Mechanika
(FBL101E-1)
Fizika tanári minor_L + Fizika BSc_L
20+10 óra Előadó: Dr. Geretovszky Zsolt
[email protected] , 54-4659
Gyakorlatvezető: Dr. Horváth Zoltán
[email protected] , 54-4528
http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html Oktatás/Kurzusok menüpont
Előadás
20 óra/félév
2010. szeptember 17. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem
2010. október 1. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem
2010. október 15. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem
2010. november 5. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem
2010. november 19. P: 14-18
Fröhlich Pál tanterem
Gyakorlat
10 óra/félév Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem Fröhlich Pál tanterem
2010. november 19. P: 12-14
Fröhlich Pál tanterem
ZH
Információk A követelmények ismertetése. A kurzus segédanyagai a http://opt.physx.u-szeged.hu/indexh.html internetcímen az Oktatás/Kurzusok link alatt találhatóak meg. Ajánlott irodalom a mechanika részhez: - Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó (könyvtár, antikvár) - Erostyák János, Litz József: A fizika alapjai, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 - Erostyák János, Litz József: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007 - Dialóg Campus Kiadó Általános Fizika sorozatának könyvei: Tasnádi Péter, Skrapits Lajos, Bérces György: Mechanika I. Tasnádi Péter, Bérces György, Skrapits Lajos, Litz József: Mechanika II. Hőtan A világhálón fellelhető anyagok legtöbbször NEM lektoráltak!!
Követelmények A gyakorlaton való részvétel kötelező. A vizsgára bocsáthatóság feltétele a gyakorlat sikeres (legalább elégséges (2)) teljesítése. A kollokvium írásbeli beugró dolgozatból és szóbeli vizsgából áll. A beugró dolgozat megírására 50 perc áll rendelkezésükre. A beugró kérdések 4 témakörből kerülnek ki. A beugró akkor sikeres, ha MINDEN (!!!) témakörből megszerezik az adható pontok legalább 50%-át. A beugró kérdéssora, valamint a tételsor a tanszéki honlapról letölthetőek: http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html
A fizikai mennyiség x={x}[x]
(számérték)(mértékegység)
A mértékegység az azonos fajtájú mennyiségek halmazából kiválasztott vonatkoztatási mennyiségérték. Etalon: valamely mennyiség mértékegységét reprodukálható módon megtestesítő mérőeszköz. Koherens mértékegységrendszer: a mértékegységek zöme néhány definiált alapmennyiség egységeiből származtatható.
Egy fizikai mennyiség definíciójával szemben támasztott a legfontosabb követelmény az, hogy egyértelműen megállapítható legyen belőle, hogy az illető mennyiséget hogyan kell mérni.
Milyen a jó mértékegység? Elvileg a fizikai mennyiségekhez tetszőleges mértékegységet hozzárendelhetünk. •
Azonban a mértékegységeket célszerű úgy megválasztani, hogy segítségükkel a mindennapi élet tapasztalatai egyszerűen kifejezhetők legyenek.
•
Továbbá az egységet időtálló módon rögzíteni a mértékegységeket lehetőleg természeti állandókra vagy jól reprodukálható jelenségekre kell alapítani, és a lehető legnagyobb körben egyezményesen elfogadtatni.
A mérés és hibája A mérés: a mérendő mennyiségnek az adott mennyiség egységével (etalonjával) történő összehasonlítása.
Az abszolút hiba: x±∆x
A relatív hiba: ∆x/x
A mértékegységek megválasztása (kellő mérési pontosság, időtállóság, kezdetben emberi lépték)
Dimenzionális homogenitás • A mértékegységredszer transzformációjával szembeni szimmetria. Az egyenletek ezen tulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti: “Egy egyenletben szereplő minden tag dimenziójának azonosnak kell lennie.“ • Az egyenletek felbonthatók külön a mérőszámok és külön a mértékegységek közötti kapcsolatokra. • pl. az x3=ax1α1x2α2 egyenlet azt jelenti, hogy {x3}[x3]={a}[a]{x1}α1[x1]α1{x2}α2 [x2]α2, azaz egyszerre kell teljesüljön, hogy {x3}={a}{x1}α1{x2}α2 és [x3]=[a][x1]α1[x2]α2, azaz a mértékegységek egymástól nem függetlenek. • A természettörvények objektívek, az őket leíró egyenletekben szereplő mennyiségek számértéke függ az etalon illetve a zéruspont megválasztásától, azaz szubjektív. • Pl. F = ma egyenletben a fizikai mennyiségek közötti kapcsolat független a választott mértékegységtől. • A mértékegységet csak akkor kell megadni, ha a képletben egy mértékegységgel rendelkező konstans is szerepel. • Dimenzióanalízis • Dimenzió nélküli kifejezések (sin (); e(); stb.)
Mértékrendszerek • •
• • • • • • • • • •
1799. június 22 az első tízes alapú mértékrendszer (Decimal Metric System); az első platina méter és kilogram etalonok elhelyezése a párizsi Archives de la Républiqueban. 1832. Gauss megalkotja az első koherens mértékrendszert, melyben a kg-hoz és a m-hez hozzáveszi a csillagászatból vett másodpercet. Gauss meghatározza a Föld mágneses terének erősségét a milliméter, gramm and másodperc egységek segítségével. 1860-as évek Maxwell és Thomson javasolja, hogy a koherens mértékrendszer álljon alap és származtatott mértékegységekből. 1874 bevezetik a CGS rendszert, mely három mechanikai egységen a centiméteren, a gramon és a másodpercen alapul és a prefixumok közül bevezetik a mikrotól a megáig terjedőket. 1875 május 20. Méter Konvenció, feladata az új méter és kilogram etalonok kidolgozása. 1889 életbe lép az MKS rendszer az új méter és kilogram standardokkal és a bevezetésre kerülő csillagászati másodperccel. 1901 Giorgi bebizonyítja, hogy a mechanikai mértékegységekhez az ampert, vagy ohmot hozzáváve koherens 4 elemű mértékrendszer alkotható. 1921 a Méter Konvenció felülvizsgálata. 1939 az MKSA rendszer bevezetése: a negyedik mértékegység az amper lesz. 1954 bevezetésre kerül a kelvin és a candela , mint a termodinamikai hőmérséklet és a fényerősség egységei. 1960 A hat elemű mértékrendszer a Système International d’Unités (SI) nevet kapja. 1971 az anyagmennyiség mértékegységének, a molnak a bevezetésével teljessé válik a jelenleg is érvényes 7 tagú SI mértékrendszer.
http://physics.nist.gov/cuu/Units/introduction.html
Mars Polar Lander Spacecraft Dimensions 1.06 meters tall by 3.6 meters wide. Spacecraft Weight Total: 576 kg Propellant: 64 kg Mission Timeline 1993: Project started January 3, 1999: Launch December 3, 1999: LOST during landing Project Cost $110 million for spacecraft development, $10 million mission operations; total $120 million (not including launch vehicle or Deep Space 2 microprobes).
Az SI alap mértékegységei Mennyiség
Név
Jel
Hosszúság
méter
m
Tömeg
kilogram
kg
Idő
másodperc
s
Elektromos áram
amper
A
Termodinamikai hőmérséklet
kelvin
K
Anyagmennyiség
mol
Fényerősség
kandela
mol cd
Az SI alapegységei A hosszúság mértékegysége a méter, jele m. A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/299 792 458 másodperc alatt tesz meg. A tömeg mértékegysége a kilogramm, jele kg. A kilogramm a Sévres-ben őrzött tömegetalon tömege. A idő mértékegysége a másodperc, jele s. Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama. Az elektromos áramerősség mértékegysége az amper, jele A. Az amper olyan állandó elektromos áram erőssége, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen hosszúságú, elhanyagolhatóan kicsiny körkeresztmetszetű és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban levő vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként 2x10-7N erőt hozna létre. A termodinamikai hőmérséklet mértékegysége a kelvin, jele K. A kelvin a víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/273,16-szorosa. Az anyagmennyiség mértékegysége a mól, jele mol. A mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van 0,012kg szén-12 izotópban. A fényerősség mértékegysége a kandela, jele cd. A kandela az olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 540THz frekvenciájú monokromatikus fényt bocsát ki és sugárerőssége ebben az irányban 1/683-ad watt/szteradián.
SI prefixumok Faktor
Név
Jele
Faktor
Név
Jele
1024
yotta
Y
10-1
deci
d
1021
zetta
Z
10-2
centi
c
1018
exa
E
10-3
milli
m
1015
peta
P
10-6
mikro
µ
1012
tera
T
10-9
nano
n
109
giga
G
10-12
piko
p
106
mega
M
10-15
femto
f
103
kilo
k
10-18
atto
a
102
hekto
h
10-21
zepto
z
101
deka
da
10-24
yocto
y
Származtatott mértékegységek
A hosszúság • • •
•
1799: a Párizson áthaladó délkör hosszának 40 milliomod része (Cu mérőhasáb, „levéltári méter”) 1889: nemzetközi méter etalon platina-irídium (90/10) ötvözetből, „ősméter” (hiba 1µm, relatív hiba: 10-6) 1960: a kripton 86 izotóp egy átmenetének hullámhosszához rögzítik a métert 1 m = 1 650 763,73 λ0 mérési eljárást adtak meg, relatív hiba: 10-9 1983: A fény által vákuumban 1/299 792 458 másodperc alatt megtett út. (relatív hiba: 10-15)
http://www.bipm.org/en/si/history-si/evolution_metre.html
A délkör 10o-os szakaszának lemérése, 1791-1798
Paris
Jean Baptiste Joseph DELAMBRE 1749 - 1822
Pierre François André MÉCHAIN 1744 – 1804
Az ősméter #27, USA ca. 1875-1889 NIST Museum Collection 226,6
226,6
1020
Az ősmétert TRESCA francia fizikus tervezte, de a konstrukció kialakításában szerepe volt KRUSPÉR javaslatainak is. A jellegzetes, "X" keresztmetszetű szelvény 90% platina és 10% irídium ötvözetéből készült, így viszonylag kis lineáris hőtágulási együtthatóval rendelkezik. A rúd 1020 mm hosszúságú. A métert két, az ún. semleges síkra (a-a) a hossztengelyre merőlegesen felvitt, 8 mm szélességű főkarcok közötti távolság reprezentálja. E karcoktól 0,5 mm-re mindkét oldalon egy-egy segédvonás található, ezek a célzómikroszkópos optikai komparátor könnyebb beállíthatóságát segítik elő. A semleges sík középvonalában egy kettős karc húzódik (a két vonal távolsága 0,2 mm). Ezek tűzik ki az etalon tengelyvonalát (b ábra). Az ősmétert a legkisebb lehajlást eredményező, ún. Bessel-féle alátámasztási pontokon, azaz a végektől számítva a teljes hossz 2/9-ed részének megfelelő távolságban kell alátámasztani, legalább 10 mm átmérőjű görgőkkel (c ábra). 30 db méterrudat készítettek, melyek közül a 6. rúd karctávolsága esett a legközelebb a levéltári méter hosszához, így ez lett a nemzetközi méter-etalon, az "ősméter„. Az OMH a 14. sorszámút kapta ("nemzeti ősméter„), mely 1,3 µm-rel bizonyult rövidebbnek az alapmértéknél. http://www.sasovits.hu/anyag/meter/meter_sztori.htm
Hosszúságmérő eszközök Méterrúd, mérőszalag
Tolómérő nóniusz!
Csavarmikrométer
http://www.technologystudent.com/equip1/microm1.htm
Lézeres távolságmérés
... és még sok speciális megoldás.
Az idő •
1820: másodperc a közepes szoláris nap 1/86400 része
•
1956: A másodperc a tropikus év 1/31 556 925.9747-ed része 1900 január 0 12 óra efemeris idő szerint.
•
1968: Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 192 631 770 periódusának időbeli hossza.
•
1997: rögzítik, hogy a fenti definícióban az alapállapot 0 K kinetikus hőmérsékletű nyugvó Cs atomot jelent.
Érdekesség az időmérés történetéből • Decimális (!) idő mértékrendszer Kína, i.e. 1000 Franciaország, 1793. október 5.
Időmérő eszközök 1. Vízórák (i.e. 1400)
Homokórák
... és még sok egyéb leleményes megvalósítás.
Időmérő eszközök 2. Mechanikus óraszerkezetek (kilincskerék, kronométer 0,1s/nap) Kvarc alapú időmérés (1920-1940) 10-4s/nap
Időmérő eszközök 3. Atomórák – történeti áttekintés http://tf.nist.gov/cesium/atomichistory.htm – 1949: az első NH3 alapú (Isidor Rabi) – 1952: NBS-1, az első Cs alapú – 1955: az első, mely Cs nyalábot használ
– 1967: az SI másodperce atomórával definiált. – 1989: Norman Ramsey, Hans Dehmelt és Wolfgang Paul fizikai Nobel díjat kap
Atomórák folyt. – 1999: NIST-F1 atomi szökőkút elvű atomóra, pontosság (2005ben) 5 x 10-16 vagy 1 másodperc 60 millió évben
= mikrohullámú gerjesztés ~2x1s változó frekvenciával lézeres hűtés ~0K
fluoreszcencia
http://tf.nist.gov/timefreq/cesium/fountain.htm
http://tf.nist.gov/cesium/fountain.mpg
2004: Elkészül az első miniatűr atomóra
Steve Jefferts és Dawn Meekhof a feltalálók
Atomórák pontossága
GPS Global Positioning System = globális helymeghatározó rendszer 1978-1985 „felépül” az ameriaki NAVSTAR (Navigation System for Timing and Ranging) rendszer első fázisa (11 műhold) 1982 pályára áll az orosz GLONASS rendszer első műholdja 1995 24-re bővül a NAVSTAR műholdak száma 2007 Az EU saját rendszer kiépítése mellett dönt (Galileo: várható befejezés 2010 (2013)) Kezdetben a rendszer pontatlanságát az SA (selective availability) bekapcsolt állapotában mesterségesen megnövelték ±100 m-re. Az SA-t 2000. május 1-én minden műholdon kikapcsolták, ezáltal a poziciók pontossága kb. 10 méter. (évenkénti megújítás!)
NAVSTAR tszfm: 20183km A legmodernebb műhold ...
... és annak egyik Rb-atomórája. http://www.kowoma.de/en/gps/
A GPS működési elve
A trilateráció, vagy a 3 pontú helyzetmeghatározás Három egymást metsző gömb felületének két pontja közös. Általában a két metszéspont közül csak az egyik reális. Ha tehát az autó GPS-e ismeri legalább három műhold pontos helyzetét és az azoktól mért pontos távolságát, akkor meg tudja állapítani saját térbeli helyét.
A GPS működése 1/2
Angol: http://www.trimble.com/gps/index.shtml Magyar: http://ismeret.virtus.hu/?id=detailed_article&aid=73061
Ha a vevőegységnek +0,5s hibája van:
Az ideális 1 metszéspont helyett (A pont), 3 metszéspontot (B pontok) kapunk.
... kell egy negyedik műhold.
A GPS működése 2/2
Hibaforrás
Mérték
Ionoszféra
±5m
Ephemeris errors
± 2.5 m
Műhold órája
±2m
Többszörös visszaverődés
±1m
Troposzféra
± 0.5 m
http://www.kowoma.de/en/gps/errors.htm http://www.trimble.com/gps/index.shtml
A kilogramm • A harmadik, a mechanika szempontjából fontos SI alapegység. • A Súlyok és Mértékek Nemzetközi Irodájában őrzött platinairídium henger tömegével egyenlő. (Az egyetlen SI-alapegység, amelyiknek a definíciója még mindig etalonon, és nem valamilyen alapvető fizikai állandón alapszik.)
Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvényszerűségek megismerése, az azt leíró törvények felállítása. (Galilei és Newton érdemei)
Galileo GALILEI 1564–1642
Sir Isaac NEWTON 1643–1727
Kinematika
Dinamika
a mozgás leírásával foglalkozik
a mozgás okát keresi
tömegpont → pontrendszer → merev test → deformálható test
Az anyagi pont kinematikája, alapfogalmak tömegpont: a vizsgált jelenségek szempontjából kiterjedés nélkülinek tekintett/tekinthető test (idealizáció) A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik • vonatkoztatási rendszer: a tömegpont helyzetének és mozgásának leírásához használt rögzített viszonyítási pontok • helyvektor: a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz mutató vektor • pálya: a vonatkoztatási rendszer azon pontjai, melyeken az anyagi pont mozgása során áthalad • út: a pálya két pontja közötti ívhossz (skalár) • elmozdulás vektor: a test korábbi helyzetéből egy későbbi helyzetébe mutató irányított szakasz (vektor)
a pálya relatív: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/relativ1.html
Egyenes vonalú egyenletes mozgás Egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlő időközönként egyenlő utakat tesz meg.
x0 = x(t = t0 )
x = x(t )
x − x0 = v(t − t0 )
v=
∆x = v∆t
∆x ∆t
a sebesség SI mértékegysége a m/s
a sebesség mérése:
(Video: MIT Physics Demo_Speed of a Bullet.mp4 http://www.youtube.com/watch?v=izZxTn0T2NY
Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás EVEM („Kísérlet”: Mikola-cső)
35
25
5
20
4
15
3
a=0
30
15
2
a [m/s ]
20
v [m/s]
s [m]
25
10
2
10
s0 = s(t=0) = 10 m
5 0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
t [s]
s = s0 + v0t
1,0
5 0 0,0
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t [s]
v = áll.
0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
t [s]
a=0
Az út-idő görbe meredeksége a sebesség nagysága. A sebesség-idő görbe alatti terület nagysága a megtett utat adja.
1,0
)
A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásnál Egydimenziós probléma: Elmozdulás:
x = x (t )
∆ x = x ( t + ∆t ) − x ( t )
Átlagsebesség: a test által megtett ∆s út és a megtételéhez szükséges ∆t idő hányadosa (nem ad felvilágosítást a mozgás részleteiről!)
s ∆s ∆x vx = = = t ∆t ∆t geometriai jelentés: az út-idő grafikon két pontjához tartozó szelő meredeksége
Az anyagi pont t időpillanathoz tartozó sebessége (pillanatnyi sebesség):
v x = lim
∆t → 0
∆x dx (t ) = dt ∆t
geometriai jelentés: az út-idő grafikon t időpontbeli meredeksége (iránytangense)
A sebesség általános definíciója ∆s
görbevonalú mozgás
pálya
Bontsuk fel a mozgást rövid ∆t időintervallumokra, melyek alatt a sebesség közel állandónak tekinthető.
lim
∆t → 0
r Mivel ∆r → ∆s írhatjuk, hogy
∆s ds = =v ∆t dt
r r ∆r dr (t ) r = =v lim ∆t → 0 ∆t dt
A sebességvektor a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa.
Szabadesés – a gyorsulás fogalma (Film: MIT_free_fall.flv http://www.youtube.com/watch?v=4ovhEkSIqV0&NR=1
)
A kísérletek (pl. ejtőzsinór, Galilei lejtő) azt mutatják, hogy a megtett út időfüggése:
s = k ⋅t2
s ∝ t2
∆s k (t + ∆t ) 2 − kt 2 = = 2kt + k∆t ∆t ∆t
Ez esetben az átlagsebesség:
míg a (pillanatnyi) sebesség:
v = 2kt
A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a ∆t idő alatt bekövetkező ∆v sebességváltozás segítségével: gyorsulás
a=
∆v 2k (t + ∆t ) − 2kt = = 2k ∆t ∆t
Szabadon eső test gyorsulása állandó, mégpedig a nehézségi gyorsulás.
a = g = 9.81
m = áll. s2
v = g ⋅t
s=
1 g ⋅ t2 2
A gyorsulás általános definíciója A tömegpont sebessége időben mind irány, mind nagyság szerint változhat. Ilyenkor a változást a sebességvektor idő szerinti változásával jellemezzük:
r r r r ∆v dv (t ) d 2 r (t ) a = lim = = ∆t → 0 ∆t dt dt 2 A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa.
Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsuló mozgás!
Egyenes Vonalú Egyenletesen Változó Mozgás, EVEV
5⋅n
(„Kísérletek”: 1) Galilei lejtő 2) ejtőzsinór 3) marok-ejtőgép) 3⋅n
600
60
120
400
80
40
300
60
30
200
40
20
100
20
10
0
0 2
4
6
8
10
0 0
2
4
t [s]
6
8
10
0
-200 -300
10 -25
2
4
6
t [s]
-50
8
-400
a<0
10
20 10 0
-75
s0 = s(t=0) = 50 m
10
30 0
2
t [s]
-100
8
a [m/s ]
6
8
a = áll.
25
v [m/s]
4
6
40
0 2
4
t [s]
v = v0 + at
0 0
2
t [s]
a s = s0 + v0t + t 2 2
100
a>0
2
a [m/s ]
50
0
s [m]
1⋅n
v0 = v(t=0) = 5 m/s 100
v [m/s]
s [m]
s0 = s(t=0) = 50 m 500
0
v0 = v(t=0) = 5 m/s -100
2
4
-10
6
8
10
t [s]
Körmozgások („Kísérlet”: egyenletes körmozgás légpárnás asztalon Circular_motion.mpg Film: circular_motion_acceleration.flv http://www.youtube.com/watch?v=WKvhgkg2_dw )
• mindíg GYORSULÓ mozgások • egyenletes körmozgás (kerületi sebesség, szögsebesség, periódusidő, centripetális gyorsulás)
v ≡ vkerületi
r dϕ 2π v v2 = v = áll., ω = = áll., ω = = , acp = = rω 2 dt T r r
Körmozgások, folyt. • egyenletesen változó körmozgás (szöggyorsulás, β)
dω d 2ϕ 2 β= = 2 = áll., ω = ω0 ± βt , aérintő = rβ , a = aérintő + acp2 dt dt (Film: angular_velocity_vector.flv)
szögsebesség vektor
r r r v y = xω , vx = − yω , v = ω × r
Harmonikus rezgőmozgás pl. rugóra akasztott test x (t ) = A sin (ωt + ϕ 0 )
(Film: simple_harmonic_motion_animation.flv http://web.ncf.ca/ch865/englishdescr/SHM1.html )
kezdőfázis
körfrekvencia
xmax = A
amplitúdó kitérés sebesség gyorsulás
dx(t ) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) v (t ) = dt vmax = Aω a (t ) =
dv (t ) = − Aω 2 sin (ωt + ϕ 0 ) dt
A=3cm, ω=2s-1, φ0=0 rad
amax = − Aω 2 az egyenletes körmozgás vetülete is harmonikus rezgőmozgás
(Film: harm-rezg-c.avi)
Az égitestek mozgásának leírása Numerikusan kezelhető Kepler törvények I. A bolygók ellipszis pályán keringenek, melyeknek egyik gyújtópontjában a Nap áll. II. A Naptól a bolygóhoz húzott rádiuszvektor egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol. III. A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei. Valóban inverz négyzetes a függés?
Az elmozdulások függetlenségének elve 1) Az elmozdulások vektoriális összegzéssel összetehetőek egyetlen (eredő) elmozdulássá, mely független a részelmozdulások sorrendjétől.
2) Egyetlen elmozdulás, a vektori összegzés szabályainak betartása mellett, felbontható tetszőleges számú elemi elmozdulássá.
Hajítások (Film: vízszintes hajítás komponensei, 2:25MIT Physics Demo_Monkey and a Gun.mp4)
• Függőleges hajítás • Vízszintes hajítás
vízszintesen EVEM
x = v0t y=
g 2 t 2
y=
g 2 x 2 2v0 függőlegesen EVEV
• Ferde hajítás
EM EV
EVEV
Dinamika
a mozgás okát keresi MIÉRT mozog a test (épp úgy, ahogy mozog)?
Newton axiómák Az axióma olyan alapfeltevés, melyet bizonyítás nélkül igaznak fogadunk el.
I.
Létezik olyan viszonyítási rendszer, melyben minden test megtartja EVEM-át, vagy nyugalmi állapotát amíg más testek hatása ennek megváltoztatására nem kényszeríti. Erőhatás: Egy testnek egy másik testre gyakorolt olyan hatását, ami a test sebességének megváltozásában, azaz gyorsulásában nyilvánul meg erőhatásnak, vagy röviden erőnek nevezzük.
II.
Amennyiben egy testre erő hat, akkor gyorsulni fog, még pedig úgy, hogy a gyorsulás az erővel azonos irányba mutat, nagysága pedig az erő nagyságával egyenesen, a test tehetetlen tömegével pedig fordítottan arányos.
r r F = ma
A fizikai egyenletek „iránya” ok-okozati kapcsolatot fejez ki!
Newton axiómák, folyt. III.
Ha egy A testre B test FA,B erőt gyakorol, akkor az A test is hat B-re egy FA,B-vel azonos nagyságú, de azzal ellentétes irányú FB,A erővel. Kölcsönhatás, hatás-
ellenhatás, akció-reakció elve.
(Film: TeleKolleg_7.flv 0:40MIT_Physics_Demo_Fire_Extinguisher_on_a_Tricycle.flv)
IV.
Két, ugyanabban a pontban támadó erő helyettesíthető egyetlen, paralelogrammam módszerrel meghatározott eredő erővel. Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erő is hat, ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával. Az erőhatások függetlenségének elve. A szuperpozíció elve. Stevin tétel.
Mozgásegyenlet, vagy a dinamika alapegyenlete Newton II. és IV. axiómák egyesítése:
r r r d 2r ∑i Fi = ma = m dt 2 d 2x ∑i Fix = max = m dt 2 ,
d2y ∑i Fiy = ma y = m dt 2 ,
d 2z ∑i Fiz = maz = m dt 2
Analitikus megoldása sokszor nehéz, numerikusan viszont egyszerű kezelni.
A mozgásegyenlet megoldása Vizsgáljunk egy olyan tömegpont 1 dimenziós mozgását, melyre egy erő hat. ismert:
d 2x F = ma x = m 2 dt
keressük:
x(t ) = ?
Ha egy időpillanatban (t0) ismerjük a test helyzetét (x0) és sebességét (v0), akkor elegendően kicsiny ∆t idő múlva újabb helyzete (x1) és sebessége (v1) megbecsülhető:
x1 = x0 + v0 ∆t v1 = v0 + a∆t = v0 +
F ∆t m
újabb ∆t idő elteltével a folyamat ismételhető:
x2 = x1 + v1∆t v2 = v1 + a∆t = v1 +
F ∆t m
A pálya pontjai tetszőleges pontossággal meghatározhatóak ∆t csökkentésével.
Pl.: lineáris erőtörvény a rugóerő:
3 F1 = F2
F = − Dx
F1 > 0
x1<0 A mozgást 5 részre bontva (∆t nagy)
F2 < 0
O
x2>0
x
A mozgást 25 részre bontva (∆t kicsi)
Ez a konkrét probléma analitikusan is megoldható: az x(t) függvény olyan kell legyen, hogy idő szerinti d 2 x(t ) − Dx(t ) = m második deriváltja önmagától csak egy konstansban 2 dt térjen el
x(t ) = A ⋅ sin(ωt + ϕ ) = A ⋅ sin(
D t +ϕ) m
harmonikus rezgőmozgás
(Ism.: simple_harmonic_motion_animation.flv)
Próbálkozzanak, programozzanak!!! A tömegvonzás: y K Fx m
r r
L
r F
MmS ∆ ≈ mKL ∆
Fy
M S
r r mM r F = −γ 2 r r r
Fx x = F r
x
mM
Fx = −γ
(x
2
Fy = −γ
(x
2
+y ) mM
2 3/ 2
+ y2 )
3/ 2
x y
Kíséreljék meg a bolygók mozgását a lineáris erőtörvényhez hasonló módon numerikusan modellezni!
Erőtörvények Gravitációs erőtörvény:
r mm Fgr = −γ 1 2 2 r Nehézségi erő:
r r r r
r r F = mg
Lineáris erőtörvény (rugók):
Fx = − Dx ... még bővül majd a paletta (közegellenállás, felhajtóerő, elektromos és mágneses terekben ébredő erők)
A gravitációs állandó mérése (Film: Cavendish kísérlet Cavendish_inga.mpg)
Henry CAVENDISH 1731-1810
Henry Cavendish, 1797 http://www.youtube.com/watch?v=EE9TMwXnx-s
Eötvös Loránd
horizontális variométer
1848-1919
„Eötvös-inga”
1901, Balaton
1891, Ság-hegy
A tehetetlen és súlyos tömeg Arányuk függ-e az anyagi minőségtől? 10-3 pontosság
Newton: (inga)
10-5 pontosság
Bessel: (inga)
NEM függ
Eötvös Loránd:
5x10-9
pontosság
(az inga két K-Ny beállítását használva)
Braginsky és Panov: (módosított Eötvös-inga)
10-12 pontosság
