Derivace, parci´aln´ı derivace a oper´atory matematick´e fyziky Robert Maˇr´ık jaro 2014, aktualizace pro jaro 2015
Tento text je tiˇstˇenou verz´ı prezentac´ı dostupn´ych z http://user.mendelu.cz/marik/am.
Derivace Derivace je matematick´y prostˇredek kter´y umoˇznˇuje sledovat, mˇeˇrit a porovn´avat rychlosti zmˇen fyzik´aln´ıch veliˇcin. Pˇrirozenˇe se tak objevuje pˇri formulaci a popisu t´emˇeˇr vˇsech dynamicky prob´ıhaj´ıc´ıch fyzik´aln´ıch jev˚ u. (Fyzik´aln´ı popis svˇeta tak je prezentovan´y stˇredoˇskolskou fyzikou je ˇcastou pouze jakousi aproximac´ı ve kter´e jevy prob´ıhaj´ı konstantn´ı rychlost´ı - napˇr´ıklad bez derivac´ı um´ıme studovat pouze rovnomˇern´y nebo rovnomˇernˇe zrychlen´y pohyb). Pozn´ amka. Vˇsude v n´asleduj´ıc´ım textu budeme pˇredpokl´adat, ˇze funkce a derivace kter´e zde vystupuj´ı jsou dostateˇcnˇe hladk´e a rovnosti plat´ı na dostateˇcnˇe pˇekn´ych mnoˇzin´ach. V praktick´ych aplikac´ıch b´yvaj´ı tyto pˇredpoklady zpravidla trivi´alnˇe splnˇeny, proto je pro u´sporu m´ısta nebudeme vypisovat. Z´ajemce najde pouˇcen´ı v odborn´e literatuˇre.
Obyˇ cejn´ a derivace • Derivace funkce y = f (x) je definov´ana vztahem f (x + h) − f (x) h→0 h
f 0 (x) = lim 0
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´a inovace studijn´ach program˚ u Lesnick´e a dˇrevaˇrsk´e fakulty MENDELU v Brnˇe (LDF) s ohledem na discipliny spoleˇcn´eho z´akladu (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇen´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u EU ˇ e republiky. a st´atn´ıho rozpoˇctu Cesk´
• Jedn´a se o veliˇcinu ud´avaj´ıc´ı, jak rychle se mˇen´ı funkˇcn´ı hodnoty funkce pˇri zmˇen´ach vstupn´ıch dat. . • Alternativn´ı oznaˇcen´ı je df dx 0 • Derivace f (x) je smˇernice teˇcny ke grafu funkce y = f (x) v bodˇe [x, f (x)]. • Line´arn´ı aproximac´ı funkce y = f (x) v bodˇe x0 je f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) Slovy: funkˇcn´ı hodnota ted’ (v x) je funkˇcn´ı hodnota pˇred chv´ıl´ı (v x0 ) plus celkov´a zmˇena, kter´a je souˇcinem rychlosti zmˇeny (f 0 (x0 )) a ˇcasu, za kter´y se zmˇena ud´ala (x − x0 ).
Obr´azek 1: Derivace a teˇcna (line´arn´ı aproximace)
Parci´ aln´ı derivace • Pro funkce dvou promˇenn´ych rozliˇsujeme parci´aln´ı derivace podle jednotliv´ych promˇenn´ych. ∂f (x, y) f (x + h, y) − f (x, y) = lim h→0 ∂x h ∂f (x, y) f (x, y + h) − f (x, y) = lim h→0 ∂y h • Jedn´a se o stejnou veliˇcinu jako u obyˇcejn´e derivace, ale vˇzdy jenom vzhledem k jedn´e ∂ promˇenn´e. Parci´aln´ı derivace ∂x f tedy ud´av´a, jak rychle se mˇen´ı f pˇri zmˇen´ach veliˇciny x. 2
• V definici a pˇri v´ypoˇctu parci´aln´ı derivace podle x je promˇenn´a y konstantn´ı. Geometricky to je moˇzno interpretovat tak, ˇze studujeme kˇrivku, kter´a vznikne na ˇrezu grafu funkce z = f (x, y) rovinou y = konst. • Schwarzova vˇeta (sm´ıˇsen´e druh´e derivace jsou stejn´e) ∂ ∂f ∂ ∂f = ∂x ∂y ∂y ∂x
Obr´azek 2: Parci´aln´ı derivace funkce f v bodˇe [2, −2] jsou derivace kˇrivek vznikl´ych na ˇrezech rovinami x = 2 a y = −2.
• Derivace sloˇzen´e funkce f (x, y), kde x = x(u, v), y = y(u, v): ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u • Derivace sloˇzen´e funkce f (x, y, z), kde x = x(t), y = y(t), z = z(t): df ∂f dx ∂f dy ∂f dz = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt • Line´arn´ı aproximac´ı funkce z = f (x, y) v bodˇe (x0 , y0 ) je f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) +
∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) (x − x0 ) + (y − y0 ) ∂x ∂y
• Tot´ aln´ım diferenci´ alem funkce z = f (x, y) v bodˇe (x0 , y0 ) je df =
∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) dx + dy. ∂x ∂y
Funkce f se v tomto kontextu naz´yv´a kmenov´ a funkce diferenci´alu. 3
• M´ame-li v´yraz M (x, y)dx + N (x, y)dy, potom k tomuto v´yrazu existuje kmenov´a funkce pr´avˇe tehdy kdyˇz plat´ı ∂ ∂ M (x, y) = N (x, y). ∂y ∂x
Gradient • Gradient je definov´an pro skal´arn´ı funkce • Gradient funkce dvou promˇenn´ych f (x, y): grad f =
∂f ∂f , ∂x ∂y
• Gradient funkce tˇr´ı promˇenn´ych f (x, y, z): ∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂y ∂z • Form´alnˇe vˇetˇsinou zapisujeme gradient ∇f, kde vystupuje oper´ator nabla definovan´y vztahem ∇ = (v z´avislosti na poˇctu promˇenn´ych funkce f ). “N´asoben´ı” parci´aln´ı derivaci ∂f . ∂x • nakreslit online
∂ , ∂, ∂ ∂x ∂y ∂z
∂ ∂x
nebo ∇ =
∂ , ∂ ∂x ∂y
s funkc´ı f pˇritom ch´apeme jako
Gradient a line´ arn´ı aproximace funkce V n´asleduj´ıc´ıch vzorc´ıch oper´ator “·” oznaˇcuje skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u. Vztahy jsou uvedeny pro funkci dvou promˇenn´ych, ale u´plnˇe stejnˇe plat´ı pro funkce libovoln´eho poˇctu promˇenn´ych. • Line´arn´ı aproximac´ı funkce z = f (x, y) v bodˇe x0 , y0 je f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + ∇f (x0 , y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) • Teˇcn´a rovina ke grafu funkce z = f (x, y) veden´a bodem [x0 , y0 , z0 ], kde z0 = f (x0 , y0 ) m´a rovnici z − z0 = ∇f (x0 , y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) 4
Obr´azek 3: Gradient je kolm´y na vrstevnice • Pro z = 0 = z0 dost´av´ame z pˇredchoz´ıho: Necht’ f (x0 , y0 ) = 0. Teˇcn´a rovina k vrstevnici funkce f (x, y) na u´rovni nula, tj. ke kˇrivce 0 = f (x, y), veden´a bodem [x0 , y0 ] 0 = ∇f (x0 , y0 ) · (x − x0 , y − y0 ) nakreslit online • Tot´aln´ım diferenci´alem funkce z = f (x, y) v bodˇe x0 , y0 je df (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · (dx, dy). • Pˇribliˇzn´a zmˇena ∆z funkˇcn´ı hodnoty funkce f (x, y) pˇri zmˇenˇe nez´avisl´ych promˇenn´ych z (x0 , y0 ) na (x0 + ∆x, y0 + ∆y) je ∆z = ∇f (x0 , y0 ) · (∆x, ∆y)
Divergence • Pro vektorovou funkci F~ (x, y, z) = (Fx , Fy , Fz ), kde Fi , i ∈ {x, y, z} jsou funkce tˇr´ı promˇenn´ych x, y a z definujeme divergenci vztahem ∂Fx ∂Fy ∂Fz div F~ = ∇F~ = + + ∂x ∂y ∂z 5
Obr´azek 4: Teˇcna k vrstevnici • Pro vektorovou funkci dvou promˇenn´ych F~ (x, y) = (Fx , Fy ) definujeme divergenci analogicky, pouze chyb´ı tˇret´ı ˇclen • Vektorov´e pole, jehoˇz divergence je rovna nule, se naz´yv´a nezˇr´ıdlov´ e pole. Siloˇc´ary nezˇr´ıdlov´eho pole nikde nezaˇc´ınaj´ı ani nekonˇc´ı a jsou to uzavˇren´e kˇrivky. • online v´ypoˇcet a obr´azek
Rotace • Pro vektorovou funkci tˇr´ı promˇenn´ych F~ (x, y, z) = P~i+Q~j+R~k definujeme oper´ator rotace symbolicky vztahem rotF~ (x, y, z) = ∇ × F~ (x, y, z) ~k ~i ~j ∂ ∂ ∂ . = ∂x ∂y ∂z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) • V´ysledkem rotace je tedy vektor, jehoˇz komponenty jsou rot F~ (x, y, z) =
∂R ∂y
−
∂Q ∂P , ∂z ∂z
−
∂R ∂Q , ∂x ∂x
• Vektorov´e pole, jehoˇz rotace je rovna nulov´emu vektoru se naz´yv´a nev´ırov´ e pole a ve fyzice m´a d˚ uleˇzit´e postaven´ı - je v nˇem moˇzno zav´est potenci´al a potenci´aln´ı energii. 6
−
∂P ∂y
.
Obr´azek 5: Nezˇr´ıdlov´e pole
Obr´azek 6: Nev´ırov´e pole
7
Laplace˚ uv oper´ ator • Laplace˚ uv oper´ator ∆, je definov´an jako divergence gradientu skal´arn´ı funkce ∆f = div(∇f ) • V kart´ezsk´ych souˇradnic´ıch a trojrozmˇern´em prostoru tedy plat´ı ∆f =
∂2 ∂2 ∂2 f + f + f (∂x)2 (∂y)2 (∂z)2
• Laplace˚ uv oper´ator je moˇzno form´alnˇe zapsat pomoc´ı skal´arn´ıho souˇcinu dvou oper´ator˚ u∇ ∆f = div(∇f ) = ∇ · (∇f ) = (∇ · ∇)f = ∇2 f • Oznaˇcen´ı symbolem ∆ je stejn´e jako zmˇena funkce f a je nutn´e tyto dva v´yznamy symbolu ∆ nezamˇenˇovat. Chceme-li se vyhnout nedorozumˇen´ı, je moˇzno pro oznaˇcen´ı Laplaceova oper´atoru pouˇz´ıvat ∇2 nam´ısto ∆. • Laplace˚ uv oper´ator vystupuje v probl´emech t´ykaj´ıc´ıch se elektrick´eho nebo gravitaˇcn´ıho potenci´alu, difuze, nebo kmit˚ u a ˇs´ıˇren´ı vln.
Shrnut´ı diferenci´ aln´ıch oper´ ator˚ u • Skal´ arn´ı funkce f (x, y, z)
∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z
Gradient
grad f = ∇f =
Tot´aln´ı diferenci´al
df = ∇f · (dx, dy, dz) =
Laplace˚ uv oper´ator ∆f = ∇ · (∇f ) = Lin. aproximace
∂2f (∂x)2
+
∂f dx ∂x
+
∂f dy ∂y
∂2f (∂y)2
+
∂2f (∂z)2
+
∂f dz ∂z
f (x, y, z) ≈ f (x0 , y0 , y0 ) + ∇f (x0 , y0 ) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 )
• Vektorov´ a funkce F~ (x, y, z) = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k Divergence div F~ = ∇ · F~ = Rotace
∂P ∂x
+
~i ∂ rot F~ = ∇ × F~ = ∂x P
∂Q ∂y
~j ∂ ∂y
Q
+
∂R ∂z
~k ∂ ∂z R
Pˇr´ıpady pro jin´y poˇcet promˇenn´ych a jin´e dimenze vektor˚ u dostaneme analogicky, s v´yjimkou rotace. Rotace m´a smysl pouze pro trojrozmˇern´e vektory. Nˇekdy vˇsak m˚ uˇze b´yt uˇziteˇcn´e pˇridat 8
k dvourozmˇern´emu vektoru tˇret´ı komponentu, kter´a je nulov´a.
Popis pole N´asleduj´ıc´ı popis je pro jednoduchost a konkr´etnost proveden pro gravitaˇcn´ı pole. Je vˇsak plnˇe obecn´y, pokud odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem nahrad´ıme pˇr´ısluˇsn´e veliˇciny a charakteristiky objekt˚ u. • Skal´arn´ı pole – Gravitaˇcn´ı pole je u´plnˇe pops´ano potenci´alem (skal´arn´ı veliˇcina ud´avaj´ıc´ı potenci´aln´ı energii tˇelesa o jednotkov´e hmotnosti) – Intenzita gravitaˇcn´ıho pole je gradientem potenci´alu vyn´asoben´ym ˇc´ıslem −1. (Intenzita gravitaˇcn´ıho pole je s´ıla p˚ usob´ıc´ı v dan´em m´ıstˇe pole na objekt o jednotkov´e hmotnosti.) • Vektorov´e pole – Gravitaˇcn´ı pole je u´plnˇe pops´ano intenzitou gravitaˇcn´ıho pole. – Tot´aln´ım diferenci´alem gravitaˇcn´ı intenzity je (aˇz na vyn´asoben´ı faktorem −1) potenci´al.
Uk´ azky pouˇ zit´ı - rovnice matematick´ e fyziky 1/2 Rovnice kontinuity Z´akon zachov´an´ı veliˇciny kter´a m˚ uˇze vznikat, zanikat a t´ect, veliˇcina ρ ~ vyjadˇruje prostorovou hustotu a j tok a s intenzita zdroj˚ u a spotˇrebiˇc˚ u. Jej´ımi nˇekter´ymi makroskopick´ymi d˚ usledky jsou prvn´ı Kirchhof˚ uv z´akon nebo rovnice spojitosti v hydrodynamice. ∂ρ + ∇~j = s ∂t ´ e popisuj´ı elektromagnetick´e vlnˇen´ı. Jejich d˚ Maxwellovy rovnice Uplnˇ usledkem jsou (pˇrid´ameli materi´alov´e vztahy) napˇr´ıklad z´akon odrazu a lomu svˇetla, polarizace svˇetla. ~ = ρ div E 0
~ =0 div B
~ ~ = − ∂B rot E ∂t
~ ~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E rot B ∂t
9
Vlnov´ a rovnice Popisuje vlnˇen´ı, stojat´e i postupn´e vlny. Pro elektromagnetickou vlnu jde rovnice odvodit z Maxwellov´ych rovnic. 1 ∂ 2z = ∆z c2 ∂t2
Uk´ azky pouˇ zit´ı - rovnice matematick´ e fyziky 2/2 Rovnice veden´ı tepla Tato rovnice rovnˇeˇz vystihuje chov´an´ı difunduj´ıc´ı l´atky v trojrozmˇern´e oblasti. Jedn´a se vlastnˇe o rovnici kontinuity doplnˇenou o pˇredpoklad, ˇze intenzita toku je u´mˇern´a gradientu. ∂u − D∇2 u = σ ∂t Navierova-Stokesova rovnice Rovnice popisuj´ıc´ı proudˇen´ı viskozn´ı Newtonovsk´e tekutiny. Jeden z Millennium Prize Problems. ∂~v ∇p + (~v · ∇)~v = g − + µ∇2~v ∂t ρ Schr¨ odingerova rovnice Z´akladn´ı rovnice kvantov´e mechaniky, popisuje chov´an´ı ˇc´astice v potenci´alov´em poli V , ˇreˇsen´ım je vlnov´a funkce ˇc´astice ψ. i~
∂ψ ~ 2 =− ∇ ψ+Vψ ∂t 2m
10
