Teorie

Lorentzova s´ıla je kombinac´ı elektrick´e a magnetick´e s´ıly na bodov´ y n´aboj d´ıky elektromagnetick´ ym pol´ım. Pokud se ˇc´astice s n´abojem q pohybuje s rychlost´ı v v pˇr´ıtomnosti elektrick´eho pole E a magnetick´eho pole B, potom na ni p˚ usob´ı Lorentzova s´ıla F = q (E + v × B) .

(2.1)

Gyraˇcn´ı polomˇer (zn´ am´ y tak´e pod oznaˇcen´ım cyklotronov´ y nebo Larmor˚ uv) je polomˇer kruhov´eho pohybu nabyt´e ˇc´astice v homogenn´ım magnetick´em poli: rg =

mv⊥ , |q|B

(2.2)

kde rg je gyraˇcn´ı polomˇer, m je hmotnost nabyt´e ˇc´astice, v⊥ je sloˇzka rychlosti kolm´ a ke smˇeru magnetick´eho pole, q je n´aboj ˇc´astice a B je velikost konstantn´ıho magnetick´eho pole. Podobnˇe, frekvence rotaˇcn´ıho pohybu, zn´am´a jako gyrofrekvence (zn´am´a tak´e pod oznaˇcen´ım cyklotronov´a nebo Larmorova), je d´ana vztahem |q|B . (2.3) m Pozn´ amka: Cyklotron, jinak t´eˇz cyklick´y vysokofrekvenˇcn´ı urychlovaˇc, slouˇz´ı k urychlov´ an´ı nabit´ych ˇc´ astic pomoc´ı vysokofrekvenˇcn´ıho elektrick´eho pole. Cyklotron byl vynalezen a patentov´ an Ernestem Orlandem Lawrencem z Kalifornsk´e univerzity v Berkeley, kde byl tak´e cyklotron poprv´e zprovoznˇen v roce 1932. ωg =

11

ˇ ASTIC ´ ´ KAPITOLA 2. POHYB C V ELEKTROMAGNETICKYCH POL´ICH12

2.2 2.2.1

Pˇ r´ıklady Magnetick´ e zrcadlo

Magnetick´ a zrcadla se pouˇz´ıvaj´ı k udrˇzen´ı nabit´ ych ˇc´astic ve vymezen´em prostoru. V d˚ usledku gradientu magnetick´eho pole m˚ uˇze doj´ıt ke zmˇenˇe smˇeru driftov´e rychlosti nabit´e ˇc´astice. ´ Mˇejme elektron v pozici z = 0 s poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı v0 . Uhel mezi smˇerem poˇc´ ateˇcn´ı rychlosti a indukc´ı magnetick´eho pole je ϑ. Velikost indukce magnetick´eho pole z´ avis´ı na z podle vztahu
B(z) = B0 1 + (γ z)2 . (2.4) Spoˇctˇete v jak´e vzd´ alenosti zt dojde k otoˇcen´ı smˇeru driftov´e rychlosti tohoto elektronu [14]. ˇ sen´ı Vyjdeme z podm´ınky zachov´an´ı kinetick´e energie a magnetick´eho Reˇ momentu elektronu. Ze zachov´an´ı kinetick´e energie plyne v02 = vt2 .

(2.5)

z-ov´ a sloˇzka rychlosti v bodˇe obratu mus´ı b´ yt nulov´a, coˇz hned vyuˇzijeme v rovnici popisuj´ıc´ı zachov´ an´ı magnetick´eho momentu me v02 sin2 ϑ me vt2 = 2 B0 2 B0 (1 + (γ zt )2 )

2 2 2 v0 sin ϑ 1 + (γ zt ) ) = vt2 = v02 γ 2 zt2 = zt =

1 − sin2 ϑ sin2 ϑ 1 . γ tan ϑ

(2.6)

Vid´ıme, ˇze vzd´ alenost, v n´ıˇz dojde k obratu, z´avis´ı pouze na gradientu magnetick´eho pole a na u ´hlu mezi poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı a indukc´ı magnetick´eho pole.

2.2.2

Jinak konstruovan´ e magnetick´ e zrcadlo

Spoˇctˇete bod obratu pro ˇc´astici v magnetick´em zrcadle s magnetickou indukc´ı danou vztahem
B(z) = B0 1 + (γ z)4 . (2.7) ´ Uhel mezi smˇerem poˇc´ ateˇcn´ı rychlosti a indukc´ı magnetick´eho pole je ϑ.   1/2 1 zt = γ tan ϑ

ˇ ASTIC ´ ´ KAPITOLA 2. POHYB C V ELEKTROMAGNETICKYCH POL´ICH13

Obr´ azek 2.1: Ilustrace k pˇr´ıkladu 2.2.3.

2.2.3

Elektron ve vakuu natˇ rikr´ at

ˇ (a) Casovou z´ avislost polohy elektronu x(t) v prvn´ım u ´seku popisuje funkce ´seku pohybuje po dobu jedn´e x(t) = 81 t4 + π, elektron se na tomto 1. u sekundy. Spoˇctˇete velikost rychlosti vx , kterou bude m´ıt elektron na konci prvn´ıho u ´seku. [0,5 m/s] (b) Pot´e elektron vstoup´ı rychlost´ı vx do vychyluj´ıc´ıho homogenn´ıho elek→ − trick´eho pole E o velikosti 10−10 V m−1 . Toto pole na elektron p˚ usob´ı mezi deskami kondenz´ atoru, kter´e maj´ı d´elku d = 1 m. Jak´a je svisl´a odchylka elektronu od p˚ uvodn´ıho smˇeru na u ´rovni konce desek konˇ ste nejprve obecnˇe. (T´ıhov´a s´ıla p˚ denz´ atoru? Reˇ usob´ıc´ı na elektron je mal´ a vzhledem k elektrostatick´e s´ıle a m˚ uˇzeme ji zanedbat.) [35,2 m] → − (c) Nakonec vl´etne elektron do homogenn´ıho magnetick´eho pole B o velikosti 20,6 µT (tato hodnota je stejn´a, jako velikost horizont´aln´ı sloˇzky magnetick´e indukce geomagnetick´eho pole v Brnˇe). Spoˇctˇete Larmor˚ uv polomˇer, cyklotronovou frekvenci a velikost magnetick´eho momentu rotuj´ıc´ıho elektronu. [rc = 9, 72 × 10−6 m, Ωc = 3, 6 × 106 rad · s−1 , |m| = 2, 7 × 10−23 A · m2 ] (d) Jak by se v´ ysledek liˇsil pro proton, neutron a pozitron? Pro ilustraci vizte obr. 2.1.

2.2.4

E × B drift

Mˇejme vakuovou komoru s elektrick´ ym polem E = 1 kV m−1 kolm´ ym na magnetick´e pole B = 1 mT. Spoˇctˇete velikost rychlosti E × B driftu pro   elektron v t´eto komoˇre. E B

ˇ ASTIC ´ ´ KAPITOLA 2. POHYB C V ELEKTROMAGNETICKYCH POL´ICH14

2.2.5

Relativistick´ a cyclotronov´ a frequence

Jak´ a je relativistick´ a cyklotronov´a frequence elektronu s velikost´ı rychlosti 0.8 c (c znaˇc´ı rychlost svˇetla)? 6 [ω = 10 e B/m]

2.2.6

Relativistick´ aˇ c´ astice v elektromagnetick´ em poli

Odvod’te gyraˇcn´ı radius, gyraˇcn´ı frekvenci Ωrel e c a energii relativistick´ ˇc´astice s velikost´ı rychlosti v a n´abojem q v homogenn´ım magnetick´em poli s velikost´ı magnetick´e indukce B. ˇ sen´ı Gyraˇcn´ı radius: Reˇ r=

γβm0 c qB

(2.8)

Gyraˇcn´ı frekvence: Ωrel c

p |q|B Ωc = = = Ωc 1 − β 2 = Ωc γm0 γ

r 1−

 v 2 c

(2.9)

Energie: mc2 − mc2 Ek = mγc2 − mc2 = p 1 − v 2 /c2

2.2.7 h

∂ρ ∂t

(2.10)

Z´ akon zachov´ an´ı n´ aboje

Z Maxwellov´ iych rovnic odvod’te rovnici pro zachov´an´ı n´aboje. +∇·J=0

2.2.8

Magnetostatick´ e pole

Dokaˇzte, ˇze v magnetostatick´em poli je celkov´a kinetick´a energie nabit´e ˇc´astice Wk konstantn´ı.

2.2.9

Cyklotronov´ a frekvence elektronu

Jak´ a je cyklotronov´ a frekvence (v Hz) elektronu v homogenn´ım magnetostatick´em poli: ~ = 0.01 T a) |B| ~ = 0.1 T b) |B| ~ c) |B| = 1 T ~ = 5T d) |B| [a) 0.28 GHz ; b) 2.8 GHz; c) 28 GHz d) 140 GHz]

ˇ ASTIC ´ ´ KAPITOLA 2. POHYB C V ELEKTROMAGNETICKYCH POL´ICH15

2.2.10

Cyklotronov´ a frekvence ionizovan´ eho atomu vod´ıku

Jak´ a je cyklotronov´ a frekvence (v Hz) ionizovan´eho atomu vod´ıku v homogenn´ım magnetostatick´em poli: ~ = 0.01 T a) |B| ~ = 0.1 T b) |B| ~ = 1T c) |B| ~ = 5T d) |B| [a) 0.15 MHz ; b) 1.5 MHz; c) 15 MHz d) 76 MHz]

2.2.11

Magnetick´ y moment

Pˇredpokl´ adejte, ˇze rovinnou uzavˇrenou kruhovou proudovou smyˇckou o ploˇse |S| = 10−3 m2 prot´ek´ a elektrick´ y proud o velikosti: a) I = 1 A b) I = 2 A c) I = 8 A Spoˇctˇete velikost jej´ıho magnetick´eho momentu |m|. [a) |m| = 10−3 A m2 ; b) |m| = 2 × 10−3 A m2 ; c)|m| = 8 × 10−3 A m2 ]

2.2.12

Magnetick´ y moment 2

Jak m˚ uˇze b´ yt zaps´ ana velikost magetickoho momentu |m|, ~ kter´a je spojena s cirkulaˇcn´ım proudem nabit´e ˇc´astice (n´aboj q, kruhov´a frekvence Ω~c , hmot~ nost m) v homogenn´ım magnetick´em poli B? ~ ~ [|m| ~ = |q| |Ωc | π r2 ; |Ω~c | = |q| |B| ] 2π

2.2.13

c

m

Lorentzova s´ıla

~ = (1, 2, 0) T. Elektron m´a rychlost Pˇredpokl´ adejte magnetostatick´e pole B −1 ~v = (0, 2, 1) m s . Spoˇctˇete Lorentzovu s´ılu. [F~ = −e · (−2, 1, −2) N]

Kapitola 3

Z´ aklady kinetick´ e teorie plazmatu 3.1

Teorie

• F´ azov´ y prostor definuje ˇsest souˇradnic (x, y, z, vx , vy , vz ). • Dynamick´ y stav ˇc´ astice je definov´an jedin´ ym bodem ve f´azov´em prostoru. • Rozdˇelovac´ı funkce je definov´ana jako hustota bod˚ u ve f´azov´em prostoru, takˇze fα (~r, ~v , t) = Nα6 (~r, ~v , t)/(d3 r d3 v). (3.1) • Rozdˇelovac´ı funkce je tud´ıˇz normov´ana na hustotu ˇc´astic Z nα (~r, t) = fα (~r, ~v , t)d3 v.

(3.2)

~v

• Z´ avislost rozdˇelovac´ı funkce na nez´avisl´ ych promˇenn´ ych ~r, ~v , t se ˇr´ıd´ı Boltzmannovou kinetickou (transportn´ı) rovnic´ı, tato rovnice je z´akladn´ı rovnic´ı statistiky nerovnov´aˇzn´ ych proces˚ u ∂fα (~r, ~v , t) ∂fα (~r, ~v , t) + ~v · ∇~r fα (~r, ~v , t) + ~a · ∇~v fα (~r, ~v , t) = ∂t ∂t srazk. (3.3)

16

´ ´ TEORIE PLAZMATU KAPITOLA 3. ZAKLADY KINETICKE

3.2 3.2.1

17

Pˇ r´ıklady Rozdˇ elovac´ı funkce rychlost´ı ˇ c´ astic rovnomˇ ernˇ e rozdˇ elen´ ych v prostoru

Uvaˇzujme syst´em ˇc´ astic rovnomˇernˇe rozdˇelen´ y v prostoru s konstantn´ı hustotou ˇc´ astic n, kter´ y je charakterizov´an jednorozmˇernou rozdˇelovac´ı funkc´ı velikosti rychlost´ı F (v) definovanou takto: F (v) = C F (v) = 0

pro v ≤ v0 jinak,

kde C je nenulov´ a kladn´ a konstanta. Urˇcete hodnotu C pomoc´ı n a v0 . Rv0 ˇ sen´ı: Integrac´ı n = C dv z´ısk´ame v´ [Reˇ ysledek ve tvaru C = n .] 0

3.2.2

v0

Line´ arn´ı rozdˇ elovac´ı funkce velikosti rychlost´ı

Jak´ a je normovac´ı konstanta C n´asleduj´ıc´ı jednorozmˇern´e rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı F (v)? F (v) = C v pro v ∈ h0, 1i a F (v) = 0 jinak. [C = 2 n (n je hustota ˇc´ astic)]

3.2.3

Kvadratick´ a rozdˇ elovac´ı funkce velikosti rychlost´ı

Jak´ a je normovac´ı konstanta C n´asleduj´ıc´ı jednorozmˇern´e rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı F (v)? F (v) = C v 2 pro v ∈ h0, 3i a F (v) = 0 jinak. [C = n/9 (n je hustota ˇc´ astic)]

3.2.4

Sinusoid´ aln´ı rozdˇ elovac´ı funkce velikosti rychlost´ı

Jak´ a je normovac´ı konstanta C n´asleduj´ıc´ı jednorozmˇern´e rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı F (v)? F (v) = C sin(v) pro v ∈ h0, πi a F (v) = 0 jinak. [C = n/2 (n je hustota ˇc´ astic)]

3.2.5

Boltzmannova kinetick´ a rovnice

Uvaˇzujte pohyb nabit´ ych ˇc´astic v jedn´e dimenzi, v pˇr´ıtomnosti elektrick´eho potenci´ alu ϕ(x). Ukaˇzte pˇr´ımou substituc´ı, ˇze funkce tvaru 1 f = f ( m v 2 + q ϕ(x)) 2 je ˇreˇsen´ım Boltzmannovi kinetick´e rovnice za rovnov´aˇzn´ ych podm´ınek.

Kapitola 4

Stˇ redn´ı hodnoty a makroskopick´ e veliˇ ciny 4.1

Teorie

• Makroskopick´e veliˇciny, jako je hustota ˇc´astic, driftov´a rychlost, kinetick´ y tlak, tok tepeln´e energie, mohou b´ yt povaˇzov´any za stˇredn´ı hodnoty fyzik´ aln´ıch veliˇcin, kter´e berou v potaz kolektivn´ı chov´an´ı velk´eho mnoˇzstv´ı ˇc´ astic. Tyto makroskopick´e veliˇciny jsou spojeny s r˚ uzn´ ymi momenty rozdˇelovac´ı funkce. • Kaˇzd´e ˇc´ astici v plazmatu m˚ uˇzeme pˇriˇradit nˇejakou jej´ı vlastnost χα (~r, ~v , t). Touto vlastnost´ı m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad hmotnost, rychlost, hybnost, nebo energie ˇc´ astice. • Stˇredn´ı hodnota veliˇciny χα (~r, ~v , t) pro ˇc´astice druhu α je definov´ana jako Z 1 hχα (~r, ~v , t)i = χα (~r, ~v , t)fα (~r, ~v , t) d3 v. (4.1) nα (~r, t) ~v • Napˇr´ıklad, stˇredn´ı (driftov´a) rychlos ~uα (~r, t) pro ˇc´astice druhu α je definov´ ana n´ asledovnˇe Z 1 ~uα (~r, t) = hvα (~r, t)i = ~v fα (~r, ~v , t) d3 v. (4.2) nα (~r, t) ~v

18

ˇ ´I HODNOTY A MAKROSKOPICKE ´ VELICINY19 ˇ KAPITOLA 4. STREDN

4.2 4.2.1

Pˇ r´ıklady RMS velikost rychlosti

Jak´ a je rms rychlost n´ asleduj´ıc´ıch tˇr´ı elektron˚ u (|v1 | = 1, |v2 | = 2 and |v√3 | = 5)? [ 10]

4.2.2

Stˇ redn´ı rychlost sinusoid´ aln´ıho rozdˇ elen´ı

Jak´ a je stˇredn´ı rychlost n´ asleduj´ıc´ı rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı? n f (v) = 2 sin(v) pro v ∈ h0, πi a f (v) = 0 jinak. n znaˇc´ı hustotu ˇc´astic. [1]

4.2.3

Stˇ redn´ı rychlost kvadratick´ eho rozdˇ elen´ı

Jak´ a je stˇredn´ı rychlost n´ asleduj´ıc´ı rozdˇelovac´ı funkce velikosti rychlost´ı? 2 f (v) = 3 n v pro v ∈ h0, 1i a f (v) = 0 jinak. n znaˇc´ı hustotu ˇc´astic. [3/4]

4.2.4

Rovnov´ aˇ zn´ a teplota

Uvaˇzujte Maxwell-Boltzmannova rozdˇelen´ı na Obr. 4.1. Kter´e z nich m´a nejvyˇsˇs´ı rovnov´ aˇznou teplotu? [c)] 0.002

a) b) c)

n

0.0015

0.001

0.0005

0 0

1e+06

2e+06 3e+06 v [m/s]

4e+06

5e+06

Obr´ azek 4.1: Graf k pˇr´ıkladu nejvyˇsˇs´ı rovnov´aˇzn´e teploty 4.2.4.

ˇ ´I HODNOTY A MAKROSKOPICKE ´ VELICINY20 ˇ KAPITOLA 4. STREDN

4.2.5

Hustota ˇ c´ astic

Uvaˇzujte Maxwell-Boltzmannova rozdˇelen´ı na Obr. 4.2. Kter´e z nich m´a nejvyˇsˇs´ı hustotu ˇc´ astic? [c)] 0.002

a) b) c)

n

0.0015

0.001

0.0005

0 0

1e+06

2e+06 3e+06 v [m/s]

4e+06

5e+06

Obr´ azek 4.2: Graf k pˇr´ıkladu nejvyˇsˇs´ı hustoty ˇc´astic 4.2.5.

4.2.6

Nejpravdˇ epodobnˇ ejˇ s´ı rychlost line´ arn´ıho rozdˇ elen´ı

Uvaˇzujte n´ asleduj´ıc´ı rozdˇelovac´ı funkci velikosti rychlost´ı f (v) = n v pro v ∈ h0, 1i a f (v) = 0 jinak. Jak´ a je nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost tohoto rozdˇelen´ı? [1]

4.2.7

Nejpravdˇ epodobnˇ ejˇ s´ı rychlost sinusoid´ aln´ıho rozdˇ elen´ı

Uvaˇzujte n´ asleduj´ıc´ı rozdˇelovac´ı funkci velikosti rychlost´ı f (v) = pro v ∈ h0, πi a f (v) = 0 jinak. Jak´ a je nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost tohoto rozdˇelen´ı? [ π2 ]

1 2

sin(v)

Kapitola 5

Rovnov´ aˇ zn´ y stav 5.1

Teorie

ym • Rozdˇelovac´ı funkce v rovnov´aˇzn´em stavu fαEq (~r, ~v , t) je ˇcasovˇe nez´avisl´ ˇreˇsen´ım Boltzmannovi kinetick´e rovnice v nepˇr´ıtomnosti vnˇejˇs´ıch sil. • V rovnov´ aˇzn´em stavu nezp˚ usobuj´ı interakce ˇc´astic ˇz´adn´e ˇcasov´e zmˇeny Eq v fα (~r, ~v , t) a neexistuj´ı ˇz´adn´e prostorov´e gradienty hustoty ˇc´astic. • fαEq (~r, ~v , t) je zn´ ama jako Maxwell–Boltzmannovo rozdˇelen´ı, nebo tak´e Maxwellovo rozdˇelen´ı (viz pˇr´ıklady 5.2.2–5.2.4). Matematika pro v´ ypoˇ cty 2 Gauss˚ uv integr´ al je integr´ al Gaussovy funkce e−x pˇres cel´ y re´aln´ y prostor. Je pojmenov´ an po nˇemeck´em matematikovi a fyzikovi Carl Friedrich Gaussovi. Takto integr´ al vypad´ a (a, b jsou konstanty): r Z +∞ Z ∞ √ π −x2 −a(x+b)2 e dx = π; e dx = . (5.1) a −∞ −∞ Gama funkce Γ(n) je zobecnˇen´ım faktori´alu pro obor komplexn´ıch ˇc´ısel. Pokud je n kladn´e cel´e ˇc´ıslo, pak plat´ı: Γ(n) = (n − 1)!

(5.2)

Jin´e uˇziteˇcn´e vztahy: Z

∞

n −a x2

x e 0

dx =

Γ( (n+1) 2 ) 2a

(n+1) 2

21

;

  √ 1 Γ = π. 2

(5.3)

´ ZN ˇ Y ´ STAV KAPITOLA 5. ROVNOVA

5.2

22

Pˇ r´ıklady

5.2.1

Gama funkce

Z definice Gamma funkce ukaˇzte, ˇze pokud je n pˇrirozen´e ˇc´ıslo, tak plat´ı Γ(n + 1) = n!

N´ avod: Nejprve pomoc´ı integrace Γ(n + 1) = ukaˇzte, ˇze Γ(a + 1) = aΓ(a).

R∞ 0

xn e−x dx per partes

Pot´e staˇc´ı dok´ azat, ˇze Γ(1) = 1.

5.2.2

1D Maxwell-Boltzmannova rozdˇ elovac´ı funkce

Plyn, kter´ y je tvoˇren ˇc´ asticemi jednoho druhu a v nˇemˇz je pohyb ˇc´astic omezen pouze na jeden rozmˇer x, je charakterizov´an n´asleduj´ıc´ı homogenn´ı, izotropn´ı, jednorozmˇernou Maxwell-Boltzmannovou rozdˇelovac´ı funkc´ı:   m vx2 . (5.4) f (vx ) = C · exp − 2kT (a) Urˇcete konstantu C. (b) Ze znalosti Maxwell-Boltzmannovi rozdˇelovac´ı funkce rychlost´ı urˇcete Maxwell-Boltzmannovu rozdˇelovac´ı funkci velikosti rychlost´ı. (c) Vypoˇctˇete nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı velikost rychlosti. (d) Vypoˇctˇete stˇredn´ı velikost rychlosti. (e) Odvod’te vztah pro poˇcet ˇc´astic proch´azej´ıc´ı jednotkovou d´elkou za jednotku ˇcasu z jedn´e strany (⇒ tok ˇc´astic z jedn´e strany). ˇ sen´ı Reˇ (a) Zintegrujeme rozdˇelovac´ı funkci pˇres cel´ y rychlostn´ı prostor. Z podm´ınky, ˇze integr´ al se mus´ı rovnat koncentraci ˇc´astic n dostaneme v´ yraz pro konstantu C r   Z∞ m vx2 2kT π n=C exp − dvx = C . (5.5) 2kT m −∞

r C=n

m 2kT π

(5.6)

´ ZN ˇ Y ´ STAV KAPITOLA 5. ROVNOVA

23

(b) Rozdˇelen´ı velikosti rychlosti ˇc´astic F (v) v jednorozmˇern´em pˇr´ıpadˇe z´ısk´ame sumac´ı pˇres oba moˇzn´e smˇery r   m m v2 F (v) = 2 n (5.7) exp − 2kT π 2kT (c) Z podm´ınky, ˇze derivace rozdˇelen´ı F (v) mus´ı b´ yt rovna nule, dostaneme   m v2 (5.8) 0 = v exp − 2kT Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı velikost rychlost se tedy rovn´a nule. (d) Z∞ hvi =

r v F (v) dv =

2kT πm

(5.9)

0

(e) Z∞ Γ=

r vx f (vx )dvx = n

kT 2πm

(5.10)

0

5.2.3

Dvojrozmˇ ern´ a Maxwell-Boltzmannova rozdˇ elovac´ı funkce

ˇ ste pˇredchoz´ı zad´ Reˇ an´ı pro dvojrozmˇernou Maxwel-Boltzmannovu rozdˇelovac´ı funkci. " # m (vx2 + vy2 ) f (vx , vy ) = C · exp − . (5.11) 2kT V´ ysledky: (a) C =

mn 2πkT

(b) F (v) = 2 π v f (v) =

nm kT v

h i v2 exp − m 2kT

(c) Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost v = (d) Stˇredn´ı rychlost hvi = (e) Γ = n

q

kT 2mπ

q

kT π 2m .

q

kT m .

´ ZN ˇ Y ´ STAV KAPITOLA 5. ROVNOVA

5.2.4

24

Trojrozmˇ ern´ a Maxwell-Boltzmannova rozdˇ elovac´ı funkce

ˇ ste pˇredchoz´ı zad´ Reˇ an´ı pro trojrozmˇernou Maxwel-Boltzmannovu rozdˇelovac´ı funkci. " # m (vx2 + vy2 + vz2 ) f (vx , vy , vz ) = C · exp − . (5.12) 2kT V´ ysledky: (a) C = n


3/2 m 2πkT

h i v2 exp − m 2kT q kT (c) Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost v = 2 m . q (d) Stˇredn´ı rychlost hvi = 8πkmT . q (e) Γ = n 2kmTπ (b) F (v) = 4π n

5.2.5


3/2 2 m v 2 πkT

Exotick´ a jednorozmˇ ern´ a rozdˇ elovac´ı funkce

Plyn, kter´ y je tvoˇren ˇc´ asticemi jednoho druhu a v nˇemˇz je pohyb ˇc´astic omezen pouze na jeden rozmˇer x, je charakterizov´an n´asleduj´ıc´ı homogenn´ı, izotropn´ı, jednorozmˇernou rozdˇelovac´ı funkc´ı (Cauchyho/Lorentzovo rozdˇelen´ı): f (v) =

v2

C . + kT m

(5.13)

ˇ ste stejn´e u Reˇ ´koly, jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. V´ ysledky: (a) C = n

q

kT mπ 2

(b) F (v) = 2 n

q

kT 1 mπ 2 v 2 + kT m

(c) Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost v = 0. (d) Stˇredn´ı rychlost v nen´ı definov´ana, [1] viz Cauchyho rozdˇelen´ı. (e) Nen´ı definov´ an.

5.2.6

´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez

Diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je zad´an vztahem 1 σ(χ) = σ0 (3 cos2 χ + 1) 2 Spoˇc´ıtejte celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez.

(5.14)

Kapitola 6

Interakce ˇ c´ astic v plazmatu 6.1

Teorie

Sr´ aˇzky dˇel´ıme na • elastick´e, tj. pruˇzn´e - plat´ı z´akon zachov´an´ı hmotnosti, hybnosti a energie takov´ ym zp˚ usobem, ˇze nedoch´az´ı ke zmˇen´am vnitˇrn´ıch stav˚ u ˇc´ astic, ani jejich vzniku ˇci z´aniku. • neelastick´e, tj. nepruˇzn´e - prob´ıh´a zmˇena vnitˇrn´ıho stavu nˇekolika, nebo vˇsech z´ uˇcastnˇen´ ych ˇc´astic, nˇekter´e ˇc´astice mohou novˇe vznikat, jin´e zanikat. Nabit´e ˇc´ astice mohou rekombinovat za vzniku neutr´aln´ı ˇc´ astice. M˚ uˇze probˇehnout z´achyt nabit´e ˇc´astice ˇc´astic´ı neutr´aln´ı, elektrony v atomu mohou b´ yt excitov´any do vyˇsˇs´ıch stav˚ u, nebo mohou b´ yt dokonce oddˇeleny od atomu - ionizace. Celkov´ y u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez m˚ uˇzeme z´ıskat integrac´ı σ(χ, ε)dΩ pˇres prostorov´ y u ´hel takto: Z σt = σ(χ, ε)dΩ. (6.1) Ω

Ve speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy je interakˇcn´ı potenci´al izotropn´ı (napˇr. Coulombovsk´ y), dost´ av´ ame pro celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez: Zπ σt = 2π

σ(χ) sin χdχ.

(6.2)

0

Pro stejn´ y pˇr´ıpad, kdy je interakˇcn´ı potenci´al izotropn´ı, m˚ uˇzeme vyj´adˇrit u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro pˇrenos hybnosti ve tvaru: Zπ (1 − cos χ)σ(χ) sin χdχ.

σm = 2π 0

25

(6.3)

ˇ ASTIC ´ KAPITOLA 6. INTERAKCE C V PLAZMATU

6.2

26

Pˇ r´ıklady

6.2.1

Stˇ redn´ı voln´ a dr´ aha iont˚ u Xe

´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇrez σ pro elastick´e sr´aˇzky iont˚ u Xe+ s atomy Xe je pˇribliˇznˇe nez´ avisl´ y na jejich energii s u ´ˇcinn´ ym pr˚ uˇrezem σ = 10−14 cm2 . A) Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı volnou dr´ahu l iont˚ u Xe+ pro elastick´e sr´aˇzky ve slabˇe ionizovan´em plazmatu v xenonov´e atmosf´eˇre pˇri pokojov´e teplotˇe (20 ◦ C) za tlaku: a) 1000 Pa b) 10 Pa c) 0.1 Pa B) Jak dlouh´ a doba uplyne mezi dvˇema sr´aˇzkami, je-li stˇredn´ı teplota iont˚ u T = 1000 K? ˇ eˇ Rˇ sen´ı: A) Pro stˇredn´ı volnou dr´ ahu plat´ı λ=

1 . nσ

Hustotu ˇc´ astic spoˇc´ıt´ ame ze stavov´e rovnice p = n k T , takˇze kT . pσ Po dosazen´ı zadan´ ych tlak˚ u dostaneme v´ ysledky: λ=

a) 4 · 10−6 m b) 4 · 10−4 m c) 4 · 10−2 m. B) Pro tepelnou rychlost iont˚ u plat´ı v =

q

3kT M .

Hmotnost iontu Xe je

10−27 kg).

pˇribliˇznˇe 131 amu (1 amu = 1.66 · Doba mezi dvˇema sr´aˇzkami je rovna pod´ılu stˇredn´ı voln´e dr´ahy a tepeln´e rychlosti: r m τ =λ . 3kT Po dosazen´ı dostaneme v´ ysledky: a) 17 · 10−9 s b) 17 · 10−7 s c) 17 ·10−5 s.

6.2.2

Sr´ aˇ zka tuh´ ych koul´ı

Jak´ y je celkov´ y u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro rozptyl pˇri sr´aˇzce dvou perfektnˇe elastick´ ych koul´ı o polomˇerech R1 a R2 ? [π (R1 + R2 )2 ]

ˇ ASTIC ´ KAPITOLA 6. INTERAKCE C V PLAZMATU

6.2.3

27

Celkov´ yu ´ˇ cinn´ y pr˚ uˇ rez

Diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je zad´an vztahem σ(χ) =

1 σ0 (3 cos2 χ + 1) 2

Spoˇc´ıtejte celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez a u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro pˇrenos hybnosti. [4 π σ0 , 4 π σ0 ]

(6.4)

Kapitola 7

Makroskopick´ e transportn´ı rovnice 7.1

Teorie

Z r˚ uzn´ ych moment˚ u Boltzmannovy rovnice je moˇzno odvodit n´asleduj´ıc´ı makroskopick´e transportn´ı rovnice: • Z podm´ınky zachov´ an´ı hmotnosti rovnici kontinuity ∂ρmα + ∇ · (ρmα uα ) = Sα , ∂t

(7.1)

kde ρmα je hustota hmotnosti ˇc´astic typu α a Sα popisuje vznik a z´ anik ˇc´ astic v d˚ usledku sr´aˇzek (ionizace, rekombinace apod.). • Z podm´ınky zachov´ an´ı hybnosti rovnici pro pˇrenos hybnosti ρmα

Duα = nα qα (E + uα × B) + ρmα g − ∇ · Pα + Aα − uα Sα (7.2) Dt

D ∂ uα je pr˚ umˇern´ a rychlost, Dt = ∂t + uα · ∇ je oper´ator u ´pln´e ˇcasov´e derivace, nα je koncentrace ˇc´astic, qα je elektrick´ y n´aboj jedn´e ˇc´astice, E a B jsou vektory elektrick´eho a magnetick´eho pole, g je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı, Pα je tenzor kinetick´eho tlaku, X Aα = −ρmα ναβ (uα − uβ ) (7.3) β

je sr´ aˇzkov´ y ˇclen a ναβ je sr´aˇzkov´a frekvence pro pˇrenos hybnosti mezi ˇc´ asticemi α a β. Ze zachov´an´ı hybnosti bˇehem jedn´e sr´aˇzky plyne ρmα ναβ = ρmβ νβα .

28

(7.4)

´ TRANSPORTN´I ROVNICE KAPITOLA 7. MAKROSKOPICKE • Ze zachovan´ı energie rovnici pro pˇrenos energie   D 3 pα 3 pα + ∇ · uα + (P · ∇) · uα + ∇ · qα = Dt 2 2 1 = Mα − uα · Aα + u2α Sα , 2

29

(7.5)

kde pα je skal´ arn´ı tlak, qα je vektor tepeln´eho toku Mα je rychlost zmˇeny hustoty energe v d˚ usledku sr´aˇzek.

7.2 7.2.1

Pˇ r´ıklady Dohas´ın´ an´ı

Mˇejme dohas´ınaj´ıc´ı plazma sest´avaj´ıc´ı z elektron˚ u a jednoho druhu kladn´ ych iont˚ u s jednotkov´ ym n´ abojem. Rovnice kontinuity v tomto pˇr´ıpadˇe je ∂ne = −kr ne ni , ∂t

(7.6)

kde kr je rychlostn´ı konstanta pro rekombinaci. Prostorov´e derivace jsou nulov´e, protoˇze smˇes je homogenn´ı. Koncentrace elektron˚ u v ˇcase t = 0 je n . Spoˇ c tˇ e te n (t > 0). Nezapomeˇ n te na podm´ ınku kvazineutrality. e i h0 ne (t) = n0 knr0t+1

7.2.2

Makroskopick´ y sr´ aˇ zkov´ y ˇ clen z podm´ınky zachov´ an´ı hybnosti

Uvaˇzujte homogenn´ı smˇes dvou rozd´ıln´ ych tekutin (prostorov´e derivace jsou nulov´e), bez p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch sil, takˇze pohybov´a rovnice pro ˇc´astice typu α se redukuje na duα = −ναβ (uα − uβ ). dt

(7.7)

Pˇredpokl´ adejte, ˇze ρmβ  ρmα a zmˇenu rychlosti uβ tedy m˚ uˇzete zanedbat. Povˇsimnˇete si, ˇze v rovnov´ aˇzn´em stavu (duα /dt = 0) jsou rychlosti vˇsech druh˚ u ˇc´ astic stejn´e. ˇ sen´ı Situace je identick´ Reˇ a ve vˇsech tˇrech os´ach. Uk´aˇzeme tedy ˇreˇsen´ı pouze ve smˇeru x. duαx (t) + ναβ uαx (t) = ναβ uβx dt

(7.8)

Tuto diferenci´ aln´ı rovnici budeme ˇreˇsit metodou variace konstanty. Nejprve najdeme partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice duαx,p (t) + ναβ uαx,p (t) = 0, dt

(7.9)

´ TRANSPORTN´I ROVNICE KAPITOLA 7. MAKROSKOPICKE

30

coˇz je uαx,p (t) = C e−ναβ t

(7.10)

Nyn´ı pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze konstanta C z´avis´ı na ˇcase (C = C(t)) a spoˇcteme derivaci duαx (t) dC(t) −ναβ t = e − C(t) ναβ e−ναβ t . (7.11) dt dt Dosazen´ım do p˚ uvodn´ı rovnice (7.8) z´ısk´av´ame dC(t) −ναβ t e = ναβ uβx dt Z ˇcehoˇz integrac´ı z´ısk´ ame C(t) = uβx eναβ t + K ˇ sen´ı je tedy kde K je libovoln´ a integraˇcn´ı konstanta. Reˇ uαx (t) = uβx + K e−ναβ t

(7.12)

A podobnˇe pro vˇsechny tˇri prostorov´e sloˇzky. Rychlost uα se bude exponenci´ alnˇe bl´ıˇzit k rychlosti uβ rychlost´ı danou sr´aˇzkovou frekvenc´ı pro pˇrenos hybnosti ναβ .

7.2.3

Makroskopick´ y sr´ aˇ zkov´ y ˇ clen z podm´ınky zachov´ an´ı hybnosti II

ˇ ste pˇredchoz´ı zad´ Reˇ an´ı bez zjednoduˇsuj´ıc´ıho pˇredpokladu uβ = const. V tomto pˇr´ıpadˇe budou rychlosti uα , uβ pops´any dvojic´ı diferenci´aln´ıch rovnic duα (t) = −ναβ (uα (t) − uβ (t)). dt

(7.13)

duβ (t) ρmα =− ναβ (uβ (t) − uα (t)), dt ρmβ

(7.14)

kde ρmα , ρmβ jsou hustoty ˇc´astic α, β. Pˇredpokl´adejte, ˇze uα a uβ jsou rovnobˇeˇzn´e a uα (t = 0) = 2 uβ (t = 0). (a) Spoˇctˇete ˇcasovou z´ avislost rozd´ılu u = uα − uβ . (b) Spoˇctˇete uα (t) a uβ (t). V´ ysledky: (a) u(t) = uα (0) · exp (b) uα (t) =

uα (0) ρmα +ρmβ

h 1+



ρmα ρmβ

 i t

h  ρmβ · exp −ναβ 1 +

uβ (t) = u(t) + uα (t)

ρmα ρmβ

 i  t + ρmα

´ TRANSPORTN´I ROVNICE KAPITOLA 7. MAKROSKOPICKE

7.2.4

31

Zjednoduˇ sen´ a rovnice pro tepeln´ y tok

Uvaˇzte zjednoduˇsenou rovnici tepeln´eho toku pro stacion´arn´ı elektronov´ y plyn     δqe pe 5 pe + Ωce (qe × B) = ∇ . (7.15) 2 ρme δt coll Pˇredpokl´ adejte sr´ aˇzkov´ y ˇclen dan´ y relaxaˇcn´ım modelem   δqe = −ν (fe − fe0 ) δt coll

(7.16)

a stavovou rovnici ide´ aln´ıho plynu pe = ne k Te . Ukaˇzte, ˇze rovnice tepeln´eho toku se d´ a napsat jako Ωce (qe × B) = −K0 ∇Te + (fe − fe0 ), ν kde K0 = je tepeln´ a vodivost.

5 k pe 2 me ν

(7.17)

(7.18)

Kapitola 8

Makroskopick´ e rovnice pro vodivou tekutinu 8.1

Teorie

Rovnice, podle nichˇz se ˇr´ıd´ı d˚ uleˇzit´e fyzik´aln´ı veliˇciny v plazmatu, m˚ uˇzeme z´ıskat sˇc´ıt´ an´ım rovnic pro jednotliv´e druhy ˇc´astic. Po uplatnˇen´ı nˇekolika zjednoduˇsuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u obdrˇz´ıme tzv. magnetohydrodynamick´e (MHD) rovnice: • Rovnici kontinuity ∂ρm + ∇ · (ρm u) = 0 ∂t

(8.1)

Du = J × B − ∇p Dt

(8.2)

• Rovnici pro hybnost ρm • Zobecnˇen´ y Ohm˚ uv z´ akon J = σ0 (E + u × B) −

σ0 J × B. ne

(8.3)

Elektrick´e a magnetick´e pole jsou nav´ıc sv´az´any Maxwellov´ ymi rovnicemi. Ve zde uveden´ ych MHD rovnic´ıch se zanedb´av´a viskozita a tepeln´a vodivost.

8.2 8.2.1

Pˇ r´ıklady Hustota elektrick´ eho proudu

Pr˚ umˇern´ a driftov´ a rychlost plazmatu je definov´ana jako v´aˇzen´ y pr˚ umˇer driftov´ ych rychlost´ı jeho jednotliv´ ych sloˇzek X ρmα u= uα (8.4) ρm α 32

´ ROVNICE PRO VODIVOU TEKUTINU33 KAPITOLA 8. MAKROSKOPICKE kde ρm je celkov´ a hustota plazmatu. Kaˇzd´a sloˇzka plazmatu m´a svoji koncentraci nα , n´ aboj qα a tzv. dif´ uzn´ı rychlost wα = uα − u. Spoˇctˇete celkovou hustotu elektrick´eho proudu J a vyj´adˇrete ji pomoc´ı celkov´e hustoty elektrick´eho n´ aboje ρ, hustot jednotliv´ ych sloˇzek a jejich dif´ uzn´ıch rychlost´ı. Vˇsimnˇete si, ˇze v d˚ usledku definice pr˚ umˇern´e driftov´e rychlosti plazmatu je v´ ysledek o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı neˇz J = ρ u.  P J = ρu + nα qα wα α

8.2.2

Plnˇ e ionizovan´ e plazma

Z rovnic pro hustotu elektrick´eho proudu v plnˇe ionizovan´em plazmatu sest´ avaj´ıc´ıho z elektron˚ u a kladn´ ych iont˚ u s n´abojem e X J= nα qα uα = e(ni ui − ne ue ) (8.5) α

a z rovnice pro pr˚ umˇernou driftovou rychlost plazmatu u=

1 (ρme ue + ρmi ui ) ρm

pro driftov´e rychlosti  hodvod’te vztahy  ui a ue. ρm u µ µ ρm u J J ui = ρmi + , u = e me e ρme mi − e ,

8.2.3

µ=

(8.6)

me mi me +mi

i

Dif´ uze kolmo na siloˇ c´ ary magnetick´ eho pole

Z rovnice pro zachov´ an´ı hybnosti pro MHD pˇribl´ıˇzen´ı ρm

Du = J × B − ∇p Dt

(8.7)

A zobecnˇen´eho Ohmova z´ akona ve zjednoduˇsen´em tvaru a se zanedb´an´ım ˇclenu pro Hall˚ uv jev J = σ0 (E + u × B) (8.8) Odvod’te rovnici pro rychlost tekutiny u. Pˇredpokl´ adejte E = 0 a p = konst. a spoˇctˇete sloˇzku rychlosti kolmou na magnetick´e pole B. ˇ sen´ı Rovnice pro u je Reˇ ρm

Du = σ0 E × B + σ0 (u × B) × B − ∇p. Dt

(8.9)

Pˇredpokl´ ad´ ame-li E = 0 a p = konst., rovnice se redukuje na ρm

Du = σ0 (u × B) × B Dt

(8.10)

´ ROVNICE PRO VODIVOU TEKUTINU34 KAPITOLA 8. MAKROSKOPICKE Abychom mohli spoˇc´ıtat vektor (u × B) × B, definujme souˇradnicov´ y syst´em tak, ˇze osa z je rovnobˇeˇzn´a s magnetick´ ym polem. V tˇechto souˇradnic´ıch vektorov´ y souˇcin vych´ az´ı takto: (u × B) × B = (−ux B 2 , −uy B 2 , 0).

(8.11)

Rovnice pro x-ovou a y-ovou sloˇzku rychlosti maj´ı tedy stejn´ y tvar. P´ıˇseme tedy pouze rovnici pro ux Dux −σ0 B 2 ux , = Dt ρm

(8.12)

 σ0 B 2 ux (t) = ux (0) exp − t . ρm

(8.13)

jej´ımˇz ˇreˇsen´ım je 

Podobnˇ qe pro uy , takˇze ˇcasov´a z´avislost sloˇzky kolm´e na magnetick´e pole u⊥ = u2x + u2y je u⊥ (t) = u⊥ (0) exp (−t/τ ) , kde τ=

ρm σ0 B 2

(8.14) (8.15)

je doba charakteristick´ a pro dif´ uzi kolmo na siloˇc´ary magnetick´eho pole.

Kapitola 9

Vodivost plazmatu a dif´ uze 9.1

Teorie

Ve slabˇe ionizovan´em chladn´em plazmatu m´a pohybov´a rovnice pro elektrony formu tzv. Langevinovy rovnice Due = −e (E + ue × B) − νc me ue , (9.1) Dt kde νc je sr´ aˇzkov´ a frekvence pro pˇrenos hybnosti mezi elektrony a tˇeˇzk´ ymi ˇc´asticemi. Nen´ı-li pˇr´ıtomno vnˇejˇs´ı magnetick´e pole, je hustota elektrick´eho proudu tvoˇren´ a pohybuj´ıc´ımi se elektrony me

J = −e ne ue

(9.2)

a stejnosmˇern´ a vodivost σ0 =

ne e2 me νc

(9.3)

a pohyblivost elektron˚ u Me = −

e me νc

=−

σ0 . ne e

(9.4)

Je-li pˇr´ıtomno vnˇejˇs´ı magnetick´e pole, plazma pˇrest´av´a b´ yt izotropn´ım a stejnosmˇern´ a vodivost a pohyblivost elektron˚ u mus´ı b´ yt pops´any pomoc´ı tenzor˚ u (vizte pˇr´ıklad 9.2.2). Ve slabˇe ionizovan´em plazmatu s relativnˇe vysokou koncentrac´ı neutr´aln´ıch ˇc´astic m´ a dif´ uzn´ı rovnice pro nabit´e ˇc´astice α n´asleduj´ıc´ı tvar ∂nα = D ∇2 nα . (9.5) ∂t Koeficient De voln´e dif´ uze elektron˚ u v izotropn´ım plazmatu bez pˇr´ıtomnosti intern´ıho elektrick´eho pole je De =

k Te . me νc

35

(9.6)

´ KAPITOLA 9. VODIVOST PLAZMATU A DIFUZE

36

V plazmatu za pˇr´ıtomnosti vnˇejˇs´ıho magnetick´eho pole je De d´an tenzorem, podobnˇe jako stejnosmˇern´a vodivost a pohyblivost elektron˚ u. Elektrony v plazmatu obvykle difunduj´ı rychleji neˇz ionty, protoˇze maj´ı mnohem niˇzˇs´ı hmotnost a vyˇsˇs´ı pohyblivost. N´asledkem toho se v plazmatu vytv´ aˇr´ı vnitˇrn´ı elektrick´e pole, kter´e zpomaluje dif´ uzi elektron˚ u a urychluje dif´ uzi iont˚ u. Tento jev se naz´ yv´a ambipol´arn´ı dif´ uze. Je-li vztah mezi koncentracemi iont˚ u ni a elektron˚ u ne ni = C n e

(9.7)

kde C je konstanta, pak pro koeficient ambipol´arn´ı dif´ uze Da plat´ı Da =

k (Te + C Ti ) , me νce + C mi νci

(9.8)

kde νci , νce jsou sr´ aˇzkov´e frekvence pro pˇrenos hybnosti mezi neutr´aln´ımi ˇc´asticemi a ionty/elektrony.

9.2 9.2.1

Pˇ r´ıklady Stejnosmˇ ern´ a vodivost plazmatu

Odvod’te vztah pro stejnosmˇernou vodivost plazmatu z Langevinovy rovnice pro ust´ alen´ y stav bez pˇr´ıtomnosti magnetick´eho pole − e E − me νc ue = 0.

(9.9)

ˇ sen´ı Hustota elektrick´eho proudu je definov´ana jako Reˇ J = −e ne ue

(9.10)

Dosad´ıme-li toto do Langevinovy rovnice (9.9), dostaneme v´ yraz pro hustotu elektrick´eho proudu J ne e2 J= E (9.11) me νc Ohm˚ uv z´ akon m´ a tvar J = σ0 E

(9.12)

a stejnosmˇern´ a vodivost je d´ ana n´asleduj´ıc´ım vztahem σ0 =

ne e2 . me νc

(9.13)

´ KAPITOLA 9. VODIVOST PLAZMATU A DIFUZE

9.2.2

37

Tenzor pohyblivosti elektron˚ u v plazmatu za pˇ r´ıtomnosti magnetick´ eho pole

V pˇr´ıtomnosti magnetick´eho pole m´a Ohm˚ uv z´akon tvar J=S ·E 

  σ⊥ Jx  J y  =  σH 0 Jz

−σH σ⊥ 0

(9.14)   0 Ex 0   Ey  , σk Ez

kde pro jednotliv´e sloˇzky tenzoru stejnosmˇern´e vodivosti S plat´ı νc2 σ0 νc2 + Ω2ce νc Ωce σH = 2 σ0 νc + Ω2ce ne e 2 σk = σ0 = , me νc σ⊥ =

(9.15) (9.16) (9.17)

kde Ωce je elektronov´ a cyklotronov´a frekvence d´ana vnˇejˇs´ım magnetick´ ym polem. Urˇcete sloˇzky tenzoru pohyblivosti eletron˚ u Me definovan´eho jako ue = Me · E.

(9.18)

V´ ysledky: 

M⊥ Me =  MH 0

−MH M⊥ 0

 0 0  Mk

νc e me (νc2 + Ω2ce ) Ωce e MH = − me (νc2 + Ω2ce ) e Mk = − me νc M⊥ = −

9.2.3

(9.19) (9.20) (9.21)

Ohm˚ uv z´ akon v pˇ r´ıtomnosti magnetick´ eho pole

Uvaˇzte rovnici J = S · E jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Pˇredpokl´adejte, ˇze E = (E⊥ , 0, Ek ) a B = (0, 0, B0 ). Spoˇctˇete J. Vˇsimnˇete si, ˇze proud teˇce i ve smˇeru y, kam nem´ıˇr´ı ˇz´ adn´  e pole. J = (σ⊥ E⊥ , σH E⊥ , σk Ek )

´ KAPITOLA 9. VODIVOST PLAZMATU A DIFUZE

9.2.4

38

Dif´ uzn´ı rovnice

ˇ ste jednorozmˇernou dif´ Reˇ uzn´ı rovnici ∂n(x, t) ∂ 2 n(x, t) =D ∂t ∂x2

(9.22)

separac´ı promˇenn´ ych. Pˇredpokl´adejte n(x, t) = S(x) T (t). V´ ysledky: • Tk (t) = T0 exp(−D k 2 t) • S(x) = c(k) exp(i k x), k je separaˇcn´ı konstanta • n(x, t) =

+∞ R −∞

c(k) exp(−i k x − D k 2 t) dk

(9.23)

Kapitola 10

Nˇ ekter´ e z´ akladn´ı jevy v plazmatu 10.1

Teorie

Americk´ y chemik a fyzik Irving Langmuir v ˇcl´anku z roku 1923 p´ıˇse, ˇze elektrony jsou odpuzov´ any od negativn´ı elektrody, zat´ımco pozitivn´ı ionty jsou pˇritahov´ any smˇerem k n´ı. Langmuir z toho vyvozuje, ˇze okolo kaˇzd´e negativn´ı elektrody je vrstva (sheath) dan´e tlouˇst’ky obsahuj´ıc´ı pouze kladn´e ionty a neutr´ aln´ı atomy. D´ ale si Langmuir vˇs´ım´a, ˇze i sklenˇen´a stˇena v´ ybojov´e trubice se z´ apornˇe nab´ıj´ı a odpuzuje (nebo odr´aˇz´ı) t´emˇeˇr vˇsechny elektrony, kter´e se k n´ı pohybuj´ı [17]. Fakt, ˇze se izolovan´e pˇredmˇety vloˇzen´e do plazmatu nab´ıj´ı na (vzhledem k plazmatu) z´ aporn´ y tzv. plovouc´ı potenci´al, vysvˇetlujeme t´ım, ˇze se elektrony pohybuj´ı mnohem rychleji neˇz ionty. Tepeln´a rychlost elektron˚ u (kB Te /me )1/2 je nejm´enˇe stokr´at vyˇsˇs´ı neˇz tepeln´a rychlost iont˚ u (kB Ti /Mi )1/2 [18]. Prvn´ım d˚ uvodem rozd´ıln´ ych rychlost´ı iont˚ u a elektron˚ u je vˇetˇs´ı hmotnost iont˚ u. Pokud uvaˇzujeme samotn´ y proton (tedy nejlehˇc´ı kladn´ y iont, kter´ y se v plazmatu m˚ uˇze vyskytovat), pak pomˇer hmotnost´ı protonu a elektronu mp /me je 1836. Tento pomˇer pˇribliˇznˇe odpov´ıd´a pomˇeru hmotnost´ı tˇeˇzk´e bowlingov´e koule (5 kg) a pingpongov´eho m´ıˇcku (2,7 gram˚ u). Druh´ ym d˚ uvodem vˇetˇs´ı tepeln´e rychlosti elektron˚ u v n´ızkoteplotn´ım plazmatu je jejich v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı teplota oproti iont˚ um. Nejmenˇs´ı moˇznou rychlost iont˚ u pˇri vstupu do sheathu naz´ yv´ame Bohmovou rychlost´ı uB . Ionty jsou urychlov´any v kvazineutr´aln´ım presheathu, v kter´em na nˇe p˚ usob´ı slab´e elektrick´e pole. Toto Bohmovo krit´erium stˇenov´e vrstvy popisuje n´ asleduj´ıc´ı rovnice r kB Te us (0) ≥ uB = . (10.1) Mi

39

ˇ ´ ZAKLADN ´ ´I JEVY V PLAZMATU KAPITOLA 10. NEKTER E

10.2

Pˇ r´ıklady

10.2.1

ˇ ıˇ S´ ren´ı vln v nemagnetizovan´ em plazmatu

40

Uvaˇzujte r´ adiov´e vlny, kter´e se odr´aˇz´ı od tzv. E vrstvy ionosf´ery. Tato vrstva m´a koncentraci elektron˚ u 105 cm−3 a je ve v´ yˇsce okolo 100 km. a) Jak´e elektromagnetick´e vlny se mohou odr´aˇzet od t´eto vrstvy? b) Spoˇctˇete dielektrickou konstantu plazmatu pro vlny o frekvenci 100 Mhz a 1000 Hz. b) Spoˇctˇete hloubku vniku (skin depth) vlny o frekvenci 1000 Hz. ˇ sen´ı: Reˇ a) Odraz´ı se vˇsechny vlny s frekvenc´ı menˇs´ı, neˇz je plazmov´a frekvence (2 839 725 Hz). b) Dielektrick´ a konstanta je definov´ana ε=1−

ωp2 ω2

Pro 100 MHz ε = 0.9991 (kladn´a hodnota, elmag. vlna se ˇs´ıˇr´ı), pro 1000 Hz ε = −8064037 (z´ aporn´ a hodnota, q imagin´arn´ı index lomu, odraz).

c) Hloubka vniku δ je pˇribliˇznˇe c/ ωp2 − ω 2 , kde c je rychlost svˇetla. Po dosazen´ı hodnot pro 1000 Hz vych´az´ı hloubka vniku 16.8 m.

10.2.2

Plovouc´ı potenci´ al

Vysvˇetlete, proˇc izolovan´ y objekt vloˇzen´ y do plazmatu z´ısk´av´a z´aporn´ y potenci´ al vzhledem k plazmatu.

10.2.3

Bohmova rychlost

Spoˇctˇete Bohmovu rychlost pro iont vod´ıku v plazmatu s teplotou elektron˚ u Te = 1 eV. [9787.2 m/s]

10.2.4

Plazmov´ a frekvence

Pokud je makroskopick´ a neutralita plazmatu z vnˇejˇsku naruˇsena, elektrony se chovaj´ı takov´ ym zp˚ usobem, ˇze daj´ı vzniknout oscilac´ım o elektronov´e plazmov´e frekvenci. Uvaˇzujte tyto oscilace, ale do v´ ypoˇctu zahrˇ nte tak´e pohyb iont˚ u. Odpod’te pˇrirozenou frekvenci tˇechto oscilac´ı prostorovˇe rozloˇzen´eho n´aboje v tomto pˇr´ıpadˇe. Vyuˇzijte linearizovanou rovnici kontinuity a hybnosti a Poissonovu rovnici, za pˇredpokladu p˚ usoben´ı elektrick´e s´ıly d´ıky

ˇ ´ ZAKLADN ´ ´I JEVY V PLAZMATU KAPITOLA 10. NEKTER E vnitˇrn´ı separaci n´ aboje. [ω = (ωe2 + ωi2 )1/2 , where ωi =

q

ne e2 ε0 Mi ]

41

Kapitola 11

Boltzmann˚ uv sr´ aˇ zkov´ yˇ clen 11.1

Teorie

Pˇredpokl´ ad´ ame-li homogenn´ı a izotropn´ı rozdˇelovac´ı funkci rychlosti elektron˚ u a molekul´ arn´ı chaos, uvaˇzujeme-li jen dvojn´e sr´aˇzky a zanedb´ame-li p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch sil, m˚ uˇzeme odvodit tzv. Boltzmann˚ uv sr´aˇzkov´ y ˇclen   ZZ ∂f = g σ(g, Ω) [fe (v0 ) f1 (v0 1 ) − fe (v) f1 (v1 )] dΩ d3 v. (11.1) ∂t coll g = |v − v1 | je velikost relativn´ı rychlosti elektronu a ˇc´astice, s n´ıˇz se sr´aˇz´ı, σ(g, Ω) je diferenci´ aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro tento druh sr´aˇzky. Vystupuj´ı zde dvˇe r˚ uzn´e rozdˇelovac´ı funkce – elektronov´a fe (v) a rozdˇelen´ı rychlosti toho druhu ˇc´ astic, kter´ y uvaˇzujeme, f1 (v1 ). Je-li tˇreba zapoˇc´ıtat sr´aˇzky s nˇekolika druhy ˇc´ astic, m´ a sr´ aˇzkov´ y ˇclen podobu souˇctu ˇclen˚ u stejn´eho typu, jako rovnice (11.1). Prvn´ı ˇclen rozd´ılu popisuje mnoˇzstv´ı elektron˚ u s poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı v0 , 0 kter´e se sraz´ı s ˇc´ astic´ı o rychlosti v1 . Po sr´aˇzce maj´ı elektrony rychlost v a jejich sr´ aˇzkov´ı partneˇri maj´ı rychlost v1 , jedn´a se tedy o pˇr´ır˚ ustek rozdˇelovac´ı funkce elektron˚ u v oblasti rychlosti v. Druh´ y ˇclen popisuje inverzn´ı sr´aˇzky, kter´e vedou ke u ´bytku elektron˚ u o rychlosti v, proto je z´aporn´ y. Uvaˇzujeme-li jen sr´ aˇzky vedouc´ı k mal´ ym odchylk´am, coˇz je rozumn´ y pˇredpoklad pro Coulombovsk´e interakce, m˚ uˇzeme odvodit tzv. Fokker-Planck˚ uv sr´aˇzkov´ y ˇclen.   X ∂ δ fα 1 X ∂2 (fα h∆vi iav ) + (fα h∆vi ∆vj iav ), (11.2) =− δt coll ∂vi 2 ∂vi ∂vj i

kde

ij

Z Z h∆vi iav = Ω

Z Z h∆vi ∆vj iav = Ω

∆vi g σ(Ω)dΩfβ1 d3 v1

(11.3)

∆vi ∆vj g σ(Ω)dΩfβ1 d3 v1

(11.4)

v1

v1

jsou koeficienty dynamick´eho tˇren´ı a dif´ uze v rychlostn´ım prostoru. 42

˚ SRA ´ ZKOV ˇ ´ CLEN ˇ KAPITOLA 11. BOLTZMANNUV Y

43

11.2

Pˇ r´ıklady

11.2.1

Sr´ aˇ zky, Maxwell-Boltzmannova rozdˇ elovac´ı funkce

Uvaˇzujme plazma, v nˇemˇz jsou elektrony a ionty charakterizov´any rozdˇelovac´ımi funkcemi fe , fi :  fe = n0  fi = n0

me 2 π k Te

3/2

mi 2 π k Ti

3/2

  me (v − ue )2 exp − 2 k Te

(11.5)

  mi (v − ui )2 exp − 2 k Ti

(11.6)

(a) Spoˇc´ıtejte rozd´ıl (fe (v0 ) fi (v10 ) − fe (v) fi (v1 )). (b) Ukaˇzte, ˇze toto plazma sest´avaj´ıc´ı z elektron˚ u a iont˚ u bude v rovnov´ aˇzn´em stavu, tj. rozd´ıl (fe (v0 ) fi (v10 ) − fe (v) fi (v1 )) bude roven nule pr´ avˇe tehdy, kdyˇz ue = ui a Te = Ti . ˇ sen´ı Reˇ (a) (fe (v

0

) fi (v10 )

3   1 me mi 3/2 − fe (v) fi (v1 )) = × 2πk Te Ti    me (v0 − ue )2 mi (v10 − ui )2 − − × exp − 2 k Te 2 k Ti   me (v − ue )2 mi (v1 − ui )2 − − exp − 2 k Te 2 k Ti n20



(11.7)

(b) Uz´ avorkovan´ a ˇc´ ast mus´ı b´ yt rovna nule. To nastane tehdy, kdyˇz si argumenty exponenci´ aln´ıch funkc´ı budou rovny. Po u ´pravˇe a s vypuˇstˇen´ım spoleˇcn´eho faktoru −(2 k)−1 m˚ uˇzeme tyto argumenty napsat jako: mi 02 me 02 (v − 2 v0 · ue + u2e ) + (v − 2 v10 · ui + u2i ) Te Ti 1

(11.8)

me 2 mi 2 (v − 2 v · ue + u2e ) + (v − 2 v1 · ui + u2i ) Te Ti 1

(11.9)

Pˇri odvozov´ an´ı Boltzmannova sr´aˇzkov´eho ˇclenu jsou v, v1 a v0 , v10 br´any jako rychlosti pˇred a po dvojn´e pruˇzn´e sr´aˇzce. Jsou tedy sv´az´any z´akony zachov´ an´ı kinetick´e energie a hybnosti: me v 2 + mi v12 me v 02 + mi v102 = 2 2

(11.10)

me v + mi v1 = me v0 + mi v10

(11.11)

˚ SRA ´ ZKOV ˇ ´ CLEN ˇ KAPITOLA 11. BOLTZMANNUV Y

44

Z posledn´ıch ˇctyˇr vztah˚ u je zˇrejm´e, ˇze sr´aˇzkov´a ˇclen bude roven nule pr´ avˇe tehdy, kdyˇz Te = Ti a ue = ui . Jin´ ymi slovy, rozdˇelovac´ı fukce fe se bude v d˚ usledku sr´ aˇzek mˇenit pouze tehdy, kdyˇz plazma nebude v rovnov´ aˇzn´em stavu. Sr´ aˇzkov´e procesy tedy vedou k tomu, ˇze plazma se dost´ av´ a do rovnov´ ahy.

11.2.2

Sr´ aˇ zky pro rozd´ıln´ e rozdˇ elovac´ı fukce

ˇ ste ˇc´ Reˇ ast (a) pˇredchoz´ıho zad´an´ı pro elektronovou rozdˇelovac´ı funkci Druyvesteynova typu a Maxwell-Boltzmannovsk´e rozdˇelen´ı rychlost´ı iont˚ u (Ce , ae and Ci jsou konstanty) fe = Ce exp[−ae m2e (v − ue )4 ]   mi (v10 − ui )2 fi = Ci exp − 2 k Ti

(11.12) (11.13)

Bude rozd´ıl (fe (v0 ) fi (v10 ) − fe (v) fi (v1 )) roven nule pro ue = ui ?

11.2.3

Sr´ aˇ zky pro Druyvesteynovo rozdˇ elen´ı

ˇ ste pˇredchoz´ı zad´ Reˇ an´ı s rozdˇelen´ım Druyevesteynova typu (vizte 11.12) pro elektrony i ionty. M˚ uˇze se sr´aˇzkov´ y ˇclen rovnat nule pro ue = ui ? Je moˇzn´e naj´ıt rovnov´ aˇzn´ y stav plazmatu popsan´eho Boltzmannovou kinetickou rovnic´ı s Boltzmannov´ ym sr´aˇzkov´ ym ˇclenem popsan´ y rozdˇelovac´ı funkc´ı Druyvesteynova typu?

Literatura [1] Cauchy distribution. http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_ distribution. Accessed: 2013-04-10. [2] Msis-e-90 atmosphere model. http://omniweb.gsfc.nasa.gov/ vitmo/msis_vitmo.html. Accessed: 2013-08-15. [3] B Bachmann, R Kozakov, G G¨ott, K Ekkert, J-P Bachmann, J-L Marques, H Sch¨ opp, D Uhrlandt, and J Schein. Power dissipation, gas temperatures and electron densities of cold atmospheric pressure helium and argon rf plasma jets. Plasma Sources Science and Technology, 46(12):125203, 2013. [4] Jos´e A Bittencourt. Fundamentals of plasma physics. Springer, 2004. [5] B Bora, H Bhuyan, M Favre, E Wyndham, and H Chuaqui. Diagnostic of capacitively coupled low pressure radio frequency plasma: An approach through electrical discharge characteristic. [6] L Campbell and MJ Brunger. Modelling of plasma processes in cometary and planetary atmospheres. Plasma Sources Science and Technology, 22(1):013002, 2012. [7] Guangsup Cho and John V Verboncoeur. Plasma wave propagation with light emission in a long positive column discharge. [8] Eun Ha Choi, Jeong Chull Ahn, Min Wook Moon, Jin Goo Kim, Myung Chul Choi, Choon Gon Ryu, Sung Hyuk Choi, Tae Seung Cho, Yoon Jung, Guang Sup Cho, et al. Electron temperature and plasma density in surface-discharged alternating-current plasma display panels. Plasma Science, IEEE Transactions on, 30(6):2160–2164, 2002. [9] P Debye and E H¨ uckel. De la theorie des electrolytes. i. abaissement du point de congelation et phenomenes associes. Physikalische Zeitschrift, 24(9):185–206, 1923. [10] Richard Fitzpatrick. Introduction to plasma physics. The University of Texas at Austin: sn, page 242, 2008. 45

LITERATURA

46

[11] S Hofmann, AFH van Gessel, T Verreycken, and P Bruggeman. Power dissipation, gas temperatures and electron densities of cold atmospheric pressure helium and argon rf plasma jets. Plasma Sources Science and Technology, 20(6):065010, 2011. [12] J Hubert, M Moisan, and A Ricard. A new microwave plasma at atmospheric pressure. Spectrochimica Acta Part B: Atomic Spectroscopy, 34(1):1–10, 1979. [13] Zdenˇek Hubiˇcka. The low temperature plasma jet sputtering systems applied for the deposition of thin films. 2012. [14] Umran S Inan and Marek Golkowski. Principles of plasma physics for engineers and scientists. Cambridge University Press, 2010. [15] Jae Duk Kim, Young Ho Na, Young June Hong, Han Sup Uhm, Eun Ha Choi, et al. Microwave plasma jet system development at atmospheric pressure using a 2.45 ghz gan hemt devices. In Plasma Science (ICOPS), 2011 Abstracts IEEE International Conference on, pages 1– 1. IEEE, 2011. [16] SB Krupanidhi and M Sayer. Position and pressure effects in rf magnetron reactive sputter deposition of piezoelectric zinc oxide. Journal of applied physics, 56(11):3308–3318, 1984. [17] I. Langmuir. Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs. Science, 58:290–291, October 1923. [18] M.A. Lieberman and A.J. Lichtenberg. Principles of plasma discharges and materials processing. Published by A Wiley-Interscience Publication, page 388, 1994. [19] Liming Liu, Ruisheng Huang, Gang Song, and Xinfeng Hao. Behavior and spectrum analysis of welding arc in low-power yag-laser– mag hybrid-welding process. Plasma Science, IEEE Transactions on, 36(4):1937–1943, 2008. [20] Yasuyuki Noguchi, Akira Matsuoka, Kiichiro Uchino, and Katsunori Muraoka. Direct measurement of electron density and temperature distributions in a micro-discharge plasma for a plasma display panel. Journal of applied physics, 91(2):613–616, 2002. [21] Kunio Okimura, Akira Shibata, Naohiro Maeda, Kunihide Tachibana, Youichiro Noguchi, and Kouzou Tsuchida. Preparation of rutile tio2 films by rf magnetron sputtering. JAPANESE JOURNAL OF APPLIED PHYSICS PART 1 REGULAR PAPERS SHORT NOTES AND REVIEW PAPERS, 34:4950–4950, 1995.

LITERATURA

47

[22] Cheng-gang PAN, Xue-ming HUA, Wang ZHANG, Fang LI, and Xiao XIAO. Calculating the stark broadening of welding arc spectra by fourier transform method. 32(7), 2012. [23] Shahid Rauf and Mark J Kushner. Optimization of a plasma display panel cell. In APS Annual Gaseous Electronics Meeting Abstracts, volume 1, 1998. [24] P Sigurjonsson and JT Gudmundsson. Plasma parameters in a planar dc magnetron sputtering discharge of argon and krypton. In Journal of Physics: Conference Series, volume 100, page 062018. IOP Publishing, 2008. ˇ [25] Zemliˇ cka R. In situ studium r˚ ustu a lept´an´ı tenk´ ych vrstev v n´ızkotlak´ ych vysokofrekvenˇcn´ıch kapacitnˇe v´azan´ ych v´ yboj´ıch. 2012.