Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden © Wisnet-HBO update maart 2011
Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het overzicht van standaardafgeleiden en rekenregels uit en neem het erbij als je de volgende oefeningen doet. Ga anders nog naar de les Wat is Differentiëren en de les Rekenregels en Standaardafgeleiden.
Neem pen en papier om de training te doen LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. GA steeds op een rode invoerregel staan en druk op Enter. TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet (zie paragraaf Maplet Instructie)
Oefeningen met alle regels en standaardafgeleiden Neem pen en papier om de oefeningen te doen. Je kunt ook de onderstaande sommen in het Maplet invoeren (zie voor het Maplet bij Maplet Openen). Het is een instructie om met de rekenregels te leren werken . Je krijgt dan stap voor stap begeleiding welke rekenregels je moet gebruiken.
Werken met het Maplet "instructie om met de rekenregels te leren werken" Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer te gaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.
LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. TIP: Gebruik dus voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
oefening 1 (machtsfuncties en kettingregel) Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is. Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.
1 Differentiëer naar x. antwoord
met het Maplet
2 Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
3 Differentiëer naar x.
aanwijzing Stel
.
antwoord
met het Maplet
4 Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzing Bij deze functie moet je de kettingregel gebruiken. Stel daarvoor . De afgeleide van u is u ' = 2. met het Maplet
5 Differentiëer naar x.
antwoord aanwijzing Let op dat a een constante is. De afgeleide van een constante is 0. met het Maplet
6 Differentiëer naar x.
aanwijzing Let op dat a constant is. Natuurlijk is
dan ook een constante.
antwoord
met het Maplet
7 Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzing Let op dat en werk dan weer met de machtregel. Kijk ook eventueel nog bij de les met wortelvormen en de rekenregels voor machten (bij Breuken). met het Maplet
8 Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
9 Differentiëer naar x.
antwoord
met het Maplet
10 Differentiëer naar x.
aanwijzing 1 Stel . De afgeleide van u is u ' = 2. aanwijzing 2 de afgeleide van
kun je met de machtregel bepalen.
=
antwoord 1
met het Maplet
11 Differentiëer naar x.
Aanwijzing: Schrijf de functie als
en werk dan met de machtregel.
antwoord
12 Differentiëer naar x.
Aanwijzing: Schrijf de functie als
en werk dan met de machtregel.
antwoord
oefening 2 (quotiëntregel) 1 met wortel Differentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzing Kijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel. Uitwerking Met de quotiëntregel:
f' = Teller en noemer met
vermenigvuldigen: =
In de teller de haakjes wegwerken: = Herleiden:
Eventueel kan het minteken voor de breuk gehaald worden:
2 met wortel Differentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzing Kijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel. Uitwerking Met de quotiëntregel:
f' = Teller en noemer met =
vermenigvuldigen:
In de teller de haakjes wegwerken: = Herleiden:
Er kan boven en onder nog gedeeld worden door
Eventueel kan er nog
:
buiten haakjes gehaald worden.
3 met sinus en cosinus Differentiëer naar x en herleid tot één breuk
antwoord
aanwijzing Kijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel. Uitwerking Met de quotiëntregel krijg je in één keer één breuk: =
f' =
Verder alles zo laten staan, het kan niet verder vereenvoudigd worden.
oefening 3 (sinus en cosinus en kettingregel) Neem pen en papier om de oefeningen te doen. Je hebt de afgeleiden van de standaardfuncties nodig. Kijk in de tabel. Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is. Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer te gaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.
LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.
1 Differentiëer naar x.
aanwijzing Gebruik de som/verschil-regel antwoord
2 Differentiëer naar x.
aanwijzing Gebruik de somregel en daarna de kettingregel (bij de sinus). antwoord
3 Differentiëer naar x.
aanwijzing Gebruik de kettingregel waarbij je kunt stellen De functie is dan . De afgeleide van u is u ' = antwoord
.
.
aanwijzing Vergeet niet de kettingregel toe te passen!
4 Differentiëer naar x.
aanwijzing Vergeet niet de kettingregel toe te passen. Stel met a als constante. antwoord
5 Differentiëer naar x.
aanwijzing Hierbij moet je de uitgebreide kettingregel toepassen. stel stel en stel met
en
.
De afgeleide van f naar x kun je dan formuleren als:
Zie ook het voorbeeld bij de uitleg van de kettingregel. antwoord
6 Differentiëer naar x.
antwoord
7 Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
8
Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
9 Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
10 Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)
antwoord
11 Differentiëer naar x.
aanwijzing Zie het verschil met opgave 10!! antwoord
12 Differentiëer naar a.
aanwijzing Zie het verschil met som 11!! Er moet nu gedifferentiëerd worden naar a.!! antwoord
oefening 4 (met logaritme en exponentiële functie en
kettingregel) Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is. Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
1 Differentiëer naar x.
antwoord
2 Differentiëer naar x.
antwoord
3 Differentiëer naar x.
aanwijzing Gebruik de productregel. antwoord
4 Differentiëer naar x.
aanwijzing Gebruik de kettingregel voor beide termen! antwoord
5 Differentiëer naar x.
aanwijzing Vergeet niet de kettingregel te gebruiken. antwoord
6 Differentiëer naar x.
antwoord 1
aanwijzing Kijk nog eens naar de rekenregels van logaritmen (bij Standaardfuncties). Daar zul je zien dat . Als je dit differentiëert, zul je ontdekken dat wegvalt want dat is een constante.
7 Differentiëer naar x.
antwoord
aanwijzing Let op dat
een exponentiële functie is en dat
een machtsfunctie is.
oefening 5 (met momentenlijn en dwarskrachtenlijn) In de volgende opgaven is steeds x de variabele, is de dwarskrachtenlijn en is de momentenlijn. (Zie ook Sterkteleerboek en een les over Momentenlijn en Dwarskrachtenlijn .) De volgende betrekkingen moeten gelden:
De letter q staat voor de belasting op de balk en verder gaat het steeds over een balk met lengte L waarbij de variabele x steeds van links naar rechts genomen wordt. De letter x is dus de variabele. Alle andere letters zijn systeemconstanten.
1 Gegeven is de momentenlijn op het traject dwarskrachtenlijn voor dit traject.
(Ga na dat op
en
het moment
. Bepaal de
gelijk is aan 0.)
antwoord
eventueel herleiden
2 Gegeven is de dwarskrachtenlijn
Bepaal de belasting
.
antwoord
3 Gegeven is de belasting die niet constant is! op het traject Naarmate x toeneemt, neemt ook de belasting toe (lineair met x).
Bepaal de dwarskrachtenlijn
als in het beginpunt
.
er een dwarskracht is
van
.
antwoord Probeer een functie te vinden waarvoor geldt dat de afeleide van de dwarskrachtenlijn de belasting is.
Dit is de voorwaarde. Er geldt namelij dat de toename van de dwarskracht gelijk is aan de negatieve waarde van de belasting op iedere plaats.Bovendien moet de randvoorwaarde (rv) gelden.
Gemakkelijk is te berekenen wat de dwarskrachtenlijn
dus is geweest.
Ga door differentiëren na dat hieruit weer de belasting tevoorschijn komt (met een minteken). De afgeleide van een constante is immers gelijk aan 0.In de volgende regel vindt er nog een vereenvoudiging plaats, maar beslist noodzakelijk is dat niet.
4 Bepaal de functie van de Dwarskrachtenlijn als gegeven is dat op twee verschillende stukken de Momentenlijn bekend is. De letter L staat voor de lengte van de balk en de letter P staat voor de puntlast in het midden van de balk.
aanwijzing Op de twee trajecten (links van het midden voor midden voor
) is een verschillend functievoorschrift voor
Behandel deze twee dus apart! antwoord
en rechts van het .
oefening 6 (met standaardfuncties, kettingregel, productregel en quotiëntregel) LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met
1 Differentiëer de volgende functie naar t. aanwijzing Gebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. antwoord
2 Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzing Gebruik de productregel en werk goed met de haakjes en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. De afgeleide van een constante is gelijk aan 0. antwoord
Eventueel haakjes wegwerken (niet aan te raden):
3 differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzing Gebruik de quotiëntregel en werk goed met haakjes.
antwoord
4 Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzing De quotiëntregel hoef je niet te gebruiken, want je kunt de functie ook schrijven als
en daarin is
een constante.
antwoord
5 Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzing Gebruik de machtregel. Schrijf eerst alle termen in de vorm antwoord
6 Differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzing Gebruik de machtregel en de kettingregel. Schrijf de functie als antwoord
.
.
Eventueel kan het minteken voor de breuk nog ín de noemer van de breuk verwerkt worden.
7 Differentiëer de volgende functie naar x. aanwijzing Gebruik de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. antwoord
8 differentiëer de volgende functie naar t.
aanwijzing Gebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. Als je de functie (met de machtregels) schrijft als
=
dan zie je het antwoord sneller. antwoord
of met de rekenregels van machten korter geschreven:
9 Differentiëer de volgende functie naar .
aanwijzing Gebruik de kettingregel en de afgeleide van 1 is gelijk aa 0. Verder is een constante. antwoord
10 Differentiëer de volgende functie V naar r.
aanwijzing Misschien zie je het sneller als je de haakjes wegwerkt.
antwoord
eventueel één breuk van maken:
11 Differentiëer de volgende functie y naar x. aanwijzing Gebruik de productregel. antwoord
eventueel ontbinden:
12 Differentiëer de volgende functie naar x.
aanwijzing Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel en de afgeleide van aan 0. Werk goed met haakjes! antwoord
13 Differentiëer de volgende functie naar x.
is gelijk
aanwijzing Gebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. antwoord
14 Differentiëer de functie naar x
uitwerking Met de quotiëntregel:
Teller en noemer met
vermenigvuldigen
Teller verder uitwerken
Of het minteken voor de breuk:
met de computer
15 Differentiëer de functie naar x
uitwerking Eerst teller en noemer delen door 2
Teller en noemer keer
Teller herleiden
Of het minteken voor de breuk halen:
met de computer
16 Differentiëer de functie naar x
uitwerking
Teller en noemer met
vermenigvuldigen
Teller herleiden
Of het minteken voor de breuk geschreven
met de computer
