E-learning Matematika, GRATIS

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

1

Penyusun : Arik Murwanto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar: 1.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi. 1.2 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah. 1.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya. A. DASAR – DASAR TURUNAN ¾ Jika f(x) = 2x-3, sehingga f(x+h) = 2(x+h)-3=2x+2h-3 ¾ Jika f(x) = 3x2-x, sehingga f(x+h) = 3(x+h)2-(x+h) = 3x2+6hx+3h2-x-h = 3x2+(6h-1)x+(3h2-h) ¾ Jika f(x) = sin 2x, sehingga f(x+h) = sin 2(x+h) = sin (2x+2h) ¾ Jika f(x) = cos (2x- π), sehingga f(x+h) = cos [(2(x+h)-π ] ¾ (x+y)3 = x3+3x2y+3xy2+y3 ¾ (x-y)3 = x3-3x2y+3xy2-y3 ¾ (x+y)4 = x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 ¾ (x-y)4 = x4-4x3y+6x2y2-4xy3+y4 B. PENGERTIAN

Turunan ( differensial ) adalah perubahan suatu fungsi untuk setiap perubahan variabelnya. Jika terdapat fungsi y=f(x), maka turunan fungsi itu didefinisikan sbb : y ' = f ' ( x) =

dy f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim dx ∆x→0 ∆x

atau

y ' = f ' ( x) =

dy f ( x + h) − f ( x ) = lim dx h → 0 h

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

2


Catatan: m =

dy ∆y y 2 − y1 = = = tg α dx ∆x x 2 − x1

Kesimpulan: Jadi, turunan suatu fungsi juga merupakan gradien suatu garis lurus yang menyinggung grafiks dari fungsi yang bersangkutan di suatu titik tertentu.

C. TURUNAN FUNGSI ALJABAR Contoh 1: Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut : 1. y = 2x + 3 12 x + 12h + 1 − 12 x − 1 = lim Jawab: h h →0 [2( x + h) + 3] − [2 x + 3] 12h y ' = lim = lim = 12 h h→0 h →0 h 2 x + 2h + 3 − 2 x − 3 4. y = 5 – 7x = lim h h →0 Jawab: [5 − 7( x + h)] − [5 − 7 x] 2h = lim =2 y ' = lim h h →0 h h→0 2. y = 3x – 5 ax + ah + b − ax − b = lim Jawab: h h→0 [3( x + h) − 5] − [3 x − 5] − 7h y ' = lim = lim = −7 h h→0 h →0 h 3 x + 3h − 5 − 3 x + 5 5. y = ax + b = lim h h→0 Jawab: 3h = lim =3 [a ( x + h) + b] − [ax + b] h →0 h y ' = lim h h→0 3. y = 12x + 1 Jawab: ax + ah − ax − b = lim [12( x + h) + 1] − [12 x + 1] h h→0 y ' = lim h h →0 ah = lim =a h→0 h Kesimpulan 1 : 1. y = b ⇒ y’ = 0 2. y = ax ⇒ y’ = a LATIHAN SOAL 1:

Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y = 6 2. y = –9x – 9 3. y = 2x + 5x – 15 4. y = 22x – 8x + 8 5. y = –7x – 6x – 10

6. y = 27 – 9x 7. y = 12 – 3x + 17x 8. y = bx + 2 9. y = – x + 1 10. y = – ax + 3x – c

-----Good Luck-----

Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS Contoh 2: Tentukan turunan berikut : 1. y = 3x2 Jawab:

3( x + h) 2 − 3 x 2 y' = lim h h →0 3 x 2 + 6hx + 3h 2 − 3 x 2 h h →0

= lim

6hx + 3h 2 = lim = lim 6 x + 3h h h →0 h →0 = 6x

3

15hx 2 + 15h 2 x + h 3 h h →0

= lim

15hx 2 + 15h 2 x + h 3 = lim = 15 x 2 h h →0 3. y = 6x4 Jawab: 4( x + h) 4 − 4 x 4 h h →0

y' = lim

4 x 4 + 16hx 3 + 24h 2 x 2 + 16h 3 x + 4h 4 − 4 x 4 h h →0 3 2 2 3 4

= lim

3

2. y = 5x Jawab: 5( x + h) 3 − 5 x 3 y' = lim h h →0 5 x 3 + 15hx 2 + 15h 2 x + h 3 − 5 x 3 = lim h h →0

16hx + 24h x + 16h x + 4h h h →0

= lim

= lim 16 x 3 + 24hx 2 + 16h 2 x + 4h 3 = 16 x 3 h →0

Kesimpulan 2 : 1. y = 3x2 ⇒ y’ =6x 2. y = 5x3 ⇒ y’ =15x2 3. y = 4x4 ⇒ y’ = 16x3 Jadi : n n-1 n-1 4. y = ax ⇒ y’ = a.n.x = anx Contoh 2 (Penerapan) Tentukan turunan berikut! 1. y = 12x3 – 4x2 + 7x + 10 y’ = 12.3.x2 – 4.2.x + 7 + 0 = 36x2 – 8x + 7 1 2. y = x 4 − 3 x 2 + x + 6 2 1 y' = .4.x 3 − 3.2.x + 1 = 2 x 3 − 6 x + 1 2 3. y = 63 x − 2 x + 5 x − 8 1 1 = 6x 3 − 2 x 2 + 5 x − 8 1 1 1 3 −1 1 2 −1 y' = 6. .x − 2. .x +5

3

2

2 1 − − 3 = 2x − x 2 + 5

=

4. y =

2 3

x2

8

+

x

= 8x = 8x

x

2x 3

−

x

1 2

+ 2x

1 2

2 + 2x 3

-

-

1

−

+5

4x 2 5

5 x2

1−

3

1 3

2

4 2− − x 5 5 8

4 − x5 5 1

3

-1 − 2 − 4 8 y' = 8. .x 2 + 2. .x 3 − . .x 5 2 3 5 5 4 4 32 5 3 =− + − x 3 x x 3 x 25


4


LATIHAN SOAL 2:

Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y =9x2 2. y = 15x3 + 4 3. y = 16x4 4. y = 12x2 + 6x 5. y = 2x3 – 6x2 + 3x + 10 1 1 6. y = x 4 − x 2 + 4 x + 6 2 2

7. y = 8.

1 6 x + 3x 2 − 6 3

y = 63 x − 2 x + 5 x − 8

9. y =

8 x

+

2x 3

x

−

4x 2 5

5 x2

10. y = 6 2 x 3 − 1 -----Good Luck-----

D. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI : Contoh: Tentukan turunan fungsi berikut! 1. y = sin ax 2. y = cos ax Jawab sin a ( x + h) − sin ax cos a ( x + h) − cos ax 1. y ' = lim 2. y ' = lim h h h →0 h →0 sin( ax + ah) − sin ax h h→0 1 1 2 cos (2ax + ah) sin (ah) 2 2 = lim h h→0 1 ⎛1 ⎞ = 2 cos (2ax).⎜ a ⎟ = a cos ax 2 ⎝2 ⎠ Kesimpulan 3: y = sin ax ⇒ y’ = a cos ax y = cos ax ⇒ y’ = – a sin ax = lim

cos(ax + ah) − cos ax h h→0 1 1 − 2 sin (2ax + ah) sin (ah) 2 2 = lim h h →0 1 ⎛1 ⎞ = -2sin (2ax)⎜ a ⎟ = −2 sin ax 2 ⎝2 ⎠ = lim

Contoh Tentukan turunan dari soal-soal berikut : 1. y = 2 sin 3x 2. y = 3 cos 4x 3. y = 3x2 + sin 5x – 4 cos 2x Jawab : 1. y = 2 sin 3x ⇒ y’ = 6 cos 3x 2. y = 3 cos 4x ⇒ y’ = -12 sin 4x 3. y = 3x2 + sin 5x – 4 cos 2x ⇒ y’ = 6x + 5 cos 5x + 8 cos 2x



5

LATIHAN SOAL 3: Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y = sin 2x 6. y = 5x5 + sin 2x + 4x2 – cos 4x 2. y = 4 sin 3x 7. y = 15 cos 5x – 12 sin 6x 3. y = cos 3x 8. y = sin 2x – 20x5 + cos 2x – 25 4. y = 5 cos 4x 9. y = 6 cos 4x – 2x + 15x 5. y = 3x2 + sin 5x – 4 cos 2x 10. y = 10 sin 8x + 10 cos 8x – 10 -----Good Luck----E. TURUNAN FUNGSI PERKALIAN: Bentuk Umum: y = u(x) . v(x) ⇒ y’ = u’. v + u . v’ Contoh : Tentukan turunan berikut : 1. y = 2x sin 3x 2. y = 3x2 cos 2x Jawab. 1. y = 2x sin 3x y’=(2)sin 3x + 2x.(3 cos 3x) = 2 sin 3x + 6x cos 3x 2. y = 3x2 cos 2x y’ = (6x) cos 2x + 3x2(-2 sin 2x) = 6x cos 2x – 6x2 sin 2x 3. y = (2x2 – 3x +2) (3x2 + 2x – 5)

3. y = (2x2 – 3x +2) (3x2 + 2x – 5) 4. y = (4x2 + 3x) cos ( 5 – 6x) y’ = (4x – 3)(3x2+2x – 5) + (2x2 – 3x + 2) (6x + 2) = 12x3 – x2 – 26x + 15 + 12x3 – 14x2 + 6x + 4 = 24x3 – 15x2 – 20x + 19 4. y = (4x2 + 3x) cos ( 5 – 6x) y’ = (8x +3) cos (5 – 6x) – (24x2 + 18x) sin (5 – 6x)

LATIHAN SOAL 4: Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y = x sin 2x 6. y = (x2 – 4x +4) (3x2 + 2x – 5) 2 2. y = 8x sin 4x 7. y = (16x3 – 4x2) 3 3. y = 2x cos 4x 8. y = (x2 + 2x) cos( 3 – 4x) 4. y = 10x cos 2x 9. y = (x3 + 6x – 2) sin (4x – 5) 5. y = (x + 2) (x – 2) 10. y = (4x2 – 16) cos (5 – 6x) -----Good Luck----F. TURUNAN FUNGSI PEMBAGIAN Bentuk Umum: u ( x) u '.v − u.v' y= ⇒ y' = v( x) v2 Contoh Tentukan turunan dari 1. y = tan x 2. y = tan ax 3x − 2 3. y = 3− x

3x − 4 Sin 2 x Cos 3 x 5. y = Cos 2 x

4. y =


6

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS Jawab

3x - 2 3- x 3(3 − x) − (3x − 2)(−1) y' = y' = (3 − x) 2 cos 2 x 9 - 3x + 3x - 2 7 cos 2 x + sin 2 x y' = = = = sec 2 x 2 (3 − x) (3 − x) 2 cos 2 x 3x - 4 sin ax 4. y = 2. y = sin2x cos ax 3 sin 2 x − (3x − 4)(2 cos 2 x) y' = (a cos ax)(cos ax) − (sin ax)(−a sin ax) sin 2 2 x y' = 3sin2x + (8 - 6x)cos2x cos 2 ax = sin 2 2 x cos3x a cos 2 ax + a sin 2 ax 5. y = = = a sec 2 ax 2 cos2x cos ax sin x cos x cos x(cos x) − (sin x)(− sin x)

3. y =

1. y = tan x =

y' =

=

(−3 sin 3x)(cos 2 x) − (cos 3x)(−2 sin 2 x) cos 2 2 x

- 3sin3xcos2 x + 2cos3xsin2 x cos 2 2 x

LATIHAN SOAL 5:

Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y = 5 tan x 2. y = 10 tan 2x 3. y = cos x . tan x 3x 4 4. y = 3− x 4 x −1 5. y = 2− x 8x − 5 6. y = 3x + 4

x−2 Sin x 5 x −1 8. y = Sin 4 x Cos x 9. y = Cos 2 x Cos 4 x 10. y = Cos 4 x 7. y =

G. TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI Dasar-dasar : 1. y = (3x – 5)5 dapat diubah :

y = u5 dimana u = 3x – 5, sehingga :

dy du = 5u4 dan =3 du dx

2. y = sin3(2x+3) dapat diubah : y = u3 dimana u = sin (2x+3), sehingga :

dy du = 3u2 dan = 2 cos (2x+3) du dx


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS 3. y = 2x 2 − 4 x dapat diubah : y=u

1 2

4. y =

dimana u = 2x 2 − 4 x

3 5x + 3

y = 3u

sehingga : dy 1 du = = 4x − 4 dan du 2 u dx

−

1 2

dapat diubah

dimana u = 5x + 3

sehingga : dy 3 du = =5 dan du 2u u dx

Konsep :

Jika y = f(u) ; u = f(v) ; dan v = f(x) maka y l =

dy dirumuskan : dx

dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx Contoh : Tentukan turunan fungsi berikut! 1. y = (2x + 7)6 2. y = sin5(3x – 8) 3

3. y = 3x 2 − 12 x 6 4. y = 3 2x - 4 5. y = (2x - 3)4 (5 x + 1)6 6. y = sin 2 (3x − 2) cos 3 (4 x + 3) Jawab: 1. y = (2x + 7)6 = u6 , u = 2x+7 y’ = (6u5)(2) = 12(2x+7)5 2. y = sin5(3x – 8) = u5 , u=sin(3x – 8) y’= (5u4)[ 3 cos(3x – 8)] = 15 sin4(3x – 8) cos(3x – 8) 3

3. y = 3x 2 − 12 x 3

2

y = 3x − 12 x

1 = u3,

dimana u = 3x 2 − 12 x ⎛ −2 ⎞ ⎜1 ⎟ y' = ⎜ u 3 ⎟(6 x − 12 ) ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ (2 x − 4) = 3 (3 x 2 − 12 x) 2

4. y = y=

6 3 2x - 4

6

−

1 3

= 6u , 2x - 4 dimana u = 2x - 4 4⎞ ⎛ ⎜ 1 −3 ⎟ y' = 6⎜ - u ⎟(2 ) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ 4 =(2x - 4)3 2x - 4 3


7

8


5. y = (2x - 3)4 (5 x + 1)6 y' = 4(2x - 3) 3 (2)(5 x + 1) 6 + (2x - 3) 4 (6)(5 x + 1) 5 (5)

= 8(2x - 3) 3 (5 x + 1) 6 + 30(2 x − 3) 4 (5 x + 1) 5 6. y = sin 2 (3 x − 2) cos 3 (4 x + 3) = u(x) . v(x) ⇒ y’ = u’. v + u . v’ y’ = u’. v + u . v’ = 2sin (3 x − 2)[3 cos(3x − 2)] cos 3 (4 x + 3) + sin 2 (3 x − 2)[2 cos(4 x + 3)][−4 sin(4 x + 3)] = 3.2sin (3 x − 2) cos(3 x − 2) cos 3 (4 x + 3) - 4sin 2 (3 x − 2)[2 sin(4 x + 3) cos(4 x + 3)] = 3sin(6x - 4)cos 3 (4 x + 3) − 4 sin 2 (3 x − 2) sin(8 x + 6) LATIHAN SOAL 6: Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut! 1. y = (x + 1)4 2. y = (3x – 5)6 3. y = cos5(x-π) 4. y = sin3(2x-π)

5. y =

3

x 2 − 4x

6. y = 5 2x 2 − 8

7. y = 3

5

x-4 3 4 8. y = (x - 3) (3x + 5) 9. y = sin 2 ( x − 2) cos 3 ( x + 3) 10. y = sin 3 (3x + 5) cos 2 (4 x −1)

H. TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN Dari pengertian: dy ∆y y 2 − y1 m= = = = tg α , dimana m = gradien dx ∆x x 2 − x1 y = f(x)

Maka dapat disimpulkan: dy y 2 − y1 1. f ' (x) = = = m , m suatu gradien dx x 2 − x1 2. Jika terdapat persamaan kurva y = f(x) maka garis singgung kurva pada titik singgung (x1, y1) adalah y = mx + (y1 – m.x1), dimana m = f’(x1) 3. Beberapa keadaan garis : a. Jika gradiennya > 0, maka keadaan garis naik. b. Jika gradiennya < 0, maka keadaan garis turun. c. Jika gradiennya = 0, maka keadaan garis mendatar.



9

4. Hubungan kurva dengan garis singgung kurva : a. Jika garis singgung kurva bergradien > 0, kurva naik. b. Jika garis singgung kurva bergradien < 0, kurva turun. c. Jika garis singgung kurva bergradien = 0, kurva pada titik singgungnya mencapai stasioner ( tidak naik dan tidak turun / mendatar ). 5. Beberapa keadaan di sekitar titik stasioner pada kurva : a. + 0 – f’(x1) Keadaan / – \ Bentuk gambarnya:

b.

Berarti titik stasionernya maksimum di (x1, f(x1)), maka nilai maksimum fungsi adalah ymaks= f(x1) f’(x2) Keadaan

– \

0 –

+ /

Bentuk gambarnya:

c.

Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) f’(x3) Keadaan

+ /

0 –

+ /

Bentuk gambarnya:

d.

Berarti titik stasioner merupakan titik belok di (x3, f(x3)) f’(x4) Keadaan

– \

0 –

– \

Bentuk gambarnya:

Berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4))


10


Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut! 1. y = 3x2 – 4x + 5 pada (1, 4) 2. y = x3 – 3x2 + 6 pada (2, 2) 3. y = x3+3x2+x+2 pada (a, 3) sejajar garis y = -2x – 5 Gambarlah persamaan kurva berikut ini: 4. y = x3 - 6x2 + 9x – 1 Jawab: 1. y = 3x2 – 4x + 5 pada (1, 4) m = y’ = 6x – 4 x = 1 ⇒ m = 6(1) – 4 = 2 4. y = x3 - 6x2 + 9x – 1 Pers. garis singgung : m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0 y = mx + c ⇒ c = y1 – m.x1 x2 – 4x + 3 = 0 y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2 (x – 1)(x – 3) = 0 3 2 x1=1, x2 = 3 2. y = x – 3x + 6 pada (2, 2) 2 m = 3x – 6x x = 2 ⇒ m = 3(2)2 – 6(2) = 0 Pers. garis singgung : y = mx + c ⇒ c = y1 – m.x1 y = 0.x + (2 – 0.2) y=2

3. y = x3+3x2+x+2 pada (a, 3) sejajar garis y = -2x – 5 y = x3+3x2+x+2 ⇒ m1 = 3x2+6x+1 y = -2x – 5 ⇒ m2 = -2 ⇒ m1= m2= 2 x = a ⇒ m1 = 1 3a2+6a+1= -2 3a2+6a+3=0 (3a +3)(a+1)=0 a = -1 ⇒ titik singgung (-1, 3) (-1, 3) ⇒ y = -2x + [3 – (-2)(-1)] y = -2x + 1

Tabel bantuan x 0 1 3 y –1 3 –1 (x,y) (0, –1) (1, 3) (3, –1) Gambar yang sebenarnya dari soal di atas!

LATIHAN SOAL 7:

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut! 1. y = 4x2 – 8x + 6 pada (2, 1) 2. y = x3 – 2x2 + 10 pada (2, 4) 3. y = x3+ 2x2 + 6x + 12 pada (a, 2) sejajar garis y = 2x – 7 Gambarlah persamaan kurva berikut ini: 4. y = x3 - 4x2 + 8x – 3 5. y = 3x3 – 4x + 5 -----Good Luck-----



11

I. PENERAPAN DEFERENSIAL Luas Maksimum Suatu Daerah Permasalahan untuk diskusi bersama : Titik A(x, y) pada garis x + 2y = 6 (kuadran I). Dari titik A ditarik garis berpotongan dengan sumbu x di titik P dan ditarik garis berpotongan dengan sumbu y di titik Q. Terbentuk segiempat OPAQ. Tentukan luas maksimum segiempat yang terbenruk? Jawab : Luas dalam fungsi y = L(y) = x.y = (6 – 2y)y = 6y – 2y2 Syarat ekstrim : f’(y) = 0 A(x,y) Q 6 – 4y = 0 y = 3/2 P y = 3/2 ⇒ L(y) = (6 – 2y)y = [6 – 2(3/2)] (3/2) = 3(3/2) = 9/2 Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas Kecepatan dan Percepatan: Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak, dan t satuan waktu. maka: Kecepatan = v(t) = s’(t) Percepatan = a(t) = v’(t) Contoh: Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding dengan persamaan lintasannya berbentuk h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola dalam meter dan t dalam detik. a. Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik? b. Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik? c. Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik? d. Kapankah ketinggiannya mencapai minimum?

Jawab : a. h(2) = 3(2)2 – 12(2) + 10 = - 2 meter b. V(t) = h’(t) = 6t – 12 = 6(3) – 12 = 6 m/det c. a(t) = v’(t) = 3 m/det2 d. Syarat ekstrim: h’(t) = 0 6t – 12 = 0 ⇒ t = 2 detik Jadi ketinggian minimum tercapai pada saat t = 2 detik.


12


LATIHAN SOAL 8:

1.

Sebuah roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi h meter setelah t detik, dirumuskan dengan Ht = 400t – 5t2 Tentukan tinggi maksimum roket tersebut. 2. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = –t3 +

5 2

t2 + 2t + 10, maka tinggi maksimum yang dicapai

peluru tersebut adalah ... 3. Sebuah benda ditembakkan tegak lurus ke atas. Keting-gian yang dicapai pada waktu t detik, dinyatakan dalam meter, diberikan sebagai h (t) = 30t – t2. Lama benda itu berada pada ketinggian yang tidak kurang dari 221 meter adalah … 4. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan pan-jang lintasan 5 meter selama t detik ditentukan dengan rumus S = t3 – 3t. Percepatannya pada saat kecepatan = 0 adalah …… 5. Sebuah titik materi bergerak dengan persamaan : S = – 13 t3 + 3t2 – 5t ( t = waktu, S = jarak tempuh ). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t = … 6. Titik O, P dan Q terletak pada satu garis lurus, letak O di antara P dan Q. Dengan titik O tetap pada tempatnya, titik P dan Q bergerak sepanjang garis lurus tersebut se-hingga pada tiap saat t jarak dari P ke Q adalah t2 – 6t + 10 dan jarak P ke Q adalah 3t2 – 14t + 19. Tentukan jarak terdekat dari Q sampai O. 7. Seekor semut merayap pada bidang XOY. Pada saat t ia berada di titik ( x(t) , y(t)) dengan x (t) = t2 dan y (t) = t2 – 4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan … 8. Sebuah roda berputar membentuk sudut θ radian dalam waktu t detik sedemikian sehingga θ = 120t – 6t2. Maka kecepatan sudut pada akhir detik ke-2 … 9. Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm/detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ... 10. Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah … -----Good Luck-----

== oOo ==



13

LATIHAN PEMANTAPAN (Soal-Soal Deferensial yang Pernah Keluar dalam UN) 01. Bila F(x) = 2x3 – 3x2 + x – 10 maka F‫(׳‬x) = … A. 2x2 – 3x + 1 B. 6x3 – 6x2 + x C. 6x2 – 6x – 10 D. 6x2 – 6x + 1 E. 6x2 – 6x – 9 02. Diketahui f(x) = 1 , maka lim

t → 0

A. − 6

3x 2 f(x + t)-f(t) adalah … t

x3 2 − B. 3x3 C. − 2 3x

D.

3 2x2

E. − 1 6x

03. Turunan pertama dari fungsi F(x) = 5 adalah F′(x)= … x2 A. 52 x B. − 10 x C. − 103 x 5 D. 3 x E. 15x3 04. f ( x) = 4 x

A. B. C. D. E.

3 2

, maka f '

( )= … 1 2

2 4 6 12 18

05. Turunan dari f(x) =

f ‫(׳‬x) = … A. 2 (2 x + 1) B. 8 (4 x + 1)

4

( 4x + 1)

adalah

C. − 8 (4 x + 1) −2 D. (4 x + 1)3 −8 E. (4 x + 1)3 06. Turunan pertama dari fungsi F(x) = 4 2 x 3 − 1 adalah ... 4 A. 2 x 2x 3 −1 12 B. 2 x 2x 3 −1 6x C. x 2 2x 3 −1 12 x 2 D. x 2 2x 3 −1 24 x 2 E. x 2 2x 3 −1 07. Diketahui f (x) = 3x2 – 5x + 2 dan g (x) = x2 + 3x – 3 Jika h (x) = f (x) – 2g (x), maka h′(x) adalah … A. 4x – 8 B. 4x – 2 C. 10x – 11 D. 2x – 11 E. 2x + 1 08. Turunan pertama dari fungsi f(x) = (x – 1)2 (x + 1) adalah ... A. x2 – 2x + 1 B. x2 + 2x + 1 C. 3x2 – 2x + 1 D. 3x2 – 2x + 1 E. 3x2 + 2x + 1 09. Jika f(x) : 4 4 x 3 + 3 3 x 2 , maka nilai f ′ (1) = … A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 E. 5


14


10. Apabila f(x) = x2 –

1 + 1 maka f'’(x) x

adalah … A. x – x–2 B. x + x–2 C. 2x – x–2 + 1 D. 2x – x–2 – 1 E. 2x + x–2 11. Turunan pertama dari fungsi f yang

A. B. C. D.

5 3

ditentukan oleh f(x) = (2 − 3x ) adalah... A.

5 3

(2 − 3x )

2 3 8

B. – 83 (2 − 3x ) 3 C.

3 8

8

(2 − 3x ) 3

E.

− 10

( x + 5) 2 5

( x + 5) 2 10

( x + 5) 2 5

( x − 5) 2 10

( x − 5) 2

16. Turunan pertama dari f(x) =

(2 – 3x)8/3

2

D. –5 (2 − 3x ) 3

adalah f ′(x) = … 4x + 5 A. (x + 2)2

2

E. 5 (2 − 3 x ) 3

2x − 1 x+2

4x + 3

12. Turunan dari f(x) = (3x2 + 4)5 (2x – 1)4 adalah f ′ (x) = … A. (3x2 + 4)4 (2x – 1)3 (240x) B. (3x2 + 4)4 (2x – 1)3 (30x + 8) C. (3x2 + 4)4 (2x – 1)3 (18x2 – 6x + 8) D. (3x2 + 4)4 (2x – 1)3 (36x2 – 30x – 32) E. (3x2 + 4)4 (2x – 1)3 (84x2 – 30x + 32) 13. y = (x2 + 1) (x3 – 1) maka y ' = … A. 5x3 B. 5x3 + 3x C. 2x4 – 2x D. x4 + x2 – x E. 5x4 + 3x2 – 2x 14. Turunan pertama dari y = (x + 1)2 (x + 2) adalah … A. 2x2 + 8x + 2 B. 3x2 + 8x + 2 C. 3x2 + 8x + 7 D. 2x2 + 6x + 7 E. 3x2 + 3x + 2 15. Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan ... x−5 f (x) = adalah f ’(x) = … x+5

B. (x + 2) 2 4 C. (x + 2)2 3 D. (x + 2)2 5 E. (x + 2)2 17. Jika f(x) =

A. –

x 2 − 3x , maka f ′(2) = … x 2 + 2x +1

2 9

B.

1 9

C.

1 8

D.

7 27

E.

7 4

3x 2 - 5 , maka: x+6 f (0) + 6 f ′(0) = … A. 2 B. 1 C. 0 D. –1 E. –2

18. Jika f ( x ) =


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS 3x - 2 , maka turunan dari x + 4 f –1(x) adalah … 8 x - 10 A. (x-3 )2 10 B. ( x − 3) 2 8x C. (3 − x) 2 14 − 8 x D. ( x − 3) 2 14 E. (3 − x) 2 20. Jika f(x) = 3x2 – 2ax + 7 dan f ′ (1) = 0, maka f ′ (2) = ... A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8 x2 + 6 21. Diketahui fungsi f(x) = x Turunan pertama fungsi f(x) adalah … A. x + 62 x x B. x − 32 x x C. x − 1 2 x 3x 3 D. 2 x + 1 2 x 3x 3 E. 2 x − 32 x x 2 x3 + 3x 2 + 1 22. Turunan dari f(x) = x2 adalah f ‫(׳‬x) = … 3x + 3 A. 2 2x − 2 B. x 2x 3 − 2 C. x2 2x 3 −1 D. 2x 3 19. Jika f (x) =

E.

15

2x 3 + 2 x3

23. Jika f (x) =

4x +1 , maka f ′(2) = ... x

A. – 56 5

B. – 12 5

C. – 16 D.

5 6

E.

5 12

24. Jika nilai maksimum fungsi y = x + p − 2 x adalah 4, maka p = … A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8 25. Fungsi y = 4x3 – 18x2 + 15x – 20 mencapai nilai maksimum untuk nilai x = … A. 0,5 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 3 26. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 2x(x2 – 12) adalah … A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 E. 32 27. Nilai minimum relatif fungsi f(x) = 1 3 x – x2 – 3x + 4 3

adalah … A. –5 2

B. –2 3 1

C. – 3 D.

1 3

E. 4 28. Fungsi f (x) = x3 – 3x2 – 15 turun untuk semua x yang memenuhi …


16


A. x>0 x < –2 B. C. –2 < x < 0 D. 0 < x < 2 x < 0 atau x > 2 E. 29. Grafik fungsi f(x) = x x − 2 naik untuk nilai x yang memenuhi … A. 2 < x < 3 B. 3 < x < 4 C. 2 < x < 4 x>4 D. x>2 E. 30. Garis singgung pada kurva y = 2x2 – x3 di titik potong nya dengan sumbu x yang absisnya positif mempunyai gradien … A. 4 B. 2 C. 0 D. –2 E. –4 31. Persamaan garis singgung kurva y = 1 di titik dengan absis 1 adalah 2x2 – x … A. y = 4x – 3 B. y = –5x + 6 C. y = –5x – 4 D. y = –3x + 4 E. y = 3x – 2 32. Ditentukan kurva dengan persamaan y = x3 + 2px2 + q. Garis y = –5x – 1 menyinggung kurva di titik dengan absis –1. Nilai p = … A. 2 B. 12 C. – 12 D. –2 E. –8 33. Garis singgung pada kurva y = 2x3 – 5x2 – x + 6 di titik yang berabsis 1 adalah … A. 5x + y + 7 = 0 B. 5x + y + 3 = 0 C. 5x + y – 7 = 0 D. 3x – y – 4 = 0 E. 3x – y – 5 = 0

34. Persamaan garis singgung pada kurva y = x – √x melalui titik (4 , 2) adalah … A. 4x – 3y – 10 = 0 B. 3x – 4y + 4 = 0 C. 3x – 4y – 4 = 0 D. 3x + 4y – 20 = 0 E. x – 4y + 4 = 0 35. Untuk x < 2, gradien garis singgung kurva y = x3 – 6x2 + 12x + 1 A. dapat positif atau negatif B. dapat sama dengan nol C. selalu positif D. selalu negatif E. sama dengan nol 36. Nilai stasioner dari f(x) = 9 + 2x2 – x4 dicapai pada x … A. –1,0 atau 1 B. –4 atau 4 C. –9,8 dan 9 D. –8,9 dan 8 E. 8 dan 9 37. Grafik fungsi f dengan f(x) = x3 – 6x2 + 9x pada interval 0 ≤ x ≤ 2 akan memiliki … A. titik balik minimum di ( 1 , 4 ) B. titik belok di titik ( 1 , 4 ) C. titik balik maksimum di ( 1 , 4 ) D. titik balik minimum di ( 1 , 3 ) E. titik balik maksimum di ( 1 , 3 ) 38. Diketahui f(x) = 13 x3 + ax2 – 2x + 1 .

Fungsi f mempu-nyai nilai stasioner pada x = –2 untuk nilai a = … A. –2 B. 0 C. 12 D.

3 2

E. 4 39. Ditentukan fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 5. Dalam interval 1 ≤ x ≤ 3, nilai minimum fungsi itu adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS 40. Titik belok dari fungsi y = x3 + 6x2 + 9x + 7 adalah … A. (–2, 3) B. (–2 , 7) C. (–2 , 5) D. (2 , 10) E. (2 , 5) 41. Turunan dari f(x) = 2 sin 5x adalah A. 2 cos 5x B. 10 cos 5x C. 5 cos 5x D. –2 cos 5x E. –10 cos 5x 42. Turunan pertama dari y =

1 4

sin 4x

adalah … A. y′ =

1 2

cos 4x

B. y′ = cos 4x 1

C. y′ = 2 cos x D. y′ = cos x E. y′ = cos 4x 43. f(x) = 2 sin x + cos x (x dalam radial), maka f ′ ( 12 π) = … A. B. C. D. E.

–1 2 1 –2 0

44. Jika y = cos

A. – 3 sin

3 dy , maka =… x dx

3 x

3 3 sin 2 x x 3 3 sin C. – x x 3 3 D. 2 sin x x 3 3 sin E. x x 45. Turunan pertama fungsi y = cos (2x3 – x2) ialah … A. y′ = sin (2x3 – x2) B. y′ = –sin (2x3 – x2) B. –

17

C. y′ = (6x2 – 2x) cos (2x3 – x2) D. y′ = – (6x2 – 2x) sin (2x3 – x2) E. y′ = (6x2 – 2x) sin (2x3 – x2) 46. Turunan pertama dari y = cos4 x adalah A.

1 4

cos3 x 1

B. – 4 cos3 x

C. –4 cos3 x D. –4 cos3 x sin x E. 4 cos3 x sin x 47. Turunan pertama dari y = cos2 (2x – π), adalah y’ = … A. –2 sin (4x – 2π) B. – sin (4x – 2π) C. –2 sin (2x – π) cos (2x – π) D. 4 sin (2x – π) E. 4 sin (2x – π) cos (2x – π) 48. Turunan pertama dari f(x) = sin2 (2x – 3, f ´(x) = … A. 2 cos (4x – 6) B. 2 sin (4x – 6) C. –2 cos (4x – 6) D. –2 sin (4x – 6) E. 4 sin (2x – 3) 49. Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) 1 + cos x dy maka =… 50. Bila y = dx - sin x A. B. C. D. E.

1- sin x - cos x - sin x

= tan x

- cos x sin 2 x + cos 2 x + cos

x

- sin 2 x sin 2 x + cos 2 x + cos x

sin 2 x sin 2 x - cos 2 x - cos x sin 2 x


18


51. Sebuah empat persegi panjang (= siku empat) pada mu-lanya berukuran 20×5. Karena sesuatu hal panjangnya senantiasa berkurang dengan laju konstan V > 0, sedangkan lebarnya bertambah dengan laju konstan V yang sama. Dalam proses ini luas empat persegi panjang tersebut … A. senantiasa berkurang sampai akhinya habis B. berkurang sampai suatu waktu tertentu, kemudian membesar C. bertambah sampai suatu waktu tertentu, kemudian mengecil sampai akhirnya habis D. senantiasa bertambah E. senantiasa konstan, untuk suatu nilai V > 0 52. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar 432 cm2, maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah … A. 432 cm2 D. 864 cm2 2 E. 972 cm2 B. 649 cm 2 C. 726 cm 53. Bagi suatu empat persegi panjang, dengan panjang x dan lebar y yang hubungan x + y = 2a, luasnya akan paling besar apabila …

A. x =

1 2

a

B. y =

1 2

a

2

C. y = 3 a D. x = y = a E. x =

1 2

y=a

54. Persegi panjang dengan keliling (2x+24) cm dan lebar (8 – x)cm. Agar luasnya maksimum, maka panjangnya= D.12 cm A. 4 cm E.13 cm B. 8 cm C. 10 cm 55. Dua kandang berdampingan masingmasing dengan ukuran x m, y m dan

luasnya 12 m2. Agar panjang pa-gar yang diperlukan sesedikit mungkin maka panjang x dan y berturut-turut … A. 2 m dan 6 m B. 6 m dan 2m C. 4 m dan 3 m D. 3 m dan 4 m E. 2√3 m dan 2√3 m 56. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3 – 2000x2 + 3.000.000x) rupiah. Jika barang itu harus diproduksikan maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi … D. 3000 unit A. 1000 unit B. 1500 unit E. 4000 unit C. 2000 unit 57. Suatu perusahaan memiliki x karyawan yang masing-masing memperoleh gaji (150x – 2x2) rupiah. Total gaji seluruh karyawan akan mencapai maksimum jika cacah karyawan itu ... A. 50 C.70 E.90 D.80 B. 60 58. Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, maka biaya proyek perhari menjadi

3x +

1200

x

– 60 ribu rupiah

Biaya proyek minimum adalah … A. 1.200 ribu rupiah B. 900 ribu rupiah C. 800 ribu rupiah D. 750 ribu rupiah E. 720 ribu rupiah 59. Sebuah benda diluncurkan ke bawah suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak S = t3 – 6t2 + 12t + 1 Waktu yang dibutuhkan agar percepatan benda = 48 m/s2 adalah … A. 6 sekon D.12 sekon E. 20 sekon B. 8 sekon C. 10 sekon 60. Sebuah roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi h meter setelah t detik, dirumuskan dengan Ht = 400t – 5t2 Tinggi maksimum roket tersebut adalah D. 24.000 meter A. 8.000 meter E. 36.000 meter B. 1.200 meter C. 1.800 meter



19

Bagaimana Mendapatkan Modul Ini Di Internet Secara GRATIS? Modul ini bersama modul-modul yang lain,

serta semua informasi tentang E-Learning

matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS . Semua modul merupakan hasil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan. Mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan. Tahun pelajaran 2010/2011 merupakan tahun pertama kami merintis. Akan kami revisi di tahun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat E-mail : [email protected] Bagaimana caranya memanfaatkannya : A. Weblog : www.matematika-pas.blogspot.com (i) Buka browser internet (contoh : Mozilla Firefox, Opera, Internet Explorer, Google Crome, dll) (ii) Pada Addres (alamat) gantilah dengan : www.matematika-pas.blogspot.com lalu tekan Enter

(iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pilih menu Modul, lalu pilih Modul yang sesuai & klik

(iv)Terhubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintahnya. Ulangi beberapa kali jika gagal. B. Facebook (i) Masuk akun facebook (ii) Pada menu Search, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter

(iii) Klik (Pilih) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning (iv)Terhubung ke Page (halaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like)

(v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian. (vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini. Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami sudah dapat membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook. Semoga Bermanfaat.


E-learning Matematika, GRATIS

Recommend Documents