ESTIMASI BERBASIS MCMC UNTUK RETURNS VOLATILITY DI PASAR VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH Imam Malik Safrudin.1), Didit Budi Nugroho2)dan Adi Setiawan2) Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana e-mail: 1)
[email protected], 2)
[email protected],3)
[email protected]
1),2), 3)
Abstrak Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk mengestimasi returns volatility dalam model ARCH, dimana returns error berdistribusi normal. Metode Metropolis–Hastings digunakan dalam MCMC untuk membangkitkan sampel-sampel parameter model. Model dan algoritma diaplikasikan pada data harian kurs beli Japanese Yen (JPY), US Dollar (USD), dan Euro (EUR) terhadap Rupiah pada periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014. Hasil empiris menunjukkan bahwa algoritma yang dibangun menghasilkan simulasi yang sangat efisien. Estimasi parameter yang diperoleh adalah serupa dengan hasildarimenggunakanfungsi GARCH yang tersediadi Matlab. Lebih lanjut ditunjukkan bahwa volatility kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah mempunyai titik ekstrim berturut-turut di bulan April 2013, Februari 2009, dan September 2011. Kata Kunci: ARCH, kurs beli, MCMC, t-Student, volatility return 1. PENDAHULUAN Pemodelan volatility pada returns asset merupakan salah satu dari sekian banyak topic dalam dasar teori runtun waktu ekonomi keuangan. Model returnsvolatility yang mulamula yaitu autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkanoleh Engle (1982). Menurut Jones dan Wilson (1989) volatility mempresentasikan perubahan harga asset atau representasi harga aset. Pelaku ekonomi mengukur dan memprediksi volatility sebagai indikator utama, karena nilai-nilai yang lebih tinggi menyiratkan kesempatan yang lebih tinggi dari suatu perubahan harga aset yang besar. Kebanyakan studi keuangan melibatkan returns dari pada harga asset karena returns memiliki sifatstatistik yang lebih menarik (menurut Campbell dkk. dalamTsay (2010)). Mukhlis (2011) dan Nastiti (2012) sudah mendiskusikan model ARCH berturut-turut pada returns kurs Rupiah terhadap dolar dan returns saham yang berdistribusi normal, dimana Nasititi (2012) menyelesaikan model menggunakan metode pengali Lagrange. Dalam studi ini akan difokuskan pada model volatility menggunakan ARCH yang
mengasumsikan bahwa returns berdistribusi normal untuk returns error. Dalam hal ini model diestimasi dengan menggunakan metodel MCMC. Carlin dan Chib (1995) menjelaskan bahwa metode MCMC memudahkan penyelesaian model yang cukup kompleks dalam analisis Bayes. Studi empiris dari model volatility dilakukan dengan menggunakan data pergerakan kursbeli EUR, JPY, dan USD terhadap Rupiah atas periode harian dari tanggal 5 Januari 2009 sampai 31 Desember 2014. 2. MODEL RETURNS VOLATILITY Dalam naskah keuangan akademik, returns didefinisikan sebagai persentase perubahan logaritma harga aset (Tsay, 2010): , ( ) ( )untuk . Selanjutnya model ARCH(1) untuk returnsvolatility dinyatakan seperti: ( ) ,
dengan , returns tidak berkorelasi.
dan diasumsikan
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
29
3. METODE MCMC UNTUK RETURNS VOLATILITY Menurut Casella dan Berger (2002), MCMC merupakan suatu metode untuk membangkitkan peubah-peubah acakyang didasarkan pada rantai markov. Langkahlangkah yang harus dilakukan dalam implementasi metode MCMC melibatkan dua langkah (Nugroho, 2014), yaitu membangun rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas distribusi posterior pada parameter sebagai keluaran MCMC. ( ) Dimisalkan dan ( ). Berdasarkan Teorema Bayes (lihatKoop dkk.(2007)), distribusi gabungan untuk model di atas yaitu ( | ) ( | ) ( ) dimana ( | ) adalah fungsi likelihood ) dan ( adalah distribusi prior ( ). pada Untuk memenuhi kendala parameter a dan b, ditetapkan prior seperti berikut: ( ) ( ) Maka dipunyai distribusi gabungan yaitu ( | ) ∏
{ (
(
+
) )
(
8
(
∏
*
}
)
)
*
+
(
9 {
}
(
)
(
)
∑ Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.Karenaitua dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain Metropolis–Hastings (IC-MH) yang diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti berikut: Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu ) ( -( Langkah 2: Menghitung rasio ( | ) ( ) ( | ) Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi seragam , -. * ( )+, maka Langkah 4: Jika proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak. Rata-rata dan variansi dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkahlaku distribusi di sekitar modus (lihat Albert (2009)). Modus ̂ ( ̂) dari ( ), artinya , dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya , ( ̂)- . diambil ̂ dan ( ̂) Masalahnya adalah bisa bernilai positif, , ( ̂)- dengan karena itu diambil * ( ̂) ( ̂)+. Pembangkitan nilai parameter b Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk b dinyatakan oleh ( ) ( | ) ( ) ( ) (
∑
)
)
∑ )
(
) (
)
(1)
Pembangkitan nilai parameter a Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk a dinyatakan oleh ( ) ( | )
30
(
∑
∑ (
)
)
Atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh ( | ) ( ) ∑
(
(
)
(
) (
),
yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan nilai parameter a.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika Abad 21”
Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu (i) Inisialisasi a dan b. (ii) Membangkitkan sampel a dengan metode IC-MH. (iii) Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH. (iv) Menghitung variansi (volatility kuadrat): . 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Pengamatan Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), danUS Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 2012 a. Gambar 1 menampilkan plot runtun waktu untuk returns dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptif. JPY kurs beli
2 0 -2
0
500
1000
1500
1000
1500
1000
1500
USD kurs beli
2
0.000
normal tidak normal
asi tidakada korelasi
4.2 Pengaturan MCMC Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitung rata-rata posterior, simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error (NSE), dan diagnose konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density (HPD)yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time (IACT), lihat Geweke (2005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas (seberapa cepat konvergensi simulasi). Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke (1992) dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke (2005). Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana , , dan . Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan .
0 -2
0
500 EUR
2 kurs beli
EUR
5 0.29 4
0 -2
0
500 waktu
Gambar 1. Plot runtun waktu returns harian untuk kursbeli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Tabel 1. Statistik deskriptif dari returns harian untuk kursbeli JPY, USD, dan EUR terhadar Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. LB Q Mat JB test a Test Mean SD (auto Uan (norm korelasi g alitas) ) 0.36 tidak tidakada JPY –0.004 3 normal korelasi USD –0.004 0.21 tidak adakorel
4.3 Estimasi Parameter Tabel 2, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH (1) berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah. p-value yang berasosiasi dengan Geweke‟ sconvergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilainilai IACT menunjukkan bahwa metode ICMH adalah sangat efisien. Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kursbeli JPY terhadap Rupiah. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan bata satas interval HPD 95%. Parameter a b Matlab 0.0994 0.2619 Mean 0.1022 0.2548 SD 0.0050 0.0464 LB 0.0928 0.1648 UB 0.1121 0.3446
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
31
IACT 1.4620 NSE 0.0000 G-CD 0.0036 p-value 0.9971 CPU time (detik): 131.14
1.2613 0.0005 0.0648 0.9484
b
a 0.12
0.4
0.1 0.2
0.08 0
5000
10000
0.03
5000
10000
0
5000
10000
0
5000
10000
0.025 0.5
0.02 0
Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadap Rupiah. Parameter a b Matlab 0.0237 0.6532 Mean 0.0244 0.6255 SD 0.0012 0.0682 LB 0.0220 0.4903 UB 0.0267 0.7547 IACT 1.0000 1.0000 NSE 0.0000 0.0006 G-CD –0.0036 –0.0260 p-value 0.9971 0.9792 CPU time (detik): 137.72
0 1
5000
10000 0.4
0.08 0.2
0.07 0.06
0
5000
10000
0
Gambar 2. Plot sampel untuk parameter a dan b pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. a
b
1500
1500
1000
1000
500
500
0 0.05
0.1
0.15
1500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.1
0.2
0.3
0.4
1000
1000 500 500
Tabel 4. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap Rupiah Parameter a b Matlab 0.0704 0.1878 Mean 0.0713 0.1900 SD 0.0030 0.0372 LB 0.0650 0.1186 UB 0.0771 0.2630 IACT 1.0000 1.0000 NSE 0.0000 0.0004 G-CD –0.0159 0.0047 p-value 0.9873 0.9962 CPU time (detik): 148.27 Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar 2 dan Gambar 3. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik (good mixing).
32
0 0.015
0.02
0.025
0.03
1000
1500 1000
500 500 0 0.06
0.07
0.08
0.09
0
0
Gambar 3. Histogram distribusi posterior parameter a dan b pada model ARCH (1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Terkait dengan estimasi parameter, hasil menunjukkan bahwa nilai estimasi a dan b serupa dengan hasil yang diperoleh dari penggunaan fungsi garch (p,q) di Matlab. Rata-rata posterior untuk variansi (volatility kuadrat) returns disajikan dalam Gambar4. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah berturut-turut yaitu 0.102–0.984, 0.024– 1.080, dan 0.071–0.430, dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, 0.088. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode April 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika Abad 21”
JPY 1
2t
0.5 0
0
500
1000
1500
1000
1500
1000
1500
USD 2
2t
1 0
0
500 EUR
0.5
2t 0
0
500 waktu
Gambar 4. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:
5. KESIMPULAN Studi ini menyajikan model ARCH (1) untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bahwa rata-rata volatility untuk returns kurs beli JPY adalah yang tertinggi. Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi tak normal untuk returns error. Selain itu, model bisa diperluas ke model GARCH. 6. REFERENSI 1. Albert, J. (2009). Bayesian computation with R, 2nd ed., Springer. 2. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via Markov chain Monte Carlo methods, Journal of The Royal Statistical Society, 57 (3), 473–484. 3. Casella, G. dan Berger R., L. (2002). Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury.
4. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 69–92. 5. Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, 987– 1007. 6. Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. DawiddanA. F. M. Smith), 169–194. 7. Geweke, J. (2005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons. 8. Jones, C. P., and Wilson, J. W. (1989). Is stock price volatility increasing?, Financial Analysts Journal, 45(6), 20–26. 9. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. (2007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York. 10. Muklis, I. (2011). Analisis volatilitas nilai tukar mata uang Rupiah terhadap dolar. Journal of Indonesian Apllied Economics, 5 (2), 172–182. 11. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (2012). Analisis volatilitas saham perusahaan go public dengan metode ARCHGARCH. Jurnal Sains dan Seni ITS, 1, (1), D259D264. 12. Nugroho, D. B. (2014). Realized stocastic volatility model using generalized student’s t-error distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 13. Tierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22(4), 1701–1762. 14. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York.
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
33
