Desain Tersarang dan Split Plot A. Desain Tersarang Dua Tahap Di dalam suatu eksperimen multifaktor, taraf-taraf suatu faktor (misal faktor B) bersifat sebangun tapi tidak serupa untuk taraf yang berbeda dari faktor yang lainnya (misalnya faktor A). Susunan seperti itu disebut dengan desain tersarang atau berhierarki, dengan taraf faktor B bersarang dibawah faktor A. Sebagai contoh, pertimbangkan bahwa suatu perusahaan membeli bahan bakunya dari tiga pemasok yang berbeda. Perusahaan berkeinginan untuk menentukan jika kemurnian bahan baku dari masing-masing penyalur adalah sama. Ada empat batch dari bahan baku yang tersedia dari masing-masing penyalur, dan tiga penentuan kemurnian diambil dari masing-masing batch. Situasi seperti ini dilukiskan si dalam gambar berikut. Pemasok
Batch
1
1
2
3
2
1
4
{
2
3
4
{
Pemasok 3
Batch 1
2
3
4
Pengamatan {
Desain ini merupakan desain tersarang dua tahap, dengan batch-batch bersarang pada para penyalur. Tentu saja akan muncul pertanyaan mengapa desain ini bukan suatu eksperimen percobaan faktorial. Jika desain ini dipandang sebaia desain, haruslah batch 1 akan selalu mengacu pada batch yang sama, batch 2 akan selalu mengacu pada batch yang sama, dan seterusnya. Hal ini dijelaskan bukan kasus yang 1
demikian karena batch-batch dari masing-masing penyalur bersifat unik untuk penyalur tertentu. Yaitu batch 1 dari penyalur 1 tidak memiliki koneksi dengan batch 1 dar penyalur lainnya, batch 2 dari penyalur 1 tidak memiliki koneksi dengan batch 2dari penyalur lainnya, dan sebagainnya. Untuk menekankan bahwa batch-batch dari masing-masing penyalur bersifat batch-batch berbeda, kita boleh memberi nomor batch seperti 1, 2, 3, dan 4 dari penyalur 1; 5, 6, 7, dan 8 dari penyalur 2; dan 9, 10, 11, dan 12 dari penyalur 3, seperti yang ditunjuk di dalam gambar berikut,
Batch
1
3
2
1
Supplier
3
2
7
6
5
4
8
9
10
11
12
0
1. Analisis Variansi Model statistik untuk desain tersarang dua tahap adalah : { Dalam hal ini terdapat a taraf faktor A, b taraf faktor B yang tersarang pada masing-masing taraf A, dan n ulangan. Indeks
menunjukkan bahwa taraf ke-j dari
faktor B tersarang pada taraf ke-i faktor A. Tentu saja ulangan tersarang pada kombinasi faktor A dan B; diberi indeks
. Desain ini dissebut desain tersarang
seimbang, karena terdapat banyaknnya taraf yang sama dari B dalam masing-masing taraf A dan banyaknya ulangan juga sama. Tampak bahwa tidak terdapat interaksi antara A dan B. Untuk keperluan analisis variansi seperti biasa dilakukan dengan mempartisi jumlah kuadrat total terkoreksi. Jumlah kuadrat total adalah ∑ ∑ ∑(
̅)
∑ ∑ ∑[ ̅
̅
(̅̅̅̅
̅)
(
̅̅̅̅)]
Jika bagian kanan diselesaikan akan menghasilkan : ∑ ∑ ∑(
̅)
∑ ̅
̅
∑ ∑(̅̅̅̅
2
̅)
∑ ∑ ∑(
̅̅̅̅)
dengan aturan derajat kebebasan jumlah kuadrat akan diperoleh : ∑
∑∑
∑
∑∑∑
∑[ ∑
]
∑∑
∑∑∑
Hasil perhitungan jumlah kuadrat diringkas ke dalam tabel analisis variansi berikut : Tabel Anava untuk Desain Tersarang Dua Tahap
Sumber Variansi
JK
Db
KT
A
JKA
a-1
KTA=JKA/dbA
B dalam A
JKB(A)
1(b-1)
KTB(A)/dbB(A)
Kekeliruan
JKE
ab(n-1)
KTE/dbE
Total
JKT
abn-1
Untuk menentukan statistik uji dapat berpedoman pada E(KT) yang terdapat pada Tabel berikut :
Tabel E(KT) Desain Tersarang untuk Model Tetap, Acak, dan campuran
E(KT)
A Tetap, B Tetap ∑
E(KTA) E(KTB(A))
A Tetap, B Acak
∑
A Acak, B Acak ∑
∑
E(KTE)
3
Oleh karena itu, pada model tetap hipotesis diuji oleh
diuji oleh
Untuk model A tetap, B acak
diuji oleh statistik dan
, dan model acak
diuji oleh statistik
.
diuji oleh
.
diuji oleh
,
.
Contoh 1 : Pertimbangkan bahwa sebuah perusahaan membeli bahan baku di dalam batch-batch dari tiga penyalur yang berbeda. Kemurnian dari bahan baku ini sangan bervariasi, yang menyebabkan permasalahan di dalam memprodeksi prodek. Kita ingin menentukan jika variabilitas di dalam kemurnian adalah bisa dihubungkan dengan perbedaan-perbedaan antara para penyalur/ pemasok. Empat batch dari bahan baku terpilih secara acak masing-masing penyalur, dan tiga kemurnian diukur di masingmasing kelompok. Ini merupakan suatu rancangan tersarang dua tahap. Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut : ∑∑∑
∑
∑∑
∑
∑∑∑
∑[ ∑
]
∑∑
Tabel Data Kemurnian yang Dikode untuk contoh di atas adalah ( Pemasok 1
Batch
1
2
3
Pemasok 3
Pemasok 2
4
1
4
2
3
4
1
2
3
4
Total Batch
1
-2
-2
1
1
0
-1
0
2
-2
1
-1
-3
0
4
-2
4
0
3
4
0
-1
0
-4
1
0
-3
2
-2
2
0
2
2
0
-9
-1
5
-4
6
-3
5
6
0
2
3
2
1
6
Total -5
4
14
Pemasok
Dalam hal ini pemasok bersifat tetap dan batch-batch bersifat acak, sehingga ekspektasi kuadrat tengah diperoleh dari kolom bagian tengah Tabel Anava untuk desain tersarang dua tahap, disajikan kembali di Tabel analisis variansi untuk contoh 1. Dari pengujian berdasarkan nilai-nilai P, kita akan menyimpulkan bahwa tidak ada pengaruh yang penting pada kemurnian karena para pemasok, tetapi kemurnian batchbatch dari bahan baku dari penyalur yang sama berbeda secara nyata. Tabel Analisis Variansi untuk Contoh 1 Sumber JK
dh
KT
15.06
2
7.53
69.92
9
7.77
Kekeliruan
63.33
24
2.64
Total
148.31
35
EKT
Variansi Pemasok
∑
0.97
0.42
Batch dalam 2.94
0.02
Pemasok
2. Analsis Sisaan Analisis sisaan dibangun dalam rangka memeriksa keberlakuan ansumsi. Untuk desain tersarang dua tahap, kekeliruan adalah : ̂ 5
̅̅̅
B. Desain Terserang Tiga Tahap Dalam hal ini terdapat tiga buah factor A, B, dan C dimana B terserang di dalam A dan C terserang di dalam B, digambarkan dalam skema pengamatan berikut. A
1
B
1 1
C
1
2
1
1
3
2 1
2
{
1
2
}
3
2 2
1
2
1
{
}
Model untuk desain terserang tiga tahap adalah:
{
Sumber Variasi
JK
∑ ̅ A ∑ ∑( ̅
̅ )
A (dalam A) ∑ ∑ ∑( ̅ C (dalam B) Kekeliruan
}
Db
̅
̅ ) ∑ ∑ ∑ ∑( ̅ ̅
)
6
2
KT
∑ ∑ ∑ ∑( ̅ Total ̅ )
Statistik pengujian sangat bergantung pada jenis efeknya, EKT untuk A tetap, B tetap dan C acak adalah : Tabel Ekspektasi Kuadrat Tengah Untuk Desain Tersarang Tiga Tahap dengan A Tetap, B Tetap, dan C Acak
Faktor
F
F
R
R
a
b
c
l
i
j
k
n
0
b
c
n
1
0
c
n
1
1
1
n
1
1
1
1
EKT
∑
∑∑
C. Desain Terserang Faktorial Dalam hal ini desain faktorial dan terserang terjadi secara bersamaan, misalkan terdapat tiga buah faktor A, B, dan C. Faktor A dan B membentuk suatu desain faktorial,kemudian faktor C terserang di dalam sel A dan B. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut: Contoh 2 : Seorang insinyur sedang mempelajari penyisipan komponen – komponen elektronik di papan sirkuit untuk memperbaiki kecepatan dari operasi perakitan. Ia sudah merancang tiga peralatan perakitan dan dua tata letak tempat kerja. Operator diwajibkan untuk melaksanakan perakitan, dan diputuskan untuk secara acak memilih empat operator untuk masing – masing kombinasi tata letak dan peralatan. Hal ini 7
dilakukan, karena tempat kerja berada di lokasi yang berbeda, sehingga sulit untuk menggunakan empat operator yang sama pada masing – masing tata letak. Oleh karena itu, empat operator yang dipilih untuk tata letak satu bersifat individu yang berbeda dari empat oprator yang dipilih untuk tata letak 2. Karena hanya ada tiga peralatan dan dua tata letak, dan operator dipilih secara acak, maka akan terbentuk suatu model campuran. Waktu perakitan diukur dalam hitungan detik. Di dalam eksperimen ini, operator erserang di dalam tingkat tata letak, sedangkan peralatan dan tata letak diatur di suatu yang faktorial. Jadi; dengan demikian desain ini menggabungkan faktorial dan yang terserang dengan model statistik.
{
}
Tabel Data Hasil Eksperimen untuk Desain Faktorial Tersarang
Tata Letak 1 Operator
Tata Letak 2
1
2
3
4
1
2
3
4
22
23
28
25
26
27
28
24
Peralatan 1
404 24
24
29
23
28
25
25
23
30
29
30
27
29
30
24
28
27
28
32
25
28
27
23
30
25
24
27
26
27
26
24
28
Peralatan 2
447
Peralatan 3
401 21
Total operator
Total Tt, tk,
22
25
23
25
27
27
149 150 171
149
163 159 151
160
619
24
633
Sedangkan EKT nya dapat diperoleh sebagai berikut :
8
Tabel EKT untuk contoh 2
Faktor
F
F
R
R
3
2
4
2
i
j
k
l
0
2
4
2
∑
3
0
4
2
∑
3
1
1
2
0
0
4
2
0
1
1
2
1
1
1
1
EKT
∑∑
Tampak bahwa peralatan perakitan bersifat penting dan operator di dalam tata letak juga berbeda secara nyata. Selanjutnya terdapat suatu interaksi antara perlatan dan operator di dalam tata letak, menunjukkan bahwa dari peralatan yang berbeda tidaklah sama untuk semua operator. Tata letak tempat kerja kelihatannya memiliki pengaruh yang kecil pada perakitan waktu. Oleh karena itu, untuk memperkecil waktu perakitan, kita perlu berkonsentrasi pada peralatan jenis 1 dan 3. Tabel Anova untuk Contoh 2 Sumber Variansi
JK
db
KT
Peralatan (A)
82.80
2
41.40
7.54
0.01
Tata Letak (B)
4.08
1
4.09
0.34
0.58
71.91`
6
11.99
5.15
<0.01
Operator (dalam Tata Letak), C(B)
9
AB
19.04
2
9.52
1.73
0.22
AC(B)
65.84
12
5.49
2.36
0.04
Kekeliruan
56.00
24
2.33
Total
299.67
47
D. Desain Split Plot Dalam beberapa eksperimen factorial multifactor dimungkinkan kita bisa tidak mampu mengacak secara lengkap dari urutan pengerjaan. Hal ini menghasilkan suatu desain faktorial umum yang disebut split-plot (petak terbagi). Sebagai suatu contoh, perhatikan pada suatu pabrik pembuat kertas yang tertarik akan tiga metode pembuatan bubur kayu yang berbada dan empat temperature pemasukan yang berbeda untuk bubur kayu dan diinginkan untuk mempelajari pengaruh dan factor ini terhadap kekuatan tarik kertas. Masing-masing ulangan dari suatu percobaan factorial memerlukan 12 pengamatan, dan peneliti memutuskan untuk menjalankan tiga ulangan. Di dalam pelaksanaan eksperimen, peneliti hanya mampu membuat 12 pengerjaan per hari, sehingga peneliti memutuskan untuk menjalankan ssatu ulangan pada satu hari, sehingga diperlukan waktu tiga hari dan mempertimbangkan hari atau ulangan sebagai blok-blok. Dalam satu hari peneliti melakukan eksperimen sebagai berikut. Suatu batch dari bubur kayu dihasilkaqn oleh salah satu dari tiga metode yang ditelaah. Lalu batch ini dibagi menjadi empat sampel, dan masing-masing contoh dimasukkan dalam satu dari empat temperature yang dipilih. Lalu suatu batch yang kedua dari bubur kayu dibuat dengan metode yang lain dari ketiga metode yang ada. Batch kedua ini dibagi juga menjadi empat sampel yang diuji di empat temperature. Proses itu kemudian diulangi menggunakan suatu batch dari bubur kayu yang dihasilkan oleh metode yang ketiga. Data itu ditunjukkan di Tabel data eksperimen tersarang factorial. Pada awalnya, memungkinkan kita untuk mengganggap hal ini sebagai percobaan factorial dengan tiga taraf metode persiapan (factor A) dan empat tingkat temperature (per B) dalam suatu blok acak. Jika kasus diterapkan, percobaan di dalam 10
masing-masing ulangan atau blok harus diacak dengan lengkap. Yaitu, di dalam suatu blok, kita perlu secara acak memilih suatu kombinasi perlakuan (suatu metode persiapan dan suatu temperature) dan memperoleh suatu pengamatan, lalu kita perlu secara acak memilih kombinasiperawatan lain dan memperoleh suatu pengamatan yang kedua, dan seterusnya, sampai 12 pengamatan di dalam blok yang telah diambil. Namun demikian, peneliti tidak mengumpulkan data tidak dengan cara seperti ini. Ia menyusun suatu batch dari bubur kayu dan pengamatan diperoleh untuk semua empat temperature. Oleh karena alas an ekonomi tentang penyiapan batch-batch dan ukuran dari batch-batch, cara ini adalah satu-satunya cara yang mungkin untuk dijalankan dalam eksperimen ini. Suatu percobaan faktorian dengan pengacakan lengkap akan memerlukan 36 batch dari bubur kayu, adalah hal yang tak realistis. Desain split-plot hanya memerlukan tiga batch dari bubur kayu per blok (ulangan), jadi semuanya ada 9 batch (tiga metode dalam tiga blok). Jelas bahwa desain split-plot menimbulkan eksperimen yang bersifet efisiensi. Desain yang digunakan di dalam contoh ini adalah desain split-plot. Masingmasing ulangan atau blok dalam desain split-plot dibagi ke dalam tiga bagian yang disebut whole plots, dan metode persiapan disebut whole plot atau perlakuan utama. Masing-masing whole-plot dibagi ke dalam empat bagian yang disebut subplots (atau split-plots) dan satu temperature dikenakan kepada masing-masing. Tempperatur disebut perlakuan subplot perawatan petak kecil. Tabel Data Eksperimen Tersarang Faktorial
Replikasi (Blok) Replikasi (Blok) 2 1
Replikasi (Blok) 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
200
30
34
29
28
31
31
31
35
32
225
35
41
26
32
36
30
37
40
34
250
37
38
33
40
42
32
41
39
39
275
36
42
36
41
40
40
40
44
45
Metode Pembuatan Bubur
Suhu (*F)
Model statistic untuk desain splot-plot adalah :
11
ijk
i 1, 2,..., r i j ( )ij ( ) jk ijk j 1, 2,..., a k 1, 2,..., b
Dimana τi, βj, dan (τβ)ij menjelaskan whole plot dan masing-masing berkaitan dengan blok (ulangan), perlakuan utama (Faktor A) dan kekeliruan whole plot (ulangan x A); dan γk , (τγ)ik , (βγ)jk , dan (τβγ)ijk menjelaskan subplot (Faktor B), anteraksi ulangan (Blok) x B dan AB, dan kekeliruan subplot (Blok x AB). EKT untuk dengan ulangan atau blok acak, perlakuan utama dan perlakuan subplot tetap adalah Tabel EKT untuk Desain Split-Plot
r
a
b
1
R
F
F
R
Factor
i
j
k
h
τi
1
a
b
1
βj
r
0
b
1
σ + abσ
(τβ)ij
1
0
b
1
σ2 + abσ2τβ
EKT
σ2 + abσ2τ
rb j
2
Whole Plot
2
2
τβ
+
a 1
r j k 2
Subplot
γk
r
a
0
1
σ + aσ
(τγ)ik
1
a
0
1
σ2 + aσ2τγ
(βγ)jk
r
0
0
1
σ2 + aσ2τβγ
(τβγ)ijk
1
0
0
1
σ2 + aσ2τβγ
∈ijk
1
1
1
1
σ2 (not estimable)
Sedangkan analisis variansinya adalah :
12
2
2
τγ
(a 1)(b 1)
Tabel Analisis Variansi untuk Desain Split-Plot
Source of Variation
Sum of degrees of Mean squares freedom square
Replicates (or bloks)
77.55
2
38.78
Preparation method (A)
128.39
2
64.20
Whole plot error
36.28
4
9.07
Temperature (B)
434.08
3
144.69
Replicates (or blok) x B
20.67
6
3.45
AB
75.17
6
12.53
12
4.24
F0
Value
7.08
0.05
41.94
<0.01
2.96
0.05
replicates (or bloks) x A
Subplot error (replicates (or blocks) x 50.83 AB 822.97 Total
35
Pada Analisis Variansi untuk Desain Split-Plot tampak bahwa kekeliruan subplot (4.24) lebih kecil daripada whole plot (9.07). ini merupakan kasus biasa dalam desain split-plot karena secara umum subplots homogeny daripada whole plots. Hal ini mengakibatkan dua struktur-struktur kekeliruan yang berbeda untuk eksperimen. Karena perlakuan-perlakuan subplots dibandingkan dengan ketepatan yang lebih besar, akibatnya perlakuan yang menjadi pusat perhatian jika memungkinkan dimasukkan ke dalam subplot-subplot. Beberapa penulis mengususlkan suatu model statistic yang sedikit berbeda degan desain splot-plot yaitu :
ijk
i 1, 2,..., r i j ( )ij ( ) jk ijk j 1, 2,..., a k 1, 2,..., b
dengan ekspektasi kuadrat tengah :
13
Tabel EKT untuk Desain Split-Plot Model
Factor
EKT
τi (Ulangan atau Blok)
2 ab2
βj (A)
ab 2
2
rb j2 a 1
2 ab2 (kekeliruan whole plot) (τβ)ij
2
γk (B)
2
(βγ)jk (AB)
ra 2j ab 1
r ( )2jk (a 1)(b 1)
2 (kekeliruan subplot)
∈ijk
Berdasarkan pada model statistic dan EKT, analisis variansi untuk model ini dapat dibangun.
14
