E-learning matematika, GRATIS

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS

1

Penyusun : Edi Sutarto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Definisi Istilah limit diartikan pendekatan. Dalam penulisannya dituliskan: x → 2, dibaca x mendekati 2, artinya: nilai x = 1,999….,(2 − ) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000….1,(2 + ) limit kanan. Contoh : 1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3 Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7 Untuk x → 2, maka nilai fungsi: F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atau F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002 Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7 Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, maka lim 2 x + 3 = 7 artinya untuk x → 2, x→2

nilai f(x) mendekati 7 2.

x 2 − 2x − 3 .Untuk x = 3, maka nilai fungsi x−3 9−6−3 0 0 f(3) = = ( bentuk disebut bentuk tak tentu). 3−3 0 0 2 x − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1) Pada fungsi f(x) = .= x−3 ( x − 3) Untuk x → 3 , maka nilai fungsi:

Diketahui fungsi f(x) =

f(2,9999) =

(2,9999 − 3)(2,9999) = 3,9999 2,9999 − 3

f(3,0001) =

(3,0001 − 3)(3,0001 + 1) = 4,0001. 3,0001 − 3

x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 3 ., maka : lim = 4. Dapat disimpulkan , untuk f(x) = x−3 x−3 x →3 Artinya untuk x → 3, nilai f(x) = 4. Secara umum: lim f ( x) = L, artinya jika x → a, f ( x) mendekati L

x→a

B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu: 1. Bentuk Tentu : Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini merupakan jawaban dari semua soal-soal limit. 2. Bentuk Tak Tentu. 0 ∞ Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk: , ,0.∞, ∞ − ∞ dan 0 ∞ lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban. Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu. 3. Bentuk yang tidak didefinisikan a Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk 0

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS C.Teorema Limit 1. lim c = c x →a

2. 3. 4. 5. 6.

lim x n = a n

x →a

lim c f ( x) = c lim f ( x)

x →a

x →a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ lim [ f ( x) ± g ( x)]= ⎢ lim f ( x)⎥ ± ⎢ lim g ( x)⎥ x →a ⎣ x →a ⎦ ⎣ x →a ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ lim [ f ( x).g ( x)] = ⎢ lim f ( x) ⎥ ⎢ lim g ( x)⎥ x →a ⎣ x →a ⎦ ⎣ x →a ⎦ lim f ( x) f ( x) lim = x →a lim g ( x) x →a g ( x ) x→a

7. 8.

n ⎡ ⎤ n lim [ f ( x)] = ⎢lim f ( x)⎥ x→a ⎣⎢ x → a ⎦⎥ lim n f ( x) = n lim f ( x) x →a x →a

Penggunaan teorema limit Contoh. Carilah nilai dari: a. lim 6 x 2 x→2

b.

lim x 2 ( x + 3)

x →3

Jawaban: a. lim 6 x 2 = 6 lim x 2 = 6(4) 2 = 6(16) = 96 x→2

b.

x→2

⎡

⎤

⎣

⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥ lim x 2 ( x + 3) = ⎢lim x 2 ⎥. ⎢ lim x + lim 3⎥ = 9(3+3) = 54 x→3 ⎥ x→3 ⎢⎣ x→3 ⎥⎦ ⎢ x→3

Latihan 1

1. 2. 3.

x−6

lim

x2

x→ 4

lim

x→ 2

4 3 x +8

lim ( x 3 + 5 x 2 ) 4

x →1

D Penyelesaian Limit I. Penyelesaian limit aljabar di x → a a. Subtitusi langsung. Contoh: Tentukan nilai limit fungsi berikut: 1. lim (3 x − 8) x→ 3

2.

3. 4.

2x − 6 x→ 2 x + 5 lim

lim ( x 3 + 4 x − 3)

x →1

lim

x→ 3

3− x


2

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS Jawaban: 1. lim (3 x − 8) = 3(3)-8 = 1

3.

x→ 3

lim ( x 3 + 4 x − 3) = 13 + 4.1 − 3 = 2

2 x − 6 2( 2) − 6 2 = = − 2+5 7 x→ 2 x + 5

2.

x →1

lim

4.

lim

x→3

3− x = 3−3 = 0

b. Pemfaktoran dan menyederhanakan

0 ,maka dapat 0 diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk: Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu u ( x) ( x − a ).u ( x) u (a) = lim = v(a) x→ a ( x − a ).v( x) x→ a v( x)

lim

Contoh : Tentukan nilai dari limit berikut: x2 − x − 2 x +1 x→ −1

1.

lim

2.

1 2 − x→ 3 1 − x 1 − x2 lim

x 2 − 25 x→ 2 x − 5

3. lim

Jawaban: 1. Dengan subtitusi langsung:

(−1) 2 − (−1) − 2 0 = (bentuk tak tentu) 0 −1+1

x2 − x − 2 ( x + 1)( x − 2) = lim = -3 x +1 ( x + 1) x→ −1 x → −1 lim

2.

1 2 1+ x − 2 1 x −1 − = lim = lim =− 2 2 2 x →1 1 − x 1 − x x →1 1 − x x → 1 (1 − x)(1 + x)

3.

( x − 5)( x + 5) x 2 − 25 = lim = 10. ( x − 5) x→ 2 x→ 2 x − 5

lim

lim

Pemfaktoran bentuk khusus: • a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) • a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) Latihan 2 Tentukan nilai setiap limit berikut: 1. 2. 3. 4. 5.

lim

x2 − 4

x→ 2 x 2 − 3x + 2 x 2 − 4x + 4 lim x→ 2 x 2 + x − 6

lim

x3 + 8

x→ − 2 x 2 + x − 2 x3 − 1

lim

x →1 x 2 − 1

lim

x→ 3

x2 − 9

6. jika f(x) =

7. 8.

lim

x 2 − ax

x→ a x 3 − a 3

x− 3 x−3

lim

x→ 3

1 4 − x→ 2 x − 2 x2 − 4

9. lim

10. lim

x 2 − (3 + a) x + 3a

x → a ax 2 + (1 − 3a ) x − 3

3 x 2 − 5 x − 12 x 2 − 2x x2 − 4

3

11. lim

x 2 + 3x − 18

x→ 3

x 2 − 3x

, maka nilai dari: lim f ( x) =… x→ 2



4

c.Mengalikan dengan faktor sekawan Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limit bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan. Bentuk kawan: x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya

x - a bentuk kawan dari

x + a − b bentuk kawan dari

x + a , dan sebaliknya

x + a + b , dan sebaliknya

Contoh soal: Tentukan nilai limit dari: x −1 x →1 x − 1

1.

2.

lim

2 − 4x + 4 x x→ 0

3.

lim

x2 + 3 − x −1

lim

1 − x2

x →1

Jawaban: 1.

x −1 x +1 ( x − 1) . = = lim x + 1 x →1 ( x − 1)( x + 1) x→ 2 x − 1

2.

4 − ( 4 x + 4) (2 − 4 x + 4 ) (2 + 4 x + 4 ) − 4x .= lim = lim . x x→ 0 (2 + 4 x + 4 ) x → 0 x(2 + 4 x + 4 ) x → 0 x(2 + 4 x + 4 )

1

lim

1 +1

=

1 2

lim

= 3.

lim

x2 + 3 − x −1 1 − x2

x →1

= lim

x→ 1

x 2 + 3 − ( x + 1)

x 2 + 3 + ( x + 1)

.

1 − x2

−4 = −1 2+2

x 2 + 3 + ( x + 1)

=

⎤ ⎡ x 2 + 3 − ( x + 1) 2 x 2 + 3 − x 2 − 2x − 1 ⎥ = lim ⎢ lim x → 1 ⎢ (1 − x 2 )( x 2 + 3 + ( x + 1)) ⎥ x → 1 (1 − x 2 )( x 2 + 3 + ( x + 1)) ⎦ ⎣ − 2( x − 1)

= lim

x → 1 − 1( x − 1)( x + 1)( x 2 + 3 + ( x + 1)

=

2 1 = 2(4) 4

Latihan 3. Tentukan nilai limit berikut!

1. 2. 3.

lim

x→ 9

lim

x−9

4.

x −3 x

x→ 0 2 −

lim

h→ 0

5. lim

4−x

x →1

x+h − x h 3 − x − 3x − 1 5x − 1 − x + 3

3 − 4x + 1 x−2 x→ 2 lim

II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x → ∞ a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat x → ∞ dan ditemui bentuk ∞ tak tentu . ∞ Diselesaikan dengan ketentuan: lim

a

x→ ∞ xn

=0



5

Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 3x 3

1.

5 5 + x x2 3−0+0 1 = lim = lim = = 3 2 7 8 6+0−0 2 x→ ∞ 6 x x→ ∞ 6 + − 7x 8x + − x x2 x3 x3 x3

3x 3 − 5 x 2 + 5 x lim x→ ∞ 6 x 3 + 7 x 2 − 8 x

x3

2x3

2.

3.

2 x 3 + 4 x 2 − 10 x lim x→ ∞ 3 x 4 + 5 x 2 + x

lim

2 x 3 − 3x 2 + 1 x 2 − 2x + 3

x→ ∞

5x 2

−

+

x4

= lim

+

x3

4x 2 x4

5x

3−

x3

−

10 x x4 = 0 + 0 − 0 = 0 3+ 0+ 0 x

x→ ∞ 3 x 4 5 x 2 + + x4 x4 x4 2 x 3 3x 2 1

= lim

x→ ∞

x3

−

x2 x3

−

x3 2x x3

+

+

x3 = 2 − 0 + 0 = 2 = ∞ 0−0+0 0 3

x3

b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat a − b ) Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu ∞ − ∞ Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi ∞ bentuk dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a. ∞ Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 1. 2. 3.

lim

x 2 + 6 x + 2 − x 2 −4 x + 1

lim

2 x 2 − x − x 2 + 3x

lim

x 2 + 2 x − 1 − 2 x 2 + 3x + 1

x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞

Jawaban: 1.

x 2 + 6 x + 2 − x 2 −4 x + 1 .

lim

x→ ∞

lim

( x 2 + 6 x + 2) − ( x 2 − 4 x + 1)

x→ ∞

x 2 + 6x + 2 +

x 2 − 4x + 1

( x 2 + 6 x + 2 + x 2 − 4 x + 1) ( x 2 + 6x + 2 +

x 2 − 4 x + 1)

=

10 x + 1

= lim

x→ ∞

x 2 + 6x + 2 +

x 2 − 4x + 1

, karena

pangkat tertinggi pembilang = 1 x 2 = x , maka:

Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena 10 +

= lim

x→ ∞

2

lim

x→ ∞

lim

x→ ∞

1+

1 x

6 2 4 1 + + 1− + 2 x x x x2

2 x 2 − x − x 2 + 3x . (2 x 2 − x) − ( x 2 + 3x) 2 x 2 − x + x 2 + 3x

=

10 =5 2

( 2 x 2 − x + x 2 + 3x ) ( 2x 2 − x +

= lim

x→ ∞

x 2 + 3x ) x 2 − 4x

=

2 x 2 − x + x 2 + 3x

, karena pangkat tertinggi

pembilang = x 2 , dan pangkat tinggi penyebut1 ( x 2 = x ), maka:


www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 4 x

1− lim

x→ ∞

2 x2

3.

−

1 x3

+

1 x2

+

3

=

1 =∞ 0

x3

x 2 + 2 x − 1 − 2 x 2 + 3x + 1 .

lim

x→ ∞

( x 2 + 2 x − 1) − (2 x 2 + 3 x + 1)

lim

x→ ∞

x 2 + 2x − 1 +

2 x 2 + 3x + 1

( x 2 + 2 x − 1 + 2 x 2 + 3 x + 1) ( x 2 + 2 x − 1 + 2 x 2 + 3 x + 1)

= lim

x→ ∞

− x2 − x − 2 x 2 + 2x − 1 +

2 x 2 + 3x + 1

=

1 2 − x x2 −1 = = -∞ 0 1 2 1 2 3 1 + − + + + x 2 x3 x 4 x 2 x3 x 4 −1−

lim

x→ ∞

ax 2 + bx + c −

4. lim

x→ ∞

px 2 + qx + r , dengan cara yang sama seperti diatas di

peroleh hasil (3 kemungkinan): •

Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya =

b−q

2 a Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = − ∞ Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya = ∞

• •

Latihan 4. Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 6x 2 − 7x + 5 1. lim 5. lim x 2 + 2 x − x 2 − 4 x + 1 x→ ∞ x → ∞ 10 − 4 x + 3 x 2 2 (2 x − 3) 2. lim 6. lim x 2 + 3x − x + 2 x → ∞ (3 x + 1)( 4 x − 3) x→ ∞ 7x + 5 7. lim (3x + 1) − 9 x 2 − 2 x + 7 3. lim 2 x→ ∞ x→ ∞ 3x + 2 x − 3 6x

4. lim

x→ ∞

x 2 + 2x − 1 + 4x

(2 x + 3) 2 (3 x − 4) 3 8. lim x→ ∞ x5 + 7x

. II. Limit Fungsi Trigonometri Teorema: x sin x = lim =1 x→ 0 x x→ 0 sin x x tan x lim = lim =1 x→ 0 x x→ 0 tan x

•

lim

•

a. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk

0 0

Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 1. 5.

sin x x→ 0 3 x sin 2 x lim x → 0 sin 3 x lim

x x→ 0 sin 3 x tan 3x 6. lim sin 4x x→ 0

2. lim

sin 6 x x→ 0 2 x 1 − cos 2 x 7. lim x→ 0 3 x sin x

3.

lim

tan 4 x x→ 0 2 x sin x − sin a 8 lim x−a x→ 0

4. lim


6


7

Jawab: 1.

sin x sin x 1 1 1 = lim = 1( ) = 3 3 x→ 0 3 x x→ 0 x 3

2.

1 x 3x 1 1 = lim . = 1( ) = 3 3 x→ 0 sin 3 x x → 0 sin 3 x 3

5.

2 sin 2 x sin 2 x 3x 2 2 sin 2 x 3 x 2 = lim . = lim = (1)(1) = 3 x→ 0 sin 3 x x → 0 sin 3 x 2 x 3 3 x → 0 2 x sin 3 x 3

7.

1 − cos 2 x 2 sin 2 x 2 sin x sin x 2 2 = lim = lim = (1)(1) = 3 x sin x 3 x sin x 3 x sin x 3 3 x→ 0 x→ 0 x→ 0

lim

lim

lim

lim

b. menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk ( ∞ − ∞ ) Limit bentuk ( ∞ − ∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk

0 0

contoh soal: Tentukan nilai dari limit berikut: lim (sec x − tan x) = x→

π

2

1 π 1 π π sin − sin x 2 cos ( + x).sin ( − x) 2 2 2 2 2 = lim π π π sin( − x) x→ sin( − x) x→ 2 2 2 2

1 sin x 1− sin x lim ( ) = lim − = lim π cos x cos x π cos x π

x→

x→

2

2

1 π π 1 1 =2 cos ( + ). = cos π = 0 2 2

2 2

2

c. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0. ∞ ) dapat diselesaikan dengan 0 mengubahnya ke bentuk . 0 Contoh soal: 1 1 ( x − 1) sin πx ( x − 1) sin πx 2 = lim 2 = 1 1 1 x → 1 cos πx sin( π − πx) 2 2 2 1 1 ( x − 1) sin πx − 1sin π .1 2 2 2 = =− 2. lim 1 π x → 1 sin 1 π (1 − x) π 2 2 1 1. lim ( x − 1) tan πx = lim 2 x→ 1 x→ 1

== oOo ==


www.matematika-pas.blogspot.com

E-learning matematika, GRATIS

8

LATIHAN SOAL Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar! 1. Nilai lim

x →2

A. – B. – C.

6.

x 2 − 5x + 6 =… x2 − 4

1 4 1 8

1 8

0 1 2 3 6

D.

1 2 3 4

x→3

A. B. C. D. E. 8

t 3−8 =… 3. Nilai Lim 2 t → 2 t + t −6 A. 0 B. 43 D.

1 3

7. Nilai lim

x 2 + 3 x − 18 2. Nilai lim adalah … x 2 − 3x x→3

C.

C. E

D. 1 E. 54

A. B. C. D. E.

Nilai lim t→ 4 A. 1 B. 14

t −2 =… t −4

9 − x2 4 − x2 + 7

= ...

0 5 6,5 8 ∞

Nilai lim

x→3

x + 4 − 2x + 1 x−3

adalah

… A. – 17 7 B. – 141 7 C. 0 D. 17 7

12 5 5 4

E.

E. ∞ 4 Nilai lim

x→2

3 ⎞ ⎛ 2 − ⎟ ⎜ 2 ⎝ x − 4 x 2 + 2x − 8 ⎠

=

9

B. − 14 C. − 121 D. − 241 E. 0 x 2 − 2x 5 Jika f (x) = 2 maka lim f (x) x→2 x −4 =… A. 0 B. ∞ C. –2 D. 12

7

Nilai lim

x →0

A. B. C. D. E.

A. − 127

1 14

=…

0 1 2

1 2 ∞

10 Nilai lim

x →0

A. B. C. D. E.

x−x x+x

2 0 –1 –2 -3

E. 2


x2 1− 1+ x2

=…


E-learning matematika, GRATIS 11 Nilai dari 4 x 2 + 3x − 4 x 2 − 5 x

lim x→∞

(3x – 2) – 9 x 2 − 2 x + 5

x →1

A. –

13. Nilai Nilai A. B. C. D. E.

(

)

5 x + 1 − 3x + 7 = …

∞ 8 6 2 0 sin 5 x sin 3 x

14 Nilai Lim

x→0

=…

3 2

16 Nilai Nilai lim

x→2

B. − C. −

… A. B. C. D. E.

0 1 2 2x x3

A. −

4 3 4 7 2 5

f (x+p ) - f (x ) sama dengan p

lim p→0

(x + 6)sin (x + 2) =.. 2 x − 3x − 10

B. − C. − D. E

2 1 5x 3

, maka

f ( x + p ) − f ( x) =… p

p → 0

5 3

A. −

D. 1 E. 4 19 Jika f(x) = x2 – 1, maka

lim

tan 3t 15 Nilai Lim adalah … t → 0 2t A. 0 B. 1 C. 3 D. 23 E.

1 2

20 Diketahui f(x) =

A. 1 B. 0 C. –1 D. 53 E.

1− x =… 1− x 2

B. 0 C. 14

5 3

x→∞

0 1 2 3 4

A. B. C. D. E.

18 Nilai lim

=… A. 0 B. – 13 C. –1 D. – 43

lim

sin x + sin 3 x = … x cos x

x→0

x→∞

E. –

D. 0 E. 1 17 Nilai lim

adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8 12 Nilai lim

9

2 4

5x 3 2 2

5x 3 2 2

15 x 3 2 2

15 x 3 2 4

15 x 3



E-learning matematika, GRATIS

10

Mengapa Cina Sangat Berprestasi Dalam Olimpiade Matematika Internasional?

Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International Mathematical Olympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswasiswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5 perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul. Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika. Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika. Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO


E-learning matematika, GRATIS

Recommend Documents