ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WEIBULL TERMODIFIKASI Nama Mahasiswa NRP Jurusan Dosen Pembimbing
: : : :
Amboro Putro 1204100028 Matematika FMIPA-ITS Drs. Farida Agustini Widjajati, MS
Abstrak Sarhan dan Zainudin (2008) memperkenalkan generalisasi dari distribusi Weibull yang dinamakan dengan distribusi Weibull termodifikasi (Modified Weibull Distribution). Dalam Tugas Akhir ini, akan diselidiki mengenai sifat-sifat dari MWD (Modified Weibull Distribution). Selanjutnya, parameter dari distribusi MWD akan diestimasi berdasarkan data Tipe II dengan menggunakan maximum likelihood dan least square. Masing-masing dari dua metode ini akan menghasilkan beberapa persamaan non linier yang nantinya akan digunakan untuk mencari nilai estimasi dari parameter ( , , ) . Selanjutnya, persamaan-persamaan non linier tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode biseksi. Dalam prosesnya nanti akan digunakan data yang telah dibangkitkan dengan menggunakan metode acceptance-redjection. Hasil yang didapat kemudian dibandingkan. Dari perbandingan kedua hasil estimasi diperoleh bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square. Kata kunci: Maximum likelihood, Least Square. proses estimasi akan digunakan prosedur maximum likelihood dan least square. Estimasi parameter akan 1. PENDAHULUAN Distribusi yang biasa digunakan dalam penerapan dilakukan dengan menggunakan data tersensor Tipe II. Permasalahan yang dibahas dalam Tugas Akhir reliabilitas adalah distribusi eksponensial, Rayleigh, ini adalah bagaimana sifat-sifat dari MWD ( , , ) dan Linier Failure Rate Distribution (LFRD) dan distribusi Weibull. Distribusi eksponensial memiliki fungsi rasio mengestimasi parameter pada MWD ( , , ) . kegagalan yang konstan sedangkan distribusi Rayleigh Sedangkan batasan masalah yang digunakan dalam mempunyai fungsi rasio kegagalan yang naik. Linier penulisan Tugas Akhir adalah estimasi parameter hanya Failure Rate Distribution (LFRD) merupakan perluasan dilakukan berdasarkan data tersensor tipe II. Tujuan dari kedua distribusi Rayleigh dan eksponensial yang dalam Tugas Akhir ini adalah mengetahui sifat-sifat dari mempunyai fungsi rasio kegagalan turun. Ditribusi MWD ( , , ) dan mendapatkan estimasi parameter Weibull juga merupakan pengembangan dari dua distribusi , yaitu Rayleigh dan eksponensial tetapi dari MWD ( , , ) . memiliki rasio kegagalan naik atau turun. Distribusi Weibull termodifikasi merupakan perluasan dari distribusi LFRD dan distribusi Weibull. MWD (Modified Weibull Distribution) sangat berguna dalam penerapannya pada model-model reliabilitas. Distribusi Weibull termodifikasi dengan tiga parameter , , dinotasikan dengan MWD ( , , ) . Persamaan CDF dari MWD ( , , ) diberikan oleh:
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 DISTRIBUSI WEIBULL
FL ( x; , , ) 1 exp{x x }, x 0 Dimana 0, , 0 sedemikian hingga 0 .
Keandalan dapat didefinisikan sebagai probabilitas sistem akan memiliki kinerja sesuai fungsi yang dibutuhkan dalam periode waktu tertentu.
Terlihat bahwa distribusi ini merupakan perluasan dari ke empat distribusi sebelumnya. Dalam Tugas Akhir ini akan dibahas mengenai estimasi tiga parameter dari MWD ( , , ) . Dalam
Sebelum dibahas lebih lanjut mengenai distribusi weibull, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai konsep reliability, availability dan maintainability[8]. Setelah itu, akan dibahas mengenai penjelasan tentang distribusi weibull.
2.1.1
2.1.2
Konsep Reliability
Konsep Mantainability
Keterawatan didefinisikan sebagai probabilitas suatu sistem / komponen akan kembali pada keadaan
1
yang memuaskan dan dalam kondisi operasi mampu mencapai waktu downtime minimum. Definisi lain keterawatan adalah probabilitas bahwa komponen atau sistem yang rusak akan diperbaiki ke dalam suatu kondisi tertentu dalam periode waktu tertentu sesuai dengan prosedur yang telah ditentukan. Prosedur perawatan melibatkan perbaikan, ketersediaan sumber daya perawatan (tenaga kerja, suku cadang, peralatan, dan sebagainya), program perawatan pencegahan, keahlian tenaga kerja dan jumlah orang yang termasuk di dalam bagian perawatan tersebut.
2.1.3 Konsep Avalibility Ketersediaan dapat didefinisikan sebagai probabilitas suatu sistem beroperasi sesuai fungsinya dalam suatu waktu tertentu dalam kondisi operasi yang telah ditetapkan. Sehingga ketersediaan merupakan fungsi dari suatu siklus waktu operasi (reliability) dan waktu downtime (maintainability). Distribusi weibull pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Swedia, Waloddi Weibull, pada tahun 1939. Suatu peubah acak x berdistribusi Weibull, dengan parameter dan jika memiliki Pdf berbentuk:
x 1e x , x 0 ; 0 dan f x 0 , untuk x yang lainnya 0
Mean dan variansi dari distribusi Weilbull masing-masing diberikan oleh Mean (Nilai Harapan):
x E( X ) 1
1
Varians: 2 2 1 1 1 2 x
2
2.2 DATA TERSENSOR TIPE II 1.
Ada tiga macam tipe penyensoran data yaitu : Sensor tipe I Semua obyek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu pengujian t 0 yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bisa terjadi sampai batas waktu t 0 yang ditentukan
2.
3.
semua obyek tidak ada yang gagal sehingga tidak diperoleh data kesalahan yang diinginkan. Sensor tipe II Semua obyek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan r obyek diantaranya gagal, dengan 1 r n . Kelemahan dari sensor tipe II ini waktu yang diperlukan untuk memperoleh r obyek yang gagal. Sensor tipe III Obyek masuk dalam pengujian pada waktu yang tidak bersamaan selama periode waktu yang telah ditentukan. Beberapa obyek yang gagal sebelum pengamatan berakhir mempunyai data kesalahan (error), sebagian lain masih tetap berhasil sampai waktu pengujian berakhir.
2.3 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi eksponensial dan Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus khusus distribusi gamma (dengan 1 ). Suatu peubah acak x berdistribusi eksponensial, dengan parameter jika memiliki Pdf berbentuk:
1 x x0 f x e , 0, untuk x yang lainnya dengan 0 . 2.4 DISTRIBUSI RAYLEIGH Distribusi Rayleigh mempunyai Pdf (probability density function ) diberikan oleh :
2 x exp( x 2 ) , x 0, 0 f x untuk x yang lain 0, Sedangkan cumulative distribution function (CDF) atau fungsi distribusi kumulatif :
F ( x) 1 exp x 2 2.5 MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION Estimasi MLE dikembangkan oleh R.A.Fisher, yang menyatakan bahwa distribusi probabilitas yang diinginkan adalah distribusi yang mampu mencari nilai dari parameter-parameter. Pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsi likelihood, L( w | y ) . Parameter ini disebut estimasi MLE dan dinotasikan dengan
2
WMLE w1, MLE , w2, MLE ,, wk , MLE .
Untuk
mempermudah perhitungan, Pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsi loglikelihood, ln L ( w | y ) . Karena kedua fungsi, L( w | y ) dan ln L ( w | y ) , merupakan fungsi yang secara monoton saling berkaitan. Sehingga estimasi MLE yang sama dapat diperoleh dengan memaksimumkan salah satu dari kedua persamaan tersebut.
2.6 LEAST SQUARE PROCEDURE Misalkan
diberikan x1 , y1 , x2 , y2 ,x N , y N berkaitan
data dengan
persamaan y ax b . Dapat didefinisikan fungsi error sebagai berikut: N
E (a, b) y n axn b
2
n 1
Dimana N menunjukkan varians himpunan data
y1 ax1 b, y2 ax2 b,, y N axN b.
Tujuannya adalah mencari nilai dari a dan b dengan error paling kecil. Dua konstanta ini dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:
E E 0 dan 0 a b 2.7 METODE ACCEPTANCE-REJECTION
Dalam proses pembangkitan data tersensor tipe II yang berdistribusi weibull termodifikasi, dibutuhkan suatu metode khusus, yaitu metode acceptancerejection. Hal ini dilakukan karena MWD (Modified Weibull Distribution) bukan merupakan distribusi statistika pada umumnya. Metode Acceptance-Rejection adalah suatu algoritma untuk membangkitkan random sample dari sebarang distribusi probabilitas, diberikan seperti random sample dari distribusi terkait dan distribusi normal. Dimisalkan X adalah variabel random dengan suatu distribusi probabilitas. Kemudian, dimisalkan pula U sebagai variabel berdistribusi normal pada interval [0 , 1], dan Y adalah variabel random yang ingin dibangkitkan.Pada beberapa aplikasi, X dan Y kedua-duanya adalah variabel random kontinu dengan kerapatan (densities) g dan f . Sehingga diperoleh density ( x)
f ( x) , dengan f ( x) c g ( x) , c 1 . g ( x)
3. Jika U
( x)
, maka Y X (diterima). c ( x) 4. Jika U kembali ke langkah 1 sampai c diperoleh nilai untuk data Y seperti pada langkah 3.
2.8 METODE BISEKSI Salah satu metode untuk mencari penyelesaian dari suatu persamaan non linier adalah dengan metode biseksi. Pada umumnya, suatu fungsi f (x ) mengalami pergantian tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Jika f (x ) riil dan kontinu dalam suatu interval
xl , xu serta
f ( xl ) dan f ( xu ) berganti f ( xl ) f ( xu ) 0 .Sehingga sekurang-
tanda, yaitu kurangnya terdapat satu akar pada selang tersebut (pada selang xl , xu ). Algoritma dari metode ini adalah sebagai berikut.
Langkah 1 Pilih taksiran terendah xl dan taksiran tertinggi
xu untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa f ( xl ) f ( x u ) 0 . Langkah 2 Taksiran pertama, x r diberikan oleh:
xr
xl xu 2
Langkah 3 Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian a. Jika f ( xl ) f ( x r ) 0 , maka akar terletak pada subinterval pertama. Maka, xu x r dan lanjutkan ke Langkah 4.
Adapun prosedur untuk membangkitkan nilai dari data Y adalah sebagai berikut: 1. Membangkitkan nilai dari data X 2. Membangkitkan nilai dari data U
3
b. Jika f ( xl ) f ( x r ) 0 , maka akar terletak pada subinterval kedua. Maka, xl xr dan lanjutkan ke Langkah 4. c. Jika
f ( xl ) f ( x r ) 0
,
maka
akar x r dan penghitungan dihentikan. Langkah 4 Hitung taksiran baru akar dengan:
xr
xl xu 2
Langkah 5 Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke Langkah 3. Eror yang dimaksud dapat dihitung denagn cara berikut:
e 3
menunjukkan Pdf untuk nilai 1, 1 dan 6 . Sedangkan yang berwarna biru menunjukkan Pdf dari MWD untuk nilai 1, 1 dan 1.5 [6]. Fungsi rasio kegagalan dari MWD diberikan oleh:
hx; , , x 1
Sifat-sifat dari fungsi resiko dapat dilihat dari sifatsifat turunannya. Sedangkan turunan dari fungsi rasio kegagalan terhadap variabel x adalah: hx; , , 2 x 2 ........…(3.3) Persamaan (4.3) disamadengankan nol (0) agar dapat diperoleh sifat fungsi rasio kegagalannya. Jadi, fungsi rasio kegagalan merupakan suatu fungsi konstan jika 1 , merupakan suatu fungsi naik jika 1 , dan merupakan suatu fungsi turun jika 1 . Gambar berikut menunjukkan sifat-sifat tersebut dengan mengganti nilai dengan 1 , 1.5 ,dan 0 .5 .
x r (baru) x r (lama) 100 % x r (baru) SIFAT-SIFAT MWD (Modified Weibull Distribution)
Fungsi survival dari MWD (Modified Weibull Distribution) diberikan oleh: S ( x) exp x x , x 0 .............…..(3.1) 0, , 0 sedemikian dimana hingga 0 . Sedangkan Pdf dari MWD ( , , ) adalah
f ( x; , , ) x 1 exp{x x }, x 0 .......(3.2) Gambar berikut menunjukkan beberapa pola dari Pdf MWD (Modified Weibull Distribution) ( , , ) .
Gambar 2. Fungsi Rasio kegagalan Untuk Nilai Yang Berbeda Grafik dengan warna merah menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan untuk nilai 1, 0.5 dan 1 , warna hijau menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan untuk nilai 1, 0.5 dan 0.5 . Sedangkan yang berwarna biru menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan dari MWD untuk nilai 1, 0.5 dan 1.5 .
4
ESTIMASI PARAMETER
Diasumsikan terdapat n data yang digunakan dalam uji kelayakan. Proses pengujian dilakukan sampai didapatkan r kali kegagalan. Diasumsikan bahwa kegagalan sebanyak r adalah x1 x2 x3 xr . Gambar 1. Pola Berbeda dari Pdf MWD ( , , ) Warna merah menunjukkan Pdf untuk nilai 1, 2.5 dan 0.5 dan warna hijau
Misalkan x menotasikan informasi yang diperoleh dari proses pengujian. Sehingga diperoleh, x n, r : x1 , x2 , x3 , xr . Diasumsikan pula bahwa kelayakan setiap data mengikuti fungsi Pdf dari MWD
4
(Modified Weibull Distribution), seperti dinyatakan dalam persamaan (3.2).
x
4.1 ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION 1. Titik Estimasi Fungsi likelihood dari x diberikan oleh:
i 1
.....(4.1) Dengan melakukan substitusi persamaan (3.1) dan (3.2) pada persamaan (4.1) diperoleh: n!! r L x xi 1 n r ! i 1
r r exp xi n r x r xi n r x r i 1 i 1
…………(4.2) Dimana, T1 1
r
i 1 r
xi n r x r
Persamaan log likelihood dari L adalah:
ln L
i 1
1
Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap
disamadengankan nol (0), sehingga didapat: x 0
xi 1 1 ln xi T1 0 1 xi i 1 r
T 1 T (4.3) 1
r
………(4.6)
T1 n r x r xi ,
maka
i 1
r dT1 n r x r ln x r xi ln xi d i 1
i 1
r
disamadengankan nol (0), sehingga didapat: x 0 r xi 1 ………………(4.5) T1 0 1 i 1 xi
diperoleh :
x C ln xi
T1 1 0 …………………(4.4)
1
danKarena
T1 n r x r xi .
1
Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap
r n! ( nr ) S xr ; , , f xi ; , , L( x) n r ! i 1
x 0 r 1
1
dengan C ln n! ln n r ! Kemudian, akan dihitung turunan pertama dari yang bergantung pada , , lalu disamadengankan nol (0), sehingga didapatkan persamaan log likelihood dalam persamaan non linear dalam , , sebagai berikut:
x r 1 T1 1 1 i 1 x1
xi x r T1 1 i 1 xi 1
x r xi 1 ln xi T1 1 xi i 1 1
Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap disamadengankan nol (0), sehingga didapat:
Untuk mencari MLE (Maximum Likelihood Estimator) dari , , , persamaan non linear (4.4),(4.5) dan (4.6) yang bergantung pada , , harus diselesaikan. Untuk itu, akan digunakan metode biseksi dalam menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan penyelesaian dengan menggunakan biseksi adalah sebagai berikut: Langkah 1 Pilih taksiran terendah 0 , 0 , 0 dan taksiran tertinggi 1 , 1 , 1 untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 )
0 . Dengan fungsi f adalah persamaan (4.7) – (4.9), yaitu: r
1
x i 1
1
T1 1 0
1
5
xi 1 T1 0 1 i 1 x i r xi 1 1 ln xi T1 0 1 xi i 1 r
Langkah 2 Taksiran pertama, r , r dan r diberikan oleh:
r
0 1 2
, r
0 1 2
, r
0 1
f ( 0 ) f ( 1 ) 0 ,akar
terletak pada pertama. Maka, r , u r dan lanjutkan ke
f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , akar terletak pada b.
subinterval kedua. Maka, l r , l r , l r dan lanjutkan ke Langkah 4. c. f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 ) 0 ,
f ( 0 ) f ( 1 ) 0 ,
maka
akar r , r , r dan dihentikan.
0 1 2
, r
0 1 2
, r
0 1 2
r (baru) r (lama) 100 % r (baru)
2
A11
Dengan A11
r
1
x
1 2
i 1
i
1
r xi 2 1 i 1 x i
2
A12
Dengan A12
xi 1
r
x
1 2
i 1
i
r xi 1 ln xi 2 2 i 1 xi 1
1
A13 Dengan A13
xi 1 1 ln xi
r
x
1 2
i 1
i
2 1
r 2 xi 2 1 2 i 1 x i
A22 Dengan A22
Langkah 5 Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke Langkah 3. Eror yang dimaksud dapat dihitung denagn cara berikut: (baru) r (lama) e r 100 % r (baru)
e
r 2 1 2 i 1 xi 1
penghitungan
Lamgkah 4 Hitung taksiran baru akar dengan:
r
sebagai berikut:
2
Langkah 3 Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian a. f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , subinterval u r , u Langkah 4.
r (baru) r (lama) 100 % r (baru) 2. Batas Interval Kepercayaan Matriks informasi parameter , , diperoleh dari pada turunan kedua terhadap , , , yang diperoleh e
2 xi 2 1 xi 1
r
i 1
r x 1 1 ln x 2 i i T 1 i 1 x 1 2 i A23
Dengan A23 x i 2 i 1 2
r
1
r
xi
1
1 ln xi
T x ln x 2 ln x x T x 1
1 2
i 1
i
1
2
i
i
1 2
i
1
i
A33 dengan
6
r
A33 xi
1
ln x 2 ln x x T x 1
2
i
i
i
1
1 2
i 1
dan
r
T1 n r x r ln x r xi ln xi
2
2
i 1
Sehingga oleh :
matrik informasi parameter diberikan
I 11
I 12
21
I 22
I I
I 31
I 13 A11 I 23 A12 I 33 A13
I 32
A13 A23 A33
A12 A22 A23
V11
V12
21
V22
V V
V 31 V32
V13 A11 V23 A12 V33 A13
A12 A22 A23
A13 A23 A33
R
ln{exp{ x x }} ln 1 FL ( x; , , ) x x ln 1 FL ( x; , , )
V11 V12 V13 ˆ ˆ ...................(4.7) ~ N , V21 V22 V23 ˆ V31 V32 V33 Karena V memuat parameter , , , maka parameter-parameter tersebut diganti oleh parameterparameter yang berkaitan dengan MLE, yaitu hasil estimasi dari V, yang dinotasikan dengan :
, , .
22
Aˆ 23
Aˆ13 Aˆ 23 Aˆ 33
1
2
Vˆ11
2
ˆ ˆ z
2
ˆ ˆ z
2
Vˆ22 ,
dan
Vˆ33
2
Vˆ11 , ˆ ˆ z Vˆ33
2
Vˆ22 ,
Didapatkan persamaan:
r
Q y i xi xi
.................................(4.9) 2
i 1
dengan yi ln S e ( xi ) dan Sˆ e ( xi ) adalah estimasi dari
S (x) pada
observasi
xi , i 1,2,m yang
i 0.5 diberikan oleh Sˆ e ( xi ) . Sehingga parametermelalui
Untuk mendapatkan ˆ R , ˆ R , ˆ R diperlukan turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap , yang ditunjukkan sebagai berikut: r Q 2 1 2 y i xi xi xi i 1
Sehingga didapatkan pendekatan terhadap interval kepercayaan 100 (1 )% dari , , berturut-turut adalah: ˆ ˆ z
ln S e x i x x 0
, , dapat diperoleh parameter minimalisasi persamaan kuadrat terkecil (4.9).
Aij ketika ˆ , ˆ , ˆ diganti dengan
,
x x ln S e x i
r
Dengan menggunakan (4.10),diperoleh:
ˆ ˆ z
R
exp{x x } 1 FL ( x; , , )
1
asimtotis dari MLE (ˆ , ˆ , ˆ ) diberikan oleh :
Aˆ12 Aˆ
R
FL ( x; , , ) 1 exp{x x }, x 0
Seperti yang sudah diketahui bahwa distribusi
Aˆ11 ˆ Aˆ V 12 ˆ A13 Dimana Aˆ ij
4.2 ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LEAST SQUARE Diberikan waktu teramati x1 x2 xr dalam sample MWD , , . Kemudian Least Square akan digunakan untuk mengestimasi parameter , , yang dinotasikan dengan (ˆ , ˆ , ˆ ) . Estimasi dengan menggunakan metode Least Square diawali melakukan transformasi logaritma natural sebagaimana diturunkan sebagai berikut:
Jadi matrik covarian-varian dapat didekati oleh :
ˆ ˆ z
dengan z adalah distribusi normal standar.
i
............(4.8)
Turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap , yang ditunjukkan sebagai berikut:
r Q 1 2 2 y i xi xi xi i 1
Dan turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap
, yang ditunjukkan sebagai berikut:
r Q 1 2 2 y i xi ln xi xi ln xi xi ln xi i 1
7
Untuk
mendapatkan
nilai
minimum,
maka
r
xi
Q Q Q 0, 0 , dan 0 . Sehingga diperoleh : Q 0 r
y x i
i 1
r
r
xi xi
i
2
i 1
1
0
i 1 r
R
y x i
i 1
xi
i
xi
1
i 1
y x i
i 1
i
ln xi xi
1
i 1
2
r
ln xi xi
2
ln xi 0
i 1
r
i 1
i 1
r
i 1
i 1
i
R
r
xi
1
y x
x
2
i 1
i
r
x i 1 r
x i 1
i
2 i
1 i
i 1 r
i 1
r
x i 1 r
i 1
xi
r
r
y i xi xi i 1
i 1
2 1 xi xi i 1 i 1 r
2
1
r
2
i
i
r
r
y x x x i
i 1 r
x
i
2
i 1
i
i 1
i
1 i
x
r
ln xi xi
1
i 1
r
i
i
2
i
i 1
r
y x i 1
i
r
i 1
2 i
i
r
i 1 r
xi i 1
i
2
i 1
2
i
2
2
r
i
ln xi
r 1 xi xi i 1 i 1 r
2
2
2
r
y x x x 1
i
i 1
2 i
ln xi
r 1 2 x xi i i 1 i 1 r
2
r
i 1
2
r
xi i 1
1
r
....................................(4.15)
r
y x i 1
r 1 2 2 x x xi i i i 1 i 1 i 1 r
ln xi
r
r
y i xi xi i 1
1 i
r 1 xi xi i 1 i 1 r
2
i 1
i 1
r
i
1
x i 1
i 1
2 i
2
r
r y i xi ir1 y x i i i 1
y i xi
r
y x x x
i 1 r
i
r 1 2 2 x x xi i i i 1 i 1 i 1
Oleh karena itu dapat ditentukan R dan R sebagai berikut: r
i 1
i
r
Diperoleh persamaan:
x
1
x
i 1
i 1
2
r
i
i 1
r
xi 1 xi 2 yi xi
i 1 r
i 1 r
x
r
xi
i
x
i 1
i 1
1
1
yi xi ln xi
r
r
i
r
r
y x x
i
r
r
xi 2 xi 1 y i xi
r 2 xi ri 1 x 1 i i 1
2
Untuk mendapatkan R dan R , digunakan aturan Cramer terhadap persamaan (4.10) dan (4.11). Sebelumnya, persamaan (4.10) dan (4.11) perlu dicari bentuk perkalian matriksnya sebagai berikut:
i 1
i
untuk R dan R disubstitusikan pada persamaan (4.12), sehingga didapat :
r
y x
i
Selanjutnya, untuk memperoleh R , kedua persamaan
0 ..............(4.11)
.......(4.12)
i 1
i
i 1 r
i 1
r
r
y x
..................(4.14) r
Q 0 , sehingga diperoleh : r
x i 1
r
i 1
r
x
i 1
r
i 1
1 i
i 1 r
................(4.10)
Q 0 , diperoleh : r
x
2
i
2
2 i
..................(4.13)
i
Dari persamaan (4.15), tampak bahwa penyelesaiannya sangat sulit dicari secara analitik, sehingga akan digunakan metode numerik untuk
mendapatkan pendekatan dari R . Metode yang akan digunakan adalah Metode Biseksi. Adapun langkahlangkah yang dilakukan untuk mendapatkan penyelesaian dengan menggunakan biseksi adalah sebagai berikut: Langkah 1 Pilih taksiran terendah 0 dan taksiran tertinggi 1 untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa
8
f ( 0 ) f ( 1 ) 0 . Dengan fungsi f adalah persamaan (4.18), yaitu: r
r
yi xi ln xi
i 1
r
i
i 1 r
x i 1
i 1
i 1
1 i
x
2 i
r
r
ln xi xi
1
i 1
x i 1
2 i
r
2
i
i 1
r
i 1
i 1
r
r
x x i 1
i 1
2
2 i
ln xi 2
1
xi
2
i 1
2 i
r
1 xi i 1 r
2
r (baru) r (lama) 100 % r (baru)
e
r (baru) r (lama) 100 % r (baru)
5
PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI PARAMETER ( , , )
sejumlah data yang berdistribusi weibull termodifikasi. Pembangkitan data ini dilakukan dengan menggunakan metode
acceptance-rejection
dengan
menentukan
terlebih dahulu nilai dari tiap-tiap parameter yang
0 1
diinginkan. Setelah diperoleh data yang dibutuhkan,
2
langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan data
Langkah 3 Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian a. Jika f ( 0 ) f ( 1 ) 0 ,akar terletak pada subinterval pertama. Maka, lanjutkan ke Langkah 4. b.
u r dan
Jika f ( 0 ) f ( 1 ) 0 , akar terletak
pada subinterval kedua. Maka, lanjutkan ke Langkah 4. c. Jika
l r dan
f ( 0 ) f ( 1 ) 0 ,maka
akar r dan penghitungan dihentikan. Langkah 4 Hitung taksiran baru akar dengan:
r
e
Tahap ini diawali dengan membangkitkan
ln xi
Langkah 2 Taksiran pertama, r diberikan oleh:
r
r (baru) r (lama) 100 % r (baru)
i
2
r
2
i 1
r 1 x xi i i 1 i 1 r
y i xi xi i
i
e
2
r
r
r
y x
r 1 xi xi i 1 i 1 r
i
2
terhadap dan ,yaitu R dan R . Sedangkan eror yang dimaksud dapat dihitung dengan cara berikut:
2
y x x x i
ln xi
i
i 1
r
i 1
1
r 1 xi xi i 1 i 1 r
i
i 1
i
i 1
2
r
x
i
r
y x x x 2
Langkah 3. Jika sudah sesuai, substitusikan akar pada persamaan (4.16) dan (4.17) untuk mencari estimasi
0 1 2
Langkah 5 Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke
tersebut kedalam persamaan (4.10) – (4.12). Data
yang
dibangkitkan
dengan
n 20 ,
2 , 1 .5 , 1 . 3 Data ke-
x
1
0.367809
2
0.602658
3
0.657486
4
0.732114
5
0.802478
6
1.147281
7
1.501448
8
1.751831
9
1.893359
10
2.329458
11
0.921592
9
12
0.988296
13
1.280237
1
Tabel 5.1. Data hasil generating dengan
2
2 , 1 .5 , 1 . 3
3
Data pada Tabel 5.1 kemudian disubstitusikan
4
pada persamaan (4.10) – (4.12) dan diperoleh hasil
5
sebagai berikut: Turunan likelihood terhadap α Nilai α
x
Data ke-
6 Turunan
Turunan
7
likelihood
likelihood
8
terhadap β
terhadap γ
1.147281 1.501448 1.751831 1.893359 2.329458 0.921592 0.988296 1.280237
Tabel 5.4. Data hasil generating dengan 0.75
0.75
2. 5 , 2. 5 , 1 . 3
0.75
Nilai β
1.25
0.725
1.25
Data pada Tabel 5.4 kemudian disubstitusikan pada
Nilai γ
0.575
1.295
0.95
persamaan (4.10) – (4.12) dan diperoleh hasil sebagai
RMSE
0.10753
0.10816
0.087375
Tabel 5.2. Perbandingan Hasil Estimasi dengan MLE antara turunan fungsi likelihood dengan , dan dengan . Dari Tabel 5.2 tampak bahwa turunan fungsi likelihood terhadap γ mempunyai RMSE (Root Mean Square Error) yang paling kecil, yaitu 0.087375. Hal ini menyebabkan
, ,
dalam
proses
estimasi
parameter
akan digunakan fungsi likelihood yang
diturunkan terhadap γ. Selanjutnya, perbandingan antara hasil estimasi dengan menggunakan MLE dan Least
berikut: MLE
Least Square Nilai α 0.75 -0.54768 Nilai β 1.5 -0.15309 Nilai γ 0.95 -0.5 RMSE 0.20925 0.97836 Tabel 5.5. Perbandingan Antara Hasil Estimasi Menggunakan MLE dengan Least Square Dari Tabel 5.3 dan Tabel 5.5 terlihat bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini, metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square.
Square adalah sebagai berikut: MLE Least Square Nilai α 0.75 -0.074644 Nilai β 1.25 0.033632 Nilai γ 0.95 0.5 RMSE 0.087375 0.35472 Tabel 5.3 Perbandingan Antara Hasil Estimasi Menggunakan MLE dengan Least Square Data dengan n = 20, 2.5 , 2.5 , 1.3
6 KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan Kesimpulan yang diperoleh dari hasil dan pembahasan adalah sebagai berikut: 1. Sifat-sifat dari Modified Weibull Distribution (MWD) dapat dilihat dari sifat-sifat turunan fungsi rasio kegagalan, yaitu merupakan suatu fungsi konstan jika 1 , fungsi naik jika 1 , fungsi turun jika 1 . 2. Fungsi likelihood dalam persamaan non linear atas , , adalah sebagai berikut:
10
r
1
x i 1
1
r
T1 1 0
xi i 1 r
1
xi 1 T1 0 1 i 1 xi r xi 1 1 ln xi T1 0 1 xi i 1 r
R
i 1
Nilai estimasi , , dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan metode biseksi. Hasil menunjukkan bahwa persamaan ketiga yang merupakan turunan fungsi log likelihood terhadap memberikan hasil yang lebih baik dari kedua persamaan yang lain. Sedangkan pendekatan terhadap interval kepercayaan dari , , berturutturut adalah: ˆ ˆ z Vˆ , ˆ ˆ z Vˆ22 ,dan ˆ ˆ z Vˆ33 2
Q y i xi xi
r
i 1
y x
x
R
i 1
i
r
xi i 1 r
x i 1
i
2
1 i
i 1 r
r
xi i 1 r
x i 1
2 i
r
i 1
x i 1
1
i 1
i 1
2
i
r
ln xi xi
1
i 1
2
i
i 1
r
i 1
2 i
i
i 1
i
i 1
r
x
2 i
2 i
r
xi i 1
1
r
y x i 1
r 1 xi xi i 1 i 1 r
2
i
2
i
i
2
i 1
1
i
r
i 1
2 i
2
2
ln xi
r 1 2 xi xi i 1 i 1 r
i
2
r
xi
ln xi
r 1 x xi i i 1 i 1 r
2
r
r
i
2
r
i
r
y x
r 1 xi xi i 1 i 1 r
i
2
2
i 1
2
i
ln xi
i
y x x x
r
i 1
1 i
r
i 1
i
i
i 1
2
r
1
i
r
r 1 xi xi i 1 i 1 r
r 1 xi xi i 1 i 1 r
r
y x x i 1
i
y x x x
2
1
i 1
x
2
i 1
2
i 1
i 2
r
x
R
i
x
2
i
r
y i xi xi
2
i
r
Sehingga diperoleh ˆ R , ˆ R , ˆ R sebagai berikut:
x
i 1
r
r
i 1
i 1
diperlukan turunan pertama dari Q terhadap , , .
i 1 r
i
2
i
i
r
S (x) pada observasi xi , i 1,2,m . Untuk mendapatkan ˆ , ˆ , ˆ (estimasi dari , , )
r
i
i 1
y x x x
x
dari
y i xi
i 1
r
i 1
x
1 i
i
1
i 1 r
i 1
Dengan yi ln S e ( xi ) dan Sˆ e ( xi ) adalah estimasi
r
xi
r
y x x
i
r
2
yi xi ln xi
i 1
R
y x
i
r
dengan z adalah distribusi normal standar. Kemudian estimasi parameter dengan Least Square dapat diperoleh melalui fungsi kuantitas berikut:
R
i
i 1 r
Dan untuk ˆR diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:
r
T1 n r x r xi .
r
y x i 1
xi i 1
i 1
11
r
x
dengan T1 1 xi n r x r dan
2
i 1
1 i
i 1 r
r
x
r
2
2
persamaan diatas dapat diselesaiakan dengan menggunakan metode biseksi. Setelah estimasi parameter diperoleh, terlihat bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini, metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square. .
6.2 Saran Saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah mengestimasi parameter dari distribusi MWD (Modified Weibull Distribution) berdasarkan data Tipe II dengan menggunakan teknik Bayes (Bayesian Technique), dan membandingkan teknik ini dengan kedua metode sebelumnya.
11
2
1
DAFTAR PUSTAKA [1] Chapra, C.Stephen, Raymond P.Canale, S. Sardy. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. UIPress. Jakarta. [2] Djunaedi, Much san Mila FS. 2007. Usulan Interval Perawatan Komponen Kritis pada Mesin Pencetak Botol (Mould Gear) Berdasarkan Kriteria Minimasi Downtime. Teknik Industri. Universitas Muhammadiyah. Surakarta. [3] James, E.Gentle. 2003. Random Number Generation and Monte Carlo Methods, second edition, springer. [4] Miller,Steven.J. 2007. The Method of Least Square. Mathematics Department. Brown University. [5] Myung, Jae.2001.Tutorial on maximum likelihood estimation. Department of Psychology, Ohio State University, 1885 Neil Avenue Mall. [6] Sarhan, Ammar M dan Mazen Zaindin. 2009. Parameters Estimation of the Modified Weibull Distribution. [7] Walpole, Ronald E dan Raymond H Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. [8] Widiharih, Tatik, Wiwin Mardjiyati. 2008. Inferensi Data Uji Hidup Tersensor Tipe II Berdistribusi Rayleigh. FMIPA UNDIP Semarang.
12
