DISKRÉTNÍ MATEMATIKA a ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ

´ Í MATEMATIKA DISKRETN a ´ ˚ UVOD DO TEORIE GRAFU ( pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı )

Petr Kováˇr

Text byl vytvoˇren v rámci realizace projektu Matematika pro inˇzenýry 21. stolet´ı (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se spoleˇcnˇe pod´ılela Vysoká ˇskola bán ˇská – Technická univerzita Ostrava a Západoˇceská univerzita v Plzni

2

´ Uvodem Tento text je zat´ım pracovn´ı. P˚ uvodnˇe soubor obsahoval pˇr´ıpravy na cviˇcen´ı a poznámky k pˇredmˇetu Diskrétn´ı matematika pro zimn´ı semestr 2006/2007. Nyn´ı je k dispozici také celá ˇrada pˇr´ıklad˚ u k procviˇcen´ı. Na zaˇcátku vˇetˇsiny kapitol najdete i ˇreˇsené pˇr´ıklady. Chtˇel bych podˇekovat student˚ um Pavle Kabel´ıkové a Tomáˇsi Kupkovi, kteˇr´ı pomáhali s pˇr´ıpravou nˇekter´ ych pˇr´ıklad˚ u a také Michalu Kubesovi, ktery pozornˇe proˇsel vˇetˇsinu ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u. Podˇekov´ an´ı ˇ patˇr´ı i dalˇs´ım student˚ um a koleg˚ um: Martinu Cerm´ akovi, Oldˇrichu Vlachovi, Tereze Kováˇrové, Adamu Silberovi, Lukáˇsi Rapantovi a Jirkovi Fialovi, kteˇr´ı odhalili celou ˇradu chyb a pˇreklep˚ u.

K pouˇ zit´ ym symbol˚ um Pˇr´ıklady oznaˇcené *“ patˇr´ı k nároˇcnˇejˇs´ım. Jejich ˇreˇsen´ı obvykle vyˇzaduje delˇs´ı v´ ypoˇcet nebo peˇclivˇejˇs´ı ” rozbor. Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u oznaˇcen´ ych **“ je tˇreba nˇejak´ y nápad nebo v´ ysledek z jiné oblasti matematiky. ” Zd˚ uraznˇeme ale, ˇze hvˇeziˇcka neznamená nutnˇe to nikdy nevyˇreˇs´ım“. ” Naproti tomu pˇr´ıklady oznaˇcené ♡“ jsou tak lehké, ˇze jejich ˇreˇsen´ı je moˇzné zpamˇeti jen s uˇzit´ım ” základn´ıch pojm˚ u. V Paskovˇe 19. ˇr´ıjna 2014.

OBSAH

3

Obsah 0 Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklady

7

I

8

Z´ aklady diskr´ etn´ı matematiky

1 Mnoˇ ziny, souˇ cty a souˇ ciny ˇ 1.1 C´ısla, operace, mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 V´ ybˇ ery prvk˚ u s opakov´ an´ım i bez 2.1 V´ ybˇery bez opakován´ı . . . . . . 2.2 V´ ybˇery s opakován´ım . . . . . . 2.3 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . .

opakov´ an´ı prvk˚ u 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Diskr´ etn´ı pravdˇ epodobnost 3.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . . . . 3.2 Koneˇcn´ y pravdˇepodobnostn´ı prostor 3.3 Disjunktn´ı a nezávislé jevy . . . . . 3.4 Podm´ınˇená pravdˇepodobnost . . . . 3.5 Stˇredn´ı hodnota . . . . . . . . . . . . 3.6 Náhodné v´ ybˇery . . . . . . . . . . . 3.7 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . 4 D˚ ukazy v diskr´ etn´ı matematice 4.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . 4.2 Základn´ı logické symboly . . . 4.3 Pojem matematického d˚ ukazu . 4.4 Princip matematické indukce . 4.5 Vztahy s kombinaˇcn´ımi ˇc´ısly . 4.6 D˚ ukazy poˇc´ıtán´ım . . . . . . . 4.7 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . 5 Relace a zobrazen´ı 5.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . 5.2 Pojem relace . . . . . . . . . . 5.3 Uspoˇrádán´ı a ekvivalence . . . 5.4 Funkce a zobrazen´ı . . . . . . . 5.5 Skládán´ı zobrazen´ı a permutace 5.6 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

9 9 11

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

20 21 22 23 25 25 26 27

. . . . . . .

29 30 31 31 32 33 34 34

. . . . . .

36 37 38 39 40 41 42

6 Princip inkluze a exkluze 43 6.1 Uˇzit´ı principu inkluze a exkluze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7 Algoritmizace diskr´ etn´ıch struktur 45 7.1 Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II

´ Uvod do teorie graf˚ u

46

4 1 Pojem grafu 1.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . 1.2 Základn´ı tˇr´ıdy graf˚ u . 1.3 Stupnˇe vrchol˚ u v grafu 1.4 Podgrafy . . . . . . . . 1.5 Isomorfismus graf˚ u . . 1.6 Implementace graf˚ u. . 1.7 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı .

OBSAH

. . . . . . .

2 Souvislost grafu 2.1 Souvislost a komponenty 2.2 Prohledáván´ı grafu . . . 2.3 Vyˇsˇs´ı stupnˇe souvislosti 2.4 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

grafu . . . . . . . . . . . .

3 Eulerovsk´ e a hamiltonovsk´ e 3.1 Eulerovské grafy . . . . . 3.2 Hamiltonovské grafy . . . 3.3 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

47 47 48 48 50 51 52 52

. . . .

54 55 56 56 57

grafy 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Vzd´ alenost a metrika v grafu 4.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . . . . 4.2 Vzdálenost v grafu . . . . . . . . . . 4.3 Vzdálenost v ohodnocen´ ych grafech . 4.4 Nejkratˇs´ı cesta v ohodnoceném grafu 4.5 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . . . . . 5 Stromy 5.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . 5.2 Základn´ı vlastnosti strom˚ u. . 5.3 Koˇrenové a pˇestované stromy 5.4 Isomorfismus strom˚ u . . . . . 5.5 Kostry graf˚ u . . . . . . . . . 5.6 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . .

. . . – .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijkstr˚ uv algoritmus . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

61 61 62 62 63 64

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

65 65 66 67 68 68 69

6 Barevnost a kreslen´ı graf˚ u 6.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . 6.2 Vrcholové barven´ı graf˚ u . . . . 6.3 Rovinné kreslen´ı grafu . . . . . 6.4 Rozpoznán´ı rovinn´ ych graf˚ u . . 6.5 Barven´ı map a rovinn´ ych graf˚ u 6.6 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

71 72 72 73 76 76 76

7 Toky v s´ıt´ıch 7.1 Definice s´ıtˇe . . . . . . . . . . 7.2 Hledán´ı maximáln´ıho toku . . 7.3 Zobecnˇen´ı s´ıt´ı a dalˇs´ı aplikace 7.4 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

78 78 78 80 80

Literatura

. . . .

81

OBSAH

5

Cviˇ cen´ı pˇ red pˇ redn´ aˇ skou Podm´ınky z´ apoˇ ctu Oficiáln´ı informace o pˇredmˇetu v Edisonu (http://edison.vsb.cz) • hodnocen´ı v pr˚ ubˇehu studia, • term´ınech p´ısemn´ ych test˚ u, • term´ıny zkouˇsky, • moˇznost (závazného) pˇrihláˇsen´ı ke zkouˇsce. V tomto pˇredmˇetu je 100b celkem, z toho 30b bˇehem semestru: • 10b za projekt: projekty se nevrac´ı k dopracován´ı (pozor na dead line) • 20b za p´ısemky: kaˇzd´ y t´ yden 0/1/2b ze zadan´ ych pˇr´ıklad˚ u

Z´ apoˇ ctov´ e p´ısemky • Kaˇzd´ y t´ yden semestru se na cviˇcen´ı bude psát krátká zápoˇctová p´ısemka (10 p´ısemek). • K vyˇreˇsen´ı bude zhruba 2–10 minut, podle obt´ıˇznosti pˇr´ıkladu. • Bˇehem p´ısemek nen´ı moˇzno pouˇz´ıvat literaturu, ani zápisky. ´ E ˇR ˇ SPRAVN ´ ˇ ´ ˇ • Za kaˇzdou p´ısemku m˚ uˇzete z´ıskat 0/1/2 body (NE/TEM E/ZCELA SPRAVN E). • Kaˇzdá druhá p´ısemka bude nav´ıc obsahovat nˇejakou teoretickou otázku za 1 bod. Témata budou vyb´ırána z látky probrané na pˇrednáˇskách. • Pˇri absenci se p´ısemka hodnot´ı 0 body. • Na konci semestru se kaˇzdému vezmou body osmi nejlepˇ s´ıch p´ısemek (ˇctyˇr nejlepˇs´ıch dvoubodov´ ych p´ısemek a ˇctyˇr nejlepˇs´ıch tˇr´ıbodov´ ych p´ısemek). • Témata a typové pˇr´ıklady p´ısemek najdete http://am.vsb.cz/kovar • Alespoˇ n t´ yden pˇredem budou k dispozici také zadán´ı pˇr´ıklad˚ u. • Pˇri ne´ uˇcasti máte moˇznost zjistit, co bylo probráno a na jaké téma se bude psát dalˇs´ı p´ısemka.

Samostatn´ y projekt Bˇehem semestru budou zveˇrejnˇena témata samostatn´ ych p´ısemn´ ych projekt˚ u. • Kaˇzd´ y student vypracuje jedno zadán´ı podle ˇc´ısla, které mu bude pˇridˇeleno. • Pro z´ıskán´ı zápoˇctu mus´ıte m´ıt pˇrijatý referát, tj. kromˇe ˇreˇsen´ı mus´ı vyhovˇet i formáln´ım poˇzadavk˚ um. • Referát obsahuje cca 4 pˇr´ıklady ´ E ˇR ˇ SPRAVN ´ ˇ ´ ˇ lehˇc´ı • Pˇr´ıklady se hodnot´ı bud’ za 0, 1 nebo 2 bod˚ u, (NE/TEM E/ZCELA SPRAVN E), ´ ˇ za 0 nebo 1 bod, (NE/ZCELA SPRAVN E). • V pˇr´ıpadˇe, ˇze si student zvol´ı variantu Projekt pro ty, kteˇr´ı se chtˇej´ı nˇeco nauˇcit“, tak v pˇr´ıpadˇe ” mimoˇrádnˇe kvalitn´ıho referátu lze udˇelit aˇz 10 bod˚ u. • Celkem je za samostatné referáty 6 (ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech aˇz 10) bod˚ u. Refer´ at m´ a pevnˇ e stanoven´ y term´ın odevzd´ an´ı, kter´ y mus´ıte dodrˇ zet. • Kaˇzd´ y mus´ı sepsat sv˚ uj referát sám, ˇz´ adná spolupráce na v´ ysledném textu referátu nen´ı dovolena. • Je dovoleno o zadán´ı referátu diskutovat se spoluˇzáky a vˇenovat pˇr´ıklad˚ um nˇejak´ y ˇcas na cviˇcen´ıch. • Referát odevzdáváte e-mailem nebo na pap´ıˇre pˇr´ısluˇsnému vyuˇcuj´ıc´ımu (kontakt je uveden u kaˇzdého zadán´ı). • Pˇredepsan´ y formát je PDF nebo postscript.

6

OBSAH

Zkouˇ ska • Pˇredmˇet je zakonˇcen p´ısemnou zkouˇskou, aˇz 70 bod˚ u. • Pˇrihlaˇsen´ı ke zkouˇskce je moˇzné pouze prostˇrednictv´ım Edisonu. • Ke zkouˇsce mohou j´ıt pouze studenti, kteˇr´ı z´ıskali zápoˇcet. • Pˇrihláˇsky jsou závazné a v pˇr´ıpadˇe nepˇr´ıtomnosti na zkouˇsce je student hodnocen 0 body. Podrobné informace jsou v Edisonu a také na stránkách http://am.vsb.cz/kovar/.

Dalˇ s´ı pozn´ amky • pokud má nˇekdo uznan´ y zápoˇcet z loˇ nského roku, mus´ı se rozhodnout, zda ho bude cht´ıt uznat nebo zda bude chodit znovu a v´ ysledky v Edisonu mu zruˇs´ıme • 14 dn´ı na pˇresuny mezi skupinami • pˇri pˇresunu dát vˇedˇet obˇema vyuˇcuj´ıc´ım Literatura: ˇ • M. Kubesa. Základy diskrétn´ı matematiky, v´ yukov´ y text I, FEI VSB–TUO, 2012. ´ ˇ • P. Kováˇr. Uvod do teorie graf˚ u, v´ yukov´ y text II, FEI VSB–TUO, 2012. ˇ • P. Hlinˇen´ y. Diskrétn´ı matematika, v´ yukov´ y text on-line, FEI VSB–TUO, 2004. • J. Matouˇsek, J. Neˇsetˇril. Kapitoly z diskrétn´ı matematiky, Karolinum Praha 2000. • pˇrehled pˇrednáˇsek je na webu http://am.vsb.cz/kovar/predmety dm prubeh.php

7

0

Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklady

0.0.1. Devˇet kamarád˚ u si na Vánoce dalo dárky. Kaˇzd´ y dal dárky tˇrem sv´ ym kamarád˚ um. Ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzné, aby kaˇzd´ y dostal dárky právˇe od tˇech tˇr´ı kamarád˚ u, kter´ ym dárky sám dal. [ rozborem dvojic nebo s vyuˇzit´ım principu sudosti ] 0.0.2. Tˇri domy a tˇri studny.“ Podle povˇesti ˇzily v Temném hvozdu tˇri ˇcarodejnice. Kaˇzdá bydlela ve své ” vlastn´ı sluji a kaˇzd´ a potˇrebovala k provozov´ an´ı své ˇzivnosti vodu ze tˇr´ı studánek: s ˇzivou vodou, s mrtvou vodou a s pitnou vodou. Jenomˇze cestou ke studánkám se ˇcarodejnice nesm´ı potkat, ani zkˇr´ıˇzit vyˇslapanou cestiˇcku jiné ˇcarodejnice. Jak mohla vypadat mapa lesa se slujemi, studnami a cestiˇckami? Pokud ˇreˇsen´ı neexistuje, peˇclivˇe zd˚ uvodnˇete. [ takové uspoˇrádán´ı nem˚ uˇze existovat, povˇest nen´ı pravdiv´ a] 0.0.3. Sedm most˚ u mˇesta Královce“ Mˇestem Královec (nyn´ı Kaliningrad na u ´zem´ı Ruska) teˇce ˇreka Pre” gola, která vytváˇr´ı dva ostrovy. V 18. stolet´ı byly ostrovy spojeny s obˇema bˇrehy i navzájem celkem sedmi mosty. Otázka zn´ı, zda je moˇzné vˇsechny mosty pˇrej´ıt tak, aby ten, kdo se o to pokouˇs´ı, vstoupil na kaˇzd´ y most pouze jednou. [ˇreˇsen´ı nem˚ uˇze neexistovat; pˇr´ısluˇsn´ y graf nen´ı eulerovsk´ y] 0.0.4. Dokonal´ y kompresn´ı algoritmus“ Najdˇete alespoˇ n jeden pˇr´ıklad dokonalého bezztrátového kom” presn´ıho a dekompresn´ıho algoritmu, (máte naj´ıt dva algoritmy): 1. postup, jak z libovolné posloupnosti bajt˚ u b1 , b2 , . . . , bn sestavit kratˇs´ı posloupnost c1 , c2 , . . . , cm , kde m < n, a souˇcasnˇe 2. postup, jak z posloupnosti c1 , c2 , . . . , cm sestavit zpˇet posloupnost b1 , b2 , . . . , bn . Pokud takov´ y algoritmus neexistuje, peˇclivˇe zd˚ uvodnˇete. [ algoritmus nem˚ uˇze existovat; neexistuje bijektivn´ı zobrazen´ı mezi koneˇcn´ ymi mnoˇzinami r˚ uzné velikosti ] 0.0.5. Lámán´ı ˇcokolády“ Tabulka ˇcokolády se skládá z m × n ˇctvereˇck˚ u. Chceme ji nalámat na jednotlivé ” ˇctvereˇcky. Najdˇete (a dokaˇzte) jak´ y je nejmenˇs´ı poˇcet zlom˚ u, abychom ˇcokoládu m×n rozdˇelili na jednotlivé ˇctvereˇcky? [ nejmenˇs´ı moˇzn´ y poˇcet lámán´ı je mn − 1 ] 0.0.6. Handshaking problem“ Máme skupinu n lid´ı (n ≥ 2) z nichˇz nˇekteˇr´ı si podali ruce. Ukaˇzte, ˇze ” [ rozborem dvou ve skupinˇe jsou alespoˇ n dva lidé, kteˇr´ı podali ruku stejnému poˇctu lid´ı ve skupinˇe. pˇr´ıpad˚ u a uˇzit´ım Dirichletova principu ]

ˇ ast I C´

Z´ aklady diskr´ etn´ı matematiky

9

1

Mnoˇ ziny, souˇ cty a souˇ ciny

Nejprve pˇripomeneme, ˇze znám´ y vztah pro souˇcet prvn´ıch n kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel je n ∑

i=

i=1

n (n + 1). 2

(1)

Podrobnˇeji si o základn´ıch kombinatorick´ ych pojmech pˇreˇctete v u ´vodn´ı kapitole skript [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady ∑ 1.0.1. Vypoˇctˇete 4i=−3 3+i 2 . Pro pˇrehlednost si sumu rozep´ıˇseme, coˇz zkuˇsenˇejˇs´ı poˇctáˇr dˇelat nemus´ı. 4 ∑ 3+i 2

= 0+

i=−3

1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2

D´ ale postupujeme substituc´ı j = i + 3. 4 4 7 ∑ 3+i 1 ∑ 1∑ = (3 + i) = j 2 2 2

i=−3

i=−3

j=0

S vyuˇzit´ım vztahu (1) dostaneme 1∑ 1 7 j = · (1 + 7) = 14. 2 2 2 7

j=0

1.0.2. Upravte na celoˇc´ıseln´ y zlomek 31, 271. Oznaˇc´ıme si a = 31, 271. Protoˇze se za desetinou ˇcárkou opakuj´ı ˇc´ıslice 71, vynásob´ıme ˇc´ıslo a ˇc´ıslem 100, y rozvoj odeˇcetl. Dostaneme dostaneme 100a = 3127, 171. Nyn´ı odeˇcteme ˇc´ısla tak, aby se periodick´ 100a − a = 3127, 171 − 31, 271 99a = 3095, 9 990a = 30959 30959 . a = 990 Proto 31, 271 =

30959 990 .

1.0.3. Urˇcete doplnˇek mnoˇziny vˇsech sud´ ych ˇc´ısel S a) v mnoˇzinˇe N, Doplnˇek S = N \ S jsou vˇsechna lichá ˇc´ısla, tj. S = {2k + 1: k ∈ N}. b) v mnoˇzinˇe R. Doplnˇek S = N \ S jsou vˇsechna reálná ˇc´ısla, která nejsou sudá ˇc´ısla, tj. S = {x: x ∈ R, pˇriˇcemˇz x ̸= 2k, kde k ∈ N}.

1.1

ˇ ısla, operace, mnoˇ C´ ziny

1.1.1. Vypoˇc´ıtejte následuj´ıc´ı sumy nebo produkty. ∑ 1 . a) Vypoˇctˇete 5i=2 2j b) Vypoˇctˇete c) Vypoˇctˇete

∑5

1 j=2 2j .

∑4

i=1 i

3.

[ ] 2 j

[

77 120

]

[ 100 ]

10

1

d) Vypoˇctˇete e) Vypoˇctˇete

ˇ ˇ ˇ MNOZINY, SOUCTY A SOUCINY

∏n

i i=0 i+1 .

[

∏n

i i=1 i+1 .

1.1.2. Najdˇete obecn´ y vztah pro souˇcet prvn´ıch k lich´ ych ˇc´ısel.

[0] ]

1 n+1

[

k2

]

1.1.3. Najdˇete obecn´ y vztah pro souˇcet prvn´ıch k sud´ ych kladn´ ych ˇc´ısel.

[ k(k + 1) ] [ 1.1.4. Ukaˇ zte, ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer libovolného sudého poˇctu po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel nen´ı celé ˇc´ıslo. a − ] 1 + k + 12 [∑ 1.1.5.♡ Zapiˇste funkci souˇcet prvk˚ u mnoˇziny A = {18, 25, 31, 67, 202, 301, 356} pomoc´ı sumy. i∈A i = ] ∑ i∈{18,25,31,67,202,301,356} i 1.1.6.♡ Vypoˇc´ıtejte a) ⌊2.7⌋.

[2]

b) ⌊−2.7⌋.

[ −3 ]

22 c) ⌊ 10 ⌋.

[2]

d) ⌊− 22 10 ⌋.

[ −3 ]

e) ⌊−π⌋.

[ −4 ]

f) ⌊−e⌋.

[ −3 ]

g) P = ⌊ n+1 n ⌋, pro n ∈ N

[ pro n = 0 nemá smysl, pro n = 1 vyjde P = 2, jinak P = 1 ]

1.1.7.* Zapiˇste funkci ⌊⌋ pomoc´ı ⌈⌉.

[ ⌊x⌋ = −⌈−x⌉ ]

1.1.8.* Zapiˇste funkci ⌈⌉ pomoc´ı ⌊⌋.

[ ⌈x⌉ = −⌊−x⌋ ] [ 122 ]

1.1.9. Upravte na celoˇc´ıseln´ y zlomek 1, 23.

99

1.1.10.* Ukaˇzte, ˇze ⌊1.9⌋ = 2

[u ´pravou na celoˇc´ıseln´ y zlomek ]

1.1.11.* Ukaˇzte, ˇze ⌈1.9⌉ = 2

[u ´pravou na celoˇc´ıseln´ y zlomek ]

1.1.12. Ukaˇzte, ˇze ⌈⌈x⌉⌉ = ⌈x⌉ 1.1.13. Jak vyjádˇr´ıte klasické zaokrouhlen´ı pomoc´ı ⌊⌋? 1.1.14.* Jak vyjádˇr´ıte klasické zaokrouhlen´ı pomoc´ı ⌈⌉?

[ ⌈x⌉ je celé ˇc´ıslo ] [ ⌊x + 0.5⌋ ] [ −⌈−0.5 − x⌉ ]

1.1.15. Nakreslete graf funkc´ı ⌊sin x⌋, ⌈cos x⌉ a ⌊tan x⌋.

[ 1.1.16. Kolik prvk˚ u má 2{1,2,3,4} ? Rozepiˇste. 16 prvk˚ u, 2A = {∅,] {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} [ B 1.1.17. Rozepiˇste potenˇcn´ı mnoˇzinu mnoˇziny B = {1, 2, 3}. 2 = ] {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 1.1.18.♡ Máme dány mnoˇziny A = {1, 2, 3}, B = {◦, ⋆}. a) Kolik prvk˚ u má sjednocen´ı A ∪ B?

[5]

b) Kolik prvk˚ u má pr˚ unik A ∩ B?

[0]

c) Kolik prvk˚ u má rozd´ıl A \ B?

[3]

d) Kolik prvk˚ u má kartézsk´ y souˇcin A × B?

[6]

e) Kolik prvk˚ u má souˇcin A × 2B ?

[ 12 ]

1.2 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı

11

f) Rozepiˇste kartézsk´ y souˇcin A × B.

[ A × B = {(1, ◦), (2, ◦), (3, ◦), (1, ⋆), (2, ⋆), (3, ⋆)} ]

g) Rozepiˇste kartézsk´ y souˇcin B × A.

[ B × A = {(◦, 1), (◦, 2), (◦, 3), (⋆, 1), (⋆, 2), (⋆, 3)} ]

h) Rozepiˇste rozd´ıl A \ B.

[A \ B = A]

i) Rozepiˇste rozd´ıl B \ A.

[B \ A = B ] [

j) Rozepiˇste souˇcin A × 2B . A × 2B = {(1, ] ∅), (1, {◦}), (1, {⋆}), (1, {◦, ⋆}), (2, ∅), (2, {◦}), (2, {⋆}), (2, {◦, ⋆}), (3, ∅), (3, {◦}), (3, {⋆}), (3, {◦, ⋆})} 1.1.19. Urˇcete doplnˇ ek mnoˇziny B v mnoˇzinˇe A, kde A = R, B = {x ∈ R : |x| ≥ 2}. ] R : |x − 2| < 0}

[

B = (−2, 2) = {x ∈

1.1.20. Urˇcete pr˚ unik a sjednocen´ı mnoˇzin A = N, B = {x ∈ Z : |x| ≥ 3}. N \ {0, 1, 2}, A ∪ B = {x ∈ Z : x ≤ −3 ∨ x ≥ 0} = Z \ {−2, −1} ]

[ A ∩ B = {x ∈ N : x ≥ 3} =

1.1.21. Urˇcete rozd´ıly A \ B, B \ A, kde A = N, B = {x ∈ Z : |x| ≥ −7}. B \ A = {x ∈ Z : x ≤ −7} = {−7 − x : x ∈ N} ]

[ A \ B = [0, 6],

1.1.22.♡ Kdy plat´ı a) A ∩ B = A?

[ je-li A ⊆ B ]

b) A ∪ B = A?

[ je-li B ⊆ A ]

c) A ∪ B = A ∩ B?

[ pro A = B ]

1.1.23.* Dokaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze |2A | = 2|A| .

1.2

[ Indukc´ı vzhledem k |A|. ]

Pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı

1.2.1. Existuje taková posloupnost (ai )ni=1 , ˇze napˇr´ıklad (ai )ni=1 = (−1)ni=1 pro n ∈ N, n ≥ 1 ]

∑n

1.2.2. Existuje taková posloupnost (ai )ni=1 , ˇze [ ano, napˇr´ıklad (a1 , a2 ) = (−1, 3) ]

i=1 ai

∑n

<

i=1 ai

∑n

i=1 (−ai )?

> 0 a

1.2.3. Existuje taková posloupnost kladných ˇc´ısel (ai )ni=1 , ˇze [ ano, napˇr´ıklad (a1 , a2 ) = (0.1, 0.2) ]

∑n

∏n

Pokud ano, uved’te pˇr´ıklad!

i=1 ai

i=1 ai

>

[ ano,

< 0? Pokud ano, uved’te pˇr´ıklad!

∏n

i=1 ai ?

Pokud ano, uved’te pˇr´ıklad!

1.2.4.♡ Je nˇekterá mnoˇzina podmnoˇzinou kaˇzdé mnoˇziny? Pokud ano, uved’te pˇr´ıklad. mnoˇzina ]

[ ano, prázdn´ a

1.2.5. Upravte, ˇcemu se rovná a) A ∩ (B ∪ C) = ?

[ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ]

b) A ∪ (B ∩ C) = ?

[ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ] [ ] A∪B

c) A ∩ B = ? (X znaˇc´ı doplnˇek mnoˇziny X) 1.2.6. Kdy je potenˇcn´ı mnoˇzina 2A a) jednoprvková? b) dvouprvková

[ pouze pro A = ∅ ] [ pouze pro |A| = 1 ]

c) tˇr´ıprvková

[ nikdy ]

d) prázdná

[ nikdy ]

12 1.2.7. Kdy je kartézsk´ y souˇcin dvou mnoˇzin A × B prázdn´ y?

1

ˇ ˇ ˇ MNOZINY, SOUCTY A SOUCINY [ pouze kdyˇz A = ∅ nebo B = ∅ ]

1.2.8. Je moˇzno naj´ıt dvˇe takové mnoˇziny A, B, aby souˇcasnˇe platilo A ⊂ B i A ∈ B? pro A = ∅, B = {∅} ]

[ ano, napˇr´ıklad

1.2.9. Je moˇzno naj´ıt dvˇe takové neprázdné mnoˇziny A, B, aby souˇcasnˇe platilo A ⊂ B i A ∈ B? napˇr´ıklad A = {a}, B = {a, {a}} ]

[ ano,

1.2.10. Dˇelové koule si dˇelostˇrelci stavˇeli do pyramid. a) Pyramida bud’ mˇela ˇctvercovou základnu napˇr. 4 × 4 koule, na n´ı dali vrstvu 3 × 3 koule, pak 2 × 2 koule a na vrchol 1 kouli. Tato pyramida mˇela celkem 30 koul´ı. Kolik celkem koul´ [ ı1 by mˇela pyramida] o základnˇe n × n koul´ı? 6 n(n + 1)(2n + 1) b) Pyramida mohla m´ıt zaloˇzenou podstavu ve tvaru rovnoramenného troj´ uheln´ıku z 15 koul´ı, na n´ı byla dalˇs´ı vrstva 10 koul´ı, dalˇs´ı vrstva mˇela 6 koul´ı, pak 3 koule a na vrcholu byla 1 koule. Celkem mˇ 35 koul´ı. Kolik celkem koul´ı by mˇela pyramida o základnˇe s hranou z n koul´ı? [ 1ela taková pyramida ] n(n + 1)(n + 2) 6

13

2

V´ ybˇ ery prvk˚ u s opakov´ an´ım i bez opakov´ an´ı prvk˚ u

Podrobnˇeji si o základn´ıch o kombinatorick´ ych v´ ybˇerech pˇreˇctete ve skriptech [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 2.0.1. Vypoˇc´ıtejte, kolika zp˚ usoby lze na klasické ˇsachovnici (8 × 8 pol´ı) vybrat a) trojici libovoln´ ych pol´ıˇcek, Jedná se o (neuspoˇ rádan´ y v´ ybˇer (nezáleˇz´ı na poˇrad´ı, v jakém pol´ıˇcka vybereme) tˇr´ı pol´ıˇcek z 64. ) 64·63·62 64 C(64, 3) = 3 = = 32 · 21 · 62 = 41 664. 6 b) trojici pol´ıˇcek tak, ˇze ˇzádné dvˇe neleˇz´ı v témˇze sloupci, Nejprve vybereme tˇri sloupce z osmi. Jedná se o neuspoˇrádan´ y v´ ybˇer C(8, 3), protoˇze nezáleˇz´ı kter´ y sloupec vybereme nejdˇr´ıv a kter´ y pozdˇeji. Potom, podle principu nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u, v kaˇzdém sloupci vybereme jedno pol´ıˇcko. Bude se jednat o upoˇrádan´ y v´ ybˇer s opakován´ım tˇr´ı pol´ıˇcek z osmi, protoˇze v kaˇzdém sloupci m˚ uˇzeme vybrat 8·7·6 ∗ 3 libovolné z osmi pol´ıˇcek. C(8, 3) · V (8, 3) = 6 · 8 = 28 672. Stejn´ y v´ ysledek bychom dostali, pokud bychom nejprve vybrali tˇri ˇrady. c) trojici pol´ıˇcek tak, ˇze ˇzádné dvˇe neleˇz´ı v témˇze sloupci ani v téˇze ˇradˇe, Opˇet nejprve vybereme tˇri sloupce z osmi, coˇz je celkem C(8, 3) moˇznost´ı. Potom, opˇet podle principu nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u, v kaˇzdém sloupci vybereme jedno pol´ıˇcko. Bude se jedna o upoˇrádan´ y v´ ybˇer bez opakován´ı tˇr´ı pol´ıˇcek z osmi, protoˇze v kaˇzdé ˇradˇe m˚ uˇzeme vybrat 2 · 6 = 18 816. nejv´ yˇse jedno pol´ıˇcko. C(8, 3) · V (8, 3) = 8·7·6 · 8 · 7 · 6 = 56 6 Stejn´ y v´ ysledek bychom dostali, pokud bychom nejprve vybrali tˇri ˇrady. d) trojici pol´ıˇcek, která jsou vˇsechna téˇze barvy. Máme dvˇe moˇznosti, jaké barvy budou pol´ıˇcka. Podle principu nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u m˚ uˇzeme pro kaˇzdou barvu vybrat tˇri libovolná pol´ıˇcka z mnoˇ z iny 32 pol´ ıˇ c ek stejn´ e barvy. proto poˇ c et moˇznost´ı je dán (32) 32·31·30 souˇcinem C(2, 1) · C(32, 3) = 2 · 3 = 2 · = 32 · 31 · 10 = 9 920. 6 2.0.2. Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat k jako souˇcet n sˇc´ıtanc˚ u? Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. Hledáme poˇcet pˇrirozen´ ych ˇreˇsen´ı rovnice k = x1 + x2 + · · · + xn . Pˇredstav´ıme si k je souˇcet jedniˇcek. Nyn´ı kaˇzdé z tˇechto k jedniˇcek pˇriˇrad´ıme jednu z n pˇrihrádek. V´ ybˇer pˇrihrádek (sˇc´ıtanc˚ u) je neuspoˇrádan´ y s moˇznost´ı opakován´ı: ( ) ( ) n+k−1 n+k−1 C ∗ (n, k) = = . n−1 k Dostaneme r˚ uzné zp˚ usoby, jak sestavit ˇc´ıslo k jako souˇcet n sˇc´ıtanc˚ u, pˇriˇcemˇz poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u hraje roli, protoˇze jsme rozliˇsovali pˇrihrádky (sˇc´ıtance) pˇri v´ ybˇeru. 2.0.3. Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat ˇc´ıslo k jako souˇcet n sˇc´ıtanc˚ u 1 a 2? (poˇcet sˇc´ıtanc˚ u n je pˇevnˇe dán) Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. ´loha nemˇela ˇreˇsen´ı. Hledáme poˇcet Ze zadán´ı plyne, ˇze ⌈ k2 ⌉ ≤ n ≤ k (neboli n ≤ k ≤ 2n), jinak by u celoˇc´ıseln´ ych ˇreˇsen´ı rovnice k = x1 + x2 + · · · + xn , kde 1 ≤ xi ≤ 2 pro i = 1, 2, . . . , n. Pˇredstav´ıme si ˇc´ıslo k je souˇcet jedniˇcek. do kaˇzdé z n promˇenn´ ych x1 , . . . , xn pˇriˇrad´ıme jednu jedniˇcku a zb´ yvaj´ıc´ıch k − n jedniˇcek rozdˇel´ıme do r˚ uzných promˇenn´ ych jako

14

2

´ ERY ˇ ˚ S OPAKOVAN ´ ÍM I BEZ OPAKOVAN ´ Í PRVKU ˚ VYB PRVKU

do r˚ uzn´ ych pˇrihrádek. V´ ybˇer pˇrihrádek je neuspoˇrádan´ y, bez moˇznosti opakován´ı (jinak by sˇc´ıtance mohly b´ yt i vˇetˇs´ı neˇz 2. Hledan´ y poˇcet moˇznost´ı pak je ( ) n C(n, k − n) = . k−n 2.0.4. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme na ˇsachovnici rozestavit vˇsech 32 figur? Zapoˇc´ıtáme i ty moˇznosti, které nemohou nastat bˇehem regulérn´ı hry (pˇeˇsec v prvn´ı ˇradˇe, dva králové na sousedn´ıch pol´ıch, dva b´ıl´ı stˇrelci na ˇcern´ ych pol´ıch, . . . ). Protoˇze se jedná o rozm´ıstˇen´ı vˇsech figur na ˇsachovnici, u ´lohu snadno vyˇreˇs´ıme pomoc´ı permutac´ı s opakován´ım (uspoˇrádan´ y v´ ybˇer, kde poˇcet opakován´ı kaˇzdé figury je pˇresnˇe dán). Na ˇsachovnici je • 1 b´ıl´ y a 1 ˇcern´ y král, • 1 b´ılá 1 ˇcerná královna, • 2 b´ılé a 2 ˇcerné vˇeˇze, • 2 b´ıl´ı a 2 ˇcern´ı stˇrelci, • 2 b´ıl´ı a 2 ˇcern´ı jezdci, • 8 b´ıl´ ych a 8 ˇcern´ ych pˇeˇsc˚ u ˇ a 32 neobsazen´ ych pol´ı. Sachovnici si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako posloupnost 64 pol´ı (pole rozliˇsujeme podle toho, kde se na ˇsachovnici nebo v posloupnosti nacház´ı). Sestav´ıme vˇschna moˇzná poˇrad´ı z 32 figur a 32 neobsazen´ ych pol´ı. Nerozliˇs´ıme poˇrad´ı dvojice vˇeˇz´ı, jezdc˚ u ani stˇrelc˚ u, nerozliˇs´ıme poˇrad´ı pˇeˇsc˚ u stejné barvy ani poˇrad´ı neobsazen´ ych pol´ı. Pro poˇret r˚ uzn´ ych rozestaven´ı dostaneme vztah P ∗ (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 8, 8, 32) =

64! (1!)4 (2!)6 (8!)2 32!

=

64! 26 (40320)2 32!

=

64 · 63 · · · 33 = 26 403202

. = 4634726695587809641192045982323285670400000 = 4.6347 · 1042 . ´ 2.0.5. Kolik sˇc´ıtanc˚ u dostaneme po umocnˇen´ı trojˇclenu (a + b + c)7 ? Ulohu ˇreˇste kombinatorickou u ´vahou, nikoliv rozepisován´ım binomického rozvoje. Pokud roznásob´ıme vˇsech 7 závorek a seˇcteme odpov´ıdaj´ıc´ı ˇcleny, bude kaˇzd´ y ˇclen obsahovat sedm souˇcinitel˚ u, kaˇzd´ y se m˚ uˇze opakovat v libovolném poˇctu kopi´ı (0 aˇz 7). Nebude vˇsak hrát roli poˇrad´ı, v jakém bylo sedm souˇcinitel˚ u ze tˇr´ı moˇznost´ı vybráno, proto poˇcet ˇclen˚ u je roven ı (7+3−1 ) poˇ (c9tu ) kombinac´ 9·8 ∗ tˇr´ıprvkové mnoˇziny {a, b, c} s moˇznost´ı opakován´ı. Existuje celkem C (3, 7) = 3−1 = 2 = 2 = 36 r˚ uzn´ ych ˇclen˚ u. Pozn´ amka: Obdobnˇe pro druhou mocninu znám´ y vztah (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac se ˇsesti (2+3−1)dostaneme (4) ∗ ˇcleny, nebot’ C (3, 2) = 3−1 = 2 = 6. Pozn´ amka: Pokud rozliˇsujeme i vˇsechny sˇc´ıtance se stejn´ ymi ˇcleny, napˇr´ıklad ˇcleny a4 b2 c1 a a3 b2 ac1 povaˇzujeme za r˚ uzné, tak se jedná o v´ ybˇer, kdy ze tˇr´ı souˇcinitel˚ u vyb´ıráme sedmkrát s moˇznost´ı opakován´ı, pˇriˇcemˇz rozliˇsujeme poˇrad´ı souˇcinitel˚ u. Takov´ ych sˇc´ıtanc˚ u je V ∗ (3, 7) = 37 = 2187.

2.1

V´ ybˇ ery bez opakov´ an´ı

2.1.1. Máme prázdnou mnoˇzinu ∅. a) Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme seˇradit prvky ∅ do posloupnosti?

[1]

b) Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat ∅ z nˇejaké mnoˇziny?

[1]

2.1 V´ ybˇery bez opakován´ı c) Jak by se tyto poˇcty zmˇenily, kdyby 0! ̸= 1? vztahy pro kombinaˇcn´ı ˇc´ısla a faktoriál ]

15 [ poˇcet v´ ybˇeru stejn´ y, nebylo by vˇsak moˇzno pouˇz´ıt

2.1.2.♡ Pro jaké hodnoty n a k je v´ıce k-prvkov´ ych podmnoˇzin z n prvkové mnoˇziny neˇz (n − k)-prvkov´ ych podmnoˇzin? [ stejnˇe pro vˇsechny hodnoty n a k ] 2.1.3. Pro jaké hodnoty n a k je v´ıce k-prvkov´ ych variac´ı z n prvkové mnoˇziny neˇz (n − k)-prvkov´ ych] [ variac´ı? pro k > n2 ( ) [1 ] 2.1.4. Vyjádˇrete bez kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel 3n 3 2 n(3n − 1)(3n − 2) 2.1.5. Tenisov´ y turnaj se hraje systémem kaˇzd´ y s kaˇzd´ ym. Kolik se bude hrát zápas˚ u, jestliˇze a) se turnaje z´ uˇcastn´ı 8 hráˇc˚ u?

[ 28 ]

b) se turnaje z´ uˇcastn´ı 21 hráˇc˚ u?

[ 210 ]

2.1.6. Tenisového turnaje se u ´ˇcastn´ı 8 hráˇc˚ u. Kolik je r˚ uzn´ ych poˇrad´ı na stupn´ıch v´ıtˇez˚ u? [ 336 ] (6n) (3n) [ (6n) (3n) ] 2.1.7. Upravte a porovnejte 3 a 6 . pro n = 2, 3, 4 je vˇetˇs´ı 3 a pro n ≥ 5 je vˇetˇs´ı 6 2.1.8.♡ Kolik zp˚ usoby se m˚ uˇze postavit pˇet artist˚ u na sebe?

[ P (5) = 5! = 120 ]

2.1.9. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme postavit ˇsest artist˚ u do pyramidy 3 + 2 + 1, pˇriˇcemˇ sujeme pouze kdo] [z rozliˇ P ∗ (3, 2, 1) = 720 stoj´ı na zemi, kdo v prvn´ı vrstvˇe a kdo nahoˇre? 6·2 = 60 2.1.10. Máme ˇsest karet. a) Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat dvˇe karty?

[ 15 ]

b) Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat dvˇe karty, jestliˇze rozliˇsuje poˇrad´ı?

[ 30 ]

2.1.11. Ház´ıme dvakrát kostkou a v´ ysledky zapisujeme. a) Kolik r˚ uzn´ ych v´ ysledk˚ u m˚ uˇzeme dostat, jestliˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı hod˚ u?

[ 36 ]

b) Kolik r˚ uzn´ ych v´ ysledk˚ u m˚ uˇzeme dostat, jestliˇze nerozliˇsujeme poˇrad´ı hod˚ u?

[ 21 ]

[ ] 2.1.12. Máme n lid´ı. Jak velké skupinky vyb´ırat, aby byl poˇcet moˇznost´ı co nejvˇetˇs´ı? k = ⌊ n2 ⌋ ( ) ( n ) 2.1.13. Ukaˇzte nˇekolika zp˚ usoby, ˇze nk = n−k [u ´pravou faktoriál˚ u nebo kombinatoricky jako poˇcet k-prvkov´ ych podmnoˇzin ] ( ) ( n ) (n+1) 2.1.14. Ukaˇzte nˇekolika zp˚ usoby, ˇze nk + k+1 = k+1 [u ´pravou faktoriál˚ u nebo kombinatoricky jako poˇcet k + 1-prvkov´ ych podmnoˇzin s jedn´ım v´ yznamn´ ym prvkem ] 2.1.15.* Hokejov´ y trenér má k dispozici 13 u ´toˇcn´ık˚ u a 9 obránc˚ u. Kolika zp˚ usoby vybereme pˇetku (2 obránce + 3 u ´toˇcn´ıci), jestliˇze jeden konkrétn´ı u ´toˇcn´ık m˚ uˇze hrát i v obranˇe? [ 12276 ] 2.1.16. Vlajka má b´ yt sestavena ze tˇr´ı r˚ uznobarevn´ ych vodorovn´ ych pruh˚ u. K dispozici jsou látky barvy b´ılé, ˇcervené, modré, zelené a ˇzluté. a) Kolik r˚ uzn´ ych vlajek m˚ uˇzeme sestavit?

[ 60 ]

b) Kolik z nich má modr´ y pruh?

[ 36 ]

c) Kolik jich má modr´ y pruh uprostˇred?

[ 12 ]

d) Kolik jich nemá uprostˇred ˇcerven´ y pruh?

[ 48 ]

2.1.17. Urˇcete poˇcet vˇsech pˇeticifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, v jejichˇz dekadickém zápisu se kaˇzdá z deseti ˇc´ıslic vyskytuje nejv´ yˇse jednou. Kolik z nich je menˇs´ıch neˇz 50 000? [ 45360, 20160 ] 2.1.18. Na konferenci vystoup´ı ˇsest pˇrednáˇsej´ıc´ıch: A, B, C, D, E, F. Urˇcete poˇcet

16

2


a) vˇsech moˇzn´ ych poˇrad´ı jejich vystoupen´ı;

[ 720 ]

b) vˇsech poˇrad´ı, v nichˇz vystoup´ı A po E;

[ 360 ]

c) vˇsech poˇrad´ı, v nichˇz vystoup´ı A ihned po E.

[ 120 ]

2.1.19. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme n lid´ı posadit a) do ˇrady b) do ˇrady, v n´ıˇz je ˇclovˇek A na kraji; c) do ˇrady tak, aby lidé A a B nesedˇeli vedle sebe;

[ n! ] [ 2(n − 1)! ] [ (n − 2) · (n − 1)! ]

d) kolem kulatého stolu (záleˇz´ı jen na tom, jakého má kdo souseda, nikoli na které ˇzidli sed´ı). [ (n − 1)! ] 2.1.20. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme ze sedmi muˇz˚ u a ˇctyˇr ˇzen vybrat ˇsestiˇclennou skupinu, tak aby v n´ı byly a) právˇe dvˇe ˇzeny;

[ 210 ]

b) alespoˇ n dvˇe ˇzeny;

[ 371 ]

c) nejv´ yˇse dvˇe ˇzeny;

[ 301 ]

2.2

V´ ybˇ ery s opakov´ an´ım

2.2.1. Kolik existuje anagram˚ u slova MISSISSIPPI?

[ 34650 ]

2.2.2. Kolik existuje anagram˚ u slova MISSISSIPPI, které neobsahuj´ı IIII?

[ 33810 ]

2.2.3. Kolik existuje anagram˚ u slova MISSISSIPPI, které neobsahuj´ı II?

[ 7350 ]

2.2.4. Kolik existuje anagram˚ u slova ABRAKADABRA, a) vˇsech? b) které zaˇc´ınaj´ı a konˇc´ı p´ısmenem B?

[ 83160 ] [ 1512 ]

c) které zaˇc´ınaj´ı nebo konˇc´ı p´ısmenem B?

[ 28728 ]

d) které zaˇc´ınaj´ı a konˇc´ı p´ısmenem A?

[ 15120 ]

e) které neobsahuj´ı BB?

[ 68 040 ]

f) které neobsahuj´ı AA?

[ 3780 ]

g) ve kter´ ych p´ısmeno K pˇredcház´ı p´ısmeno D?

[ 41580 ]

2.2.5. Na patnáct stoˇzár˚ u v ˇradˇe budou povˇeˇseny vlajky pˇeti zem´ı, kaˇzdá tˇrikrát. Kolik existuje moˇznost´ı? [ 168168000 ] 2.2.6. Kolik je trojcifern´ ych ˇc´ısel dˇeliteln´ ych a) dvˇema?

[ 450 ]

b) pˇeti?

[ 180 ]

c) tˇremi?

[ 300 ]

d) sedmi?

[ 128 ]


2.3

17


2.3.1. Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat ˇc´ıslo 7 jako souˇcet právˇe ˇctyˇr pˇrirozen´ ych sˇc´ıtanc˚ u? (dovol´ıme i nulové sˇc´ıtance!) Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. [ 120 ] 2.3.2. Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat ˇc´ıslo 7 jako souˇcet právˇe ˇctyˇr kladn´ ych pˇrirozen´ ych sˇc´ıtanc˚ u? Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. [ 20 ] 2.3.3. Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat k jako souˇcet n kladn´ ych sˇc´ıtanc˚ u? Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇ [ s(ujeme )] k−1 poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. n−1 2.3.4. Máme 10 stejn´ ych figurek a ˇctyˇri r˚ uzné barvy. Kolik existuje moˇznost´ı, jak vˇsechny figurky obarvit? [ 286 ] 2.3.5. Máme 7 r˚ uzných figurek a tˇri r˚ uzné barvy. Kolik existuje moˇznost´ı, jak vˇsechny figurky obarvit? [ 2187 ] 2.3.6. Máme 10 stejn´ ych figurek a ˇctyˇri r˚ uzné barvy. Kolik existuje moˇznost´ı, jak nˇekteré figurky obarvit? [ 1001 ] 2.3.7. Máme 10 stejn´ ych figurek a ˇctyˇri r˚ uzné barvy. Kolik existuje moˇznost´ı, jak vˇsechny figurky obarvit, pˇriˇcemˇz od kaˇzdé barvy by mˇela b´ yt alespoˇ n jedna figurka? [ 84 ] 2.3.8. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme posadit n lid´ı kolem kulatého stolu? Ve dvou rozd´ıln´ ych rozesazen´ıch má nˇekter´ y ˇclovˇek jiného souseda po levé nebo po pravé ruce. [ (n − 1)! ] 2.3.9. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme posadit n manˇzelsk´ ych pár˚ u kolem kulatého stolu tak, aby manˇzelé sedˇeli vˇzdy vedle sebe? Ve dvou rozd´ıln´ ych rozesazen´ıch má nˇekter´ y ˇclovˇek jiného souseda po levé nebo po pravé [ 2n (n − 1)! ] ruce. 2.3.10. Dˇr´ıve byly státn´ı poznávac´ı znaˇcky osobn´ıch automobil˚ u tvoˇreny uspoˇrádanou sedmic´ı, jej´ıˇz prvn´ı tˇri ˇcleny byly p´ısmena a dalˇs´ı ˇctyˇri ˇc´ıslice. Kolik poznávac´ıch znaˇcek bylo moˇzno sestavit, jestliˇze pro prvn´ı [ 175760000 ] ˇc´ ast znaˇcky bylo moˇzno pouˇz´ıt kaˇzdé z 26 p´ısmen (kaˇzdá moˇznost povolena nebyla). [∑ ( )] k n 2.3.11. Urˇcete poˇcet vˇsech nejvýˇse k-prvkov´ ych podmnoˇzin n-prvkové mnoˇziny. i=0 i 2.3.12. Kolik je vˇsech pˇeticifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel? Kolik z nich je menˇs´ıch neˇz 50 000? [ 90000, 40000 ] 2.3.13. Urˇcete poˇcet vˇsech ˇctyˇrcifern´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel dˇeliteln´ ych 9, v jejichˇz dekadickém zápisu mohou b´ yt pouze ˇc´ıslice 0, 1, 2, 5, 7. [ 54 ] 2.3.14. V sáˇcku jsou ˇcervené, modré a zelené kuliˇcky (kuliˇcky téˇze barvy jsou nerozliˇsitelné). Urˇcete, kolika zp˚ usoby lze vybrat pˇet kuliˇcek, jestliˇze v sáˇcku je a) aspoˇ n pˇet kuliˇcek od kaˇzdé barvy;

[ 21 ]

b) pˇet ˇcerven´ ych, ˇctyˇri modré a ˇctyˇri zelené kuliˇcky.

[ 19 ]

2.3.15.* Kolika zp˚ usoby je moˇzné napsat ˇc´ıslo k jako souˇcet sˇc´ıtanc˚ u 1 a 2? Pˇredpokládáme, ˇze rozliˇsujeme] [∑ ( n ) k poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u. n=⌈ k ⌉ k−n 2

2.3.16.* Jak´ y je poˇcet vˇsech troj´ uheln´ık˚ u, z nichˇz ˇzádné dva nejsou shodné a kaˇzdá jejich[ strana má velikost] 1 vyjádˇrenou nˇekter´ ym z ˇc´ısel n + 1, n + 2, n + 3, ...2n, kde n je pˇrirozené ˇc´ıslo. 6 n(n + 1)(n + 2) 2.3.17. Kolik pˇr´ımek lze proloˇzit 7 body, jestliˇze ˇzádné tˇri body neleˇz´ı v pˇr´ımce?

[ 21 ]

2.3.18. Kolik pˇr´ımek lze proloˇzit 7 body, jestliˇze právˇe tˇri body leˇz´ı v pˇr´ımce?

[ 19 ]

2.3.19. Máme dány dvˇe mimobˇeˇzky. Na jedné je m bod˚ u, na druhé n bod˚ u. Kolik lze sestrojit[ (ˇctyˇ )rstˇ (enn˚ )u] m s vrcholy v dan´ ych bodech? 2 · 2 2.3.20. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzete seˇradit v poliˇcce pˇet uˇcebnic angliˇctiny, ˇctyˇri uˇcebnice matematiky a dvˇe uˇcebnice ˇceského jazyka, jestliˇze maj´ı z˚ ustat rozdˇeleny do skupin po jednotliv´ ych pˇredmˇetech? [ 34560 ]

18

2


2.3.21. Na hl´ıdku p˚ ujdou 4 vojáci z ˇcety. Kolik voják˚ u má ˇceta, jestliˇze v´ ybˇer je moˇzno provést 210 zp˚ usoby? [ 10 voják˚ u] 2.3.22. Palindrom je slovo, které se p´ıˇse stejnˇe jako pozpátku. Anglická abeceda má 26 p´ısmen. [ Kolik ] n existuje palindrom˚ u (i nesmysln´ ych) délky n z p´ısmen anglické abecedy? 26⌈ 2 ⌉ 2.3.23. Ház´ıme tˇrikrát kostkou. Kolik existuje takov´ ych moˇznost´ı, kdy v kaˇzdém dalˇs´ım hodu padaj´ı vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı ˇc´ısla? [ 20 ] 2.3.24. Byli jsme ˇctyˇri, sedˇeli v baru a pop´ıjeli. Trápilo nás ˇspatné svˇedom´ı, ˇze m´ısto abychom v ˇzivotˇe dˇelali nˇeco poˇrádného, jsme závisl´ı na alkoholu. Tu k nám pˇristoupil rozjaˇren´ y barman a nam´ıchal nám sedm r˚ uzn´ ych drink˚ u tak, aby kaˇzd´ y dostal alespoˇ n jeden. Kolika zp˚ usoby to mohl provést, jestliˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı drink˚ u, které jsme vypili. [ 100800 ] 2.3.25. Hra Tic-tac-toe je hra s tuˇzkou a pap´ırem pro dva hráˇce X a O. Hráˇci stˇr´ıdavˇe zapisuj´ı kˇr´ıˇzky a koleˇcka do ˇctvercové s´ıtˇe pol´ıˇcek 3 × 3. Obvykle zaˇc´ıná X, jako na Obrázku 2.1. Hráˇc, kter´ y jako prvn´ı um´ıst´ı tˇri své symboly v jedné ˇradˇe, sloupci nebo diagonále, vyhraje.

Obrázek 2.1: Jedna hra Tic-tac-toe. a)♡ Kolik uzn´ ych rozm´ıstˇen´ı kˇr´ıˇzk˚ u a koleˇcek (pˇet kˇr´ıˇzk˚ u a ˇctyˇri koleˇcka) na hern´ım plánu? [ ( ) ] existuje r˚ 9 4

b) Kolik existuje r˚ uzn´ ych rozm´ıstˇen´ı kˇr´ıˇzk˚ u a koleˇcek na hern´ım plánu, jestliˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı tah˚ u, kˇr´ıˇzky a koleˇcka se stˇr´ıdaj´ı? [ 362880 ] c) Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, kdy vyhraje X v pátém tahu?

[ 1440 ]

d) Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, kdy vyhraje O v ˇsestém tahu?

[ 5328 ]

e) Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, kdy vyhraje X v sedmém tahu?

[ 47952 ]

f) Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, kdy vyhraje O v osmém tahu?

[ 72576 ]

g)* Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, kdy vyhraje X v devátém tahu?

[ 81792 ]

h) Kolik existuje r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe, které konˇc´ı rem´ızou?

[ 46080 ]

i) Kolik existuje vˇsech r˚ uzn´ ych her Tic-tac-toe?

[ 255168 ]

2.3.26. Poˇc´ıtaˇc Kecálek ve filmu Rumburak dostal za u ´kol naj´ıt vˇsechny dvojice slov sloˇzené [z dvan´ acti] p´ısmen (mezeru nepoˇc´ıtáme). Kolik takov´ ych slov z 26 p´ısmen existuje? 11 · 2612 2.3.27. Zakl´ınadlo pro pˇresun do ˇr´ıˇse pohádek ve filmu Rumburak zn´ı HUBERO KORORO. Kolik existuje anagram˚ u tohoto zakl´ınadla sloˇzen´ ych ze dvou ˇsestip´ısmen´ ych slov? [ 3 326 400 ] 2.3.28. Zakl´ınadlo pro zmˇenu poˇcas´ı ve filmu Rumburak zn´ı RABERA TAREGO. Kolik existuje anagram˚ u tohoto zakl´ınadla sloˇzen´ ych ze dvou ˇsestip´ısmen´ ych slov? [ 6 652 800 ] 2.3.29. Na bˇeˇzn´ ych dominov´ ych kostkách se vyskytuj´ı oka v poˇctu 0, 1, . . . 6. Kaˇzdá dvojice poˇctu ok se s sadˇe vyskytuje na právˇe jedné kostce. Vˇsechny kostky domina je moˇzné poloˇzit do jediné ˇrady tak, aby navazuj´ıc´ı kostky sd´ılely stejn´ y poˇcet ok. Nyn´ı n-dominem budeme rozumˇet takovou sadu kostek, která obsahuje vˇsechny dvojice poˇct˚ u ok z rozsahu 0, 1, . . . , n. Pro jaká pˇrirozená ˇc´ısla n lze vˇsechny kostky n-domina poloˇzit do jediné ˇrady? [ pro sudá n > 0 ] [ (m+1) (n+1) ] 2.3.30. Máme ˇctvereˇckovanou s´ıt’ m×n ˇctvereˇck˚ u. Kolik r˚ uzn´ ych obdéln´ık˚ u najdeme v s´ıti? · 2 2


19

2.3.31. Keltsk´ y druid Travedik vaˇr´ı lektvary ze sta r˚ uzn´ ych bylin. Mezi nimi je i ˇsalvˇej tˇreskut´ a, coˇz je druidova nejmocnˇejˇs´ı bylinka. Pˇri vaˇren´ı lektvar˚ u m˚ uˇze pouˇz´ıt jednu, dvˇe, tˇri, ˇci libovoln´ y vˇetˇs´ı poˇcet bylin. Kter´ ych lektvar˚ u je v´ıce, tˇech, které ˇsalvˇej tˇreskutou obsahuj´ı a nebo tˇech, které ji neobsahuj´ı? [ existuje v´ıce lektvar˚ u, které vybranou bylinu obsahuj´ı] 2.3.32. Keltsk´ y druid Travedik vaˇr´ı lektvary ze sta r˚ uzn´ ych bylin. Mezi nimi jsou i ˇsalvˇej tˇreskut´ a a puchejˇrn´ıˇcek smradlav´ y, coˇz jsou dvˇe Travedikovy nejmocnˇejˇs´ı bylinky. Pˇri vaˇren´ı lektvar˚ u m˚ uˇze pouˇz´ıt jednu, dvˇe, tˇri, ˇci libovoln´ y vˇetˇs´ı poˇcet bylin. Kter´ ych lektvar˚ u je v´ıce, tˇech, které obsahuj´ı ˇsalvˇej tˇreskutou a puchejˇrn´ıˇcek smradlav´ y a nebo tˇech, které alespoˇ n jednu z tˇechto bylin neobsahuj´ı? [ existuje v´ıce lektvar˚ u, které nˇekterou vybranou bylinu neobsahuj´ı]

20

3

3

´ Í PRAVDEPODOBNOST ˇ DISKRETN

Diskr´ etn´ı pravdˇ epodobnost

Pokud nen´ı ˇreˇceno jinak, tak v tomto pˇredpokládáme, ˇze bal´ıˇcek karet obsahuje 32 karet, od sedmiˇcky po eso ve ˇctyˇrech r˚ uzn´ ych barvách (srdce, piky, káry a kˇr´ıˇze). Klasická ˇsestistˇenná kostka je vyrobena tak, ˇze souˇcet ok na protilehl´ ych stˇenách je vˇzdy sedm. Vˇsimnˇete si, ˇze i v pˇr´ıpadˇe, kdy máme zam´ıchan´ y cel´ y bal´ıˇcek karet, nemus´ıme nˇekdy uvaˇzovat ˇsech 32! poˇrad´ı. Pokud se zaj´ımáme o nˇejak´ y v´ ybˇer, staˇc´ı pracovat s nˇejak´ ym náhodn´ ym v´ ybˇerem. Podrobnˇeji si o diskrétn´ı pravdˇepodobnosti m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst ve skriptech [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 3.0.1. Hod´ıme souˇcasnˇe sedmi kostkami. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) padne souˇcet 12? Sestav´ıme pravdˇepodobnostn´ı prostor s nosnou mnoˇzinou Ω, kde kaˇzd´ y elementárn´ı jev odpov´ıd´ a jednomu hodu se ˇsesti kostkami (prvn´ı aˇz sedm´ı kostka). Tento pravdˇepodobnostn´ı prostor je uniformn´ı a má V (6, 7) = 67 prvk˚ u. Nejmenˇs´ı moˇzn´ y souˇcet pˇri hodu sedmi kostkami je 7. Zb´ yvá rozdˇelit pˇet jednotek“ (ok = punt´ık˚ u) ” mezi sedm kostek, jak se na nˇekter´ ych stˇenách pˇri hodu se souˇctem 12( mohou objevit. Jedn´ a se ) (11) 11 ∗ o neuspoˇrádan´ y v´ ybˇer s moˇznost´ı opakován´ı. Existuje celkem C (7, 5) = 6 = 5 = 462 takov´ ych moˇznost´ı. Jev padne souˇcet 12“ odpov´ıdá podmnoˇzinˇe A ⊆ Ω, pˇriˇcemˇz A má 462 prvk˚ u. Protoˇze ” dan´ y pravdˇepodobnostn´ı prostor je uniformn´ı, hledaná pravdˇepodobnost je (11) 77 462 P = 57 = = . 6 279936 46656 Pozn´ amka: Kdybychom se ptali na souˇcet 13 nebo vyˇsˇs´ı, u ´loha by byla obt´ıˇznˇejˇs´ı, protoˇze na kaˇzdé kostce je nejv´ yˇse ˇsest ok (punt´ık˚ u). Pˇri v´ ypoˇctu velikosti A bychom museli uváˇzit, aby sestavené moˇznosti odpov´ıdaly sˇc´ıtanc˚ um s nejvyˇsˇs´ı hodnotou 6. Pozn´ amka:

b) padne souˇcet 13? Sestav´ıme pravdˇepodobnostn´ı prostor stejnˇe jako v pˇredchoz´ı ˇcásti. Nejmenˇs´ı moˇzn´ y souˇcet pˇri hodu sedmi kostkami je 7. Zb´ yvá rozdˇelit ˇsest jednotek“ (ok = punt´ık˚ u) ” mezi sedm kostek, nem˚ uˇzeme vˇsak vˇsechna oka um´ıstit na jednu kostku, protoˇze by tato kostka mˇela sedm ok (punt´ık˚ u) na jedné stˇenˇe. Jedná se o neuspoˇrádan´ y v´ ybˇer s moˇznost´ı opakován´ı. Odeˇcteme poˇcet takov´ ych moˇznost´ı, kdy( vˇ)sechny (7) jednotky jsou pˇridány na jednu ze sedmi kostek. Existuje celkem C ∗ (7, 6) − C(6, 1) = 12 − ych moˇznost´ı. Protoˇze uniformn´ı 6 1 = 924 − 7 = 917 takov´ pravdˇepodobnostn´ı prostor má V (6, 7) = 67 prvk˚ u, hledaná pravdˇepodobnost je (12) (7) − 917 P = 6 7 1 = . 6 279936 3.0.2. Hod’me dvˇema kostkami. Jsou jev padl souˇcet 6“ a jev padl souˇcin 8“ nezávislé? ” ” Zavedeme pravdˇepodobnostn´ı prostor Ω = {(a, b) : 1 ≤ a, b, ≤ 6}. Jev A, kdy padne souˇcet 6, je A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}. Jev B, kdy padne souˇcin 8, je B = {(2, 4), (4, 2)}. Protoˇze se jedná o uniformn´ı pravdˇepodobnostn´ı prostor, máme P (A) =

|A| 5 = , |Ω| 36

P (B) =

|B| 2 = , |Ω| 36

P (A ∩ B) = P (B) =

2 . 36

3.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady

21

Pokud jsou jevy nezávislé, mus´ı podle definice platit P (A) · P (B) = P (A ∩ B). Dosazen´ım dostaneme

5 2 2 · ̸= , 36 36 36

proto jevy A a B nejsou nezávislé. Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Vyjdeme z alternativn´ı definice nezávislosti jev˚ u, která ˇr´ıká, ˇze jevy A a B jsou nezávislé, jestliˇze pravdˇepodobnost jevu A nezávis´ı na tom, zda souˇcasnˇe nastal nebo nenastal jev B: P (A) P (A ∩ B) = . P (Ω) P (B) Dosazen´ım dostaneme 5 36

1

̸=

2 36 2 36

a proto jevy A, B nejsou nezávislé (jsou závislé). 3.0.3. V krabici je 5 koul´ı, 3 jsou b´ılé a 2 ˇcerné. Vytáhneme postupnˇe dvˇe koule. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze prvn´ı je b´ılá a druhá ˇcerná? 3.0.4. Máme dva sáˇcky s kuliˇckami. V prvn´ım sáˇcku jsou dvˇe kuliˇcky s ˇc´ıslem 2 a tˇri kuliˇcky s ˇc´ıslem 3. Ve druhém sáˇcku jsou 3 kuliˇcky s ˇc´ıslem 4 a 2 kuliˇcky s ˇc´ıslem 5. Taháme z obou sáˇck˚ u po jedné kuliˇcce. Jak´ y je pr˚ umˇern´ y souˇcet taˇzen´ ych ˇc´ısel? Oznaˇc´ıme X náhodnou veliˇcinu udávaj´ıc´ı ˇc´ıslo taˇzené z prvn´ıho sáˇcku. Pro prvn´ı sáˇcek je P (2) = 25 a P (3) = 53 , nebot’ losován´ı jedné kuliˇcky m˚ uˇzeme modelovat uniformn´ım pravdˇepodobnostn´ım prostorem Ω s pˇeti elementárn´ımi jevy – podle toho, která byla taˇzena kuliˇcka. Potom je E(X) = 2 ·

3 4+9 13 2 +3· = = . 5 5 5 5

Oznaˇc´ıme Y náhodnou veliˇcinu udávaj´ıc´ı ˇc´ıslo taˇzené z prvn´ıho sáˇcku. Analogicky jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe odvod´ıme, ˇze pro druh´ y sáˇcek je P (4) = 35 a P (5) = 52 . Potom je E(Y ) = 4 ·

2 12 + 10 22 3 +5· = = . 5 5 5 5

Pro souˇcet náhodn´ ych veliˇcin plat´ı E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) =

13 22 35 + = = 7. 5 5 5

Pr˚ umˇern´ y souˇcet taˇzen´ ych ˇc´ısel je 7.

3.1


3.1.1. Na jednom Americkém televizn´ım kanálu bˇeˇzela Montyho Show. Soutˇeˇz´ıc´ı mˇeli moˇznost z´ıskat automobil, jestliˇze si vyberou ze tˇr´ı dveˇr´ı ty dveˇre, za kter´ ymi se automobil nacház´ı. Soutˇeˇz´ıc´ı si jedny dveˇre zvolil a potom Monty ˇsel a otevˇrel nˇekteré ze dvou zb´ yvaj´ıc´ıch dveˇr´ı. Vˇzdy otevˇrel ty dveˇre, za kter´ ymi nestál automobil, ale koza. Nyn´ı mˇel soutˇeˇz´ıc´ı moˇznost zmˇenit svou volbu a vybrat si libovolné ze dvou stále zavˇren´ ych dveˇr´ı. Pˇredpokládáme, ˇze poˇradatelé vyberou na zaˇcátku náhodnˇe jedny ze tˇr´ı dveˇr´ı, za které zaparkuj´ı automobil a za dalˇs´ı dvˇe postav´ı kozy. Je lepˇs´ı zmˇenit svoji volbu, nebo z˚ ustat u p˚ uvodn´ıho tipu a nebo je to jedno? S jakou pravdˇepodobnost´ı z´ıská soutˇeˇz´ıc´ı v´ yhru jestliˇze zmˇen´ı svoji volbu? Svou odpovˇed’ vysvˇetlete. [ je lepˇs´ı volbu zmˇenit ]

22

3

3.2


Koneˇ cn´ y pravdˇ epodobnostn´ı prostor

3.2.1. Hod´ıme kostkou. a) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne sudé ˇc´ıslo?

[1]

b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne prvoˇc´ıslo?

[1]

c) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne jedniˇcka nebo dvojka?

[1]

2 2 3

d) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet horn´ı a spodn´ı stˇeny je 7?

[1]

e) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet horn´ı a spodn´ı stˇeny je 3?

[0]

ˇ ısla 1, 2 3.2.2. Hod´ıme kostkou, která nen´ı spravedlivá, r˚ uzná ˇc´ısla padaj´ı s r˚ uznou pravdˇepodobnost´ı. C´ 1 1 padnou s pravdˇepodobnost´ı 5 , ˇc´ısla 4, 5 a 6 padnou s pravdˇepodobnost´ı 7 . Pravdˇepodobnost ˇc´ısla 3 nen´ı udána. a) Jsou uvedené pravdˇepodobnosti konzistentn´ı?

c) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne sudé ˇc´ıslo?

[ ano ] ] 6 = 35 [ 17 ]

d) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne prvoˇc´ıslo?

[ 18 ]

b) S jakou pravdˇepodobnost´ı padne ˇc´ıslo 3?

e) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne jedniˇcka nebo dvojka?

[

1−2·

1 5

−3·

1 7

35 35

[2] 5

f) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet horn´ı a spodn´ı stˇeny je 7?

[1]

g) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet horn´ı a spodn´ı stˇeny je 3?

[0]

3.2.3. Hod´ıme dvˇema kostkami. a) Je pravdˇepodobnˇejˇs´ı, a) ˇze padne 5 a 6 nebo b) ˇze padnou dvˇe 3? b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne souˇcin 12? c) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne souˇcin 4?

[ pravdˇepodobnˇejˇs´ı je a) ] [1] [

d) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne souˇcin 14? e) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne souˇcet 10?

[

9 1 12

]

[0] ] 1 12

3.2.4. Sestavte funkci P (n), která bude udávat pravdˇepodobnost, ˇze pˇri souˇcasném hodu n ≥ 1 kostkami ] [ a) padne souˇcet n. P (n) = 61n [ 1 1 b) padne ]souˇcet 3. P (n) = 61 pro n = 1, P (n) = 18 pro n = 2, P (n) = 216 pro n = 3 a P (n) = 0 pro n ≥ 4. 3.2.5. [ n ]Hod´ıme n-stˇennou kostkou oˇc´ıslovanou 1, 2, . . . , n. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne liché ˇc´ıslo? ⌈2⌉ n

3.2.6. Hod´ıme n-stˇennou prvoˇc´ıselnou kostkou (stˇeny jsou oˇc´ıslované uˇzit´ım prvn´ıch n prvoˇc´ısel). Jak´ a je] [ n−1 pravdˇepodobnost, ˇze padne liché ˇc´ıslo? n 3.2.7. Máme zam´ıchan´ y bal´ıˇcek 32 hrac´ıch karet. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) prvn´ı karta v bal´ıˇcku je eso?

[1]

b) tˇret´ı karta v bal´ıˇcku je des´ıtka?

[1]

8 8

3.3 Disjunktn´ı a nezávislé jevy

23 [

c) tˇret´ı karta v bal´ıˇcku je des´ıtka, v´ıme-li, ˇze prvn´ı dvˇe karty jsou dáma a král? d) tˇret´ı karta v bal´ıˇcku je des´ıtka, v´ıme-li, ˇze prvn´ı dvˇe karty jsou sedmiˇcka a des´ıtka?

[

2 15 1 10

] ]

3.2.8. Ház´ıme dvˇema kostkami: ˇsestistˇennou a dvanáctistˇennou. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze na obou padne [ 1 ] stejné ˇc´ıslo? 12 3.2.9. Ház´ıme tˇremi kostkami: ˇctyˇrstˇennou, ˇsestistˇennou, desetistˇennou. Jaká je pravdˇepodobnost, [ 1ˇze] na vˇsech padne stejné ˇc´ıslo? 60 3.2.10. Ház´ıme tˇremi ˇsestistˇenn´ ymi kostkami. a) Je lepˇs´ı vsadit si, ˇze nepadne ˇzádná ˇsestka, nebo ˇze padne alespoˇ n jedna ˇsestka? [ je lepˇs´ı si vsadit, ˇze nepadne ˇzádná ˇsestka ] [ 75 ] b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne právˇe jedna ˇsestka? 216 [ 2 ] c) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padnou alespoˇ n dvˇe ˇsestky? 27 3.2.11. Ház´ıme desetistˇennou kostkou. a) Hod´ıme jednou. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne prvoˇc´ıslo?

[2]

b) Ház´ıme dvakrát. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne lich´ y souˇcet?

[1]

c) Ház´ıme dvakr´ ych souˇct˚ u? ]at. Jaká jsou pravdˇepodobnosti jednotliv´ pro i ∈ [2, 20]

5

[

2 21−i P (i) = min{ i−1 19 , 19 }

3.2.12. Ház´ıme ˇctyˇrikrát minc´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) padne ˇctyˇrikrát za sebou hlava? b) padne nejprve hlava, potom orel, znovu orel a nakonec hlava? c) padne dvakrát hlava a dvakrát orel (v libovolném poˇrad´ı)? d) padne alespoˇ n jednou hlava?

[ [

1 16 1 16

] ]

[3] 8

[ 15 ] 16

3.2.13. Hod´ıme tˇremi stejn´ ymi kostkami. a) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne 2, 4, 6? b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze padne 2, 4, 4?

[ [

1 36 1 72

] ]

3.2.14. Ve tˇr´ıdˇe je 25 ˇzák˚ u. Pˇredpokládejme, ˇze nikdo nemá narozeniny 29. u ńora (v pˇrestupném roce) a ˇze kaˇzd´ y den v roce se rod´ı pˇribliˇznˇe stejnˇe dˇet´ı. a) S jakou pravdˇepodobnost´ı budou alespoˇ n dva spoluˇz´ aci slavit narozeniny ve stejn´ y den? b) Kolik nejménˇe mus´ı b´ yt ve tˇr´ıdˇe ˇzák˚ u, aby byla pravdˇepodobnost spoleˇcného data narozenin dvou spoluˇzák˚ u vˇetˇs´ı neˇz 12 ? [ a) P25 = 0.5687, b) nejménˇe 23 ˇz´ ak˚ u]

3.3

Disjunktn´ı a nez´ avisl´ e jevy

3.3.1. Dva hráˇci ház´ı kostkou. Jsou jejich hody nezávislé? I kdyˇz nˇekdo hod´ı tˇri ˇsestky za sebou?

[ ano ]

3.3.2. Mˇejme dva r˚ uzné elementárn´ı jevy. a) Jsou r˚ uzné elementárn´ı jevy vˇzdy disjunktn´ı?

[ ano ]

b) Jsou r˚ uzné elementárn´ı jevy vˇzdy nezávislé?

[ ne ]

3.3.3. Mˇejme dva disjunktn´ı jevy.

24

3


a) Mohou b´ yt dva disjunktn´ı jevy nezávislé?

[ ano ]

b) Je prázdn´ y jev nezávisl´ y s libovoln´ ym jevem?

[ ano ]

3.3.4. Udejte pˇr´ıklad dvou r˚ uzn´ ych jev˚ u, které nejsou disjunktn´ı. [ Napˇr´ıklad pˇri hodu kostkou: jev padlo liché ˇc´ıslo a jev padlo prvoˇc´ıslo. ] 3.3.5. Hod´ıme dvˇema kostkami. a) Jsou jevy A: padl souˇcet 4 a B: padl souˇcin 4 disjunktn´ı?

[ ne ]

b) Jsou jevy A: padl souˇcet 6 a B: padl souˇcin 6 disjunktn´ı?

[ ano ]

3.3.6. Mˇejme tˇri jevy A, B, C. V´ıme, ˇze jevy A a B jsou nezávislé, jevy B a C jsou nezávislé a jevy A a C jsou nezávislé. a) Jsou jevy A, B, C nezávislé jako trojice? b) Mohou b´ yt ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe nezávislé? Kdy?

[ ne ] [ ano, je-li alespoˇ n jeden z jev˚ u prázdn´ y]

3.3.7. Máme zam´ıchan´ y bal´ıˇcek 32 karet. a) Rozdáme dvˇema hráˇc˚ um po tˇrech kartách. Jsou v´ ybˇery karet nezávislé?

[ ne ]

b) Dáme prvn´ımu hráˇci tˇri karty a zbylé karty zam´ıcháme. Potom druh´ y hráˇc dostane také tˇri karty. Jsou v´ ybˇery karet nezávislé? [ ne ] c) Dáme prvn´ımu hráˇci tˇri karty. On si je zapamatuje a vrát´ı do bal´ıˇcku. Potom karty zam´ıch´ ame a druh´ y hráˇc dostane tˇri karty. Jsou v´ ybˇery karet nezávislé? [ ano ] d) Hráˇc dostane pˇet karet, potom karty vrát´ı a po zam´ıchán´ı dostane znovu pˇet karet. [Jaká je] 36 pravdˇepodobnost, ˇze mˇel pokaˇzdé fullhouse (3+2 stejné hodnoty)? 808201 e) Hráˇc dostane pˇet karet, schová si je dostane dalˇs´ıch pˇet karet. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze mˇel královsk´ y poker (4 esa a dalˇs´ı karta stejné hodnoty) dvakrát za sebou? [0] 3.3.8. Hod´ıme dvˇema kostkami, jednou zelenou a jednou ˇcervenou. Jsou jevy A: na obou padne stejné ” ˇc´ıslo“ a B: na zelené kostce padne ˇsestka“ nezávislé? [ ano ] ” 3.3.9. Mˇejme pravdˇepodobnostn´ı prostor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} s uniformn´ı pravdˇepodobnost´ı (ház´ıme osmistˇennou kostkou). Jsou jevy A = {1, 2, 3, 4} a B = {5, 6, 7, 8} nezávislé? [ jevy A a B nejsou nezávislé ] 3.3.10. Mˇejme pravdˇepodobnostn´ı prostor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} s uniformn´ı pravdˇepodobnost´ı (ház´ıme osmistˇennou kostkou). Jsou jevy A = {1, 2, 3, 4} (padlo malé ˇc´ıslo) a B = {1, 3, 5, 7} (padlo liché ˇc´ıslo) nezávislé? [ jevy A a B jsou nezávislé ] 3.3.11. Mˇejme pravdˇepodobnostn´ı prostor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} s uniformn´ı pravdˇepodobnost´ı (ház´ıme ˇsestistˇennou kostkou). Jsou jevy A = {1, 2, 3} (padlo malé ˇc´ıslo) a B = {1, 3, 5} (padlo liché ˇc´ıslo) nezávislé? [ jevy A a B nejsou nezávislé ] 3.3.12. Ház´ıme n-stˇennou kostkou. Nadefinujeme jev A, ˇze padne malé ˇc´ıslo 1, 2, . . . , ⌊ n2 ⌋ a jev B, ˇze padne liché ˇc´ıslo. Pro jaká n jsou jevy A a B nezávislé? [ jevy jsou nezávislé jen pro n ≡ 0 (mod 4) ]

3.4 Podm´ınˇená pravdˇepodobnost

3.4

25

Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost

3.4.1. Jaká je pravdˇepodobnost pˇri hodu klasickou kostkou, ˇze padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 3 v´ıme-li, ˇze padlo lich´ [ 1 e] ˇc´ıslo. 3 3.4.2. V krabici je 5 koul´ı, 3 jsou b´ılé a 2 ˇcerné. Vytáhneme postupnˇe dvˇe koule. Poˇc´ıtejme: Vˇsechny moˇznosti, jak mohou dopadnout losován´ı jsou: b´ılá-b´ılá, b´ılá-ˇcerná, ˇcerná-ˇcerná a ˇcerná-b´ılá. Pouze jedna z nich je pˇr´ıznivá: b´ılá-ˇcerná. Dostaneme pravdˇepodobnost P = 41 . Srovnejte s ˇreˇsen´ım Pˇr´ıkladu 3. Co je ˇspatnˇe? Vysvˇetlete! [ nelze uˇz´ıt vztah platn´ y pro uniformn´ı pravdˇepodobnostn´ı prostor ] 3.4.3. V krabici je 5 koul´ı, 3 jsou(b´ıl´ ) e a 2 ˇcerné. Vytáhneme postupnˇe dvˇe koule. Poˇc´ıtejme: Vˇsech moˇznost´ı, 5 jak m˚ uˇze dopadnout losován´ı je 2 = 10. Pˇr´ıznivé jsou ty, kdy vybereme nejprve b´ılou a potom ˇcernou: Do(3)·(2) 3 staneme pravdˇepodobnost P = 1|Ω|1 = 3·2 reˇsen´ım Pˇr´ıkladu 3. Co je ˇspatnˇe? Vysvˇetlete! 10 = 5 . Srovnejte s ˇ [ rozliˇsit neuspoˇrádan´ y a uspoˇrádan´ y v´ ybˇer ] 3.4.4. Z celkové produkce závodu jsou 4% zmetk˚ u. Z dobr´ ych v´ yrobk˚ u je 75% standardn´ıch. Urˇ ete] [c18 pravdˇepodobnost, ˇze náhodnˇe vybran´ y v´ yrobek je standardn´ı. 28

3.5

Stˇ redn´ı hodnota

ˇ ısla 1, 2 3.5.1. Ház´ıme kostkou, která nen´ı spravedlivá, r˚ uzná ˇc´ısla padaj´ı s r˚ uznou pravdˇepodobnost´ı. C´ 1 1 padnou s pravdˇepodobnost´ı 5 , ˇc´ısla 4, 5 a 6 padnou s pravdˇepodobnost´ı 7 . Pravdˇepodobnost [ ˇc´ısla 3 nen´ ]ı E(X) = 114 ud´ ana. Jak´ y je stˇredn´ı poˇcet poˇctu ok, která na kostce padnou? 35 [5] 3.5.2. Jaká je stˇredn´ı hodnota poˇctu ˇsestek, které padnou pˇri hodu pˇeti kostkami? 6 3.5.3. Máme ˇsestistˇennou kostku. a) Jak´ y je pr˚ umˇern´ y souˇcet ˇc´ısel na horn´ı a spodn´ı stˇenˇe kostky vyrobené tak, ˇze 1 je naproti 6, 2 naproti 5 a 3 naproti 4? [7] b) Jak´ y je pr˚ umˇern´ y souˇcet ˇc´ısel na horn´ı a spodn´ı stˇenˇe kostky vyrobené tak, ˇze 1 je naproti 2, 3 naproti 5 a 4 naproti 6? [7] 3.5.4. Umˇeli byste rozm´ıstit ˇc´ısla 1 aˇz 6 na spravedlivou kostku tak, aby stˇredn´ı hodnota souˇctu horn´ı a spodn´ı stˇeny byla jiná neˇz 7? [ pro spravedlivou kostku takové rozdˇelen´ı nen´ı moˇzné ] 3.5.5. Najdˇete vhodná ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , a6 a rozm´ıstˇete je na spravedlivou kostku tak, aby stˇredn´ı hodnota souˇctu horn´ı a spodn´ı stˇeny byla jiná neˇz pr˚ umˇer hodnot a1 aˇz a6 vynásoben´ y dvˇema. [ pro spravedlivou kostku takové rozdˇelen´ı nen´ı moˇzné ] 3.5.6. Najdˇete vhodná celá ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , a6 a rozm´ıstˇete je na spravedlivou kostku tak, aby stˇredn´ı hodnota souˇcinu horn´ı a spodn´ı stˇeny byla jiná neˇz pr˚ umˇer hodnot a1 aˇz a6 umocnˇen´ y na druhou. [ napˇr´ıklad klasická kostka ] 3.5.7.* Najdˇete vhodná r˚ uzná celá ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , a6 a rozm´ıstˇete je na spravedlivou kostku tak, aby stˇredn´ı hodnota souˇcinu horn´ı a spodn´ı stˇeny byla stejná jako pr˚ umˇer hodnot a1 aˇz a6 umocnˇen´ y na druhou. [ napˇr´ıklad kostka s dvojicemi protilehl´ ych stˇen 1 a 6, −1 a −6, 0 a 12 ] [5] 3.5.8. Kolik je tˇreba pr˚ umˇernˇe hod˚ u minc´ı, aby vyˇsly dva stejné v´ ysledky? 2 3.5.9.* Kolik je tˇreba pr˚ umˇernˇe hod˚ u minc´ı, kde hlava má pravdˇepodobnost p (p nemus´ı b´ y[t 12 ), aby vyˇsly] dva stejné v´ ysledky? 2(1 + p − p2 ) 3.5.10.* Kolik je tˇreba pr˚ umˇernˇe hod˚ u spravedlivou minc´ı, aby padla prvn´ı hlava? 3.5.11.* Kolik je tˇreba pr˚ umˇernˇe hod˚ u minc´ı, kde hlava má pravdˇepodobnost p (p nemus´ı b´ yt prvn´ı hlava?

[2] 1 2 ),

aby padla [ ] 1 p

ˇ eˇce, 3.5.12. Jaká je stˇredn´ı hodnota poˇctu pol´ıˇcek, o které se vaˇse figurka pˇresune v jednom kole hry Clovˇ ” nezlob se!“, pokud se

26

3


a) po tˇret´ı ˇsestce za sebou jiˇz znovu neház´ı? b) opakovanˇe ház´ı dokud padaj´ı ˇsestky?

[ 301 ] 72

[ 21 ] 5

3.5.13. Pˇri objednáván´ı obˇed˚ u u terminálu vedle j´ıdelny nev´ıte, která j´ıdla jsou k dispozici a která ne. Jestliˇze tˇri z pˇeti j´ıdel jiˇz nen´ı moˇzné objednat. Jak´ y je stˇredn´ı poˇcet pokus˚ u neˇz si objednáme j´ıdlo, které se jeˇstˇe vaˇr´ı? [2] 3.5.14. Pˇri objednáván´ı obˇed˚ u u terminálu vedle j´ıdelny nev´ıte, která j´ıdla jsou k dispozici a která ne. Je-li v menu v´ ybˇer z n j´ıdel a jestliˇze k ≤ n je poˇcet j´ıdel z pˇeti, která je moˇ y je stˇredn´ı poˇcet] [ zno objednat, jak´ (n−k)! ∑n−k (n−i)! pokus˚ u neˇz si objednáme j´ıdlo, které se jeˇstˇe vaˇr´ı? E(X) = n! i=1 (n−i−k+1)! · i

3.6

N´ ahodn´ e v´ ybˇ ery

3.6.1. Máme sedmiprvkovou mnoˇzinu A. a) S jakou pravdˇepodobnost´ı vybereme náhodnˇe jednu konkrétn´ı pˇetiprvkovou podmnoˇzinu mezi vˇ [semi ] 1 pˇetiprvkov´ ymi podmnoˇzinami? 21 b) S jakou pravdˇepodobnost´ı vybereme náhodnˇe jednu konkrétn´ı pˇetiprvkovou podmnoˇzinu mezi vˇ ] [ semi 1 podmnoˇzinami? 128 c) S jakou pravdˇepodobnost´ı vybereme náhodnˇe nˇekterou pˇetiprvkovou podmnoˇzinu mezi vˇ emi] [ s21 podmnoˇzinami? 128 3.6.2. [ ] S jakou pravdˇepodobnost´ı vybereme náhodnˇe jednu k-prvkovou podmnoˇzinu n-prvkové mnoˇziny? 1

(nk) 3.6.3. S jakou pravdˇepodobnost´ı vybereme náhodnˇe k-prvkovou podmnoˇzinu mezi vˇsemi podmnoˇz[inami ] (nk) n-prvkové mnoˇziny? 2n 3.6.4. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze náhodná podmnoˇzina n-prvkové mnoˇziny obsahuje jeden pevnˇe zvolen´ [ 1 y] prvek? 2 3.6.5. Máme náhodnou posloupnost ˇctyˇr bit˚ u. a) S jakou pravdˇepodobnost´ı se jedná o 0011“? ”

[

]

[3]

b) S jakou pravdˇepodobnost´ı obsahuje dvˇe jedniˇcky a dvˇe nuly? 3.6.6. S jakou pravdˇepodobnost´ı obsahuje v´ıce jedniˇcek neˇz nul?

1 16 8

[

5 16

]

3.6.7. Máme náhodnou permutaci pˇetiprvkové mnoˇziny. a) Jakou pravdˇepodobnost má jedna náhodná permutace?

[

1 120

]

b) Jakou pravdˇepodobnost má permutace, kde ˇc´ıslo 1 následuje bezprostˇrednˇe za ˇc´ıslem 2?

[1]

c) Jakou pravdˇepodobnost má permutace, kde ˇc´ıslo 1 následuje za ˇc´ıslem 2?

[1]

d) Jakou pravdˇepodobnost má permutace, kde ˇc´ısla 1, 2 jsou vedle sebe?

[2]

5 2 5


3.7

27


3.7.1. Ház´ıme opakovanˇe spravedlivou minc´ı. [

a) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri ˇsesti hodech minc´ı padne hlava i orel stejnˇekrát? [ b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri n hodech minc´ı padne hlava i orel stejnˇekrát?

5 16

( nn2 )

] ]

2n

3.7.2. Máme zam´ıchan´ y bal´ıˇcek 32 karet. Vytáhneme postupnˇe dvˇe karty. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze [ 3 ] a) obˇe karty budou esa? 248 [ 1 ] b) obˇe karty budou dev´ıtka a des´ıtka (v tomto poˇrad´ı)? 62 [ 1 ] c) obˇe karty budou dev´ıtka a des´ıtka (v libovolném poˇrad´ı)? 31 [ 189 ] d) ani jedna karta nebude král? 248 [ 7 ] e) obˇe karty budou stejné barvy? 31 3.7.3. Kuchaˇr upustil omylem do polévky dva r˚ uzné prsteny. Vˇsechna polévka byla rozdˇelena mezi 25 host˚ u, z toho 8 ˇzen. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze [ 1 ] a) oba prsteny dostane jedna osoba? 25 [ 272 ] b) prsteny budou m´ıt v polévce dva muˇzi? 625 [ 64 ] c) prsteny nebude m´ıt v polévce ˇzádn´ y muˇz? 625 [ 272 ] d) prsteny budou m´ıt v polévce jeden muˇz a jedna ˇzena? 625 [ 56 ] e) prsteny budou m´ıt v polévce dvˇe ˇzeny? 625 f) Jak se pravdˇepodobnosti zmˇen´ı, jestliˇze prsteny budou stejné?

[ pravdˇepodobnosti se nezmˇen´ı]

3.7.4. Hod´ıme dvˇema ˇsestistˇenn´ ymi kostkami. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze vˇetˇs´ı ˇc´ıslo bude m?

[ 2m−1 ] 36

3.7.5. V ˇsupl´ıku máme rozházen´ ych po 6 ponoˇzkách od kaˇzdé z barev ˇcerná, ˇsedá a b´ılá. Kolik ponoˇzek mus´ıme pr˚ umˇernˇe vytáhnout (postupnˇe a poslepu), abychom dostali jednobarevn´ y pár? Nerozliˇsujeme [ 101 ] levou a pravou ponoˇzku. 34 3.7.6. V ˇsupl´ıku máme rozházen´ ych po p ponoˇzkách od kaˇzdé z b barev. Kolik ponoˇzek mus´ıme pr˚ umˇernˇe vytáhnout (postupnˇe a poslepu), abychom dostali jednobarevn´ y pár? Nerozliˇsujeme levou a pravou ponoˇzku. 3.7.7.* Magnet má dva póly, které se pˇritahuj´ı. Barevné dˇetské magnetky maj´ı na sobˇe umˇelohmotnou ˇ cka zakr´ ˇcepiˇcku. Cepiˇ yvá cel´ y jeden pól magnetu, proto pˇritahovat se mohou pouze jedn´ım pólem. Magnetky jsou balené po 40 kusech, 10 od kaˇzdé ze ˇctyˇr barev. Pˇredpokládejme, ˇze zakryté póly tˇechto magnetk˚ u jsou zvoleny náhodnˇe s pravdˇepodobnost´ı 12 . Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze tˇechto 40 magnetk˚ u lze pospojovat do 5 × 4 stejnobarevn´ ych dvojic tak, ˇze kaˇzdá dvojice se navzájem pˇritahuje opaˇcn´ ymi nezakryt´ ymi [( )4 ] 10 (5) p´ oly? 210 3.7.8. Hra Tic-tac-toe je hra s tuˇzkou a pap´ırem pro dva hráˇce X a O, kteˇr´ı stˇr´ıdavˇe zapisuj´ı kˇr´ıˇzky a koleˇcka do ˇctvercové s´ıtˇe pol´ıˇcek 3 × 3, viz Cviˇcen´ı 2.3.25. Pˇri ˇreˇsen´ı vyuˇzijte v´ ysledku Cviˇcen´ı 2.3.25. a) Jaká je stˇredn´ı hodnota poˇctu tah˚ u do v´ıtˇezstv´ı, jestliˇze rem´ızy nebudeme uvaˇzovat (pˇredpoklád´ ame, ˇze rem´ıza nem˚ uˇze nastat). Pˇredpokládejme, ˇze kaˇzdá hra má stejnou pravdˇepodobnost (coˇz [nemus´ ]ı 11747 b´ yt pravda). 1452

28

3


b)* Jaká je stˇredn´ı hodnota poˇctu tah˚ u do prvn´ıho v´ıtˇezstv´ı, jestliˇze rem´ızy zapoˇc´ıtáme jako 9 tah˚ u a dalˇs´ı hra pokraˇcuje dalˇs´ım (desát´ ym) tahem. Pˇredpokládejme, ˇze kaˇzdá hra má stejnou pravdˇepodobnost [ 14627 ] (coˇz nemus´ı b´ yt pravda). 1452 3.7.9. Krabice dˇrevˇen´ ych dˇetsk´ ych vláˇck˚ u obsahuje jednu lokomotivu a tˇri vagónky. Vagónky a lokomotiva se spojuj´ı pomoc´ı magnet˚ u. Lokomotiva má jeden magnet a kaˇzd´ y vagónek má magnety dva – na kaˇzdém konci jeden. Póly magnet˚ u jsou otoˇceny tak, aby bylo moˇzno zapojit do vláˇcku vˇsechny vag´ onky a to v libovolném poˇrad´ı. a) S jakou pravdˇepodobnost´ı by se dal sestavit vláˇcek s vagónky v libovolném poˇrad´ı, pokud by v tov´ e] [arnˇ 3 orientaci magnet˚ u pˇriˇrazovali náhodnˇe? 16 [ 3 ] b)* Umˇeli byste pˇredchoz´ı u ´lohu zobecnit pro n vagónk˚ u? 2n+1 c) S jakou pravdˇepodobnost´ı by se dal sestavit vláˇcek s vagónky v alespoˇ n jednom poˇrad´ı, pokud [ 35by] v továrnˇe orientaci magnet˚ u pˇriˇrazovali náhodnˇe? 64 [ 2n+1 ] ( n ) d)* Umˇeli byste pˇredchoz´ı u ´lohu zobecnit pro n vagónk˚ u? 22n 3.7.10. V bal´ıˇcku je 8 karet, dvˇe od kaˇzdé barvy. Bal´ıˇcek peˇclivˇe rozm´ıcháme. S jakou pravdˇ podobnost´ [ e13824 ]ı 12 dostaneme takové rozm´ıchán´ı, ve kterém nejsou ˇzádné dvˇe karty stejné barvy vedle sebe? = 40320 35 3.7.11. Jak´ y je stˇredn´ı poˇcet hod˚ u ˇsestistennou kostkou neˇz padne kaˇzdá stˇena alespoˇ n jednou? ˇ ricet sportovc˚ 3.7.12. Ctyˇ u bude rozdˇeleno na ˇctyˇri stejnˇe poˇcetné skupiny. Jaká je pravdˇepodobnost, [ 3ˇze] dva konkrétn´ı sportovci A a B budou ve stejné skupinˇe? 13 3.7.13. S jakou pravdˇepodobnost´ı bude pˇrijato binárn´ı slovo délky 8 znak˚ u, které obsahuje ˇctyˇri nuly, ze] [ jestliˇ 84035 zdroj signálu generuje 7krát v´ıce nul neˇz jedniˇcek? 8388608

29

4

D˚ ukazy v diskr´ etn´ı matematice

Podrobnˇeji si o d˚ ukazech m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst ve skriptech [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 4.0.1. Kolik r˚ uzn´ ych binárn´ıch operátor˚ u existuje (m˚ uˇze existovat)? Sestavte jejich pravdivostn´ı tabulky. Pod´ıvejme se na binárn´ı operátor A ⊕ B. Jsou ˇctyˇri r˚ uzné kombinace pravdivostn´ıch hodnot promˇenn´ ych A a B. Pro kaˇzdou existuj´ı dvˇe moˇznosti, jaká bude v´ ysledná logická hodnota operátoru ⊕. Dostáv´ ame tak celkem V (2, 4) = 24 = 16 r˚ uzn´ ych logick´ ych binárn´ıch operátor˚ u. Oznaˇc´ıme si je ⊕1 , ⊕2 , . . . , ⊕16 . Jejich tabulky pravdivostn´ıch hodnot jsou A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A ⊕1 B 0 0 0 0

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A ⊕9 B 1 0 0 0

A ⊕2 B A ⊕3 B A ⊕4 B A ⊕5 B A ⊕6 B A ⊕7 B A ⊕8 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Tabulka 4.1: Tabulky pravdivostn´ıch hodnot oper´ ator˚ u ⊕1 aˇz ⊕8 . A ⊕10 B 1 0 0 1

A ⊕11 B 1 0 1 0

A ⊕12 B 1 0 1 1

A ⊕13 B 1 1 0 0

A ⊕14 B 1 1 0 1

A ⊕15 B 1 1 1 0

A ⊕16 B 1 1 1 1

Tabulka 4.2: Tabulky pravdivostn´ıch hodnot oper´ ator˚ u ⊕9 aˇz ⊕16 . Pozn´ amka: Napˇr´ıklad operátor ⊕2 je dobˇre znám´ ym operátorem konjunkce ∧, operátor ⊕8 je operátorem disjunkce ∨, operátor ⊕15 je operátorem NAND. 4.0.2. Dokaˇzte ˇze pro ∀a ∈ Z, je-li a2 liché, potom a je liché. Tvrzen´ı dokáˇzeme nepˇr´ımo. M´ısto p˚ uvodn´ıho v´ yroku dokáˇzeme jeho obmˇenu: ∀a ∈ Z, je-li a sudé, potom 2 a je sudé. V´ıme, ˇze existuje k ∈ Z takové, ˇze a = 2k. Potom a2 = (2k)2 = 4k 2 = 2(2k 2 ). Vid´ıme, ˇze a2 je opˇet sudé, nebot’ existuje k ′ = 2k 2 tak, ˇze a2 = 2k ′ . 4.0.3. Ukaˇzte, ˇze kaˇzdé poˇstovné vˇetˇs´ı nebo rovno 12 Kˇc m˚ uˇze b´ yt zaplaceno uˇzit´ım známek v hodnotˇe 4 Kˇc a 5 Kˇc. Ukáˇzeme matematickou indukc´ı vzhledem k cenˇe c. Z´ aklad indukce: Nejprve ukáˇzeme, ˇze je moˇzno vyplatit ˇcástky • 12 Kˇc jako 4 + 4 + 4 = 12 • 13 Kˇc jako 5 + 4 + 4 = 13 • 14 Kˇc jako 5 + 5 + 4 = 14 • 15 Kˇc jako 5 + 5 + 5 = 15 Indukˇcn´ı krok: Ukáˇzeme, ˇze kdyˇz jde zaplatit poˇstovné v cenˇe c, tak jde zaplatit také poˇstovné o hodnotˇe c + 4. Staˇc´ı nalepit o jednu ˇctyˇrkorunovou známku nav´ıc. To podle principu matematické indukce znamená, ˇze pomoc´ı známek v hodnotˇe 4 a 5 Kˇc m˚ uˇzeme zaplatit jakékoliv poˇstovné v hodnotˇe alespoˇ n 12 Kˇc. 4.0.4. Dva zlodˇeji ukradli náhrdeln´ık. Náhrdeln´ık je sestaven z drahokam˚ u (rub´ın˚ u a diamant˚ u) po ˇradˇe spojen´ ych ˇret´ızkem do kruhu. Sv˚ uj lup by si chtˇeli rozdˇelit tak, aby kaˇzd´ y dostal stejn´ y poˇcet diamant˚ u i rub´ın˚ u. Ukaˇzte, ˇze pokud náhrdeln´ık obsahuje sud´ y poˇcet diamant˚ u (2d) a sud´ y poˇcet rub´ın˚ u 2r, je

30

4

˚ ´ Í MATEMATICE DUKAZY V DISKRETN

vˇzdy moˇzné rozdˇelit náhrdeln´ık na dvˇe ˇc´ asti tak, aby kaˇzdá ˇcást obsahovala polovinu rub´ın˚ u i polovinu diamant˚ u. Tvrzen´ı ukáˇzeme pˇr´ımo. Nav´ıc d˚ ukaz bude konstruktivn´ı a poskytne návod, jak m´ısto pro dˇelen´ı naj´ıt. Náhrdeln´ık rozloˇz´ıme na st˚ ul tak, abychom mohli urˇcovat smˇer po a proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Najdeme takové dva ˇclánky c1 a c2 na náhrdeln´ıku ˇret´ızku (vˇzdy vedle diamantu, mˇeˇreno proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek), ˇze pˇri rozdˇelen´ı by v jednom i druhém d´ılu byl stejn´ y poˇcet diamant˚ u d1 = d2 . ’ Takové rozdˇelen´ı jistˇe existuje, nebot náhrdeln´ık obsahuje sud´ y poˇcet diamant˚ u. Pod´ıváme se, jak´ y je poˇcet rub´ın˚ u r1 a r2 v obou ˇcástech. Je-li r1 = r2 , tak je tvrzen´ı dokázáno. Jinak m˚ uˇzeme bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokládat, ˇze rub´ın˚ u je v´ıce po smˇeru od c1 a ˇze plat´ı r1 > r2 (obˇe jsou sudá nebo obˇe lichá ˇc´ısla). Nyn´ı rozliˇs´ıme následuj´ıc´ı pˇr´ıpady: 1. drahokam po smˇeru od c1 (resp. proti smˇeru od c2 ) je rub´ın posuneme m´ısto dˇelen´ı c1 o jeden drahokam (rub´ın) po smˇeru (resp. c2 proti smˇeru) na m´ısto c′1 (resp. c′2 ); nyn´ı je r1′ = r1 − 1 a r2′ = r2 + 1 2. drahokam po smˇeru od c1 i proti smˇeru od c2 diamant posuneme m´ısto dˇelen´ı c1 o jeden drahokam (diamant) po smˇeru (resp. c2 po smˇ eru) na m´ısto c′1 ′ ′ ′ ustane d1 = d1 = d2 = d2 (resp. c2 ); jistˇe z˚ Vˇsimneme si, ˇze pˇri opakován´ı postupu se v pˇr´ıpadˇe prvn´ım rozd´ıl r1 − r2 vˇzdy sn´ıˇz´ı o nejmenˇs´ı moˇznou hodnotu 2, zat´ımco v druhém pˇr´ıpadˇe se z˚ ustane rozd´ıl r1 − r2 stejn´ y nebo se zv´ yˇs´ı (o nˇejakou sudou hodnotu). Postup je jistˇe koneˇcn´ y, nebot’ náhrdeln´ık obsahuje koneˇcn´ y poˇcet drahokam˚ u a nav´ıc se urˇcitˇe podaˇr´ı rozdˇelit náhrdeln´ık na dvˇe stejnˇe hodnotné ˇcásti dˇr´ıve, neˇz se m´ısto dˇelen´ı c′1 dostane na p˚ uvodn´ı m´ısto c2 , nebot’ potom by muselo b´ yt r1′ − r2′ = −(r1 − r2 ) záporné. Pˇri dˇelen´ı sniˇzujeme rozd´ıl pouze v pˇr´ıpadˇe prvn´ım a to vˇzdy o nejmenˇs´ı moˇznou hodnotu, proto z´ıskáme vˇsechna moˇzná dˇelen´ı s rozd´ılem mezi hodnotou r1 − r2 a hodnotou −(r1 − r2 ). Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Náhrdeln´ık, kter´ y obsahuje 2d diamant˚ u a 2r rub´ın˚ u rozloˇz´ıme na st˚ ul tak, abychom mohli urˇcovat smˇer po a proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Najdeme na náhrdeln´ıku takové dva protilehlé ˇclánky ˇret´ızku A a B, ˇze pˇri rozdˇelen´ı by v jedné i druhé ˇcásti byl stejn´ y poˇcet drahokam˚ u: (2d + 2r)/2 = d + r. Pokud obsahuje jedna ˇcást v´ıce diamant˚ u d + x (a ménˇe rub´ın˚ u d − x) neˇz druhá tak budeme posouvat m´ısta dˇelen´ı o jeden drahokam ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. V kaˇzdém kroku se vymˇen´ı jedna dvojice drahokam˚ u. Jsou-li vymˇenˇené drahokamy stejné, nezmˇen´ı se poˇcty diamant˚ u ani rub´ın˚ u v kaˇzdé ˇc´ asti. Jsou-li vymˇenˇené drahokamy r˚ uzné, tak se poˇcet diamant˚ u v jedné ˇcásti o 1 zv´ yˇs´ı (na d + x + 1) nebo o 1 sn´ıˇz´ı (na d + x − 1). Postup je jistˇe koneˇcn´ y, nebot’ náhrdeln´ık obsahuje koneˇcn´ y poˇcet drahokam˚ u a nav´ıc se urˇcitˇe podaˇr´ı rozdˇelit náhrdeln´ık na dvˇe stejnˇe hodnotné ˇcásti dˇr´ıve, neˇz se m´ısta dˇelen´ı posunou o polovinu obvodu (d + r), nebot’ potom by mˇela jedna ˇcást tolik diamant˚ u, jako p˚ uvodnˇe mˇela druhá ˇcást: d − x. V kaˇzdém kroku se celoˇc´ıselná hodnota d + x mˇen´ı o 1, proto dˇr´ıve nˇeˇz otoˇc´ıme o d + r drahokam˚ u mus´ı nastat x = 0. Jakmile maj´ı ˇc´ asti v nˇekterém kroku stejn´ y poˇcet diamant˚ u, mus´ı m´ıt i stejn´ y poˇcet rub´ın˚ u, nebot’ obˇe maj´ı stejn´ y poˇcet drahokam˚ u.

4.1


4.1.1. Tabulka ˇcokolády se skládá z m × n ˇctvereˇck˚ u. Chceme ji nalámat na jednotlivé ˇctvereˇcky. Najdˇete a dokaˇzte jak´ y je nejmenˇs´ı poˇcet zlom˚ u, abychom ˇcokoládu m × n rozdˇelili na jednotlivé ˇctvereˇcky? [ pˇr´ımo nebo silnou indukc´ı] 4.1.2. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé n ∈ N plat´ı, ˇze n pˇr´ımek rozdˇel´ı rovinu na nejv´ yˇse [ indukc´ı vzhledem k n ]

1 2 n(n

+ 1) + 1 oblast´ı.

4.1.3. Máme sloupeˇcek n krabic. Budeme hrát následuj´ıc´ı hru (pro jednoho/libovoln´ y poˇcet hráˇc˚ u): Z jednom kroku vˇzdy rozdˇel´ıme nˇejak´ y sloupec z krabic (z ≥ 2) na dva menˇs´ı sloupce s x a y krabicemi. Za tento krok z´ıskáme poˇcet bod˚ u, kter´ y je dán souˇcinem x · y.

4.2 Základn´ı logické symboly

31

Hra konˇc´ı, jakmile máme n sloupc˚ u kaˇzd´ y s jedinou krabic´ı. Zaˇc´ınáme s nulov´ ym poˇctem bod˚ u a chtˇeli bychom dosáhnout co nejvˇetˇs´ıho poˇctu bod˚ u. Hráˇc s nejvˇetˇs´ım poˇctem bod˚ u vyhrál. a) Jakou strategii zvolit, abychom z´ıskali co nejvˇetˇs´ı skóre? b) Dokaˇzte, ˇze ˇzádná jiná strategie nevede k vyˇsˇs´ımu skóre.

4.2

Z´ akladn´ı logick´ e symboly

4.2.1. Sestavte negaci v´ yroku Vˇsechna auta jsou ˇcervená.“ ” 4.2.2. Sestavte negaci v´ yroku Kaˇzd´ y student u zkouˇsky uspˇeje.“ ” neuspˇeje ] 4.2.3. Sestavte negaci v´ yroku Jednou jsem vyhrál ve sportce.“ ” nebo nikdy ] ˇ 4.2.4. Sestavte negaci v´ yroku Kdo neskáˇce, nen´ı Cech.“ ” 4.2.5. Sestavte negaci v´ yroku ∀n : 2n > n2 . 4.2.6. Sestavte negaci v´ yroku ∀x > 1 : x2 > x. 4.2.7. Sestavte negaci v´ yroku ∃x ∈ R \ {0} : ln |x| < 0.

[ alespoˇ n jedno auto nen´ı ˇcervené ] [ alespoˇ n jeden student u zkouˇsky [ ve sportce jsem vyhrál alespoˇ n dvakr´ at [

] ˇ kdo neskáˇce, m˚ uˇze b´ yt i Cech [ ] ∃n : 2n ≤ n2 [ ] ∃x > 1 : x2 ≤ x [ ∀x ∈ R \ {0} : ln |x| ≥ 0 ]

4.2.8. Pokud je to moˇzné, zapiˇste vˇsechny moˇzné r˚ uzné binárn´ı operátory uˇzit´ım negace, konjunkce a disjunkce. 4.2.9. Pokud je to moˇzné, zapiˇste vˇsechny moˇzné r˚ uzné binárn´ı operátory uˇzit´ım negace, konjunkce a XOR. 4.2.10. Pokud je to moˇzné, zapiˇste vˇsechny moˇzné r˚ uzné binárn´ı operátory uˇzit´ım NAND a XOR. 4.2.11. V´ıme, ˇze v´ yrok A a jeho negace nonA nemohou b´ yt souˇcasnˇe pravdivé nebo souˇcasnˇe nepravdivé. Oznaˇc´ıme A v´ yrok Tato vˇeta neobsahuje zápor,“ kter´ y je nepravdiv´ y. Avˇsak jeho negace Tato vˇeta ” ” obsahuje zápor“ je také nepravdivá. Vysvˇetlete! [ A ani nonA nejsou v´ yroky, proˇc? ] 4.2.12.* Najdˇete podobné vˇety jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu tak, aby obˇe tvrzen´ı A a nonA byly pravdivé. [ˇreˇsen´ı existuj´ı, najdete je? ]

4.3

Pojem matematick´ eho d˚ ukazu

Celé ˇc´ıslo a se naz´ yvá sudé, existuje-li k ∈ Z tak, aby a = 2k. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se ˇc´ıslo a naz´ yv´ a liché. 4.3.1. Dokaˇzte ˇze pro ∀a ∈ Z, je-li a liché, potom a2 je liché.

[ pˇr´ımo ]

4.3.2. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Ukáˇzeme, ˇze 13 je prvoˇc´ıslo. Pˇredpokládejme, ˇze vˇsechna lich´ a ˇc´ısla jsou prvoˇc´ısla. Protoˇze 13 = 2 · 6 + 1 je liché ˇc´ıslo, tak 13 je prvoˇc´ıslo. [ implikace z nepravdivého v´ yroku nen´ı d˚ ukaz! ] 4.3.3. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Mˇejme v´ yrok V , kter´ y ˇr´ıká ∀x ∈ R : x2 > x. Protoˇze jistˇe 0 > −1, tak pˇriˇcten´ım x dostaneme x > x − 1. Nyn´ı z nerovnost´ı x2 > x > x − 1 dostaneme x2 > x − 1. Nerovnice x2 −x+1 > 0 má ˇreˇsen´ı pro vˇsechna reálná ˇc´ısla (vyˇreˇste si podrobnˇe sami), proto náˇs pˇredpoklad je pravdiv´ y pro vˇsechna reálná ˇc´ısla. [ implikace z nepravdivého v´ yroku nen´ı d˚ ukaz! ] 4.3.4. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Mˇejme celé ˇc´ıslo a. Jistˇe plat´ı a = a. Umocnˇen´ım pˇredpokladu a = a dostaneme a2 = a2 , neboli 0 = a2 − a2 = (a + a)(a − a). Nyn´ı 0 · (a − a) = 0 = (a + a)(a − a) a zkrácen´ım v´ yrazem a − a dostaneme a + a = 0, tj. a = −a. [ neekvivalentn´ı u ´prava ] 4.3.5. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Mˇejme celá ˇc´ısla a, b. Pokud plat´ı a = b, tak umocnˇen´ım 2 2 2 2 dostaneme a = b , neboli 0 = a − b = (a + b)(a − b). Nyn´ı zkrácen´ım v´ yrazem a − b dostaneme 0 = a + b, tj. a = −b. [ neekvivalentn´ı u ´prava ]

32

4.4

4


Princip matematick´ e indukce

4.4.1. Dokaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze souˇcet prvn´ıch n lich´ ych ˇc´ısel je n2 .

[ indukc´ı vzhledem k n ]

4.4.2. Dokaˇzte kombinatoricky (jinak neˇz pˇr´ımo nebo indukc´ı), ˇze souˇcet prvn´ıch n lich´ ych ˇc´ısel je n2 . [ rozkrájen´ım ˇsachovnice ] 4.4.3. Dokaˇzte pˇr´ımo (jinak neˇz indukc´ı nebo kombinatoricky), ˇze souˇcet prvn´ıch n lich´ ych ˇc´ısel je n2 . [ souˇctem posloupnosti ] 4.4.4. Máme ˇsachovnici o rozmˇerech 2n × 2n pol´ıˇcek (n ≥ 1), na které chyb´ı jedno (libovolné) pol´ıˇcko. K dispozici máme neomezen´ y poˇcet d´ılk˚ u, z nich kaˇzd´ y sestává ze tˇr´ı pol´ıˇcek ˇsachovnice ve tvaru L. Ukaˇzte, ˇze ˇsachovnici je moˇzno pokr´ yt d´ılky tak, aby se ˇzádné d´ılky nepˇrekr´ yvaly a pˇritom byla celá ˇsachovnice (aˇz na chybˇej´ıc´ı pol´ıˇcko) pokrytá.

Obrázek 4.1: D´ılek se tˇremi pol´ıˇcky ˇsachovnice ve tvaru L. [ indukc´ı vzhledem k n ]

∑n

1 6 n(n

4.4.5. Dokaˇzte, i=1 i2 = + 1)(2n + 1). Základ indukce: Pro i = 1 je tvrzen´ı snadné: 1 ∑

i2 = 12 = 1 =

i=1

1 1 · 1 · 2 · 3 = 1(1 + 1)(2 + 1). 6 6

Indukˇcn´ı krok: Dále pˇredpokládáme platnost pro 1, 2, . . . , n, tj. n ∑ i=1

1 i2 = n(n + 1)(2n + 1). 6

Pro n + 1 chceme ukázat, ˇze plat´ı n+1 ∑ i=1

1 i2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3). 6

Pro n + 1 dostaneme n+1 ∑

2

i =

i=1

n ∑ i=1

1 1 i2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 = (n + 1) (n(2n + 1) + 6(n + 1)) = 6 6 ( ) 1 1 = (n + 1) 2n2 + 7n + 6 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3). 6 6 [ indukc´ı vzhledem k n ]

4.4.6. Dokaˇzte

∑n

3 i=1 i

=

(n+1)2 2

.

[ graficky nebo indukc´ı]

4.4.7. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Indukc´ı podle n dokáˇzeme, ˇze kaˇzd´ ych n ˇc´ısel je sobˇe rovn´ ych: x1 = x2 = . . . = xn . Pro n = 1 jistˇe plat´ı x1 = x1 . Necht’ tvrzen´ı plat´ı pro obecné n. Ukáˇzeme, ˇze plat´ı i pro n + 1 ˇc´ısel: x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 . Dle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je x1 = x2 = . . . = xn , a souˇcasnˇe x2 = . . . = xn = xn+1 . Nyn´ı z tranzitivity rovnosti vypl´ yvá x1 = x2 = . . . = xn = xn+1 . [ chybnˇe zvolen´ y základ indukce n = 1 ] 4.4.8. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ım d˚ ukazu. Indukc´ı podle n dokáˇzeme, ˇze kaˇzd´ ych n ≥ 2 r˚ uznobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek má právˇe jeden spoleˇcn´ y bod. Pro n = 2 tvrzen´ı jistˇe plat´ı: dvˇe r˚ uznobˇeˇzky p1 a p2 maj´ı spoleˇcn´ y právˇe jeden bod. Necht’ tvrzen´ı plat´ı pro n pˇr´ımek. Ukáˇzeme, ˇze plat´ı i pro n + 1 pˇr´ımek: p1 , p2 , . . . , pn , pn+1 . Dle indukˇcn´ıho pˇredpokladu maj´ı pˇr´ımky p1 , p2 , . . . , pn jedin´ y spoleˇcn´ y bod, a souˇcasnˇe

4.5 Vztahy s kombinaˇcn´ımi ˇc´ısly

33

pˇr´ımky p2 , . . . , pn , pn+1 maj´ı jedin´ y spoleˇcn´ y bod. Oznaˇc´ıme P spoleˇcn´ y bod pˇr´ımek p2 a p3 . Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je tento bod spoleˇcn´ y pro prvn´ıch n pˇr´ımek i pro posledn´ıch n pˇr´ımek a je proto spoleˇcn´ y pro vˇsech n + 1 pˇr´ımek. [ chybnˇe zvolen´ y základ indukce n = 2 ] 4.4.9. Ukaˇzte, ˇze kaˇzdé poˇstovné nebo rovno (h1 −1)(h2 −1) Kˇc m˚ uˇze b´ yt z´ıskáno uˇzit´ım známek v hodnotˇe h1 Kˇc a h2 Kˇc. 4.4.10. Dokaˇzte Bernoulliho nerovnost: Pro kaˇzdé pˇrirozené n a reálné x > −1 plat´ı nerovnost (1 + x)n ≥ 1 + nx. [ indukc´ı vzhledem k n ] ∑n 4.4.11. Dokaˇzte, ˇze ∀n ∈ N : i=0 i · i! = (n + 1)! − 1 [ indukc´ı vzhledem k n ] ∑n 4.4.12. Ukaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze pro kaˇzdé pˇrirozené ˇc´ıslo n plat´ı rovnost i=1 i(i + 1) = 13 n(n + 1)(n + 2) 4.4.13. Ukaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze pro vˇsechna pˇrirozená ˇc´ısla plat´ı nerovnost an ≤ 2n−1 , kde an je n-t´ y ˇclen posloupnosti urˇcené rekurentnˇe: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 a pro n ≥ 4 je an = an−1 + an−2 + an−3 .

4.5

Vztahy s kombinaˇ cn´ımi ˇ c´ısly (

[(

( 2n ) + n+3 na jediné kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo. ( ) ( ) (n+2) (n+3) (n+4) 4.5.2. Upravte v´ yraz n0 + n+1 + 2 + 3 + 4 na jediné kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo. 1 ∑ ( ) na jediné kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo. 4.5.3.* Upravte v´ yraz ki=0 n+i i 4.5.1. Upravte v´ yraz

2n n−2

)

[ (n+5) ] [(

4.5.4. Pro jaká n plat´ı C(n − 1, 3) + C(n + 2, 3) + 10 = P (n, 3)? 4.5.5. Ukaˇzte, ˇze plat´ı

)]

2n+1 n−2 4

)]

n+k+1 k

[ n = 3, 8 ]

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( ) n n n n 2n + + + ··· = . 0 1 2 n n [ kombinatoricky (ˇc´ısla 1, 2, . . . , 2n) nebo pˇr´ımo ]

4.5.6. Ukaˇzte, ˇze plat´ı

( ) ( ) ( ) n n n +6 +6 = n3 1 2 3 [ pˇr´ımo ]

4.5.7. Zd˚ uvodnˇete (kombinatoricky, bez v´ ypoˇctu kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel), ˇze plat´ı ( ) ( ) 2n n =2 + n2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4.5.8.* Seˇctˇete 1 + 2 n1 + · · · + (k + 1) nk + · · · + (n + 1) nn .

[ kombinatoricky (ˇc´ısla 1, 2, . . . , 2n) ] [ ] (n + 2)2n−1

4.5.9.* Ukaˇzte, ˇze plat´ı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n +3 +5 + ··· = 2 +4 +6 + ··· 1 3 5 2 4 6 4.5.10. Vypoˇc´ıtejte 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + (n − 2) · (n − 1) · n

4.5.11. Vypoˇc´ıtejte 4.5.12. Vypoˇc´ıtejte 4.5.13. Vypoˇc´ıtejte

[ (n+1) ] 3! 4

∑n

2 k=1 (k + 1)k! ∑n n−k k(k + k=1 2

∑k

i=0

(2n−k)(k) n−i

i

1)!

kde k ≤ n

[

[ (n + 1)!n ] ] (n + 2)! − 2n+1 [ (2n) ] n

34

4.6

4


D˚ ukazy poˇ c´ıt´ an´ım

ˇ 4.6.1. Existuj´ı na VSB–TUO dva studenti se stejn´ ym posledn´ım ˇctyˇrˇc´ısl´ım rodného ˇc´ısla? princip ] 4.6.2. Ukaˇzte, ˇze na Zemi ˇzij´ı dva lidé se stejn´ ym poˇctem vlas˚ u.

[ Dirichlet˚ uv

[ Dirichlet˚ uv princip ]

4.6.3. V m´ıstnosti je n lid´ı. Kaˇzd´ y z nich má v m´ıstnosti nˇekolik znám´ ych (tˇreba i ˇzádného). Pˇredpoklád´ ame, ˇze relace m´ıt známého“ je symetrická. Ukaˇzte, ˇze nˇekteˇr´ı dva lidé maj´ı v m´ıstnosti stejn´ y poˇcet znám´ ych. ” [ Dirichlet˚ uv princip, a kdyˇz nˇekdo n − 1 znám´ ych, nem˚ uˇze b´ yt 0. ] 4.6.4. Máte 4 r˚ uzná ˇc´ısla od 1 do n (n ≥ 4). Ukaˇzte, ˇze nˇekterá dvˇe dávaj´ı sud´ y souˇcet. Kolik nejménˇe ˇc´ısel zaruˇc´ı sud´ y souˇcet? [ Dirichlet˚ uv princip, min=3 ] 4.6.5. Máte k r˚ uzn´ ych ˇc´ısel od 1 do n (n ≥ k ≥ 2). Pro jaké nejmenˇs´ı k máme zaruˇceno, a dvˇe] [ ˇze nˇekter´ dávaj´ı lich´ y souˇcet. kmin = ⌈ n2 ⌉ + 1 4.6.6. Na ˇctrnáctidenn´ı dovolenou jelo 20 lid´ı. Kaˇzdé odpoledne hraj´ı stoln´ı tenis. U kaˇzdého ze dvou stol˚ u se hraje postupnˇe ˇsest zápas˚ u, Ukaˇzte, ˇze nˇekteˇr´ı dva lidé spolu bˇehem celé dovolené nehráli. [ poˇcet dvojic, Dirichlet˚ uv princip ] 4.6.7. V Plzni se v mˇestsk´ y dopravn´ıch prostˇredc´ıch ˇst´ıpaj´ı l´ıstky. Po Plzni jezd´ı 150 tramvaj´ı, 90 trolejbus˚ u a 120 autobus˚ u. Ukaˇzte, ˇze pokud se ˇst´ıpe vˇzdy 3, 4 nebo 5 pol´ıˇcek z dev´ıti, tak mus´ı b´ yt v nˇekter´ ych [ 336 < 360 ] vozech stejné kombinace. 4.6.8.* Ukaˇzte, ˇze vyˇr´ızneme-li z ˇsachovnice dva protilehlé rohy, potom nen´ı moˇzné ˇsachovnici pokr´ yt dominov´ ymi kostkami. 4.6.9.* Ze ˇsachovnice odebereme dvˇe pol´ıˇcka r˚ uzné barvy. Ukaˇzte, ˇze je moˇzno pokr´ yt dominem. 4.6.10. Ukaˇzte, ˇze neexistuje univerzáln´ı bezztrátov´ y kompresn´ı algoritmus, tj. taková kompresn´ı funkce, která libovolnou posloupnost n bajt˚ u zkompresuje na posloupnost délky menˇs´ı neˇz n. [ Neexistuje injektivn´ı zobrazen´ı V ST U P → V Y ST U P . ]

4.7


4.7.1. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé pˇrirozené n je ˇc´ıslo n3 − n dˇelitelné ˇsesti.

[ pˇr´ımo nebo indukc´ı]

4.7.2. Dokaˇzte, ˇze plat´ı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r+1 r+2 n−1 n n+1 + + + ··· + + = . r r r r r r+1 [ indukc´ı podle n ] 4.7.3. Dokaˇzte, ˇze pro vˇsechna pˇrirozená n ≥ 1 plat´ı n ∑

(2i − 1) · 3i = (n − 1) · 3n+1 + 3.

i=1

4.7.4. Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı nerovnice

(n) 2

>

(n ) 3

[ indukc´ı vzhledem k n ] .

4.7.5.* Dokaˇzte, ˇze plat´ı

[ n = 3, 4 ] (

n

n/2

≤ n! ≤

n+1 2

)n

[ pˇr´ımo ] 4.7.6. Ukaˇzte, ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer dvou nezáporn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel je nejv´ yˇse roven geometrickému √ pr˚ umˇeru, tj. x · y ≤ x+y . [ pˇr´ımo ] 2


35

4.7.7. Ukaˇzte, ˇze pˇri hodu n ≥ 1 kostkami je stejná pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet bude sud´ y nebo lich´ y. [ sestaven´ım uniformn´ıho pravdˇepodobnostn´ıho prostoru se dvˇema komplementárn´ımi jevy stejné velikosti ] 4.7.8. Ukaˇzte, ˇze poˇcet vˇsech zobrazen´ı m prvkové mnoˇziny do n prvkové je nm . [ indukc´ı vzhledem k m ] √ 4.7.9. Ukaˇzte, ˇze 2 nen´ı racionáln´ı ˇc´ıslo. [ sporem ] 4.7.10. Hra Tic-tac-toe je hra s tuˇzkou a pap´ırem pro dva hráˇce X a O, kteˇr´ı stˇr´ıdavˇe zapisuj´ı kˇr´ıˇzky a koleˇcka do ˇctvercové s´ıtˇe pol´ıˇcek 3 × 3, viz Cviˇcen´ı 2.3.25. a) Existuje v´ıtˇezná strategie pro prvn´ıho hráˇce? Pokud ano, najdˇete ji, pokud ne, dokaˇzte to. [ v´ıtˇezn´ a strategie neexistuje ] b) Existuje v´ıtˇezná strategie pro druhého hráˇce, jestliˇze prvn´ı tah prvn´ıho hráˇce nesm´ı b´ yt na prostˇredn´ı pole? Pokud ano, najdˇete ji, pokud ne, dokaˇzte to. [ v´ıtˇezná strategie neexistuje ] 4.7.11. Ukaˇzte indukc´ı, ˇze k kruˇznic dˇel´ı povrch koule na nejv´ yˇse k 2 − k + 2 ˇcást´ı. 4.7.12. Ukaˇzte pˇr´ımo, ˇze k kruˇznic dˇel´ı povrch koule na nejv´ yˇse k 2 − k + 2 ˇcást´ı. vzorce ]

[ s vyuˇzit´ım Eulerova

4.7.13. Máme ˇretˇez s n oˇcky v ˇradˇe. Najdˇete a dokaˇzte jak´ y je nejmenˇs´ı poˇcet oˇcek ˇret´ızku, které je tˇreba cviknout, aby potom bylo moˇzno bez dalˇs´ıho cviknut´ı odpoˇc[´ıtat (ne nutnˇe spojit) libovoln´ y poˇcet oˇcek] od 1 do n. nejmenˇs´ı k takové, ˇze n ≥ (k + 1)2k+1 − 1 4.7.14. Ukaˇzte, ˇze pro libovoln´ ych n + 1 pˇrirozen´ ych ˇc´ısel z mnoˇziny [1, 2n] existuj´ı taková dvˇe ˇc´ısla, ˇze jedno je násobek druhého. 4.7.15. Matematickou indukc´ı ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdé celé ˇc´ıslo n ≥ 3 existuje n takov´ ych r˚ uzných pˇrirozen´ ych ˇc´ısel x1 , x2 , . . . , xn ˇze rovnice x11 + x12 + · · · + x1n = 1. [ pro kaˇzdé dalˇs´ı n vezmeme dvojnásobné hodnoty ] 4.7.16. Ukaˇzte, ˇze

1 2·3

+

1 3·4

+ ··· +

1 (n+1)(n+2)

=

n 2(n+2) .

[ s vyuˇzit´ım matematické indukce ]

4.7.17. Z aritmetické posloupnosti 1, 4, 7, 10, . . . , 100 vybereme libovolnˇe 19 ˇclen˚ u. Dokaˇzte, ˇze mezi nimi existuj´ı dvˇe ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet je 104. [ poˇc´ıtán´ım dvojic ˇc´ısel, která dávaj´ı souˇcet 104 ] 4.7.18. Ukaˇzte, ˇze v mnoˇzinˇe libovoln´ ych k + 1 cel´ ych ˇc´ısel existuje alespoˇ n jedna dvojice ˇc´ısel, jejichˇz rozd´ıl [ s vyuˇzit´ım Dirichletova principu ] je dˇeliteln´ y ˇc´ıslem k.

36

5

5

RELACE A ZOBRAZENÍ

Relace a zobrazen´ı

ˇ Rekneme, ˇze (binárn´ı) relace na mnoˇzinˇe A je • reflexivn´ı pokud ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R, • ireflexivn´ı pokud ∀x ∈ A : (x, x) ̸∈ R, • symetrick´ a pokud ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R, • antisymetrick´ a pokud ∀x, y ∈ A : (x, y), (y, x) ∈ R ⇒ x = y, • asymetrick´ a pokud ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ̸∈ R, • tranzitivn´ı pokud ∀x, y, z ∈ A : (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R, • line´ arn´ı (´ upln´ a ) pokud ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R. Podrobnˇeji si o relac´ıch a permutac´ıch m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst ve skriptech [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 5.0.1. Jaké vlastnosti má relace R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 1)} definovaná na mnoˇzinˇe A = {1, 2, 3}? Relace R je reflexivn´ı a nen´ı ireflexivn´ı, protoˇze pro vˇsechny prvky mnoˇziny A plat´ı, ˇze (1, 1), (2, 2) a (3, 3) patˇr´ı do R. Relace R je antisymetrická, protoˇze ani jedna dvojice r˚ uzn´ ych prvk˚ u (x, y) nen´ı souˇcasnˇe v relaci R v obou poˇrad´ıch (x, y) a (y, x). Relace R nen´ı asymetrická, protoˇze napˇr´ıklad (1, 1) ∈ R. Relace R nen´ı symetrická, protoˇze napˇr´ıklad (1, 2) ∈ R ale (2, 1) ∈ / R. Relace R nen´ı ani tranzitivn´ı, protoˇze (1, 2), (2, 3) ∈ R ̸⇒ (1, 3) ∈ R. Relace R je u ´plná, protoˇze pro kaˇzdou dvojici prvk˚ u (i dvakr´ at stejn´ y prvek), najdeme alespoˇ n jednu uspoˇrádanou dvojici, která do relace patˇr´ı. 5.0.2. Máme dánu mnoˇzinu A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} s relac´ı dˇelitelnosti |. a) Nakreslete hasseovsk´ y diagram relace | na mnoˇzinˇe A. Najdˇete vˇsechny minimáln´ı, maximáln´ı, nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı prvky. hasseovsk´ y diagram je na Obrázku 5.1. Minimáln´ı prvky jsou 2, 3, 5, 7, protoˇze ˇzádné z tˇechto ˇc´ısel nen´ı dˇelitelné nˇejak´ ym jin´ ym prvkem mnoˇziny A. Maximáln´ı prvky jsou 4, 5, 6, 7, protoˇze ˇz´ adné z tˇechto ˇc´ısel nˇedˇel´ı nˇejak´ y jin´ y prvek mnoˇziny A. Nejvˇetˇs´ı ani nejmenˇs´ı prvek relace dˇelitelnosti na mnoˇzinˇe A nemá, protoˇze ˇzádn´ y prvek v A nen´ı dˇelitelem vˇsech prvk˚ u mnoˇziny A, ani ˇz´ adn´ y prvek v A nen´ı dˇeliteln´ y kaˇzd´ ym prvkem mnoˇziny A. 4

6

2

3

5

7

Obrázek 5.1: Hasseovský diagram relace dˇelitelnosti na mnoˇzinˇe {2, 3, 4, 5, 6, 7}. b) Jak´ y prvek a ∈ N je tˇreba pˇridat do A, aby relace dˇelitelnosti mˇela nejmenˇs´ı prvek? Mus´ıme pˇridat dˇelitele vˇsech ˇc´ısel v mnoˇzinˇe A. Takov´ ym ˇc´ıslem v mnoˇzinˇe N je pouze ˇc´ıslo 1. Pokud bychom vyb´ırali mezi cel´ ymi ˇc´ısly, tak m˚ uˇzeme vybrat také ˇc´ıslo −1. c) Jak´ y prvek a ∈ N staˇc´ı pˇridat do A, aby relace dˇelitelnosti mˇela nejvˇetˇs´ı prvek? Mus´ıme pˇridat dˇelitele ˇc´ıslo, které je dˇelitelné vˇsemi ˇc´ısly v mnoˇzinˇe A. Takov´ ym ˇc´ıslem v mnoˇzinˇe N je kaˇzd´ y spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel z mnoˇziny A. Nejmenˇs´ım je ˇc´ıslo 420, dalˇs´ı jsou napˇr´ıklad 840 nebo 4200. Pozn´ amka: Kaˇzdé z ˇc´ısel ve tvaru 420k, kde k ∈ Z je pˇr´ıpustné, dokonce napˇr´ıklad i ˇc´ıslo 0 (proˇc?).

5.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady

37

d) Jak´ y nejmenˇs´ı prvek a ∈ N je tˇreba pˇridat do A, aby relace dˇelitelnosti mˇela nejvˇetˇs´ı prvek? Protoˇze kaˇzdé pˇrirozené ˇc´ıslo dˇel´ı nulu, tak staˇc´ı pˇridat nulu. Jistˇe to je nejmenˇs´ı takové ˇc´ıslo. e) Jaké nejmenˇs´ı ˇc´ıslo a ∈ Z staˇc´ı pˇridat do A, aby relace dˇelitelnosti mˇela nejvˇetˇs´ı prvek? Takov´ ym ˇc´ıslem je kaˇzd´ y spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel z mnoˇziny A. Avˇsak v mnoˇzinˇe Z jsou i záporná ˇc´ısla a kaˇzdé z ˇc´ısel 420k, kde k ∈ Z je pˇr´ıpustné. Ke kaˇzdému takovému ˇc´ıslu 420k najdeme menˇs´ı ˇc´ıslo −420(|k| + 1), které splˇ nuje podm´ınky zadán´ı. Proto neexistuje nejmenˇs´ı celé ˇc´ıslo a, které je nejvˇetˇs´ım prvkem A ∪ {a} vzhledem k relaci dˇelitelnosti. 5.0.3. Pro permutaci R na mnoˇzinˇe A definujeme symbol Rn takto: R1 = R, Rn+1 = R ◦ Rn . a) Ukaˇzte, ˇze je-li A koneˇcná mnoˇzina, tak mus´ı existovat taková r, s ∈ N, r < s, ˇze plat´ı Rr = Rs . Uvˇedomme si, ˇze Rn je zase permutace na A. Protoˇze A je koneˇcná mnoˇzina, tak na A existuje koneˇcnˇe mnoho permutac´ı (n!). Proto mezi vˇsemi relacemi Rn se mus´ı nˇekteré permutace opakovat, tj. ∃r, s ∈ N, r < s tak, ˇze Rr = Rs . b) Najdˇete takovou permutaci R na koneˇcné mnoˇzinˇe A, ˇze Rr+1 ̸= Rr pro kaˇzdé n ∈ N. Mnoˇzina A mus´ı b´ yt alespoˇ n dvouprvková, napˇr´ıklad A = {x, y} (a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ı prvky). Potom vezmeme R = {(x, y), (y, x)}. Pro n liché je Rn = R, pro n sudé je Rn = {(x, x), (y, y)}.

5.1


Na prvn´ı pohled se m˚ uˇze pojem relace, kter´ y je zaveden jako podmnoˇzina kartézské mocniny (kartézského souˇcinu), zdát nezaj´ımav´ y. Zkuste si vˇsak spoˇc´ıtat, kolik r˚ uzn´ ych relac´ı na koneˇcné mnoˇzinˇe je moˇzno definovat. Uvid´ıme, ˇze formalizace pojmu relace je nezbytná i pro velmi malé mnoˇziny (na ˇctyˇrech, na deseti prvc´ıch), nebot’ relac´ı je pˇr´ıliˇs mnoho na to, abychom mohli vˇsechny vypsat. [ 2] 5.1.1.♡ Kolik existuje relac´ı na koneˇcné n prvkové mnoˇzinˇe X? 2n 5.1.2. Máme strojeˇcek na m´ıchán´ı karet. Kdyˇz do strojeˇcku vloˇz´ıme seˇrazen´ y bal´ıˇcek karet v poˇrad´ı 1, 2, . . . , 32, bal´ıˇcek zam´ıchá tak (udˇelá takovou permutaci karet), ˇze vloˇz´ı sudé karty mezi liché. Dostaneme poˇrad´ı 1, 17, 2, 18, 3, 19, . . . , 16, 32. Jak´ y je ˇrád permutace, neboli po kolika nejménˇe opakovan´ ych m´ıchán´ıch dostaneme opˇet seˇrazen´ y bal´ıˇcek? [5] 5.1.3. Patnácka, známá také jako Loydova patnáctka1 , je hlavolam, kter´ y obsahuje patnáct kamen˚ u s ˇc´ısly 1 aˇz 15. Kameny máme za u ´kol seˇradit posouván´ım kamen˚ u. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Obrázek 5.2: Loydova patn´ actka. a) Ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzné u klasické patn´ actky posouván´ım sestavit ˇc´ısla tak, aby byla prohozena dvˇe sousedn´ı ˇc´ısla. [ poˇc´ıtán´ım inverz´ı] b) Kolik existuje r˚ uzn´ ych rozm´ıchán´ı hlavolamu patn´ actka (uˇzit´ım legáln´ıch tah˚ u) s prázdn´ ym pol´ıˇckem v pravém doln´ım rohu? [ 653837184000 ] 1

Loydova patn´ actka se naz´ yv´ a podle jej´ıho populariz´ atora Sama Loyda. Loyd vypsal odmˇenu $1000 tomu, kdo jako prvn´ı u ´kol vyˇreˇs´ı. Loyd vˇedˇel, ˇze u ´loha nem´ a ˇreˇsen´ı a na prodeji hlavolamu vydˇelal nemalé pen´ıze.

38

5

5.2


Pojem relace

5.2.1. Kolik existuje relac´ı na koneˇcné n prvkové mnoˇzinˇe, které jsou

[ 2

n(n+1) 2

2n 3

n(n−1) 2

a) symetrické? [ b) antisymetrické?

[ c) asymetrické?

3

n(n−1) 2

] ] ]

5.2.2. Kolik existuje relac´ı na koneˇcné n prvkové mnoˇzinˇe X takov´ ych, které jsou symetrické i antisymetrické [ 2n ] souˇcasnˇe? 5.2.3. Která z následuj´ıc´ıch tvrzen´ı jsou pravdivá? a) Relace, která nen´ı symetrická, je antisymetrická.

[ nepravdivé tvrzen´ı]

b) Relace, která nen´ı antisymetrická, je symetrická.


c) Relace, která nen´ı symetrická, je asymetrická.


d) Relace, která je asymetrická, je antisymetrická.

[ pravdivé tvrzen´ı]

e) Relace, která je antisymetrická, je asymetrická.


f) Relace je asymetrická, právˇe kdyˇz je antisymetrická a ireflexivn´ı.

[ pravdivé tvrzen´ı]

g) Relace, pro kterou plat´ı ∀x, y ∈ A : ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ̸∈ R) ∨ ((x, y) ̸∈ R ∧ (y, x) ∈ R), je antisymetrická. [ pravdivé tvrzen´ı] h) Relace, která je symetrická i antisymetrická, je také reflexivn´ı. i) Relace, která je lineárn´ı, je také reflexivn´ı.

[ nepravdivé tvrzen´ı] [ pravdivé tvrzen´ı]

5.2.4.♡ Sestavte na mnoˇzinˇe {1, 2, 3, 4} relace a) rovnosti R, b) menˇs´ı <, c) menˇs´ı nebo rovno ≤.

[ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ] [ <= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} ] [ ≤= R∪ < ]

5.2.5. Jaké vlastnosti má relace R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 1)} definovaná na mnoˇzinˇe A = {1, 2, 3, 4}? [ antisymetrick´ a] 5.2.6. Jaké vlastnosti má relace R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} na mnoˇzinˇe A = {1, 2, 3, 4}? [ antisymetrická, reflexivn´ı i tranzitivn´ı] 5.2.7. Jaké vlastnosti má relace soudˇelnosti R na N (dva prvky jsou v relaci, jestliˇze jejich nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel je vˇetˇs´ı neˇz 1)? [ symetrick´ a] 5.2.8. M˚ uˇze na koneˇcné mnoˇzinˇe existovat relace, která a)♡ je symetrická i antisymetrická?

[ ano ]

b)♡ nen´ı symetrická ani antisymetrická?

[ ano ]

c) nen´ı symetrická ani asymetrická?

[ ano ]

d) je symetrická i asymetrická?

[ ano ]

e) nen´ı symetrická, antisymetrická ani asymetrická?

[ ano ]

5.2.9. Je relace dˇelitelnosti na Z antisymetrická?

[ nen´ı]

5.3 Uspoˇrádán´ı a ekvivalence

5.3

39

Uspoˇ r´ ad´ an´ı a ekvivalence

5.3.1. Nakreslete hasseovsk´ y diagram relace podmnoˇzin mnoˇziny A = {1, 2, 3, 4}. Najdˇete vˇsechny minimáln´ı, maximáln´ı, nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı prvky. [ nejmenˇs´ı i minimáln´ı ∅; nejvˇetˇs´ı i maximáln´ı A] 5.3.2. Sestavte relaci R≡ kongruence podle modulu 4 na mnoˇzinˇe {1, 2, . . . , 10}. Je R≡ relac´ı ekvivalence? Pokud ano, sestavte tˇr´ıdy rozkladu. [ R≡ = {(1, 5), (5, 1), (1, 9), (9, 1), (5, 9), (9, 5), (2, 6), (6, 2), (2, 10), (10, 2), (6, 10), (10, 6), (3, 7), (7, 3), (4, 8), (8, 4)}, ano, A1 = {1, 5, 9}, A2 = {2, 6, 10}, A3 = {3, 7}, A4 = A0 = {4, 8} ] 5.3.3. Vezmeme systém vˇsech tˇr´ıprvkov´ ych podmnoˇzin mnoˇziny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Definujeme relaci XρY , jestliˇze maj´ı stejn´ y nejvˇetˇs´ı prvek. Ovˇeˇrte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud ano, kolik má tˇr´ıd [ reflexivn´ı, symetrická, tranzitivn´ı; 5 tˇr´ıd rozkladu, nejvˇetˇs´ı rozkladu a která tˇr´ıda má nejv´ıce prvk˚ u? pˇr´ısluˇs´ı hodnotˇe 7 ] 5.3.4. Popiˇste vˇsechny relace na mnoˇzinˇe A, které jsou souˇcasnˇe relacemi ekvivalence i uspoˇrádán´ım. [ právˇe relace rovnosti ] 5.3.5. Mˇejme R a S libovolné relace ekvivalence na mnoˇzinˇe A. Které následuj´ıc´ı relace jsou také nutnˇe ekvivalence? a) R ∩ S

[ ano ]

b) R ∪ S

[ ne ]

c) R \ S

[ ne ]

5.3.6. Mˇejme R a S libovolné relace ˇcásteˇcného uspoˇrádán´ı na mnoˇzinˇe A. Které následuj´ıc´ı relace jsou také nutnˇe ˇcásteˇcného uspoˇrádán´ı? a) R ∩ S

[ ano ]

b) R ∪ S

[ ne ]

c) R \ S

[ ne ]

5.3.7. Kolik uspoˇra´dan´ ych dvojic na mnoˇzinˇe A = {1, 2, 3, 4, 5} patˇr´ı do relace a)♡ rovnosti?

[5]

b) menˇs´ı?

[ 10 ]

5.3.8. Kolik uspoˇra´dan´ ych dvojic na mnoˇzinˇe A = [1, n], kde 1 ≤ n ∈ N, patˇr´ı do relace a) rovnosti? b) menˇs´ı?

[n] ] 2 n(n − 1)

[1

5.3.9. Je relace dˇelitelnosti relac´ı ˇcásteˇcného uspoˇrádán´ı a) na N?

[ ano ]

b) na Z?

[ ne ]

c) na [a, b], kde a, b ∈ N ∧ a < b?

[ ano ]

5.3.10. Má smysl kreslit hasseovsk´ y diagram relace R, kde pro dva r˚ uzné prvky plat´ı (x, y) ∈ R a (y, x) ∈ R? [ relace nen´ı antisymetrická – nen´ı jasné, kter´ y prvek zakreslit v´ yˇs ]

40

5

5.4


Funkce a zobrazen´ı

5.4.1. Rozhodnˇete, zda následuj´ıc´ı funkce f : R → R jsou injekce, surjekce, bijekce nebo ˇzádná z nich. a) f : y = x4

[ˇz´ adn´ a]

b) g : y = ln x

[ nen´ı funkce ]

c) h : y = ex

[ injekce ]

d) k : y = tg x

[ nen´ı funkce ]

e) k : y = arctg x

[ injekce ]

f) l : y = x3 − x

[ surjekce ]

g) m : y = (x − 1)3

[ bijekce ]

5.4.2. Najdˇete pˇr´ıklad funkce f : R → R, která je a) injekce, ale nen´ı surjekc´ı

[ f : y = arctg x ] [

b) surjekce, ale nen´ı injekc´ı [

c) (netriviáln´ı) bijekce

f : y = x3 − x

] ]

f : y = (x − 1)3

5.4.3. Najdˇete pˇr´ıklad funkce f : N → N, která je a) injekce, ale nen´ı surjekc´ı

[ f : y = 2x ] [

b) surjekce, ale nen´ı injekc´ı [ c) (netriviáln´ı) bijekce

{ f :y=

f : ⌊ x2 ⌋

x + 1 pro x sudé x − 1 pro x liché

]

]

5.4.4. Je-li g ◦ f surjekce, a) mus´ı b´ yt g surjekce?

[ ano ]

b) mus´ı b´ yt f surjekce?

[ ne ]

5.4.5. Je-li g ◦ f prostá, a) mus´ı b´ yt g prostá?

[ ne ]

b) mus´ı b´ yt f prostá?

[ ano ]

5.4.6. Je-li g ◦ f prostá, mus´ı b´ yt g prostá? Mus´ı b´ yt f prostá? [ a) ne g : y = ln |x|, f : y = ex , 5.4.7. Ukaˇzte, ˇze pˇrirozen´ ych ˇc´ısel i cel´ ych ˇc´ısel je stejnˇe, tj. ˇze plat´ı |N| = |Z|. ukáˇzeme, ˇze se jedná o bijekci. ]

b) ano ]

[ Najdeme bijekci a

5.5 Skládán´ı zobrazen´ı a permutace

5.5

41

Skl´ ad´ an´ı zobrazen´ı a permutace

5.5.1. Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı ρ pˇriˇrazuj´ıc´ı ˇc´ıslu x z mnoˇziny 0, 1, . . . , 6 ˇc´ıslo 3 · x (mod 7) je permutace. [ Zapiˇste permutaci ρ pomoc´ı a) matice, b) pomoc´ı cykl˚ u. Jak´ y je ˇrád této permutace? a) ] ( ) 0 1 2 3 4 5 6 ˇ ad ρ je 6. ρ= , b) ρ = (0)(132645). R´ 0 3 6 2 5 1 4 5.5.2. Urˇcete ˇrád ( 1 2 a) σ = 2 3 ( 1 2 b) σ = 6 4 ( 1 2 c) σ = 6 4 ( 1 2 d) σ = 3 5 5.5.3. Najdˇete ( 1 a) π = 2 ( 1 b) π = 6

permutace σ, je-li 3 1

4 5

5 4

6 7

7 8

8 9

9 6

3 1

4 3

5 5

6 9

7 8

8 7

9 2

3 1

4 8

5 2

6 5

7 3

8 7

3 7

4 4

5 2

6 8

7 1

8 6

) [ 12 ] ) [6]

) [8] ) [6]

inverzn´ı permutaci π −1 , je-li ) 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 5 4 7 8 9 6 ) 2 3 4 5 6 7 8 4 1 8 2 5 3 7

[

( π −1

=

1 3

[

2 1 (

π −1

=

3 2

4 5

5 4

6 9

7 6

8 9 7 8

1 2 3 5

3 7

4 2

5 6

6 1

7 8

[

c) π = (147)(2685)(3) d) π = (13742685)

sloˇzenou permutaci σ ◦ π, je-li ) ( 2 3 4 5 6 1 2 ,σ= 3 6 2 5 4 2 1 ) ( 2 3 4 5 6 1 2 ,σ= 6 4 3 1 5 5 1 ) ( 2 3 4 5 6 1 2 ,σ= 3 6 2 5 4 2 1

3 4 4 5

5 6 3 6

3 4

4 5 3 6

3 4

4 5

5 3

6 2

)

[ (n − 1)! ] [

( σ◦π =

)

)]

] π −1 = (174)(2586)(3) [ −1 ] π = (15862473)

5.5.4. Kolik existuje permutac´ı mnoˇziny {1, 2, . . . , n} s jedin´ ym cyklem? 5.5.5. Najdˇete ( 1 a) π = 1 ( 1 b) π = 2 ( 1 c) π = 1

8 4

)]

[

( σ◦π =ι=

1 2 2 4

3 6

4 5 1 3

1 2 1 2

3 3

4 4

6 5

5 6 5 6

)] )]

)

d) π = (134)(2675), σ = (136)(47)(25) e) π = (1243)(675), σ = (1342)(576)

[ neexistuje ] [ σ ◦ π = (164372)(5) ] [ σ ◦ π = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) ]

5.5.6. Jakého nejvyˇsˇs´ıho ˇrádu najdete permutaci na mnoˇzinˇe A, je-li a) A = [1, 9]

[ 20 ]

b) A = [1, 10]

[ 30 ]

c) A = [1, 13]

[ 60 ]

42

5






 π ◦ π ◦ . . . ◦ π = (14578)(362)  5.5.7. Máme dánu permutaci π = (17485)(263). Urˇcete |π ◦ π ◦{z. . . ◦ π} | {z } 542 kr´ at 542 kr´ at 5.5.8.* Máme strojeˇcek na m´ıchán´ı karet. Navrhnˇete takovou permutaci karet, aby poˇcet r˚ uzn´ ych rozm´ıchán´ı, která dostaneme opakován´ ym pouˇzit´ım strojeˇcku byl co nejvˇetˇs´ı. 5.5.9.** Máme strojeˇcek na m´ıchán´ı karet. Kdyˇz do strojeˇcku vloˇz´ıme seˇrazen´ y bal´ıˇcek karet v poˇrad´ı 1, 2, . . . , n = 2t, bal´ıˇcek zam´ıchá tak (udˇelá takovou permutaci karet), ˇze na sudé pozice po ˇradˇe vm´ıch´ a karty z druhé poloviny. Dostaneme poˇrad´ı 1, t + 1, 2, t + 2, 3, 19, . . . , t, 2t. Jak´ y je ˇrád permutace, neboli po kolika nejménˇe opakovan´ ych m´ıchán´ıch dostaneme opˇet seˇrazen´ y bal´ıˇcek? 5.5.10.** Máme strojeˇcek na m´ıchán´ı karet. Kdyˇz do strojeˇcku vloˇz´ıme seˇrazen´ y bal´ıˇcek karet v poˇrad´ı 1, 2, . . . , n, bal´ıˇcek zam´ıchá tak (udˇelá takovou permutaci karet), ˇze vloˇz´ı sudé karty mezi liché. Dostaneme poˇrad´ı 1, ⌈ n2 ⌉ + 1, 2, ⌈ n2 ⌉ + 2, 3, 19, . . . , n, ⌈ n2 ⌉. Jak´ y je ˇrád permutace, neboli po kolika nejménˇe opakovan´ ych m´ıchán´ıch dostaneme opˇet seˇrazen´ y bal´ıˇcek? 5.5.11. Oznaˇcme r(n) funkci, která kaˇzdému ˇc´ıslu n pˇriˇrad´ı nejvˇetˇs´ı ˇrád permutace na n-prvkové mnoˇzinˇe. Ukaˇzte, ˇze r(n) je neklesaj´ıc´ı funkce. [ ke kaˇzdé permutaci n prvkové mnoˇziny najdeme permutaci n + 1 prvkové mnoˇziny pˇridán´ım cyklu (n + 1) ] 5.5.12. Je dána permutace ρ a známe sloˇzenou permutaci σ ◦ ρ. M˚ uˇzete urˇcit, jak vypadá permutace σ? [ ano ] 5.5.13. Jsou dány dvˇe permutace ρ a σ. M˚ uˇzete urˇcit, jak vypadá kaˇzdá permutace ρ a σ, jetliˇze v´ıte, jak vypadá ρ ◦ σ a σ ◦ ρ? [ ne ]

5.6


5.6.1. Najdˇete pˇr´ıklad dvojice takov´ ych tranzitivn´ıch relac´ı R1 a R2 , ˇze a) R1 ∪ R2 , R1 ∆R2 tranzitivn´ı nejsou.

b) R1 \ R2 ani c)

5.6.2. Máme mnoˇzinu X = {(x, y): a, b ∈ Z, b ̸= 0}. Ukaˇzte, ˇze relace R definovaná tak, ˇze (a, b)R(c, d) právˇe tehdy, kdyˇz ad = bc je relac´ı ekvivalence na mnoˇzinˇe X. Jakou známou mnoˇzinu tvoˇr´ı tˇr´ıdy ekvivalence? [ tˇr´ıdy ekvivalence jsou ekvivalentn´ı zlomky ]

43

6

Princip inkluze a exkluze

Podrobnˇeji si o principu inkluze a exkluze m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst ve skriptech [ZDM].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 6.0.1. Kolika zp˚ usoby je moˇzno vybrat pˇet karet z bal´ıˇcku 52 karet tak, aby mezi nimi byla od kaˇzdé barvy alespoˇ n jedna karta? ´ Ulohu vyˇreˇs´ıme uˇzit´ım principu inkluze a exkluze. Oznaˇcme si Ai poˇcet vˇsech moˇzn´ ych v´ ybˇer˚ u 5 karet z bal´ıˇcku 52 karet, ve kter´ ych chyb´ı barva i. Pochopitelnˇe |Ai | = |Aj |, pro vˇsechny dvojice barev i, j. Vˇsimnˇete si, ˇze |Ai ∩ Aj | odpov´ıdá tˇem v´ ybˇer˚ um(pˇe)ti karet, kde chyb´ı obˇe barvy i, j. Od celkového poˇctu vˇsech v´ ybˇer˚ u P (52, 5) = 52 cteme vˇsechny v´ ybˇery obsaˇzené v |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ 5 odeˇ A4 |. Dle principu inkluze a exkluze urˇc´ıme ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 | = |A1 | − |A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | − |A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 | = 1 2 3 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 39 4 26 4 13 = − + − 0. 1 5 2 5 3 5 ( ) Slovy m˚ uˇzeme ˇr´ıci: od celkového poˇctu v´ ybˇer˚ u pˇeti karet 52 5 • odeˇcteme moˇznosti, kdy chyb´ı alespoˇ n jedna barva:

1

5

(4)(26)

• pˇriˇcteme moˇznosti, kdy chyb´ı alespoˇ n dvˇe barvy: • odeˇcteme moˇznosti, kdy chyb´ı alespoˇ n tˇri barvy:

(4)(39)

2

5

(4)(13) 3

5

,

,

.

ˇ ri barvy chybˇet nemohou. Dostaneme Ctyˇ ( ) ( ) ( ) ( ) 52 39 26 13 −4 +6 −4 + 0 = 685 464. 5 5 5 5 Jin´ eˇ reˇ sen´ı: ( ) Od celkového poˇctu v´ ybˇer˚ u pˇeti karet 52 cteme moˇznosti, kdy 5 odeˇ • máme právˇe tˇri karty nˇejaké barvy

(4) (13) (39) 1 · 3 · 2

• máme právˇe ˇctyˇri karty nˇejaké barvy • máme právˇe pˇet karet nˇejaké barvy

(4) (13) (39) 1 · 4 · 1

(4) (13) (13) 1 · 5 · 0

• máme právˇe dvˇe karty jedné barvy a dvˇe karty jiné barvy

(4) (13) (13) (26) 2 · 2 · 2 · 1

Celkem máme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 52 4 13 39 4 13 39 4 13 13 4 13 13 26 − · · − · · − · · − · · · = 685 464. 5 1 3 2 1 4 1 1 5 0 2 2 2 1 Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Vˇsimneme yt 2 karty jedné barvy yt r˚ uzn´ ych barev. Vybereme jednu ( ) si, ˇze mus´ı b´ ( ) a zbylé karty mus´ı b´ barvu 41 zp˚ usoby a v této barvˇe dvˇe karty 13 Celkem m´ a me 2 4

( ) ( ) ( ) ( ) 13 13 13 13 · · · = 685 464. 2 1 1 1

44

6.1

6 PRINCIP INKLUZE A EXKLUZE

Uˇ zit´ı principu inkluze a exkluze

6.1.1. Kolik ˇc´ısel z˚ ustane v mnoˇzinˇe ˇc´ısel {1, 2, . . . , 1000} po vyˇskrtán´ı vˇsech násobk˚ u 2, 3, 5?

[ 266 ]

6.1.2. Kolik ˇc´ısel z˚ ustane v mnoˇzinˇe ˇc´ısel {1, 2, . . . , 1000} po vyˇskrtán´ı vˇsech násobk˚ u 2, 3, 5, 7?

[ 228 ]

6.1.3. Na veˇc´ırku se seˇsly 3 manˇzelské páry. Kolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby lze posadit tˇechto 6 lid´ı kolem kulatého stolu tak, aby manˇzelé nesedˇeli vedle sebe? [ 32 ] 6.1.4. Na veˇc´ırku se seˇsly 4 manˇzelské páry. Kolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby lze posadit tˇechto 8 lid´ı kolem kulatého stolu tak, aby manˇzelé nesedˇeli vedle sebe? [ 1488 ] 6.1.5.* Na veˇc´ırku se seˇslo n manˇzelsk´ ych pár˚ u. Kolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby lze posadit tˇechto 2n lid´ı kolem kulatého stolu tak, aby manˇzelé nesedˇeli vedle sebe? Ve dvou rozd´ıln´ ych rozesazen´ıch má nˇekter´ y ˇclovˇek jiného souseda po levé nebo po pravé ruce. 6.1.6.* Na plese se seˇslo n manˇzelsk´ ych pár˚ u. Kolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby m˚ uˇze spolu tanˇcit vˇzdy vˇsech 2n lid´ı tak, aby ˇzádn´ y manˇzelsk´ y pár netanˇcil spolu? 6.1.7.* (Problém ˇsatnáˇrky) Na shromáˇzdˇen´ı pˇriˇslo n host˚ u, vˇsichni v klobouc´ıch, a odloˇz´ı si své klobouky do ˇsatny. Pˇri odchodu dostávaj´ı své klobouky náhodnˇe. Jaká pravdˇepodobnost, ˇze ˇzá[dn´ ] ∑ynpán nedostane 1 i1 sv˚ uj klobouk zpˇet? i=0 (−1) i! ≈ e 6.1.8. Na shromáˇzdˇen´ı pˇriˇslo 5 host˚ u, vˇsichni v klobouc´ıch, a odloˇz´ı si své klobouky do ˇsatny. Pˇri odchodu [ ] dostávaj´ı své klobouky náhodnˇe. Jaká pravdˇepodobnost, ˇze ˇzádn´ y pán nedostane sv˚ uj klobouk zpˇet? 11 30 6.1.9. Máme dva zam´ıchané bal´ıˇcky 32 karet. Z kaˇzdého obrát´ıme shora vˇzdy jednu kartu. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze nikdy nebudou vytaˇzeny dvˇe stejné karty? [ ≈ 0.36788 ] [( ) 6.1.10. Kolika zp˚ usoby rozm´ıst´ıme r objekt˚ u do pˇeti schránek tak, aby alespoˇ n jedna byla prázdná? 51 4r − (5) r (5) r (5) r ] 2 3 + 3 2 − 4 1 +0 6.1.11. Kolik existuje n prvkov´ ych posloupnost´ı ˇc´ısel 0, 1, . . . , 9 takov´ ych, které obsahuj´ı vˇzdy ˇc´ısla 1, 2 a ˇ ısla se mohou opakovat. 3? C´ [ 10n − 3 · 9n + 3 · 8n − 7n ]

6.2


6.2.1. Kolik nul na konci má a) ˇc´ıslo 50!?

[ 12 ]

b) ˇc´ıslo 1234!?

[ 305 ]

6.2.2. Pomoc´ı vhodné kombinatorické interpretace a pouˇzit´ım principu inkluze a exkluze spoˇc´ıtejte nasleduj´ıc´ı sumu pro n, m, j pˇrirozená taková, ˇze n ≥ j ≥ (m + n), t.j. vyjádˇrete tuto sumu jako nˇejak´ y v´ yraz, kter´ y uˇz bude bez sumy: ( )( ) n ∑ m+n−i i n (−1) i j−i i=0

45

7

Algoritmizace diskr´ etn´ıch struktur

N´ asleduj´ıc´ı pˇr´ıklady jsou zamˇeˇreny na implementaci struktur a postup˚ u prob´ıran´ ych v diskrétn´ı matema2 tice .

7.1

Permutace

7.1.1. Máme dánu nˇejakou permutaci n-prvkové mnoˇziny. Urˇcete paritu (sudost/lichost poˇctu inverz´ı) permutace. Algorimus by mˇel pracovat s rychlost´ı ˇrádovˇe lepˇs´ı neˇz O(n2 ). 7.1.2. Máme dánu nˇejakou permutaci n-prvkové mnoˇziny. Urˇcete poˇcet inverz´ı v permutaci. Algorimus by mˇel pracovat s rychlost´ı ˇrádovˇe lepˇs´ı neˇz O(n2 ).

2

Tato kapitola se na cviˇcen´ıch neprob´ır´ a.

ˇ ast II C´

´ Uvod do teorie graf˚ u

47

1

Pojem grafu

Z´ akladn´ı grafové pojmy jsou podrobnˇe zavedeny ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 1.0.1. Pro jaké n je Kn cyklem? Zn´ ame definice kompletn´ıho grafu Kn i cyklu Cn . Z definice známe poˇcet hran graf˚ u Kn i Cn . Mus´ı se rovnat poˇcty hran, tj. |E(Kn )| ( ) n 2 n(n − 1) 2 n−1

= |E(Cn )| = n = n = 2

n = 3. Pouze pro n = 3 je Kn cyklem. Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Stupeˇ n kaˇzdého vrcholu v kompletn´ım grafu mus´ı b´ yt 2, stejnˇe jako v cyklu. deg(x) = 2 n−1 = 2 n = 3. Pouze pro n = 3 je Kn cyklem. 1.0.2. Jsou isomorfn´ı K5,5 a cirkulant C10 (1, 2, 5) na Obrázku 1.1?

Obrázek 1.1: Kompletn´ı bipartitn´ı graf K5,5 a cirkulant C10 (1, 2, 5). Ne, protoˇze graf K5,5 je bipartitn´ı, ale cirkulant nen´ı. Bipartitn´ı graf obsahuje jako podgrafy pouze sudé cykly, ale cirkulant C10 (1, 2, 5) obsahuje jako podgraf napˇr´ıklad i cyklus C3 .

1.1


1.1.1. Devˇet kamarád˚ u si na Vánoce dalo dárky. Kaˇzd´ y dal dárky tˇrem sv´ ym kamarád˚ um. Ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzné, aby kaˇzd´ y dostal dárky právˇe od tˇech tˇr´ı kamarád˚ u, kter´ ym dárky sám dal. [ dle Principu sudosti ] 1.1.2. Máme 6 házenkáˇrsk´ ych t´ ym˚ u, které maj´ı odehrát 15 zápas˚ u, kaˇzd´ y s kaˇzd´ ym. Je moˇzné odehrát cel´ y turnaj bˇehem pˇeti hrac´ıch dn˚ u, kdy prob´ıhaj´ı souˇcasnˇe vˇzdy 3 zápasy? [ uˇzit´ım v´ ysledku o hranovém barven´ı grafu ] 1.1.3. Máme 7 házenkáˇrsk´ ych t´ ym˚ u, které maj´ı odehrát 21 zápas˚ u, kaˇzd´ y s kaˇzd´ ym. Ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzné odehrát cel´ y turnaj bˇehem ˇsesti hrac´ıch dn˚ u, kdy prob´ıhaj´ı souˇcasnˇe vˇzdy 3 zápasy. [ Dirichlet˚ uv princip nebo uˇzit´ım v´ ysledku o hranovém barven´ı grafu ]

48

1.2

1

POJEM GRAFU

Z´ akladn´ı tˇ r´ıdy graf˚ u

1.2.1.♡ Nakreslete graf G = (V, E), je-li dáno a) V = {a, b, c, d} a E = {ab, ac, ad}.

[ K1,3 ]

b) V = {k, l, m, n, o} a E = {kl, mn, mo, ln, ko}.

[ C5 ]

c) V = {k, l, m, n, o, p} a E = {kl, mn, mp, lo, ok, np}.

[ 2C3 ]

d) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a E = {12, 13, 14, 25, 26, 57, 68}

[ langusta L(2, 1, 1) ]

1.2.2.♡ Kolik hran a kolik vrchol˚ u má Pn (dle znaˇcen´ı ve skriptech [UTG])? [ |V (Pn )| = n, |E(Pn )| = n − 1 ] ] [ ( ) 1.2.3.♡ Kolik hran a kolik vrchol˚ u má Kn ? |V (Kn )| = n, |E(Kn )| = n2 = n(n−1) 2 1.2.4.♡ Kolik hran a kolik vrchol˚ u má Km,n ? 1.2.5.♡

[ |V (Km,n )| = m + n, |E(Km,n )| = mn ]

Srovnejme grafy K6,7 a K10 .

a) Kter´ y má v´ıce vrchol˚ u?

[ K6,7 ]

b) Kter´ y má v´ıce hran?

[ K10 ]

1.2.6.♡ Srovnejme grafy K5,12 a K12 . a) Kter´ y má v´ıce vrchol˚ u?

[ K5,12 ]


1.3

[ K12 ]

Stupnˇ e vrchol˚ u v grafu

1.3.1. Jak´ y je nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı stupeˇ n vrcholu v grafu [ δ(Pn ) = 1, ∆(Pn ) ∈ {1, 2} ]

a) Pn b) Cn ?

[ δ(Cn ) = ∆(Cn ) = 2 ]

c) Kn ?

[ δ(Kn ) = ∆(Kn ) = n − 1 ]

d) Km,n ?

[ δ(Km,n ) = min{m, n} a ∆(Km,n ) = max{m, n} ]

1.3.2.♡ Napiˇste stupˇ novou posloupnost grafu a) P5 ,

[ (1, 1, 2, 2, 2, 2) ]

b) C4 ,

[ (2, 2, 2, 2) ]

c) K4 ,

[ (3, 3, 3, 3) ]

d) K3,2 .

[ (2, 2, 2, 3, 3) ]

1.3.3. Kolik existuje r˚ uzn´ ych graf˚ u na n vrcholech. Rozliˇsujeme pojmenován´ı vrchol˚ u, tj. napˇr´ıklad pro [ Vn =] {1, 2, 3} rozliˇs´ıme grafy s E1 = {12} a s E2 = {23}. 2( 2 ) 1.3.4. Kolik existuje r˚ uzn´ ych bipartitn´ıch graf˚ u na m + n vrcholech. Rozliˇsujeme pojmenován´ı vrchol˚ u! [ 2mn ] 1.3.5. Pro jaké n je Kn cestou? 1.3.6. Pro jaké n je Km,n cyklem? 1.3.7. Pro jaké m, n je Km,n cestou? 1.3.8.♡ Kolik hran má graf

[ n = 0, n = 1 ] [n = m = 2] [ pro m = n = 1 nebo pro m = 2, n = 1 nebo pro m = 1, n = 2 ]

1.3 Stupnˇe vrchol˚ u v grafu

49

a) s deseti vrcholy stupnˇe 5?

[ 25 ]

b) s 11 vrcholy stupnˇe 5?

[ takov´ y graf neexistuje ]

c) se stupˇ novou posloupnost´ı (1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7)

[ 18 ]

d) se stupˇ novou posloupnost´ı (1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7)


e) se stupˇ novou posloupnost´ı (1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7)


1.3.9. Kolik vrchol˚ u má graf, kter´ y má 15 hran, 3 vrcholy stupnˇe 4 a zb´ yvaj´ıc´ı vrcholy stupnˇe 3? vrchol˚ u]

[9

1.3.10. Urˇcete stupˇ novou posloupnost grafu G na Obrázku 1.2. Je to jedin´ y graf s touto stupˇ novou posloupnost´ı?

Obrázek 1.2: Graf G. [ (0, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6), ne ] 1.3.11. Nakreslete graf se stupˇ novou posloupnost´ı a)♡ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)


b) (1, 1, 1, 2, 2, 5)

[ existuje ]

c) (0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4)

[ existuje ]

d) (2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)

[ existuje ]

e) (1, 1, 3, 3, 3, 4, 6, 7)


f)♡ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5)

[ existuje ]

g)♡ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5)


h) (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5)

[ existuje ]

1.3.12. Najdˇete velikost nejvˇetˇs´ı nezávislé mnoˇziny vrchol˚ u v grafu K5,5 .

[5]

1.3.13. Najdˇete velikost nejvˇetˇs´ı nezávislé mnoˇziny vrchol˚ u v grafu na Obrázku 1.3.

Obrázek 1.3: Cirkulant C10 (1, 2, 5). [ tˇri ]

50

1

1.4

POJEM GRAFU

Podgrafy

Mˇejme dána kladná celá ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , ak . Cirkulantem Cn (a1 , a2 , . . . , ak ) rozum´ıme graf G = (V, E) na n vrcholech v0 , v1 , . . . , vn−1 , kde hranová mnoˇzina je E = {vi v(i+aj ) mod n : 0 ≤ i ≤ n − 1 ∧ 1 ≤ j ≤ k}. Pˇr´ıklad cirkulantu C10 (1, 2, 5) je na Obrázku 1.1. 1.4.1. Mˇejme graf G na Obrázku 1.4.

Obrázek 1.4: Graf G. a)♡ Jaká je nejdelˇs´ı kruˇznice obsaˇzená jako podgraf v grafu G?

[ C8 ]

b)♡ Jaká je nejkratˇs´ı kruˇznice obsaˇzená jako podgraf v grafu G?

[ C3 ]

c)♡ Jaká je nejdelˇs´ı cesta obsaˇzená jako podgraf v grafu G?

[ P7 ]

d)♡ Jaká je nejkratˇs´ı indukovaná kruˇznice v grafu G?

[ C3 ]

e)* Jaká je nejdelˇs´ı indukovaná kruˇznice v grafu G?

[ C5 ]

f)* Jaká je nejdelˇs´ı indukovaná cesta v grafu G?

[ P6 ]

g) Jaká je velikost nejvˇetˇs´ı nezávislé mnoˇziny vrchol˚ u grafu G?

[3]

h) Existuje nˇejak´ y neisomorfn´ı graf se stejnou stupˇ novou posloupnost´ı?

[ ano ]

i) Ukaˇzte, ˇze graf G′′ na Obrázku 1.5 je isomorfn´ı s grafem G.

Obrázek 1.5: Graf G′′ se stupˇ novou posloupnost´ı (2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4). [ naj´ıt isomorfismus ] 1.4.2. Mˇejme grafy G a H na Obrázku 1.6. v5

v6

v7

v8

v5

v6

v7

v8

v1

v2

v3

v4

v1

v2

v3

v4

Obrázek 1.6: Grafy G a H.

1.5 Isomorfismus graf˚ u

51

a) Jaká je nejdelˇs´ı indukovaná cesta v grafu G?

[ P4 ]

b) Jak´ y je nejdelˇs´ı indukovan´ y cyklus v grafu G?

[ C3 ]

c) Jaká je nejdelˇs´ı indukovaná cesta v grafu H?

[ P6 ]

d) Jak´ y je nejdelˇs´ı indukovan´ y cyklus v grafu H?

[ C3 ]

1.5

Isomorfismus graf˚ u

1.5.1. Kolik existuje neisomorfn´ıch 2-pravideln´ ych graf˚ u a) na 5 vrcholech?

[1]

b) na 6 vrcholech?

[2]

1.5.2. Jsou isomorfn´ı grafy K7 − C7 a K7 − (C3 ∪ C4 )?

Obrázek 1.7: Grafy K7 − C7 a K7 − (C3 ∪ C4 ). [ ne ] 1.5.3. Jsou následuj´ıc´ı dva grafy G a H isomorfn´ı?

Obrázek 1.8: Grafy G a H. [ ne ] 1.5.4. Kolik existuje neisomorfn´ıch 5-pravideln´ ych graf˚ u na osmi vrcholech?

[ tˇri ]

1.5.5. Existuj´ı dva neisomorfn´ı grafy se stupˇ novou posloupnost´ı a) (3, 3, 3, 3, 3, 3)? Najdˇete je nebo ukaˇzte, ˇze takové grafy neexistuj´ı.

[ ano, K6 − C6 a K6 − 2C3 ]

b) (2, 2, 3, 3)? Najdˇete je nebo ukaˇzte, ˇze takové grafy neexistuj´ı.

[ ne ]

1.5.6. Najdˇete mezi grafy G1 , G2 , G3 a G4 na Obrázku 1.9 vˇsechny isomorfn´ı dvojice. Peˇclivˇe zd˚ uvodnˇete.

Obrázek 1.9: Grafy oznaˇcené po ˇradˇe G1 , G2 , G3 a G4 . [ G1 ≃ G4 a G2 ≃ G3 ] 1.5.7. Najdˇete vˇsechny neisomorfn´ı jednoduché grafy na ˇctyˇrech vrcholech.

[ jedenáct graf˚ u]

52

1.6

1

POJEM GRAFU

Implementace graf˚ u

1.6.1.* Naprogramujte algoritmus, jak rozm´ıstit 8 královen na ˇsachovnici tak, aby se navz´ ajem neohroˇzovaly. 1.6.2. Naprogramujte algoritmus, kter´ y vygeneruje vˇsechny grafy na n vrcholech, jestliˇze rozliˇsujeme pojmenován´ı vrchol˚ u, tj. napˇr´ıklad pro V = {1, 2, 3} rozliˇs´ıme grafy s E1 = {12} a s E2 = {23}.

1.7


1.7.1.♡ Srovnejme grafy K6,6 a K9 . a) Kter´ y má v´ıce vrchol˚ u?

[ K6,6 ]


[ stejnˇe hran ]

1.7.2. Srovnejme grafy K20,20 a K29 . a) Kter´ y má v´ıce vrchol˚ u?

[ K20,20 ]


[ K29 ]

1.7.3. Kolik hran a kolik vrchol˚ u má Cn ? 1.7.4. Pro jaké m, n neobsahuje Km,n ˇzádnou kruˇznici? 1.7.5.♡ Kolik hran mus´ıme odebrat z grafu K6 , abychom dostali K3,3 ?

[ |V (Cn )| = n, |E(Cn )| = n ] [ pouze je-li m = 1 nebo n = 1 ] [ 6 hran ]

1.7.6. Pro která n je následuj´ıc´ı stupˇ nová posloupnost grafová? a) (1, 2, . . . , n)

[ pro ˇz´ adné n ]

b) (0, 1, . . . , n − 1)

[ pouze n = 1 ] [ pro kaˇzdé n ≥ 1 ]

c) (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , n, n)

1.7.7. Pro které hodnoty n a r existuje grafu na n vrcholech, kde kaˇzd´ y vrchol je stupnˇe r? Dokaˇzte. [ pro n, r liché graf neexistuje, jinak ano ] 1.7.8. Jsou grafy K3,3 a cirkulant C6 (1, 3) isomorfn´ı?

[ ano ]

1.7.9. Jsou grafy K4,4 a cirkulant C8 (1, 2) isomorfn´ı?

[ ne ]

1.7.10. Jsou následuj´ıc´ı dva grafy G a H isomorfn´ı?

Obrázek 1.10: Grafy G a H. [ ne ] 1.7.11.* Na jakém nejmenˇs´ım poˇctu vrchol˚ u najdete dva neisomorfn´ı grafy se stejnou stupˇ novou posloupnost´ı? [n = 5] 1.7.12.* Strnul´ y graf má pouze triviáln´ı automorfismus. Najdˇete strnul´ y graf s co nejmenˇs´ım poˇctem vrchol˚ u. [ nejmenˇs´ı strnul´ y graf má 6 vrchol˚ u] 1.7.13. Kolik existuje graf˚ u se sedmi vrcholy stupnˇe 2?

[ dva ]

1.7 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı 1.7.14. Kolik existuje graf˚ u s deseti vrcholy stupnˇe 2?

53 [ pˇet ]

1.7.15.* Dva hráˇci pˇridávaj´ı postupnˇe 1, 2, nebo 3 centy na hromádku. Ten, kdo na hromádku pˇrid´ a ˇsestnáct´ y cent, vyhrál. Modelujte hru s uˇzit´ım orientovaného grafu a ukaˇzte, ˇze druh´ y hráˇc m˚ uˇze vˇzdy vyhrát. 1.7.16. Najdˇete vˇsechny neisomorfn´ı orientované grafy na tˇrech vrcholech.

54

2

2

SOUVISLOST GRAFU

Souvislost grafu

Souvislost grafu je zavedena ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 2.0.1. Kolik nejv´ yˇse hran m˚ uˇze m´ıt graf na deseti vrcholech, kter´ y má dvˇe komponenty? Najdete takov´ y graf? Pˇredpokládejme, ˇze máme graf se dvˇema komponentami H1 a H2 , kter´ y má nejvˇetˇs´ı poˇcet hran. Nejprve si vˇsimneme, ˇze obˇe komponenty jsou kompletn´ı grafy, jinak bychom mohli nˇejaké hrany pˇridat (G by nebyl a nejvˇetˇs´ım poˇctem hran). Máme proto G ≃ Ki ∪ K10−i . Vyjádˇr´ıme si poˇcet hran v závislosti na promˇenné i. ( ) ( ) ) i 10 − i 1 1 1(2 |E(G)| = |E(Ki )|+|E(K10−i )| = + = i(i−1)+ (10−i)(9−i) = i − i + 90 − 19i + i2 = 2 2 2 2 2 =

) 1( 2 2i − 20i + 90 = i2 − 10i + 45 = (i − 5)2 + 20. 2

Najdeme (celoˇc´ıselné) maximum funkce E(i) = i2 − 10i + 45 v závislosti na promˇenné i na intervalu ⟨1, 9⟩. K ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme pouˇz´ıt diferenciáln´ı poˇcet a nebo pozorován´ı, ˇze grafem kvadratické funkce s re´ alnou promˇennou i by byla parabola otevˇrená smˇerem nahoru. Minimum (vrchol) má v bodˇe [5, 20], maximum nab´ yvá v krajn´ıch bodech intervalu ⟨1, 9⟩. Vzhledem k symetrii u ´lohu je Emax (G) = E(9) = E(1) = 1 − 10 + 45 = 36. Maximáln´ı poˇcet hran s dan´ ymi parametry má graf G = K1 ∪ K9 . Jin´ eˇ reˇ sen´ı: V´ıme (podle y. Je proto nutno z celkového (10) definice hranové k-souvislosti), ˇze graf K10 je hranovˇe 9-souvisl´ poˇctu 2 = 45 hran vynechat alespoˇ n devˇet, abychom dostali nesouvisl´ y graf. Vynecháme-li vˇsech 9 hran incidentn´ıch s nˇekter´ ym vrcholem, dostaneme nesouvisl´ y graf s celkem 45 − 9 = 36 hranami. Protoˇze p˚ uvodn´ı graf K10 byl hranovˇe 9-souvisl´ y, dostaneme po vynechán´ı 9 hran nesouvisl´ y graf s nejvˇetˇs´ım poˇctem hran. 2.0.2. Mˇejme kompletn´ı bipartitn´ı graf Km,n . a) Jak´ y je hranov´ y stupeˇ n souvislosti Km,n ? Pomoc´ı Mengerov´ ych vˇet snadno ukáˇzeme, ˇze hranov´ y stupnˇe souvislosti grafu Km,n je min{m, n}. Bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze m ≥ n, proto min{m, n} = n. Oznaˇcme partity grafu Km,n jako U a W a jejich vrcholy u1 , u2 , . . . , um a w1 , w2 , . . . , wn . Nyn´ı zkonstruujeme mezi libovoln´ ymi dvˇema r˚ uzn´ ymi vrcholy x, y grafu Km,n n hranovˇe disjunktn´ıch cest. 1. Jsou-li x, y ∈ U , m˚ uˇzeme vrcholy v U pˇreˇc´ıslovat tak, aby x = u1 a y = u2 . Nyn´ı cesty P (1) = u1 , w1 , u2 , P (2) = u1 , w2 , u2 , aˇz P (n) = u1 , wn , u2 jsou hranovˇe disjunktn´ı. 2. Jsou-li x, y ∈ W , m˚ uˇzeme vrcholy v W pˇreˇc´ıslovat tak, aby x = w1 a y = w2 . Nyn´ı cesty P (1) = w1 , u1 , w2 , P (2) = w1 , u2 , w2 , aˇz P (n) = w1 , un , w2 jsou hranovˇe disjunktn´ı. 3. Jsou-li x ∈ U a y ∈ W (podobnˇe naopak), m˚ uˇzeme vrcholy v U a W pˇreˇc´ıslovat tak, aby x = u1 (1) a y = w2 . Nyn´ı cesta (hrana) P = u1 , w1 a cesty, P (2) = u1 , w2 , u2 , w1 , P (3) = u1 , w3 , u3 , w1 , aˇz P (n) = u1 , wn , un , w1 jsou hranovˇe disjunktn´ı. Protoˇze mezi libovoln´ ymi dvˇema vrcholy x, y grafu Km,n existuje n hranovˇe disjunktn´ıch cest a protoˇze odstranˇen´ım vˇsech n hran z jednoho vrcholu partity U dostaneme nesouvisl´ y graf, je hranov´ y stupeˇ n souvislosti grafu Km,n roven min{m, n}. b) Jak´ y je vrcholov´ y stupeˇ n souvislosti Km,n ? Protoˇze cesty zkonstruované v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu jsou nejen hranovˇe, ale i vrcholovˇe disjunktn´ı, je d˚ ukaz i ˇreˇsen´ı stejné.

2.1 Souvislost a komponenty grafu

2.1

55

Souvislost a komponenty grafu

2.1.1.♡ Kolik komponent souvislosti má souvisl´ y graf? 2.1.2.♡ Kolik komponent souvislosti má nesouvisl´ y graf?

[ jedinou komponentu ] [ alespoˇ n dvˇe komponenty ]

2.1.3.♡ Kolik komponent souvislosti má graf na Obrázku 2.1? Je souvisl´ y?

Obrázek 2.1: Graf G. [ dvˇe komponenty, ne ] 2.1.4. Kolik komponent souvislosti má graf G na Obrázku 2.2? Je souvisl´ y?

Obrázek 2.2: Graf G. [ tˇri komponenty, ne ] 2.1.5.♡ Kolik komponent souvislosti má graf na Obrázku 2.3? Je souvisl´ y?

Obrázek 2.3: Graf G. [ tˇri komponenty, ne ] 2.1.6. Kolik komponent souvislosti má cirkulant C12 (3, 6)?

[ tˇri ]

2.1.7. Kolik komponent má graf s deseti vrcholy stupnˇe 5? Dokaˇzte.

[ jednu komponentu ]

2.1.8. Kolik komponent m˚ uˇze m´ıt graf s deseti vrcholy a 25 hranami? Dokaˇzte. komponenty ]

[ jednu, dvˇe nebo tˇri

2.1.9. Kolik existuje r˚ uzn´ ych graf˚ u s deseti vrcholy, tˇremi komponentami a 25 hranami? Dokaˇzte.

[5]

2.1.10.♡ Kolik komponent má graf s patnácti vrcholy stupnˇe 5? Dokaˇzte. [ˇzádnou, takov´ y graf neexistuje ] 2.1.11. Kolik komponent m˚ uˇze m´ıt graf s deseti vrcholy stupnˇe 2? Dokaˇzte. komponenty ]

[ jednu, dvˇe nebo tˇri

56

2

SOUVISLOST GRAFU

2.1.12. Kolik nejv´ yˇse hran m˚ uˇze m´ıt graf na deseti vrcholech, kter´ y má dvˇe komponenty a ˇzádn´ y vrchol stupnˇe vˇetˇs´ıho neˇz 3? Najdete takov´ y graf? [ graf K4 ∪ K6 − C6 nebo K6 − (C3 ∪ C3 ) maj´ı 15 hran ] 2.1.13. Kolik nejménˇe hran m˚ uˇze m´ıt graf na deseti vrcholech, kter´ y má dvˇe komponenty? [ 8 hran, 2P4 ] 2.1.14. Kolik nejménˇe hran m˚ uˇze m´ıt graf na n vrcholech, kter´ y má k komponent? Pn−k−1 ∪ (k − 1)K1 ]

2.2

[ n − k hran,

Prohled´ av´ an´ı grafu

2.2.1. Jaká je sloˇzitost algoritmu (uvedeného na pˇrednáˇsce) pro prohledáván´ı do ˇs´ıˇrky? 2.2.2. Jaká je sloˇzitost algoritmu (uvedeného na pˇrednáˇsce) pro prohledáván´ı do hloubky?

2.3

Vyˇ sˇ s´ı stupnˇ e souvislosti

2.3.1. Mˇejme cyklus Cn . a) Jak´ y je hranov´ y stupeˇ n souvislosti Cn ?

[2]

b) Jak´ y je vrcholov´ y stupeˇ n souvislosti Cn ?

[2]

2.3.2.♡ V´ıte, ˇze minimáln´ı stupeˇ n grafu G je 5. a) Co m˚ uˇzete ˇr´ıci o hranové souvislosti grafu G?

[ hranov´ y stupeˇ n souvislosti je nejv´ yˇse 5 ]

b) Co m˚ uˇzete ˇr´ıci o vrcholové souvislosti grafu G?

[ vrcholov´ y stupeˇ n souvislosti je nejv´ yˇse 5 ]

2.3.3. Máme dán graf K3,3 bez jedné hrany, viz Obrázek 2.4. y

a

b

x

Obrázek 2.4: Graf K3,3 − e. a) Kolik hran mus´ıme z grafu vynechat, aby neexistovala cesta mezi vrcholy a, b? Zd˚ uvodnˇete!

[ dvˇe ]

b) Kolik hran mus´ıme z grafu vynechat, aby neexistovala cesta mezi vrcholy x, y? Zd˚ uvodnˇete!

[ tˇri ]

2.3.4.♡ Kolik mus´ıme pˇridat hran do grafu P5 , aby byl 2-souvisl´ y? 2.3.5. Kolik mus´ıme pˇridat hran do grafu P6 , aby byl 3-souvisl´ y?

[ jednu ] [ˇctyˇri ]

2.3.6. Najdˇete pˇr´ıklad grafu, kde kaˇzd´ y vrchol je stupnˇe r a hranová i vrcholová souvislost je 1. 2.3.7. Najdˇete pˇr´ıklad grafu, kde kaˇzd´ y vrchol je stupnˇe r a hranová i vrcholová souvislost je 2. 2.3.8. Najdˇete pˇr´ıklad grafu, kde kaˇzd´ y vrchol je stupnˇe r a hranová i vrcholová souvislost je k ≤ r. 2.3.9. Mˇejme libovolná pˇrirozená ˇc´ısla a ≤ b ≤ c. Najdˇete pˇr´ıklad grafu, kde kaˇzd´ y vrchol je stupnˇe c a hranová souvislost je b a vrcholová souvislost je a. 2.3.10. Najdˇete pˇr´ıklad souvislého grafu, jehoˇz vrcholová souvislost je menˇs´ı neˇz hranová souvislost. [ mot´ ylek ] 2.3.11. Najdˇete pˇr´ıklad souvislého grafu, jehoˇz hranová souvislost je menˇs´ı neˇz vrcholová souvislost. [ neexistuje ] 2.3.12. Nakreslete 2-souvisl´ y graf na co nejmenˇs´ım poˇctu vrchol˚ u tak, aby z nˇej pˇridán´ım jediné hrany vznikl 3-souvisl´ y graf. 2.3.13.* Dokáˇzete nakreslit 2-souvisl´ y graf na co nejmenˇs´ım poˇctu vrchol˚ u a nejv´ yˇse dvˇema vrcholy stupnˇe dva tak, ˇze pˇridán´ım jediné hrany nevznikne 3-souvisl´ y graf?


2.4

57


2.4.1.♡ M˚ uˇze existovat souvisl´ y graf, kter´ y má v´ıce vrchol˚ u neˇz hran? Pokud ano, najdˇete pˇr´ıklad, pokud ne, dokaˇzte. [ ano, kaˇzd´ y strom ] 2.4.2. Najdˇete vˇsechny souvislé grafy, které maj´ı v´ıce vrchol˚ u neˇz hran.

[ stromy ]

2.4.3. M˚ uˇze existovat souvisl´ y graf, kter´ y má n vrchol˚ u a ménˇe neˇz n − 1 hran? Pokud ano, najdˇete pˇr´ıklad, pokud ne, dokaˇzte. [ takov´ y graf nem˚ uˇze existovat ] 2.4.4. Ukaˇzte, ˇze nen´ı moˇzné putovat konˇem po celé ˇsachovnici 3 × 3. 2.4.5. Kolik nejv´ıce hran m˚ uˇze m´ıt graf s n ≥ 2 vrcholy a 2 komponentami?

[ graf u ´lohy nen´ı souvisl´ y] [ (n−1) ] 2

2.4.6.* Kolik nejv´ıce hran m˚ uˇze m´ıt graf s n vrcholy a k komponentami? Pˇredpokládáme, ˇze k ≤ n. [( )] n−k+1 2

2.4.7. Kolik nejménˇe hran mus´ı m´ıt 3-souvisl´ y graf a) na 6 vrcholech?

[9]

b) na 12 vrcholech?

[ 18 ]

c) na 9 vrcholech?

[ 14 ]

2.4.8. Definujme graf Z2 (n) jako graf, jehoˇz vrcholy jsou vˇsechny dvouprvkové podmnoˇziny nˇejaké n prvkové mnoˇziny, n ≥ 2. Dva vrcholy jsou sousedn´ı, jestliˇze odpov´ıdaj´ıc´ı vrcholy jsou disjunktn´ı. a) Pro která n je graf Z2 (n) souvisl´ y? b) Je graf Z2 (n) pravideln´ y?

[n ≥ 5] [ ano ]

c) Jak´ y je stupeˇ n souvislosti grafu Z2 (n)? 2.4.9. Definujme graf Z2∗ (n) jako graf, jehoˇz vrcholy jsou vˇsechny dvouprvkové podmnoˇziny nˇejaké n prvkové mnoˇziny, n ≥ 2. Dva vrcholy jsou sousedn´ı, jestliˇze odpov´ıdaj´ıc´ı vrcholy nejsou disjunktn´ı. a) Pro která n je graf Z2 (n) souvisl´ y? b) Je graf Z2 (n) pravideln´ y? c) Jak´ y je stupeˇ n souvislosti grafu Z2 (n)?

[ vˇsechna n ≥ 2 ] [ ano ] [n − 2]

2.4.10.* Na mnoˇzinˇe ˇctyˇr vrchol˚ u konstruujeme náhodn´ y jednoduch´ y neorientovan´ y graf (bez smyˇcek) tak, ˇze kaˇzdou dvojici vrchol˚ u spoj´ıme hranou s pravdˇepodobnost´ı p. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze v´ ysledn´ y graf bude obsahovat a) alespoˇ n jeden izolovan´ y vrchol, b) alespoˇ n jeden troj´ uheln´ık.

´ A HAMILTONOVSKE ´ GRAFY 3 EULEROVSKE

58

3

Eulerovsk´ e a hamiltonovsk´ e grafy

Eulerovské a hamiltonovské grafy jsou zavedeny ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 3.0.1. Ukaˇzte, ˇze pro nesouvislé grafy nemus´ı platit, ˇze graf s 2t vrcholy lichého stupnˇe je moˇzno nakreslit t otevˇren´ ymi eulerovsk´ ymi tahy. Staˇc´ı vz´ıt nesouvisl´ y graf K1 ∪ K2 , pˇr´ıpadnˇe K2 ∪ K3 . Oba maj´ı dva vrcholy stupnˇe lichého a nen´ı moˇzné je nakreslit jedn´ım otevˇren´ ym tahem.

3.1

Eulerovsk´ e grafy

3.1.1. Je graf na Obrázku 3.1 eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. v1 v2

v8

v3

v7

v4

v6 v5

Obrázek 3.1: Graf G. [ ano, napˇr´ıklad tah v1 , v2 , v3 , v4 , v8 , v1 , v3 , v5 , v8 , v2 , v4 , v6 , v8 , v7 , v1 ] 3.1.2. Je graf na Obrázku 3.2 eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. v1 v2

v8

v3

v7

v4

v6 v5

Obrázek 3.2: Graf G. [ ne ] 3.1.3. Je graf na Obrázku 3.3 eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. v1 v2

v8

v3

v7

v4

v6 v5

Obrázek 3.3: Graf G.

3.2 Hamiltonovské grafy

59 [ ano, napˇr´ıklad tah v1 , v3 , v6 , v1 , v2 , v4 , v7 , v5 , v8 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v1 ]

3.1.4. Máme dán graf K3,3 bez jedné hrany, viz Obrázek 3.4. y

a

b

x

Obrázek 3.4: Graf K3,3 − e. a) Je moˇzno graf K3,3 − e nakreslit jedn´ım uzavˇren´ ym tahem? Nakreslete nebo zd˚ uvodnˇete, proˇc to nen´ı moˇzné. [ ne ] b) Je moˇzno graf K3,3 − e nakreslit jedn´ım otevˇren´ ym tahem? Nakreslete nebo zd˚ uvodnˇete, proˇc to nen´ı moˇzné. [ ne ] c) Je moˇzno graf K3,3 − e nakreslit dvˇema otevˇren´ ymi tahy? Nakreslete nebo zd˚ uvodnˇete, proˇc to nen´ı moˇzné. [ ano ] d) Kolik nejménˇe hran je tˇreba pˇridat do grafu K3,3 − e, aby jej bylo moˇzno nakreslit jedn´ım otevˇren´ ym tahem? [ 1 hranu ] e) Kolik nejménˇe hran je tˇreba pˇridat do grafu K3,3 − e, aby jej bylo moˇzno nakreslit jedn´ım uzavˇren´ ym tahem? [ 2 hrany ]

3.1.5. Je cirkulant C6 (1, 2) s vrcholovou mnoˇzinou V = {vi : i = 1, 2, . . . , 6} eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. [ ano, napˇr´ıklad v1 , v3 , v5 , v1 , v2 , v4 , v6 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v1 ] 3.1.6. Je cirkulant C6 (1, 3) s vrcholovou mnoˇzinou V = {vi : i = 1, 2, . . . , 6} eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete [ nen´ı eulerovsk´ y] uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. 3.1.7. Je cirkulant C8 (1, 2) s vrcholovou mnoˇzinou V = {vi : i = 1, 2, . . . , 8} eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah. [ ano, napˇr´ıklad v1 , v3 , v5 , v7 , v1 , v2 , v4 , v6 , v8 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v1 ] 3.1.8.♡ Pro která n je moˇzno Kn nakreslit jedn´ım uzavˇren´ ym tahem?

[ pro n liché ]

3.1.9. Pro která n je moˇzno Kn nakreslit jedn´ım otevˇren´ ym a nikoli uzavˇren´ ym tahem? [ pouze pro n = 2 ] 3.1.10. Pro která m, n je moˇzno Km,n nakreslit jedn´ım uzavˇren´ ym tahem? 3.1.11. Pro která n je moˇzno Km,n nakreslit jedn´ım otevˇren´ ym tahem? m liché nebo m = n = 1 ]

[ pro m, n sudé ]

[ pro m = 2, n liché nebo n = 2,

3.1.12. Dokaˇzte, ˇze eulerovsk´ y graf neobsahuje most.

3.2

Hamiltonovsk´ e grafy

3.2.1. Necht’ V (G) grafu G je mnoˇzina vˇsech dvouprvkov´ ych podmnoˇzin mnoˇziny [1, 5] a necht’ hrana XY ∈ E(G) právˇe tehdy, kdyˇz jsou dvouprvkové podmnoˇziny X, Y disjunktn´ı (X ∩ Y = ∅). Nakreslete graf. [ Petersen˚ uv graf ] 3.2.2. Je Petersen˚ uv graf hamiltonovsk´ y? Své tvrzen´ı dokaˇzte.

[ Petersen˚ uv graf nen´ı hamiltonovsk´ y]

´ A HAMILTONOVSKE ´ GRAFY 3 EULEROVSKE

60

3.3


3.3.1. Je graf K4,4 eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah.

[ ano ]

3.3.2. Je graf K4,6 eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah.

[ ano ]

3.3.3. Pro které n je graf K2,n eulerovsk´ y? Pokud ano, najdˇete uzavˇren´ y eulerovsk´ y tah.

[ n sudé ]

3.3.4. Najdˇete pˇr´ıklad souvislého grafu, kter´ y má dva vrcholy lichého stupnˇe a vˇsechny ostatn´ı vrcholy sudého stupnˇe a do kterého a) staˇc´ı pˇridat jedinou hranu tak, aby byl eulerovsk´ y. Jak´ y je nejmenˇs´ı takov´ y graf?

[ K5 − e, P2 ]

b) nen´ı moˇzné pˇridat jedinou hranu tak, aby byl eulerovsk´ y. Jak´ y je nejmenˇs´ı takov´ y graf? K2 ]

[ K4 − e,

3.3.5. Pro kaˇzdé t najdˇete pˇr´ıklad souvislého grafu, kter´ y a) je souvisl´ y, obsahuje 2t vrchol˚ u lichého stupnˇe a je moˇzno jej nakreslit t otevˇren´ ymi tahy.

[ K2t ]

b) nen´ı souvisl´ y, obsahuje 2t vrchol˚ u lichého stupnˇe a je moˇzno jej nakreslit t otevˇren´ ymi tahy. [ tK2 ] c) je souvisl´ y, obsahuje 2t vrchol˚ u lichého stupnˇe a je moˇzno jej nakreslit t otevˇren´ ymi tahy, ale nen´ı moˇzné pˇrid´ an´ım t hran z´ıskat eulerovsk´ y graf. [ K2t ] d)* je souvisl´ y, obsahuje 2t vrchol˚ u lichého stupnˇe a je moˇzno jej nakreslit t otevˇren´ ymi tahy, a pˇrid´ an´ım t hran je moˇzné z´ıskat eulerovsk´ y graf.. [ K1,2t ] 3.3.6. Pro libovolné sudé r a libovolné n > r najdˇete pˇr´ıklad r-pravideln´ eho eulerovského grafu na n] [ napˇr´ıklad cirkulant Cn (1, 2, . . . , 2r ) vrcholech. 3.3.7. Máme dán graf G na Obrázku 3.5. W

U

Obrázek 3.5: Graf G. a) Je graf G eulerovsk´ y?

[ ne ]

b) Jak pˇridat hrany pouze mezi vrcholy v mnoˇzinˇe U nebo pouze mezi vrcholy v mnoˇzinˇe W tak, aby vznikl eulerovsk´ y graf? Pokud to nen´ı moˇzné, dokaˇzte! [ nen´ı moˇzné ] c) Jestliˇze dovol´ıme, aby alespoˇ n jedna pˇridaná hrana mˇela jeden koncov´ y vrchol v mnoˇzinˇe U a druh´ y v mnoˇzinˇe W , m˚ uˇze pˇridán´ım hran vzniknout eulerovsk´ y graf? Jestliˇze ano, kolik nejménˇe hran je tˇreba pˇridat? Pokud to nen´ı moˇzné, dokaˇzte! [ staˇc´ı pˇridat dvˇe hrany ] 3.3.8. Ukaˇzte, ˇze souvisl´ y graf s 2t vrcholy lichého stupnˇe je moˇzno nakreslit t otevˇren´ ymi eulerovsk´ ymi tahy. [ pˇridán´ım pomocného vrcholu ]

61

4

Vzd´ alenost a metrika v grafu

Pojem vzdálenosti v grafu je popsán ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 4.0.1. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu Wn ? Ukáˇzeme, ˇze vzdálenost dvou vrchol˚ u nem˚ uˇze b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 2. Vezmˇeme dva libovolné vrcholy x, y ∈ V (Wn ). 1. Je-li x = y, je dist(x, y) = 0 2. Je-li x ̸= y a je-li jeden z vrchol˚ u centráln´ı vrchol kola v0 , potom je dist(x, y) = 1, protoˇze centr´ aln´ı vrchol je sousedn´ı se vˇsemi. 3. Je-li x ̸= y a nen´ı-li ani jeden z vrchol˚ u centráln´ım vrcholem, potom v pˇr´ıpadˇe, ˇze x a y jsou sousedn´ı je dist(x, y) = 1 4. Jinak je dist(x, y) ≥ 2. Souˇcasnˇe ale v´ıme, ˇze dist(x, y) ≤ dist(x, v0 ) + dist(v0 , y) = 1 + 1 = 2. Proto je dist(x, y) = 2. Celkem dostáváme, ˇze pro n = 3, kdy na vnˇejˇs´ım cyklu kola nenajdeme dva nesousedn´ı vrcholy (W3 = K4 ), je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u 1. Jinak je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u 2. 4.0.2. Jaká nejvˇetˇs´ı moˇzná váˇzená vzdálenost m˚ uˇze b´ yt mezi dvˇema vrcholy v cyklu délky 9, kter´ y je ohodnocen´ y vˇsemi ˇc´ısly 1, 2, . . . , 9, kaˇzd´ ym právˇe na jedné hranˇe v libovolném poˇrad´ı. Jedno jak budou ohodnocen´ı hranám pˇ riˇrazena, vˇzdy bude mezi dvˇema pevnˇe zvolen´ ymi vrcholy jedna ∑ 9 ’ y. Obˇe moˇzné cesty mezi zvolen´ ymi vrcholy daj´ı cesta kratˇs´ı a druhá delˇs´ı, nebot souˇcet i=1 = 45 je lich´ v souˇctu 45. Nejvˇetˇs´ı moˇzná váˇzená vzdálenost je ⌊ 45 ze pˇri libovolném rozdˇelen´ı ohodnocen´ı bude menˇs´ı 2 ⌋ = 22, protoˇ z obou moˇzn´ ych souˇct˚ u nejv´ yˇse 22. Taková vzdálenost m˚ uˇze b´ yt realizována. Zvol´ıme ohodnocen´ı po ˇradˇe 9, 6, 5, 2, 8, 7, 4, 3, 1. Nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost je min{9 + 6 + 5 + 2, 8 + 7 + 4 + 3 + 1} = min{22, 23} = 22.

4.1


4.1.1.* Hlavolam znám´ y jako Hanojské vˇeˇze“ 3 má tˇri kol´ıky a sadu osmi disk˚ u r˚ uzn´ ych velikost´ı. ” ´ Na zaˇcátku je vˇsech osm disk˚ u seˇrazeno podle velikosti na prvn´ım k˚ ulu. Ukolem je pˇrem´ıstit vˇsechny disky na jin´ y k˚ ul za dodrˇzen´ı následuj´ıc´ıch podm´ınek: 1. vˇzdy se pˇresunuje pouze jeden disk, 2. nikdy nesm´ı leˇzet vˇetˇs´ı disk na menˇs´ım. Namodelujte u ´lohu uˇzit´ım grafu a pro tˇri disky najdˇete nejkratˇs´ı moˇzné ˇreˇsen´ı. [ existuje ˇreˇsen´ı na 7 tah˚ u] 4.1.2. Máme osmi litrovou nádobu s v´ınem a dvˇe prázdné nádoby – pˇetilitrovou a tˇr´ılitrovou. Rozdˇelte osm ´ litr˚ u na ˇctyˇri a ˇctyˇri litry jen s uˇzit´ım tˇechto nádob, bez pouˇzit´ı odmˇerky. Uloha namodelujte grafem a najdˇete nejkratˇs´ı ˇreˇsen´ı a popiˇste vˇsechna pˇr´ıpustná ˇreˇsen´ı. [ nejkratˇs´ı ˇreˇsen´ı má osm pˇrelév´ an´ı] 4.1.3. Máme osmi litrovou nádobu s v´ınem a dvˇe prázdné nádoby – pˇetilitrovou a tˇr´ılitrovou. Je moˇzno [ ano ] odmˇeˇrit libovolné (celoˇc´ıselné) mnoˇzstv´ı v´ına? Pokud ne, zjistˇete jaké. Pokud ano, dokaˇzte. 3

´ Hanojské vˇeˇze vymyslel v roce 1883 Francouzsk´ y matematik Edouard Lucas.

´ 4 VZDALENOST A METRIKA V GRAFU

62

4.2

Vzd´ alenost v grafu

4.2.1.♡ Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu K4 ?

[1]

4.2.2.♡

Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu K1 ?

[0]

4.2.3.♡

Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu C7 ?

[3]

4.2.4.♡ Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu K7,8 ?

[2]

4.2.5. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu G na Obrázku 4.1?

Obrázek 4.1: Graf G. [4] 4.2.6. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu Kn ?

[ 0 pro n = 1, 1 jinak ]

4.2.7.♡ Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych vrchol˚ u v grafu Pn ? [ n − 1 (oba koncové vrcholy cesty Pn . ] 4.2.8. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych vrchol˚ u v grafu Km,n ? [ 1 pro m = n = 1, jinak 2 ] [ n ] ⌊2⌋ 4.2.9. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych vrchol˚ u v grafu Cn ? 4.2.10. Najdˇete pˇr´ıklad grafu na osmi vrcholech, ve kterém je minimáln´ı i maximáln´ı vzdálenost dvou [ K4,4 nebo K8 − e ] r˚ uzn´ ych nesousedn´ıch vrchol˚ u 2. 4.2.11. Najdˇete graf s co nejmenˇs´ım poˇctem hran na osmi vrcholech, ve kterém je minimáln´ı i maximáln´ı vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych nesousedn´ıch vrchol˚ u 2. [ K1,7 ] 4.2.12. Najdˇete graf s co nejvˇetˇs´ım poˇctem hran na osmi vrcholech, ve kterém je minimáln´ı i maximáln´ı vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych nesousedn´ıch vrchol˚ u 2. [ K8 bez jedné hrany ] 4.2.13. Najdˇete graf s co nejvˇetˇs´ım poˇctem vrchol˚ u, ve kterém je maximáln´ı vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych nesousedn´ıch vrchol˚ u 2 a nejvyˇsˇs´ı stupeˇ n vrcholu je 3. [ 10 vrchol˚ u] 4.2.14. Vypoˇc´ıtejte metriku (matici udávaj´ıc´ı vzdálenosti mezi vrcholy) grafu K4 − e na Obrázku 4.2. 3

4

1

2

Obrázek 4.2: Graf K4 bez jedné hrany. [ matice 4 × 4, kde aii = 0, pol´ıˇcka a23 = a32 = 2 a ostatn´ı prvky jsou 1 ]

4.3

Vzd´ alenost v ohodnocen´ ych grafech

4.3.1. Máme dán graf G na Obrázku 4.3. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná váˇzená vzdálenost mezi vrcholy v grafu G? v1 2

v2

5

6

3

3

4

v7 2

v3

v6 v4

4

v5

4.4 Nejkratˇs´ı cesta v ohodnoceném grafu – Dijkstr˚ uv algoritmus

63

Obrázek 4.3: Graf G. [ 10 ] 4.3.2. Máme dán graf G na Obrázku 4.4. Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná váˇzená vzdálenost mezi vrcholy v grafu G? v1 2

v2

5

3

3

6

4

v7 2

v3

v6 v4

v5

4

Obrázek 4.4: Graf G. [ 10 ]

4.4

Nejkratˇ s´ı cesta v ohodnocen´ em grafu – Dijkstr˚ uv algoritmus

4.4.1. Máme dán graf jako na Obrázku 4.5. v1 v2

5

3

7

v3

2 1

2

8 1

4

v8 7 v7 6

2

v4

v6 v5

Obrázek 4.5: Graf G. a) Jaké jsou vzdálenosti vˇsech vrchol˚ u od vrcholu v1 ? [ dist(v1 , v1 ) = 0, dist(v1 , v2 ) = 3, dist(v1 , v3 ) = 6, dist(v1 , v4 ) = 5, dist(v1 , v5 ) = 3, dist(v1 , v6 ) = 7, dist(v1 , v7 ) = 8, dist(v1 , v8 ) = 2 ] b) V jakém poˇrad´ı budou zpracovány vrcholy pˇri bˇehu Dijkstrova algoritmu s v´ ychoz´ım vrcholem v1 ? [ v1 , v8 , v2 , v5 , v4 , v3 , v6 , v7 nebo v1 , v8 , v5 , v2 , v4 , v3 , v6 , v7 ] c) Jaké jsou vzdálenosti vˇsech vrchol˚ u od vrcholu v3 ? [ dist(v3 , v1 ) = 6, dist(v3 , v2 ) = 3, dist(v3 , v3 ) = 0, dist(v3 , v4 ) = 5, dist(v3 , v5 ) = 4, dist(v3 , v6 ) = 7, dist(v3 , v7 ) = 11, dist(v3 , v8 ) = 4 ] d) V jakém poˇrad´ı budou zpracovány vrcholy pˇri bˇehu Dijkstrova algoritmu s v´ ychoz´ım vrcholem v3 ? [ v3 , v2 , v5 , v8 , v4 , v1 , v6 , v7 nebo v3 , v2 , v8 , v5 , v4 , v1 , v6 , v7 ] e) Jaké jsou vzdálenosti vˇsech vrchol˚ u od vrcholu v5 ? [ dist(v5 , v1 ) = 3, dist(v5 , v2 ) = 2, dist(v5 , v3 ) = 4, dist(v5 , v4 ) = 4, dist(v5 , v5 ) = 0, dist(v5 , v6 ) = 6, dist(v5 , v7 ) = 8, dist(v5 , v8 ) = 1 ] f) V jakém poˇrad´ı budou objeveny vrcholy pˇri bˇehu Dijkstrova algoritmu s v´ ychoz´ım vrcholem v5 ? [ v5 , v8 , v2 , v1 , v3 , v4 , v6 , v7 nebo v5 , v8 , v2 , v1 , v4 , v3 , v6 , v7 ] g) Které dva vrcholy jsou nejvzdálenˇejˇs´ı? Jaká je jejich vzdálenost?

[ v6 a v7 , dist(v6 , v7 ) = 12 ]

h) Ze kterého vrcholu je maximáln´ı vzdálenost do vˇsech ostatn´ıch vrchol˚ u nejmenˇs´ı? 4.4.2. Ve kterém m´ıstˇe selˇze Dijkstr˚ uv algoritmus, jestliˇze pˇripust´ıme i záporná ohodnocen´ı hran?

´ 4 VZDALENOST A METRIKA V GRAFU

64

4.5


Hyperkrychl´ı ˇr´ adu n budeme rozumˇet takov´ y graf G(V, E) na 2n vrcholech, jehoˇz vrcholovou mnoˇzinu tvoˇr´ı vˇsechny binárn´ı vektory délky n V = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ {0, 1}, i = 1, 2, . . . , n} a hrana je mezi kaˇzd´ ymi dvˇema vrcholy, jejichˇz vektory se liˇs´ı v jediné souˇradnici E = {(a1 , a2 , . . . , an )(b1 , b2 , . . . , bn ) : (a1 , a2 , . . . , an ), (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ V ∧

n ∑

|ai − bi | = 1}.

i=1

Hyperkrychle ˇrádu n se znaˇc´ı Qn . 4.5.1. Mˇejme graf Q3 (hyperkrychle ˇrádu 3). Kolik nejménˇe hran mus´ıme pˇridat, aby nejvˇetˇs´ı moˇzn´ a vzdálenost mezi vrcholy grafu byla 2? [2] 4.5.2.♡ Jaká je nejvˇetˇs´ı moˇzná vzdálenost dvou vrchol˚ u v grafu Qn ? Dokaˇzte 4.5.3.* Jak pˇrevést u ´lohu hledán´ı nejkratˇs´ı cesty i pro grafy s ohodnocen´ ymi vrcholy? stupnˇe d grafem Kd ]

[n] [ nahradit vrchol

4.5.4. Kolik nejv´ıce vrchol˚ u m˚ uˇze m´ıt graf, kter´ y má nejvˇetˇs´ı moˇznou vzdálenost mezi dvˇema vrcholy [ poˇcet vrchol˚ u nen´ı omezen ] rovnou 2? 4.5.5. Kolik nejv´ıce vrchol˚ u m˚ uˇze m´ıt 3-pravideln´ y graf, kter´ y má nejvˇetˇs´ı moˇznou vzdálenost mezi dvˇema vrcholy rovnou 2? Nakreslete pˇr´ıklad takového grafu. [ 10, napˇr´ıklad Petersen˚ uv graf ] 4.5.6. V jednom okrese je 15 velk´ ych mˇest a kaˇzdé mˇesto je spojeno silnic´ı s alespoˇ n sedmi jin´ ymi. a) Dokaˇzte, ˇze z libovolného mˇesta do libovolného jiného se dá dostat bud’ pˇr´ımou cestou nebo pˇres jedno jiné mˇesto. [ nepˇr´ımo nebo sporem ] b) Jak by se u ´loha zmˇenila, kdyby kaˇzdé mˇesto mˇelo b´ yt spojeno silnic´ı s právˇe sedmi jin´ ymi? [ takov´ a ’ silniˇcn´ı s´ıt neexistuje ]

65

5

Stromy

Stromy a jejich základn´ı vlastnosti jsou popsány ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 5.0.1. Kolik existuje neisomorfn´ıch les˚ u na pˇeti vrcholech? Systematicky projdeme vˇsechny moˇzné lesy na pˇeti vrcholech. Jednotlivé moˇznosti rozdˇel´ıme podle poˇctu hran • bez hran existuje jedin´ y les: 5K1 • s 1 hranou existuje jedin´ y les K2 ∪ 3K1 • se 2 hranami existuj´ı dva lesy K2 ∪ K2 ∪ K1 , P2 ∪ 2K2 • se 3 hranami existuj´ı tˇri lesy K1,3 ∪ K1 , P3 ∪ K1 , P2 ∪ K2 • se 4 hranami existuj´ı tˇri stromy (a souˇcasnˇe lesy) cesta P4 , cesta P3 s jedn´ım vrcholem pˇripojen´ ym k nelistovému vrcholu (dvojhvˇezda DS(2, 1)) a hvˇezda K1,4 . Existuje celkem 10 les˚ u. 5.0.2. Najdˇete takov´ y graf se dvˇema kruˇznicemi, ˇze vynechán´ım jediné hrany vznikne strom. Takov´ y strom neexistuje. Nejprve ukáˇzeme, ˇze pokud strom obsahuje dvˇe kruˇznice, tyto dvˇe kruˇznice nesd´ıl´ı ˇzádnou hranu. Pokud by kruˇznice C1 a C2 sd´ılely hranu xy, tak vynechán´ım hrany xy z cyklu C1 z˚ ustane v grafu cesta mezi vrcholy x a y a podobnˇe z cyklu C2 z˚ ustane v grafu také (druhá) cesta mezi x a y. Spojen´ım tˇechto dvou cest dostaneme uzavˇren´ y sled, ze kterého je moˇzno vybrat tˇret´ı cyklus C3 , coˇz by byl spor, nebot’ graf obsahuje pouze cykly dva. Nyn´ı v´ıme, ˇze obˇe kruˇznice v grafu nesd´ıl´ı ˇzádnou hranu. Vynechán´ım libovolné hrany e1 z C1 z˚ ustane graf souvisl´ y (vynechaná hrana e1 neovlivn´ı souvislost grafu) a bude nav´ıc obsahovat jako podgraf druh´ y cyklus C2 . Graf nebude acyklick´ y a proto takov´ y graf, kter´ y splˇ nuje podm´ınky zadán´ı, neexistuje. Podobnˇe vynechán´ım libovolné hrany e2 z C2 z˚ ustane graf souvisl´ y (vynechaná hrana e2 neovlivn´ı souvislost grafu) a graf bude bez cykl˚ u, tj. strom. □ Jin´ y d˚ ukaz: Podle D˚ usledku 5.8. ve skriptech [UTG], vznikne pˇridán´ım hrany právˇe jeden cyklus. Existence grafu se zadán´ı by byla ve sporu s t´ımto d˚ usledkem. □ 5.0.3. Kolik hran je tˇreba vynechat ustala kostra? ( ) z kompletn´ıho grafu Kn , aby z˚ ( ) V´ıme, ˇze kompletn´ı graf Kn má n2 hran a kostra je stromem, kter´ y má n − 1 hran. Z celkového poˇctu n2 hran má z˚ ustat n − 1. Proto je tˇreba vynechat právˇe ( ) ( ) ( ) 1 n−1 n n 1 − (n − 1) = − (n − 1) = n(n − 1) − (n − 1) = (n − 1)(n − 2) = 2 2 2 2 2 hran. Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Protoˇze kostra grafu je stromem na n vrcholech, obsahuje kaˇzdá kostra stejn´ y poˇcet hran. Vybereme jednu konkrétn´ı kostru. V kompletn´ım grafu Kn zvol´ıme vrchol v a kostra grafu Kn bude tvoˇrena vˇsemi hranami incidentn´ yvaj´ıc´ımi n − 1 vrcholy odstran´ıme. Odstranˇen´ ych hran je ( ımi ) s v. Vˇsechny ostatn´ı hrany mezi zb´ proto n−1 . 2

5.1


5.1.1. M˚ uˇzeme algoritmus hledán´ı centra pouˇz´ıt i pro jiné grafy neˇz stromy? Najdete alespoˇ n jeden takov´ y graf? Vysvˇetlete! [ ne ]

66

5

5.2

STROMY

Z´ akladn´ı vlastnosti strom˚ u

5.2.1. Kolik neisomorfn´ıch les˚ u existuje na ˇctyˇrech vrcholech?

[ 1+1+2+2=6 ]

5.2.2. Kolik neisomorfn´ıch strom˚ u existuje na pˇeti vrcholech?

[1 + 1 + 1 = 3]

5.2.3.♡ Najdˇete centra následuj´ıc´ıch strom˚ u. a) Strom T na Obrázku 5.1. r

Obrázek 5.1: Strom T . b) Strom T na Obrázku 5.2. r

Obrázek 5.2: Strom T . c) Strom T na Obrázku 5.3. r

Obrázek 5.3: Strom T . 5.2.4. Máme dán strom se 17 vrcholy. a) Kolik odebereme vrchol˚ u (dle algoritmu z pˇrednáˇsky), neˇz najdeme centrum?

[ 15 nebo 16 ]

b) Kolik nejménˇe nastane takov´ ych krok˚ u, kdy odstraˇ nujeme listy?

[ jeden ]

c) Kolik nejv´ıce nastane takov´ ych krok˚ u, kdy odstraˇ nujeme listy?

[ osm ]

5.2.5.♡ Máme dán strom se 4 vrcholy. Kolik odebereme vrchol˚ u (dle algoritmu z pˇrednáˇsky), neˇz najdeme centrum? [ 2 nebo 3 ] 5.2.6.♡ Strom má 56 hran. Kolik m˚ uˇze m´ıt vrchol˚ u?

[ 57 ]

5.2.7. Acyklick´ y graf má 70 vrchol˚ u a 60 hran. Kolik má komponent?

[ 10 ]

5.2.8. Acyklick´ y graf má 60 vrchol˚ u a 70 hran. Kolik má komponent?


5.2.9.♡ Najdˇete graf se dvˇema kruˇznicemi, ze kterého vynechán´ım dvou hran vznikne strom. 5.2.10. Najdˇete graf se dvˇema kruˇznicemi, ze kterého vynechán´ım tˇr´ı hran vznikne strom.

[ lehké ] [ neexistuje ]

5.2.11. Najdˇete graf se tˇremi kruˇznicemi, ze kterého vynechán´ım tˇr´ı hran vznikne strom.

[ existuje ]

5.2.12. Najdˇete graf se tˇremi kruˇznicemi, ze kterého vynechán´ım dvou hran vznikne strom.

[ existuje ]

5.3 Koˇrenové a pˇestované stromy

5.3

67

Koˇ renov´ e a pˇ estovan´ e stromy

5.3.1. Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, r) na Obrázku 5.4. r

Obrázek 5.4: Koˇrenový strom (T, r). [ 00010110010110010111 ] 5.3.2. Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, r) na Obrázku 5.5. r

Obrázek 5.5: Koˇrenový strom (T, r). [ 000101100101100111 ] 5.3.3. Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, r) na Obrázku 5.6. r

Obrázek 5.6: Koˇrenový strom (T, r). [ 0000110110010110010111 ] 5.3.4. Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, s) na Obrázku 5.7. s

Obrázek 5.7: Koˇrenový strom (T, s). [ 00101000101100101111 ] 5.3.5. Máme dán strom T na Obrázku 5.8. r s

Obrázek 5.8: Strom T , vyznaˇcené vrcholy r, s. a) Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, r).

[ 0001001011100101001111 ]

b) Najdˇete a zapiˇste minimáln´ı kód koˇrenového stromu (T, r).

[ 0000101101100011010111 ]

c) Najdˇete a zapiˇste kód koˇrenového stromu (T, s).

[ 0010010110001010011111 ]

68

5

d) Najdˇete a zapiˇste minimáln´ı kód koˇrenového stromu (T, s).

STROMY

[ 0000011010111001011011 ]

5.3.6. Nakreslete pˇestovan´ y koˇrenov´ y strom dan´ y následuj´ıc´ım kódem. a) 000000000111111111

[ strom isomorfn´ı s P8 ]

b) 00010110010110010111

[ viz Obrázek 5.4 ]

c) 000010110100111000110111 d) 00001011010011100011011

[ toto nen´ı korektn´ı kód ]

e) 000010110110011100011011

[ toto nen´ı korektn´ı kód ]

5.3.7. Je kód pˇestovaného koˇrenového stromu daného následuj´ıc´ım kódem minimáln´ı? a) 000000000111111111.

[ ano ]

b) 00010110010110010111

[ ano ]

c) 000110010110010010111

[ ne ]

d) 00010110011001010111

[ ne ]

e) 0000110110110001010111

[ ne ]

f) 000010110100111000110111

[ ne ]

5.4

Isomorfismus strom˚ u

5.4.1. Které koˇrenové stromy maj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y kód i kdyˇz nejsou pˇestované? vˇsechny vrcholy ve vzdálenosti d od koˇrene maj´ı stejn´ y stupeˇ n]

[ takové, kde

5.4.2. Rozhodnˇete, které z následuj´ıc´ıch strom˚ u na Obrázku 5.9 jsou isomorfn´ı.

S

T

R

Obrázek 5.9: Stromy T , S a R. [ isomorfn´ı jsou T a R ]

5.5

Kostry graf˚ u

5.5.1. Kolik koster má následuj´ıc´ı graf W4 ? Pˇredpokládejme, ˇze rozliˇsujeme vrcholy.

Obrázek 5.10: Graf W4 . [ 45 moˇznost´ı] 5.5.2. Máme dán graf G na Obrázku 5.11.


69 v7 4 3

1 5

v8

1

3

4

v4 1

2

v9 3

2 v5 2

3 v1

4

1

v6

2

5

4 v2

v3

Obrázek 5.11: Graf G. a) Najdˇete minimáln´ı kostru grafu G pomoc´ı Kruskalova (hladového) algoritmu. Jaká je váha minimáln´ı kostry? [ minimáln´ı váha je 13 ] b) Najdˇete minimáln´ı kostru grafu G pomoc´ı Jarn´ıkova (Primova) algoritmu. V´ ychoz´ı vrchol je v1 . Jaká je váha minimáln´ı kostry? [ minimáln´ı váha je 13 ] c) Najdˇete minimáln´ı kostru grafu G pomoc´ı Bor˚ uvkova algoritmu. Jaká je váha minimáln´ı kostry? [ nelze pouˇz´ıt ] 5.5.3. Jaké vlastnosti mus´ı m´ıt ohodnocen´ı grafu, aby vˇsechny tˇri algoritmy (Bor˚ uvk˚ uv, Jarn´ık˚ uv/Prim˚ uv i Kruskal˚ uv (hladov´ y) naˇsly vˇzdy stejnou kostru? [ ohodnocen´ı mus´ı b´ yt injekc´ı]

5.6


5.6.1.♡ Kolik r˚ uzn´ ych koster má cyklus Cn ? Pˇredpokládejme, ˇze rozliˇsujeme vrcholy.

[n]

5.6.2.♡ Kolik r˚ uzn´ ych neisomorfn´ıch koster má cyklus Cn ? Pˇredpokládejme, ˇze nerozliˇsujeme vrcholy. [ jedinou ] 5.6.3. Máme graf K4 . a) Kolik r˚ uzn´ ych neisomorfn´ıch koster má graf K4 ?

[2]

b) Kolik r˚ uzn´ ych koster má graf K4 ?

[ 16 ]

5.6.4. Máme graf K5 . a) Kolik r˚ uzn´ ych koster má graf K5 ?

[ 125 ]

b) Kolik r˚ uzn´ ych neisomorfn´ıch koster má graf K5 ?

[3]

5.6.5. Máme graf K6 . a) Kolik r˚ uzn´ ych koster má graf K6 ?

[ 1296 ]

b) Kolik r˚ uzn´ ych neisomorfn´ıch koster má graf K6 ?

[6]

5.6.6. Kolik hran je tˇreba vynechat z kompletn´ıho bipartitn´ıho grafu Km,n , aby z˚ ustala kostra? 1)(n − 1) ]

[ (m −

5.6.7. Kolik nejménˇe vrchol˚ u mus´ı m´ıt graf, kter´ y má dvˇe hranovˇe disjunktn´ı kostry? Najdete takov´ y graf? [4] 5.6.8. Najdˇete pˇr´ıklad souvislého grafu, kter´ y má 1001 koster.

[ spojen´ı tˇr´ı cykl˚ u C7 , C11 a C13 ]

5.6.9. Zavedeme pojem inverzn´ıho kódu. Máme strom T a nˇejak´ y jeho kód C. Inverzn´ı kód C ′ dostaneme tak, ˇze zamˇen´ıme 0 a 1 a nap´ıˇseme kód v opaˇcném poˇrad´ı. Najdˇete takov´ y netriviáln´ı strom T , kter´ y má a) stejn´ y kód i inverzn´ı kód,

[ cesta s koˇrenem v listu ]

70

5

STROMY

b) r˚ uzn´ y kód a inverzn´ı kód, pˇriˇcemˇz strom T ′ pˇr´ısluˇsn´ y inverzn´ımu kódu je isomorfn´ı se stromem T , c) r˚ uzn´ y kód a inverzn´ı kód, pˇriˇcemˇz strom T ′ pˇr´ısluˇsn´ y inverzn´ımu kódu nen´ı isomorfn´ı se stromem T , d) inverzn´ı kód stejn´ y jako minimáln´ı kód.

[ cesta s koˇrenem v listu ]

5.6.10. Máme strom T a jeho kód C. Cestou ve strom T budeme rozum´ımˇet podgraf, kter´ y je isomorfn´ı s cestou. Co m˚ uˇzeme ˇr´ıci o nejdelˇs´ı cestˇe ve stromu T , je-li v kódu C pˇet po sobˇe jdouc´ıch nul? [ nejdelˇs´ı cesta ve strom T je délky alespoˇ n 4] 5.6.11. Máme strom T a jeho minim´ aln´ı kód C. Cestou ve strom T budeme rozum´ımˇet podgraf, kter´ y je isomorfn´ı s cestou. Co m˚ uˇzeme ˇr´ıci o nejdelˇs´ı cestˇe ve stromu T , je-li v kódu C pˇet po sobˇe jdouc´ıch nul? [ nejdelˇs´ı cesta ve strom T je délky alespoˇ n 4]

71

6

Barevnost a kreslen´ı graf˚ u

Pojmy barevnosti grafu a rovinného zakreslen´ı grafu jsou popsány ve skriptech [UTG].

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady 6.0.1. Máme dánu hyperkrychli ˇrádu n, znaˇc´ıme ji Qn (viz strana 64). a) Jak´ y je poˇcet vrchol˚ u Qn ? Vrcholy hyperkrychle jsou vˇsechny binárn´ı vektory délky n. Tˇech je V ∗ (2, n) = 2n . Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Poˇcet vrchol˚ u urˇc´ıme podle (rekurzivn´ı) konstrukce: |V (Q1 )| = 2. Dále plat´ı |V (Qn+1 )| = 2 · |V (Qn )|, proto |V (Qn )| = 2n . b) Jak´ y je stupeˇ n vrchol˚ u v grafu Qn ? Kaˇzd´ y vrchol je spojen hranou se vˇsemi vrcholy, jejichˇz odpov´ıdaj´ıc´ı binárn´ı vektory se liˇs´ı v jediné souˇradnici. Binárn´ı vektory vrchol˚ u krychle Qn maj´ı n souˇradnic, proto je kaˇzd´ y vrchol stupnˇe n. Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Qn je regulárn´ı graf. V kaˇzdém kroku rekurz´ıvn´ı konstrukce pˇridáme ke kaˇzdému vrcholu jednu hranu a zv´ yˇs´ıme stupeˇ n vrcholu, proto degQn v = n. c) Jak´ y je poˇcet hran Qn ? V hyperkrychli je podle pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u 2n vrchol˚ u a kaˇzd´ y je stupnˇe n. Podle principu sudosti je dvojnásobek poˇctu hran roven souˇctu stupˇ n˚ u vˇsech vrchol˚ u 2|E(Qn )| = n · 2n . Odtud snadno vyjádˇr´ıme, ˇze |E(Qn )| = n · 2n−1 . d) Jaké je chromatické ˇc´ıslo Qn ? Ukáˇzeme, ˇze chromatické ˇc´ıslo Qn je 2, neboli ˇze Qn bipartitn´ı graf. Staˇc´ı obarvit vrcholy, které maj´ı sud´ y poˇcet jedniˇcek barvou 0 a vrcholy, které maj´ı lich´ y poˇcet jedniˇcek barvou 1. Toto barven´ı je dobré, nebot’ hranou jsou spojeny pouze vrcholy, které se liˇs´ı v jediné souˇradnici a tedy takové, jejichˇz poˇcet jedniˇcek se liˇs´ı o jedna. Jin´ eˇ reˇ sen´ı: Matematickou indukc´ı vzhledem k parametru n ukáˇzeme, ˇze Qn je bipartitn´ı graf. Z´ aklad indukce: Nejmenˇs´ı netriviáln´ı hyperkrychle je Q1 = K1,1 , která je jistˇe bipartitn´ı. Indukˇcn´ı krok: Indukˇcn´ı pˇredpoklad: Pˇredpokládejme, ˇze Qn je bipartitn´ı graf. Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze také Qn+1 je bipartitn´ı graf. Graf Qn+1 se skládá ze dvou kopi´ı bipartitn´ıho grafu Qn . Kaˇzdou z nich obarv´ıme dvˇema barvami, jednu barvami 1, 2 druhou opaˇcnˇe barvami 2, 1. Qn+1 vznikne spojen´ım hranami mezi odpov´ıdaj´ıc´ımi vrcholy. Tyto dvojice vrchol˚ u maj´ı vˇzdy r˚ uznou barvu, proto je χ(Qn ) = 2. e) Pro které hodnoty n je graf Qn rovinn´ y? Graf Qn je bipartitn´ı (viz ˇcást d), proto neobsahuje ˇzádn´ y lich´ y cyklus ani troj´ uheln´ık a podle D˚ usledku 6.16. ve skriptech [UTG] obsahuje kaˇzd´ y rovinn´ y graf bez troj´ uheln´ık˚ u vrchol stupnˇe nejv´ yˇse 3. Protoˇze podle ˇcásti c) jsou v Qn vˇsechny vrcholy stupnˇe n, nejsou hyperkrychle Qn pro n ≥ 4 rovinné. Rovinná nakreslen´ı graf˚ u Q1 , Q2 a Q3 snadno najdete sami. 6.0.2. Najdˇete chybu v následuj´ıc´ıcm d˚ ukazu: Mˇejme takov´ y graf G, ˇze na jeho dobré vrcholové barven´ı je potˇreba alespoˇ n 5 barev. V grafu G mus´ı b´ yt vrcholy stupnˇe alespoˇ n 5, které jsou sousedn´ı s vrcholy

72

6

˚ BAREVNOST A KRESLENÍ GRAFU

ˇctyˇr ostatn´ıch barev, jinak bychom je mohli pˇrebarvit a pouˇz´ıt ménˇe neˇz 5 barev. Jiste najdeme takovou mnoˇzinu pˇeti vrchol˚ u r˚ uzné barvy, které tvoˇr´ı podgraf K5 . V roviném grafu podle Kuratowského vˇety neexistuje podgraf isomorfn´ı s K5 a proto (podle pˇredchoz´ıho zd˚ uvodnˇen´ı) na obarven´ı roviného grafu budou staˇcit vˇzdy ˇctyˇri barvy. Chyba je v pˇredpoklady, ˇze graf, na jehoˇz obarven´ı je potˇreba alespoˇ n 5 barev, mus´ı obsahovat podgraf K5 . Napˇr´ıklad graf W7 , do kterého pˇridáme druh´ y centráln´ı vrchol y a spoj´ıme ho hranami se vˇsemi vrcholy cyklu C7 i s centráln´ım vrcholem x kola W7 , neobsahuje K5 jako podgraf (ˇzádné tˇri vrcholy na obvodu kola nejsou navzájem sousedn´ı) a pˇritom je potˇreba na obarven´ı grafu alespoˇ n 5 barev: dvˇe na centr´ aln´ı vrcholy x a y a tˇri na vrcholy cyklu C7 . Na základˇe tohoto neplatného tvrzen´ı je pak jiˇz snadné chybnˇe dokázat“ vˇetu o ˇctyˇrech barvách. ”

6.1


6.1.1. Skladovac´ı problém: Ve skladu potravin máme r˚ uzné druhy zboˇz´ı. Podle hygienick´ ych norem se nesm´ı nˇekteré druhy potravin skladovat spolu v jedné m´ıstnosti. Naˇs´ım u ´kolem je zjistit, kolik nejménˇe m´ıstnost´ı je potˇreba ve skladu pronajmout, aby bylo zboˇz´ı uloˇzeno podle pˇredpis˚ u. Jak namodelujete skladovac´ı [ pˇrevedeme na barven´ı jednoduchého grafu ] problém pomoc´ı teorie graf˚ u. 6.1.2. Kolik nejménˇe barev je potˇreba na obarven´ı 15 biliárov´ ych koul´ı v troj´ uheln´ıkovém postaven´ı tak, aby ˇzádné dvˇe dot´ ykaj´ıc´ı se koule nebyly obarveny stejnou barvou?

Obrázek 6.1: Bili´ arové koule v troj´ uheln´ıkovém postaven´ı. [3]

6.2

Vrcholov´ e barven´ı graf˚ u

6.2.1. Jaké je chromatické ˇc´ıslo (barevnost) následuj´ıc´ıch graf˚ u?

Obrázek 6.2: Grafy W8 a W7 . a) Graf W8 , viz Obrázek 6.2?

[3]

b) Graf W7 , viz Obrázek 6.2?

[4]

Obrázek 6.3: Rovinn´ a nakreslen´ı pravidelného ˇctyˇrstˇenu, ˇsestistˇenu a osmistˇenu.

6.3 Rovinné kreslen´ı grafu

73

c) Grafu pravidelného ˇctyˇrstˇenu, viz Obrázek 6.3.

[4]

d) Grafu pravidelného ˇsestistˇenu, viz Obrázek 6.3.

[2]

e) Grafu pravidelného osmistˇenu, viz Obrázek 6.3.

[3]

6.2.2. Jaké je chromatické ˇc´ıslo (barevnost) grafu G na Obrázku 6.4?

Obrázek 6.4: Graf G. [3] 6.2.3. Jaké je chromatické ˇc´ıslo (barevnost) cirkulantu C10 (1, 2, 5) na Obrázku 6.5?

Obrázek 6.5: Cirkulant C10 (1, 2, 5). [4] 6.2.4. Kolik nejménˇe mus´ıme vynechat hran z grafu W8 (viz Obrázek 6.2), aby jeho chromatické ˇc´ıslo bylo 2? [4] 6.2.5. Kolika nejv´ yˇse barvami obarv´ıme kompletn´ı bipartitn´ı graf s alespoˇ n tˇremi vrcholy, jestliˇze mu [3] pˇridáme jednu hranu? 6.2.6. Kolika nejv´ yˇse barvami obarv´ıme kompletn´ı bipartitn´ı graf, jestliˇze mu pˇridáme dvˇe hrany? nebo 4 ] 6.2.7.♡ Kolika barvami lze obarvit strom.

[3

[ 1 pro T = K1 , 2 jinak ]

6.2.8. Kolik barev je potˇreba na obarven´ı (jaká je barevnost) Kn − e?

[n − 1]

6.2.9. Kolik barev je potˇreba na obarven´ı (jaká je barevnost) Cn s jednou pˇridanou hranou v1 vi , i ∈ [1, n]? [ 2 pro n, i sudé, 3 jinak ] 6.2.10. Mám dán graf G. Co m˚ uˇzeme ˇr´ıci o barvenosti grafu G, jestliˇze známe ∆(G)? [ χ(G) ≤ 1 + ∆(G) ]

6.3

Rovinn´ e kreslen´ı grafu

6.3.1. Pokud je to moˇzné, nakreslete graf G na Obrázku 6.6 tak, aby se hrany neprot´ınaly.

74

6


Obrázek 6.6: Graf G. [ G je rovinn´ y] 6.3.2. Pokud je to moˇzné, nakreslete graf G na Obrázku 6.7 tak, aby se hrany neprot´ınaly.

Obrázek 6.7: Graf G. [ G je rovinn´ y] 6.3.3. Ukaˇzte, ˇze po pˇridán´ı libovolné hrany do grafu na Obrázku 6.7 v´ ysledn´ y graf jiˇz nebude rovinn´ y. [ uˇzit´ım d˚ usledku Eulerova vzorce ] 6.3.4. Pokud je to moˇzné, nakreslete rovinn´ y graf pravidelného ˇctyˇrstˇenu. [ graf pravidelného ˇctyˇrstˇenu je rovinn´ y] 6.3.5. Pokud je to moˇzné, nakreslete rovinn´ y graf pravidelného ˇsestistˇenu (krychle). ˇsestistˇenu je rovinn´ y] 6.3.6. Pokud je to moˇzné, nakreslete rovinn´ y graf pravidelného osmistˇenu. je rovinn´ y] 6.3.7. Nakreslete rovinn´ y graf pravidelného dvanáctistˇenu. 6.3.8. Nakreslete rovinn´ y graf pravidelného dvacetistˇenu.

[ graf pravidelného

[ graf pravidelného osmistˇenu

[ graf pravidelného dvanáctistˇenu je rovinn´ y] [ graf pravidelného dvacetistˇenu je rovinn´ y]

6.3.9. Nakreslete rovinn´ y graf osmistˇenu a najdˇete odpov´ıdaj´ıc´ı duáln´ı graf. osmistˇenu je graf pravidelného ˇsestistˇenu (krychle) ]

[ duáln´ı graf pravidelného

6.3.10. Nakreslete rovinn´ y graf dvanáctistˇeny a najdˇete odpov´ıdaj´ıc´ı duáln´ı graf. pravidelného dvanáctistˇenu je graf pravidelného dvacetistˇenu ]

[ duáln´ı graf

6.3.11. Máme nˇejaké rovinné nakreslen´ı pravidelného osmistˇenu. Stˇeny pravidelného osmistˇenu jsou troj´ uheln´ıky. a) Kolik má oblast´ı? b) Kolik má hran? c) Kolik má vrchol˚ u?

[8] [ 12 ] [6]

d) Kolik dalˇs´ıch hran m˚ uˇzeme do roviného nakreslen´ı osmistˇenu pˇridat tak, aby graf z˚ ustal rovinn´ y? [ˇzádnou ] 6.3.12. Máme nˇejaké rovinné nakreslen´ı pravidelného ˇsestistˇenu (krychle). a) Kolik má oblast´ı? b) Kolik má hran? c) Kolik má vrchol˚ u? d) Kolik dalˇs´ıch hran m˚ uˇzeme do roviného nakreslen´ı krychle pˇridat tak, aby graf z˚ ustal rovinn´ y? hran ]

[6] [ 12 ] [8] [6

6.3.13. Máme nˇejaké rovinné nakreslen´ı pravidelného dvanáctistˇenu. Stˇeny pravidelného dvanáctistˇenu jsou pˇeti´ uheln´ıky.

6.3 Rovinné kreslen´ı grafu

75

a) Kolik má oblast´ı?

[ 12 ]

b) Kolik má hran?

[ 30 ]

c) Kolik má vrchol˚ u?

[ 20 ]

d) Kolik dalˇs´ıch hran m˚ uˇzeme do roviného nakreslen´ı dvanáctistˇenu pˇridat tak, aby graf z˚ ustal rovinn´ y? [ 24 hran ] 6.3.14. Máme nˇejaké rovinné nakreslen´ı pravidelného dvacetistˇenu. Stˇeny pravidelného dvacetistˇenu jsou troj´ uheln´ıky. a) Kolik má oblast´ı?

[ 12 ]

b) Kolik má hran?

[ 30 ]

c) Kolik má vrchol˚ u?

[ 12 ]

d) Kolik dalˇs´ıch hran m˚ uˇzeme do roviného nakreslen´ı dvacetistˇenu pˇridat tak, aby graf z˚ ustal rovinn´ y? [ˇzádnou ] 6.3.15. Kolik má souvisl´ y rovinn´ y graf stˇen, v´ıte-li ˇze má a) 20 vrchol˚ u a 25 hran?

[7]

b) 16 vrchol˚ u a 15 hran?

[1]

c) 25 vrchol˚ u a 22 hran?

[ takov´ y souvisl´ y graf neexistuje ]

d) 5 vrchol˚ u a 10 hran?

[ takov´ y rovinn´ y graf neexistuje ]

6.3.16. Nakreslete graf K4 tak, aby a) se hrany neprot´ınaly

[ graf K4 je grafem pravidelného ˇctyˇrstˇenu ]

b) a nav´ıc aby byly u ´seˇcky.

[ graf K4 je grafem pravidelného ˇctyˇrstˇenu ]

6.3.17. Nakreslete graf K5 − e tak, aby a) se hrany neprot´ınaly

[ K5 − e je rovinn´ y, nakreslen´ı existuje ]


[ K5 − e je rovinn´ y, nakreslen´ı existuje ]

6.3.18. Nakreslete graf K3,3 − e tak, aby a) se hrany neprot´ınaly

[ K3,3 − e je rovinn´ y, nakreslen´ı existuje ]


[ K3,3 − e je rovinn´ y, nakreslen´ı existuje ]

6.3.19. Najdˇete rovinn´ y graf, kter´ y má nejmenˇs´ı stupeˇ n vrchol˚ u 5.

[ graf pravidelného dvacetistˇenu ]

6.3.20.* Najdˇete nekoneˇcnˇe mnoho neisomorfn´ıch souvisl´ ych rovinn´ ych graf˚ u, které maj´ı nejmenˇs´ı stupeˇ n vrchol˚ u 5. [ˇsikovnˇe spoj´ıme v´ıce pravideln´ ych dvacetistˇen˚ u] 6.3.21. Do rovinného nakreslen´ı stromu pˇrid´ ame dvˇe hrany, které se navzájem nekˇr´ıˇz´ı a nekˇr´ıˇz´ı ani ˇz´ adnou p˚ uvodn´ı hranu stromu. Kolik bude m´ıt v´ ysledn´ y graf oblast´ı (stˇen)? [3]

76

6.4

6


Rozpozn´ an´ı rovinn´ ych graf˚ u

6.4.1.♡ Pro která n je graf Kn rovinn´ y? Zd˚ uvodnˇete.

[ pro 1 ≤ n ≤ 4, uˇzit´ım Kuratowského vˇety ]

6.4.2.♡ Pro která m, n je graf Km,n rovinn´ y? Zd˚ uvodnˇete.

[ pouze pro m < 3 nebo n < 3 ]

6.4.3. Existuje rovinné nakreslen´ı pro K6 − C3 ? Zd˚ uvodnˇete. [ ne, podle Kuratowského vˇety ] 6.4.4. Nakreslete nˇejak´ y rovinn´ y graf s 12 hranami a 8 stˇenami.

[ graf pravidelného osmistˇenu ]

6.4.5. Nakreslete nˇejak´ y rovinn´ y graf s 21 hranami a 16 stˇenami.


6.4.6.* Je graf G na Obrázku 6.8 rovinn´ y? Zd˚ uvodnˇete.

Obrázek 6.8: Graf G. [ ne, podle Kuratowského vˇety ]

6.5

Barven´ı map a rovinn´ ych graf˚ u

6.5.1. Kolik nejménˇe barev je tˇreba na dobré vrcholové barven´ı rovinného nakreslen´ı graf˚ u? a) K5 − e

[4]

b) K3,3 − e

[2]

6.5.2. Najdete rovinn´ y graf, na jehoˇz obarven´ı je potˇreba alespoˇ n 5 barev? Zd˚ uvodnˇete. neexistuje podle Vˇety o 4 barvách ] 6.5.3. Kolik barev je tˇreba na dobré obarven´ı hyperkrychle Qn ?

[ takov´ y graf [ 2 (je bipartitn´ı) ]

6.5.4. Najdete graf s nejvˇetˇs´ım stupnˇem 2 na jehoˇz dobré vrcholové barven´ı jsou potˇreba alespoˇ n 3 barvy? Zd˚ uvodnˇete. [ ano, takové grafy existuj´ı] 6.5.5. Najdˇete graf s nejvˇetˇs´ım stupnˇem r na jehoˇz dobré vrcholové barven´ı je potˇreba alespoˇ n r + 1 barev. [ Kr+1 ] 6.5.6. Najdete graf s nejvˇetˇs´ım stupnˇem 3 na jehoˇz dobré vrcholové barven´ı je potˇreba minimálnˇe 5 barev? Zd˚ uvodnˇete. [ takov´ y graf neexistuje ] 6.5.7. Je Petersen˚ uv graf rovinn´ y? Zd˚ uvodnˇete.

6.6

[ nen´ı rovinn´ y]


6.6.1. Podle pˇredpis˚ u se káva nesm´ı skladovat spoleˇcnˇe s r´ yˇz´ı, r´ yˇze s moukou, mouka s jablky a jablka se nesm´ı skladovat spoleˇcnˇe s tropick´ ym ovocem. Kolik nejménˇe m´ıstnost´ı je potˇreba pro uskladnˇen´ı vˇsech druh˚ u zboˇz´ı? [ staˇc´ı 2 m´ıstnosti ] 6.6.2. Máme za u ´kol pronajmout skladové prostory, ve kter´ ych se budou skladovat broskve, kukuˇrice, papriky, pˇsenice, rajˇcata, ˇsvestky a konzervy. Podle pˇredpis˚ u se obiloviny nesm´ı skladovat spoleˇcnˇe s ovocem, rajˇcata ani papriky se nesm´ı skladovat s pˇsenic´ı nebo kukuˇric´ı a broskve se nesm´ı skladovat s rajˇcaty. Kolik nejménˇe m´ıstnost´ı je tˇreba pronajmout pro uskladnˇen´ı vˇsech druh˚ u zboˇz´ı? [ 3 m´ıstnosti ] 6.6.3. Kolik hran staˇc´ı pˇridat do cyklu Cn , aby v´ ysledn´ y graf nebyl rovinn´ y? pro n = 5 5 hran a pro n < 5 nelze ] 6.6.4. Máme dány hyperkrychli Q4 (viz strana 64). Je Q4 rovinn´ y graf?

[ pro n ≥ 6 3 hrany, [ nen´ı]

6.6 Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı 6.6.5. Nakreslete graf K5 na torus. 6.6.6. Nakreslete graf K6 na torus. 6.6.7. Nakreslete graf K7 na torus. 6.6.8. Nakreslete graf K3,3 na torus. 6.6.9. Nakreslete graf K4,4 na torus.

77

78

7

7

TOKY V SÍTÍCH

Toky v s´ıt´ıch

Pojem s´ıtˇe a definice toku v s´ıti jsou jsou popsány ve skriptech [UTG].

7.1

Definice s´ıtˇ e

7.1.1. Pro které vrcholy s´ıtˇe neplat´ı zákony kontinuity?

[ zdroj a stok ]

7.1.2. Jak v s´ıti namodelovat neorientovanou hranu?

[ dvojic´ı nesouhlasnˇe orientovan´ ych hran ]

7.1.3. M˚ uˇze pro (jedin´ y) zdroj platit zákon kontinuity?

[ ano ]

7.1.4. M˚ uˇze v s´ıti nˇeco pˇritékat do zdroje?

[ ano ]

7.1.5. M˚ uˇze b´ yt tok na hranách vycházej´ıc´ı ze zdroje vˇetˇs´ı, neˇz tok na hranách pˇritékaj´ıc´ıch do stoku? [ ano ]

7.2

Hled´ an´ı maxim´ aln´ıho toku

7.2.1. Máme dánu s´ıt’ S = (G, z, s, w) na Obrázku 7.1. 2

v3 3 z

v4 6

4 5

5

s

1 1

v1

2

v2

2

Obrázek 7.1: S´ıt’ (G, z, s, w). a) Jaká je hodnota nejvˇetˇs´ıho toku v s´ıti S? Najdˇete jej!

[6]

b) Jaká je kapacita minimáln´ıho ˇrezu v s´ıti S? Najdˇete minimáln´ı ˇrez.

[ 6, {v3 v4 , v1 v4 , v2 v4 , v2 z} ] [ U = {s, v1 , v2 , v3 } ]

c) Jak vypadá mnoˇzina U po skonˇcen´ı algoritmu? 7.2.2. Máme dánu s´ıt’ S = (G, z, s, w) na Obrázku 7.2. 2

v3 3 z

v4 2

2 5

5

s

1 5

v1

3

v2

7

Obrázek 7.2: S´ıt’ (G, z, s, w). a) Jaká je hodnota nejvˇetˇs´ıho toku v s´ıti S? Najdˇete jej!

[4]


[ U = {s, v1 , v3 , v4 } ]

c) Jak vypadá mnoˇzina U po skonˇcen´ı algoritmu? 7.2.3. Máme dánu s´ıt’ S = (G, z, s, w) na Obrázku 7.3. 2

v3 3 z 5

v4 2

5 5

s

1 2

v1

3

[ 4, {v3 v2 , v4 z} ]

v2

7

7.2 Hledán´ı maximáln´ıho toku

79 Obrázek 7.3: S´ıt’ (G, z, s, w).

a) Jaká je hodnota nejvˇetˇs´ıho toku v s´ıti S? Najdˇete jej!

[7]


[ 7, {v3 v2 , v4 z} ] [ U = {s, v1 , v3 , v4 } ]

c) Jak vypadá mnoˇzina U po skonˇcen´ı algoritmu?


v5 1

1

1 1

z

1

v3

v4

1

v1

1

1

1

1

1

v6

1

1

s

1

v2

Obrázek 7.4: S´ıt’ (G, z, s, w).

a) Jaká je hodnota nejvˇetˇs´ıho toku v s´ıti S? Najdˇete jej!

[3]


[ 3, {sv1 , sv3 , sv5 } ] [ U = {s} ]

c) Jak vypadá mnoˇzina U po skonˇcen´ı algoritmu?


v5 3

5 3

z

5

v1

2

1

1 2

v3 5

v6

v4 1

1 3

3

s

7

v2

Obrázek 7.5: S´ıt’ (G, z, s, w).

a) Jaká je hodnota nejvˇetˇs´ıho toku v s´ıti S? Najdˇete jej! b) Jaká je kapacita minimáln´ıho ˇrezu v s´ıti S? Najdˇete minimáln´ı ˇrez. c) Jak vypadá mnoˇzina U po skonˇcen´ı algoritmu?

[6] [ 6, {v1 v2 , v5 v4 , v6 z} ] [ U = {s, v1 , v3 , v5 , v6 } ]

80

7.3

7

TOKY V SÍTÍCH

Zobecnˇ en´ı s´ıt´ı a dalˇ s´ı aplikace

7.3.1. Najdˇete nejvˇetˇs´ı párován´ı v následuj´ıc´ım grafu. Zd˚ uvodnˇete, proˇc neexistuje vˇetˇs´ı párován´ı. v5

v10

v4

v9

v3

v8

v2

v7

v1

v6

Obrázek 7.6: Bipartitn´ı graf G. [ v2 v8 , v3 v5 , v4 v6 , v5 v9 ] 7.3.2. Existuje systém r˚ uzn´ ych reprezentant˚ u pro následuj´ıc´ı systém mnoˇzin? Pokud ano, najdˇete ho, pokud ne, dokaˇzte to. M1 = {1, 2, 4}, M2 = {1, 3, 7}, M3 = {1, 5, 6}, M4 = {2, 6, 7}, M5 = {2, 3, 5}, M6 = {3, 4, 6}, M7 = {4, 5, 7} [ systém reprezentant˚ u x1 = 1, x2 = 7, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 2, x6 = 3, x7 = 4 ] 7.3.3. Existuje systém r˚ uzn´ ych reprezentant˚ u pro následuj´ıc´ı systém mnoˇzin? Pokud ano, najdˇete ho, pokud ne, dokaˇzte to. M1 = {1, 4, 5}, M2 = {1, 4, 6}, M3 = {1, 5, 6}, M4 = {2, 3, 5}, M5 = {4, 5, 6}, M6 = {4, 5, 7}, M7 = {4, 6, 7} [ systém reprezentant˚ u: |M1 ∪ M2 ∪ M3 ∪ M5 ∪ M6 ∪ M7 | = |{1, 4, 5, 6, 7}| = 5 ̸≥ 6 ]

7.4


7.4.1. Najdˇete pˇr´ıklad s´ıtˇe, kde kapacity hran jsou celoˇc´ıselné a maximáln´ı tok nen´ı celoˇc´ıseln´ y. ’ s´ıt neexistuje ]

[ takov´ a

Reference ˇ [ZDM] M. Kubesa, Základy diskrétn´ı matematiky, VSB–TU Ostrava, skriptum (2012). ´ ˇ [UTG] P. Kováˇr, Uvod do teorie graf˚ u, VSB–TU Ostrava, skriptum (2012). [H]

ˇ (2005). P. Hlinˇen´ y, Diskrétn´ı matematika, skriptum, VSB

[TG]

ˇ P. Kováˇr, Teorie graf˚ u, VSB–TU Ostrava, skriptum (2011).

[MN]

J. Matouˇsek, J. Neˇsetˇril, Kapitoly z diskrétn´ı matematiky, Univerzita Karlova, Praha (2003),

[DMA] K.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications – 6th ed., McGraw-Hill, New York (2007). [W]

D. B. West, Introduction to graph theory – 2nd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ, (2001).

81

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA a ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ

Recommend Documents