E-learning matematika, GRATIS

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS

1

Penyusun

: Tri Wahyu Suciati, S.Pd. ; Hilyatun Nadzifah, S.Pd. ; Bambang Wahyudi, S.Pd. ; Endah Setya Prihati, S.Pd Saiful Arif, S.T. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Pada gambar disamping sebuah perahu akan menyeberang dengan kecepatan 4,0 m/s sedang kecepatan arus air 2,0 m/s . Dengan menggunakan vektor kita dapat menentukan arah dan jarak yang ditempuh perahu tersebut

A. Vektor di R2 ( Bidang ) I. PENGERTIAN Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil cetak tebal, misal a, b dan c →

→

→

atau dengan menggunakan anak panah diatasnya, misalnya a , b atau c . Apabila dituliskan dengan dua huruf, maka dengan menggunakan huruf besar dan tanda anak panah diatasnya. Misal : AB, CD atau EF Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah gaya dan kecepatan. Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari dicontohkan dengan jarak/ panjang, luas, isi dan temperatur. Perhatikan gambar berikut: B

a A

Secara Geometri, suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas garis berarah. Pada gambar disamping ruas garis AB diwakili oleh vektor a dengan A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujungnya dan besar/panjang vektor tersebut 4 satuan, yaitu a = AB = 4

a. Menyatakan suatu vektor Y A (a1, a2) a

O

X

Perhatikan Gambar 1. Misalkan vektor OA digambarkan dalam koordinat kartesius dengan A pada pangkal koordinat (0,0) dan A pada (a1, a2), maka vektor OA dapat dinyatakan sebagai :

Gambar 1

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS •

2

Vektor baris, yaitu OA = a = (a1, a2) ⎛a ⎞ Vektor kolom, yaitu OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠

•

• •

Vektor basis disebut juga vector komponen, yaitu OA = a = a1 i + a2 j dengan i dan, j masing-masing adalah vektor basis pada arah x dan y.

Y

A (a1, a2)

Perhatikan gambar 2. Vektor AB = OB − OA = b - a = ⎛ b1 − a1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ b2 − a 2 ⎠

B(b1,b2)

X Gambar 2

b. Besar atau Panjang ⎛a ⎞ Pada gambar 1, jika vektor OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ 2

besar/ panjang vektor OA = | OA | = | a |= a1 + a 2 Pada gambar 2 , besar vektor AB = | AB | =

2

(b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2

Contoh :

⎛ 3 ⎞ Tentukan besar vektor a jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ − 4⎠ Jawab : Besar vektor a = | a | =

3 2 + (−4) 2 =

9 + 16 =

25 = 5

c. Kesamaaan dua vektor Dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b Contoh : Diketahui u = (m − n)i + (2m − n) j dan v = 6i + 3 j . Tentukan nilai m dan n

yang memenuhi jika u = v . Jawab : u = (m − n)i + (2m − n) j dan v = 6i + 3 j serta u = v , maka: m – n = 6 ......................(1) 2m – n = 3 ......................(2) dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka:



3

m–n =6 2m – n = 3 _ -m=3 m = - 3 sehingga n = - 9 Jadi m = - 3 dan n = - 9 d. Vektor satuan Vektor satuan dari a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan searah ⎛a ⎞ dengan vektor a . Jika a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka vektor satuan dari a ditulis e , ⎝ a2 ⎠ ditentukan dengan ketentuan : ⎛ a1 ⎞ a 1 ⎜ ⎟⎟ e = = 2 2 ⎜ |a| a + a ⎝ a2 ⎠ 1

2

Contoh : ⎛ − 3⎞ Tentukan vektor satuan dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 4⎠ Jawab : ⎛ − 3⎞ Panjang vektor dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ adalah ⎝ − 4⎠

| p | = (−3) 2 + (−4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ⎛ 3⎞ 1 ⎛ − 3⎞ ⎜ − 5 ⎟ ⎟ Sehingga vektor satuan dari p adalah e = = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ | p | 5 ⎝ − 4 ⎠ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ ⎝ 5⎠

p

II. Operasi aljabar pada vektor a. Penjumlahan Vektor Dalam operasi penjumlahan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan. ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞ a + b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠ Contoh : ⎛ − 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −3+ 4 ⎞ ⎟⎟ = Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a + b = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2⎠ ⎝ 2 + (−2) ⎠

⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠

b. Pengurangan Vektor Dalam operasi pengurangan, hanya komponen sejenis yang dikurangkan. ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠



4

⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞ a – b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠ Contoh : ⎛ − 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ − 3 − 4 ⎞ ⎛− 7⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a – b = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2⎠ ⎝ 2 − (−2) ⎠ ⎝ 4 ⎠

c. Perkalian vektor dengan skalar Perhatikan vektor berikut.

− 2a 3a (iii) (ii) Misalkan a adalah vektor bukan nol, maka: • 3 a adalah suatu vektor yang panjangnya 3 kali vektor a dan arahnya searah vektor a . a (i)

•

–2 a adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya berlawanan arah dengan vektor a . ⎛a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ ka ⎞ Jika vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ maka k a = k ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ ka 2 ⎠ dan vektor k a sejajar dengan vektor a

Contoh : ⎛ 3 ⎞ Misalkan a = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah -3 a . ⎝ − 2⎠ Jawab : ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 6⎞ - 2 a = - 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 2⎠ ⎝ 4 ⎠

d. Perkalian skalar antara dua vektor ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan diketahui vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka perkalalian ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ skalar (perkalian titik atau dot product) antara dua vektor a , dan b dirumuskan oleh: 1. a • b = a1 b1 + a2 b2 2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan b

Contoh : ⎛5⎞ ⎛8⎞ Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah : ⎝12 ⎠ ⎝6⎠ b. cosinus antara a dan b a. a • b



5

Jawab :

⎛ 5 ⎞⎛8⎞ a. a • b = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝12 ⎠ ⎝ 6 ⎠ = (5.8) + (12.6) = 40 + 72 = 112 b.

|a|

= =

5 + 12 2

= 100 = 10 a • b = | a | | b | cos θ,

maka cos θ =

2

25 + 144 = 169 = 13 |b |

= =

a •b a.b

112 13.10 112 = 130

=

82 + 62

64 + 36

e. Sudut-sudut khusus yang dibentuk antara dua vektor

Dari persamaan a • b = | a | | b | cos θ

cos θ =

a •b a.b

i) Jika θ = 90o, maka cos θ = 0. Sehingga a • b =0 Seperti tampak pada gambar berikut ini

a b

Contoh :

⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ saling tegak lurus, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v = 0, sehingga ⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ 2x + (– 3x) = 0 –x = 0 x=0 o ii) Jika θ = 0 (berarti vektor a berhimpit dengan b ), maka cos θ = 1. Sehingga a • b =| a | . | b | Seperti tampak pada gambar berikut ini

a

b


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Contoh :

⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 0o, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v =| u |.| v | , sehingga ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ = 4 2 + (−3) 2 . 12 + x 2 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ (4.1)+(-3x) =

25. 1 + x 2

– 3x + 4 = 25 + 25 x 2 Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh : (- 3x + 4)2 = ( 25 + 25 x 2 )2 9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2 16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0 3 x= − 4 iii)Jika θ = 180o (berarti vektor a berlawanan arah dengan b ), maka cos θ = - 1. Sehingga a • b = - | a | . | b | Seperti tampak pada gambar berikut ini •

a Contoh :

b

⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 180o, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v = - | u |.| v | , sehingga ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = − 42 + (−3) 2 . 12 + x 2 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ (4.1)+(-3x) = -

25. 1 + x 2

- 3x + 4 = - 25 + 25 x 2 Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh :

(- 3x + 4)2 = (- 25 + 25 x 2 )2 9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2 16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0 3 x= − 4


6


7

LATIHAN 1

1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut: ⎛ − 12 ⎞ ⎛7⎞ ⎟⎟ b. b = ⎜⎜ ⎟⎟ a. a = ⎜⎜ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 24 ⎠ ⎡6⎤ ⎡− 8⎤ ⎡ 10 ⎤ 2. Diketahui a = ⎢ ⎥ , b = ⎢ ⎥ , c = ⎢ ⎥ dan d = ⎣ 4⎦ ⎣2⎦ ⎣ − 9⎦ Tentukan vektor berikut : a. 5 a + 2 b b.-3 c + 4 a c. 2 d - 4 b 3. Tentukan cosinus sudut dari dua vektor berikut ini ! ⎛ − 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ a. a = ⎜⎜ ⎝ 5 ⎠ ⎝ − 4⎠

⎛ − 10 ⎞ ⎟⎟ c. c = ⎜⎜ ⎝ − 24 ⎠ ⎡− 16⎤ ⎢ −3⎥ ⎣ ⎦

⎛ 2⎞ ⎛ − 3⎞ c. k = ⎜⎜ ⎟⎟ dan l = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ − 2⎠

⎛1⎞ ⎛ 4⎞ b. p = ⎜⎜ ⎟⎟ dan q = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1⎠ ⎝ 3⎠ 4. Tentukan vektor satuan dari a. p = 6i + 8 j

b. q =12i − 5 j 5. Jika vektor a sama dengan vektor b , tentukan x dan y berikut : a. a = (x + 2y) i + (– x – y) j dan b = 4 i – j b. a = (2x – y) i + 7 j dan b ⎛ 3 ⎞ 6. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎝ − 2⎠ a. | a |

= 3 i – (– x – y) j ⎛ − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan: ⎝4⎠

c. | a + b |

b. | b |

d. apakah | a | + | b | = | a + b | ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1⎞ 7. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan : ⎝ − 2⎠ ⎝4⎠ c. | a - b | a. | a | b.| b |

d. apakah | a | - | b | = | a - b | ⎛ 4 ⎞ ⎛12 ⎞ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan nilai dari a . b 8.Diketahui a = ⎜⎜ ⎝ − 10 ⎠ ⎝3⎠ 9.Jika diketahui | a | = 4 dan | b | = 8 serta ∠( a , b ) = 45o. Tentukan nilai a . b 10. Diketahui | a | = 4, | b | = 5 serta | a + b | = 6, tentukan nilai dari | a - b |



8

B. Vektor Di R3 ( Ruang)

I. Sistem Koordinat dalam Ruang Sistem koordinat ruang terdiri dari tiga sumbu misal sb x, sb y dan sb z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu tersebut bertemu pada satu titik pangkal O. Sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif tampak seperti gambar. Sedangkan untuk arah yang berlawanan ditetapkan sebagai arah negatif.

Z zp O

xp X

P yp

Y

Titik P disamping mempunyai koordinat ruang (xp, yp ,zp). dan vektor OP dapat dinyatakan dengan : • Vektor kolom ⎛ xp ⎞ ⎜ ⎟ OP = p = ⎜ y p ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ p⎠ •

•

•

Vektor baris OP = p = ( xp, yp ,zp )

Vektor basis OP = p = xp i + yp j + zp k , dengan i vektor basis pada arah x, y dan z.

,

j dan k masing-masing adalah

Vektor posisi Misalkan OA dan OB masing-masing adalah vektor posisi titik A dan B ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ terhadap O, dan OA = a = ⎜ a 2 ⎟ , OB = b = ⎜ b2 ⎟ maka ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 − a1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Vektor posisi AB = OB - OA = b - a = ⎜ b2 ⎟ - ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ b2 − a 2 ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜b − a ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 Contoh: ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ Nyatakan vektor a = ⎜ 3 ⎟ dalam bentuk vektor basis!. ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ Jawab: ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 3⎟ = 2 i + 3 j + 4 k ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠



9

II. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 Seperti pada vektor di R2, sifat-sifat dan operasi aljabar pada vektor juga dapat diaplikasikan pada vektor di R3 a. Besar atau Panjang Vektor ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2

2

maka besar vektor a = | a | =

a1 + a 2 + a3

dan besar vektor b = | b | =

b1 + b2 + b3

2

2

2

2

Contoh : ⎛ − 3⎞ ⎜ ⎟ Tentukan besar vektor a jika a = ⎜ 4 ⎟ , ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ Jawab :

Besar vektor a = | a | =

(−3) 2 + 4 2 + 5 2 =

50 = 5 2

b. Kesamaaan dua vektor Sama seperti pada vektor pada bidang, dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b c. Vektor satuan Seperti pada vektor di R2 , vektor satuan dari a adalah suatu vector yang ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ besarnya 1 satuan searah dengan vektor a . Jika a = ⎜ a 2 ⎟ , maka vektor ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠

satuan dari a ditulis e , ditentukan dengan ketentuan : ⎛ a1 ⎞ 1 a ⎜a ⎟ e = = 2⎟ 2 2 2 ⎜ |a| a1 + a 2 + a3 ⎜ a ⎟ ⎝ 3⎠ d. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Seperti pada vektor di R2, dalam operasi penjumlahan atau pengurangan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan atau dikurangkan. ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a + b = ⎜ a2 ⎟ + ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠

10

⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 + b2 ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 + b3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 − b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a - b = ⎜ a 2 ⎟ - ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 − b2 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 − b3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Contoh : ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Jika a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 4 ⎟ , maka tentukan vektor b - a . ⎜ 3⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jawab: ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b - a = ⎜ − 4⎟ - ⎜ 2⎟ = ⎜ − 6⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e. Perkalian vektor dengan skalar Seperti perkalian vektor dan skalar di R2, setiap komponen dikalikan dengan skalar tersebut. ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ Jika vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan k adalah skalar ( bilangan riil), maka ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠ ⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k a = k ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ ka 2 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ ka ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Contoh : ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ Misalkan a = ⎜ − 6 ⎟ , maka tentukanlah 6 a . ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ Jawab : ⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 a = 6 ⎜ − 6 ⎟ = ⎜ − 36 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f. Perkalian skalar antara dua vektor Seperti pada pembahasan perkalian skalar dua vektor di R2, pembahasan ini juga berlaku untuk perkalian skalar dua vektor di R3. ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan diketahui vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka perkalian skalar ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

(perkalian titik atau dot product)antara dua vektor a dan b dirumuskan oleh:



11

1. a • b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil antara a dan b Contoh : Diketahui | a | = 5dan | b | = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60o, maka tentukanlah a • b Jawab : a • b = | a | | b | cos θ = 5. 6. cos 60o = 30. ½ = 15 g. Sudut Antara Dua Vektor ⎛ y1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan diketahui vektor a = ⎜ x 2 ⎟ dan b = ⎜ y 2 ⎟ merupakan vektor di R3 ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah θ dapat ditentukan dengan rumus : x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2 a•b cos θ = = 2 2 2 2 2 2 a .b x1 + y1 + z1 . x 2 + y 2 + z 2 Contoh : ⎛ 3 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ 4 ⎟ . Hitunglah besar sudut antara vektor ⎜ − 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a dan b Jawab :

cos θ =

cos θ =

cos θ = cos θ = 0

x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2 2

2

2

2

2

x1 + y1 + z1 . x 2 + y 2 + z 2 (3.0) + (2.4) + ((−2).4)

2

3 2 + 2 2 + (−2) 2 . 0 2 + 4 2 + 4 2 0 17 . 32 maka θ = 90o



12

LATIHAN 2 ⎛ − 3⎞ ⎛6⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ , b = ⎜ − 1⎟ dan c = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜6⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tentukanlah vektor-vektor berikut a. - a b. b + 2 c

c. 3 c - a ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2. Jika u = ⎜ 7 ⎟ dan v = ⎜ − 2 ⎟ , tentukan besar dari vektor berikut : ⎜1⎟ ⎜ − 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. u + 2v b. 5v − 3u c. − 2u − 3v 3. Jika diketahui | a | = 4, | b | = 5 dan ∠( a , b ) = sudut antara vektor a dan b adalah 60o, maka tentukanlah: a. a . a b. a . b c. a ( a + b ) d. b ( a - b ) ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. Tentukan sudut antara vektor a = ⎜ 1 ⎟ dan b = ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. Jika a = 3 i + 4 j – 2 k dan b = 2 i - 3 j + k maka tentukan panjang vektor AB . 6. Diketahui P(5, -3, 4) dan Q(2, -1,0). Jika p dan q masing-masing adalah vektor

posisi dari titik P dan Q, tentukanlah nilai dari p . q 7. Tentukan vektor satuan dari : ⎛ −3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ b. b = ⎜ − 24 ⎟ a. a = ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 12 ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8. Jika diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 2 ⎟ . Tentukan : ⎜ − 3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a. a + 2 b b. | a + 2 b |



13

⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9. Diketahui p = ⎜ 1 ⎟ dan q = ⎜ 0 ⎟ . Tentukan besar cosinus sudut yang ⎜0⎟ ⎜ − 7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dibentuk antara p dan q . 10. Diketahui vektor a = - i + 2 j + 2 k dan b = 3 i – 5 j + 2 k serta c = j + 8 k . Jika

c = p a + q b , maka nilai tentukan nilai dari p dan q.

UJI KOMPETENSI

A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar! ⎛ 10 ⎞ C. a1 + a 2 + a3 ⎟⎟ 1. Diketahui vektor PQ = ⎜⎜ D. a1.a2.a3 ⎝ − 24 ⎠

maka panjang vektor PQ adalah ... A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27 2. Diketahui u = 6i − j + 2k dan v = − 2i + 3 j − 2k maka nilai

u .v = ... A. -21 B. -19 C. 3 D. 5 E. 10

A. 4 B. 5

4. Jika vektor a = a1i + a2 j + a3k , maka panjang vektor a dirumuskan A.a1 + a2 + a3 B. a12+ a22+ a32

2

C. 5 3 D. 5 5

E. 5 6

6. Diketahui | a | = 2, ( a - b ).( a + b ) = -1 dan b . ( b - a ) = 5 sudut antara a dan b adalah... A. π

C. r

2

5. Diketahui a = (2, 3) dan b = (4, –1) nilai |2 b – 3 a | = …

B.

3. Vektor a = (5, 4, 0), vektor b = (2, r -1, 0) dan c = (-3, 8, 0). Jika r r r c = pa + qb , maka p + q = … A. –3 B. –2 C. –1 D. 2 E. 3

2

a1 + a 2 + a3

E.

D. E.

π 2 π 3 π 4 π 6

7. Apabila vektor a = 2i − 3 j − 4k dan b = 3i − 2 j + 5k dan c = 4i + j − 3k

maka a + 2b − c adalah … A. 2 i - 7 j + 8 k B. 3 i - 8 j + 8 k C. 5 i - 6 j + 3 k D. 4 i - 7 j + 6 k E. 4 i - 8 j + 9 k



A 0º B.15º C.30º D.45º E.60º

8. Diketahui a = 2i + j + 3k dan b = i + 3 j − 2k , maka nilai cos

14. Diketahui vektor

sudut yang dibentuk a dan b = ... 1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3 1 D. − 14 2 E. 3 9. Jika A(4,7,0) , B(6, 10, -6) dan C( x, 9,0) agar sudut BAC = 90o, maka nilai x adalah... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 10. Jika a = (−1,1, 2) dan b = (2,1, − 1) maka besar sudut antara a dan b adalah ... A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o E. 240o

dan b = 6 serta sudut yang

π 6

,

maka a . b adalah …… A. 10 3 B. 12 3 D. 14 3 E. 15 3

a = i + 2 j + mk

dan b = 2i − 10 j + 2k . Jika nilai a. • b = 0 , maka nilai m adalah ..... A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 E. -16 15. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60° , |a| = 4 dan |b| = 10, maka a.(b+a)= A. 23 B. 24 C. 36 D.24√3 E. 36√3 16. Diketahui vektor a = (6, x, 14) dan b = (y, 4, 7) segaris, maka nilai y – x = .... A. –5 B. –2 C. 3 D. 4 E. 6 ⎛ − 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ − 5⎞ 17. Jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ dan c = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ 3⎠ ⎝0⎠ ⎝ 4⎠ maka a + b − c adalah . . .

11. Diketahui panjang vektor a = 5

dibentuk oleh a dan b adalah

14

A. 17 B. 15 C. 13 D. 7 E.

C. 13 3

12. Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j + 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit sudut α, tan α=… A. – ⅓√3 B. ⅓√3 C. ½√3 D.1 E. √3 13. Bila | a | = 7, | b |=8 , a .( b + a )=77, maka sudut antara a dan b sebesar …

5

18. Jika vektor a dan b membentuk sudut 1200, a = 2 dan b = 5, maka nilai b ( b -- a ) adalah... A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 E. 40


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 19. Diketahui B ( 1, –2,1 ) dan C( 7, p–1, –5 ), maka nilai p agar dari vektor b dan vektor c tegak lurus adalah … A. 2 B. 3 C. – ½ D. 5 E. –5

20. Diketahui a = 3,

b =1

15 dan

a − b = 1 . Maka panjang vektor a + b = ….

A.

3 B.

5 C.

7 D. 2 2 E. 3

B. Kerjakan soal berikut dengan singkat dan jelas ! 1. Diketahui dua vektor a = 2i − 3 j + 4k dan b = 5 j + k , tentukan nilai a .b ⎡ 3⎤ ⎡2⎤ ⎢ ⎥ 2. Tentukan besar sudut antara a = ⎢2⎥ , b = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ ⎣⎢4⎦⎥ ⎣⎢− 3⎦⎥

3. Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j + 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit sudut α, tentukan nilai sin α 4. Bila | a | = 7, | b |=8 , a .( b + a )=77, maka tentukan besar sudut antara a dan b . 5. Diketahui vektor a = 2 i - 4 j − 2k dan vektor b = − i - j − 2k . Tentukan besar sudut antara dua vektor tersebut ! 6. Jika diketahui

a

= 3,

b

= 4 dan sudut antara keduanya θ = 600 , maka tentukan

nilai dari a • b 7. Jika sudut antara vektor

⎡2⎤ a = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ dan vektor ⎢⎣− 3⎥⎦

⎡ − 1⎤ b = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ adalah α, maka ⎢⎣− 2⎥⎦

tentukan besarnya α r r r r r r r r 8. Diketahui vektor a = i + 2 j + mk dan b = 2i − 10 j + 2k , Tentukan nilai m jika r r a •b = 0 9. Jika vektor a = 2i − 2 j + k , maka tentukan a 10. Tentukan AB , jika A(2, –3 , 1) dan B(–1, –3, 5)

== oOo ==



16

GALILEO, TOKOH YANG DIHUKUM KARENA KECERDASANNYA Pada tanggal 15 Februari 1564 Galileo lahir Di Pisa, Italia sebagai anak lelaki dari Vincenzo Galilei, ahli musik dan matematika yang miskin. Ayahnya berharap kelak Galileo menjadi seorang dokter karena gajinya begitu besar, berpuluh-puluh kali gaji ahli matematika. Karena itu, pada usia 17 tahun ia masuk Universitas Pisa jurusan Kedokteran. Namun, akhirnya ia bosan kuliah Kedokteran. Ia mempelajari Matematika dari seorang guru di istana Tuscana bernama Ostillo Ricci. Lalu, pada usia 21 tahun ia berhenti kuliah karena kekurangan biaya. a kembali ke Florence dan memulai karirnya sebagai pengarang. Karyanya mengenai neraca hidrostatik (1586) dan pusat gaya berat pada benda (1589) membuatnya menjadi begitu terkenal di seluruh Italia. Akhirnya, ia diangkat menjadi dosen di Universitas Pisa. Lalu, ia menjadi guru besar Matematika di Universitas Padua pada tahun 1592. Walaupun begitu, kehidupannya tetap miskin, bahkan ia tak mampu menikah. Namun, ia mempunyai dua anak perempuan dan seorang anak laki-laki hasil hubungannya dengan Marina Gamba, pembantunya sendiri. Pada tahun 1608 Hans Lippershey, seorang ahli optika Belanda, menemukan teleskop, namun tidak bersedia menerima patennya. Sehingga, kemudian Galileo pun berusaha membuat teleskop sederhana dan ia berhasil menciptakan teleskop dengan kemampuan pembesaran 33 kali. Dengan teleskopnya ini ia berhasil menemukan cincin Saturnus, empat buah bulan Yupiter, gununggunung dan kawah di bulan sehingga ia menjadi begitu terkenal di seluruh dunia hingga sekarang. Ia juga menemukan kenyataan bahwa galaksi sebenarnya adalah gugusan bintang yang jumlahnya berjuta-juta. Ia pun melakukan percobaan dengan menjatuhkan benda berbagai ukuran dan berat dari menara Pisa di hadapan para mahasiswa dan ilmuwan. Ia melakukannya untuk membuktikan bahwa teori Aristoteles yang mengatakan bahwa benda berat akan jatuh lebih dulu ke bumi daripada benda ringan merupakan teori yang salah.Hasil percobaan itu pun menunjukkan ternyata teori Aristoteles tersebut memang salah. Selain itu, dengan menggunakan teleskopnya ia juga berhasil membuktikan bahwa teori Aristoteles dan Ptolemeus mengenai benda-benda angkasa tidak benar. Aristoteles beranggapan bahwa permukaan bulan rata dan memancarkan cahaya. Ptolemeus mengatakan bahwa bumi tidak bergerak, matahari dan bintang-bintanglah yang bergerak mengelilingi bumi. Saat itu para tokoh agama dan dosen-dosen universitas di seluruh Italia mengganggap ajaran Aristoteles dan Ptolemeus adalah ajaran yang paling benar. Karena, mereka salah menafsirkan sepenggal ayat yang tedapat dalam Kitab Suci. Sementara itu, Galileo tetap mempertahankan teorinya dan mendukung teori Copernicus yang mengatakan bahwa matahari adalah pusat tata surya. Akibatnya, ia ditangkap para tokoh agama, diadili, dan dijatuhi hukuman sebagai tahanan rumah. Galileo meninggal pada usia 78 tahun di Arcetri pada tanggal 8 Januari 1642 karena demam. Namun, meskipun demikian teori-teorinya tetap dipakai seluruh orang di dunia hingga kini. Ia adalah orang yang pertama di dunia yang menggunakan perhitungan matematika dalam menganalisis mekanika. Ia juga orang pertama yang menghubungkan fisika dan astronomi dengan matematika, bukan dengan filsafat tradisional. Ia merupakan orang yang menemukan hukum benda jatuh, hukum bandul, hukum gerak yang selanjutnya dirumuskan oleh Newton. Ia juga penemu termometer, teleskop ( teropong bintang), dan teori matematik gerak parabola.


E-learning matematika, GRATIS

Recommend Documents