Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar

Getaran (Vibration) Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Senar gitar yang sering anda mainkan,

Sound system,

Garpu tala,

Demikian juga rumah anda yang bergetar dasyat hingga rusak ketika terjadi gempa bumi.

Ingat juga ketika anda tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar

Getaran (Vibration)

Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktu tertentu. Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab adanya gelombang.

Getaran Bebas (Free Vibration) Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .

Persamaan gerak secara umum :

mu  cu  ku  p(t ) Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :

u(0)  u0 ,

u (0)  u 0

Sehingga persamaan gerak dapat ditulis : 2    2 n   u  2 nu  n u   p(t )   k 

dimana

n

2

k  m

dan

 

c c cr

dimana

ccr  2m n 

2k

n

ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redaman liat dan ccr adalah koefisien redaman kritis.

k

c

Getaran bebas system SDOF Respon total :

u(t )  u p (t )  uc (t )

u K

m I

P(t)

c

up(t) = forced motion related p(t) uc(t) = natural motion Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t).

Getaran bebas system SDOF Untuk getaran bebas → P(t)=0:

mu  cu  ku  0 u  2 nu  n u  0 2

Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :

u  Ce

st

substitusikan

Maka….

Getaran bebas system SDOF (s  2n s  n )C e  0 2

2

st

Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :

s  2n s  n  0 2

2

Persamaan Karakteristik (persamaan polynomial derajat n dalam besaran 2 yang mempunyai n buah harga s )

s2

Getaran bebas system SDOF SDOF Tak Teredam (Undamped)

SDOF Teredam (Damped)

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah

mu  ku  0

atau

u  n u  0 2

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

s  n  0 2

2

akar dari persamaan diatas adalah

s1, 2  in

dimana

i  -1

Sehingga penyelesaian umum :

u  C1eint  C 2eint dengan memperkenalkan persamaan Euler

e

 i

 cos   i sin 

kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi trigonometri, yaitu

u  A1 cos  n t  A2 sin  n t

dimana A1 dan A2 adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi awal perpindahan dan kecepatan,

u (0)  u0  A1 u (0)  u0  A2n jadi

 u u  u 0 cos  n t   0  n

  sin  n t 

Jika ů(0) = 0 , jadi

u  u0 cos  n t

adalah respon getaran bebas dari sistem "undamped SDOF".

u  u0 cos  n t

Dapat dilihat bahwa respon merupakan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo uo, dan periode dari "undamped natural"

Tn 

2

n

(s)

dan sebuah frekuensi dari "undamped natural"

1 n fn   Tn 2

(Hz)

 u0 u (t )  u0 cos nt    n

  sin nt 

sin  B u(t )  A cos nt  B sin nt  A  B cos(nt   ), tan    cos  A 2

   u (t )  U cos(nt   )  U cos n  t    n 

2

Contoh 200 lb/ft

Model Struktur :

F(t) 25 ft

W8x24

E = 30.106 psi I = 82,5 in4 15 ft

W = 200 x 25 = 5000 lb

g = 386 in/s2

Persamaan Gerak dan persamaan respons getaran bebasnya (F(t)=0) ?

Model SDOF 200 lb/ft

F(t)

F(t)

W8x24

15 ft

Model Matematis

FBD

y

K m

F(t)

fs

m I

F(t)

Penyelesaian :

I  fs  F t 

m

fs

F(t)

I

m.y  k. y  F t 

12 E 2 I  12 . 30 .106 2 . 82,5 K   10185 lb / in L3 15 .123 m

W 5000   12.953lb.s 2 / in g 386

n  f 

k 10185 . 386   28.04 rad / s m 5000

n 1  2 2

Tn 

2

n

 0.224 s

10185 . 386  4.46 sps 5000

12.953y  10185 y  0

Persamaan Gerak

Persamaan Respons Getaran Bebas :  u0  u (t )  u0 cos nt    sin nt  n 

 u  u (t )  u0 cos 28.04t   0  sin 28.04t  28.04 

Latihan Simpangan awal y0  0,001 ft Kecepatan awal y 0  0,1 ft/dt Gambarkan Respons Struktur!! (Masukan nila t=0 sampai t=5, dengan interval waktu 0.2) Jika:

 u0  u (t )  u0 cos nt    sin nt  n 

 u  u (t )  u0 cos 28.04t   0  sin 28.04t  28.04 

Respon Getaran Bebas SDOF Tak Teredam 0.0015

u(t)

0.001

0.0005

0 0

-0.0005

-0.001

-0.0015

1

2

3

4

5

6 t(time)

Tuned Mass Damper

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah

mu  cu  ku  0

atau

u  2 nu  n u  0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

s  2n s  n  0 2

2

dimana akar-akarnya , s1 dan s2 diberikan oleh

s1, 2   n   n  2  1

2

Besarnya faktor "damping" (  ) , dapat digunakan untuk membedakan 3 kasus, yaitu:  overdamped (   1 )  critically damped (  = 1 )  underdamped (0 <  < 1)

 Kasus critically damped (  = 1 )

Ketika ζ=1 maka persamaan

s1, 2   n   n  2  1 menjadi

s1, 2   n Solusinya menjadi:

u(t )  (C1  C2t )e nt

maka respon dari sistem redaman kritis adalah:

u(t )  [uo  (uo   nuo )t ]e nt

 Kasus overdamped (  > 1 )

s1,2   n   n  2  1

( > 1)

Persamaan diatas dapat ditulis

s1, 2   n   *

dimana

 *  n  2  1

Kasus Underdamped ( 0 <  < 1)

s1,2   n   n  2  1

( 0 <  < 1)

Lebih mudah bila menulis persamaan diatas dalam bentuk

s1, 2   n  i d dimana d adalah frekuensi alami " damped circular " yang diberikan oleh

 d  n 1   2 yang sesuai dengan periode damped , Td diberikan oleh

Td 

2

d

, yang

Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

u(t )  e

 nt

( A1 cos  d t  A2 sin  d t )

dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 , dengan hasil:

u (t )  e

 n t

   u0   nu0   sin d t ) u0 cos d t   d    

sin  B u(t )  A cos nt  B sin nt  A  B cos(nt   ), tan    cos  A 2

u(t )  Ue

 nt

cos( d t   )

2

Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena uo = 0 , respon yang didapat

Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

u(t )  e nt ( A1 cosh  *t  A2 sinh  *t ) dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 , dengan hasil:

u (t )  e

 nt

  u0   nu0  * *   sinh  t ) u0 cosh  t   *     

u (t )  e

 nt

  u0   nu0  * *   sinh  t ) u0 cosh  t   *      n  5rad / s

1.6

u0  20in / s

1

0.8

1.5 2

0 0

0.8

1.6

2.4

3.2

Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF Faktor damping ,  , umumnya diukur, dan bila diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari persamaan

 

c c cr

Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis.

Contoh Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas sederhana dengan menggunakan pengukuran statis. Penyelesaian :

k

Lo

k

fs=kust ust w w

1

n2 = k/m keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada pegas ditunjukkan pada

  F  0 atau

k

Lo

k

fs=kust

2

ust

W  fs  0

w w

3

dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan pada pegas

f s  kust persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapat

4

f s  mg  kust

5

jadi, dari persamaan 1 dan 5

n

2

g  u st

6

Contoh Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa lumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural dalam radian per detik dan hertz. Berapa periodenya?

Penyelesaian :

Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran

1.25 putaran fn   3.125 Hz 0.4 s

 n  2f n  (6.28)(3.125)  19.6 rad/s 1 1 Tn    0.32 s f n 3.125

Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan the damping factor, , dengan menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sebuah sistem SDOF : metoda logarithmic decrement dan metoda setengah amplitudo.

Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo gerakan, UP, pada permulaan dari putaran dan amplitudonya, UQ, pada akhir. Didapat persamaan

uP  e nTd uQ

the logarithmic decrement  dijelaskan sebagai berikut :

 uP    ln     nTd  uQ 

dimana Td adalah periode natural damped , dijelaskan sebagai berikut :

Td 

2

d



2

n 1  2

jadi, kita mendapatkan

   nTd 

2 1 2

Untuk damping kecil (  < 0.2 ) , perkiraannya :

  2 dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk didapat dari persamaan :

 1   U P      ln   2   U Q 

Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan perhitungan yang sederhana untuk faktor damping. Metoda setengah amplitudo berdasarkan pada amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).

uˆ (t )  Ue

 nt

pada dua titik P dan R, dimana :

uˆ P uˆ R  2 Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat. Kemudian,

uˆ P  n NTd e 2 uˆ R

Sehingga diperoleh persamaan

2N 1

2

 ln( 2)

Grafik hubungan antara  dan N .

Tetapi, untuk nilai 1, menghasilkan:

damping

yang

kecil,

2

<<

2N  ln(2) atau

 

0.11 N

Persamaan diatas menyediakan cara yang mudah untuk memperkirakan the damping dalam sebuah sistem yang damped secara ringan (  < 0.1, misal N > 1)

Contoh

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85. a). b). c). d). e).

Frekuensi natural tak teredam (ωn) Pengurangan logaritmis ( ) Rasio redaman(ζ) Koefisien redaman(c) Frekuensi natural redaman (ωn)

Penyelesaian : a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)

n 

K m

n 

20 atau  27,78 rad sec 10 386

K = 20 lb/in , m  f 

 27,78   4,42 sps 2 2

b). Pengurangan logaritmis

y1   ln y2   ln

y1 = 1,00 y2 = 0,85

1,0  0,165 0,85

c). Rasio redaman(ζ)

   2

W 10 lb  g 386 in/sec 2

0,163    0,026 2

d). Koefisien redaman(c)

c   ccr

ccr  2 k  m  2 10  20

386

c    ccr   0,026 2 10  20 386   lb  dt  0,037 in

e). Frekuensi natural redaman (ωD)

D   1   2 ,

D  27.78 1  (0.026) 2  27.77 rad/det

Contoh Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan the damping dari sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar berikut,

Penyelesaian : •

Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat pada gambar)

• •

Ambil titik P pada puncak dan ukur uP; uP = 0.44 in. Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope curve adalah uP/2 = 0.22 in. Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N = 2.25 putaran Gunakan persamaan dibawah ini untuk memperkirakan  :

• •

0.11   N

 

0.11  0.049 2.25