COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR

COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR PREVENTIE EN REMEDIËRING BIJ WISKUNDE IDP6 Marleen Duerloo

2010

pedagogisch begeleider VVKBaO

In deze bijdrage bespreek ik een aantal vragen van de proef wiskunde voor het zesde leerjaar. Van enkele scholen kreeg ik de antwoorden kladbladen van hun leerlingen. Aan de hand daarvan analyseer ik de gegeven antwoorden. Je vindt bij elke vraag de beoogde doelstelling(en), de vraag zelf met de score van het juiste antwoord en bij een meerkeuzevraag de scores van de verschillende antwoorden. GA betekent ‘geen antwoord’. Dan volgt een analyse van de antwoorden met mogelijke oorzaken van de gemaakte fouten. Tot slot krijg je suggesties voor preventie en remediëring. Deze richten zich niet enkel tot de leerkrachten van het zesde leerjaar, maar zijn nuttig voor alle leerkrachten uit de leerjaren waarin deze doelstellingen worden aangezet of verworven. Ook hiervoor geef ik tips. Mag ik ook nog verwijzen naar de databank op www.vvkbao.be bij IDP – wiskunde waarin alle vragen vanaf 1999 zitten? Met een zoeksysteem kan je zelf criteria selecteren waaraan de opgevraagde vragen moeten beantwoorden. Bijvoorbeeld: ‘alle makkelijke vragen (meer dan 85 % goed beantwoord) van getallenkennis’. Met dit materiaal kan je zelf (gedifferentieerde) toetsen samenstellen of opdrachten kopiëren voor hoeken- en contractwerk. Vergeet niet in te loggen! Ik bespreek de vragen in de volgorde van het vragenboekje. Het accent van deze bijdrage ligt op oplossingswijzen en op datgene wat we kunnen leren van kladwerk. Je vindt: - Hoofdrekenen op p. 4 of klik hier. - Getallenkennis op p. 6 of klik hier. - Bewerkingen zonder zakrekenmachine (dag 1) op p. 11 of klik hier. - Bewerkingen met zakrekenmachine (dag 2) op p. 14 of klik hier. - Meten en metend rekenen op p. 19 of klik hier. - Meetkunde op p. 29 of klik hier. - Wat kunnen we leren van het gebruik van kladpapier op p. 33 of klik hier. Maar eerst komt nog een belangrijk stuk uit het artikel dat je vindt in School + Visie van oktober 2010.

HOE HANDHAVEN WE SAMEN DE KWALITEIT VAN ONZE PROEVEN? De online vragen van de IDP6-proef zijn gelijk aan de vragen op papier. Vandaar dat de toetsomgeving ook anders is dan die van het vierde leerjaar. Dat maakt dat ook bij de afname van de online proeven de leerkrachten verantwoordelijk zijn voor een gedeelte van de verbetering. Dat werk wordt er dus niet minder op. In de online proeven hebben we als toetsenmakers een uitstekend zicht op welke antwoorden door leerkrachten goedgekeurd worden.

Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij wiskunde IDP6 2010

1

In het onderdeel ‘beheer antwoorden’ krijg je de antwoorden van leerlingen te zien. De roodgekleurde antwoorden moeten de leerkrachten nog verbeteren, de blauwgekleurde zijn al verbeterd, maar kunnen nog door de leerkrachten en de toetsenmakers aangepast worden. Wanneer de toetsenmakers de antwoorden nakijken en bewaren, kleuren de antwoorden zwart en kunnen leerkrachten niets meer wijzigen. Antwoorden die NOG NIET verbeterd zijn. Verbeter ze en klik daarna op Bewaren. Antwoorden verbeterd door een LERAAR. Je kan nog aanpassen indien nodig. Klik daarna op Bewaren. Antwoorden die reeds door VVKBaO zijn verbeterd. Je kan hun beslissing niet wijzigen.

Wat stellen we vast? Elk jaar stellen we correctiesleutels ter beschikking. Verbeter nauwkeurig en We verwachten natuurlijk dat die correctiesleutels zoals aangegeven is in strikt gehanteerd worden, zonder persoonlijke de correctiesleutels. interpretaties. Met andere woorden dat we de zekerheid kunnen bieden aan de deelnemende scholen dat de antwoorden van alle leerlingen op dezelfde mannier gecorrigeerd worden. Dat is een voorwaarde voor een objectieve, gestandaardiseerde proef. Als de verbeteringen al te nonchalant gebeuren of vanuit de kenmerken van een bepaalde leerling (bv. Bij die zwakke leerling heb ik dollar goedgekeurd, hoewel er euro hoort te staan), dan heeft het berekenen van gemiddelden nog weinig zin! Met andere woorden: verbeter nauwkeurig en zoals aangegeven is in de correctiesleutels. Doe je dat niet, dan vergelijken we op den duur appels met citroenen. En daar is niemand bij gebaat. Wat bedoelen we precies? Vraag 27. 300 leerlingen van basisschool Joepie gaan naar het circus. Een kaartje kost 3,45 euro. Hoeveel moet basisschool Joepie in totaal betalen? We verwachten als antwoord: 1 035 euro en keuren 1 035 af. Vraag 58. Bepaal de oppervlakte van deze figuur. We verwachten als antwoord: 6 cm² en niet 6. Het antwoord: De oppervlakte van deze figuur is 6 vierkante cm is uiteraard ook correct. Vraag 51 daarentegen zegt Chocolade bestaat voor een groot gedeelte uit cacao. Dit pakje van 150 gram bevat minimaal 35 % cacao. Bereken hoeveel gram cacao er minimaal in dit pakje zit. Hier is 52,5 een correct antwoord, maar rekenen we uiteraard 52,5 gram niet fout. Zijn de toetsenmakers niet te streng? We vinden van niet. Nauwkeurigheid moet bij wiskunde – en niet alleen daar – hoog in het vaandel gedragen worden. En ja, we verwachten van leerlingen dat ze op het einde van het zesde leerjaar instructies goed kunnen lezen en uitvoeren. En ja, die instructies en vragen kunnen gelukkig ook nog van elkaar verschillen. En neen, we willen leerlingen daarmee niet in verwarring brengen. “Had ik geweten dat er zo streng beoordeeld ging worden op maten (bv. euro erbij), dan had ik mijn leerlingen hier toch nog eens op attent gemaakt.” We vinden het fijn dat deze leerkracht zo eerlijk is, maar eigenlijk denken we: daar hadden zij en haar collega’s zes jaar lang bij hun leerlingen op mogen hameren. Het is nu eenmaal van belang om de juiste maateenheid te vermelden. Zo is 0,45 euro niet hetzelfde als 0,45 cent.


2

Moet een antwoord niet altijd uit een ‘volledige zin’ bestaan? Eerder schreef Bart Masquillier daarover al in Commentaar en suggesties bij de resultaten interdiocesane proeven Nederlands zesde leerjaar 2006: In het vijfde en zesde leerjaar loont het de moeite om wanneer er in de context een bevelzin voorkomt, die nader met de leerlingen te bekijken. Als het zich voordoet, kun je ook zinnen beschouwen die op het eerste zicht geen zin zijn. Maar ze zijn het wel! Voorbeeld: Is Morgen! een zin? Toch wel. Zodra we onze mond opendoen, zeggen we een zin. Taalkundigen beschouwen de zin als de kortste eenheid van taalgebruik. Wanneer we maar een woord zeggen, is dat ook een zin, want we zorgen ervoor dat de luisteraar door de context weet wat ik met dat woord bedoel. Bv. Wanneer vertrek jij op reis? Morgen! De luisteraar weet dat ik met Morgen bedoel: Morgen vertrek ik op reis. Vaak is in zinnen een deel ‘verzwegen’. Bv. Zou je nu die bal willen teruggeven aan Pieter? Nooit! In het zinnetje Nooit! zijn het onderwerp, het werkwoordelijk gezegde, de voorwerpen en één bepaling weggelaten. Toch is de zin in deze communicatieve situatie duidelijk en voldoende. Heel vaak spreken we niet met ‘volledige’ zinnen. Er moet wel een antwoord staan Ook ‘lege’ antwoorden werden door leerkrachten goedgekeurd. De enige verklaring die we hiervoor kunnen bedenken is dat leerkrachten als volgt geredeneerd hebben: deze leerlingen hadden onvoldoende tijd om het antwoord van hoofdrekenen binnen de voorziene vijf minuten in te vullen. Ze geven nadien wel het goede antwoord. Ook hier worden de onliners waarschijnlijk correcter verbeterd. Geen antwoord of niet tijdig klaar, geen punten. Verstrooid zijn kan altijd

Vreemd dat iemand hier 85 goedkeurt terwijl het antwoord 52,5 moet zijn. Wel te begrijpen als je weet dat het antwoord op de volgende vraag 85 is. Besluit Als deze discussie als gevolg heeft dat we met z’n allen (nog) meer aandacht geven aan het zorgvuldig leren antwoorden door onze leerlingen, dat heeft ze veel opgebracht. Niet alleen om de kwaliteit en de validiteit van onze proeven te waarborgen, maar ook om onze leerlingen aan te zetten tot nauwkeurig en grondig lezen en tot nadenken over de formulering van hun antwoord.


3

1. HOOFDREKENEN Vraag 10 B22 Bij eenvoudige delingen (bijv. 45 : 7 quotiënt 6 rest 3; 96: 8; 750 : 3; 100 000 : 4) flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van inzicht in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van de deling; die delingen correct uitvoeren, verwoorden en noteren: a) bij opgaande delingen naar analogie met de delingstafels (bijv. 720 : 9) en buiten de delingstafels (bijv. 69 : 3; 750 : 3)

10

888 : 444 = 2

56 % goede antwoorden

Analyse van de antwoorden  Het is de laatste vraag van de 10 oefeningen van hoofdrekenen. Leerlingen krijgen 5 minuten de tijd om de antwoorden te geven. Waarschijnlijk heeft een beperkt aantal leerlingen tijd te kort gehad om deze vraag te beantwoorden. Op de antwoordbladen die ik nakeek, hebben echter alle leerlingen een antwoord gegeven. 

Gelukkig maken niet alle leerlingen de vragen in de opgegeven volgorde. Zo hebben Nele en Lucas vraag 6 opengelaten, blijkbaar vonden ze 150 : 6 een moeilijke opgave.



654 onliners antwoorden 222. Vermoedelijk delen ze elk cijfer afzonderlijk en rekenen ze 8 : 4 = 2 en 8 : 4 = 2 en 8 : 4 = 2. Dat geeft dan na elkaar 222.



Maar ook 111 en 444 komen verschillende malen voor.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen?  Vlot in een behoorlijk tempo uit het hoofd kunnen rekenen. 

Nagaan hoe vaak 444 in 888 past. En dat is twee keer.

Wat gaat er goed bij hoofdrekenen?  Claudia toont dat ze echt handig kan rekenen.

Ze heeft geen groene balpen gebruikt zoals in de instructies werd gevraagd, maar wel een zwarte en voor de rest van de vragen nam ze een blauwe balpen. Zo kon haar leerkracht goed nagaan of de vragen van hoofdrekenen binnen de voorziene vijf minuten ingevuld waren. Claudia heeft later ook niets meer verbeterd en/of aangevuld. We kunnen zien dat deze proef van hoofdrekenen verliep volgens de de richtlijnen. 

Bij Gitte loopt het hoofdrekenen wat moeilijker. Maar ze heeft wel geleerd om tussenuitkomsten op te schrijven zodat je als leerkracht ook kan zien waar het dan misgaat. Gitte heeft 9 x 123 = netjes gesplitst en verdeeld. Ze telt de tussenuitkomsten spijtig genoeg verkeerd op.


4

Bij 150 : 6 denkt Gitte dat delen door 6 hetzelfde is als 2 keer delen door 3. Bij oefening 7 zet ze 2,54 goed om in 254 h, maar van 0,8 denkt ze ook dat het om 8 h gaat.

Wat kan je met deze informatie doen? Nagaan of dergelijke fouten alleen bij Gitte voorkomen of dat ze bij verschillende leerlingen opduiken. Is dat laatste het geval, dan is het aan te raden dat er in de hele school vanaf het eerste leerjaar meer aandacht gaat naar de onderliggende processen van hoofdrekenen. Ook kan er meer inzichtelijk gewerkt worden aan de eigenschappen van en de relaties tussen de bewerkingen. Wat deze school zeker moet borgen, is dat haar leerlingen bereid zijn om tussenstappen te noteren. Suggesties voor preventie en remediëring Kijk bij vraag 10 ook hoe leerlingen hebben geantwoord op vraag 3 en 6. Ze gaan namelijk over dezelfde doelstelling. In de Commentaar en suggesties bij IDP4 2010 schreef ik een stukje over ‘gedachtevol oefenen’. De tips die daar gegeven worden, gelden ook voor deze oefening van het zesde leerjaar. Ik herhaal hier de inleiding die hoort bij Leren nadenken over oplossingswijzen. Moeten tussenstappen altijd genoteerd worden? Vaardige leerlingen hebben het niet nodig om telkens tussenstappen te noteren. Met hen kan je echter wel werken aan doelstellingen als G42 In diverse situaties de geleerde symbolen, terminologie, notatiewijzen en conventies in verband met getallen correct gebruiken en B3 De geleerde symbolen, notatiewijzen en conventies in verband met bewerkingen met getallen a) kennen en gebruiken in verschillende situaties en b) de structuur van formules begrijpen en de formules correct toepassen. Maak hen dan ook duidelijk waarom je vraagt om af en toe tussenstappen te noteren. Het bevorderen van een goede rekenhouding Het kritisch kunnen beoordelen van het rekenwerk van een computer of een zakrekenmachine vraagt om bepaalde inzichten en vaardigheden en om inzet van een relatienetwerk. Het vraagt vooral ook om een bepaalde houding. Een houding waarin je ook naar getallen en bewerkingen kijkt, in plaats van je te beperken tot het uitvoeren van procedures. En tegelijkertijd zal het kinderen ook helpen om de meest geschikte rekenwijze te leren kiezen. Hoe kan je werken aan het bevorderen van een houdingsverandering bij het maken van oefenrijtjes? Hoe streef je naar een ideale houding waarbij kinderen eerst naar de getallen kijken en naar de relaties tussen verschillende opgaven, voordat ze antwoorden gaan zoeken? Het werken aan deze houdingsverandering kan er voor zorgen dat


5

kinderen niet alleen gericht zijn op het vinden van het antwoord van afzonderlijke opgaven. Het helpt kinderen bij het leggen van relaties tussen bewerkingen. Het stelt hen ook in staat om gebruik te maken van deze relaties. Lees verder bij IDP4 2010.

2. GETALLENKENNIS Vergelijk ook met je resultaten van vorig jaar. Heb je gewerkt aan procenten en breuken? En is het resultaat daarvan merkbaar? Of moet je je aanpak nog verder bijsturen? Vraag 14 G25b Een percent interpreteren en gebruiken: b) als een verhouding en de term percent gebruiken G36 Getallen afronden (de graad van nauwkeurigheid wordt bepaald door het doel van het afronden en door de situatie)

14

Op basisschool Fien en Floris in Glabbeek bespelen 39 van de 118 leerlingen een muziekinstrument. Hoeveel procent is dat ongeveer?

G25b G36

A 25 % 16 %

B 30 % 62 %

C 40 % 18 %

D 50 % 3%

E 120 % 1%

Analyse van de antwoorden • 16 % van de leerlingen denken dat de verhouding ongeveer 1/4 of 25 % is. •

De fout ‘ongeveer 40 %’ kan mogelijk voorkomen uit het idee ‘ik rond 39 af naar 40’, of uit een foute vereenvoudiging van

40 naar 1/4 en dan misschien nog een 120

keer fout gedacht dat 1/4 overeenkomt met 40 %. Wat moeten leerlingen kennen en kunnen?  De getallen 39 en 118 kunnen afronden naar respectievelijk 40 en 120.

40 . 120



De verhouding kunnen nagaan tussen 40 en 120 bv.



De breuk



1 kunnen omzetten naar een ‘ongeveer’ procent, in dit geval 30 %. 3

40 1 kunnen vereenvoudigen naar . 120 3

Vraag 18 G23 In eenvoudige en zinvolle gevallen (bijv. om vraagstukken op te lossen) de gelijkwaardigheid inzien en verduidelijken door omzettingen van kommagetallen en breuken


6

18

Schrijf

G23

0,125

1 als een kommagetal. 8 63 % goede antwoorden

Analyse van de antwoorden  Een vrij grote groep van de leerlingen antwoordt: 12,5. Ze hebben misschien 100 gedeeld door 8 of weten dat 100 : 8 gelijk is aan 12,5. 

Anderen geven als antwoord 1,25. Deden ze 10 : 8?



Bijna 100 onliners denken dat

1 = 0,8 en een kleiner groepje gaat voor 0,08. 8

Deze leerlingen hebben niet de attitude om na te gaan of hun antwoord wel kan kloppen. Wanneer ze 0,8 of 0,08 terug naar een breuk zouden omzetten, zouden ze vinden dat 0,8 = 

4 8 en dat 0,08 = . 5 100

Jordy schrijft in zijn antwoordboekje eerst

125 , doorstreept die breuk en schrijft 1000

12,5. 

In alle andere antwoordboekjes is nergens een (aanzet tot een) bewerking te vinden.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen?

1 hetzelfde betekent als 1 : 8. 8



Weten dat de notatie van de breuk



1 kunnen delen door 8. Dat kan handig uit het hoofd door drie keer na elkaar te halveren. Namelijk 1 : 2 = 0,5 dan 0,5 : 2 = 0,25 en tot slot 0,25 : 2 = 0,125. Het kan eventueel ook door te cijferen.



Sommige leerlingen weten gewoon dat 1 : 8 = 0,125.

Vraag 20 G15c Breuken lezen en schrijven en gebruik maken van de termen c) stambreuk G27 In eenvoudige en zinvolle gevallen de gelijkwaardigheid van breuken, kommagetallen en percenten inzien en verduidelijken door omzettingen

20

Vul de juiste stambreuken in. 5%=

G15c G27

1 .

0,5 % =

(1/20)

1 .

(1/200)



7

Analyse van de antwoorden Om niet alle combinaties op te sommen neem ik de antwoorden apart.

1 1 . Leerlingen denken waarschijnlijk aan 0,5 = . 2 2 1 1 komen vaak voor. Wanneer leerlingen eerst de Maar ook 5 % = en 0,5 % = 5 50 5 1 doen en dan pas vereenvoudigen naar zou deze omzetting van 5 % naar 100 20

•

0,5 % =



fout waarschijnlijk minder gemaakt worden. Deze leerlingen zien wel in dat 0,5 %

1 van 5 %. 10 1 1 en 0,5 % = . Deze leerlingen maken geen onderscheid tussen 5 % 5%= 20 20 =



en 0,5 %. 

5%=

1 1 en 0,5 % = . Niet alleen is de noemer fout, de leerlingen gebruiken 5 0,5

een komma in de noemer van een breuk, wat niet mag. 

0,5 % =

1 1 zien als de helft van want 50 is de helft van 100. 50 100

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? •

5 % kunnen omzetten naar =

5 1 en van daar naar . 100 20

•

0,5 % kunnen omzetten naar

5 1 en van daar naar . 1000 200

•

Of redeneren als volgt: 0,5 % is tien keer kleiner dan 5 %.

1 1 : 10 = . 20 200

Suggesties voor preventie en remediëring Over kommagetallen, breuken en procenten schreef ik al commentaar en suggesties voor IDP4 2010. En ook vorig jaar voor IDP6 2009 besteedde ik al aandacht aan de aanpak van breuken en procenten in de bovenbouw. Ik haal nog enkele ideeën uit het boek Nog beter Rekenen Meer oefenen met de cruciale rekenleerstof via coöperatieve werkvormen. ISBN nummer: 9789074233941 Je begint aan de volgende drie oefeningen in een groepje van vier leerlingen, dan werk je per twee en tot slot zijn de laatste oefeningen individueel op te lossen of ‘4 – 2 – solo’.


8

Een andere mogelijkheid is Schud en Pak De leerlingen spelen samen een kaartspel: ze stellen elkaar vragen over een rekenprobleem, dagen elkaar uit, zoeken de antwoorden en motiveren elkaar. Je kan het spel met vier of met twee spelen. De leerkracht geeft elk groepje een pakje rekenkaarten.


9

1. Leerling A maakt een waaier van kaarten en zegt: ”Kies een kaart”. Hij/zij houdt zicht op de antwoordzijde. 2. Leerling B pakt een kaart, legt die plat op de tafel en leest de vraag voor. 3. Denktijd 4. Leerling C probeert de vraag te beantwoorden. De andere leerlingen mogen sturende vragen stellen om leerling C op weg te helpen. 5. Leerling D controleert het antwoord met de antwoordzijde van de kaart. 6. Leerling D bedankt leerling C voor de inzet. Zowel bij een goed, een fout of het ontbreken van een antwoord wordt de inzet van de leerling gewaardeerd. 7. Wisselen van rol. Voorbeelden uit Kompas 5 Werkboek C In de eerste oefening leren leerlingen omzettingen maken tussen breuken, kommagetallen en procenten. Wanneer we echt willen dat leerlingen meer formele wiskundetaal gebruiken, zou het aan te raden zijn dat de opdracht niet ‘Vul in’ is, maar bijvoorbeeld ‘Zoek naar de gelijkwaardigheid van breuken, kommagetallen en percenten’.

Bij de volgende oefening wordt heel wat meer wiskundetaal gebruikt. Het figuurtje maakt ook duidelijk waarover het in deze oefening gaat. Je moet goed weten wat je aan het oefenen bent. Dat is erg belangrijk om je leren zelf in handen te kunnen nemen.


10

3. BEWERKINGEN ZONDER ZAKREKENMACHINE (DAG 1) HIER KEER IK DE VOLGORDE VAN DE VRAGEN OM. ZO KOMEN DE TWEE VRAAGSTUKKEN NA ELKAAR.

Vraag 24 B36b Schattend rekenen: b) om de grootteorde van de uitkomst van een berekening (onder meer op de zakrekenmachine) globaal te controleren

24

David rekent een deling uit op zijn zakrekenmachine. Bij het opschrijven van het antwoord vergeet hij de komma. 3 568 : 49 = 7 2 8 1 6 3 2 7 Wat is het juiste quotiënt?

B36b

A 7,2816327 4%

B 72,816327 59 %

C 728,16327 17 %

D 7 281,6327 5%

E 72 816,327 13 %

GA 1 % Analyse van de antwoorden • Sommige leerlingen hebben misschien last met de notatie van 72 816 327 als 7 2 8 1 6 3 2 7. Hebben we hen geleerd ‘hun plan te trekken’ en de cijfers in dit geval zo te schrijven dat het wel duidelijk wordt om welk getal het gaat? •

Leerlingen die antwoord A 7,2816327 kiezen, denken die leerlingen dat 50 slechts 7 keer in 3 500 past.

•

Leerlingen die antwoord C 728,16327 kiezen, denken dat 50 meer dan 700 keer in 3 500 past.

•

Leerlingen die antwoord D 7 281,6327 kiezen, denken dat 50 meer dan 7 000 keer in 3 500 past.

•

Leerlingen die antwoord E 72 816,327 kiezen, denken dat 50 meer dan 70 000 keer in 3 500 past.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De getallen 3 568 : 49 afronden naar 3 500 en 50. •

De deling kunnen maken 3 500 : 50 = 70.

•

Of als je daaraan twijfelt eerst omzetten naar 350 : 5 = 70.

•

Weten dat je dan na 72 de komma mag plaatsen.

•

Eventueel de omgekeerde bewerking als controle maken 50 x 70 = 3 500.

•

De term quotiënt kennen.

•

Axelle was waarschijnlijk niet zo zeker van de tafel van zeven. Kijk naar haar kladblad bij de staartdeling van vraag 25. Dit is natuurlijk niet het niveau van het einde van het zesde leerjaar. Toch heeft Axelle zich aardig uit de slag getrokken én het goede antwoord gegeven.


11

Suggesties voor preventie en remediëring Ik verwijs naar drie eerdere publicaties: - In verband met schattend rekenen de commentaar bij Getallenkennis van IDP6 2005 (te vinden op www.vvkbao.be bij Pedagogisch – IDP – wiskunde). Wel inloggen. - In verband met de leerlijn ‘afronden van getallen’ vind je suggesties bij ‘Commentaar en suggesties voor remediëring IDP4 2006’. - Nog meer informatie vind je bij Toelichtingen bij getallenkennis vanaf bladzijde 71. In het algemeen denk ik dat we met z’n allen meer moeten investeren in afronden en schattend rekenen. Na elke schatoefening hoort een leergesprek over de aanpak en de gewenste graad van nauwkeurigheid. Schatten moet met makkelijke getallen, snel en vlot. Zo ervaren leerlingen dat het best wel leuk én handig is om te schatten.

Jordy toont bij vraag 21 hoe hij afrondt. Het zou zelfs nog ‘ronder’ mogen. Bv. 1 000 - 1 000 - 2 000 - 200 - 800 hetgeen uiteraard hetzelfde antwoord oplevert. Gelukkig vond ik op geen enkel kladblad een precieze berekening die daarna netjes afgerond werd. Vraag 23 B50a Enkelvoudige vraagstukken oplossen over vermenigvuldigen en delen in verschillende situaties met a) natuurlijke getallen DO2d Zoekstrategieën ontwikkelen Dat kan onder meer betekenen: d) noodzakelijke en overbodige informatie onderscheiden

23

Familie Art bezoekt het Koninklijk Museum voor Schone Kunsten Antwerpen op zondag 16 mei. De familie bestaat uit oma (64 jaar), vader (42 jaar), Ben (20 jaar), Marijke (17 jaar) en Pieter (12 jaar). De familie behoort tot geen enkele vereniging. Hoeveel moet de familie Art in totaal betalen om het museum binnen te mogen? B50a DO2d

A 30 euro 9%

B 18 euro 17 %

C 15 euro 9%

D 13 euro 20 %


E 11 euro 45 %

12

Analyse van de antwoorden • Als je de hele familie rekent aan normaal tarief moet de familie Art 30 euro betalen namelijk 5 x € 6 = € 30. •

Als je voor oma, vader en Ben een toegangsprijs rekent van 6 euro en Marijke en Pieter gratis binnen mogen, krijg je 3 x € 6 = € 18.

•

Wanneer je denkt dat oma en vader elk 6 euro betalen en de kinderen Ben, Marijke en Pieter elk 1 euro, dan krijgen we een totaal van 15 euro.

•

13 euro krijg je bv. wanneer oma en vader elk 6 euro betalen en Ben 1 euro. Maar andere combinaties zijn ook mogelijk bv. € 6 + € 4 + 3 x € 1.

•

Axelle toont netjes hoe ze tot het juiste antwoord komt.

•

Claudia zet er zelfs de categorie naast waarin de leden van de familie Art thuishoren.

•

Terwijl Caro het in haar vragenboekje zelf aanduidt.

Het is wel een vreemde bedoening in dat museum: als student betaal je 4 euro, maar voor 19 tot 25-jarigen bedraagt de toegangsprijs slechts 1 euro. De mogelijkheid dat Ben 4 euro moet betalen, hebben we in de meerkeuzemogelijkheden niet opgenomen. Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De gegevens uit de tekst combineren met de gegevens die ze nodig hebben uit de tabel. De toegangsprijs voor: oma vader Ben Marijke Pieter Totaal •

64 42 20 17 12

jaar jaar jaar jaar jaar

€4 €6 €1 gratis gratis

De som maken van € 4 + € 6 + € 1 = € 11

Heb je het voorbije schooljaar gewerkt aan het lezen en interpreteren van tabellen met je school? Is het resultaat daarvan al zichtbaar? Onder andere met deze vraag kan je dat nagaan.


13

4. BEWERKINGEN MET ZAKREKENMACHINE (DAG 2) Vraag 49 B51a Samengestelde vraagstukken oplossen over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met: a) natuurlijke getallen

49

Maarten koopt negen postkaarten. Veerle koopt zes postkaarten. De postkaarten kosten samen negen euro. Ze kosten allemaal evenveel. Hoeveel betaalt Veerle?

B51a

Veerle betaalt 3,60 euro voor zes postkaarten. 54 % goede antwoorden

Analyse van de antwoorden •

100 onliners antwoorden 6. Ze hebben misschien gelezen dat negen postkaarten negen euro kosten?

•

Andere leerlingen geven 3 als antwoord. Deden ze 9 – 6?

•

Leerlingen die 1,66 noteren, deden waarschijnlijk 15 : 9 = 1,66.

•

De antwoorden 0,6 euro en 0,60 euro zijn de prijs van 1 postkaart. Deze leerlingen vergeten te vermenigvuldigen met 6.

•

1,5 en 1,50 krijg je als uitkomst bij 9 : 6.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? Uit de tekst de volgende gegevens kunnen halen: •

Maarten koopt negen postkaarten. Veerle koopt zes postkaarten. Dat zijn er samen 15.

•

De postkaarten kosten samen negen euro. Ze kosten allemaal evenveel. Ik maak dus de deling 9 : 15 = 0,60.

•

0,60 kunnen vermenigvuldigen met 6.

Suggesties voor preventie en remediëring Wat zegt professor Lieven Verschaffel in het artikel Vraagstukkenonderwijs:boeiend en uitdagend of te moeilijk? in School + Visie van juni 2010? Hoe zit het met de toepassingsfunctie van vraagstukken? Handboekauteurs, toetsontwikkelaars en leerkrachten meenden lange tijd dat vraagstukken ideale oefeningen waren. Recente onderzoeksgegevens doen dat beeld teniet. Men heeft vastgesteld dat het oplossen van een vraagstuk in de wiskundeles iets totaal anders is dan het oplossen van een reëel buitenschools probleem en dat transfer van de eerste naar de tweede context daardoor veel minder groot is. Hoe leerlingen denken en wat leerlingen doen tijdens het oplossen van een schoolvraagstuk, heeft vaak weinig te maken met de authentieke denkprocessen die zich afspelen wanneer men geconfronteerd wordt met een reëel probleem. Hoe kan je anders verklaren dat leerlingen tijdens de vraagstukkenles moeiteloos aanvaarden dat iemand kilometers lang kan lopen aan zijn recordsnelheid op de 100 meter of dat leerlingen zonder enige


14

aarzeling de leeftijd van de kapitein bepalen door het aantal schapen en koeien op zijn schip op te tellen of te vermenigvuldigen? Hoe pakken we vraagstukkenonderwijs het best aan? Vervang klassieke schoolvraagstukken door rijke contextopgaven, die qua presentatie van de getalsmatige gegevens, vraagstelling, toegelaten rekenwijzen en hulpmiddelen, en verwachte antwoordwijze zo veel mogelijk gelijkenis vertonen met levensechte problemen. Dat zal de betekenisvolheid van het denken en de leermotivatie van de leerlingen ten goede komen. Dan worden vraagstukken tot wat ze (deels) moeten zijn: de eerste vingeroefeningen in wiskundig modelleren en mathematiseren. Dat betekent niet dat men de meer klassieke vraagstukken zonder meer overboord moet gooien. Bovendien moet men beseffen dat het zelden mogelijk zal zijn om de opgaven helemaal van hun schools karakter te ontdoen. Tenslotte volstaat het aanreiken van rijke contextproblemen niet. De leerkracht moet er ook op een passende wijze mee omspringen. Dr. Fien Depaepe, één van mijn medewerkers, stelde vast dat sommige leerkrachten in hun onderwijsaanpak die rijke contextopgaven werkelijk recht doen, terwijl andere ze meteen herleiden tot klassieke, gesloten vraagstukken. Soms omdat ze het open en complex karakter van zo’n contextopgave niet zien, soms omdat ze niet weten hoe (vak)didactisch om te gaan met de veelheid aan interpretaties en oplossingen die de leerlingen kunnen bedenken. Veel hangt dus af van hoe de leerkracht omgaat met de rijkdom en de vrijheid die zo’n contextopgave biedt. Hoe kunnen we de uitgangspunten van professor Verschaffel vertalen? Twee voorbeelden: 1. We gaan op uitstap Heb je er al aan gedacht om leerlingen te laten berekenen hoeveel een uitstap kost? Niet enkel met de vraagstukken uit je methode, maar met ‘echte’ gegevens die je van websites kan plukken. Dan heb je ongetwijfeld al gemerkt dat er met die echte gegevens eerst heel wat uitgeklaard moet worden, vooraleer je begint te rekenen. Nog leuker wordt het wanneer kinderen met eigen gegevens aan de slag mogen gaan. Ze moeten eerst nadenken over: • Uit hoeveel leden bestaat ons gezin? • Wie gaat er mee? • Hoe oud zijn ze? • Welk tarief is het voordeligst? • … 2.

Rekenen volgens de Singapore aanpak

Bronnen: http://www.bazalt.nl/nieuws/singapore-rekenen.html http://www.bazalt.nl/singaporerekenen/artikelsingaporerekenen.html (Lionel Kole)

Wat zegt Lionel Kole over de Singapore aanpak van rekenen? De term Singapore Rekenen verwijst naar een hoogwaardige en succesvolle wiskundeaanpak. Het is gebaseerd op een nationaal programma dat in Singapore sinds 1982 wordt onderwezen en continu aangepast wordt aan de nieuwste ontwikkelingen. Het is een activity-based programma dat leerlingen een grote variatie aan leerervaringen biedt. Beste rekenaars ter wereld Vanaf 1995 organiseert de International Association for the Evaluation of Educational Achievement het TIMSS onderzoek (Trends in Mathematics and Science Study). Leerlingen in Singapore blijken telkens de beste (of een na beste) rekenaars te zijn zowel qua prestatie als motivatie. Er spelen meerdere factoren een rol bij dit succes. Zo zijn over het algemeen de ouders in Singapore zeer betrokken bij de schoolprestaties van hun kinderen en worden zaken als huiswerk maken meestal zeer serieus genomen. Belangrijkste factor is echter het


15

eigen nationale rekenprogramma dat uitgewerkt werd in rekenboeken onder toezicht van het National Institute of Education van de Nanyang Universiteit. Singapore Rekenen in andere landen In andere landen wordt Singapore Rekenen al volop door scholen ingezet in het rekenonderwijs. In 2000 werd het programma voor het eerst in de Verenigde Staten gebruikt. Later ook in Israel, Zuid-Afrika, Saoedi-Arabië, Jordanië, Chili, Panama, Frankrijk, Duitsland, Pakistan, India, Indonesië, Filippijnen en Taiwan. Training leraren bepaalt succes Met name in de Verenigde Staten werd onderzoek gedaan op scholen die experimenteerden met het gebruik van de Singapore methode. Research gedaan door AIR (American Institutes for Research) voor het ministerie van onderwijs leidde tot de conclusie: "Singapore Mathematics can produce significant boosts in achievement" Volgens het AIR onderzoek biedt de Singapore aanpak "rich problem sets that give students many and varied opportunities to apply the concepts they have learned". Vervolgens werd onderzoek gedaan naar het verschil tussen scholen die een behoorlijke toename van de leerprestaties hadden en scholen waar het geen verschil maakte met de eerder gebruikte methode. Het werd duidelijk dat er een overheersende verklaring was: de mate waarin de leraren getraind waren in de nieuwe didactiek! Scholen die alleen met de Singapore boekjes werkten hadden geen of geringe vooruitgang van de rekenprestaties. Scholen waar de leraren getraind werden in de Singapore rekendidactiek boekten behoorlijke tot erg grote toename van de rekenprestaties van hun leerlingen. Door het structureel aanleren van het strookmodel als rekenmodel in de Singapore Rekenaanpak kunnen leerlingen moeilijke rekenproblemen oplossen en wordt hen symbolisch denken aangeleerd. Enkele voorbeelden Henk verkocht ’s ochtends 230 ballonnen op een kermis. ’s Middags verkocht hij er nog 86. Hoeveel ballonnen verkocht de man? Laura besteedde 20% van haar geld aan een jurk. Ze gaf 2/5 van het overgebleven geld uit aan een boek. Ze hield € 72 over. Hoeveel geld had zij eerst? Het eerste rekenvraagstuk is eenvoudig op te lossen, maar het tweede daarentegen niet. In Singapore wordt leerlingen aangeleerd hoe ze beide rekenproblemen op kunnen lossen met behulp van het strookmodel als teken-rekenmodel. Het goed kunnen hanteren van deze techniek leert hen niet enkel ingewikkelde rekenproblemen op te lossen, maar leert hen ook redeneren met symbolen: de basis van algebra. Bedenk wel dat dit soort vraagstukken tot de klassieke schoolvraagstukken behoren en dat dit geen voorbeelden zijn van rijke contextopgaven zoals Verschaffel bedoelt. Het strookmodel Het strookmodel is een specifieke variant van algemene tekenmodellen die gehanteerd kunnen worden om rekenproblemen op te lossen. Het succes van het strookmodel schuilt voornamelijk in het feit dat de Singapore aanpak leerlingen dit model consistent en zeer gestructureerd aanleert. Dit is een groot voordeel, vooral omdat het strookmodel ingezet kan worden bij het oplossen van veel rekenproblemen, waaronder opgaven waaraan verhoudingen, deel-geheelsommen, breuken en vergelijkingen ten grondslag liggen.


16

Voorbeeld: Een bakkersbedrijf maakte 300 taarten. Daarvan werd 3/4 verkocht aan bakkerijen in de buurt. 1/3 van wat overbleef werd later door klanten opgehaald. Hoeveel taarten bleven er die dag over? Het strookmodel maakt gegevens visueel en brengt orde aan in de informatie die de leerling wordt gepresenteerd. Het communiceert hierdoor grafisch met de leerling en laat zien hoe die informatie gebruikt dient te worden om een probleem op te lossen. Hierbij kan je opmerken dat wanneer je het strookmodel kan tekenen je meteen het probleem hebt opgelost. Eenvoudig of moeilijk? In het derde leerjaar worden de leerlingen voor het eerst geconfronteerd met het strookmodel, waarbij zij het leren toepassen voor eenvoudige opgaven, zoals het eerste rekenprobleem uit de inleiding. In het vierde en vijfde leerjaar passen leerlingen dezelfde techniek toe bij ingewikkelde en meervoudige rekenproblemen. In het zesde leerjaar passen zij het strookmodel toe bij het oplossen van moeilijke vraagstukken, zoals voorbeeld twee uit de inleiding. 1. Het eerste rekenprobleem uit het derde leerjaar demonstreert de basisvariant van de techniek: een strook die uit twee delen bestaat. Dit deel-geheelmodel werkt bij eenvoudige optel- en aftrekopgaven. Voorbeeld: Daniël en Peter hebben samen 450 knikkers. Daniël heeft 248 knikkers. Hoeveel knikkers heeft Peter? 2. Het volgende rekenprobleem demonstreert de tweede variant van de techniek: twee stroken die twee verschillende hoeveelheden representeren. Voorbeeld: Daniël heeft 248 knikkers. Peter heeft 202 knikkers. Wie heeft er meer knikkers? Hoeveel meer? 3. De laatste techniek die in het derde leerjaar wordt aangeleerd, combineert beide stroken d.m.v. een accolade, waardoor een verzameling wordt weergegeven. Deze variant werkt bij opgaven die twee rekenstappen vereisen om tot een oplossing te komen. Voorbeeld: Mary had 120 kralen meer dan Jill had. Jill had 68 kralen. Hoeveel kralen had Mary? Hoeveel kralen hadden ze samen? De aanpak met het strookmodel oogt wellicht eenvoudig en het is ook eenvoudig; tenminste wanneer je het kunt toepassen! De aanpak met het strookmodel helpt leerlingen rekenproblemen te doorgronden en daagt hen uit tot wiskundige beschouwingen. De aanpak helpt leerlingen bekende en onbekende gegevens te herkennen en te ordenen en de onderlinge relatie(s) tussen getallen te doorzien.


17

De rekenproblemen die de Singapore aanpak aanbiedt zijn ontwikkeld om stap-voor-stap rekenvaardigheden aan te leren. De teksten van de vraagstukken zijn zorgvuldig opgebouwd, zodat nieuwe concepten en algoritmische technieken worden gepresenteerd met voorbeelden en hints. Algebra in de steigers Leerlingen van het derde leerjaar wordt aangeleerd het strookmodel toe te passen bij vermenigvuldigingen en delingen. In het vierde leerjaar kunnen leerlingen het model hanteren bij breuken, waar het onderstaande vraagstuk een duidelijk voorbeeld van is. Voorbeeld: Een groenteboer heeft 42 appels. 2/7 van de appels zijn rood en de rest is groen. Hoeveel van deze appels zijn groen?

De leerlingen worden aangemoedigd om deelbreuken als eenheden op zichzelf te zien. Dit wordt later belangrijk wanneer leerlingen gaan delen met breuken. De leerlingen van het zesde leerjaar leren complexe, meervoudige rekenproblemen op te lossen, zoals het voorbeeld dat gegeven werd aan het begin van dit artikel. Voorbeeld: Laura besteedde 20% van haar geld aan een jurk. Zij gaf 2/5 van het overgebleven bedrag uit aan een boek. Zij had uiteindelijk nog €72 over. Hoeveel geld had Laura eerst?

€ 72

Het strookmodel toegepast op vraag 49 uit IDP6 2010 Maarten koopt negen postkaarten. Veerle koopt zes postkaarten. De postkaarten kosten samen negen euro. Ze kosten allemaal evenveel. Hoeveel betaalt Veerle? €9

?


18

5. METEN EN METEND REKENEN “Meten is een manier om greep te krijgen op de werkelijkheid. We hebben het bijvoorbeeld over hoe groot iets is, of hoe zwaar. Of we vragen ons af hoe ver weg iets is, wat iets kost, hoe zoet iets is, hoe warm iets is, hoe lang iets duurt. Meten is een bepaalde wiskundige benadering van de werkelijkheid,” schrijft het Tal-team 1 in de inleiding bij Meten en meetkunde in de bovenbouw. Gaat dat goed? We moeten leerlingen stimuleren om dagelijkse situaties te structureren en te kwantificeren. Dat blijkt voor veel Nederlandse kinderen niet zo eenvoudig te zijn. Zowel uit de recente wiskundepeiling in Vlaanderen (2009) als uit het periodiek peilingonderzoek in Nederland blijkt dat meten en metend rekenen voor een aantal leerlingen problemen oplevert op het einde van de basisschool. Net zoals in de peilingen van de Vlaamse overheid in 2002 behalen in de tweede wiskundepeiling van 2009 zowat negen op de tien leerlingen de eindtermen over begrippen en symbolen met betrekking tot maateenheden en maten in betekenisvolle situaties. Met deze onderdelen wordt ook al vroeg gestart in het basisonderwijs. De eindtermen rond geld en kloklezen worden door ongeveer zeven op de tien leerlingen beheerst. Dat wat tegenvallend resultaat is vooral te wijten aan de opgaven rond tijdrekenen waarin een aantal leerlingen problemen had met het zestigdelig stelsel, zo staat te lezen in de brochure Tweede peiling wiskunde in het basisonderwijs. Dat probleem herkennen we ook in de interdiocesane proeven. Nogal wat leerlingen denken dat 1 uur gelijk is aan 100 minuten. De resultaten voor oppervlakte, omtrek en inhoud stijgen licht ten opzichte van 2002. Toch blijven deze eindtermen voor vier op de tien leerlingen nog te hoog gegrepen. In vergelijking met de vorige peiling is er een opvallende daling in de leerlingenprestaties voor betekenisvolle herleidingen. Nu haalt nog slechts veertig procent van de leerlingen deze eindtermen. Kijken we naar enkele vragen meten en metend rekenen uit IDP 2010 die minder goed scoren.

Vraag 50 B57a

Aan de hand van voorbeelden uitleggen wanneer het begrip gemiddelde gebruikt kan worden en het gemiddelde berekenen

1

In 1997 heeft het Nederlandse ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap het TAL-team de opdracht gegeven tussendoelen voor het wiskundeonderwijs op de basisschool te beschrijven. Tussendoelen beogen een verdere uitwerking van en aanvulling te zijn op de al eerder vastgestelde (en daarna weer aangepaste) kerndoelen voor het vak wiskunde. Het TAL-team heeft leerlijnen toegevoegd. Leerlijnen beschrijven het proces naar de tussendoelen toe, alsmede de markeringspunten die hierbij te onderscheiden zijn.


19

50

Enkele zesdeklassers wegen hun boekentas. Andreas komt te laat. De anderen hebben hun boekentassen al gewogen. Hieronder vind je de resultaten.

Marie Sarah Fatima Kristof Jan Andreas

B57a

Gewicht boekentas 3,7 kg 4,6 kg 4,8 kg 5,2 kg 5,3 kg … kg

Met de boekentas van Andreas erbij is het gemiddelde gewicht 4,9 kg. Hoeveel weegt de boekentas van Andreas? ……………………………………………


Analyse van de antwoorden • “5,8” en “5.8” is de meest voorkomende fout. De maateenheid kg wordt vergeten. Vind ik dat erg? Ja, want ik reken het fout. Je vindt hierover een artikel in ons tijdschrift School + Visie van oktober 2010. Je kan hetzelfde artikel ook lezen op www.vvkbao.be bij IDP-algemeen en een stukje ervan bij de inleiding van dit artikel. Ik geef toe dat de invulpuntjes in de tabel aanleiding tot discussie kunnen geven, maar meteen ook een kans om na te gaan hoe het antwoord op de gestelde vraag moet zijn. •

3,9 kg krijg je als antwoord wanneer je het gewicht van alle boekentassen bij elkaar optelt en deelt door 6. De uitkomst is dan 3,933333. Deze leerlingen ronden ze af naar 3,9 kg.

•

Andere leerlingen maken de som van het gewicht van alle boekentassen uit de tabel en tellen daar het gemiddelde gewicht 4,9 kg bij. Zo krijgen ze 28,5 kg. Dat delen ze door 6. Hun antwoord is 4,75 kg.

•

Jordy toont in zijn vragenboekje dat hij handig kan rekenen binnen een concrete situatie.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Eerst het totale gewicht zoeken: 6 x 4,9 kg = 29,4 kg •

De som zoeken van het gewicht van alle boekentassen uit het groepje

3,7 kg 4,6 kg 4,8 kg 5,2 kg 5,3 kg in totaal 23,6 kg •

Het verschil in gewicht berekenen: 29,4 kg – 23,6 kg = 5,8 kg

Massa of gewicht? Strikt genomen is de uitspraak: ‘Mijn boekentas weegt 5,87 kg’ niet correct. Het metriek stelsel is in de loop der tijd geëvolueerd tot het in de jaren zestig ingevoerde SI-systeem van eenheden. Daarin is de plaats van ‘gewicht’ ingenomen door de begrippen ‘massa’ en ‘kracht’. Dit onderscheid is aangebracht omdat een voorwerp niet onder alle


20

omstandigheden even zwaar is. Op de maan zal eenzelfde object lichter zijn dan op aarde. En ook op verschillende plaatsen op aarde zijn er hele kleine verschillen. Wat gelijk blijft, is de massa. Het gewicht van een voorwerp is dan de zwaartekracht die op de massa van het voorwerp wordt uitgeoefend. Binnen dit systeem wordt massa uitgedrukt in kilogram en kracht in newton. In de dagelijkse praktijk wordt kilo(gram) echter nog steeds gebruikt als gewichtsmaat en op de basisschool kiezen we ervoor om wiskunde te laten aansluiten bij die praktijk. Suggesties voor preventie en remediëring Over het berekenen van het gemiddelde vind je informatie in Commentaar en suggesties bij IDP6 2007 en bij IDP6 2008..

Vraag 53 MR18 Referentiematen (bijv. 1 kg is het gewicht van een doos klontjessuiker, 1 l is de inhoud van een melkbrik, een deur is ongeveer 2 m hoog, 100 m is de afstand van ... tot ...; een brood kost ongeveer ... euro kennen en gebruiken

53

Een volwassene staat bij het kunstwerk Orbino en Orban Space Project, een containerinstallatie van Luc Deleu in Zeebrugge. Schat hoe hoog het kunstwerk is.

MR18

A Tussen 2 m en 5 m. 5 % C Tussen 7 m en 10 m. 45 % E Meer dan 12 m. 2%

B Tussen 5 m en 7 m. 38 % D Tussen 10 m en 12 m. 10 %

Analyse van de antwoorden •

A Tussen 2 m en 5 m. Deze leerlingen gaan voor de laagste afmeting. Ze willen misschien de grootte van de volwassene aangeven.

•

B Tussen 5 m en 7 m. Waarschijnlijk schat deze groep de hoogte van een container op 2 m. Drie containers boven elkaar zijn dan 6 m hoog.

•

D Tussen 10 m en 12 m. Deze groep gaat voor een hoogte van 3,5 tot 4 meter.

•

E Meer dan 12 m. Deze schatting komt waarschijnlijk voort van een geschatte containerhoogte van meer dan 4 meter.


21

•

63

Het is interessant om na te gaan of er kinderen hun schatting hebben aangepast nadat ze vraag 63 hebben opgelost. Hierin wordt namelijk de hoogte van een container gegeven.

De afmetingen van een container zijn: lengte 6 m breedte 2,5 m hoogte 3 m Bereken het volume van deze container.

MR58

………………………………….….


Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De foto van het kunstwerk kunnen ontleden. Er staan drie containers op elkaar. • Uit de tekst en de foto halen dat er een volwassene naast het kunstwerk staat. • De lengte van een volwassene als referentiemaat kennen. • De onderlinge verhoudingen nagaan tussen de hoogte van de containers en de lengte van de man. Suggesties voor preventie en remediëring Voor suggesties in verband met meetkisten en referentiematen, kan je terecht op onze website www.vvkbao.be (bij leergebieden wiskunde. Vergeet niet in te loggen!). Ook in Commentaar en suggesties bij IDP6 2008, 2007 en 2006 vind je ideeën om te leren werken met referentiematen.

Vraag 60 MR89 In veel voorkomende situaties de relaties tussen grootheden ervaren en onderzoeken bij: b) winst of verlies

60

Het museum koopt postkaarten in tegen 20 euro voor 50 stuks. Het museum verkoopt de postkaarten tegen 30 cent het stuk. Alle postkaarten worden verkocht. Hoeveel winst of verlies maakte het museum in totaal op de verkoop van die postkaarten? Vul in en omcirkel het goede antwoord.

MR89b Het museum maakte in totaal 5 euro winst / verlies.


Analyse van de antwoorden • De begrippen winst en verlies zijn nog niet verworven. Of denken leerlingen dat je altijd winst maakt wanneer je iets verkoopt? •

15 euro krijg je wanneer je 50 x 30 cent doet.


22

•

500 euro verlies: deze leerlingen berekenen het verschil tussen 30 cent en 20 cent. Dat is 10 cent. 50 x 10 cent = 500 cent. Ze vergeten om cent om te zetten naar euro.

•

0,1 euro of 0,10 euro is het verschil tussen aankoop- en verkoopprijs van 1 kaart.

•

Zie hiernaast het kladwerk van Elise. De aanzet is goed, dan loopt het mis. Waarschijnlijk heeft Elise andere dingen genoteerd dan wat ze had bedacht. Zo heeft ze waarschijnlijk ontdekt dat er een verschil van 10 cent is tussen inkoop- en verkoopprijs. Om in haar berekening van 0,40 euro naar 0,10 euro te gaan doet ze dan : 4. Om te weten waarom ze x 30 doet in plaats van x 50 zouden we Elise moeten kunnen vragen hoe ze gedacht heeft.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De begrippen winst en verlies kennen. •

Weten hoe ze winst/verlies kunnen berekenen. De inkoopprijs is 20 euro voor 50 stuks of 0,40 euro per stuk. De verkoopprijs is 30 cent of 0,30 euro. Dat is een verschil van 0,10 euro. 50 x 0,10 euro = 5 euro De verkoopprijs is lager dan de inkoopprijs. Er is dus verlies. Het kan ook anders; De inkoopprijs is 20 euro voor 50 stuks. De verkoopprijs is 50 x 0,30 euro = 15 euro. 20 euro – 15 euro = 5 euro

•

De omzetting van cent naar euro.

Vraag 61 MR89 In veel voorkomende situaties de relaties tussen grootheden ervaren en onderzoeken bij: c) tijd, afstand, snelheid

61

Heks Lotje vertrok om 01.00 u. en vloog in één ruk 124 km ver. Ze landde om 02.20 u. Wat is haar bezemsnelheid in km per uur? Ze vliegt …… km/uur.

MR89c 42 % goede antwoorden Analyse van de antwoorden • Het meest voorkomende foute antwoord is 62 km/uur. Deze leerlingen denken dat 1 uur = 100 minuten. Zo krijgen ze een totaal van 120 min. 1.20 uur = 120 min. :4 30 min.

124 km :4 31 km


23

x2

x2

60 min

62 km

Soms vraag ik me af hoe kinderen in hemelsnaam aan een bepaalde uitkomst komen. Gelukkig zijn er dan de kladbladen. •

Zo komt Hanne aan 38,75 km/uur. Ze heeft 1 uur en 2.20 uur bij elkaar geteld. Maar 20 minuten is niet 0,20 van een uur.

124 km : 3,20 38,75 •

: 1,3 95,3 km

1 uur

80 min : 1,3 1 uur

Gitte redeneert op dezelfde manier, maar wil het graag iets nauwkeuriger.

80 min : 1,33 60 min •

: 3,20

Axelle wil graag in 1 keer van 80 min naar 1 uur. Ze doet dat als volgt:

124 km

•

3,20

124 km : 1,33 93,23 km

Christof gebruikt de gegevens uit het vraagstuk en doet er iets mee. Hij gaat van 1 uur naar 2.20 uur. Hij berekent dus niet eerst de tijdsduur.

1 uur

124 km

x 2,2

x 2,2

02.20 uur

272,8 km

•

Justine wil net zoals vele anderen naar 10 minuten. In plaats van zes keer 10 minuten te nemen om 60 minuten uit te rekenen, neemt ze 60 keer 60 minuten.

•

Zowel bij Christof als bij Justine ontbreekt een controlerende houding. De snelheid per uur kan nooit meer zijn dan de afgelegde afstand op 80 minuten.


24

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De tijdsduur berekenen tussen vertrek en landing: 02.20 – 01.00 = 01.20. •

1.20 uur omzetten in minuten.

•

Die gegevens bijvoorbeeld in een dubbele pijlen schema plaatsen. 1.20 uur = 80 min. :4

•

124 km :4

20 min. X3

31 km x3

60 min

93 km

Het kan natuurlijk ook met een verhoudingstabel. Tijd Afstand

80 min 124 km

20 min 31 km

60 min 93 km

Suggesties voor preventie en remediëring Een van de lastigste grootheden waarmee leerlingen in de bovenbouw van de basisschool leren werken, is snelheid. Dat komt omdat het een samengestelde grootheid is, een combinatie van tijd en afstand met als gebruikelijke maten kilometer per uur en meter per seconde.

De meeste leerlingen hebben voldoende informele kennis over snelheid. Ze zaten al in een auto, trein of vliegtuig of ze reden zelf met de fiets. In de bovenbouw worden dergelijke ervaringen gekwantificeerd. We leren leerlingen een onderscheid te maken tussen snelheid op een bepaald moment en gemiddelde snelheid. Als een wandelaar 5 kilometer in een uur aflegt, wil dat niet zeggen dat hij over de hele afstand dezelfde snelheid had. Misschien is hij snel begonnen en daarna langzamer gaan stappen. De zorgleerkracht uit Mariagaarde in Borgerhout maakte volgende kaartjes voor zijn leerlingen die problemen hebben met snelheid. Het grote voordeel volgens hem is dat ze op die manier de gegevens altijd op dezelfde plaatsen kunnen invullen. afstand

tijd

afstand

?

snelheid

1 uur 60 min 3 600 sec

snelheid


?

snelheid

tijd



afstand

?

tijd


25

Vraag 62 MR54 Het metriek stelsel in verband met volume opbouwen en daarbij volgende termen en symbolen lezen en gebruiken: de kubieke meter (m³), de kubieke decimeter (dm³), de kubieke centimeter (cm³ of cc) MR55 Het verband inzien tussen inhoudsmaten en ruimtematen (bijv. tussen liter en dm³, tussen ml en cm³)

62

Omcirkel alle maten die gelijk zijn aan 10 dm³. 1 dl

MR54 MR55

10 liter

100 liter

1 m³

0,1 m³

0,01 m³


Analyse van de antwoorden • De meest voorkomende foute antwoordcombinatie is 10 liter en 0,1 m³. Deze leerlingen denken dat 1 m³ = 100 liter.

• Andere leerlingen geven slechts 1 antwoord namelijk 10 liter of 0,01 m³. Ze

beseffen onvoldoende dat er soms meerdere goede antwoorden mogelijk zijn.

• De combinatie 10 liter en 1 m³ komt ook voor. Deze leerlingen denken dat 1 m³ = 10 liter.

• 100 liter en 0,01 m³. Ze denken dat 1 dm³ = 10 liter. • 1 dl en 0,01 m³. Deze leerlingen stellen 10 dm³ = 1 dl. Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De herleidingstabel kunnen opstellen en gebruiken.

m³ 1 000 l 0

dm³ 100 l 0

10 l

l

1

0

cm³ dl

cl

ml

1

Zo deed Axelle het op haar kladblad. •

Kunnen aflezen dat 10 dm³ = 10 liter = 0,01 m³

Suggesties voor preventie en remediëring •

Leer je leerlingen zelf herleidingstabellen opstellen en gebruiken. Dat is niet verboden!

•

Gebruik zelf ook een herleidingstabel wanneer je herleidingen uitvoert aan het bord.


26

•

Zorg ervoor dat maten zichtbaar zijn en blijven in de klas. Zo kunnen leerlingen zich bijvoorbeeld voorstellen dat in de kubus van 1 dm³ 1 liter water past. Vanuit dat gegeven kunnen ze de herleidingstabel verder opbouwen.

•

Heb je materiaal om in je klas 1 m³ voor te stellen? Laat je in die m³ een tijdje 1 dm³ staan? Misschien kan je er een foto van maken, zodat leerlingen ook na de les de verhouding tussen dm³ en m³ onthouden.

Vraag 64 Vraag 64 is een toepassingsvraag. We hebben deze vraag al behoorlijk gemakkelijker gemaakt. In de voorproeven hadden we gewerkt met verschillende maateenheden in de opgave. Dat bleek voor heel wat leerlingen een brug te ver. We hebben ons beperkt tot het omzetten van de einduitkomst naar de gevraagde maateenheid uit de vraag. MR58 De basisformule (opp. grondvlak x hoogte) voor de berekening van het volume van een balk en een kubus begrijpen (via het beeld van een aantal gelijke lagen), kennen en gebruiken MR54 Het metriek stelsel in verband met volume opbouwen en daarbij volgende termen en symbolen lezen en gebruiken: de kubieke meter (m³), de kubieke decimeter (dm³), de kubieke centimeter (cm³ of cc)

Voor een kunstwerk bestelt een beeldhouwer een balkvormig stuk marmer met de volgende afmetingen: 20 dm bij 30 dm bij 10 dm. Hoeveel m³ marmer is dat?

64

MR58 MR54

Dat is 6 m³.


Analyse van de antwoorden Op enkele uitzonderingen na kent iedereen de formule, de fouten liggen in de omzetting van de maten. •

Het meest voorkomende foute antwoord is 6 000 m³.

•

De volgende foute antwoorden kwamen ook voor 60 m³, 600 m³, 0,6 m³, 0,006 m³, 0,06 m³ en 60 000 m³.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De formule kennen om het volume van een balk te berekenen: breedte x diepte x hoogte (zie voor begrippen MR49). •

De berekening maken: 20 dm x 30 dm x 10 dm = 6 000 dm³. Of 20 x 30 x 10 x 1 dm³ = 6 000 dm³.

•

De omzetting naar de gevraagde maateenheid 6 000 dm³ = 6 m³

Suggesties voor preventie en remediëring Ga na in welke mate je leerlingen een goed antwoord gaven op vraag 62. Beide vragen gaan namelijk over dezelfde doelstelling MR58. Wanneer de omzetting in vraag 62 niet lukt, is het weinig waarschijnlijk dat op vraag 64 wel een goed antwoord volgt. Hoewel op vraag 64 meer leerlingen een goed antwoord geven. De omzetting blijft binnen dezelfde ‘maatsoort’ van dm³ naar m³ terwijl je in vraag 62 ruimtematen met


27

inhoudsmaten vergelijkt. Op vraag 62 is er bovendien meer dan één goed antwoord. Dat blijft voor een aantal leerlingen moeilijk. Tenminste dat ervaren we ook in IDP4. Ook hier zien we weer het belang van het correcte gebruik van maateenheden (zie inleiding). De volgende vraag 67 heeft indirect ook te maken met volumeberekening. Je moet namelijk beseffen, dat bij een volume drie afmetingen een rol spelen.

Vraag 67 MR87 Inzien dat bij het gelijkvormig vergroten of verkleinen van een oppervlakte twee afmetingen, en van een volume drie afmetingen een rol spelen (bijv. een vierkant met zijden van 3 cm heeft een oppervlakte van 9 cm², een vierkant met zijden van 6 cm heeft een oppervlakte van 36 cm², een kubus met ribben van 1 cm heeft een volume van 1 cm³, een kubus met ribben van 2 cm heeft een volume van 8 cm³)

67

Annemie heeft kubussen in papier met een ribbe van 3 cm gemaakt. Hoeveel van deze papieren kubussen heeft ze nodig om een grote kubus met een ribbe van 9 cm te bouwen?

MR87

A 3 32 %

B 9 12 %

C 18 8%

D 27 43 %

E 81 3%

Analyse van de antwoorden • A 3 Deze leerlingen redeneren waarschijnlijk als volgt 3 x 3 cm = 9 cm. •

B 9 Andere leerlingen maken 1 laag 3 x 3 kubussen = 9 kubussen.

•

C 18 maken 2 lagen uit antwoord B boven elkaar.

•

E 81 krijg je wanneer je 3 x 3 x 3 x 3 doet.

•

Aurélie maakte een vlugge schets van een mogelijk zijvlak. Die hielp haar om het goede antwoord aan te duiden.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Beseffen dat de inhouds(volume)bepaling afhankelijk is van drie dimensies. •

Inzien dat bij het gelijkvormig vergroten of verkleinen van een volume drie afmetingen een rol spelen: 3 x 3 x 3 kubussen = 27 kubussen.

Suggesties voor preventie en remediëring • Hebben leerlingen voldoende ervaring kunnen opdoen met concreet materiaal? •

Hebben ze geleerd om vlugge schetsen te maken?

•

Zijn ze in staat om zich die opgedane ervaringen mentaal voor te stellen?


28

6. MEETKUNDE Bij de volgende vragen van meetkunde is het van belang dat leerlingen de attitude ontwikkelen om te tekenen of te schetsen om het goede antwoord te kunnen vinden. Tekenen is een uitstekende zoekstrategie om zich een goede voorstelling te kunnen maken van een op het eerste zicht wat moeilijker (ruimtelijk) probleem. Vraag 69 MK20 Bij driehoeken de eigenschappen van de zijden (gelijke lengte) en de hoeken (soorten hoeken en gelijke grootte) onderzoeken (leggen, vouwen, knippen...) en verwoorden en de driehoeken benoemen (gelijkbenige, ongelijkbenige, gelijkzijdige, scherphoekige, rechthoekige, stomphoekige) MK22 Driehoeken: a) vergelijken volgens de eigenschappen van zijden en hoeken

69

Welke uitspraak is juist?

MK20 MK22a

A B C D E

Elke gelijkbenige driehoek heeft drie gelijke zijden. Elke gelijkbenige driehoek heeft drie scherpe hoeken. Elke gelijkbenige driehoek heeft een rechte hoek. Elke gelijkbenige driehoek heeft minstens één symmetrieas. Elke gelijkbenige driehoek heeft een stompe hoek.

11 % 20 % 10 % 55 % 3%

Analyse van de antwoorden • A Elke gelijkbenige driehoek heeft drie gelijke zijden. Deze leerlingen verwarren de termen gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek. •

B Elke gelijkbenige driehoek heeft drie scherpe hoeken. Een gelijkbenige driehoek kan ook een rechte hoek hebben en bijgevolg slechts twee scherpe hoeken.

•

C Elke gelijkbenige driehoek heeft een rechte hoek. Er zijn ook gelijkbenige driehoeken zonder rechte hoek.

•

E Elke gelijkbenige driehoek heeft een stompe hoek. Er zijn ook gelijkbenige driehoeken zonder stompe hoek.

•

Mathieu is de enige leerling die bij deze vraag enkele schetsen maakt.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • De volgende termen kennen: gelijkbenige, ongelijkbenige, gelijkzijdige, scherphoekige, rechthoekige, stomphoekige driehoek. •

De attitude hebben om na te gaan of je het tegenvoorbeeld van een dergelijke driehoek kan tekenen. o Elke gelijkbenige driehoek heeft drie gelijke zijden. Ik teken een gelijkbenige driehoek met twee gelijke zijden. Dat kan. o

Elke gelijkbenige driehoek heeft drie scherpe hoeken. Ik teken een gelijkbenige driehoek met een rechte hoek. Dat kan.


29

o

Elke gelijkbenige driehoek heeft een rechte hoek. Ik teken een gelijkbenige driehoek zonder rechte hoek. Dat kan.

o

Elke gelijkbenige driehoek heeft een stompe hoek. Ik teken een gelijkbenige driehoek zonder stompe hoek. Dat kan.

o

Elke gelijkbenige driehoek heeft minstens één symmetrieas. Ik teken een gelijkbenige driehoek zonder symmetrieas. Dat lukt me niet!

Vraag 71 MK49 Patronen herkennen in complexe figuren (bijv. in behangpapier)

71

1 tegel

4 tegels

… tegels

Hoeveel tegels heeft de laatste figuur in deze rij? MK 49

A 13 56 %

B 14 19 %

C 15 4%

D 16 18 %

E 17 3%

Analyse van de antwoorden • De meeste leerlingen zullen vierkanten dubbel geteld hebben. •

Andere leerlingen hebben een verkeerd patroon verder gezet waardoor ze eveneens te veel vierkanten als antwoord geven.

•

Bij Mathieu loopt het aanvankelijk mis., maar dankzij een tekening ziet hij zijn fout in. Ook bij de volgende vraag met de kubussen (vraag 72) kan je goed zien hoe hij redeneert.


30

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Het patroon herkennen: telkens 1 vierkant verder onderverdelen in 4 vierkanten. •

Het aantal vierkanten juist tellen.

•

Je kan ook de getallenrij verder zetten: 1 tegel 4 tegels 7 tegels

10 tegels

13 tegels

Vraag 75 MK17b Vierhoeken tekenen: b) ruit, parallellogram, trapezium MK18b De diagonalen van vierhoeken tekenen en de eigenschappen ervan (even lang, snijden elkaar middendoor, snijden elkaar loodrecht) onderzoeken en verwoorden: b) ruit, parallellogram, trapezium

75

Teken een parallellogram waarvan een diagonaal 5 cm meet.

MK17b MK18b


Analyse van de antwoorden In het algemeen zijn er (te) veel kinderen die last hebben om nauwkeurig te tekenen, om rechte lijnen te tekenen, om lijnen in één punt bij elkaar te laten komen … •

Mathieu zou beter met potlood tekenen, maar ook dan zou hij waarschijnlijk dezelfde fouten maken. Hij maakt geen gebruik van de ruitjes.

•

Dakota tekent snel in de marge hoe zo’n parallellogram er zou kunnen uitzien. Knap! Straks zien we nog meer kladwerk van Dakota.


31

•

Brandon denkt: “Waarom het leven moeilijk maken als het makkelijk kan.” Hij tekent de diagonaal van 5 cm als een verticale lijn. Zijn tekening is ook keurig gemaakt.

•

Stef heeft eerst zitten knoeien. Dan tekent hij een diagonaal van 5 cm en twee zijden. De volgende zijden tekent hij echter niet evenwijdig aan diegene die er al staan.

•

Joren kan wel zijn fout rechtzetten.

•

De diagonaal van Charline vertrekt en eindigt helemaal niet in de hoekpunten.

Wat moeten leerlingen kennen en kunnen? • Weten wat een parallellogram en een diagonaal zijn. •

Een parallellogram kunnen tekenen wanneer de diagonaal gegeven is.

•

Het is handig om weten dat een vierkant en een rechthoek ook parallellogrammen zijn. Daar heeft niemand aan gedacht in de klassen die ik nakeek.

•

Netjes en nauwkeurig kunnen tekenen op ruitjespapier. Dat vraagt veel oefening!

Suggesties voor preventie en remediëring • Krijgen onze leerlingen nog wel voldoende kansen om op ruitjespapier te tekenen en vooral om tekenen te oefenen? •

Als we tekeningen afkeuren, zeggen of schrijven we er dan concreet bij wat mis is aan de tekening?


32

7. WAT WE KUNNEN LEREN VAN HET GEBRUIK VAN KLADPAPIER Axelle deed het wel heel netjes. Haar leerkracht hield de kladbladen ook goed bij zodat een grondige analyse van eventuele fouten mogelijk is. Zoals we al eerder zagen, willen de meeste leerlingen met één bewerking naar het goede antwoord toe. Dat leidt bij vraag 49 tot een afrondingsfout. Bij vraag 61 noteert Axelle twee bewerkingen bij dezelfde pijl. We zouden hier kunnen nagaan of ze die twee bewerkingen in een breukvorm kan noteren (B28a). : 8 x 6 is immers hetzelfde als x

3 . 4

Of had je dat al eerder ontdekt en heb je de hele tijd gedacht: “Waarom neemt niemand bij dit vraagstuk

3 van 124 km”? 4

Lucas is de enige leerling die het spiegelbeeld tekent én laat staan. Zo zie je dat hij de letter N niet spiegelt. Jammer! Zijn klasgenoot Joren heeft het spiegelbeeld ook getekend maar nadien weer uitgegomd. Dit zegt wel iets, denk ik dan, over de aanpak in de klas. Wanneer je in een boekje werkt, dient alles heel netjes te zijn? In werken invulboeken horen geen snelle schetsen thuis? Zie verder in dit artikel.

Roxanne heeft problemen om bij vraag 29 de situatie om te zetten in een formule. Het gaat om de volgende vraag: Hond Flappie moet per dag 1/4 pil hebben. De dierenarts geeft een doosje met 25 pillen. Dat zijn genoeg pillen voor … dagen. Doordat Roxanne op het idee komt om de situatie te tekenen ontdekt ze dat helemaal geen vierde deel van 25 moet nemen. Ze moet net het tegenovergestelde doen. Roxanne maakt voor alle zekerheid ook nog eens de omgekeerde bewerking. Zo komt ze opnieuw bij 25 (pillen) terecht.


33

Axelle heeft voor vraagstuk 55 de gegevens duidelijk op een rijtje gezet. Er kan dan ook weinig mis gaan. Waar Axelle in het secundair wel tegenaan zal lopen is haar notatiewijze: 50 l x 10 = 500 x 4 = 2 000 l. Correct is om de opeenvolgende bewerkingen onder elkaar te noteren. 10 x 50 l = 500 l (de vermenigvuldiger staat links) 4 x 500 l = 2 000 l 5 x 50 l = 250 l 6 x 250 l = 1 500 l 2 000 l + 1 500 l = 3 500 l Dakota toont op verschillende manieren dat ze een goed ruimtelijk inzicht heeft.

Zelfs al ziet het er als een spelletje uit, dan kan je nog doordacht te werk gaan. En met de heuristiek ‘gissen en missen’ kom je er dan waarschijnlijk wel. Hieronder het werk van Claudia en Caro. Claudia verduidelijkt de opgave door een pijl bij een rij en een kolom te tekenen.

Caro heeft echter nagelaten om alles volledig te controleren. Zo zou ze gemerkt hebben dat ◊ = 17 niet kan. Misschien is Caro wel een Caroline die ook haar naam wat te lang vindt om voluit te noteren ? Vraag 54 is een lastige vraag, denkt Axelle. “Ik teken er een klokje bij.”


34

54

Chantal zit in het vliegtuig. Over zes en een halfuur zal ze in Zaventem landen. Het is dan vier uur ’s nachts. Hoe laat is het nu in Zaventem?

MR70c MR88 •

A 02.30 u.

B 10.30 u.

C 21.30 u.

D 00.30 u.

E 09.30 u.

6%

24 %

56 %

2%

12 %

En wat vind je van de aanpak van Dakota? Geweldig, niet?

Suggesties voor preventie en remediëring Kladwerk Bij de Commentaar en suggesties voor remediëring bewerkingen IDP6 2005 schreef ik al over een onderzoek naar het kladwerk van leerlingen Alles of niets. Probleemoplossen bij goede rekenaars. In dat artikel vind je informatie over de tendens om ‘niets op te schrijven’.

Bron: Van den Heuvel-Panhuizen, M., Bodin-Baarents, C. Alles of niets. Probleemoplossen bij goede rekenaars, Volens Bartjens, jaargang 24, 2004-2005, p. 12-14.

Veel goede rekenaars noteren onvoldoende. Tot die bevinding kwamen de onderzoekers Marja van den Heuvel-Panhuizen en Conny Bodin-Baarents 2. Dat klinkt ons als praktijkmensen natuurlijk niet vreemd in de oren. In maart 2004 legden ze een toets probleemoplossen voor aan goede rekenaars van het vierde leerjaar. De problemen die ze gebruikten zijn uit het Engels vertaald en ontwikkeld aan de universiteit van Leeds. Het zijn vaak puzzelachtige opgaven zoals getallenraadsels. Het toetsboekje bevat 15 problemen. Elke opgave staat op een aparte bladzijde. De kinderen mochten de hele bladzijde gebruiken als kladpapier. Bij sommige opgaven is bovendien nog uitdrukkelijk gevraagd om de berekening te laten zien. Wat zijn hun bevindingen? - Tijdens het doorbladeren van de toetsboekjes viel hen op dat er bij sommige opgaven veel kinderen waren die niets in de kladruimte hadden opgeschreven. Dat is vooral opmerkelijk bij opgaven waarbij je met veel gegevens te maken hebt of waarbij je door systematisch proberen tot een oplossing kunt komen. Dan is het vaak handig om aantekeningen te maken en tussenuitkomsten te noteren. Een voorbeeld van een dergelijke opgave:

Deze opgave blijkt voor de Nederlandse vierdeklassers moeilijk. Slechts 39 leerlingen, een kwart van de totale groep, kwamen op het goede getal uit. Verder blijkt dat 93 kinderen, 2

Beiden zijn verbonden aan het Freudenthal Instituut


35

bijna tweederde van het totaal, helemaal geen gebruik hebben gemaakt van het uitrekenpapier. Aan deze groep, de kinderen die bij het werken aan deze opgave niets hebben opgeschreven, hebben de onderzoekers aandacht besteed. Ze doen dat in twee delen. Ze beginnen met de leerlingen die zonder het gebruik van het uitrekenpapier toch met de goede oplossing zijn gekomen. Daarna staan ze stil bij de kinderen die niet tot de goede uitkomst kwamen.

Goed antwoord Fout antwoord Totaal aantal lln

Kladblaadje niet Kladblaadje wel Totaal aantal gebruikt gebruikt leerlingen 19 20 39 74 39 113 93 53 152

Niets opgeschreven en toch het goede antwoord gevonden Ofschoon er in de opgave Vind het getal veel moet gerekend worden, zit de moeilijkheid niet zozeer in de tafelkennis die ervoor nodig is. Waar het bij deze opgave vooral op aankomt, is dat je in staat bent om met verschillende dingen tegelijk rekening te houden. Dat is niet eenvoudig. Maar omdat de testkinderen goede rekenaars zijn, is het toch weer niet erg verwonderlijk dat ongeveer de helft van de kinderen het goede getal uit het hoofd heeft gevonden. In het interview achteraf maakt Jasper de onderzoekers duidelijk hoe hij heeft gerekend. Omdat hij vaak moeite heeft met het verwoorden van zijn gedachten, doet hij dit misschien wel wat cryptisch, maar zijn redenering klopt helemaal. Uit het gegeven dat het getal bij delen door 5 een rest van1 oplevert, weet Jasper dat het getal op een 6 of een 1 moet eindigen. Hij start met de 6: ‘Het moet iets met een 6 zijn en toen heb ik de tafel van 7 geprobeerd en toen kwam ik uit op 56.’ Dan is Jasper nog niet klaar met zijn uitleg, want als je het getal deelt door 3, moet de rest 2 zijn. Hij vervolgt dan ook: “In de tafel van 3 heb je 60. En dus 54; dus 56 dan heb je rest 2.” Een ander voorbeeld is Jacco. Ook hij heeft bij deze opgave niets opgeschreven om het oplossen te ondersteunen. Tijdens het interview blijkt dat hij de opgave systematisch heeft aangepakt. Jacco weet dat het getal in de tafel van 7 moet zitten. Hij probeert eerst 9 x 7. Daarna 8 x 7. Het getal 56 blijkt te kloppen. In feite past Jacco de zoekstrategie DO2h) uit het leerplan toe: een hypothese formuleren en toetsen. Niets opgeschreven en niet het goede antwoord gevonden Een groep die meer zorgen baart, aldus de onderzoekers, zijn de 74 kinderen die het antwoord niet gevonden hebben en die niets hebben opgeschreven. Deze leerlingen hebben zelfs geen begin gemaakt. Een voorbeeld daarvan is Benny. Zijn totaalscore op de toets ligt iets boven het gemiddelde. Bij het interview blijkt dat hij moeilijk zijn gedachten kan ordenen en moeite heeft om de opgave vast te houden waarmee hij bezig is. Ook het rekenen gaat hem, ondanks zijn hoge score op het leerlingvolgsysteem, niet zo goed af.


36

Benny:’ Ik dacht dat het 35 was, maar als je dat door 5 deelt, heb je geen rest 1. Ik weet het niet.’ Nadat hij wat hulp heeft gekregen gaat hij alle getallen opschrijven van de tafel van 7. Dat gaat niet vlot. Ook als hij moet uitzoeken of een getal bij deling door 3 rest 2 oplevert, gaat dit maar langzaam. Over 14 gedeeld door 3 moet hij lang nadenken. Bij het opschrijven voelt hij zich onwennig .Iedere keer wil hij het toch weer uit zijn hoofd doen en raakt hij het spoor bijster. Een ander voorbeeld is Frank. Hij heeft als antwoord 91 en heeft verder niets opgeschreven. Bij het interview komt naar voren dat hij geen probleem heeft met het rekenen in het hoofd en dat zijn aanpak goed is. Hij gaat zeer systematisch te werk. Het probleem bij hem is eerder het volhouden van dit systematische zoekwerk. Frank geeft aan dat het een getal moet zijn dat eindigt op een 6 of een 1 en in de tafel van 7 moet zitten. Hij probeert 21, dat klopt niet. Dan zegt hij 13 x 7 = 91. Hij controleert het verder niet. Samenvatting van de bevindingen - De interviews leren de onderzoekers dat de moeilijkheden bij deze opgave niets te maken hebben met het begrijpen van het probleem. De kinderen snapten de bedoeling van de opgave goed. - Ofschoon het rekenen zelf niet altijd zo vlot ging als je bij deze leerlingengroep zou verwachten, vormde dat óók niet de kern van hun problemen. - Het zwakke punt van deze goede leerlingen ligt volgens de onderzoekers op een ander vlak, namelijk in het niet proberen en het niet vol kunnen houden van het proberen. Een houding die bovendien versterkt wordt doordat de kinderen kennelijk niet gewend zijn iets op te schrijven om hun denken te ondersteunen. Hoe kun je dit aanpakken? De wetenschappers noteren eerst een drietal tendensen: 1. De tendens om niets op te schrijven - Bij de interviews viel op dat de kinderen vaak eerst heel lang nadachten voordat ze begonnen te schrijven. Het lijkt erop dat de kinderen pas gaan schrijven als ze het antwoord weten of bijna weten. - Verder viel op dat enkele kinderen graag een gom wilden gebruiken. We hebben de kinderen er toen op gewezen dat we beter konden zien hoe ze hebben gedacht als ze niets uitgomden. - Enkele kinderen bleken ook erg veel moeite te hebben met het maken van doorhalingen. Ze willen dat hun werk netjes blijft. Eén meisje zet daarom een golfjeslijn onder aantekeningen die bij nader inzien niet blijken te kloppen. - Een jongen maakt aantekeningen op zijn liniaal in plaats van op het papier. - Uit de opmerkingen van de kinderen blijkt dat ze het vervelend vinden als ze niet meteen het antwoord weten. - Ook hebben ze een hekel aan het maken van fouten. - Zeer opvallend was bovendien dat een van de leraren voor onze komst al apart kladpapier had gegeven, zodat de kinderen geen aantekeningen hoefden te maken in het toetsboekje. De tendens om niets op te schrijven roept veel vragen op, maar na hun ervaringen bij dit onderzoek hebben de onderzoekers wel een idee hoe dit gedrag te verklaren is. -

Zo zouden de kinderen (en de leraren) kunnen denken dat het beter is om het papier niet te gebruiken, omdat volgens hen het uit het hoofd rekenen een hoger niveau van rekenen is.


37

-

-

Daarnaast zou deze tendens ook te maken kunnen hebben met het feit dat sterke rekenaars in de klas bij het gewone rekenwerk ook nauwelijks (klad)papier nodig hebben. Een heel ander aspect dat een rol kan spelen, is dat de kinderen niets opschrijven omdat ze vinden dat je in een toets niet mag ‘knoeien’. Ze hebben van hun leraren geleerd dat netjes werken erg belangrijk is.

2. De tendens om geen begin te maken Het merendeel van de kinderen die deze opgave niet konden oplossen, heeft ook niets op papier geprobeerd. Dit was het geval bij 74 van de 113 kinderen die een fout antwoord gaven. Behalve dat de tendens om geen begin te maken, kan voortkomen uit de hierboven beschreven afwijzing om bij het oplossen van rekenopgaven iets op te schrijven, kan een andere mogelijke verklaring zijn dat de kinderen ook niet hebben geleerd om het maken van aantekeningen te gebruiken ter ondersteuning van het oplossingsproces. In het geval van deze opgave valt hierbij dan te denken aan het op een rij zetten van de getallen die volgens een bepaald voorschrift in aanmerking komen en dan vervolgens die getallen weg te strepen die niet kloppen. 3. De tendens om vroegtijdig af te haken Nogal wat kinderen zetten bij het maken van de opgave onvoldoende door. Als de kinderen een paar getallen hebben geprobeerd, houden ze er vaak mee op. Dat kom je ook dikwijls tegen bij zwakke rekenaars. Alleen maken de laatsten meer rekenfouten en zullen ze niet zo gauw tot de conclusie komen dat het een getal moet zijn dat eindigt op een 6 of een 1. Dat de goede leerlingen ook met dit volhouden moeite blijken te hebben, kan voortkomen uit het feit dat ze weinig met problemen worden geconfronteerd die om wiskundig speurwerk vragen. Bij de opgaven die ze doorgaans te maken krijgen, hoeven ze vaak niet lang na te denken. Een uitnodiging tot slot Beide onderzoekers geven volgende tips: - Probeer de hier besproken opgave ook eens in je klas - Kijk hoe je kinderen het probleem aanpakken - Besteed in de klassikale nabespreking vooral aandacht aan het gebruik van het kladpapier en de kwestie van het volhouden. Voor wie twijfels heeft over de zinvolheid van deze opgave, wijzen ze op de mogelijkheden voor productief oefenen die de opgave in zich heeft. Leerkrachten die voorzien dat ze deze moeilijke opgave niet aan de hele klas kunnen geven, kunnen ook differentiëren. In plaats van de drie voorschriften waaraan het getal onder de 100 moet voldoen, kunnen ook getallen gezocht worden die maar aan één voorschrift beantwoorden. Op die manier kan de hele klas meedoen en valt er tegelijkertijd voor bollebozen iets te leren. Een warme oproep Analyseer het kladwerk van je leerlingen vooral om na te gaan wat er al goed gaat. Dit kan andere leerlingen op het idee brengen om hetzelfde te gaan doen. Mocht je zelf ook nog prachtige staaltjes hebben van denkwerk van kinderen op hun kladbladen? Je kan er mij en je collega’s een groot plezier mee doen! VVKBaO Marleen Duerloo Guimardstraat 1 B 1040 Brussel [email protected]


38

COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR

Recommend Documents