BUKU AJAR KINEMATIKA DAN DINAMIKA 1
TIM DOSEN
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA
1
Bab I
KONSEP – KONSEP D AS AR 1.1
KINEMATIKA Kinematika mesin adalah suatu pengetahuan tentang gerak relatif
dari bagian -bagian mesin yaitu posisi, kecepatan dan percepatan.
1.2
DIAGRAM KINEMATIS Dalam mempelajari gerakan -gerakan dari bagian -bagian mesin,
biasanya kita gambarkan bagian-bagian tersebut dalam bentuk sketsa sehingga hanya bagian-bagian yang akan memberi efek pada gerakan yang diperhatikan.
B 3 A
2 C
4
1
Gambar 1.1 Diagram kinematis
Gambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin diesel. Bagian -bagian yang diam, terdidri dari bantalan -bantalan kruk as dan dinding silinder diberi label 1. Engkol dan kruk as adalah batang penghubung 2, batang penghubung 3, dan torak atau peluncur adalah penghubung 4.
1
Batang penghubung (link0 adalah suatu nama yang diberikan pada setiap benda yang mempunyai gerakan relatif terhadap yang lainnya. Posisi, kecepatan dan percepatan sudut dari batang tergantung hanya pada panjang dari engkol dan batang hubung dan tidak dipenguruhi oleh lebar atau ketebalan dari batang. Gambar sksla yang menyatakan suatu mesin sehingga hanya dimensi yang memberi efek pada gerakannya disebut diagram kinematis.
1.3
MEKANISME Sebuah rantai kinematis adalah sebuah system dari batang
batang
penghubung yang berupa benda benda kaku yang apakah
digabungkan bersama atau dalam keadaan saling bersinggungan sehingga memungkinkan mereka untuk bergerak relatif satu terhadap yang lain . Jika salah satu dari batang penghubungnya tetap dan gerakan dari sebarang batang penghubung yang lain ke posisinya yang baru akan menyebabkan setiap batang penghubung yang lain bergerak ke posisi posisi tertentu yang telah diramalkan system tersebut adalah sebuah rantai kinematis yang dibatasi .Jika salah satu dari batang penghubung ditahan tetap gerakan dari batang penghubung yang lain ke posisinya yang baru tidak akan menyebabkan setiap batang batang penghubung yang lain bergerakke posisi tertentu yang telah diramalkan maka system tersebut adalah suatu rantai kinematis tak terbatas.
2
1.4
INVERSI
2
3 4
1 Dengan membuat suatu batang penghubung yang berbeda dalam rantai kinematis sebagai bagian yang tidak bergerak, kita memperoleh mekanisme yang berbeda. Penting untuk dicatat bahwa inverse dari suatu mekanisme tidak akan mengubah gerakan antara batang-batang penghubungnya. Sebagai contoh, gambar diatas jika batang penghubung 2 berputar ?0 searah jarum jam relatif terhadap batang penghubung 1, batang penghubung 4 akan bergerak kekanan sepanjang garis lurus pada penghubung1. Hal ini akan selalu demikian tidak peduli batang penghubung mana yang ditahan tetap.
1.5
PASANGAN Dua benda yang saling kontak akan membentuk suatu pasangan.
Pasangan lebih rendah (lower pairing) terjadi jika dua permukaan saling kontak. Contohnya dari pasangan lebih rendah adalah sebuah torak dengan dinding silindernya.
3
3 2 4 1
Pasangan lebih tinggi (higher pairing) menyatakan suatu kontak yang berupa titik atau garis. Contohnya dari pasangan lebih tinggi adalah torak dengan silindernya tetapi toraknya dibuat seperti bola, maka toraknya akan kontak dengan dinding silinder sepanjang suatu lingkaran.
3 2 4 1 1.6
BIDANG GERAKAN Sebuah benda mempunyai bidang gerakan jika semua titik-titiknya
bergerak dalam bidang-bidang parallel terhadap bidang referensinya. Bidang referensi tersebut dise but bidang gerakan (plane motion). Bidang gerakan dapat merupakan salah satu dari 3 tipe : gerakan menurut garis lurus (translasi0, putaran atau kombinasi dari translasi dan rotasi.
1.7
TRANSLASI Sebuah benda mempunyai gerakan berupa translasi, jika ia
bergerak sedemikian hingga semua garis-garis lurus dalam benda
4
tersebut bergerak mengikuti posisi-posisi yang sejajar. Translasi garis lurus (rectilinear translation) adalah suatu gerakan dimana semua titik dari suatu benda bergerak dalam jalur garis lurus. Suatu translasi dimana titiktitik dalam suatu benda bergerak sepanjang jalur yang berupakurva disebut translasi menurut kurva (curvilinear translation).
1.8
PUTARAN Dalam putaran (rotasi) semua titik dalam sebuah benda selalu
mempunyai jarak yang tetap dari sebuah garis yang tegak lurus terhadap bidang geraknya. Garis ini adalah sumbu putaran (axis of rotation) dan titik-titik dalam benda tersebut membuat lintasan menurut jalur berupa lingkaran terhadap garis tersebut.
1.9
TRANSLASI DAN ROTASI
B
C C’
B’
(a)
5
B
B ’’
C
C’
B’
(b)
B
B’
B ’’’ C C
’
(c)
Kebanyakan
bagian -bagian
mesin
mempunyai
gerakan
yang
merupakan kombinasi dari rotasi dan translasi. Dalam gambar (a) perhatikan gerakan dari batang hubung sewaktu ia bergerak dari posisi BC ke B’C’. Posisi -posisi ini ditunjukkan dalam gambar (b). Disini kita lihat bahwa gerakannya ekivalen terhadap suatu translasi dari BC ke B’’C’’ yang diikuti oleh sutu rotasi dari B’’C’’ ke B’C’. Gerakan ekivalen yang lain diilukiskan dalam ga mbar (c). Disini ditunjukkan suatu putaran dari suatu batang terhadap C dari posisi BC ke B’’C’’, diikuti dengan suatu translasi dari B’’C’’ ke B’C’. Jadi gerakan dari batang hubung dapat dianggap sebagai suatu putaran terhadap beberapa titik ditambah suatu translasi.
6
1.10
VEKTOR-VEKTOR Ada dua tipe besaran yang harus diperhatikan dalam mekanika.
Besaran scalar adalah yang hanya mempenyai besar saja. Contohnya : jarak, luas, isi dan waktu. Besaran vector mempunyai besar dan arah. Contohnya : lintasan, kecepatan , percepatan dan gaya. Sebuah besaran vector dapat dinyatakan dengan sebuah garis lurus dengan anak panah. Besar dari vector diyatakan dengan panjangnya yang digambarkan dengan skala tertentu.
1.10.1 Penjumlahan dan Pengurangan dari vector-vektor Vektor-vektor
A
dan
B
dalam
gambar
dibawah
dapat
ditambahkan dengan meletakkan mereka dalam suatu cara seperti pada gambar. Titik O adalah titik awal yang disebut kutub, dari kutub ini vector A dan vector B diletakkan dengan ekor dari salah satunya diletakkan pada ujung vector lainnya. Jumlah dari kedua vector disebut resultante dan dalam gambar ditunjukkan dengan garis putus-putus.
B
A
A
A+B B O
Pada waktu meletakkan vector-vektor
untuk tujuan menentukan
resultantenya, besar dan arahnya yang diberikan haru s dipertahankan,
7
tetapi urutannya meletakkan tidak akan memberikan efek terhadap resultantenya. Resultante selalu berarah keluar dari kutubnya dan merupakan penutup dari suatu polygon.
-B
O
A A+B
B
A
A -B
-A B -A
O B
O
1.10.2 Penggabungan dan Penguraian dari vector-vektor Penggabungan menyatakan penambahan bersama -sama dari sejumlah vector-vektor. Jumlahnya disebut resultante dan vector-vektor tersebut disebut komponen dari resultante.
O
O A
C
A+B+C
A
B C
C +A+B
B
Penguraian menyatakan pemecahan dari vector ke dalam sejumlah komponen-komponen. Setiap vector dapat diuraokan ke dalam
8
sejumlah komponen yang tak terbatas. Seringkali diinginkan untuk menguraikan sebuah vector kedalam dua komponen. Jika sebuah vector diuraikan ke dalam dua komponen, tiap komponen mempunyai besar dan arah. Jika dua dari empat besarannya diketahui, dua yang lain dapat ditentukan.
C A
B
A
C B
SOAL – SOAL : 1.
Untuk setiap polygon vector dalam gambar dibawah, tuliskan persamaan vector yangmemberikan resultante R.
9
A -B
O
B C
-A R
R
O
-D
C -D
(a) -Q
O R
-N
M
(b) P O
R
-P
(c) 2.
-M -N (d)
Uraikan sebuah vector A yang mempunyai besar 20 unit dan arah 1300 kedalam dua vector B dan C. B mempunyai arah 80 0 dan C mempunyai arah 2100. Tentukan besar dari B dan C.
3.
Uraikan sebuah vector T yang mempunyai besar 50 unit dan arah 1200 kedalam dua vector R dan S. Besar R harus 30 unit dan besar S adalah 66 unit.
4.
Uraikan sebuah vector A yang mempunyai besar 50 unit dan arah 2100 kedalam dua vector B dan C. Besar C harus 37.5 unit dan berarah 75 0 . Tentukan besar dari B dan arahnya dalam derajat.
10
5.
Uraikan sebuah vector A yang mempunyai besar 60 unit dan arah 3450 kedalam dua vector B dan C. C mempunyai arah 315 0 . Besar dari B = 32.5 unit. Nyatakan dalam gambar besar dari C.
12
Bab II
KECE PAT AN DAN PERCEPATAN 2.1
LINTASAN DAN KECEPATAN LINEAR
2.1.1 Kecepatan Linear Lintasan dari sebuah titik adalah perubahan dari posisinya dan dia adalah besaran vector. Pada gambar 2.1 sebagai titik P bergerak sepanjang jalur dari posisi B ke posisi C. Lintasan linearnya
adalah
perbedaan posisi dari vector OB dan OC.
y C B
P
?s ?y ?x
x
Gambar 2.1 Ini dapat dinyatakan sebagai vector ?s yang merupakan jumlah dari vector ?x dan ?y. Jadi :
?s = ?x +? ?y
13
Ukuran dari lintasan linear dapat dinyatakan dalam bentuk ukuran besar x dan y.
s
( x)
2
2
( y)
Kecepatan linear adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari lintasan linearnya. Dalam gambar 2.1 titik p bergerak dari posisi B ke posisi C dalam waktu ?t. Kecepatanrata-ratanya selama selang waktu ini adalah:
s t
Vav =
Kecepatan linear sesaat dari suatu titik pada waktu di titik B adalah : V=
2.1.2
lim t
s ds = 0 t dt
Percepatan Linear
Percepatan linear adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari kecepatan linearnya. A=
lim t
dV V = 0 t dt
Tetapi :
V =
ds dt
Maka
A =
d 2s dt 2
2.2
PERGESERAN DAN KECEPATAN SUDUT Tinjaulah benda
yang ada dalam gambar 2.2 yang berputar
terhadap sebuah sumbu tetap O dan misalkanlah P adalah sebuah titik
14
yang tetap pada benda tersebut. Sewaktu P bergerak ke P’, lintasan sudut dari garis OP adalah ??, yang terjadi dalam waktu ?t.
? P
V
?? R
P
Kecepatan sudut rata-rata dari benda tersebut selama selang waktu ?t adalah :
?
?? ?t
Kecepatan sudut sesaat dari benda untuk posisi OP adalah :
w=
lim t
q 0
t
Didalam gambar 2.2 titik P mempunyai jari-jari putaran R yang sama dengan panjang OP. V adalah kecepatan dari titik P dan menyinggung garis PP’ dan oleh karena itu tegak lurus terhadap jari-jari R. Panjang busur PP” = R q dimana q dinyatakan dalam radian. Besar dari kecepatan titik P adalah :
V=
lim R q t 0 t
=R
dq dt
Substitusikan ke persamaan diatas diperoleh : V =Rw
15
2.3
PERCEPATAN SUDUT Percepatan sudut adalah kecepatan waktu dari perubahan kecepatan sudut :
a
2.4.
d 2q dt 2
dw dt
PERCEPATAN NORMAL DAN TANGENSIAL Suatu titik dapat mempunyai percepatan dalam suatu arah,
apakah normal, tangensial atau kedua-duanya, terhadap jalur dari gerakannya. Jika suatu titik mempunyai gerakan yang berbentuk kurva, ia akan mempunyai sebuah percepatan normal sebagai akibat dari perubahan dalam arah dari kecepatan linearnya. Jika besar dari kecepatan linearnya berubah maka titik tersebut akan juga mempunyai percepatan tangensial.
V
C
V + ?V
N V M
R
R
O
’
? Vn
?V
?? V + ?V
?Vt
O,
16
Dalam gambar diatas sebuah titik bergerak sepanjang jalur MN. Kecepatannya pada waktu di B adalah V. Setelah selang waktu
?t
mencapai titik C dan kecepatannya menjadi V+?V. R dan R ‘ adalah jarijari dari lintasan titik B dan C. Percepatan tangensial At dari suatu titik pada posisi B adalah kecepatan waktu dari perubahan besar dari kecepatan linearnya. At =
lim t
Vt t
0
=
Dengan V = R w maka :
dV t dt At = R
dw dt
Percepatan normal An dari suatu titik pada posisi B adalah kecepatan waktu dari perubahan kecepatannya dalam arah normal terhadap jalur pergeseran. An ==
lim t
0
V t
n
=
dV n dt
Dengan sudut ?? menjadi d? dan besar dari ?Vn menjadi sama dengan panjang busur dalam limit, jadi dVn = Vd? An = V
dq dt
= V w dengan V = R w An = R w 2 =
V2 R
17
2.5.
Gerakan relatif Sebuah benda dikatakan mempunyai gerakan relatif terhadap
benda lain hanya jika mempunyai perbedaan dalam gerakan-gerakan absolutnya. Gerakan relatif ditunjukkan dalam gambar dibawah ini, dimana V A dan VB adalah kecepatan-kecepatan dari dua benda.
-V A VA VA VBA VB -V B
V AB
VB
Kecepatan dari A relatif terhadap B adalah kecepatan absolute A dikurangi kecepatan absolute B, oleh karena itu VAB = VA - VB = VA + ( - VB ) seperti terlihat pada gambar. Dengan cara yang sama kecepatan B relatif terhadap A adalah kecepatan absolute dari B dikurangi kecepatan absolute dari A. VB A = VB - VA = VB + ( - V A ) atau dengan memindahkan VA ke sisi sama dengan VB = VA + V BA
18
SOAL SOAL : 1.
Sebuah benda bergerak sejauh 457 mm dengan kecepatan tetap = 1.22 m/detik. a. Tentukan waktu yang diperlukan dalam detik. b. Jika sebuah benda harus bergerak sejauh 457 mm dalam 0.2 detik dengan kecepatan yang berubah-ubah tentukan kecepatan rata-rata dalam m/detik.
2.
Sebuah pesawat terbang, terbang lurus ke timur dari kota M ke kota N yang berjarak 644 km. Pesawat tersebut mempunyai kecepatan 290 km/jam. Angin potong bertiup ke selatan dengan kecepatan 97 km/jam. Dalam arah mana pesawat terbang harus diarahkan dan berapa lama perjalanan akan ditempuh ?
3.
Sebuah mobil dimodelkan seperti pada gambar dibawah ini, bergerak ke kanan dengan kecepatan 30 mil/jam. Roda 2 dan 4 masing-masing mempunyai garis tengah 36 inchi dan 24 inchi.
19
Tentukan : a. VO2 , VBO2, VB , V C dan VBC dalam kaki/detik. b. ? 2, ? 4 dan ? 24. c. Gambarkan vector-vektornya. 4.
Lempeng dalam gambar dibawah mempunyai ?= 120 put/menit dan a = 132 rad/detik2. OB = 38.1 mm dan OC = 25.4 mm. Tentukan : VB, V C, AnB, A tB , A nC dan ACt dengan menggunakan persamaan dan secara grafis.
B ? 1350
O
a
C
5.
Dalam gambar dibawah mempunyai ?= 100 put/menit dan a = 90 rad/detik2. Tentukan : VB, VC, A nB , A tB , A nC dan AtC dengan menggunakan persamaan dan secara grafis.
20
21
Bab III
KECEPATAN RELATIF DAN PERCEP ATAN RELATIF 3.1
KECEPATAN RELATIF
3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Penghubung berputar terhadap satu titik tetap Perhatikan sebuah penghubung kaku yang berputar terhadap satu titik tetap O. Seperti ditunjukkan dalam gambar 3.1
y
y
?
VB
VBy
B
VB x ?
B R
R
?
? x
O
x
O
Gambar 3.1. Kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu titik tetap
Jarak antara O dan B adalah R dan garis O-B membuat suatu sudut sebesar q terhadap sumbu x .
22
Perpindahan titik B dalam arah sumbu x = R cos q dan perpindahan titik B dalam arah sumbu y = R sin q Dideferensial terhadap waktu dengan harga R konstan diperoleh :
dx
d ( R cosq )
dt
dt
dy dt
d ( R cosq ) dt
R( sin q )
( R cosq )
dq dt
dq dt
Kecepatan titik B dalam arah x adalah =
dx dt
Kecepatan titik B dalam arah y adalah V B y =
Kecepatan sudut garis O-B adalah : w
dy dt
dq dt
Maka kecepatan pada titik B : 1. Dalam arah x adalah VB x = -R w sin q 2. Dalam arah y adalah VB y = R w cosq
Kecepatan total titik B diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kedua komponen kecepatan tegak lurus.
VB = R w sin q
R w cosq
VB = [(R w sin q ) 2 + ( Rw cosq ) 2]1/2 = Rw (sin2 q + cos 2 q ) = Rw
23
Dari gambar diatas ditunjukkan bahwa kecepatan titik B tegak lurus terhadap garis O-B.
3.1.2 Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku Persamaan kecepatan relatif untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku dapat diperoleh dengan mengembangkan prosedur analisa diatas.
R? cos ? y
y B
y
R? sin? B
R R sin ?
?
B ?
?
A
A x
O XA
R cos ?
R?
V Ax
?
?
YA
VA
y
O
x
O
x
Gambar 3.2. Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku
Perhatikan
sebuah
garis A-B, seperti terlihat pada gambar 3.3 yang
mempunyai gerak kombinasi translasi dan rotasi. Koordinat titik A adalah (X A,YA), panjang A-B sebesar R dan sudut yang dibentuk garis A-B dan sumbu x adalah q . Sehingga koordinat titik B adalah :
24
X B = X A + R cos q YB = YA + R sin q Dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah besaran Konstanta
dxB dt
dX A dt
dyB
dYA
dt
dt
Dengan
dxB dt
VB ,
Maka
VBx
VAx
Rw sin q
VBy
VAy
Rw cosq
Rsin q
R cos q
dxA dt
x
dq dt dq dt
x
VA ,
dyB dt
y
VB ,
dyA dt
y
V A , dan w
dq dt
Posisi dari vector-vektor kecepatan ini ditunjukkan pada gambar 3.3. Dengan menjumlahkan kedua persamaan
diatas akan diperoleh
kecepatan total dari titik B. V ay )
VB = (V aX Harga (V aX
(R w sin q
R w cosq )
y
V a ) adalah kecepatan total titik A , VA dan
Harga (R w sin q
R w cosq ) = R w , maka persamaan diatas dapat
dituliskan menjadi : VB = VA
Rw
Dengan R w adalah vector kecepatan yang tegak lurus ke garis A-B dan dalam arah yang sama dengan kecepatan sudutnya. Kecepatan relatif titik B terhadap titik A adalah VBA = R w .
25
Sehingga untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku, dapat dipakai salah satu dari dua persamaan dibawah ini :
3.2
VB = VA
Rw
VB = VA
VB A
PERCEPATAN RELATIF
3.2.1 Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap dengan jari -jari konstan.
26
27
y
R a sin ? B
a R
Ra
?
R a cos ? x
O (e)
Gambar 3.3. Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap.
Penghubung (Link) O 2 – B (Gambar 3.3 a) berputar terhadap satu pusat tetap O 2, dengan kecepatan sudut w radian per detik, kearah melawan putaran jam (CCW), dan percepatan sudutnya a . Jarak O 2 – B sama dengan R. link O2 – B membentuk sudut q dengan sumbu x. Diinginkan percepatan total yang diterima titik B. Kecepatan titik B: 1. Dalam arah x adalah VB x = -R w sin q 2. Dalam arah y adalah VB y = R w cosq Kedua persamaan diatas dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah konstanta dihasilkan :
dVBx dt
R[w(cosq )
dq dt
(sin q )
dw ] dt
28
dVBy dt
R[w( sin q )
dq dt
(cosq )
dw ] dt x
Percepatan titik B dalam arah sumbu x :
dVb dt
AB
Percepatan titik B dalam arah sumbu y :
dVby dt
AByx
Percepatan sudut : a
x
dw dt
Sehingga persamaan diatas menjadi : A xB
Rw 2 cosq
Ra sin q
A By
Rw 2 sin q
Ra cosq
Gambar 6.1b memperlihatkan vector-vektor dalam posisinya masingmasing, sehingga percepatan total titik B adalah : AB =
( Rw2 cos q
Rw2 sin q )
( Ra sin q
Ra cosq )
Kedua komponen tegak lurus dalam tanda kurung pertama, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3c memberikan sebuah resultan R? 2, yang mempunyai arah dari titik B ke pusat perputaran penghubung (link). Dua komponen kedua tegak lurus dalam tanda kurung kedua, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3d memberikan sebuah resultan Ra, yang mempunyai arah tegak lurus ke garis B-O2 . Gambar 3.3e menunjukkan pengaruh pembalikan arah percepatan sudutnya. Sehingga percepatan total titik B dapat dinyatakan dengan persamaan : AB = R w 2
Ra
Dengan : R w 2 disebut komponen percepatan normal atau radial
29
R a disebut komponen percepatan tangensial
30
3.2.2 Percepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Sebuah gari A-B seperti pada gambar , adalah bagian dari penghubung kaku yang bergerak dalam suatu bidang dengan gerak sebarang, lokasi titik B :
y
?
a
?
R
A
B
YA
O
x
(a)
XA
X B = X A + R cos q YB = YA + R sin q Kecepatan titik B :
VBx
VAx
Rw sin q
VBy
VAy
Rw cosq
Persamaan kecepatan titik B dideferensialkan terhadap waktu t dengan harga R konstan diperoleh :
dVBy dt
dVAy dt
dVBx dt
R[w( sin q )
dVAx dt dq dt
R[w(cosq )
(cosq )
dq dt
(sin q )
dw ] dt
dw ] dt 31
x
Percepatan titik B dalam arah sumbu x :
dVb dt
Percepatan titik B dalam arah sumbu y :
dVb dt
AB
Percepatan titik A dalam arah sumbu x :
dVbAx dt
AAx
Percepatan titik A dalam arah sumbu y :
dVAy dt
AAyx
x
AB
y
yx
dq dt
Kecepatan sudut: w
Percepatan sudut : a
dw dt
Maka persamaan diatas dapat dituliskan menjadi : A xB
AAx
Rw 2 cosq
Ra sin q
A yB
AAy
Rw 2 sin q
Ra cosq
Percepatan total titik B, AB diperoleh dengan menjumlahkan komponen A yB
x
tegak lurus: AB = A B
Dengan menjumlahkan vector seperti yang ada digambar dengan urutan sebagai berikut : x
AB = (A A
A yA )
( Rw 2 cos q
Rw 2 sin q )
( Ra sin q
Ra cosq )
Suku dalam kurung pertama adalah percepatan total titik A Suku dalam kurung kedua adalah samadengan Rw 2 yaitu vector yang arahnya dari B ke A. Suku dalam kurung ketiga adalah sama dengan Ra
32
yaitu vector dengan arah tegak lurus B-A dan arahnya sesuai dengan arah percepatan sudutnya. Sehingga percepatan titik B dapat dinyatakan dengan : AB = AA
Rw 2
Ra
y
Ra
AA
B a
R
? A
O
x
(c)
Dari persamaan ini percepatan titik B sama dengan percepatan titik A ditambah denganpercepatan relatif titik B terhadap titik A. Sehingga persamaan percepatan titik B dapat dituliskan : AB = AA
ABA
Dengan mengganti R = BA dan w
AB = AA
V 2 BA BA
VBA BA
maka didapatkan persamaan :
BA a
33
Soal -soal : I.
Kecepatan Relatif
1.
penghubung penghubung
A-B
bagian
telah
dari
dianalisa
kecepatan A adalah
10 m/dt
sebuah
dan
telah
mekanisme
empat
didapatkan
bahwa
seperti ditunjukkan. Juga diketahui
bahwa kecepatan sudut penghubung untuk sesaat
pengamatan
adalah 60 rat/det kearah putaran jam . jika penghubung A-B panjangnya 10 cm berapa kecepatan total titik B dan bearnya dan arah. Selesaikan dengan memakai VA =V A + V BA ; dan selesaikan dengan memakai VB= V A + VB A.
VA
B 30 0
2 VB
A ?2
2.
Sebuah penghubung A-B panjangnya 20 cm. Komponen-komponen kecepatan titik a dan b seperti ditunjukkan. Berapa besar dan arah kecepatan sudut penghubung ?
6 m/det 3 m/det
1.5 m/det
B 1.5 m/det
A
34
3.
Kecepatan titik a pada penghung 2 diketahui besar dan arahnya. Kecepatan relatif titik B terhadap titik A diketahui besar dan arahnya. Tunjukkan bagaimana kecepatan titik B dan kecepatan titik C dapat ditentukan.
VBA VA 2 B
A
C II.
Percepatan Relatif
1.
Sebuah penghubung yang panjangnya 12.5 cm, berputar pada 400 rpm kearah putaran jarum jam, dengan salah satu ujungnya tetap dan 5 detik kemudian berputar pada 1800 rpm, dengan percepatan sudut konstan. Berapa percepatan titik tengah penghubung pada saat penghubung berputar pada 1400 rpm ?
2.
Apabila percepatan titik A seperti yang ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudutpenghubung untuk posisi yang ditunjukkan ? Kemana arah percepatan sudutnya ? Dapatkah arah kecepatan sudut diketahui ?
2
AA=1000 m/det
30
O2
A 0
15 cm 200
35
3.
Jika percepatan normal titik B terhadap titik A adalah 125 m/det2 dan percepatan tangensial titik B terhadap titik A adalah 250 m/det2. Berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? t
2
A BA=250 m/det
AB = 15 cm
36
B
A
4.
n 2 A B A=125 m/det
Jika percepatan total titik-titik A dan B diketahui dan seperti ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? Perhatikan dalam dua cara : hubungan percepatan titik B terhadap titik A, dan hubungan percepatan titik a dan titik B. tentukan juga percepatan titik C.
AA=200 m/det 60
2
AB =400 m/det2
0
A
B
C
36
Bab IV
PE NERAPAN KECEPAT AN RELATIF D AN PERCEPATAN RELATIF 4.1.1 Mekanisme Engkol Peluncur Mekanisme paling sederhana yang dipelajari adalah mekanisme engkol-peluncur segaris seperti pada gambar 4.1 Semua dimensi mekanisme diketahui dan penghubung digambarkan dengan skala. Kecepatan sudut penghubung 2 konstan ,w2 = 1800 rpm berputar searah jarum jam. Panjang O 2A = 2.5 in dan AB = 6 in
w2
A
3
B
2 4 B
O2 Gambar 4.1 Mekanisme Engkol Peluncur
Diagram Kecepatan Kecepatan titik A : VA = (O 2 A) w2 =
2.5 1800 x2p x = 39,3 rad/detik 12 60 37
VA diketahui tegak lurus O 2A arahnya sesuai w2 Kecepatan titik B dapat ditentukan dari : VB = VA + V BA
Atau
VB = VA + ( BA) w2
Dan VB (titik B hanya bergerak secara horizontal) sehingga VB arahnya akan horizontal. Pembuatan diagram kecepatan ditabelkan sebagai berikut : Table diagram kecepatan No
Besaran
Harga
Arah
1
VA = O v - a
2
VB A = a - b
?
- BA
3
VB = Ov - b
?
¦ Lintasan titik B
- O2A
(O2 A) w2
a
VA
Letak titik b sesuai lintasan b
Ov
Letak titik b tegak lurus AB
Diagram Kecepatan
Untuk menentukan arah kecepatan sudut penghubung 3 (? 3).
38
A 3
w3 B
VBA
Penghubung 3 diisolasi seperti gambar dibawah, dimana digunakan VBA oleh karena titik A dipandang diam. Untuk arah VBA, penghubung 3 berputar kea rah melawan jarum jam umtuk posisi yang ditunjukkan, dengan harga sebesar :
w3
VBA BA
dimana ? 3 harus dinyatakan dalam radian persatuan waktu. Jika VBA dinyatakan dalam meter per detik, BA harus dinyatakan dalam meter, dan ? 3 dalam radian oer detik. Harga VB
dapat diperoleh dengan mengukur panjang ab dan
mengalikan dengan skala yang dipakai.
Diagram Percepatan Langkah pertama : Memisahkan penghubung 2. Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama dengan
39
AA =
(O2 A)w 2 2
(O2 A)a
Harga R dan w2
2
diketahui sehingga percepatan normal
(O2 A)w 2 2dapat dihitung. Arah (O2 A)w 2 2adalah sepanjang garis A – O2 dari A menuju O2 dan harga (O2 A)a 2 sama dengan 0 karena kecepatan sudutnya konstan.. AA digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai. Langkah kedua : Penghubung 3 Percepatan titik A dapat dikaitkan dengan percepatan titik B melalui penghubung 3. Hubungan percepatan di titik A dan titik B : AB = AA
ABA
AB = AA
ABAn
AB = AA AB = AA
BA ? 2 V BA BA
AB A t 3
2
BAa
3
BAa 3
Langkah ke tiga : interpretasi dari setiap suku dalam persamaan : a. AB diketahui arahnya , karena titik B bergerak dengan translasi murni, dan ini hanya mempunyai percepatan dalam arah gerak. Besarnya AB tidak diketahui. b.
2 V BA dapat ditentukan secara lengkap, baik dalam besarnya BA
maupun arahnya. VBA dapat ditentukan dari polygon kecepatan, BA diketahui dan komponen percepatan normal arahnya dari B ke A karena yang ditentukan adalah percepatan B relatif terhadap A.
40
c. BAa 3 diketahui tegak lurus ke garis dari B ke A, besarnya belum diketahui. Sehingga terdapat dua anu, yakni besar AB dan besarnya BAa 3 , yang dapat diperoleh dari penyelesaian sebuah polygon vektor. Table diagram percepatan Percepatan Normal No 1
Besaran AA = o’ –
Percepatan Tangensial
Harga
Arah
Vektor
Harga
Arah
Vektor
w 22 (O2 A)
A – O2
o’ – a 0
0
-
a 0 – a’
a’ 2
ABA = a‘- b’
w 3 (AB)
B-A
a’ - ba
?
¦ VB A
ba – b’
3
AB = o’ –
0
-
o’ – b 0
?
¦ VB
b 0 – b’
2
b’
Ov Letak titik b sesuai lintasan
b’
ba
Letak titik b tegak lurus AB
a’
Diagram P e rcepatan
41
Besar dan arah percepatan sudut penghubung 3 dapat ditentukan dengan cepat. Jika percepatan tangensial titik B terhadap titik A ditempatkan pada penghubung 3, yang terisolasi seperti ditunjukkan pada gambar dibawah.
(BA) a 3 A 3
a3 B
akan diperoleh arah percepatan sudutnya melawan putaran jarum jam dan harganya :
a3
( BAa 3 ) BA
Apabila satuan- satuan yang dipakai adalah feet dan detik, maka percepatan sudut harus dinyatakan dengan radian per detik per detik, dituliskan sebagai rad/det2. Jika satuan-satuan yang digunakan adalah meter, detik, maka percepatan sudut harus dinyatakan dengan rad/det2. 4.1.2 Mekanisme Engkol Peluncur
42
A
C
w2
3 2 B 4
O2 O4
Gambar 4.1.2 Mekanisme Engkol Peluncur Mekanisme
peluncur
seperti
diperlihatkan
dalam
gambar
4.1.2.
Penghubung 3 digambarkan diperluas
ke A-B-C, terutama untuk ilustrasi dalam
penentuan kecepatan semacam titik C. Diagram Kecepatan Pembuatan diagram kecepatan seperti pada sub bab 4.1.1.
a
VA
c Letak titik b sesuai lintasan b
Ov
Letak titik b tegak lurus AB
Diagram Kecepatan Prosedur selanjutnya adalah dengan memecahkan dua persamaan vektor. VC = VA
VC A
VC = VB
VCB
43
Dimana terdapat emtat anu
: besar dan arah VC , besar VC A dan
besarnya VCB . Kedua persamaan vektor memungkinkan diperolehnya keempat anu, yang jawabnya ditunjukkan dalam gambar. Perlu dicatat bahawa a-b-c dalam gambar adalah bayangan A-B-C, penghubung 3. Bayangan dari kecepatan Tiap batang penghubung dalam suatu mekanisme akan mempunyai bayangan dalam segi banyak kecepatannya. Dalam gambar diagram kecepatan garis-garis a -b, b-c dan c-a masing-masing digambarkan tegak lurus terhadap garis-garis A-B, B-C dan C-A dari mekanisme. Akibatnya segitiga abc adalah sebangun dengan segitiga ABC dan ?abc disebut sebagai bayangan (image ) dari segitiga ABC. Diagram Percepatan Pembuatan diagram kecepatan seperti pada sub bab 4.1.1. Titik C dapat dicari dengan persamaan-persamaan dibawah ini.
Dan
AC = AA
ACA
AC = AA
ACAn
AC = AA
2 V CA CA
AC = AB
ACB
AC = AB
ACBn
AC = AB
2 VCB CB A
ACA t CAa 3
AC Bt
t BA
CB a b’3 Ov
2 VCB CB
ABAn Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
43
Diagram P e rcepatan
c’
a’
2 V CA CA
Bayangan percepatan Untuk setiap mekanisme pasti ada satu bayangan dalam segi banyak percepatannya, persis seperti satu bayangan untuk setiap batang penghubung dalam segi banyak kecepatan. A dan B adalah dua titik pada penghubung 3 maka : AB
A
AB At
= AB An
Besar dari percepatan relatifnya adalah : AB
A
= =
n
ABA
2
t
ABA 2 2
2
[ AB w ]
= BC
w
4
2
[ AB a ] a
2
Mengingat ? dan a adalah sifat yang menjadi milik keseluruhan batang penghubung, persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa percepatan relatifnya sebanding dengan jarak titik-titik tersebut. Ini memberikan arti yang baik untuk dapat menggambarkan segi banyak percepatan, mengingat besar dari vector percepatan relatif untuk semua titik-titik pada suatu batang penghubung akan sebanding dengan jarak-jarak antara titik-titik itu. Dalam diagram percepatan letak titik c’ dapat ditentukan dengan membuat a’b’c’ bayangan dari ABC. Ini menunjukkan :
a'b'
b'c'
a' c'
AB
BC
AC
44
Pada waktu menggambarkan bayangan percepatannya kita harus hatihati supaya bayangan percepatan tidak terlampaui (flip over). Ini menunjukkan jika A, B dan C pada suatu batang penghubung uruturutannya searah jarum jam maka a’, b’ dan c’ urut-urutannya haruslah juga sesuai dengan arah jarum jam.
4.2
Mekanisme Empat Penghubung Suatu
system
rangkaian
batang
penghubung
4
batang
diperlihatkan pada gambar dibawah. Kecepatan dan percepatan sudut dari batang penghubung 2 diketahui, percepatan dari titik-titik A, B dan C harus dicari bersama -sama dengan percepatan sudut dari batang penghubung 3 dan 4.
C O2 A = 152
C 3
AB = 279
B
O4C = 229
A 4
2 ? 2 = 50 rad/det O2
a 2 = 1600 rad/det
1
2
O4
Diagram Kecepatan
45
Kecepatan titik A : VA = (O 2 A) w2 VA diketahui tegak lurus O 2A arahnya sesuai w 2 Table diagram kecepatan No
Besaran
Harga
Arah
1
VA = O v - a
2
VB A = a - b
?
- BA
3
VB = Ov - b
?
- O4B
4
VC = Ov - c
- O2A
(O2 A) w2
Diperoleh dengan bayangan kecepatan
b
c
Ov
a VA
Diagram Percepatan Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama dengan AA =
(O2 A)w 2 2
(O2 A)a
2
Harga O2A dan w2 diketahui sehingga percepatan normal
(O2 A)w 2 2dapat dihitung. Arah (O2 A)w 2 2adalah sepanjang garis A – O 2 dari A menuju O 2 dan harga harga percepatan normalnya = (O2 A)a
2
yang arahnya tegak lurus A – O 2 sesuai arah a 2.
46
AA digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai. Pembuatan diagram percepatan dapat ditabelkan sebagai berikut : Table diagram percepatan Percepatan Normal No 1
Besaran AA = o’ –
Harga
Arah
Vektor
w22 (O2 A)
A – O2
o’ – a 0
a’
Percepatan Tangensial Harga (O 2A)
Arah
Vektor
¦ VA
a 0 – a’
a2
2
ABA = a‘- b’
w3 (AB)
B-A
a’ - ba
?
¦ VB A
ba – b’
3
AB = o’ –
w42 (O4B )
B – O4
o’ – b 0
?
¦ VB
b 0 – b’
2
b’ 4
AC = o’ –
Diperoleh dengan bayangan Percepatan
c’
47
O’
AB
n
bo ABt b’
A An
c’
3
ao
A At
a’
Gambar Diagram percepatan
48
4.3
Mesin Powell Mesin yang mengkombinasikan engkol peluncur dan dan empat
penghubung ialah mesin powel pada gambar . Penghubung
2
dimisalkan berputar pada suatu kecepatan konstan ? 2 searah putaran jam .
Diagram Kecepatan Kecepatan titik A : VA = (O 2 A) w 2 VA diketahui tegak lurus O 2A arahnya sesuai w2 Table diagram kecepatan No
Besaran
Harga
Arah
1
VA = O v - a
2
VB A = a - b
?
- BA
3
VB = Ov - b
?
- O4B
4
VC = Ov - c
- O2A
(O2 A) w2
Diperoleh dengan (
VC O4C
VB ) O4 B 49
5
VD C = c - d
?
- CD
6
VD = Ov -d
?
¦ Lintasan titik D
Poligon kecepatannya ditunjukkan dalam gambar. Diagram Percepatan Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama dengan AA =
(O2 A)w 2 2
Harga O2A dan w2
(O2 A)a
2
diketahui sehingga percepatan normal
(O2 A)w 2 2dapat dihitung. Arah (O2 A)w 2 2adalah sepanjang garis A – O2 dari A menuju O 2 dan harga percepatan normalnya = (O2 A)a 2 =0. AA digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai. Pembuatan diagram percepatan dapat ditabelkan sebagai berikut : Table diagram percepatan Percepatan Normal No 1
Besaran AA = o’ –
Harga
Percepatan Tangensial
Arah
Vektor
Harga
w22 (O2 A) A – O 2
o’ – a 0
0
Arah
Vektor
-
a 0 – a’
a’ 2
ABA = a‘- b’ w 32 (AB)
B-A
a’ - ba
?
¦ VB A
ba – b’
3
AB = o’ –
B – O4
o’ – b 0
?
¦ VB
b 0 – b’
¦ VB A
dc – d’
w42 (O4B)
b’ 4
AC = o’ – c’
5
ADC = c‘-
Diperoleh dengan (
w 52 (CD)
D-C
AC O4C
c’ - dc
AB ) O4 B ?
50
d’ 6
0
AD = o’ –
-
o’ – d 0
?
¦ VD
d 0 – d’
d’ Poligon percepatannya ditunjukkan dalam gambar.
c’
dc
d’
a’
b’
ba
bo
OA
Diagram Percepatan
51
SOAL-SOAL : 1.
Kecepatan A adalah 3 m/det kearah bawah dan bertambah dengan laju sebesar 25 m/det2. Tentukan :
a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B, C dan D. b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut
penghubung 3 dan 5.
2.
Tentukan :
a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B. b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut
penghubung 3.
52
3.
Mekanisme penghubung kepala silang , Jika sesaat ditunjukkan
seperti gambar penghubung 2 bertambah kecepatannya pada laju 4800 rad/det2. Tentukan :
a. Kecepatan dan percepatan titik-titik B dan C. b. Kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung 3,
4 dan 5.
4.
Gambarkan polygon kecepatan dan percepatan untuk posisi
yang ditunjukkan jika penghubung 2 berputar pada suatu kecepatan konstan.
53
Gunakan penyelesaian secara grafis.
54
Bab V
KECEPATAN DAN PERCEPATAN P ADA D DU UA A TITIK Y ANG BE RIMP IT KOMPO NEN N CORI OL IS D ARI PPEERRC CEEPPA ATTA AN N NORMAL 5.1
Kecepatan relatif dua titik berimpit Untuk menentukan besarnya kecepatan suatu titik yang bergerak
terhadap sebuah badan yang juga bergerak, perhatikan titik B yang bergerak terhadap badan M, yang pada saat bersamaan badan M tersebut bergerak dalam satu bidang, seperti terlihat pada gambar. Ditetapkan sebuah system sumbu koordinat, X dan Y, dan akan digunakan untuk menentukan posisi absolute suatu titik dalam bidang X dan Y. Sebuah system sumbu yang kedua, c dan d ditetapkan pada badan M dan bergerak dalam cara yang sama seperti badan M
56
bergerak. Sudut ? memberikan posisi sudut dari sumbu c dengan sumbu X
Y
M B d
c ?
d c XA
(c sin ? + d cos ?)
?
YB
A
(c cos ? - d sin ?)
YA O
X
XB (a)
Pada gambar diatas menunjukkan bahwa perpindahan X dan Y dari titik B dapat dinyatakan sebagai berikut, dimana A merupakan satu titik tetap pada M : X B = X A + c cos q - d sin q YB = YA + c sin q + d cos q Dideferensialkan persamaan-persamaan di atas dan mengganti w
dq dt
yaitu kecepatan sudut badan M, dengan menganggap bahwa c dan d adalah variable-variabel
dX B dt
V Bx
dX A dt
cw sin q
dc cosq dw cosq dt
dd sin q dt
57
dY B dt
dY A
V BY dc
Dengan
dt
dt uc ,
dc sinq dt
cw cosq
dd
ud ,
dt
dX A
X
V A dan
dt
dd cosq dt
dw sin q
dY A dt
VA
Maka V Bx
V Ax
w(c sin q
d cosq ) u c cos q
u d sin q
V BY
V Ay
w ( c cosq
d sinq )
u d cosq
uc sin q
? (c cos ? - d sin ?)
H
Y
y
R? ?
B
? (c sin ? + d cos ?) G d
90-?
? c
?
R
(c sin ? + d cos ?)
? A
J
(c cos ? - d sin ?)
X
O (b)
Dengan menjumlahkan persaman diatas secara vektor dan menyederhanakan seperti dibawah : (a). V B = (V XB
V yB )
X
V yA )
(b). V A = (V A (c). w ( c sin q
d cos q )
w ( c cos q
d sin q ) = w c 2
d2
1/ 2
58
(d). (u c cos ?
u c sin ?) =
( u c cosq ) 2
( uc sin q ) 2
(e). (u d cos ?
u d sin ?) =
(ud cosq ) 2
(ud sinq ) 2
1/ 2
1/ 2
= uc = ud
Maka VB = V B Tetapi V B
R?
uc
ud
R? = VBm yaitu kecepatan suatu titik pada badan M yang
berimpit dengan titik B, karena A dan satu titik pada badan M yang berimpit dengan B adalah dua buah titik pada satu penghubung kaku. Juga, u c
ud = u, yaitu kecepatan relatif B terhadap badan M. sehingga
persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk : M
VB = V B
u
Sebagai kesimpulan , interpretasi persamaan diatas yaitu bahwa kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu badan yang juga bergerak, diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kecepatan titik yang berimpit pada badan gerak dan kecepatan relatif terhadap badan, dengan menganggap badan diam. Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk siap pakai dengan menyebut titik gerak sebagai B 3 titik berimpit pada badan M sebagai B4, sehingga bentuknya menjadi : VB3 = VB 4
VB3 B4
Interprestasi sebenarnya adalah bahwa kecepatan relatif, VB3B4, diamati dengan menganalisa lintasan gerak titik B3 (penghubung
dimana
titik
B 3 bergerak
relatif ke penhubung 4
), dengan menganggap
penghubung 4 diam.
59
5.2
Percepatan dua titik berimpit Untuk menentukan percepatan relatif dua buah titik yang berimpit
dimana satu titik bergerak terhadap satu body yang bergerak, seperti pada pasangan sliding (sliding pair). Maka analisa percepatan untuk keadaan tersebut diatas akan lebih rumit karena pusat kecepatan relatif untuk pasangan seperti ini berada di tak terhingga. Penyelesaian untuk analisa kinematika dari problem diatas ialah dengan berdasarkan ketentuan bahwa hubungan yang mentransfergerakan dari pasangan seperti keadaan diatas berimpit pada satu titik. Kedua titik yang berimpit dari pasangan link tersebut mempunyai kecepatan dan percepatan relatif satu dengan yang lainnya. Dalam analisa ini kita akan mencari persamaan yang menentukan besarnya percepatan normal relatif antara kedua titik tersebut.
? ?
VQ S s
Q
VQ S s
Q
S
?
zs
z
? M s M
s Q pada link z S pada link s M pada link z dan link s
(a)
(b)
60
S
Pada gambar (a)diatas link S bergerak dengan kecepatan sudut ? S , sedangkan titik Q bergerak diatas link S dengan jari-jari lintasan ? dan pusat lintasan M. Dengan memisalkan MQ = link z dengan panjang ? yang berputar diatas link S dengan M sebagai pusatnya serta kecepa tan sudutnya ? ZS. Pada gambar (b) Arah VQS keatas apabila ? ZS. Arahnya berlawanan arah putaran jarum jam dan arahnya akan kebawah bila ? ZS berputar searah putaran jarum jam. Kecepatan Q relatif terhadap S : VQS = ? ? ZS. Atau
VQS
w ZS
r
Tanda positip
? ZS berlawanan dengan putaran jarum jam dan
apabila negative arah ?
ZS
sama dengan putaran jarum jam.
Kecepatan sudut absolute dari link Z adalah : ? Z = ? S + ? ZS Dengan menggunakan persamaan gerak relatif maka : ( AQM ) n = ( AQS )n + ( ASM )n ( AQS )n = ( AQM )n + ( ASM )n Kemudian ditinjau titik Q dan titik M pada link z.
Q
?
zs
?
M
61
( AQM ) n = ? w 2Z = ? (? S + ? ZS ) 2 2 = ? wS2 + ? w ZS
2 ? wS ? w ZS
Dengan memasukkan persamaan diatas dalam persamaan ini dihasilkan : ( AQM ) n = ? w S2 + r
( AQM ) n = ? wS2 +
VQS2 r2
2 V QS
r
2 ? wS
VQS r
2 wS V QS
Kemudian ditinjau titik S dan M pada link S.
( ASM )n = ? w S2
wS S r
M
Mensubstitusikan persamaan () dan () kedalam persamaan () maka akan didapatkan : 2 S
( AQM ) n = ? w +
VQS2 r
2
2 w S V QS - ? wS
62
( AQM ) n =
2 V QS
r
2 wS V QS
Persamaan () menunjukkan besarnya percepatan normal titik Q yang bergerak diatas link S yang juga bergerak. Komponen percepatan
2 V QS
r
adalah percepatan normal titik Q,
apabila link S diam. Dalam hal ini berarti VQS = V q , dan arah Sedangkan komponen percepatan
2 V QS
r
adalah dari Q ke M.
2 w S VQS disebut komponen
Coriolis dari percepatan normal titik Q relatif terhadap titik S. Tanda positip menunjuj\kkan bahwa arah w ZS
sama dengan arah w S ,
dan komponen + 2 w S VQS arahnya dari M menuju Q. Sekarang apabila lintasan titik Q diatas link S adalah berpa garis lurus, maka dalam hal ini harga r tak terhingga, sehingga komponen percepatan
2 VQS
r
harganya nol.
Jadi untuk kasus ini percepatan normal antara titik Q relatif terhadap S adalah : ( AQS )n =
2 w S VQS
Selanjutnya percepatan normal titik S relatif terhadap titik Q. ( ASQ )n =
2 w S VS Q
63
Cara untuk menentukan arah komponen percepatan coriolis Arah dari komponen percepatan coriolis dapat juga kita tentukan tanpa memperhatikan tanda positip atau negative dari komponen percepatan tersebut. Arah dari 2 w S VQS adalah sama dengan arah VQS yang diputar 900 menurut arah putaran w S .Sedangkan arah 2 w S VS Q sama dengan arah VS Q yang diputar 90 0 menurut arah putaran w S . Selain dengan pedoman diatas arah komponen percepatancoriolis dapat juga ditentukan sebagai berikut : Arah percepatan coriolis 2 wS V QS adalah sama dengan arah perkalian cros dari kecepatan sudut link pembawa w S dan kecepatan relatif antara titik Q dan S. Jadi secara vektor hal tersebut diatas dapat dituliskan : ( AQS )coriolis = 2 wS VQS ( ASQ ) coriolis = 2 w S VSQ Komponen percepatan coriolis seperti yang telah kita bahas diatas terjadi pada dua titik yang berimpit dari dua buah link yang merupakan pasangan sliding, rolling atau slip-rolling.
64
Pada ketiga gambar diatas titik Q pada link q dan titik S pada link s. Pada gambar ini link q mempunyai gerakan sl iding, slip-rolling atau rolling pada link s. Dalam hal ini link s dikatakan sebagai link pembawa CONTOH SOAL : Diketahui Link 2 berputar dengan kecepatan sudut ? 2 konstan.
65
Pada mekanisme diatas diketahui data-data sebagai berikut : Diagram Kecepatan Kecepatan titik Q : V Q = (O 2Q) w2 VQ diketahui tegak lurus O 2Q arahnya sesuai w2 Table diagram kecepatan No
Besaran
Harga
Arah
1
VQ = Ov - q
2
VS Q = q - s
?
¦ O4S
3
VS = Ov - s
?
- O4S
4
VP = Ov - p
5
VR = Ov -r
- O2Q
(O2Q) w2
Diperoleh dengan ( ?
VP
VS
O4 P
O4 S
)
¦ Lintasan titik R
Dari diagram kecepatan didapat : VS Q = q – s ( arah ke bawah) VS
= o–s
66
?S
=
VS ( arahnya berlawanan putaran jarum jam ) O4 S
Diagram Percepatan Percepatan titik A yang berputar terhadap satu pusat tetap sama dengan AQ =
(O 2 Q)w 2 2
(O2 Q)a
2
Harga O2A dan w2 diketahui sehingga percepatan normal
(O 2 Q )w 2 2dapat dihitung. Arah (O 2 Q )w 2 2adalah sepanjang garis A – O 2 dari A menuju O 2 dan harga percepatan normalnya = (O2 Q)a 2 =0. AQ digambarkan dengan skala percepatan yang sesuai. Pembuatan diagram percepatan dapat ditabelkan sebagai berikut : Table diagram percepatan Percepatan Normal No 1
Besaran AQ = o’ –
Percepatan Tangensial
Harga
Arah
Vektor
Harga
Arah
Ve ktor
w 22 (O2Q)
Q – O2
o’ – q 0
0
-
q 0 – q’
2w s xVSQ
- O4S
q’ - sq
?
¦ O4S
sq – s’
o’ – s0
?
¦VS
s0 – s’
q’ 2
ASQ = q‘s’
3
AS = o’ –
(kekanan)
w S2 (O 4S)
S – O4
s’ 4
AP = o’ –
Diperoleh dengan (
p’ 5
ARP = p‘-
2
w 5 (RP)
R-P
p’ - rp
AP O4 P ?
AS ) O4 S ¦ VRP
rp – r’
r’
67
6
AR = o’ –
0
-
o’ – r
?
0
¦VR
r0 – r’
r’
r’
s’
O’
so
p’
q’ sq
2? S VSQ
?S
2?
S
VSQ
V SQ
Diagram percepatan
SOAL-SOAL :
68
1. Suatu mekanisme seperti pada gambar dibawah diketahui : O2 O 3 = 36 cm O2 B 2 = 8 cm O3 B 3 = 32 cm R
= 48 cm
Penghubung 2 sebagai penggerak berputar dengan kecepatan konstan ? 2 = 40 rad/det2. Tentukan ? 3 dan a 3 dengan membuat diagram kecepatan dan diagram percepatan lebih dahulu.
2. Kecep atan titik A adalah 12 m/det dengan penghubung 2 berputar pada suatu kecepatan sudut konstan dalam arah melawan putaran jam. Dengan membuat polygon kecepatan dan polygon percepatan tentukan kecepatan sudut penghubung 4, 5, 6 dan kecepatan titik B serta percepatan titik C pada penghubung 5 (atau 6) dan percepatan sudut penghubung 3, 4, 5 dan 6.
69
71
Bab VI
MEKANISME KO MPL EK 6.1
Mekanisme sederhana dan Mekanisme komplek Suatu mekanisme dikatakan sederhana apabila untuk analisa
kecepatan dan percepatannya dapat diselesaikan hanya dengan persamaan gerak relatif atau dengan kombinasi metode image. Sebagai contoh persamaan gerak relatif VQ = VP + VP Q dan AQ = AP + AP Q dimana P dan Q adalah titik-titik yang memindahkan gerakan dan terletak pada satu link. Persamaan gerak diatas dapat langsung diselesaikan apabila jari-jari lintasan dari titik P dan titik Q diketahui.
P
3
Q 4
2
O2
O4 Gambar 6.1. Mekanisme sederhana
Pada gambar diatas disamping P dan Q adalah titik-titik yang mentransfer gerakan dan terletak pada satu link. Jari-jari lintasan titik P dan Q langsung dapat diketahui yaitu O2P dan O4Q, sedang pusat lintasannya adalah O2 dan O 4.
71
Analisa percepatan dari mekanisme tersebut dapat diselesaikan dengan persamaan gerak relatif : AQ = AP + APQ Apabila salah satu jari-jari lintasannya tidak dapat ditentukan maka cara analisa diatas tidak dapat dipergunakan. Mekanisme semacam ini dinamakan mekanisme komplek dan analisanya dengan cara khusus seperti yang akan kita bahas berikut. Ciri-ciri dari mekanisme komplek ialah adanya multipaired floating link yaitu suatu elemen yang merupakan pasangan kinema tik (turning atau sliding) dengan paling sedikit tiga buah link yang bergerak dan tidak berhubungan dengan body (frame) diam.
6.2
Mekanisme komplek derajat rendah dan derajat Tinggi
O6
6
D
C
4
O4
5
B
Gambar 6.2.
3
A
2
O2
Mekanisme komplek yang terdiri dari 6 link.
72
Gerakan pada link 5 ditentukan oleh dua dari tiga link yang berhubungan dengannya, yaitu link 4 dan link 6, yang masing-masing jari-jari lintasannya sudah tertentu. Hanya satu jari-jari lintasan yang tidak diketahui yaitu jarijari lintasan titik B. Apabila input diberikan dari link 6 pada mekanisme diatas maka analisa kecepatan dan percepatannya dapat diselesaiakn dengan persamaan gerak relatif.
6.3
Metode Titik Bantu Metode ini banyak sekali dipergunakan untuk analisa mekanisme
komplek derajat rendah maupun derajat tinggi. Untuk mempergunakan analisa dengan metode titik Bantu ini, pertama kali
kita
harus
menentukan
multipaired
link
yang
menyebabkan
mekanisme tersebut menjadi komplek. Kemudian kita tentukan titik bantu yang terletak pada floating link tersebut. Titik Bantu tersebut didapatkan dari perpotongan garis-garis bantu yang dibuat pada floating link tersebut melalui titik-titik yang mentransfer gerakan yang terletak pada link lain, dimana komponen kecepatan dan percepatan ttitik bantu kearah garis-garis bantu yang dibuat, yang dapat ditentukan secara grafis.
73
Gambar 6.3. Sebagian dari mekanisme komplek
Gambar diatas adalah sebagian dari mekanisme komplek, dimana kecepatan dan percepatannya titik-titik A, B dan C diketahui. Yang akan ditentukan adalah kecepatan dan percepatan titik-titk yang mentransfer gerakan D, E dan F. Langkah pertama kali adalah menarik garis bantu I, II dan III melalui titik-titik D, E dan F. garis Bantu I adalah perpanjangan link AD, garis Bantu II adalah perpanjangan link BE dan garis Bantu III adalah perpanjangan link CF. Ketiga garis Bantu ini berpotongan di titik-titik Bantu X dan Y, yang terletak pada floating link tersebut.
KECEPATAN Untuk menggambarkan diagram kecepatan dari suatu mekanisme harus ditentukan lebih dahulu titik O.
74
Kemudian melalui titik O ini ditarik garis-garis Bantu I, II dan III. VA, VB dan VC digambarkan melalui O. Karena A dan D terletak pada satu rigid body maka komponen kecepatan A dan D kearah garis Bantu I adalah sama. Adapun titik-titik D, X dan Y terletak pada satu rigid body pula yaitu pada floating link. Jadi komponen kecepatan D, X dan Y kearah garis Bantu I sama pula. (VA)I = (V D)I = (VX)I = (VY)I = o – a 1 Tempat kedudukan titik-titik d, x dan y terletak pada garis m - garis Bantu I melalui a1. Untuk titik B dan E (VB)II = (V E)I I = (VX)II = o – b 1 Tempat kedudukan titik-titik e1 dan x1 terletak pada garis n - garis Bantu II melalui b 1. Selanjutnya titik C dan F (VC )III = (VF)III = (VY)III = o – c1 Tempat kedudu kan titik-titik f dan y terletak pada garis p - garis Bantu III melalui c1. Titik x didapat dari perpotongan garis m dan n, dan titik y diperoleh dari perpotongan garis m dan p. Setelah titik x dan y diketahui pada diagram, maka titik D, E dan F dapat dicari dengan metode image atau dapat juga ditentukan dengan persamaan gerak relatif. Dimulai dengan menghitung kecepatan sudut floating link.
w
VXY X .Y
Y X arahcw X .Y
75
Kemudian VD ,VE dan V F dicari sebagai berikut : VD = VX + VD X VE = VX + VE X VF
=
VY
+
VFY
Gambar 6.4. Diagram kecepatan
PERCEPATAN Pembuatan diagram percepatan dimulai dengan menarik garis Bantu I, II dan III melalui titik O’ .
76
Kemudian percepatan titik A, B dan C dibuat melalui titik O’. AA= o’ – a’, AB= o’ – b’ dan AC= o’ – c’ Komponen percepatan titik A kearah garis Bantu I yaitu : (AA)I = o’ – a 1 Titik A dan D terletak pada satu rigid body. ( AD )I = ( AA )I + ( A DA )I Sedangkan titik D, X dan Y terletak pada satu rigid body pula sehingga dalam hal ini berlaku : ( AX )I = ( AD )I + ( AXD )I ( AY )I = ( AX )I + ( AYX )I dan Jadi : ( AY )I = ( AA )I + ( A DA )I + ( AX )I + ( AYX )I Harga -harga ( ADA )I , ( AX )I dan ( AYX )I dapat dihitung dari : ( A DA )I = ( ADA )n = a I - dI = ( AX )I
= ( AX )n
= d I - xI =
( AYX )I = ( AYX )n = xI - yI =
VD2A AD 2 V XD DX
VYX2 XY
Harga -harga VD A, VXD dan VYX didapat dari diagram kecepatan. Tempat kedudukan (letak) titik d’, x’ dan y’ terletak masing-masing pada garis tegak lurus garis Bantu I melalui titik dI , xI dan yI . Dengan cara yang sama didapatkan : ( AX )I I = ( AB )I I + ( A EB )I I + ( AXB )I I dengan : ( AB )I I
= o’ - b II = proyeksi AB kegaris Bantu II
( AEB )I I = ( AEB )N = bII - eII =
( AXE )I I = ( AXE )n = eII - xI I =
2 VEB BE
2 VXE EX
77
Harga -harga VEB dan V xe didapatkan dari diagram kecepatan. Letak atau tempat kedudukan e’ dan x’ diperoleh debgab menarik garisgaris tega k lurus garis Bantu II melalui titik eI dan xI . Percepatan titik Y pada garis Bantu III dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti diatas : ( AX )III = ( AC )III + ( AFCB )I I I + ( AYF )III dengan : ( AC )III
= o’ - cIII = proyeksi AC kegaris Bantu III
( AFC )III = ( AEB ) N = c III - fII =
( AYF )III = ( A XE )n = fIII - yIII =
2 VFC CF
VYF2 FY
Harga -harga VFC dan V YF didapatkan dari diagram kecepatan. Letak atau tempat kedudukan f’ dan y’ diperoleh debgab menarik garisgaris tegak lurus garis Bantu III melalui titik fI dan yI . Dari
analisa
diatas
tampak
bahwa
titik
x’
diperoleh
dengan
memanfaatkan garis Bantu I dan II karena dari garis ini didapatkan dua tempat kedudukan titik x’ dan y’. Titik-titik d’, e’ dan f’ pada diagram percepatan dapat dicari dengan metode image atau dengan persamaan gerak relatif sebagai berikut : AD = A X + AD X AD = A A + AD A Dari dua persamaan diatas diperoleh AD = o’ - d’ AE = A B + A EB AE = A X + A EX
78
Dari dua persamaan diatas diperoleh AE = o’ - e’ AF = AC + AFC AF = AY + AFY Dari dua persamaan diatas diperoleh AF = o’ - f’ AA
Letak d’
Letak x ’
(AA)I
AC
Letak y’ Letak f’
(AY F)n
I
III
II
y’ Gambar 6.5. Diagram Percepatan
79
Contoh Soal Mekanisme Balok Jalan Watt Link 2 dari mekanisme diketahui berputar dengan kecepatan ? 2 berlawanan arah jarum jam. Gambarkan Diagram kecepatan dan percepatannya ?
Penyelesaian : Titik Bantu untuk analisa mekanisme ini akan ditentukan pada link 4, karena link 4 merupakan floating link (penghubung apung). Garis Bantu I dibuat melalui titik B yang merupakan perpanjangan AB. Garis Bantu II dibuat melalui D dan tegak lurus lintasan D. Perpotongan garis Bantu I dan garis Bantu II diberi notasi x dimana x terletak pada link 4 sehingga link 4 terdiri dari titik-titk BCDX.
80
Kecepatan : Diagram kecepatan dari mekanisme diatas dibuat menurut table dibawah ini : No
Besaran
Harga
Arah
1
V A = Ov - a
2
VBA = a - b
?
- BA
3
VXB = b - x
?
- BA
4
VD = Ov - d
?
¦ Lintasan titik D
5
VXD = d - x
?
- XD atau ¦ Lintasan titik D
6
VCX = x - c
?
- XC
7
VC = Ov - c
?
- O5C
8
VDC = c - d
?
- CD
9
VBC = c - b
?
- BC
- O2A
(O2 A) w2
Dari langkah no. 1 didapatkan titik a pada diagram kecepatan.
x
Dari langkah no 2 sampai langkah no 5 diperoleh titik x. b Langkah 6 dan langkah 7 didapatkan titik c. Titik d dari langkah no 4 dan lankah no 8.
a
Titik b dari langkah no 2 dan lankah no 9.
Gambar digram kecepatan
c
Ov
d 81
Percepatan : Table diagram percepatan Percepatan Normal No
Besaran
Harga
Percepatan Tangensial
Arah
Vektor
Harga
Arah
Vektor
o’ – a 0
0
-
a 0 – a’
B-A
a’ - ba
?
¦ VB A
ba – b’
1
AA = o’ – a’
w22 (O2 A) A – O 2
2
AB A = a ‘- b’
w32 (AB)
3
AXB = b‘- x’
w4 (XB)
X-B
b’ - xb
?
¦ VXB
xb – x’
4
AD = o’ – d’
0
-
o’ – d 0
?
¦ VD
d 0 – d’
5
AXD = d ‘- x’
w4 (XD)
X-D
d’ - xd
?
¦ VXD
xd – x’
6
AC = o’ – c’
w52 (O5C) C – O 5
o’ – c0
?
¦ VC
c 0 – c’
7
AC X = x‘- c’
w42 (XC)
C-X
x’ - cx
?
¦ VCX
cx – c’
8
ADC = c‘- d’
w42 (CD)
D-C
c’ - cd
?
¦ VDC
cd – d’
9
AB C = c‘- b’
w4 (BC)
B-C
c’ - cb
?
¦ VBC
cb – b’
2
2
2
Dari langkah no. 1 didapatkan titik a pada diagram percepetan. Dari langkah no 2 sampai langkah no 5 diperoleh titik x. Langkah 6 dan langkah 7 didapatkan titik c. Titik d dari langkah no 4 dan lankah no 8. Titik b dari langkah no 2 dan lankah no 9.
82
x’
Oa xd
a’
ba
xb
cx
b b
x’
Oa
db
xd
C0 c
d’
a’ ba
xb
Gambar diagram percepatan
83
SOAL-SOAL : 1. Penghubung (link) 2 dari mekanisme dari gambar dibawah mempunyai kecepatan sudut ? 2 = 50 rad/det arahnya searah putaran jarum jam dan percepatan sudut a 2 = 1000 rad/det2 arahnya berlawanan putaran jarum jam. Tentukan : ? 3, ? 4, ? 5 dan V D serta a3, a4, a5 dan AD.
84
2. Penghubung (link) 2 dari mekanisme dari gambar dibawah mempunyai kecepatan sudut konstan ? 2 = 50 rad/det arahnya berlawanan putaran jarum jam. Tentukan : ? 6 dan a 6
3.
Diketahui mekanisme seperti gambar dibawah dengan VD = 60
cm/det dan AD = 0. Tentukan : ? 2, ? 3, ? 5 dan V B serta a 2, a 3, a5 dan AB.
85
86
