SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 T - 38
Estimasi MCMC untuk Model GARCH(1,1) Studi Kasus: Kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR Fransisca Cynthia Salim1), Didit Budi Nugroho2), Bambang Susanto3) Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jln. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, Central Java, Indonesia. E-mail: 1)
[email protected] Abstrak—Studi ini membahas estimasi model volatilitas GARCH(1,1), dimana returns error berdistribusi normal, menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) yang merupakan salah satu alat bantu estimasi untuk model dengan parameter yang banyak. Metode adaptive random walk Metropolis yang efisien dikonstruksi dalam algoritma MCMC untuk membangkitkan nilai-nilai parameter model. Model dan metode diaplikasikan untuk kurs beli Japanese Yen (JPY) dan Euro (EUR) terhadap Rupiah (IDR) atas periode Januari 2009 sampai dengan Desember 2014. Hasil empiris menunjukkan bahwa volatilitas untuk returns
kurs beli JPY dan EUR adalah sangat berkorelasi, yang diindikasikan oleh jumlahan parameter yang mendekati 1. Dan berdasarkan kriteria Bayes faktor, hasil menunjukkan bukti sangat kuat untuk model GARCH(1,1) terhadap model ARCH(1). Kata Kunci: adaptive random walk Metropolis, GARCH(1,1), kurs beli, , MCMC, volatilitas
I.
PENDAHULUAN
Dalam aplikasi keuangan, volatilitas (simpangan baku) memainkan peranan penting dalam pengukuran resiko dari aset keuangan. Telah diakui pula bahwa volatilitas dari asset returns berubah terhadap waktu [9]. Salah satu model volatilitas yang mengakomodasi perubahan waktu yaitu model generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH). Dengan menotasikan sebagai asset returns, model volatilitas GARCH(p,q) dinyatakan seperti: ,
dengan menyatakan distribusi normal baku, dan volatilitas bernilai positif. Selanjutnya, kondisi stasioner disyaratkan oleh
untuk memastikan
Dalam banyak studi kasus keuangan, asset returns didefinisikan sebagai persentase dari perubahan logaritma natural harga asset. Dalam studi ini digunakan mean-corrected returns yang didefinisikan seperti:
dengan adalah harga asset pada waktu . Returns sering digunakan daripada data runtun harga asset karena returns mempunyai sifat statistik yang menarik dibandingkan runtun harga asset [2]. Studi ini bertujuan untuk mendapatkan model volatilitas GARCH(1,1) yang sesuai untuk returns kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai dengan Desember 2014 serta membandingkan hasil estimasinya dengan model volatilitas ARCH(1). Disini estimasi untuk parameter model diselesaikan dengan menggunakan metode MCMC.
443
ISBN. 978-602-73403-0-5
II. A.
METODE PENELITIAN
Model Volatilitas GARCH(1,1) dan Inferensi Bayes Banyak studi kasus empiris telah menunjukkan bahwa model GARCH(1,1) dapat mengakomodasi sifat-sifat volatilitas runtun waktu dengan baik [8]. Oleh karena itu, penelitian ini difokuskan pada model volatilitas GARCH(1,1) untuk returns yang dituliskan seperti berikut: , , Dengan mengambil pemisalan model di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
dan
, fungsi likelihood untuk
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam estimasi marginal likelihood yang digunakan untuk menghitung Bayes faktor dan juga untuk inferensi Bayes. Berdasarkan teorema Bayes, distribusi posterior gabungan dinyatakan oleh (1) dengan B.
adalah distribusi prior untuk .
Estimasi MCMC untuk model volatilitas GARCH(1,1) Prosedur dasar dari metode MCMC dijelaskan sebagai berikut. Pertama, dibangkitkan bilangan-bilangan acak dari persamaan (1) menggunakan teknik yang menghasilkan rantai Markov. Kedua, setelah pengambilan bilangan acak, diaplikasikan metode Monte Carlo untuk meringkas distribusi posterior dari parameter sebagai keluaran MCMC, yaitu:
dengan g bilangan acak pertama dari rantai Markov dihapus. C.
(i) (ii)
Adaptive Random Walk Metropolis Salah satu dari metode MCMC yang paling banyak digunakan yaitu random walk Metropolis (RWM) [1] mengusulkan metode adaptive RWM (ARWM) yang memperbaiki efisiensi dari metode RWM. Dimisalkan adalah barisan bilangan riil. Berikut ini adalah algoritma ARWM: Algoritma dimulai dari nilai awal dan . Diandaikan bahwa saat waktu , diketahui dan . a. Dibangkitkan proposal , dimana , dan . b. Dihitung rasio Metropolis:
dan ditetapkan c. Jika (iii)Dimisalkan
, maka dan dihitung:
Jika , maka ini ditetapkan
; jika tidak, maka
. Sedangkan jika
.
tidak, maka
. Dalam studi
dengan dipilih agar laju penerimaan mendekati 0,44 [7]. Pemilihan skala parameter memiliki pengaruh yang besar pada perubahan nilai proposal. Secara intuitif, jika sangat kecil, maka pergerakkan hasil algoritma juga kecil. Di sisi lain, jika sangat besar, maka pergerakan hasil algoritma juga besar yang mengakibatkan proposal akan ditolak. III. A.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Pengamatan
444
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR atas periode Januari 2000 sampai dengan Desember 2014 yang terdiri dari 1471 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab2009a. Pada Gambar 1 disajikan plot runtun waktu untuk returns, sedangkan statistik deskriptif diberikan pada Tabel 1. JPY
EUR
5
4
4
3
3
2
2
Nilai Tukar
Nilai Tukar
1 1 0
0 -1
-1 -2
-2
-3
-3 -4
0
500 1000 W aktu
-4
1500
0
500 1000 W aktu
1500
GAMBAR 1. GRAFIK RETURNS KURS BELI JPY DAN EUR TERHADAP IDR DARI JANUARI 2009 SAMPAI DESEMBER 2014.
TABEL 1.STATISTIK DESKRIPTIF DARIRETURNS HARIAN UNTUK KURS BELI JPY DAN EUR TERHADAR RUPIAH DARI JANUARI 2009 SAMPAI DESEMBER 2014.
Mata Uang
Mean
SD
JB Test (normalitas)
LB Q test (autokorelasi)
JPY
– 0,004
0,363
tidak normal
tidak ada korelasi
EUR
0,000
0,294
tidak normal
tidak ada korelasi
B.
Pengaturan MCMC Untuk estimasi parameter, simulasi MCMC diinisialisasi oleh , , , dan dikerjakan dengan 15000 iterasi, dimana 5000 bilangan acak pertama dihilangkan. Dengan menggunakan 10000 bilangan acak berikutnya, dihitung rata-rata posterior, simpangan baku, 95% interval highest posterior density (HPD), dan diagnosa konvergensi. Di sini HPD dihitung menggunakan metode dari [4]. Sementara itu, analisis seberapa cepat konvergensi dari metode MCMC, artinya berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua sampel yang saling bebas, didasarkan pada integrated autocorrelation time (IACT), lihat [6].
C.
Estimasi Parameter Hasil estimasi model GARCH(1,1) untuk returns kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR berturut-turut diringkas pada Tabel 2 dan 3. Plot nilai-nilai parameter , dan dari MCMC untuk data kurs beli JPY dan EUR ditampilkan berturut-turut pada Gambar 2 dan 3. Pertama, IACT mengindikasikan bahwa algoritma ARWM yang diaplikasikan dapat mengestimasi semua parameter dengan handal. Kedua, diperoleh bahwa nilai-nilai parameter pada model yang mengadopsi data JPY dan EUR adalah serupa. Model volatilitas untuk returns dari kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR berturut-turut dinyatakan dengan persamaan:
Mengikuti interpretasi dari Chan (2010), hasil menunjukkan bahwa volatilitas untuk returns kurs beli JPY dan EUR adalah sangat berkorelasi, yang diindikasikan oleh jumlahan parameter yang mendekati 1. Plot nilai-nilai volatilitas untuk returns kurs beli JPY da EUR ditampilkan berturut-turut pada Gambar 4. Terakhir, berdasarkan kriteria log faktor Bayes dan mengikuti interpretasi dari [10] diperoleh adanya bukti sangat kuat untuk data JPY dan data EUR terhadap penggunaan model GARCH(1,1) dibandingkan dengan model ARCH(1), lihat Tabel 6. Di sini marginal likelihood diestimasi menggunakan metode dari [11].
445
ISBN. 978-602-73403-0-5
TABEL 2. HASIL ESTIMASI MODEL GARCH(1,1) UNTUK RETURNS KURS BELI JPY TERHADAP IDR. LB DAN UB MENYATAKAN BERTURUT-TURUT BATAS BAWAH DAN BATAS ATAS DARI 95% INTERVAL HPD.
Parameter omega alfa beta Mean 0,020 0,087 0,890 SD 0,007 0,018 0,024 LB 0,007 0,054 0,845 UB 0,036 0,121 0,932 IACT 236,523 268,907 278,992 Marginal Log Likelihood = -1753,56 Waktu komputasi = 10,200 detik TABEL 3. HASIL ESTIMASI MODEL GARCH(1,1) UNTUK RETURNS KURS BELI EUR TERHADAP IDR. Parameter omega alfa beta Mean 0,020 0,065 0,892 SD 0,008 0,014 0,028 LB 0,006 0,040 0,833 UB 0,038 0,095 0,937 IACT 295,038 216,980 329,871 Marginal Log Likelihood = -1484,94 Waktu komputasi = 10,712 detik TABEL 4. RINGKASAN ESTIMASI MODEL ARCH(1) UNTUK RETURNS KURS BELI JPY TERHADAP IDR. Parameter omega alfa Mean 0,528 0,269 SD 0,027 0,048 LB 0,477 0,182 UB 0,581 0,370 IACT 11,242 7,927 Marginal Log Likelihood = -1788.98 Waktu komputasi = 5,805 detik TABEL 5. RINGKASAN ESTIMASI MODEL ARCH(1) UNTUK RETURNS KURS BELI EUR TERHADAP IDR. Parameter omega alfa Mean 0,373 0,194 SD 0,018 0,039 LB 0,338 0,122 UB 0,412 0,271 IACT 13,744 15,102 Marginal Log Likelihood = -1496,45 Waktu komputasi = 5.783 detik
Pos terior draws of 0.06
0.05
Pos terior draws of 0.18
Pos terior draws of 0.94
0.16
0.92
0.14
0.9
0.12
0.88
0.1
0.86
0.08
0.84
0.06
0.82
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
5000
10000
0.04
0
5000
GAMBAR 2. PLOT NILAI-NILAI PARAMETER UNTUK
, DAN BELI JPY
446
10000
0.8
0
5000
10000
DARI HASIL MCMC UNTUK RETURNS KURS
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
Pos terior draws of 0.06
Pos terior draws of 0.14
0.05
0.12
0.04
0.1
Pos terior draws of 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88
0.03
0.08
0.02
0.06
0.01
0.04
0.86 0.84 0.82 0.8 0
0
5000
10000
0.02
0
5000
GAMBAR 3. PLOT NILAI-NILAI PARAMETER UNTUK
, DAN BELI EUR
10000
0.78
0
5000
10000
DARI HASIL MCMC UNTUK RETURNS KURS
Hasil Volatilitas JPY Model GARCH 3.5
3
Volatilitas
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0
500
1000
1500
Waktu Hasil Volatilitas EUR Model GARCH 1.6
1.4
Volatilitas
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
500
1000
1500
Waktu
GAMBAR 4.PLOT RUNTUN WAKTU VARIANSI UNTUK RETURNS KURS BELI JPY DAN EUR TERHADAP IDR DARI JANUARI 2009 SAMPAI DESEMBER 2014.
TABEL 6. NILAI LOG MARGINAL LIKELIHOOD DAN FAKTOR BAYES DARI MODEL GARCH(1,1) TERHADAP ARCH(1).
JPY EUR
ARCH(1) -1788.98 -1496,45
GARCH(1,1) -1753,56 -1484,94
Log faktor Bayes 35,42 11,51
IV. SIMPULAN Studi ini menyajikan algoritma MCMC yang mengkonstruksi metode ARWM yang efisien untuk mengestimasi parameter-parameter dalam model volatilitas GARCH(1,1) yang tidak bisa
447
ISBN. 978-602-73403-0-5
diperoleh secara langsung. Kriteria log faktor Bayes menunjukkan bukti sangat kuat bahwa model volatilitas GARCH(1,1) lebih baik dibandingkan dengan model volatilitas ARCH(1) untuk kasus kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR. Lebih lanjut model bisa dikembangkan dengan menggunakan distribusi tak normal untuk returns error. DAFTAR PUSTAKA [1] Atchade, Y.F. & Rosenthal, J.S. 2005. On adaptive Markov chain Monte Carlo algorithms. Bernoulli 11(5), 815-828. Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa. [2] Campbell, J.Y., Lo, A.W., & MacKinlay, A.C. (1997). The econometrics of financial markets. Princeton University Press, New Jersey. [3] Chan,N.H. (2010). Time series: Applications to finance with R and S-Plus, Second edition. John Willey & Sons. [4] Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 69–92. [5] Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), 169–194. [6] Geweke, J. (2005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons. [7] Roberts, G.O. & Rosenthal, J.S. 2006. Example of Adaptive MCMC. Technical Report Series No. 0610. University of Toronto Department of Statistics. [8] Takaishi, T. 2009. An adaptive Markov Chain Monte Carlo Method for GARCH Model. Journal. Hiroshima University of Economics, Japan [9] Takaishi, T., & Chen, T.T.. 2012. Bayesian Inference of the GARCH model with Rational Errors. Internasional Conference on Economics, Business and Marketing Management, IPEDR vol. 29. Hiroshima University of Economics, Hiroshima 731-0192 Japan. [10] Kass, R. E., & Raftery, E.A.. 1995. Bayes Factors. Journal of the American Statistical Association, vol. 90, No. 430, 773-795. American Statistical Association. [11] Gelfand, A. E. & Dey, D.K.. 1994. Bayesian model choice: asymptotics and exact calculation. Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 56 (3), 501-514.
448
