COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR

COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR PREVENTIE EN REMEDIËRING BIJ WISKUNDE IDP6 2008 Marleen Duerloo

pedagogisch begeleider VVKBaO

In deze bijdrage bespreek ik een aantal vragen van de interdiocesane proef wiskunde voor het zesde leerjaar. Van enkele scholen kreeg ik de antwoorden kladbladen van hun leerlingen. Aan de hand daarvan analyseer ik de vragen die minder dan 60 % scoren. Je vindt bij elke vraag de beoogde doelstelling(en), de vraag zelf met de score van het juiste antwoord of bij een meerkeuzevraag de scores van de verschillende antwoorden. GA betekent ‘geen antwoord’. Dan volgt een analyse van de antwoorden met mogelijke oorzaken van de gemaakte fouten. Tot slot krijg je suggesties voor preventie en remediëring. Deze richten zich niet enkel tot de leerkrachten van het zesde leerjaar, maar zijn nuttig voor alle leerkrachten uit de leerjaren waarin deze doelstellingen worden aangezet of verworven. Ook hiervoor geef ik tips. Ik wil ook nog verwijzen naar de databank op www.vvkbao.be bij IDP – wiskunde waarin alle vragen vanaf 1999 zitten. Met een zoeksysteem kan je zelf criteria selecteren waaraan de opgevraagde vragen moeten beantwoorden. Bijvoorbeeld: ‘alle makkelijke vragen (meer dan 85 % goed beantwoord) van getallenkennis’. Met dit materiaal kan je zelf (gedifferentieerde) toetsen samenstellen of opdrachten kopiëren voor hoeken- en contractwerk. Vergeet niet in te loggen.

1 WAT IS HEEL KNAP? Dat 60 % van de leerlingen het goede antwoord vindt op de moeilijke vraag 54 is erg knap. Want er komt heel wat denkwerk, en interpretatie van de tabel aan te pas. Vraag 54 MR90 Resultaten van metingen zoals bevolkingsdichtheid, windkracht, neerslag, stijgingspercentage van de weg, verkeersintensiteit, kijkdichtheid, leesvaardigheid, populariteit... begrijpen DO11 Doeltreffende opvattingen over en houdingen tegenover communicatie bij wiskunde ontwikkelen. Dat kan onder meer betekenen: c) kritisch luisteren en een kritische houding ontwikkelen tegenover allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan bewust of onbewust gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden

Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP6 2008

1

54

De Sovjet-Unie hield in 1988 op te bestaan. Wat is het gevolg daarvan voor de plaats van dit land in de rangschikking? Rangschikking 1 2 3 4 5 17 29 73

Land Goud Verenigde Staten 907 Sovjet-Unie (1952-88) 395 Frankrijk 199 Verenigd Koninkrijk 189 Italië 189 Nederland 65 38

België Luxemburg TOTAAL

2 4257

A De Sovjet-Unie zal na de spelen in 2008 op de eerste plaats komen. (3 %) B De Sovjet-Unie zal steeds op de 2de plaats blijven staan. (21 %) C De Sovjet-Unie zal langzaam dalen in de rangschikking. * (60 %) D De Sovjet-Unie zal na de spelen in 2008 niet meer bij de eerste 100 landen staan. E Het aantal medailles van de Sovjet-Unie zal elk jaar verminderen. (9 %) GA 1 %

MR90 DO11c

(7 %)

2 GETALLENKENNIS Vraag 9 G23

In eenvoudige en zinvolle gevallen de gelijkwaardigheid inzien en verduidelijken door omzettingen van kommagetallen en breuken

1 =. 3

9

A 0,3 ( 21%)

G23

B 0,33 (12 %)

C 0,333… (56 %)

D 1,3 (4 %)

E 3,3 (5 %)

Analyse van de antwoorden •

Leerlingen die antwoorden dat

1 1 = 0,3 of dat = 0,33 zitten er natuurlijk niet zo ver 3 3

naast. Misschien hebben ze niet alle antwoorden bekeken vooraleer ze A of B hebben aangeduid. •

Ernstiger is het dat bijna 10 % meent dat

•

Ruben schrijft naast

1 groter is dan 1 geheel (antwoord D en E). 3

1 1 = van 100. 3 3

Hij duidt het goede antwoord C aan. Waarschijnlijk helpt het concretiseren van de opdracht hem. In feite gaat hij in zijn eigen netwerk van getalrelaties op zoek naar gekende feiten (zie verder bij suggesties).


2

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Weten dat je een breuk kunt omzetten in een kommagetal.

1 = 1 : 3 = 0,333… (parate kennis). 3

•

Weten dat

•

Of ze moeten de cijferdeling 1 : 3 kunnen maken.

Suggesties voor preventie en remediëring Verschillend maar toch hetzelfde “De ontstaansgeschiedenis van breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen laat zien dat verschillende situaties vragen om verschillende notatiewijzen. Toen breuken ook de functie van meetgetallen kregen, ging men niet-stambreuken gebruiken en van daaruit ontstonden later de kommagetallen. Procenten ontstonden vanuit het standaardiseren van verhoudingen.”(Tal-team, 2005). Van belang is dat leerlingen breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen zien als verschillende notaties voor iets wat we wiskundig gezien als hetzelfde zouden kunnen beschouwen. Ze hebben verschillende namen omdat ze op verschillende manieren genoteerd worden en omdat ze in de loop der tijden vanuit verschillende situaties zijn ontstaan. Bekijken we de verschillende notatievormen: •

Bert at

1 deel van zijn chocoladereep op en gaf de rest aan zijn 3

vriendjes. •

1 op de 3 automobilisten staat regelmatig in de file.

•

1 van een kilometer? Nog ongeveer 0,3 km fietsen. 3

•

De kale deling: 1 : 3 = .

•

De kale breuk:

Figuur 1: 1/5 van een tablet chocolade

1 3

Een streepje geschiedenis De Egyptenaren waren de eersten die voor stambreuken rekenprocedures ontwikkelden. In hun symbolen is de verwijzing naar de handeling van het verdelen duidelijk aanwezig. Ze gebruikten een schematische afbeelding van een brood en zeven personen om

1 te beschrijven (zie figuur 2). 7

‘Een zevende deel van een brood is het deel dat je krijgt als je een brood onder zeven mensen verdeelt.’ Figuur 2: Egyptisch symbool voor 1/7


3

“Wanneer je veel met een bepaalde stambreuk werkt”, oppert het Tal-team, “zal het handelingsaspect naar de achtergrond verdwijnen. De stambreuk krijgt de status van een zelfstandige maat. Denk bijvoorbeeld aan

1 liter slagroom. Dat is voor ons een bepaalde 4

hoeveelheid. We denken daarbij niet aan het in vieren delen van een liter. We realiseren ons wel de verhoudingen: één liter is vier keer zoveel als

1 liter. “ 4

Netwerk van getalrelaties “Wanneer zich eenmaal een nieuwe maat heeft gevormd”, zegt het Tal-team, “kan je ook afpassen. Pas dan is het zinvol de breukentaal uit te breiden naar het introduceren van breuken met tellers verschillend van één. De nieuwe breuken beschrijven het aantal keer dat je hebt afgepast. Uit de geschiedenis blijkt dat deze stap niet vanzelfsprekend is. Het gaat niet om het uitbreiden van een procedure van ‘delen’ naar ‘delen en vermenigvuldigen’. Er zit een stap tussen: ‘een-zoveelste-deel’ moet eerst het karakter krijgen van een zelfstandige maat die losstaat van de handeling van het (ver)delen. Dan volgt de stap naar getallen als wiskundige objecten. Door te generaliseren over contextsituaties ontwikkelen leerlingen kennis over relaties tussen breuken.“ Leren redeneren over breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen moet leiden tot een netwerk van getalrelaties. Tegelijkertijd vormen die getalrelaties de basis voor het kunnen redeneren vaak via schattend of globaal rekenen. •

49 dat is bijna 50 en dus bijna de helft van 100;

•

33 dat is iets minder dan

1 deel van 100. 3

Vanaf het eerste leerjaar: het getal van de dag Het is van groot belang dat kinderen natuurlijke getallen (G13) en later ook breuken (G18) en kommagetallen (G24) vlot kunnen herstructureren. Zo bouwen ze al spelenderwijs netwerken van getalrelaties uit. Door elke dag ‘het getal van de dag’ uit te kiezen, krijgen kinderen volop gelegenheid om herstructureren van getallen te oefenen. Dit kan je doen vanaf het eerste leerjaar en binnen het getalbereik van je leerjaar. Schrijf bijvoorbeeld ‘4’ op je bord. Laat alle kinderen zoeken naar een ‘formule’ die ‘4’ als uitkomst geeft.

100 : 25

4

20 - 16 2+2 80 : 20

De helft van 8

Een vierde van 16

Begin november maakte meester Piet in zijn eerste leerjaar het volgende mee. De kinderen hadden net tot 6 geleerd. De meeste leerlingen gaven dan ook antwoorden als ‘3 + 1 = 4’ of ‘4 + 0 = 4’. Maarten zei: ‘Ik denk dat 16 – 12 ook 4 is’. Meester Piet verwonderde zich over dit antwoord, maar zijn verbazing werd nog groter toen Anke zei: ‘Als 16 – 12 = 4 dan is 15 – 11 ook gelijk aan 4’. Waarom denk je dat? vroeg meester Piet. ‘Wel,’ zei Anke, ‘als je van beide getallen 1 afdoet, dan verandert je uitkomst niet.’ Het grote voordeel van ‘het getal van de dag’ is dat elk kind op zijn/haar niveau het getal kan herstructureren. Soms gebeurt het dat kinderen al vooraf vragen wat het getal van de dag wordt zodat ze extra moeilijke formules kunnen bedenken.


4

Vanaf het vierde leerjaar Het getal van de dag wordt een breuk of een kommagetal of een procent (vanaf het 5de leerjaar). Ga met je leerlingen na welke ‘bijzondere’ getallen ze kennen en waarom deze zo bijzonder zijn. Als leerlingen op die manier een netwerk van bijzondere getallen opbouwen, zal blijken dat ze dit netwerk in allerlei situaties kunnen inzetten. • • • •

1,30 is ongeveer 1

1 . 3

1 = 1 : 3 = 0,333… is ruim 30 % of iets meer dan 33 %. 3 1 3 van 100. Je moet van de prijs betalen. 25 % korting. 25 is 4 4 Wat kost 0,329 kg als een kilo € 0,60 kost?

0,329 is ongeveer

1 . Ik deel 0,60 door 3. 3

0,329 kg kost dus ongeveer € 0,20.

Analoge vragen uit eerdere IDP proeven over dezelfde doelstelling. De scores liggen hoger wellicht omdat er gewerkt wordt met meer vertrouwde breuken en omzettingen. Opgave 1999

Ik wil

3 van 1 275 nemen. 5

Met welk getal moet ik 1 275 vermenigvuldigen? Antwoord

A 0,35 4,7 %

Opgave 2000

Elke avond draagt Rik reclamefolders rond. Hij krijgt daarvoor 0,25 euro per pakje. Gisteren verdeelde hij 3 600 pakjes folders. Rik rekent hoeveel hij verdiend heeft. Welke berekening is juist?

Antwoord

Opgave 2002

B 0,53 3,7 %

A 3 600 x

1 4

C 3 600 x

1 (7,4 %) 25

(69,3 %)

D 0,5 7,8 %

B 3 600 :

1 4

(16,6 %)

D 3 600 :

1 25

(2,8 %)

E 0,6 66,3 %

E niet gegeven (3,7 %)

Ria verdient 1 860 euro per maand. Het maandloon van Miet is

Antwoord

C 0,3 17,2 %

5 van dat van Ria. 4

Met hoeveel moet je 1 860 vermenigvuldigen om te weten hoeveel Miet per maand verdient? A 0,25 B 0,8 C 1,25 D 1,4 E 1,5 13,97 % 4,45 % 69,68 % 5,50 % 6,06 %


5

Opgave 2003

Tussen welke twee getallen past

Antwoord

A tussen 0,01 en 0,03 C tussen 0,10 en 0,30 E niet gegeven

1 ? 50

(62,55 %) B tussen 0,04 en 0,06 (7,24 %) D tussen 0,40 en 0,60 (5,54 %)

(4,04 %) (20,21 %)

3 BEWERKINGEN EN DOMEINOVERSCHRIJDENDE DOELSTELLINGEN Vraag 20 B57a Aan de hand van voorbeelden uitleggen wanneer het begrip gemiddelde gebruikt kan worden en het gemiddelde berekenen

20

Fritz Fit wil op vrijdag, zaterdag en zondag gemiddeld 75 km per dag fietsen. Op vrijdag en op zaterdag fietst hij telkens 70 km. Hoeveel km moet hij op zondag fietsen, om zijn gemiddelde te halen?

B57 a

A 70 km (4 % )

B 75 km (8 %)

C 80 km (18 %)

D 85 km ( 59 %)

E niet gegeven (11 %)

GA (1 %)

Analyse van de antwoorden •

Stefaan is een kerel naar mijn hart. Hij noteert alle bewerkingen in zijn boekje. Toeval of niet? Hij haalt een score van 100 % op wiskunde. 70 + 70 = 140 75 x 3 = 225 225 – 140 = 85 De vermenigvuldiging en de aftrekking lost hij al cijferend op.

•

Sommige leerlingen redeneren als volgt: Als Fritz op vrijdag en zaterdag 70 km fietst, is dat 2 keer 5 km minder dan het gemiddelde (75 km). 70 km + 10 km = 80 km (antwoord C).

•

Leonie denkt dat 3 x 70 = 240. Ze rekent 2 x 70 = 140. Dat is 100 km te kort. Haar antwoord is ‘E niet gegeven’.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Het begrip gemiddelde kennen. • Het gemiddelde kunnen berekenen. • De vraag grondig analyseren. Niet alle getallen die je nodig hebt om de berekening te maken, staan in de opgave. • De omgekeerde redenering kunnen maken. Het gemiddelde is gegeven, er ontbreekt één afstand namelijk die van zondag. Een gelijkaardig vraagstuk uit 2005 scoorde nog lager.


6

Opgave

Frans reed mee in een vierdaagse voor wielertoeristen. De eerste dag reed hij 120 km, de tweede dag 126 km en de derde dag ook 126 km. Bereken hoeveel km Frans de vierde dag aflegde als je weet dat zijn gemiddelde voor die vierdaagse 126 km bedroeg.

Antwoord Scores in 2005

A 120 km 6,54 %

B 123 km 6,61 %

C 124 km 18,46 %

D 126 km 9,71 %

E 132 km 57,75 %

Suggesties voor preventie en remediëring Het gemiddelde is een begrip dat veel voorkomt in situaties en berichtgeving: • gemiddelde neerslag; • gemiddelde lengte; • gemiddeld aantal kinderen per gezin; • gemiddeld waterverbruik; • gemiddeld inkomen. Maak daar gebruik van, ook in andere lessen zoals bijvoorbeeld bij wereldoriëntatie. Het belangrijke is uiteraard dat leerlingen inzicht krijgen in de betekenis van het begrip gemiddelde. Daarom is het niet aangewezen om met complexe getallen te rekenen. Tenzij ze die berekeningen vlot met een zakrekenmachine kunnen uitvoeren. In het vierde leerjaar komen eenvoudige situaties aan bod waarbij het zinvol is om het gemiddelde te gebruiken. Zorg ervoor dat het gemiddelde een getal is dat kan voorkomen binnen de situatie. •

Ik heb een 7, een 9 en een 5 op 10 voor drie wiskundetoetsen. Welk cijfer heb ik gemiddeld? 7 + 9 + 5 = 21 en dan 21 : 3 = 7 Antwoord: Ik heb gemiddeld 7 op 10. 7

9

5

21

7

7

7

Wanneer je de getallen 8, 9 en 5 gebruikt, krijg je een situatie waarbij het gemiddelde 7,333… is. In de ‘Toelichtingen bij het leerplan Bewerkingen’ suggereren we om dit in het vierde leerjaar nog te vermijden. In hogere leerjaren ronden leerlingen waar nodig de gevonden uitkomst af.


7

Vanaf het vijfde leerjaar Bron: CD-rom van De Nationale Doorsnede. Gemiddelde, grootste, kleinste, komt het meest voor Als je leerlingen vraagt hoeveel zakgeld ze krijgen dan wil je graag de antwoorden met elkaar vergelijken. Welk bedrag komt het meeste voor? Wat is het gemiddelde bedrag? Wat is het grootste bedrag? Om goede conclusies te kunnen trekken, moet je weten waar je op moet letten als je antwoorden met elkaar vergelijkt. 1 In een klas zitten 12 meisjes en 14 jongens. Alle leerlingen beantwoorden de vraag “Hoeveel euro zakgeld krijg je gemiddeld per week?” De meisjes hebben als antwoorden gegeven: 10, 0, 10, 25, 30, 22, 10, 10, 12, 13, 35, 25. De jongens geven de volgende antwoorden: 10, 0, 0, 5, 10, 11, 10, 10, 5, 70, 12, 11, 13, 12. a Wat is het laagste bedrag dat bij de meisjes voorkomt? b En wat is het hoogste bedrag dat voorkomt, als je naar alle gegevens kijkt? c Welk bedrag aan zakgeld komt het meeste voor? 2

a b

Neem de volgende uitspraak over en vul deze aan: In deze klas ligt het zakgeld van meisjes tussen de … en de … euro. Het meest voorkomende zakgeld is … euro. Doe hetzelfde voor de jongens: In deze klas ligt het zakgeld van jongens tussen de … en de … euro. Het meest voorkomende zakgeld is … euro.

Je kunt ook op een andere manier de bedragen voor zakgeld met elkaar vergelijken. Namelijk door naar het gemiddelde te kijken. 3

a Anika bekijkt de antwoorden van de jongens en de meisjes en zegt: “Meisjes krijgen meer zakgeld dan jongens.” Ben je het met haar eens? Leg uit waarom wel of waarom niet. b De bedragen van de meisjes kun je op volgorde zetten van laag naar hoog. Je krijgt dan: 0, 10, 10, 10, 10, 12, ….. Maak deze rij af. c Zet ook de bedragen van de jongens op volgorde van laag naar hoog.

Het gemiddelde zakgeld van de meisjes kun je berekenen door de bedragen van de meisjes op te tellen en te delen door het aantal meisjes. Gemiddeld zakgeld meisjes = 10+0+10+25+30+22+10+10+12+13+35+25 12 4

a

Bereken het gemiddelde zakgeld van de meisjes. b Bereken ook het gemiddelde zakgeld van de jongens. c Kijk naar de antwoorden op vraag a en b. Wat vind je nu van de uitspraak “Meisjes krijgen meer zakgeld dan jongens”? Bij onderzoek doen is het belangrijk afwijkende gegevens goed te bekijken en zulke opvallende uitkomsten extra te controleren.

5

a b c

Er is één bedrag bij de jongens dat erg opvalt. Welk bedrag is dat? De leraar vraagt aan de klas wie er 70 euro zakgeld krijgt. Niemand steekt zijn vinger op. Maar Jeroen zegt plotseling: “Ik krijg 17 euro zakgeld, maar dat bedrag zie ik in de lijst nergens.” Leg uit wat er gebeurd kan zijn. Vervang in de rij bedragen van de jongens 70 door 17. Geef nu nog eens antwoord op de vragen 2b, 4b en 4c.


8

6

a b c d

7

Zoek nu uit welke bedragen de leerlingen in jouw klas als zakgeld krijgen. Welke conclusie kan je trekken over het verschil in zakgeld tussen de jongens en de meisjes in jouw klas? Vergelijk jouw conclusie met die van een paar leerlingen uit je klas. Vergelijk de gegevens van je klas met de landelijke gegevens.

Verzamel de antwoorden van je klas op de vraag “Hoe lang ben je?”. a Bereken de gemiddelde lengte van de jongens en die van de meisjes. b Bepaal de kleinste en de grootste lengte bij de jongens en bij de meisjes. c Vertel welke verschillen je hebt gevonden tussen de gegevens van de jongens en die van de meisjes.

Het ontbrekende gegeven zoeken of omgekeerd redeneren Wanneer kinderen dit vraagstuk niet meteen als een vraagstuk over ‘het gemiddelde’ herkennen is het van belang dat ze kunnen terugvallen op een aantal zoekstrategieën. 1. Vertel het vraagstuk in je eigen woorden (DO2b) of geef de situatie op een eigen manier weer bijvoorbeeld door te dramatiseren, door te tekenen… (DO2a). 2. Formuleer bij de gegeven situatie aansluitende wiskundige vragen om een goed zicht te krijgen op wat er gegeven is, wat er gezocht moet worden en wat de relaties zijn tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gevraagde (DO2c). Eens je een goede voorstelling van het probleem hebt (DO1a) kan je bepalen hoe je het probleem het beste aanpakt (DO1b). De volgende aanpak kan tot een standaardprocedure uitgroeien. 1. Duid eerst de vraag aan Hoeveel km moet hij op zondag fietsen, om zijn gemiddelde te halen? Het heeft weinig zin om eerst de gegevens aan te duiden. Misschien staan er wel overbodige gegevens in of ontbreken er. Dat kan je maar nagaan als je eerst de vraag kent. 2. Ga na welke gegevens je nodig hebt om het antwoord te kunnen berekenen. Het gemiddelde is 75 km per dag. Op vrijdag fietst Fritz 70 km. Op zaterdag fietst Fritz 70 km. 3. Noteer de berekeningen die je moet uitvoeren. 70 + 70 = 140 75 x 3 = 225 225 – 140 = 85 4. Controleer aan de hand van de vraag of je antwoord klopt. Hoeveel km moet hij op zondag fietsen, om zijn gemiddelde te halen? Fritz moet op zondag 85 km fietsen om zijn gemiddelde van 75 km per dag te halen. Controleren kan ook nog op een andere manier. Een gemiddelde van 75 km op drie dagen fietsen, betekent dat Fritz een afstand rijdt van 3 x 75 km of 225 km. De afstand van Fritz op drie dagen bedraagt: 70 km + 70 km + 85 km = 225 km.


9

Nog een stap verder is het leren reflecteren en verwoorden wat je nu precies gedaan hebt (DO8c). Ik ken de gemiddelde afstand op drie dagen (75 km). Ik weet dat de afstand die Fritz reed op vrijdag en zaterdag telkens 70 km is. Ik moet de ontbrekende afstand van zondag berekenen. Dat doe ik in drie stappen: 1. ik bereken de afstand van twee dagen (140 km); 2. ik bereken de totale afstand (225 km): 3. ik trek van de totale afstand de afstand van twee dagen af. Dit levert de afstand op die Fritz op zondag moest fietsen(85 km). Stap 1 en 2 mag ik ook van plaats wisselen. Vraag 23 B11

Bij eenvoudige optellingen flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van inzicht in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van de optelling en de optellingen correct uitvoeren, verwoorden en noteren.

Enkele veelvouden (verschillend van nul) van een natuurlijk getal ( ≤ 100), enkele

G32

gemeenschappelijke veelvouden van twee natuurlijke getallen ( ≤ 100) en het kleinste

gemeenschappelijke veelvoud van twee natuurlijke getallen ( ≤ 100) vinden, en daarbij de termen veelvoud, gemeenschappelijk(e) veelvoud(en) en kleinste gemeenschappelijk veelvoud gebruiken

Mao kleurt alle hokjes waarin een veelvoud van 8 staat. Daarna telt hij de getallen van de gekleurde hokjes op. Wat is de som?

23

18 B11 G32

22

24

28

32

40

44

96

124

De som is: 24 + 32 + 40 + 96 = 192 (59 %)

Analyse van de antwoorden De vraag is een combinatie van twee doelstellingen. De 0-moeilijkheid bij de veelvouden wordt bewust vermeden. De juiste aanpak: • Cédric arceert alle hokjes met een veelvoud van 8.

18

22

24

28

32

40

44

96

124

Hij noteert: De som is 192. •

Nicolas kan handig rekenen. Hij noteert 120 + 72 = 192. Hij deed eerst uit zijn hoofd 24 + 96 = 120 en 32 + 40 = 72.

Deze leerlingen kennen de veelvouden van 8. • Celine noteert eerst de veelvouden van 8: 8 – 16 – 24 – 32 – 40 – 48 – 56 -64 – 72 – 80 – 88 – 96 – 110 – 118 – 126. Ze stopt bij 126. Logisch want de opsomming stopt bij 124. Daarna vergeet ze 40 in haar optelling. Ze telt al cijferend op: 24 + 32 + 96 = 152 •

Vincent omkringt de juiste veelvouden. Maar maakt een optelfout. Zijn som is 172.

De volgende leerlingen maken een fout bij het aanduiden van de achtvouden.


10

•

Eileen denkt dat 124 ook een achtvoud is. Haar som is 316. Ze verwart misschien met de deelbaarheid van 4 waarvoor je naar de twee laatste cijfers moet kijken. 24 is deelbaar door 8, dus 124 zal ook deelbaar zijn door 8.

•

Sebastien doet hetzelfde. Zijn som is echter 226.

•

Aramaisse telt alle getallen op. Haar som is 428. Misschien kent ze het begrip ‘veelvoud’ niet.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Weten dat vermenigvuldigen herhaald optellen is. • Beheersen van de rekentaal: weten wat een veelvoud is. • De veelvouden van 8 kennen of kunnen opzoeken ook buiten de tafelproducten. • Vier getallen optellen. Doelstelling B11 van hoofdrekenen focust op het flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen. Zie het antwoord van Nicolas. • Eventueel kunnen leerlingen de som ook maken door te cijferen (B38). Suggesties voor preventie en remediëring Vanaf het vijfde leerjaar komt doelstelling G32 aan bod. Eigenlijk – zo staat het in de toelichtingen bij getallenkennis – hebben kinderen al heel vroeg notie van het begrip ‘veelvoud’ waarbij de term zelf niet gebruikt wordt. Binnen de tafelproducten bijvoorbeeld, maar ook bij het sprongsgewijs tellen op de getallenas of gewoon bij ‘een aantal keer iets nemen’. Deze ervaringen vormen een basis om het begrip veelvoud in het vijfde leerjaar te gaan gebruiken. Leerlingen zien in dat een veelvoud van een getal een getal is waar dat getal een aantal keer ingaat: • 45 is een veelvoud van 5 omdat 5 precies 9 keer in 45 gaat. 45 is het vijfvoud van 9. • 96 is een veelvoud van 8 omdat 8 precies 12 keer in 96 gaat. Of ik kan 96 splitsen of herstructureren in 80 (veelvoud of tienvoud van 8) + 16 (veelvoud of tweevoud van 8). Voor leerlingen waarvoor het omzetten in sprongen niet vanzelfsprekend is, dien je na te gaan of ze wel weten dat vermenigvuldigen herhaald optellen is. • 3 x 8 maak daar eens een plusoefening van? • Nu geef ik een plusoefening, maak jij er een maaloefening van: 8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8= • Hoe zoek je 12 x 8 als je weet hoeveel 10 x 8 is? Ga na of een leerling kan tellen met sprongen: elke sprong is gelijk, even groot. Weet de leerling dat tellen met sprongen betekent dat je steeds een gelijk aantal stappen overslaat? • Maak sprongen van 8 bijvoorbeeld op: o een getallenlijn waarop alle getallen aangeduid zijn, o een getallenlijn met enkel lijntjes, o een lege getallenlijn met aanduiding van de tientallen.

•

Spring met je ogen per 8 op de lintmeter. Waar ben je bij de vijfde sprong? Bij de derde sprong? Bij de tiende? Bij de negende?

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80


88

96

104

11

Zonodig ga je een aantal begrippen na (DO9b). Zijn de begrippen ‘veelvoud’ en ‘som’ vlot gekend? Gebruik zelf vaak wiskundige begrippen zodat leerlingen er vertrouwd mee raken. Kijk kritisch naar de opgaven in je wiskundemethode. Vind je daar Tijdens interactie gebruiken opdrachten als ‘duid de veelvouden leerlingen veel wiskundige aan’? Of staat er gewoon: ‘reken Wanneer dit laatste het geval is, termen en brengen ze in relatie uit’? maak dan tijd om aan leerlingen te met elkaar. Ze behoren dan tot vragen wat ze precies uitgerekend hebben. het productieve taalbezit. Laat leerlingen veelvuldig met elkaar overleggen. Tijdens dergelijke interactie gebruiken leerlingen veel wiskundige termen en brengen ze in relatie met elkaar. Ze behoren dan tot het productieve taalbezit.

4 METEN EN METEND REKENEN De Olympische Spelen vormden het thema voor IDP6 2008. Op zo’n topsportevenement wordt veel en heel erg precies gemeten. Tijden tot op een honderdste van een seconde, recordhoogtes en vertesprongen tot op een centimeter. Of je je iets kan voorstellen bij al die tijden en afmetingen hangt af van de hoeveelheid referentiematen die je ter beschikking hebt. Hoe ver staan leerlingen daarin als het om tijdsduur gaat op het einde van het zesde leerjaar? Ik bespreek vraag 51 en 57. Dit stukje verscheen al eerder in het eerste nummer van het nieuwe tijdschrift ‘school + visie’ van het VVKBaO. Tijdmeting op de Olympische Spelen • 776 voor Chr. tot 349 na Chr.: Uit archeologische vondsten blijkt dat bij de klassieke Olympische Spelen mechanische starthekken werden gebruikt. • 1924: Technologie begint een eigen plaats in te nemen bij de moderne Olympische Spelen met de eerste live radio-uitzending van het evenement. • 1932: De combinatie stopwatch-fotofinish wordt voor het eerst gebruikt tijdens de Olympische Spelen in Los Angeles, Californië. Wanneer officials merken dat het onmogelijk is met het blote oog en de stopwatch te bepalen wie de winnaar op de 100 meter sprint is, worden filmopnamen geanalyseerd om te bepalen dat Eddie Tolan (VS) de winnaar van de gouden medaille is. • 1936: De Olympische Spelen in Berlijn zijn de eerste die op tv te zien zijn. Resultaten worden internationaal via telex verzonden en filmopnamen worden naar het buitenland gestuurd via zeppelins. • 2008: Voor het eerst wordt in Beijing het Commentator Information System geleverd aan media in de thuislanden, zodat zij op afstand toegang hebben tot real time wedstrijdgegevens en -statistieken. INFO2008 wordt via een draadloos netwerk aan de media op locatie geleverd en zal ook toonaangevende zoektechnologieën bevatten. Bron: Atos Origin Vraag 51 MR18 Referentiematen kennen en gebruiken MR89 In veel voorkomende situaties de relaties tussen grootheden ervaren en onderzoeken bij: c) tijd, afstand, snelheid


12

51

De eerste Olympische Spelen werden gehouden in Griekenland, in de 8e eeuw voor Christus. Tijdens deze eerste spelen was er maar één wedstrijdonderdeel: de ‘Dromos’, een loopwedstrijd van 192 m. Hoe lang duurde deze loopwedstrijd?

MR18 MR89c

A minder dan 1 minuut C ongeveer 10 minuten E ruim een halfuur

(55 %) (8 %) (4 %)

B ongeveer 5 minuten D ongeveer 20 minuten

(23 %) (8 %)

Analyse van de antwoorden Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? Welke referentiematen moeten leerlingen ter beschikking hebben om deze vraag correct te beantwoorden? • Ze moeten in de eigen schoolomgeving een afstand van 100 meter kennen. • En ze moeten weten hoeveel tijd ze ongeveer nodig hebben om die afstand te lopen. Dat laatste hoeft dus niet precies te zijn. Wel moeten ze beseffen dat zijzelf zelfs als niet-getrainde topatleet - 100 meter in minder dan 1 minuut kunnen lopen. • Als extra steuntje is het handig om een goed idee te hebben van wat je zoal in 1 minuut kan doen. Werken met meerkeuzevragen Het voordeel van een meerkeuzevraag is dat je ook kan elimineren wat niet mogelijk is en op die manier alle andere antwoorden kan uitsluiten. Maar hebben alle leerlingen expliciet geleerd om op deze manier met meerkeuzevragen om te gaan? Het is nochtans een handige zoekstrategie wanneer je parate kennis onvoldoende is. Suggesties voor preventie en remediëring Hoe kan je actief werken aan het uitbouwen van referentiematen? Eens je begint aan het aanleren van standaardmaateenheden, leer je kinderen meteen ook een passende referentiemaat aan. Zo leren kinderen in het eerste leerjaar dat 1 meter bijvoorbeeld de breedte is van het zijbord, of ongeveer de breedte van de klasdeur of de lengte van een grote bank. Door die verbinding met referentiematen wordt het gevoel voor de orde van grootte van de standaardmaateenheid nog versterkt. Voorbeelden van lijsten met referentiematen vind je op www.vvkbao.be bij leergebieden – wiskunde – publicaties. Wel inloggen. Vooral bij geldwaarden is regelmatig aanpassen noodzakelijk. Zo kost 1 liter benzine al lang geen 1 euro meer. Referentiematen voor tijd:

Het maakt niet uit welke referentie je kiest. Ze moet wel dagelijks ‘zichtbaar’ zijn én gedurende heel de lagere school dezelfde blijven. Erg handig is dat je een meetboekje


13

aanlegt waarin alle afgesproken referentiematen zijn vastgelegd. In hetzelfde boekje noteer je de meetresultaten van een aantal metingen die de leerlingen jaarlijks uitvoeren. Bijvoorbeeld: je eigen lengte. In de derde graad kan je dan van die eigen meetresultaten gemiddelden berekenen. Bijvoorbeeld: hoeveel cm per jaar ben ik gemiddeld gegroeid? Verder is het van belang dat je kinderen regelmatig met referentiematen leert omgaan: bij schatoefeningen, tijdens leerwandelingen, in andere lessen dan de wiskundeles …Zo bouwen leerlingen langzamerhand een uitgebreid repertoire van referentiematen op. Tijdsduur berekenen Vraag 57 MR70 Tijdsduur berekenen: c)

57

Marathon in 1908 2004

in uren en/of minuten en/of seconden

Recordtijd 2 uur 55 min. 19 sec. 2 uur 10 min. 55 sec

Bereken het verschil tussen de twee winnende tijden. MR70c

44 min.24 sec. (41 %)

Analyse van de antwoorden De tweede tijdvraag is een echte rekenvraag. Maar om ze correct op te lossen dien je wel te weten dat 1 minuut 60 seconden telt. De meeste leerlingen gaan hier in de fout door 1 minuut om te zetten in 100 seconden. •

Eva zet alles om in seconden 7 200 + 3 300 + 19 = 10 519 7 200 + 600 + 55 = 7 855 Verschil: 2 664 44 min. + 24 sec. Gelukkig leidt al dit rekenwerk tot de goede uitkomst.

Uit de analyse van de antwoorden blijk dat leerlingen verschillende soorten fouten maken. • Sommige leerlingen hebben problemen met cijferen (of hoofdrekenen). Stefanie trekt af waar het kan. Zoniet wisselt ze de getallen van plaats. En dat mag niet bij een aftrekking! Haar uitkomst is 45 min. 36 sec. Ze deed 55 – 10 en 55 – 19. •

Andere hebben problemen met de 60-talligheid van de tijdsrekening. Sebastien gaat lenen. Hij vergeet dat 1 minuut gelijk is aan 60 seconden. Hij zet 1 min. om in 100 sec. Zijn aftrekking wordt dan 2 uur 54 min. 119 sec. - 2 uur 10 min. 55 sec. = 44 min. 64 sec. Véronique hanteert dezelfde werkwijze. Ze zet nadien 44 min. 64 sec. om in 45 min. 24 sec. Camille doet het nog anders. Ze schrijft 2 uur = 120 min. 120 + 55 = 175,19 (19 seconden). Ze gebruikt bovendien het ‘= - teken’ foutief. 120 + 10 = 130,55 (55 seconden) 175,19 – 130,55 = 44,64


14

•

Carlos combineert beide fouten. Hij herleidt foutief en maakt zijn cijferoefening fout. Hij doet het als volgt

4 10 2 uur 5 5 min. 1 9 sec. 2 uur 1 0 min. 5 5 sec. 44 54 Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Weten dat 1 minuut = 60 seconden. • Een aftrekking kunnen maken met ontlenen. Suggesties voor preventie en remediëring Leerlingen die op de onderstaande manier leren kloklezen zullen misschien minder vlug vergeten dat 1 uur 60 minuten telt en 1 minuut 60 seconden duurt. De transfer van deze kennis naar het rekenen met tijdsduur en het herleiden van minuut naar seconden loopt dan waarschijnlijk een stuk vlotter. In ‘Klokkijken: wijzer voor wijzer’ leggen Frans van Galen en Marjolijn Peltenburg knap uit waarom een klok zo moeilijk om lezen is. “Wat klokkijken zo lastig maakt”, zeggen ze, “is dat de klok een combinatie is van twee schalen, die op een ingewikkelde manier met elkaar samenhangen. Dit maakt het aflezen van de tijd voor kinderen die moeite hebben met het leren klokkijken vaak zoiets als het ontrafelen van een code. Het zou voor hen duidelijker zijn als we de uren en de minuten zouden aangeven op aparte klokken.” Bij een analoge klok met twee wijzers, met cijfers en streepjes moet je weten dat: - de cijfers op de klok de uren aanduiden; - de langere of dikkere streepjes zowel gebruikt voor de uren als voor de minuten; - de kleine of dunne streepjes van de minuten zijn. Een gewone klok gebruikt dus twee verschillende schalen die als het ware over elkaar heen liggen. De minutenschaal wordt bovendien ook nog eens op een bijzondere manier afgelezen. Zo kan je bijvoorbeeld zeggen: “Het is vijf voor halfelf.” “Alles met elkaar is het niet verbazingwekkend dat het kinderen vaak veel moeite kost om te leren klokkijken. Daarbij hebben we het dan nog niet over het merkwaardige feit dat het twee keer per dag acht uur wordt en dat digitale kloktijden weer heel anders zijn dan die van de gewone klok,” vinden van Galen en Peltenburg. Lezen we verder wat ze suggereren. Vanaf het eerste leerjaar Een klok met één wijzer – de urenklok Omdat de rol van de kleine wijzer heel anders is dan die van de grote wijzer breng je best de betekenis van de wijzers afzonderlijk aan. In wiskundemethodes vind je meestal aparte oefeningen voor de hele uren, maar dat is volgens van Galen en Peltenburg niet voldoende voor kinderen die moeite hebben met kloklezen. Wat doet die kleine wijzer tussen de hele uren in? Pas als leerlingen begrijpen dat je de kleine wijzer ook kan gebruiken om ‘ongeveer kwart over’, ‘ongeveer half’, ‘ongeveer kwart voor’ af te lezen, begrijpen ze de functie van de kleine wijzer en daarmee ook het verschil met de grote wijzer. Dat inzicht is essentieel. De beste manier om onderscheid te maken tussen de wijzers is een periode een klok met maar één wijzer in de


15

klas op te hangen. Zo’n klok is snel gemaakt, want je kan de wijzers meestal van hun asje trekken zonder de klok te beschadigen. Neem de tijd Gelukkig hoef je het leren klokkijken niet te beperken tot de wiskundeles! Hang gewoon een klok met één wijzer vooraan in de klas en besteed een paar keer per dag aandacht aan de stand van de wijzer op dat moment. Al gauw kunnen leerlingen allerlei kloktijden aflezen waarvoor ze informele beschrijvingen bedenken zoals: • • • • •

“Gelukkig hoeven we het leren klokkijken niet te beperken tot de wiskundeles!”

‘10 uur’ ’10 uur geweest’ ‘bijna half 11’ ‘precies half 11’ ‘tussen half 11 en 11 uur’

Ze ervaren bijvoorbeeld dat de klok ‘s morgens niet met 1 begint, maar dat het op school al 9 uur is. Ze zien ook dat de wijzer na 12 uur weer doorgaat naar 1 uur. Dat soort ervaringen geeft aanleiding om te praten over wat de wijzer zal doen als de kinderen niet op school zijn. “Het is belangrijk om alle tijd te nemen voor deze fase in het leerproces”, zeggen beide auteurs. “De stap naar de minutenklok mag je pas zetten als kinderen niet alleen de tijden kunnen aflezen, maar ook bijvoorbeeld weten hoe de schooldag is ingedeeld. Op een gewone school duurt dit alles minstens een paar weken. Meestal hangt er in de klas ook al een gewone klok met twee wijzers. Daar is niets op tegen en het heeft als voordeel dat leerlingen die al verder zijn de precieze tijd kunnen aflezen. “ 60 minuten in een uur – de minutenklok In de lessenreeks en het computerprogramma dat van Galen en Peltenburg ontwikkelden voor het speciaal onderwijs in Nederland (buitengewoon onderwijs) wordt de minutenwijzer geïntroduceerd met een verhaal over koksmaatje Joris. Die heeft ontdekt dat je met de kleine wijzer ook kunt bijhouden hoe lang de helft van een uur duurt, en hoe lang een kwart van een uur, maar op een torenklok is het allemaal niet zo goed te zien. Dat vertelt hij aan de man die de torenklok gemaakt heeft, en hij vertelt ook wat voor oplossing hij bedacht heeft: Een extra wijzer die in één uur helemaal ronddraait. Vanuit het verhaal kan je uitleggen hoe een uur is onderverdeeld in 60 minuten. Dat maakt het mogelijk maken om tijd veel preciezer te meten. Besteed daarbij aandacht aan de voortgang van de minutenwijzer vanuit twee ankerpunten: het hele uur en het halve uur. Het verdient de voorkeur om minstens een paar weken een klok te gebruiken die alleen de minuten aangeeft, in plaats van direct de urenklok te ‘repareren’ tot een klok met twee wijzers. Wie graag meer verneemt over de lessenreeks en het computerprogramma leest best de volledige brochure op http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/producten/.


16

De volgende twee vragen peilen naar dezelfde doelstelling namelijk de omtrek van de cirkel (MR34). Vraag 53 MR34 De waarde van pi ontdekken als de constante verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel (De benaderde waarde van pi is 3,14) en de formule voor de omtrekberekening van de cirkel gebruiken (pi x 2 x r of pi x d)

We leggen het symbool van de Olympische Spelen met touw op de speelplaats. Elke cirkel heeft een diameter van 2 m.

53

Hoeveel meter touw heb je nodig om deze ringen te maken?

MR34

A B C D E

minder dan 10 m tussen 10 m en 20 m tussen 20 m en 30 m tussen 30 m en 40 m meer dan 40 m

(4 %) (32 %) (7 %) (54 %) (3 %)

Analyse van de antwoorden • Stefaan noteert 2 m x pi x 5 = 31,4 m. Hij duidt antwoord D aan. •

Brent noteert 3,14 x 2 = 6,28 En al cijferend: 6,28 x 5 = 31,5. Hij maakt een rekenfout. Misschien zou handig hoofdrekenen 5 x is hetzelfde als 10 x en dan : 2 minder aanleiding geven tot fouten. Deze rekenfout belet hem gelukkig niet om het goede antwoord aan te duiden.

•

Van de zes klassen van wie ik de kladbladen analyseerde, zijn dit de enige twee leerlingen die iets noteren bij deze vraag.

Vraag 61 MR34 De waarde van pi ontdekken als de constante verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel (De benaderde waarde van pi is 3,14) en de formule voor de omtrekberekening van de cirkel gebruiken (pi x 2 x r of pi x d) MR88 Vraagstukken over één grootheid oplossen: lengte, oppervlakte, inhoud, volume, gewicht, tijd, geldwaarden, temperatuur en hoekgrootte

61

MR 34 MR88

30 jeugdspelers houden het doek in de middencirkel vast. De middencirkel van een voetbalveld heeft een straal van 9,15 m . Pieter wil uitrekenen op welke afstand de jeugdspelers van elkaar staan. Welke berekening geeft hem de juiste oplossing? A B C D E

(2 x 9,15 x 3,14) : 30 (9,15 x 9,15 x 3,14) : 30 (2 x 18,30 x 3,14): 30 (18,30 x 18,30 x 3,14) : 30 niet gegeven

(46 %) (38 %) (4 %) (2 %) (9 %)


17

Analyse van de antwoorden • Stefaan noteert bij A = (18,3 x 3,14) : 30 = . •

Annelies doorstreept alle antwoorden tot ze antwoord A overhoudt.

•

De meeste fouten worden gemaakt door de omtrekformule te verwarren met de oppervlakteformule (antwoord B).

•

Of misschien zelfs door de begrippen zelf – ‘omtrek’ en ‘oppervlakte’ – te verwarren.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Herkennen dat het om de omtrekberekening van een cirkel gaat. • De formule van de omtrekberekening van een cirkel kennen. • De begrippen diameter en straal kennen. • Een situatie verwiskundigen en omzetten in een formule. • Werken met afgeronde getallen (vraag 53). Suggesties voor preventie en remediëring Staan we eerst stil bij de aanbreng van de formule van de omtrekberekening van een cirkel. Het project Math on the Beach (2007) beschrijft een nieuwe wiskundige methodiek voor kinderen: het bedrijven van meetkunde in het zand op het strand. Door deze methodiek wordt wiskunde echt boeiend en toegankelijk. Dit project werd uitgevoerd door de opleiding Bachelor in het Onderwijs van de Arteveldehogeschool Gent. “Kleuters werken vaak in het zand en doen daar allerlei ervaringen op”, vindt Greet Van Keymeulen, coördinator van het project. “In de hogere klassen verliest men deze context wat uit het oog. Men gaat te vlug – en zeker bij meetkundige constructies – in het platte vlak met potlood en papier aan de slag. We lieten ons voor Math on the beach onder andere inspireren door Griekse denkers en Egyptische landmeters.” Van Keymeulen typeert de didactiek als volgt: Een integratie van 1. Het gaat over groot en grofmotorisch handelen. Kinderen tekenen met een stok in denken en handelen het zand. staat voorop. 2. Het gebeurt buiten in de openbare ruimte: het strand, een grote zandbak, … 3. De leerlingen gebruiken eenvoudige, soms zelfgemaakt meetinstrumenten, bijvoorbeeld een touw met knopen. 4. Ze werken met natuurlijke materialen, bijvoorbeeld schelpen. 5. De specifieke opdrachten motiveren, remediëren en interculturaliseren. 6. De leerlingen fotograferen hun creaties. 7. Ze maken een fotodraaiboek als naslagwerk. In de meeste wiskundemethodes leert men de formules van de omtrek en de oppervlakte van de cirkel als volgt aan: Omtrek • Laat bij verschillende ronde voorwerpen de middellijn en de omtrek meten. • Breng deze waarden in een tabel. • Bereken de verhouding tussen de omtrek en de middellijn. • Trek het besluit: er is een vaste verhouding die we uitdrukken met het getal ∏ (pi).


18

Omtrek Middellijn of diameter Bord Uurwerk Fietswiel … Besluit: er is een vaste verhouding

verhouding

∏ = 3,14

Oppervlakte • Herstructureer de oppervlakte van de cirkel tot een parallellogram. Verdeel de cirkel in sectoren zoals bij een doosje smeerkaas. Neem de blokjes eruit en ga ermee puzzelen. Als je de gebogen lijnen recht denkt, ontstaat er een parallellogram. •

Noteer de oppervlakteformule van een parallellogram (b x h).

•

Verander in de formule de waarden door deze van de cirkel. De basis van het parallellogram is even lang als de halve cirkelomtrek (dus 2∏r : 2) en de hoogte is bij benadering even lang als de straal (dus r). Wanneer je b x h vervangt door de waarden 2∏r : 2 en r, krijg je ∏r². Of de formule van de oppervlakte van een cirkel.

Aanvullende (remediërende) benaderingswijze van ‘Math on the beach’ Eens de formules van omtrek en oppervlakte zijn verkend, kan je ze vergelijken en via een andere invalshoek benaderen. Wat is verschillend? Wat is gelijk aan beide formules?

Verschillend Gelijk

Omtrek 2r of 2 x r ∏ (pi)

Oppervlakte r² of r x r ∏ (pi)

Zet je leerlingen op het strand, in de zandbak, op de speelplaats… aan het werk met de volgende opdrachtkaarten voor de ervaring van de omtrek en de oppervlakte van de cirkel. Bij de hieronder geformuleerde opdrachten laten we kinderen ervaren wat 2r en r² juist betekent. En laat je ∏ samenvallen met de notie ‘iets meer dan 3 keer’. Bij het herstructureren merken kinderen dat het niet helemaal klopt: je hebt wat schelpen over of te kort. ∏ is immers een kommagetal. En de omtrek is iets langer dan 3 keer de diameter. Terwijl de oppervlakte van de cirkel iets groter is dan 3 keer het vierkant met de straal als zijde. Aandachtspunt bij de opdracht van de omtrek: gebruik systematisch schelpen met een andere kleur om de middellijn te bedekken en nadien over te brengen naar de omtrek. De structuur van de formule wordt zo duidelijker.


19

De cirkel

omtrek Opdracht 1. Teken een cirkel en teken 2r. 2. Bedek de middellijn met schelpen in dezelfde kleur. 3. Breng de schelpen over naar de cirkelomtrek. 4. Bedek de middellijn met schelpen van een andere kleur of vorm. 5. Breng deze terug over naar de cirkelomtrek. 6. Hoeveel keer kan de middellijn in de cirkelomtrek? 7. Heb je schelpen over of te kort? Leercel De middellijn of diameter gaat zeker drie keer in de cirkelomtrek. Ik heb wat schelpen te kort, want de cirkelomtrek is iets langer dan drie keer de middellijn. Wiskundige vertaling Middellijn r Iets langer dan 3 ∏ (3,14) Formule omtrek cirkel ∏ x 2 x r


20

De cirkel

oppervlakte Opdracht 1. Teken een cirkel. 2. Bedek de oppervlakte met schelpjes. 3. Teken 4 vierkanten waarvan de zijde samenvalt met de straal van de cirkel. 4. Breng de schelpen over naar de vierkanten. 5. Hoeveel volledige vierkanten kan je nu bedekken met hetzelfde aantal schelpen? 6. Heb je wat schelpen over of heb je wat schelpen tekort?

Leercel De oppervlakte van de cirkel herstructureer ik tot drie vierkanten waarvan de zijde gelijk is aan de straal. Ik heb wat schelpen over. Ik kan dus iets meer dan 3 vierkanten vullen. Wiskundige vertaling Oppervlakte vierkant (zijde = straal) r x r Iets meer dan drie ∏ (3,14) Formule oppervlakte cirkel = r x r x ∏

Van Keymeulen merkt terecht op dat je mogelijke fouten niet bij voorbaat angstvallig moet vermijden. Kinderen leren al doende. Door het werken met natuurlijke maateenheden (schelpen) kan het bijvoorbeeld voorkomen dat de schelpen uit het cirkelkwadrant perfect passen in de ruimtes die je nog moet aanvullen. En dat met andere woorden de oppervlakte gelijk is aan ‘exact’ 3 x r x r. Bespreek met de kinderen dat je ‘benaderend’ werkt en dat het over ‘ongeveer 3 keer gaat’. Wanneer verschillende groepen de opdracht hebben


21

uitgevoerd kan je bovendien de stap-voor-stap foto’s, die de leerlingen van hun werk maken, vergelijken. Dankzij de digitale camera zien kinderen onmiddellijk het effect. Ze kunnen na de uitvoering van de opdrachten de foto’s meteen gebruiken voor een klassikaal gesprek. De foto’s slaan ze op in een fotodraaiboek. Dit is een klassiek fotoalbum met 6 fotohoesjes per pagina. Per opdracht zitten er 3 fiches en 3 foto’s in (zie tabel hierboven). De kinderen mogen dit fotoboek om beurt mee naar huis nemen. Zo betrekken ze hun ouders bij het leerproces. Ze oefenen bovendien de wiskundige begrippen.

Kinderen leren al doende.

Het tekstboek en het fotoboek van ‘Math on the beach’ zijn een echte aanrader. Je kan ze online bestellen via www.lulu.com. De Amerikaanse uitgeverij drukt je bestelling en verstuurt elk boek apart.

Een bedenking In welke mate kunnen de interdiocesane proeven het onderwijs sturen? We laten de interpretatie aan jullie over. Vergelijk beide vragen. Vraag uit 2007

48

Per minuut verdwijnt ongeveer 15 ha tropisch regenwoud. Hoeveel m² is dit?

MR37c

A 150 8%

B 1 500 22 %

C 15 000 21 %

D 150 000 45 %

E 15 miljoen 4%

Vraag uit 2008

53

Het Olympisch dorp is 80 ha groot, met 450 000 m² bebouwde oppervlakte.

MR37c

Er blijft dan nog 350 000 m² onbebouwde oppervlakte over. (69 %)

5 MEETKUNDE Vraag 66 Het enige goede antwoord was 0. Enkele leerkrachten contacteerden me in de toetsweek in juni in verband met vraag 66. Ze vroegen zich terecht af of het antwoord ‘1 symmetrieas’ in de correctiesleutel wel klopte. Dat antwoord klopte dus niet. Waarom? Precies om alle verwarring bij de leerlingen te vermijden hadden we een wiskundige een tekening laten maken waarbij de manier waarop de ringen in elkaar zitten geen rol speelt. Het was helemaal niet de bedoeling om in een moeilijke figuur als de ‘echte’ olympische ringen op zoek te gaan naar mogelijke symmetrieassen. Zo werd de vraag naar de drukker gestuurd:


22

66

Hoeveel symmetrieassen heeft het symbool? ………

MK37b

Het goede antwoord is dan inderdaad 1 symmetrieas (blauwe lijn). Ondanks de nodige drukproeven stond vraag 66 als volgt in het uiteindelijke vragenboekje:

Het goede antwoord is hier 0 symmetrieassen. Omdat vraag 66 een invulvraag is én leerkrachten die vraag zelf verbeteren, kunnen we niet nagaan in welke mate leerkrachten ‘0’ in plaats van ‘1’ goedgekeurd hebben of misschien beide antwoorden als ‘juist’ ingegeven hebben. Had je zelf gemerkt dat de correctiesleutel fout was, dan is er niets aan de hand en zijn de leerlingenresultaten correct ingegeven. Zoniet, stel ik voor om bij de analyse van de resultaten van je school geen rekening te houden met deze vraag. Dit soort fouten mag uiteraard niet voorkomen. Het brengt de kwaliteit van onze proeven in het gedrang.

Tot slot nog even meegeven dat dit schooljaar de resultaten van bijna 60 % van alle ingeschreven leerlingen werden ingevoerd. Veel scholen kunnen dus met hun IDP-rapport aan de slag!

Met dank aan de volgende scholen OLVE-FAMILIA, Ingenieur Haesaertslaan 4, 2650 Edegem. Openluchtschool Sint-Ludgardis, Donksesteenweg 150, 2930 Brasschaat. Sint-Jozef, Kloosterstraat 1, 2520 Emblem. Sint-Jozefsinstituut, de Robianostraat 11, 2150 Borsbeek. Bronnen Freudenthal Instituut. Tal-bovenbouw. De kern van breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. Discussiestuk. Utrecht 2005. Atos Origin Belangrijke technologische mijlpalen in de geschiedenis van de Olympische Spelen: http://www.depers.nl/economie/117947/Strijd-tussen-Vista-en-XP.html binnengehaald op 23 juni ’08. Klokkijken: wijzer voor wijzer: http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/producten/software/wijzervoorwijzer/klokkijken_wijzer_vo or_wijzer.pdf binnengehaald op 23 juni ’08. CD-rom van De Nationale Doorsnede. http://www.fi.uu.nl/rekenweb/groterekendag/2005/vo/docs/Lesbrief4.doc binnengehaald op 30 jun. 08. Heb je nog vragen? Contacteer Marleen Duerloo [email protected]


23

COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR

Recommend Documents