1
Egy ismerős fizika - feladatról Az interneten találtuk az [ 1 ] könyvet, benne egy ismerős fizika - feladattal – 1. ábra.
1. ábra – forrása: [ 1 ] A feladat szerint beleejtünk egy kútba / aknába egy követ, megmérjük a kő elengedésétől a becsapódási hang megérkezéséig eltelt t időt, majd a c hangsebesség és a g nehézségi gyor sulás nagyságának ismeretében meghatározzuk a kút x mélységét. Az ismert(etett) megol dás szerint a t idő két részből áll: ~ a kőnek a kút / akna aljáig történő esése t1 idejéből, valamint ~ a csobbanás / koppanás hangja fülünkbe érkezésének t2 idejéből: (1) A Fizika tanítása szerint: ~ a kezdősebesség nélküli szabadesési út hossza lefelé: (2) ~ a csobbanási hang által megtett út hossza felfelé: (3) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) szerint: (4) Számadatok: t = 20 s ; c = 333 m / s ; g = 10 m / s2 .
(a)
2
Majd ( 4 ) és ( a ) - val a megoldandó egyenlet: (5) Az ( 5 ) egyenletet átalakítások után x - re kellene megoldani, a másodfokú egyenlet középiskolában tanult megoldó - képletével. Ez két valós pozitív gyököt szolgáltatna, melyek két tizedesre kerekített értéke: ( e1,2 ) Minthogy első látásra mindkettő értelmes eredmény – bár ( e1 ) kicsit nagynak tűnik – , még el kellene dönteni, hogy melyik az igazi, hiszen a kútnak / aknának csak egy mélysége van. Ezt az eredeti ( 5 ) egyenletbe való visszahelyettesítéssel dönthetnénk el: így ez nem lehetne a megoldás; tehát ez lenne a megoldás: (e) Ezeket eddig is tudtuk. Ám valakinek új lehet, hogy a másodfokú egyenlet megoldása el kerülhető, ha az ( 5 ) egyenletet grafikusan / numerikusan oldjuk meg – 2. ábra.
2. ábra
3
A 2. ábra bal oldalán leolvasható, hogy az ( 5 ) egyenlet jobb és bal oldalának megfelelő két függvény görbéjének metszéspontjára: x = 1296,91376095 ( m ) , ami kerekítés után az ( e ) eredményt adja. Természetes, hogy ehhez rendelkezni kell egy alkalmas, használható szoftverrel. Itt ez a Graph volt, melyet bárki ingyenesen letölthet az internetről, használatát pedig könnyen elsajátíthatja. Ez egy ismert típusfeladat volt, melyet mindannyian tanultunk. Eléggé más lehet a helyzet, ha egy feladat megoldása során nem másodfokú, hanem például magasabb fokú algebrai egyenlet adódik. Ennek képlettel történő megoldása már jóval macerásabb lehet, és sokkal könnyebb eltéveszteni is. Ezzel szemben a grafikus megoldás szemléletes, számítógéppel dolgozva pontos is, valamint a gyakorlatban előálló esetekben szinte mindig megbízhatóan működik. A számításokkal töltött sok - sok év során gyakran megesett, hogy nem erőltettük az anali tikus megoldást, hanem grafikus, illetve numerikus megoldást kerestünk / találtunk. Ennek során sok információ elveszhetett, azonban mégis tudtunk valami konkrétumot is mondani, nem csak bonyolult és / vagy megold(hat)atlan egyenleteket hagytunk magunk után. A most átismételt fizika - feladat ez utóbbi, lényegesnek tartott mondanivalónk kifejtésére is jó alkalmat adott. Az eddig nem részletezett számítást és annak végeredményét a Függelékben közöljük. Szerencse fel! Függelék Kiindulunk ( 4 ) - ből: ( F1 ) rendezve:
az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:
a bal oldalon elvégezve a kijelölt műveletet:
4
megint rendezve:
kiemeléssel: beszorzással: ( F2 ) Az ( F2 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva: egyszerűsítve:
a négyzetgyök alatti mennyiséget átalakítva:
kiemeléssel: ezzel a megoldás: kiemeléssel:
( F3 ) Az ( F3 ) - ban szereplő + / – előjel közötti döntést a már látott módon elvégezve kapjuk a végeredményt:
( F4 )
5
Erről azonnal leolvasható, hogy az x mélység a mért t időnek nem lineáris függvénye. Ez a tény rögtön eloszlatja azt a tévhitet, miszerint ennél a problémánál is úgy kell eljárni, mint a villámlásnál. Látjuk, hogy az időnek és a hangsebességnek a szorzata csak a mély ség egyik részét teszi ki. Eszerint máris belátható, hogy volt értelme az eredeti egyenlet átalakításaival bajlódva zárt alakú megoldást keresni és találni. Ugyanis ezzel olyan alap vető információkhoz jutottunk, amilyenekhez a numerikus megoldás útján nem, vagy csak sok többlet - munkával juthatnánk. Ezért van az, hogy mindig igyekszünk a problémánkra zárt alakú megoldást találni, hacsak lehetséges ez. Az ( F4 ) összefüggést az ( a ) adatokkal a 3. ábra mutatja.
3. ábra
Forrás: [ 1 ] – Oscar Hoppe: Elementares Lehrbuch der Technischen Mechanik Verlag von Arthur Felix, Leipzig, 1894., 29. o.
6
vagy: https://ia600209.us.archive.org/23/items/elementareslehr01hoppgoog/elementareslehr01ho ppgoog.pdf
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. 08. 01.
