BUDAPESTI MÛSZAKI EGYETEM Folyamatszabályozási Tanszék. dr. Benyó Zoltán KOMPARTMENT MODELLEK ADAPTÍV SZABÁLYOZÁSOK

BUDAPESTI MÛSZAKI EGYETEM Folyamatszabályozási Tanszék

dr. Benyó Zoltán KOMPARTMENT MODELLEK ADAPTÍV SZABÁLYOZÁSOK

Oktatási anyag a mûszer- és irányítástechnika szakos hallgatók részére

Folyamatszabályozás és Folyamatszimuláció címû tárgyakhoz

Budapest, 1990.

Szakmailag ellenôrizte: Lakatos Gábor okleveles villamosmérnök

TARTALOM KOMPARTMENT (REKESZ) MODELLEK 1. BEVEZETÉS ..............................................................................................................4 2. DEFINICIÓK, ALAPFOGALMAK ...........................................................................6 3. ALKALMAZOTT JELÖLÉSRENDSZER.................................................................9 4. KOMPARTMENT ( REKESZ ) MODELLEK ELMÉLETE...................................10 4.1 Kompartment- ( rekesz ) modellek leírása állandósult állapotban levô rendszerek esetén ...................................................................................................................10 4.1.1 Zárt rendszerek ...........................................................................................11 4.1.2 Nyitott rendszerek ......................................................................................14 4.1.3 Speciális esetek...........................................................................................15 4.1.3.1 Lánc rendszer ...................................................................................16 4.1.3.2 Mammillary ( anya ) rendszer ..........................................................17 4.2 Néhány gyakorlati eset vizsgálata ......................................................................18 4.2.1 Egy-kompartment rendszer.........................................................................18 4.2.2 Két-kompartment lánc rendszer .................................................................20 4.2.3 Egy-kompartment rendszer, melynek bemeneteállandó forrás...................20 4.2.4 Többszörös dózis........................................................................................21 4.2.5 Két-kompartment zárt rendszer ..................................................................22 4.2.6 Két-kompartment nyitott rendszer..............................................................23 4.2.7 Kompartmentcsatolások .............................................................................25 4.2.7.1 Elôrecsatolás ....................................................................................25 4.2.7.2 Visszacsatolás ..................................................................................25 4.2.8 Három-kompartment rendszerek ................................................................26 4.2.8.1 Zárt rendszer ....................................................................................27 4.2.8.2 Nyitott rendszer................................................................................27 4.2.8.3 Lánc rendszer ...................................................................................27 4.2.8.4 Mammillary ( anya ) rendszer ..........................................................27 4.2.9 Inhomogenitás ............................................................................................28 4.3 Tranziens állapotban lévô rendszerek ................................................................28 4.3.1 Tranziens rendszer fogalma........................................................................28 4.3.2 Idegen anyagok kinetikája ..........................................................................29 4.3.3 Nyomjelzôvel jelölt rendszerek ..................................................................30 4.4 Nemlineáris rendszerek ......................................................................................31 4.4.1 Általános modell.........................................................................................31 4.4.2 Perturbációs és relaxációs módszerek ........................................................32

-1-

4.4.2.1 Relaxáció .........................................................................................32 4.4.2.2 Perturbáció .......................................................................................33 5. SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓ ...........................................................................34 5.1 Lánc rendszer modellje ......................................................................................34 5.2 Enterohepatikus keringés modellezése...............................................................37 5.3 Oldott állapotú anyagok tárolása polietilén konténerekben ...............................40 5.4 A pajzsmirigy jódfelvételi folyamatának modellezése.......................................41 5.5 Többszörös dózis ( Atkins kísérlete ).................................................................43 6. INVERZ FELADAT MEGOLDÁSA.......................................................................45 6.1 Inverz feladat megoldásának grafikus módszerei ..............................................45 6.1.1 Bleehan-Fisher módszer .............................................................................45 6.1.2 Cohn-Brues módszer ..................................................................................46 6.1.3 A módszerek pontossága ............................................................................46 6.2 Számítógépes paramétermeghatározás...............................................................46 6.2.1 Clearence-vizsgálatok mérési adatainakszámítógépes kiértékelése ...........47 6.2.2 198Au kolloiddal végzett májáramlás vizsgálatok kiértékelése.................48

ADAPTÍV SZABÁLYOZÁSOK 1. BEVEZETÉS ............................................................................................................50 2. ADAPTÍV SZABÁLYOZÁS ...................................................................................51 2.1 Modell-referenciás adaptív szabályozók ( MRASZ ) Ljapunov tervezése ........51 2.2 Paraméter identifikáció MRASZ használatával .................................................53 2.3 MRASZ tervezése hiperstabilitással ..................................................................55 2.4 Adaptív megfigyelés...........................................................................................61 3. ÖNHANGOLÓ ( SELF-TUNING ) SZABÁLYOZÁS ............................................68 3.1 Minimális varianciájú szabályozás.....................................................................68 3.2 Minimális varianciájú önhangoló szabályozó ....................................................70 3.3 Általánosított legkisebb variancia ......................................................................72 4. IRODALOMJEGYZÉK............................................................................................77

-2-

KOMPARTMENT (REKESZ) MODELLEK

1. BEVEZETÉS Az orvosi - élettani kutatásoknál és vizsgálatoknál mind gyakrabban merül fel valamely kvantitativ vizsgálatikiértékelési módszer kidolgozásának igénye, ok - okozati összefüggések feltárása, azok matematikai megfogalmazása. Mivel az élõ szervezetek és a bennük lejátszódó folyamatok általában bonyolultak, ezért a vizsgálatukhoz a teljes rendszert részekre (alrendszerekre) kell bontanunk, majd ezen alrendszerek statikus és dinamikus tulajdonságainak megismerése után vállalkozhatunk a teljes rendszer, vagy folyamat analízisére. Az életmüködés során - fõleg a fejlettebb élõlényeknél - kiemelkedõ szerepet játszanak a különbözõ nedvkeringések ( pl. vérkeringés ). Ezek transzport jelenségek, melyeket extenzív fizikai mennyiségek ( tömeg, térfogat, energia, stb. ) által meghatározott szubsztancia áramlása jellemez. Ezen jelenségek vizsgálatára nyújt jó lehetôséget a különbözõ nyomjelzõ anyagok transzportjának számítógépes kompartment analízise. Tekintve, hogy az említett extenzív mennyiségek az anyaghoz kötött sajátosságok, transzportjuk szükségképpen az anyag részecskéinek ( molekuláinak, atomoknak, stb. ) mozgásával kapcsolatos, így a transzport jelenségek az anyag specifikus mozgásformáinak tekinthetõk. Miután a transzport eloszlásbeli egyenlõtlenségek kiegyenlítéseként jön létre, a transzportált szubsztancia árama annál intenzívebb, minél nagyobb az inhomogenitás a rendszerben. Az olyan folyamatokat, amelyek valamely extenzív menynyiség transzportjára irányulnak, transzport folyamatoknak nevezzük. A transzport folyamatok alapjelenségeit a molekuláris fizika tárgyalja. A transzport folyamatok gyakorlati számítása olyan fenomenologikus jellemzõkkel és összefüggésekkel történik, amelyek legtöbbje hasonlóság elméleten alapszik. Az ún. fenomenologikus szemléletû leírásmód nyilván nem tükrözi az anyag molekuláris, atomos felépítését, stb., ezért csak akkor alkalmazhatjuk, ha az ún. "mikroszkópikus" viselkedés nem képezi a vizsgálat tárgyát. Az élettani transzport folyamatok megismeréséhez és tanulmányozásához meg kell teremtenünk a megfelelõ mérõ- és kiértékelõ rendszert. Ezek általában modellreferenciás intelligens mérõrendszerek. Segitségükkel egyre bonyolultabb élettani folyamatok tanulmányozhatók. Továbbiakban tetszõleges élettani transzport folyamatot olyan rendszernek tekintjük, amely véges számú makroszkópikus alrendszerbõl vagy elembõl épül fel. Ezeket homogén egyenletes eloszlású elemeknek, kompartmenteknek ( vagy rekeszeknek ) nevezzük. A kompartmentek anyagcserén keresztül kerülnek egymással ( esetleg a környezettel ) kölcsönhatásba. Mi a jelentõsége a kompartment rendszereknek? Elõször is igen eredményesen felhasználhatók a biológia, kémia stb. számos területén végzett kísérletek elemzésénél, kvantitatív összefüggések feltárására a fiziológiában és a farmakológiában. A lineáris kompartment rendszereknek viszonylag bonyolult analitikus elmélete van, nem is szólva az ún. inverz problémáról, a rendszer identifikáció és paraméter meghatározás feladatáról. A kutató számára fontos feladat, hogy a kísérleti adatokból a vizsgált rendszer plauzibilis leírásához eljusson. Ehhez nagy segítséget nyújt a kompartment analízis. Még ennél is bonyolultabb feladat a nemlineáris rendszerek és azon rendszerek

-4-

vizsgálata, melyekben a kompartmentek közti kicserélõdési folyamatokra ciklikus, valamint véletlen perturbációk hatnak. A kompartment ( rekesz ) analízis hasonló jelentõséggel bír az élettani folyamatok vizsgálatánál, mint a klasszikus szabályozástechnikában jól ismert frekvenciatartománybeli vizsgálati módszerek, vagy a modern szabályozás elméletben alkalmazott állapotegyenletes rendszerleírás. A kompartment analízis elméletét és alkalmazásait három fõ részre oszthatjuk: l. Plauzibilis modell készítése bármely biológiai rendszerhez. Ehhez szükséges a folyamat hátterének alapos ismerete, ehhez rengeteg kísérletet, mérési sorozatot kell elvégezni és kiértékelni. Az így szerzett tudás és felhalmozott ismeretek birtokában kritikával viselkedünk minden kompartment modellel szemben. A modell szerkezetének és paramétereinek meg kell egyeznie a valóságos rendszer vagy folyamat megfelelõ jellemzõivel. Ellenkezõ esetben a kompartment rendszerrel való leírásnak nagyon kis köze lesz a valósághoz. 2. Adott egy specifikált kompartment modell, feladat a rendszer analitikus elméletének kidolgozása. Ez matematikailag a legjobban definiálható feladat. 3. A legnehezebb feladat egy ún. inverz feladat. Adott egy rendszer egy vagy több plauzibilis modellje, milyen adatokra van szükségünk és hogyan használjuk fel azokat, hogy a modellparamétereket megkapjuk, és hogyan döntsük el, hogy melyik a legjobb modell. Az inverz feladat elméletének és megoldásának kidolgozása általában azért nehezebb, mert eleve bonyolultabb feladatról van szó, mint pl. egy jól specifikált kompartment rendszer analitikus megoldásakor. A téma interdiszciplinális jellegû mûvelõi között egyaránt megtalálhatók orvosok, biofizikusok, élettanászok, programozó matematikusok és természetesen mérnökök. Tekintettel a téma határterület jellegére fontos a közös nyelv, fogalomrendszer, stb. megalkotása, az azokhoz való következetes ragaszkodás és különös gondot kell fordítani arra, hogy a téma kifejtése mind a mérnök, mind pedig a nem mûszakiak számára jól érthetõ legyen.

-5-

2. DEFINICIÓK, ALAPFOGALMAK Rendszer: biokémiai, vagy fiziológiai elrendezés, melyben valamely anyag viselkedését tanulmányozzuk. A rendszeren kísérletek sorozatát végezzük, valamilyen elõre meghatározott céllal. Rendszer lehet pl. egy állat, növény, élõ szerv, élõ sejt, vagy sejtek mitochondrium összetevõi ( mitochondrium: sejtplazma-területek, amelyekben a legfontosabb és legintenzívebb anyagcsere-folyamatok zajlanak le ). A vizsgálat lehet pl. a 131I kiürülése egy állat plazmájából. Ebben az esetben a megfigyelt rendszer a jód transzport folyamata a vérbe és a vérbõl. A rendszer lehet: zárt vagy nyitott. Zárt rendszer: rendszer, melybe nem lép be és nem is hagy el anyag. Nyitott rendszer: olyan rendszer, mely anyagcserét folytat környezetével. Egy állat ( szerv, vagy sejt ) anyagcseréjének alkotói ( metabolic pool ) olyan vegyületek összessége, melyek a szövetek építésébõl, vagy lebomlásából származnak, melyeket az állat ( szerv, vagy sejt ) a szövet alkotóinak szintézisére használ. A kompartment kinetikailag elhatárolható, homogén, egyenletes eloszlású anyagmennyiség, melyet transzformációjának, vagy transzportjának kinetikája jellemez. A kompartmentet meg kell különböztetni a fizikai térfogattól és fiziológiai tértõl, bár néhány vegyület ilyen esetben is lehet kompartment. Egy anyagnak az egyik kompartmentbõl a másikba történõ átvitele lehet az illetõ anyagnak az egyik fiziológiás helyrôl a másikra való átvitele, vagy az illetõ anyagnak ugyanazon fiziológiás határokon belül történõ átalakulása. A kompartment méretét a benne lévõ anyag mennyisége határozza meg, mértékegysége tömegegység ( mol, gramm ). Elméleti modell egy biológiai rendszer valamely anyaga kinetikájának leírása. Matematikai modell az elméleti modellbõl származtatott egyenletek rendszere, mely a vizsgált anyag koncentrációjának és mennyiségének a változását írja le az idõ függvényében. A kompartment analizis azon eljárások összessége, melyek lehetõvé teszik, hogy egy biológiai rendszer viselkedését leírhassuk elméleti, vagy matematikai modellel. A kompartment rendszerek szimbolikus jelölése háromféleképpen történhet: Egymástól elválasztott dobozok, köztük nyilak Körök, köztük nyilak Hálók ( gráfok ) segítségével.

− − −

Az anyag körforgása (turnover): Egy több vegyületbõl álló rendszer állandósult állapotban van, ha e vegyületek a rendszerben mozognak, egymásba átalakulnak, és koncentrációjuk minden kompartmentben állandó a megfigyelés ideje alatt. Zárt rendszer esetén az állandósult állapot dinamikus egyensúly de mihelyt a rendszer nyitottá válik, az egyensúly

-6-

megszûnik. A dinamikus egyensúly fogalma csak zárt rendszerre használható, az állandósult állapotot pedig nyitott rendszerre szokták használni. A turnover mérésére a felezési idõt használjuk. Használata azon alapszik, hogy hasonló elsõrendû differenciál egyenleteket használunk rádioaktív bomlásoknál, kémiai kinetikánál és állandósult állapotú rendszerek kompartment analizisénél. Azokra a dQ rendszerekre, melyek leírhatók a = − kQ egyenlettel, a felezési idõ T1 2 kiszámítható dt a sebesség konstansból (k) a következõképpen:

T1 2 =

ln 2 0. 693 = k k

Bonyolultabb rendszereknél, ahol az exponenciális kitevõt kísérleti adatokból határozzuk meg, a 0,693/k-nak nincs fiziológiai jelentése. A turnover idõ az az idõ, amelyben kicserélõdik egy kompartment anyagtartalma és a kompartmentben lévõ anyag molekulájának átlagos élettartama. A fentiek alapján a turnover idõ ( Tt ):

Tt =

1 k

A turnover idõ alatt nem minden molekula cserélõdik ki. Minél tovább tart a megújulási folyamat, annál kevesebb "régi" molekula lesz az "újak" között és annyival kisebb lesz a valószínûsége annak, hogy egy "régi" molekula átalakul, vagy eltávozik a rendszerbõl. A turnover idõ alatt a "régi" molekulák 63%-a pótlódik. Nyomjelzõk Egy rendszer kémiai analízise csak annak statikus állapotáról ad információt. Általában a rendszer különbözõ részeiben lévõ anyagok koncentrációját, vagy a rendszer által felvett, vagy kiválasztott anyagok mennyiségét mérjük. Azért, hogy a rendszer kinetikáját is megvizsgálhassuk, meg kell jelölnünk anyagát. Ezt egy nyomjelzõvel vihetjük végbe. A nyomjelzõnek jól mérhetõnek kell lennie, ugyanúgy kell viselkednie, mint a megfigyelt anyagnak és kinetikájuknak sem szabad különbözni. A nyomjelzõ lehet egy elem izotópja, lehet rádioaktív, vagy stabil. Ma már leggyakrabban izotópot használnak, ezért vizsgálatainkat elsõsorban izotópikus nyomjelzõs higításra koncentráljuk. Természetesen eredményeink más nyomjelzõ vizsgálatok esetén is alkalmazhatók. A nyomjelzõvel szemben támasztott követelmények a következõk: l. A biológia rendszer ne tehessen különbséget a vizsgált anyag és nyomjelzõje között, vagyis ugyanazon a metabolikus változásokon menjenek keresztül. 2. A nyomjelzõt olyan kis mennyiségben adhassuk a rendszerhez, hogy annak állandósult állapotát ne zavarja meg. Ehhez megfelelõen nagy koncentráció kell. 3. Kezdetben a rendszerhez adott nyomjelzõ nincs egyensúlyi állapotban és mennyiségi változásait matematikailag analizálhatjuk, az idõ függvényében

-7-

leírhatjuk. Ezek a változások tükrözzék a megfigyelt anyag transzfer és transzformációs sebességét. 4. Ha a nyomjelzõ izotóp, ne cserélõdjön ki a jelzett anyag és más anyagok között. 5. Az izotóp felezési ideje olyan hosszú legyen, hogy az állandó csökkenés ellenére a mérési értékek mindig elég nagyok legyenek. 6. A nyomjelzõ nem okozhat a szervezetben abnormális anyagcsere reakciókat ( sugáreffektus, koncentrációtartalom változás ). A nyomjelzô mennyiségi változásait a vizsgált anyagon belüli koncentrációjával mérjük. Festékanyagoknál és a biológiai rendszerekben elõ nem forduló anyagoknál ez közvetlenül történik. Rádioaktív nyomjezõk rádioaktivitását mérjük. Egy jelzett anyag relatív specifikus aktivitása az anyag egy adott idõpontban mért specifikus aktivitásának aránya ugyanazon anyag egy más idõpontban mért specifikus aktivitásához, vagy egy másik anyag ugyanazon idõpontban mért specifikus aktivitásához. A stabil izotópok koncentrációját a nyomjelzõ izotóp atomjai számának és a legnagyobb többségben lévõ természetes izotóp atomjai számának arányával fejezzük ki. Ezért ezt többségi aránynak nevezzük. Ha ezt százalékosan írjuk le, akkor atomszázalék a neve. Néha a nyomjelzõ lehet a vizsgált rendszerben eleve elõforduló természetes izotóp. Ekkor a természetes koncentrációt kivonjuk a kísérleti koncentrációból és az eredményt atomszázalék emelkedésben írjuk le. Ezen eljárás jogosságát kísérleti tények igazolják. A természetben elõforduló izotópok majdnem mindig állandó többségi arányban vannak jelen, tekintet nélkül a forrásra. A legtöbb rendszerben a gyógyszerek a nyomjelzõkhöz hasonlóan a lineáris kinetikát követik, ezért a nyomjelzõ kinetika közvetlenül használható gyógyszerekre és bármilyen idegen anyagokra.

-8-

3. ALKALMAZOTT JELÖLÉSRENDSZER A hasonló témával foglalkozó nemzetközi szakirodalommal összhangban egysége jelölésrendszert alkalmaztunk, ez a következô: t

n Qj qj a j = q j cj a j a j (0)

kij

idô ( független változó ) a rendszer kompartmentjeinek száma a j-edik kompartment anyagának mennyisége ( tömeg ) a j-edik kompartment nyomjelzôjének mennyisége ( tömeg ) a j-edik kompartmentben levô stabil izotópok többségi aránya, vagy a rádioaktív nyomjelzô specifikus aktivitása a j-edik kompartmentben lévô nyomjelzô relatív specifikus aktivitása

q j (0)

a j-edik kompartmentbôl az i-edikbe történô mozgás sebességi állandója ( idô-1 ) a jelöletlen anyag transzportjának sebessége a j-edik kompartmentbôl az i-edikbe ( tömeg x idô-1 ) a j-edik kompartment kezdeti nyomjelzô mennyisége

a j (0)

a j-edik kompartmentben lévô nyomjelzô kezdeti specifikus aktivitása. A

Rij

Xi

λi s m

K t1 ,K t m y1 ,K ym yˆ1 , … yˆ m

b10 ,K bk 0

nyomjelzô többségi arányát kifejezhetjük a j = q j Q j alakban. Ha a nyomjelzô rádioaktív, akkor a specifikus aktivitás=( számlálási qj hatásfok )x( többségi arány ), a j = E . Qj az i-edik exponenciális kifejezés együtthatója az i-edik exponenciális kifejezés kitevôje ( idô-1 ) Laplace-operátor a mérési adatok száma a becsült paraméterek száma mintavételi idôpontok ( független változó ) mért adatok a t1 ,K t m mintavételi idôpontokban becsült értékek a t1 ,K t m mintavételi idôpontokban a becsülni kívánt paraméterek kezdeti értékei

-9-

4. KOMPARTMENT ( REKESZ ) MODELLEK ELMÉLETE Ebben a fejezetben a lineáris és nemlineáris kompartment rendszerek matematikai leírásával és azok analitikus megoldásával foglalkozunk.

4.1 Kompartment- ( rekesz ) modellek leírása állandósult állapotban levô rendszerek esetén Az állandósult állapotban lévô rendszerek lineárisak, a bennük zajló mozgásokat és átalakulásokat elsôrendû lineáris differenciál egyenletek írják le. A kompartmentekben lévô anyagmennyiség és turnover ( forgási ) segesség állandó és a sebesség konstans teremt köztük lineáris kapcsolatot. Állandósult állapotú kompartmant rendszerek analízisénél a következô feltételezésekkel élünk: − a kinetikai folyamatok irreverzibilisek, − a kompartment "régi" és "új" molekulái között nem teszünk különbséget, − a kompartmentekben minden pillanatban homogén a molekulák eloszlása. Feltételezzük, hogy a keveredési idô sokkal kisebb, mint a turnover idô, a nyomjelzôk ideálisak, a rendszer viselkedésének leírásához a legkisebb számú kompartmentet használtuk fel, vagyis kevesebb kompartmenttel már nem lehet modellezni a rendszert. Ha egy rendszert nyomjelzôvel vizsgálunk, akkor a következô lépéseket kell végrehajtanunk: 1. Ismert mennyiségû jelzôanyagot juttatunk a rendszer egy kompartmentjébe. 2. Megfelelô idônként mintát veszünk ebbôl és/vagy egy másik kompartmentbôl és meghatározzuk a specifikus aktivitást. 3. A rendszer elméleti és matematikai modelljének felhasználásával a kísérleti adatokból meghatározzuk a modell paramétereit. 4. Ha a modell nem megfelelô, egy újat választunk. A nyomjelzôs hígításos módszer elvét a 4.1. ábra mutatja. Q

1

+ (q ,a (0)) 1 1

Q + q 1

1

a (t) 1

4.1. ábra A 4.1. ábrán látható kompartment Q1 jelöletlen anyagot tartalmaz. Adjunk hozzá a 1 ( 0) specifikus aktivitású q 1 mennyiségû nyomjelzôt és várjuk meg, amíg elkeveredik. Ezután meghatározzuk a kompartment specifikus aktivitását. A nyomjelzô kezdeti aktivitásának egyenlônek kell lennie a kompartment keveredés utáni aktivitásával: q1a 1 (0 ) = (Q1 + q1 )a 1 (t )

Átrendezve:

- 10 -

( 4.1 )

 a (0)  Q1 = q1  1 − 1  a 1 (t ) 

( 4.2 )

Ha

Q1 >> q 1 a ( 0) Q1 = q 1 1 a1 ( t )

( 4.3 )

A ( 4.3 ) alapján a kompartment mennyisége vagy specifikus aktivitása számolható.

4.1.1 Zárt rendszerek Vizsgáljunk meg egy n kompartmentbôl álló, dinamikus egyensúlyban lévô zárt rendszert. Az általánosság kedvéért feltételezzük, hogy minden kompartment minden kompartmenthez kapcsolódik és a rendszer nincs kapcsolatban a környezetével. Egy ilyen rendszert mutat a 4.2. ábra.

k k

k

31

k

13

k

1j

Q 1 q 1 a

k

k

32

k

21

Q 2 q 2 a

12

1

k

23

2

k

j1

.

k . .

k

j2

k 1n

k

n1

k

2n

k

n,n-1

Q n q n a

.

n2

2j

. .

3n

n

k

k

n-1,n

n3

4.2. ábra A rendszert a következô matematikai modellel tudjuk leírni: dQ1 = k 12 Q 2 + k 13Q 3 +... + k 1n Q n − k 21Q1 − k 31Q1 −... − k n1Q1 dt M

( 4.4 )

dQ n = k n1Q1 + k n2 Q 2 +... + k n,n −1Q n −1 − k 1n Q n − k 2 n Q n −... − k n −1,n Q n dt Itt k jj természetesen nincs értelmezve, mert egy kompartment önmagával nem folytat anyagátvitelt. A ( 4.4 ) egyenlet felírható: n n dQ i = ∑ k ijQ j − Q i ∑ k ji dt j=1 j=1 j≠ i

( 4.5 )

j≠ i

Mivel a rendszer állandósult állapotban van, a kompartmentekbe belépô és kilépô anyagok egyenlôk, így

- 11 -

dQ i =0 dt A nyomjelzôkre ( 4.5 )-höz hasonló egyenlet írható fel: n n dq i = ∑ k ijq j − ∑ k ji dt j=1 j=1 j≠ i

( 4.6 )

j≠ i

dq i da = Qi i dt dt Ez a ( 4.1 ) egyenletbôl és Q i állandóságából következik. A ( 4.6 ) egyenlet tovább alakítva:

da i 1 = dt Q i

n

∑k a Q ij

j

j=1 j≠ i

n

j

− a i ∑ k ji

( 4.7 )

j=1 j≠ i

Mivel nyomjelzôt csak egy kompartmentbe juttattunk, ezért koncentrációja nincs állandósult állapotban

da i ≠0 dt viszont a nyomjelzô mennyisége a rendszer zártsága miatt állandó, ezért n

dq i =0 j=1 dt

∑

( 4.8 )

Tehát a rendszert leíró n egyenletbôl csak (n-1) független. Legyen A i Laplace-transzformáltja a i -nek ( A i = ( a i ) ). Így a ( 4.7 ) egyenlet:

sA 1 − a 1 ( 0) = k 12

n Q2 Q Q A 2 + k 13 3 A 3 +... + k 1n n A n − A 1 ∑ k j1 Q1 Q1 Q1 j= 2

M

( 4.9 )

sA n − a n ( 0) = k n1

n −1 Q1 Q Q A 1 + k n2 2 A 2 +... + k n,n −1 n −1 A n −1 − A n ∑ k jn Qn Qn Qn j =1

Rendezve az egyenletet: n    s + ∑ k A − k Q 2 A − ... − k Q n A = a (0) j 1 12 2 1n n 1   1 Q1 Q1 j= 2  

− k 21

  n   Q1 Q A 1 +  s + ∑ k j2 A 2 − ... − k 2 n n A n = a 2 (0) Q2 Q2   j=1 j≠ 2  

⋮ − k n1

 n −1  Q1 Q A 1 − k n 2 1 A 2 − ... +  s + ∑ k jn A n = a n (0)   Qn Qn j=1  

( 4.10 )

Ezt az eredményt mátrixos alakban is leírhatjuk, ami egy sajátérték problémát eredményez.

- 12 -

1 0 … 0  0 1   I= ⋮ ⋱    1 0 Q 1  0 Q=  ⋮  0 − λ 1  0 λ=  ⋮   0

0 Q2

0 − λ2

 A1    A A = 2  ⋮    A n 

0  − k 11    k =  k 21   ⋮ ⋱   Qn   k n1 …

0     ⋱  − λn 

 a 1 (0 )    a (0) a ( 0) =  2   ⋮     a n (0 )  − k 22 ⋮ k n2

 X 11  X X =  21  ⋮  X n1

⋯

k 1n   ⋯ k 2n  ⋱ ⋮   ⋯ − k nn  ⋯

k 12

X 12 X 22 ⋮ X n2

⋯ X 1n   ⋯ X 2n  ⋱ ⋮   ⋯ X nn 

Mivel k ii diagonál elemek nincsenek definiálva, legyen n

k ii = ∑ k ji j =1

∆ = det( sI − k ) ∆ ij ( sI − k ) mátrix aldeterminánsának ( −1) i + j -szerese ∆Tij = adj( sI − k ) . Tehát az ismert matematikai tétel alapján:

( sI − k ) −1 =

∆Tij

( 4.11 )

∆

Így a ( 4.10 ) egyenlet felírható: −1

Q ( sI − k ) QA = a ( 0) Tovább alakítva: ( sI − k ) QA = Qa ( 0) QA = ( sI − k ) −1 Qa ( 0)

( 4.12 )

−1

A = Q ( sI − k ) −1 Qa ( 0) ( 4.11 )-et behelyettesítve A egy eleme n

Aj = ∑ i =1

∆ ij Q i a i ( 0) ∆ Qj

Bebizonyítható, hogy ∆ = 0 egyenletnek n valós − λ1 > − λ 2 >K > − λ n sorba állíthatók, ahol − λ1 = 0. Így ( 4.13 )-at felbonthatjuk n

Aj = ∑ i =1

X ji (s + λ i )

( 4.13 ) negatív

gyöke

van

és

( 4.14 )

alakban. Ennek inverz Laplace-transzformáltja adja n

a j = ∑ X ji e − λ i t i =1

- 13 -

( 4.15 )

X és λ a kísérleti adatokból számítható valamelyik késôbb ismertetett görbeillesztô eljárással. Éppen ez az eljárás az oka, hogy többszörös gyök általában nem fordul elô, mert az eljárás ilyen gyököket nem tud szétválasztani. Ha ( 4.15 )-öt ( 4.17 )-be helyettesítjük, n² egyenletet kapunk. n

X1i ∑ k ji − j=1 j≠ i

Q Q2 Q k 12 X 2i − 3 k 13 X 3i −K − − n k 1n X ni = λ i X1i Q1 Q1 Q1

M −

( 4.16 ) n Q1 Q Q k n1X1i − 2 k n2 X 2i − 3 k n3 X 3i −K + X ni ∑ k jn = λ i X ni Qn Qn Qn j=1 j≠ i

ahol i = 1, 2 ... n. ( Tulajdonképpen nem tettünk mást, mint behelyettesítettük a sajátértéket és sajátvektort a sajátérték feladatba. ) A ( 4.16 ) mátrixos alakban −1

Q kQX = X λ k -ra megoldva kQX = QX λ kQ = QX λ X

−1 −1

k = QX λ X Q

−1

Legyen ∆ X = det( X), ∆Xjl pedig X aldeterminánsának ( −1) j+ l -szerese. Így k egy eleme: ∆Xjl Qi n k ij = ∑ Xil λ l ∆ Q j l =1 X

( 4.17 )

Mivel X és λ a kísérletek kiértékelésénél, Q pedig az izotóphígításnál látott ( 4.3 ) egyenletbôl adódik, így k meghatározható ( 4.17 )-bôl.

4.1.2 Nyitott rendszerek Ebben az esetben a rendszert a 4.3. ábrán látható modell jellemzi. Minden kompartment kapcsolatban van a külsô térrel. Az anyag R i0 ( i = 1, 2 ... n ) áramlási sebességgel lép be és nyomjelzôt nem tartalmaz. A nyomjelzôt valamelyik kompartmenthez kezdetben adtuk és most k 0i sebességi állandóval hagyja el a rendszert.

- 14 -

k 31

Külsô tér

k 13

R10

Q q 00 a0

k 21

Q q 11 a1

k 01

k 12 k n1 . . .

k 1n

4.3. ábra A matematikai modell: n n dQ i = R i0 + ∑ k ijQ j + Q i ∑ k li dt j =1 l=0

( 4.18 )

n n dq i = ∑ k ijq j − q i ∑ k li dt j=1 l =0

( 4.19 )

j≠ i

l≠i

( 4.6 )-hoz hasonlóan:

j≠ i

l≠i

( 4.7 ) pedig ez alapján

da i 1 = dt Q i

n

n

j =1 j≠ i

l =0 l≠i

∑ k ija jQ j − a i ∑ k li

( 4.20 )

Mivel a nyomjelzô most elhagyhatja a rendszert, ( 4.8 ) már nem igaz n

dq i ≠0 j=1 dt

∑

( 4.21 )

Ezután a megoldás megegyezik az elôzô fejezetével, azzal a módosítással, hogy n

k ii = ∑ k li

( 4.22 )

l =0 l≠i

és ezért λ 1 nem lesz nullával egyenlô. Néha elôfordul, hogy csak a rendszer teljes anyagára vonatkozó méréseket tudunk n

végrehajtani. Ilyenkor a nyomjelzô teljes anyagára a

∑q

i

függvényt kapjuk ,melyet a

i =1

rendszer kimosási függvényének nevezünk. A függvény idô szerinti deriváltja a rendszer kimeneti jelgörbéje.

4.1.3 Speciális esetek A fentiekben ismertettük, hogy miképpen határozzuk meg k -t zárt és nyitott rendszer esetén. A gyakorlatban a k mátrix sokszor egyszerûbb alakú lesz. Ilyenkor a megoldás leegyszerûsödik.

- 15 -

1. Állhat a rendszer több egymástól elkülönült alrendszerbôl. Ezek a modellbôl felismerhetôk és a kompartmentek úgy számozhatók, hogy a k mátrix a fôátlójamenti négyzetes mátrixokból álljon. Ilyenkor a differenciál egyenlet több alrendszerre esik szét. 2. Szeparálható rendszernek nevezzük a rendszert, ha /1/, /2/ ... /k/ alrendszerre bontható úgy, hogy /1/-nek nincs bemenete /2/, /3/ ... /k/-ból, /2/-nek /3/, /4/ ... /k/-ból, de /1/-bôl lehet bemenet, /3/-nak csak /1/ és /2/-bôl lehet bemenete és így tovább. Így /1/ önálló alrendszer lesz, önállóan megoldható, megoldásai a többi alrendszerre bemenetként hatnak. Így /2/ is megoldható most már a többitôl függetlenül és így tovább. 3. A gyûjtô rendszer olyan kompartment alrendszer, amelynek a rendszer többi részébôl van bemenete, de egyetlen kompartmentjének sincs kimenete külsô kompartmenthez. Ez természetesen egyetlen kompartmentbôl is állhat, melynek gyûjtô kompartment a neve. Ha egy rendszerben van egy gyûjtô, akkor van egy zérus sajátértéke. Az állítás fordítva is igaz. Ha van egy zérus sajátérték, akkor a rendszernek van gyûjtôje, vagy az egész rendszer gyûjtô, tehát zárt. A zérus sajátérték és a gyûjtô kapcsolata szemléletbôl is belátható. Ha egy sajátérték kicsi, az azt jelenti, hogy az alrendszer tároló jellegû, kimeneti átvitele a rendszer többi részéhez viszonyítva lassú. A továbbiakban két esettel - gyakorlati jelentôsége miatt - részletesebben foglalkozunk.

4.1.3.1 Lánc rendszer Ha egy rendszert úgy rendezünk el, hogy minden kompartmentnek csak a szomszédjával van kapcsolata, lánc rendszert kapunk. Ilyet ábrázol a 4.4. ábra.

k

k

21

Q 1 q 1 a

Q 2 q 2 a 2

1

k

k

32

.... .... k

12

k n,n-1 ...

j+1,j

Q j q j a

Q j+1 q j+1 a ....

j

j+1

k

23

k

j,j+1

Q n q n a n

n-1,n

4.4. ábra A k mátrix ilyenkor a következô alakú lesz: − k 21  − k 21 k= 0   ⋮  0 

0

⋯

k 23

⋯

⋮

⋮

⋱

0

0

⋯

k 12

− (k 12 + k 32 ) k 32

− (k 23 + k 43 ) ⋯

( 4.16 ) így alakul ebben az esetben:

- 16 -

  0   0  ⋮  − (k n −1,n + k 0 n ) 0

( 4.23 )

k 21 X 1i −

Q2 k 12 X 2i = λ i X1i Q1

Q Q1 k 21 X 1i + (k 12 + k 32 )X 2i − 3 k 23 X 3i = λ i X 2i Q2 Q2 Q Q − 2 k 32 X 2i + (k 23 + k 43 )X 3i − 4 k 34 X 4i = λ i X 3i Q3 Q3

−

( 4.24 )

⋮

−

Q n −1 k n ,n −1 X n −1,i + (k 0 n + k n −1,n )X ni = λ i X ni Qn

Látható, hogy bár az egyenletrendszer egyszerûbb lett, az ismeretlenek meghatározása most sem könnyû feladat. Sokkal egyszerûbb a megoldás arra az esetre, mikor egy kompartment csak az ôt követônek szállít anyagot, mint a 4.5. ábrán, tehát k 11 = k 21, k 22 = k 32 , ... k nn = k 0n . R

10

Q1 q1 a1

k

21

Q2 q2 a2

k

Qj qj aj

32

....

k

j+1,j

k Q j+1 n,n-1 q j+1 ... a j+1

Qn qn an

k

0n

4.5. ábra Ilyenkor az elsô kompartmentbe szokták a 1 ( 0) ≠ 0 és a 2 ( 0) = a 3 ( 0) =K = 0 . sI − k leegyszerûsödik:

a nyomjelzôt fecskendezni, ezért

0 0 (s + k 21 )  −k (s + k 32 ) 0 21  sI − k =  0 − k 32 (s + k 43 )  ⋮ ⋮ ⋮   0 0 0 

⋯ 0   ⋯ 0   ⋯ 0  ⋱ ⋮  ⋯ (s + k 0 n )

( 4.25 )

∆ = ( s + k 21 )( s + k 32 )( s + k 43 )K ( s + k 0n ) ∆ 11 = ( s + k 32 )( s + k 43 )K ( s + k 0n ) ∆12 = − − k 21 ( s + k 43 )K ( s + k 0n ) ∆ 13 = k 21k 32 ( s + k 54 )K ( s + k 0n )

M ∆1n = ( −1)1+ n ( − k 21 )( − k 32 )( − k 43 )K ( − k 0n )

Így A i ( 4.13 ) kifelyezésébe helyettesítve: A1 =

1 a 1 ( 0) ( s + k 21 )

k 21 Q1 A2 = a 1 ( 0) ( s + k 21 )( s + k 32 ) Q 2

( 4.26 )

Az elsô kompartmentbôl mintát véve Q1 és k 21 számítható. A második kompartment még ismeretlen k 32 , Q 2 -je ezek után szintén meghatározható és az eljárást így folytathatjuk tovább.

- 17 -

4.1.3.2 Mammillary ( anya ) rendszer Ez a rendszer egy központi kompartmentet tartalmaz, melyet a többi körülvesz. Anyagcsere csak a központi és szélsô kompartmentek között folyik. A 4.6. ábrán látható az n kompartmentbôl álló zárt mamillary rendszer elméleti modellje. Ezt a rendszert gyakran használják a csak szövetközi térbe és nem a szervek sejt-terébe bejutó anyag eloszlása kinetikájának vizsgálatára. A nyomjelzôt csak a központi kompartmentbe szokták fecskendezi. a 1 ( 0) ≠ 0 és a 2 ( 0) = a 3 ( 0) =K = a n ( 0) = 0. Így a ( 4.13 ) egyenlet:

Aj =

∆ 1 j Q1 a1 ( 0) ∆ Qj

( 4.27 )

Ebben az esetben mind a központi, mind az ôt körülvevô kompartmentek egy konstans és (n-1) exponenciális kifejezést tartalmaznak. A rendszert leíró A , a( 0) , Q és λ mátrixok nem változnak, viszont k egyszerûbb lesz. − k 21   k 21 k =  k 31   ⋮  k  n1

k 12 − k 12 0 ⋮ 0

k 13 0 − k 13 ⋮ 0

⋯ k 1n   ⋯ 0  ⋯ 0   ⋱ ⋮  ⋯ − k 1n 

( 4.28 )

Q2 q2 a2

Qn qn an

k 1n

k 21

. .

.

k 12 k 31 Q1 q1 a1

k n1

Q3 q3 a3

k 1j

k 13

. .

k j1

.

Qj qj aj 4.6. ábra Ezek után vizsgáljuk meg a gyakorlatban leginkább elôforduló eseteket.

- 18 -

4.2 Néhány gyakorlati eset vizsgálata Következôkben olyan kompartment-rendszereket mutatunk be, amelyek viszonylag egyszerûek, gyakorlati jelentôségük nagy. Ezek az egy-, két- és három-kompartment rendszerek és azok speciális esetei. Foglalkozunk továbbá az inhomogenitás kérdésével is.

4.2.1 Egy-kompartment rendszer Az elméleti modell a 4.7. ábrán látható: R

Q 1 q 1 a

10

k

01

1

4.7. ábra A rendszer viselkedését a

dQ1 = R10 − k 01Q1 dt

( 4.29 )

differenciál egyenlet írja le. A rendszer állandósult állapotban van, ezért:

dQ1 =0 dt

és

R 10 = k 01Q1

( 4.30 )

A rendszerbe t = 0-ban fecskendezett jelzôanyag viselkedését a következô egyenletek írják le: dq 1 = − k 01q 1 dt da Q1 1 = − k 01a 1Q1 dt

( 4.31 )

Átrendezve és integrálva: a1

t

− k 01 ∫ dt = 0

da 1 a ( 0) 1

∫

a1

 a  − k 01 t = ln a 1 − ln a 1 (0) = ln 1   a 1 ( 0) 

( 4.32 )

a 1 = a 1 (0)e − k 01t

Vegyük ennek tizes alapú logaritmusát:

lg a1 = lg a 1 ( 0) − 0, 4343k 01t Tehát, ha adatokat féllogaritmikus papíron ábrázoljuk, egyenest kapunk, melynek meredeksége:

− (lg a 1 ( t 1 ) − lg a1 ( t 2 )) ( t 2 − t1 ) Ezek után a keresett értékek könnyen számíthatók:

- 19 -

( 4.33 )

k 01 =

− meredekség 0, 4343

az y tengellyel való metszéspontja adja a kezdeti specifikus aktivitás értéket ( a 1 ( 0) ). Az izotóphígítás elve alapján

Q1 =

a Tq T a 1 ( 0)

( 4.34 )

ahol q T a nyomjelzô mennyisége és a T a specifikus aktivitása volt a befecskendezés elôtt.

4.2.2 Két-kompartment lánc rendszer Az elméleti modell: R

10

Q 1 q 1 a

k

21

1

Q 2 q 2 a

k

02

2

4.8. ábra A rendszert leíró differenciál egyenletek: dq 1 = − k 21q 1 dt dq 2 = − k 21q 1 − k 02 q 2 dt

( 4.35 )

illetve

da1 = − k 21a 1 dt da 2 Q = − k 21 1 a1 − k 02 a 2 dt Q2

( 4.36 )

a 1 = a 1 ( 0) e − k 21t a2 =

k 21a 1 ( 0) Q1 ( e − k 02 t − e − k 21t ) ( k 21 − k 02 ) Q 2

( 4.37 )

a 1 ( 0) , Q1 és k 21 az elôzô fejezet eljárársával számítható. k 02 és k 21 egy késôbb ismertetett görbe analizálási eljárással nyerhetô. Q 2 -t ezek után könnyen megkaphatjuk a 2 kifejezésébôl. 4.2.3 Egy-kompartment rendszer, melynek bemenete állandó forrás A 4.9.a. ábrán látható az elméleti modell:

- 20 -

R

Q 1 q1 a1

01

a0

k

01

a R 0 01

a.

Q 1 q1 a1

k

01

b. 4.9. ábra

A differenciál egyenlet, mely ezt a rendszert jellemzi, leírja az állandó infúzió estét is. Az állandó infúziót a 4.9.b. ábra mutatja. Tehát a két rendszert leírhatjuk a következô egyenletekkel:

dQ1 = R10 − k 01Q1 dt

( 4.38 )

Állandósult állapotban: R 10 = k 01Q1 . Jelzôanyagra:

dq1 = R10a 0 − q 1k 01 dt

( 4.39 )

Átírva:

da1 = k 01 ( a 0 − a 1 ) dt

( 4.40 )

A ( 4.40 ) egyenletet megkaphatjuk Laplace-transzformációval, de egyszerûbb, ha az elôzô fejezet speciális esetének tekintjük. Ekkor a rendszer olyan két-kompartment rendszer, ahol a 0. kompartment végtelen. Ez alapján:

a1 =

k 10Q 0a 0 ( e − k 01t − e − k10 t ) ( k 10 − k 01 )

( 4.41 )

Az elsô kompartment állandósult állapota miatt:

k 10Q 0 = k 01Q1 Így

a1 =

k 01a 0 ( e − k 01t − e − k10 t ) ( k 10 − k 01 )

( 4.42 )

a 1 = a 0 (1 − e − k 01t )

( 4.43 )

Ha Q 0 → ∞ és k 10 → 0

 a  1 − 1  = e −k 01t  a 0   

a



lim a 1 ( t ) = a 0 . Tehát ha 1 − 1  kifejezést ábrázoljuk féllogaritmikus papíron, akkor t →∞  a 1 (∞ )  a paramétereket az elôzô módszerrel megállapíthatjuk. Használhatóbb módszer késôbb kerül ismertetésre.

4.2.4 Többszörös dózis A nyomjelzôt n egyenlô dózisban t egyenlô idôközönként adjuk egy egy-kompartment rendszerbe. Egy-egy dózis nem zavarhatja meg az egyensúlyi állapotot.

- 21 -

A rendszerre, a nyomjelzôk beadása közötti idôtartamban, egy-kompartmentre korábban felírt differenciál egyenlet, vagyis

dq1 = − k 01q 1 dt

igaz

az

( 4.44 )

t = 0-ban a 1 ( 0) specifikus aktivitású nyomjelzôt juttatunk a rendszerbe. t1-ben a specifikus aktivitása a következô: a 1 ( t 1 ) = a1 ( 0) e − k 01t

( 4.45 )

Ekkor újabb dózist adunk be. A specifikus aktivitás nagyon kis idô (δt ) múlva: a 1 ( t 1 + δt ) = a 1 ( 0)(1 + e − k 01t )

( 4.46 )

Egy újabb intervallum elteltével: a 1 ( t 2 ) = a1 ( 0)(1 + e − k 01t ) e − k 01t

( 4.47 )

A harmadik befecskendezés után: a 1 ( t 2 + δt ) = a 1 ( 0)(1 + e − k 01t ) e − k 01t + a1 ( 0) = = a1 ( 0)(1 + e − k 01t + e −2 k 01t )

( 4.48 )

Az n-endik befecskendezés után: a 1 ( t n −1 + δt ) = a1 ( 0)(1 + e − k 01t + e −2 k 01t +K + e − ( n −1) k 01t ) = =

a 1 ( 0)(1 − e − nk 01t ) (1 − e − k 01t )

( 4.49 )

Ha n → ∞ befecskendezés után: lim a1 ( t ) =

n →∞

a 1 ( 0) (1 − e − k 01t )

A hatásmechanizmus a 4.10. ábrán jól követhetô.

4.10. ábra

4.2.5 Két-kompartment zárt rendszer Az elméleti modell a 4.11. ábrán látható:

- 22 -

( 4.50 )

k21

Q1 q1 a1

Q2 q2 a2

k 12 4.11. ábra A matematikai modell: dQ1 = k 12 Q 2 − k 21Q1 = 0 dt dQ 2 = k 21Q1 − k 12 Q 2 = 0 dt

( 4.51 )

A nyomjelzôkre ( q 1 + q 2 = állandó): dq 1 = k 12 q 2 − k 21q 1 dt dq 2 = k 21q 1 − k 12 q 2 dt

( 4.52 )

A specifikus aktivitásokra: da1 Q = k 12 a 2 2 − k 21a 1 dt Q1 da 2 Q = k 21a 1 1 − k 12 a 2 dt Q2

( 4.53 )

A megoldás például Laplace-transzformációval történhet. Ha Q1-be fecskendezünk t = 0-ban nyomjelzôt, a ( 4.53 ) egyenletek megoldása a következô: a1 =

k 12 a 1 ( 0) k a ( 0) − ( k 21 + k12 ) t + 21 1 e = X 0 + X1e − λt ( k 21 + k 12 ) ( k 21 + k 12 )

k a ( 0) a 2 = 12 1 (1 − e − ( k 21 + k12 ) t ) = X 0 (1 − e − λt ) ( k 21 + k 12 )

( 4.54 )

a 1 és a 2 képét a 4.12. ábra mutatja. a (0) 1

a (t) 1

Specifikus aktivitás

a (t) 2

0 0

Idô

4.12. ábra

Q1, Q 2 , k 12 és k 21 -et többféle módon határozhatjuk meg: vagy az ún. Bleehan-Fisher módszerével, vagy X 0 -át és X1 -et valamilyen görbeillesztéssel

- 23 -

meghatározzuk és Q1-re felírjuk az izotóphígítás alapegyenletét. Egy harmadik módszert is ismertetünk, e szerint: lim a1 ( t ) = X 0 t →∞

Ezért ( 4.54 )-et átrendezve:

a1 X − 1 = 1 e −λt a1 ( ∞ ) X0

( 4.55 )

A ( 4.55 ) egyenletet féllogaritmikus papíron ábrázoljuk és a paramétereket az egyenesbôl meghatározzuk. Ez azonban egy hosszabb kísérletsorozatnál rendkívül bonyodalmas, fáradságos kiértékelési módszer.

4.2.6 Két-kompartment nyitott rendszer A rendszer elméleti modellje a 4.13. ábrán látható. A rendszer differenciál egyenlete: dq 1 = k 12 q 2 − k 21q 1 − k 01a 1 dt dq 2 = k 21q 1 − k 12 q 2 dt

( 4.56 )

R10 k21

Q1 q1 a1

Q2 q2 a2

k 12 k 01 4.13. ábra A specifikus aktivitásokkal felírva: da1 Q = k 12 a 2 2 − k 21a 1 − k 01a1 dt Q1

( 4.57 )

da 2 Q = k 21a1 1 − k 12 a 2 dt Q2

Ha az 1. kompartmentbe juttattuk a nyomjelzôt, a fenti egyenletek megoldása a következô lesz:

(

a1 =

a 1 (0) (λ1 − k 12 )e −λ1t + (k 12 − λ 2 )e −λ 2 t (λ 1 − λ 2 )

a2 =

a 1 (0)k 21Q1 −λ1t (e − e −λ 2 t ) (λ 1 − λ 2 ) Q 2

− λ 1,2 =

)

− (k 12 + k 21 + k 01 ) ± (k 12 + k 21 + k 01 ) 2 − 4k 01 k 12

2

- 24 -

( 4.58 )

Az egyenleteket leírhatjuk a 1 = X1e − λ1t + X 2 e − λ 2 t

( 4.59 )

a 2 = X 3e − λ 1 t + X 4 e − λ 2 t

formában is. A specifikus aktivitás-idô függvényt a 4.14. ábrán követhetjük. A paramétereket a görbe analízis segítségével határozhatjuk meg. a (0)

a (t)

1

1

a (t)

Specifikus aktivitás

2

0 0

Idô

4.14. ábra

4.2.7 Kompartmentcsatolások 4.2.7.1 Elôrecsatolás Elképzelhetô, hogy egy kompartmentbe nem kerül be a felé irányuló összes anyag, hanem egy része kikerüli, és a kompartment után egyesül ismét a kiáramló anyaggal. Ilyenkor elôrecsatolásról beszélünk, mint azt a 4.15. ábra is mutatja.

a R

0 10

r

Q 1 q 1 a

k

1

Q 2 q 2 a 21

2

4.15. ábra Vizsgáljuk meg, hogy egy elôrecsatolt tag hogyan változtatja meg az ôt követô - például egy gyûjtô kompartment - bemenetét. A bemenet legyen állandó infúzió és ennek r -szerese jut az elsô kompartmentbe.

dq 1 = rR10a 0 − q 1k 21 dt

( 4.60 )

rR10a 0 (1 − e − k 21t ) k 21

( 4.61 )

Megoldva a ( 4.60 ) egyenletet:

q1 =

A másik ágon az elôrecsatolás nem változtatja meg az anyag menetét. Így a következô kompartment bemenete:

dq1 rR a = k 21 10 0 (1 − e − k 21t ) + (1 − r ) R 10a 0 dt k 21

- 25 -

( 4.62 )

dq 1 = R 10a 0 − rR10a 0e − k 21t dt

( 4.63 )

4.2.7.2 Visszacsatolás Az elméleti modellt a 4.16. ábrán láthatjuk:

a R

Q 1 q 1 a

0 10

1

k

21

r

Q 2 q 2 a 2

4.16. ábra Az elsô kompartmentet a következô differenciál egyenlet írja le:

dq1 = a 0 R 10 + (1 − r ) k 21q 1 − k 21q 1 dt

( 4.64 )

dq 1 = a 0 R 10 − rk 21q 1 dt

( 4.65 )

Ennek megoldása az elôzôkhöz hasonlóan:

q1 =

R10a 0 (1 − e − rk 21t ) rk 21

( 4.66 )

Kérdés: milyen hatással van ez a következô kompartmentre? Írjuk fel ennek a differenciál egyenletét.

dq 2 R a = rk 21 10 0 (1 − e − rk 21t ) dt rk 21

( 4.67 )

dq 2 = R 10a 0 (1 − e − rk 21t ) dt

( 4.68 )

A visszacsatolás tehát megváltoztatja a görbe idôállandóját is. A visszacsatolás miatt az anyag jobban keveredik a kompartmentben. Lényegében úgy képzelhetjük el az egész folyamatot, mintha egy belsô "keverô készüléket" adtunk volna a rendszerhez. Kompartmenteket párhuzamosan is csatolhatunk. Ekkor kimenetük összeadódik és két exponenciális görbe összege lesz.

4.2.8 Három-kompartment rendszerek Vizsgáljuk meg a 4.17. ábrán látható három-kompartment rendszert.

- 26 -

k 01

R10 Q1 q1 a1

k 12

k 21 k 32

Q2 q2 a2 k 02

k 31

k 13

Q3 q3 a3

k 23

R20

k 03

R30

4.17. ábra dq 1 = − ( k 01 + k 21 + k 31 ) q 1 + k 12 q 2 + k 13q 3 dt dq 2 = k 21q 1 − ( k 02 + k 12 + k 32 ) q 2 + k 23q 3 dt dq 3 = k 31q 1 + k 32 q 2 − ( k 03 + k 13 + k 23 ) q 3 dt

( 4.69 )

da1 Q Q = − ( k 01 + k 21 + k 31 ) a1 + k 12 2 a 2 + k 13 3 a 3 dt Q1 Q1 Illetve:

da 2 Q Q = k 21 1 a1 − ( k 02 + k 12 + k 32 ) a 2 + k 23 3 a 3 dt Q2 Q2

( 4.70 )

da 3 Q Q = k 31 1 a 1 + k 32 2 a 2 − ( k 03 + k 13 + k 23 ) a 3 dt Q3 Q3 A karakterisztikus polinom: − k 12 − k 13 (k 01 + k 21 + k 31 + s)    0= − k 21 (k 02 + k 12 + k 32 + s) − k 23   − k 31 − k 32 (k 03 + k 13 + k 23 + s)

( 4.71 )

Ennek gyökei a rendszer sajátértékei. Vizsgáljuk meg a legfontosabb speciális eseteket.

4.2.8.1 Zárt rendszer Ha k 01 = k 02 = k 03 = 0 , a ( 4.71 ) egyenlet a következô alakra egyszerûsödik: s3 + s2 ( k 12 + k 13 + k 21 + k 23 + k 31 + k 32 ) + + s k 13 ( k 21 + k 12 + k 32 ) + k 21 ( k 23 + k 32 ) + k 31 ( k 23 + k 12 + k 32 ) + k 12 k 23 = 0

- 27 -

( 4.72 )

A sajátértékek: zérus és a ( 4.72 ) megmaradó másodfokú kifejezésének gyökei.

4.2.8.2 Nyitott rendszer Tételezzük fel, hogy a ( 4.71 ) egyenletben minden k ij = 1. Ekkor a karakterisztikus polinom a következô: s3 + 9 s2 + 24 s + 16 = 0

( 4.73 )

A sajátértékek − λ1 = −1, − λ 2 = −4 és − λ 3 = −4 , vagyis − λ = −4 gyök multiplicitása kettô. Annak ellenére, hogy ez egy három-kompartment rendszer, csak két különbözô bomlási konstans van.

4.2.8.3 Lánc rendszer Lánc rendszernél k 13 = k 31 = k 01 = k 02 = 0 . Újra megvizsgáljuk azt a speciális esetet, amikor k 12 = k 21 = k 23 = k 32 = k 03 = 1. A sajátértékek a következô egyenlet gyökei: s 3 + 4 s 2 + 3s + 1 = 0

( 4.74 )

Ennek az egyenletnek három különbözô negatív valós gyöke van.

4.2.8.4 Mammillary ( anya ) rendszer A három-kompartmentû mammillary rendszerben k 23 = k 32 = k 02 = k 03 = 0 . Ha k 12 = k 21 = k 13 = k 31 = k 01 = 1, a sajátértékek az alábbi karakterisztikus polinom gyökei: s 3 + 6s 2 + 9 s + 3 = 0

( 4.75 )

Újra három különbözô valós gyököt kapunk.

4.2.9 Inhomogenitás Idáig a kompartmenteket mindig homogéneknek feltételeztük. Ha egy inhomogén kompartment is jelen van, akkor azt két al-kompartmenttel helyettesítjük. Az egyik gyors anyagcserében van a rendszer többi részével, a másik pedig lassú forgalmat bonyolít az elôzôvel. Egy ilyen példa a 4.18. ábrán látható:

Q q 11 a1

Q q 2a a 2a 2a

Q q2b a 2b 2b

4.18. ábra A nyomjelzô mennyisége az elsô kompartmentben:

q 1 = a 1Q1

( 4.76 )

A nyomjelzô teljes mennyisége a második kompartmentben:

q 2 = q 2 a + q 2 b = a 2a Q 2a + a 2 b Q 2 b = a 2 Q 2 ahol a 2 a 2. kompartment specifikus aktivitásásnak átlaga.

- 28 -

( 4.77 )

Mivel Q1 és Q 2 között gyors a kicserélôdés, ezért a 2a majdnem egyenlô a 1-gyel: a 2 Q 2 ≅ a 1Q 2a + a 2 b Q 2 b a 2 b Q 2 b ≅ a 2 Q 2 − a1Q 2a

( 4.78 )

Tételezzük fel, hogy a nyomjelzôt az elsô kompartmenthez adjuk, a 2 b ( 0) = 0 . Így t = 0-ban:

a 2 ( 0) Q 2 − a 1 ( 0) Q 2a = a 2 b ( 0) Q 2 b = 0 Q 2a a 2 ( 0) = Q 2 a1 ( 0)

( 4.79 )

Az al-kompartmentek nagysága tehát meghatározható. Más úton is megközelíthetjük az inhomogenitást. Feltételezhetünk az inhomogén kompartmentben egy koncentráció gradienst. Ekkor az inhomogén kompartmentet végtelen számú al-kompartmenttel helyettesítjük.

4.3 Tranziens állapotban lévô rendszerek A gyakorlatban sokszor merül fel a tranziens állapotú fiziológiai folyamatok leírásának igénye.

4.3.1 Tranziens rendszer fogalma A 4.7. ábrán látható modellt leíró egyenlet:

dQ1 = R10 − k 01Q1 dt

( 4.80 )

Ha R 10 és k 01 állandó, de R 10 ≠ k 01Q1 , akkor Q1, vagyis a kompartment mérete változik az idô függvényében. Ha nincs nyomjelzô a rendszerben, akkor ( 4.80 ) lineáris differenciál egyenletet - melynek függô változója Q1 - oldjuk meg. Ha van nyomjelzô a rendszerben, akkor

dq1 = − k 01q 1 dt

( 4.81 )

d ( Q1a 1 ) = − k 01Q1a 1 dt

( 4.82 )

illetve

függvényt kell megoldanunk, ahol Q1 és a 1 is változik az idô függvényében. A szerzôk olyan rendszereket is tanulmányoztak, melyekben a normál körülmények között állandósult állapotban lévô anyagok egyensúlyi koncentrációja megbomlott, és/vagy új egyensúlyi állapotba került, vagy visszatért az elôzô állandósult állapotba. Feltételezték, hogy a változás nem nagy, a kinetika lineáris.

4.3.2 Idegen anyagok kinetikája Általában az idegen anyag kinetikájának vizsgálatánál az elôzôhöz hasonló nem állandósult modellt használnak. Az anyagcsere vizsgálatában már a radioktív nyomjelzôk elôtt eredményesen használták az idegen anyagokat. 1920-ban Widmark acetont fecskendezett a nyulak bôre alá és mérte a vérben az aceton koncentrációját. Kimutatta, hogy az adatokra illesztett görbe exponenciális.

- 29 -

Gehlen 1933-ban már néhány olyan elméleti következtetésre jutott, ami már a két-kompartment rendszerre utal. Teorell 1937-ben magadta egy állat szervei és szövetei közti gyógyszer mozgásának ( átalakulásának ) kinetikai leírását. A legtöbb rendszerben a gyógyszerek kiáramlási sebessége a kompartmentbôl egyenesen arányos a kompartmentben lévô gyógyszer koncentrációjával. Bray, Thorpe, White olyan idegen anyagot fecskendezett a kísérleti állatba, mely részben változatlanul, részben kevésbé toxikus anyagként válik ki. A toluol kinetikáját a 4.19. ábra mutatja.

k

k

01

q

k

21

q

1

Toluol

02

2

Benzol-sav 4.19. ábra

Az 1. kompartmentben lévô toluol egy része változatlanul vált ki ( k 01 ), más része oxidálódott ( k 21 ). Így a 2. kompartmentben benzol keletkezett, mely elhagyta a rendszert ( k 02 ). Ennek a kivált benzolnak mérték a teljes mennyiségét. A 2. kompartmentet gyûjtô kompartmentnek tekintették. Egyenleteik:

dq1 = − ( k 21 + k 01 ) q 1 dt

( 4.83 )

dq 2 = k 21q 1 dt

( 4.84 )

Egy adott pillanatban a kivált benzol teljes mennyisége q 2 ( t ) , a végsô összes kivált benzol mennyisége q 2 ( ∞ ) . A t idôpontban visszamaradó toluol q 1 ( t ) , a beadott toluol q 1 ( 0) . Így a két egyenletet elosztva egymással:

dq 2 k 21 =− dq 1 k 21 + k 01

( 4.85 )

q 2 (∞) − q 2 k 21 = q1 k 21 + k 01

( 4.86 )

q 2 (∞) k 21 = q 1 ( 0) k 21 + k 01

( 4.87 )

( k 21 + k 01 ) B q1

( 4.88 )

A ( 4.85 ) egyenletet megoldva:

t = 0-ban

Legyen q 2 ( ∞ ) − q 2 ( t ) = B . Ekkor

k 21 = Ezt ( 4.84 )-be helyettesítve:

- 30 -

dq 2 = ( k 21 + k 01 ) B dt

( 4.89 )

Tehát, ha lg B-t idô grafikonon ábrázoljuk, az egyenes meredeksége ( k 21 + k 01 ) -t adja. q 2 ( ∞ ) és q 1 ( 0) ismeretében ( 4.87 ) felhasználásával k 21 és k 01 kiszámítható. Ez azt jelenti, hogy a nyúlból kiváló tuluol sebesség konstansa felbontható a benzollá válás oxidálódásának és a változatlanul kiváló anyagnak a sebesség konstansára.

4.3.3 Nyomjelzôvel jelölt rendszerek Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor nem csak a nyomjelzô mennyisége ( q i ), hanem a kompartment anyagának a mennyisége ( Q i ) is változik az idô függvényében. A modell az általános n-kompartment rendszer. Az i-edik kompartmentbe áramló anyag teljes mennyisége: n

∑R

ij

( 4.90 )

ji

( 4.91 )

j=1 j≠ i

A kompartmentbôl való kiáramlás sebessége: n

∑R i =1 i≠ j

Az eredô sebesség, mellyel az anyag az i-edik kompartmentben felhalmozódik, e sebesség különbsége: n n dQ i = ∑ R ij − ∑ R ji dt j=1 j=1 j≠ i

( 4.92 )

j≠ i

A nyomjelzô mozgását leírja a következô egyenlet: n n d ( a i Q i ) dq i = = ∑ a j R ij − a j ∑ R ji dt dt j=1 j=1 j≠ i

( 4.93 )

j≠ i

Míg ( 4.92 )-t a i -vel megszorozva:

ai

n n dQ i = a i ∑ R ij − a i ∑ R ji dt j=1 j=1 j≠ i

( 4.94 )

j≠ i

( 4.94 ) egyenletet ( 4.93 )-ba helyettesítve: n n dq i dQ i = ∑ a j R ij − a i ∑ R ij + a i dt dt j=1 j=1

( 4.95 )

dq i dQ i da = ai + Qi i dt dt dt

( 4.96 )

j≠ i

j≠ i

Mivel q i = a i Q i , ezért:

( 4.95 ) és ( 4.96 ) egyenletekbôl:

- 31 -

Qi

n n n da i = ∑ a j R ij − a i ∑ R ij = ∑ R ij ( a j − a i ) dt j=1 j=1 j=1 j≠ i

j≠ i

( 4.97 )

j≠ i

4.4 Nemlineáris rendszerek Nagyon sok, számunkra fontos rendszer nemlineáris. A következôkben a nemlineáris rendszerek egy általános megfogalmazásával, valamint a perturbációs és relaxációs módszerek ismertetésével foglalkozunk.

4.4.1 Általános modell Általános nemlineáris kompartment rendszerben az i-edik kompartmentbôl a j-edikbe történô anyagátvitel sebessége az összes Q1 , Q 2 ,K , Q n mennyiségek és több p1 , p 2 ,K , p n paraméter függvénye. Így a sebesség konstansok Q és P vektorok függvényei. Egy ilyen rendszer i-edik kompartmentjét mutatja a 4.20. ábra.

R i0(t)

kji ( Q, P )

Qi qi ai

kij ( Q ,P ) 4.20. ábra Sok esetben k ij Q i , Q j és még egy vagy több paraméter függvénye. R i0 ( t ) jelentheti a rendszerben szintetizált anyagot éppúgy, mint a környezetbôl belépôt. A rendszer matematikai modellje: n n dQ i = − ∑ k ji Q i + ∑ k ijQ j + R i0 ( t ) dt j= 0 j=1

( 4.98 )

n dQ i = − k ii Q i + ∑ k ijQ j + R i0 ( t ) dt j=1

( 4.99 )

j≠ i

j≠ i

n

Legyen k ii = ∑ k ji . j= 0 j≠ i

Ekkor:

j≠ i

Általában keveset mondhatunk a megoldásról az állandósult állapot kivételével. dQ i Ilyenkor Q i állandó és = 0 , minden R i0 ( t ) bemenet állandó R i0 . Így: dt n

Qi = ∑ j=1 j≠ i

k ij k ii

Qj +

1 R i0 k ii

( 4.100 )

4.4.2 Perturbációs és relaxációs módszerek Csak az állandósult állapotú rendszereket vizsgáljuk. Perturbáción az állandósult állapotban lévô rendszer kis változását értjük, mely egy vagy több

- 32 -

kompartmentbe fecskendezett kis anyagmennyiség hatására jön létre. Ezután a rendszer visszatér ugyanabba az állandósult állapotba. A relaxáció az állapotváltozók hirtelen kis megváltozása ( ezek az állapotváltozók nem a különbözô kompartmentek mennyiségei ), ilyen állapotváltozók például a hômérséklet és a nyomás. Az állandósult állapot megszûnik és egy új állapot felé tart a rendszer, mely nem egyezik meg az eredetivel.

4.4.2.1 Relaxáció Viszsgáljuk meg a ( 4.100 ) egyenlettel megadott rendszerrel mi történik, ha például a hômérséklet kissé megváltozik. Q oj az új állandósult állapotbeli érték, mely felé a rendszer tart. ∆Q j legyen Q j-nek az állandósult állapotbeli értéktôl való pillanatnyi elmozdulása. Q j = Q oj + ∆Q j

( 4.101 )

A rendszert, mint láttuk a ( 4.109 ) differenciál egyenlet írja le. A bemenetek megváltoztathatók az állapotváltozó ( hômérséklet ) eltolásával. Feltételezzük, hogy így új állandó értékhez tartanak és ekkor R i0 is egy új állandó lesz. P paraméter vektor is új x P -re változhat. k ij így k ij ( Q, P x ) és az új állandósult állapot k oij = k ij ( Q o , P x ) sebességi állandókkal jellemezhetô. Ha az eltérések már elég kicsik ( 10%-nál kisebbek ), k ij -t Taylor-sorba fejthetjük k oij körül és az elsô deriváltaknál magasabbrendû elhanyagolhatjuk. Ekkor így alakul a ( 4.109 ) egyenlet:

(

kifejezéseket

)

n   dQi ∂k o = − k oii + ∑ ii ∆Q k  Qio + ∆Qi +   dt k =1 ∂Q k  

 n ∂k o  ij + ∑  k oij + ∑ ∆Q k  Qoj + ∆Q j   j =1  k =1 ∂Q k   j≠ i

(

n

ahol

∂k oij

∂Q k állapotra:

  + R i0  

)

( 4.102 )

az állandósult állapotra kiszámított parciális deriváltat jelenti. Állandósult

n

0 = − k oii Q oi + ∑ k oijQ oj + R i0 ( t )

( 4.103 )

j=1 j≠ i

Ezt felhasználva és a magasabbrendû tagokat elhagyva:     dQ i ∂k ii o n ∂k iio o o = − k ii + Qi − ∑ ∆Q j ∆Q i + dt ∂Q k   j=1 ∂Q i j≠ i     n n ∂k o  ∂k  ij + ∑ − ii Q io + k oik + ∑ Q oj ∆Q k ∂ ∂ Q Q k k k =1  j=1  k ≠i  j≠ i 

( 4.104 )

∆Q i és ∆Q k együtthatói konstansok, így az új állandósult állapothoz tartozó relaxáció egy állandó együtthatójú lineáris differenciál egyenletrendszer.

- 33 -

4.4.2.2 Perturbáció A rendszer egy Q i kompartmentjébe fecskendezett kis ∆Q i ( 0) anyagmennyiséggel kimozdítható az állandósult állapotból. Ezután magára hagyjuk, hogy visszatérhessen eredeti állandósult állapotába. ∆Q i most se legyen nagyobb az állandósult állapotbeli ∆Q oi érték 10 %-ánál. A ( 4.104 ) egyenletet most is tudjuk használni azzal az eltéréssel, hogy most P paraméterek nem változnak meg és kezdeti eltérés csak Q i kompartmentben van. Gyakran még jobban leegyszerüsíthetôk az egyenletek. Ha a ( 4.104 ) egyenletek együttható mátrixa diagonálisan domináns, akkor egy kompartmentben bekövetkezô kis változás bármely más kompartmentben csak magasabbrendû változásra vezet. Ilyenkor már a következô egyenlet is jó közelítést ad:    d ∆Q i ∂k iio o n ∂k ij o  o = − k ii + Qi − ∑ Q j ∆Q i = −K i ∆Q i dt ∂Q i   j=1 ∂Q i j≠ i  

( 4.105 )

ahol K i a ( 4.104 ) egyenlet fôátlóbeli együtthatója. Így: ∆Q i = Q i − Q oi = ∆Q i ( 0) e − Ki t

( 4.106 )

Ekkor az elsô megközelítésben Q i az állandósult állapotba exponenciálisan tér vissza és a többi kompartmentben csak másodrendû hullámzás ( lüktetés ) van.

- 34 -

5. SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓ Az elôzô fejezetekben tágyalt, elsôsorban élettani folyamatok ( rendszerek ) leírására alkalmas matematikai modellek megoldásával sokan foglalkoztak, de még napjainkban is számos új közlemény jelenik meg, fôleg egy új feladat vagy speciális alkalmazás esetén. Tény azonban, hogy kompartment analízissel leírt élettani folyamatok analitikus megoldása három kompartmentszámig áttekinthetô. Ha ennél több kompartmentel írhatók csak le a vizsgálni kívánt folyamatok, akkor számítógépes megoldási módszereket kell alkalmazni. A fentiek figyelembevételével a Budapesti Mûszaki Egyetem Folyamatszabályozási Tanszékén folyó tudományos kutatások eredményeként több számítógépes szimulációs program rendszer került kifejlesztésre és a gyakorlatba való bevezetésre. Ezen programrendszerek segítségével tetszôleges felépítésû élettani rendszer vagy folyamat számítógépes vizsgálata elvégezhetô, a kompartmentek száma nincs korlátozva. A rendszer lehet zárt vagy nyitott. A kezdeti paraméterek megadásakor a program automatikusan dönt abban a kérdésben, hogy milyen redszerrôl ( lánc rendszer, Mamillary rendszer, stb. ) van szó. A program menü-vezérelt, IBM PC kompatibilis számítógépeken futtatható, az eredményeket táblázatosan és grafikusan is szolgáltatja, ezzel is segítve a gyakorlati használhatóságot. A következôkben - a teljesség igénye nélkül - bemutatunk néhány példát a KOMPART számítógépes szimulációs program alkalmazására.

5.1 Lánc rendszer modellje k 21 Q1

k 32 Q2

k12

k 43 Q3

k23

k 54 Q4

k34

Q5 q4

k45

5.1. ábra A viszonylag nagy tömegû 1-es kompartmentbôl nagy sebességû áramlás zajlik a 2-es kompartment felé. A nyomjelzôt a 4-es kompartmentbe adjuk, mely a 3-as és az 5-ös kompartment felé ürül ki. A rendszer a következô matematikai modellel írható le:

dQ1 = − k 21Q1 + k12 Q2 dt dQ2 dt dQ3 dt dQ4 dt dQ5 dt

= k 21Q1 − ( k12 + k32 ) Q2 + k 23Q3 = k 32 Q2 − ( k 23 + k 43 ) Q3 + k 34 Q4 = k 43Q3 − ( k 34 + k54 ) Q4 + k 45Q5

( 5.1 ) = k54 Q4 − k45Q5

- 35 -

A számítógépes kiértékeléshez a következô adatokat használtuk:

Q1 = 500; Q 2 = 100; Q 3 = 100; Q 4 = 100; Q5 = 100 k 12 = 5; k 21 = 20; k 23 = 10; k 32 = 15; k 34 = 10; k 43 = 10 k 45 = 5; k 54 = 10; q 4 = 30 Az egyes kompartmentek anyagának és nyomjelzôinek idôbeli változását az 5.2-5.5 ábrák szemléltetik.

5.2 ábra

- 36 -

5.3 ábra

5.4 ábra

- 37 -

5.5 ábra Ahogy várható volt, a nyomjelzô mennyisége leggyorsabban a 3-as és az 5-ös kompartmentben kezd változni, s csak ez után a 2-es és az 1-es kompartmentben. Látható tehát, hogy egy tetszôleges fiziológiai folyamat egyszerûen értékelhetô, hatásmechanizmusa pontról-pontra nyomonkövethetô.

5.2 Enterohepatikus keringés modellezése A máj a szervezet fontos kiválasztó szerve, amely nélkülözhetetlen szerepet játszik abban, hogy a szervezet a felesleges anyagcseretermékektôl megszabaduljon. Az eliminációs mûködés érinthet kívülrôl bejutó anyagokat ( pl. gyógyszerek, mérgek ) és a szervezetben keletkezô anyagcseretermékeket. Rendszerint inkább lipofil vegyületekrôl van szó, melyek eliminációja a vesében korlátozott. A májsejtekben lejátszódó átalakulások következtében a kérdéses molekula polárisabb, hidrofilebb természetûvé válik, és igy az epébe, vérbe kiválasztódhat. Az eliminációs mûködés szempontjából a bélcsatorna mintegy a "külvilág" folytatásaként fogható fel: az epével történô kiválasztás tehát azt jelentené, hogy a szervezet az illetô anyagtól megszabadult. A valóságban azonban ez a "külvilág" rendkívül szoros kapcsolatban van szervezettel, és a kiválasztott, a béllumenbe jutott vegyületek a hámsejtek és a baktériumok hatására átalakulhatnak, a bélhámon keresztül visszakerülhetnek a keringésbe. Számos olyan vegyületet ismerünk, ami ezen "enterohepatikus körforgalom" révén újból és újból visszajut a szervezetbe, és így az endogén szintézisét a szervezet részben megtakaríthatja. Természetesen ennek biológiai célszerûsége csak olyan anyagok esetében van, amelyek a szervezet számára fontosak lehetnek ( epesavak, koleszterin ), és a körforgalom rendkívül hátrányosnak bizonyul olyan anyagok esetében, melyek károsak ebben a vonatkozásban. Az enterohepatikus keringés modellezhetô a két kompartmentes holtidôs taggal rendelkezô modellel, mely az 5.6. ábrán látható. - 38 -

k 21 dózis 1. kompartment

τ

2. kompartment

k12

k01

k02

5.6. ábra Az 1. kompartment a testet ( pontosabban a májat ), a 2. kompartment pedig az emésztési csatornát jelenti. A gyógyszer ( nyomjelzô ) intavénás befecskendezés útján kerül a szervezetbe t = 0 idôpillanatban az 1. kompartmentbe ( D dózisban ). Mind a két kompartment tömege kezdetben 0. A nyomjelzô molelkulák a t idôpillanatban elhagyva az 1. kompartmentet csak ( t + τ ) idôben érik el a 2. kompartmentet. Az áramlás nagyságát a k ij együtthatók szabják meg ( k 01 a nem epével kiválasztott anyagelimináció mértékét, k 02 a belekbôl eltávolított anyag mennyiségét, k 21 az epével történô kiürítés nagyságát, k 12 pedig a reabszorpció mértékét jelöli ). A modell leírható a következô differenciál egyenletrendszerrel: dq 1 ( t ) = − ( k 01 + k 21 ) q 1 ( t ) + k 12 q 2 ( t ) + Dδ ( t ) dt dq 2 ( t ) = − ( k 02 + k 12 ) q 2 ( t ) + k 21U( t − τ ) q 1 ( t − τ ) dt

( 5.2 )

ahol 0ha 0 ≤ t < τ U ( t − τ) =   1ha t > τ

δ ( t ) pedig a Dirac-delta függvény. A differenciál egyenletrendszer megoldható valamelyik numerikus módszerrel ( Euler algoritmus, Runge-Kutta módszer ). Az inverz Laplace-tramszformációt használva ki tudjuk fejezni a q 1 ( t ) -t az idô függvényében a holtidô ( τ ) figyelembevételével. Pl. ha 0 ≤ t < τ:q1 ( t ) = De − bt ha τ ≤ t ≤ 2τ:q1 ( t ) = De −bt +

− a ( t − τ) Dc  e 1  − b( t − τ)   + t − τ − e a−b  a −b a −b  



( 5.3 )



A fenti modell számítógépes szimulációját az alábbi három számszerû példa szemlélteti. ( A k 02 értékét célszerû minél kisebbre választani, mert az enterohepatikus keringés mértéke k 02 = 0 esetén maximális. ) Az ábrák világosan mutatják, hogy mind a holt idô, mind a k ij értékek erôsen befolyásolják a nyomjelzô ( gyógyszer ) idôbeli eloszlásának a jellegét is. Így a kísérleti

- 39 -

adatok alapján könnyen modellezhetôvé és elemezhetôvé válik a gyógyszer szétterjedése a szervezetben.

− k 01 = 0. 9 k 21 = 0.5 k 02 = 0.1 k12 = 0.8 τ = 1 D = 40

5.7 ábra

− k 01 = 0. 9 k 21 = 0.5 k 02 = 0.1 k12 = 0. 8 τ = 3 D = 40

5.8 ábra

- 40 -

− k 01 = 0. 9 k 21 = 4 k 02 = 0.1 k12 = 1. 9 τ = 1 D = 40

5.9 ábra

5.3 Oldott állapotú anyagok tárolása polietilén konténerekben Amikor valamilyen anyagot raktározunk ( mûanyag csomagolásban, fém dobozban, konténerekben ), akkor az idô múlásával az anyag kölcsönhatásba lép a doboz, illetve a konténer falával, és ezen keresztül a környezetével is. Számos kutatói munka folyik ezen a területen választ keresve arra a kérdésre, hogy milyen mértékû ez a kölcsönhatás, hogyan függ a külsô tényezôktôl, és mely elemek hajlamosak a leginkább az áramlásra. E jelenségek vizsgálata rendkívül fontos technológiai, fizikai, vegyi és egészségügyi szempontból. Ezen folyamatok vizsgálatára, az anyagáramlások megfigyelésére az 5.10. ábrán látható két kompartmentes modell használható.

k21 Q1

Q2

k02

k12 5.10. ábra Az ábrán az 1. kompartment az anyagot, a 2. pedig a konténer falát jelenti. A 0-ás kompartment a környezet. A modell leírható a következô egyenletrendszerrel:

- 41 -

dQ1 = − k 21Q1 + k 12 Q 2 dt dQ 2 = k 21Q1 − ( k 12 + k 02 ) Q 2 dt

( 5.4 )

Illetve a specifikus aktivitásokra felírva: da1 Q = − k 21a 1 + k 12 a 2 2 dt Q1 da 2 Q = k 21a1 1 − ( k 12 + k 02 ) Q 2 dt Q2

( 5.5 )

A megoldás pl. Laplace-transzformációval történhet, a k és Q paraméterek többféle módon meghatározhatók ( pl. a görbeanalízis segítségével ). A Tasmániai Egyetemen a Gyógyszertan Tanszéken végzett kísérletsorozat sok hasznos információt adott a polietilén konténerek szivárgásának mértékérôl és a konténerekben tárolt oldott állapotú anyag áramlásáról. A kísérleteket különféle vegyületekkel és oldószerekkel végezték: nitrobenzollal, acetofenonnal, klorokrezollal, benzil alkohollal, fenil etanollal. A polietilén típusú anyagok esetében az áramlás ( szivárgás ) biexponenciális jellegû, míg a polietiléntôl távolabb álló anyagoknál monoexponenciális. Példaként vizsgáljuk meg a KOMPART program segítségével a nitrobenzol áramlását a konténer falán keresztül. Q1 = 1(100% t = 0);Q 2 = 0 k 21 = 0.577;k12 = 0.885;k 02 = 0.154

5.11 ábra

- 42 -

A nitrobenzol polietilén típusú anyag, az áramlási görbéje erôsen exponenciális jellegû. A szivárgás szintén exponenciális, s a mértéke erôsen függ a külsô tényezôktôl ( pl. a levegô hômérséklete, nedvességtartalma, stb. ). A szivárgás vizsgálatának jelentôsége a gyakorlatban is bebizonyosodott. Így például a gyógyszergyártók - felhasználva a kísérletek eredményeit - a gyógyszer hatóanyagával elôzetesen impregnált anyagba csomagolják a gyógyszert, és így csökkentik a gyógyszer minôségi és mennyiségi változását.

5.4 A pajzsmirigy jódfelvételi folyamatának modellezése A folyamat a következô három-kompartmentes modellel írható le:

k31 Q2

Q1

k21

Q3 k13

izotóp 5.12. ábra Az ábrán az 1. kompartment a vért, a 2. a vizeletet, míg a 3. a pajzsmirigyet jelöli. Q i a megfelelô kompartmentek jódtartalmát adja, k ij a j-edik kompartmentbôl az i-edik be való átmenet sebességi állandóját jelenti. A folyamat a következô differenciál egyenletekkel írható le:

dQ1 = − k 21Q1 − k 31Q1 + k13Q3 dt dQ3 = k 31Q1 − k13Q3 dt Az összes jódtartalom megmaradása miatt pedig minden idôpontban:

Q1 ( 0) = Q1 + Q 2 + Q 3

- 43 -

( 5.6 )

5.13 ábra

5.14 ábra A kezdeti feltételek:

Q 2 ( 0) = Q 3 ( 0) = 0 A megfelelô kompartmentek ( vér, vizelet és pajzsmirigy ) jódtartalmának változását az alábbi ábrák mutatják. Látható, hogy a vérbe injektált jódmennyiség végül

- 44 -

a vizeletben halmozódik fel, míg a pajzsmirigy jódtartalma a kezdeti zérus értékrôl indulva egy rövid ideig növekszik, majd újra zérusra csökken.

5.5 Többszörös dózis ( Atkins kísérlete ) Ebben az esetben egy egyetlen kompartmentbôl álló rendszert vizsgálunk, melynek elméleti modellje az 5.15. ábrán látható. R

10

Q 1 q 1 a

k

01

1

5.15. ábra A rendszer viselkedését a

dQ1 = R10 − k 01Q1 dt

( 5.7 )

differenciál egyenlet írja le. A rendszerbe t = 0-ban befecskendezett jelzôanyag viselkedését a következô egyenletek írják le: dq 1 = − k 01q 1 dt da Q1 1 = − k 01a 1Q1 dt

( 5.8 )

a 1 = a 1 ( 0) e − k 01t

( 5.9 )

Az egyenlet megoldása:

A rendszerbe n egyenlô dózisban t egyenlô idôközönként nyomjelzôt adunk. ( Atkins a kísérletében nagy mennyiségû aszkorbint adott, 13C oxálsavval jelölte a vizsgált személy aszkorbinsavát, és több héten át figyelte a kiürülést. ) A rendszerre a nyomjelzôk beadása közötti idôtartamban a következô differenciálegyenlet írható fel:

dq1 = − k 01q 1 dt A t = 0 idôpillanatban a 1 ( 0) specifikus aktivitású nyomjelzôt juttatunk a rendszerbe, akkor t 1 -ben a specifikus aktivitás: a 1 ( t 1 ) = a1 ( 0) e − k 01t Ekkor újabb dózist adunk be. Egy nagyon kis idô után, ( t 1 + δt ) -ben a specifikus aktivitás: a 1 ( t 1 + δt ) = a 1 ( 0)(1 + e − k 01t ) Egy újabb intervallum elteltével: a 1 ( t 2 ) = a1 ( 0)(1 + e − k 01t ) e − k 01t A harmadik befecskendezés után:

- 45 -

a 1 ( t 2 + δt ) = a1 ( 0)(1 + e − k 01t + e −2 k 01t ) Az n-edik befecskendezés után: a 1 ( t n + δt ) = a 1 ( 0)(1 + e − k 01t +K + e − ( n −1) k 01t ) = a1 ( 0)(1 − e − nk 01t ) (1 − e − k 01t ) Az n → ∞ befecskendezés után: lim a1 ( t n ) =

n →∞

a 1 ( 0) (1 − e − k 01t )

A hatásmechanizmus az ábrán jól követhetô.

5.16 ábra

- 46 -

6. INVERZ FELADAT MEGOLDÁSA Inverz feladatnak nevezzük a kompartment analízisben a megfelelô modell, illetve paraméterek meghatározását a rendelkezésünkre álló adatok ( mérések, információk stb. ) alapján. Van, amikor nehezen kaphatók meg az analitikus megoldások, ilyenkor numerikus módszereket használunk. A mérendô adatok megválasztása a kísérletezô korábbi ismereteitôl is függ. Elôfordulhat az, hogy nagyon keveset tudunk a rendszer szerkezetérôl, illetve a rendszert leíró matematikai modellrôl. Ilyenkor a feladatot rendszer identifikációnak, vagy specifikációnak nevezzük. A másik véglet, hogy van olyan információnk, mely specifikálja a modellt. Ekkor a modell paramétereinek meghatározása a feladat. Lehet, hogy e két szélsô eset között van a probléma, tudunk valamit a rendszer szerkezetérôl, de az nem teljesen specifikált. Az inverz feladat ekkor paraméter maghatározás és rendszer specifikáció keveréke. A fentiekbôl látszik, hogy az inverz feladat több szinten jelenhet meg. Az inverz feladat megoldásához kísérleti tervekre, becsléselméletre és statisztikus analízisre van szükség. A rendszer identifikációs feladatoknál fontos az egyértékûség. Általában ritkán van lehetôség arra, hogy megmondjuk, a rendszer identifikációt is tartalmazó feladat megoldása mennyire jó, mivel nem áll rendelkezésünkre az összes lehetôség, hogy összehasonlítást tehessünk. Gyakran találhatunk egy rendszerre kompartment leírást. Hogy célszerû-e és használható-e a kompartmenttel történô leírás, az csak a rendszerrôl kapott más információk segítségével dönthetô el.

6.1 Inverz feladat megoldásának grafikus módszerei Az inverz feladat megoldásának nagyon sok módszerét ismerjük. Jelen esetben a feladat fontos része az exponenciális kiürülési görbék paramétereinek meghatározása. A paramétereket legpontosabban digitális számítógéppel lehet meghatározni, de más módszerek is elterjedtek. Modellezhetjük a rendszert analóg számítógéppel, és a paramétereket a modell alapján kaphatjuk meg az eredeti rendszer és az analóg modell értékeinek összehasonlításával. Az orvosi gyakorlatban ma még nagyon elterjedtek a grafikus eljárások. Ezek közül most két módszert röviden ismertetünk.

6.1.1 Bleehan-Fisher módszer A módszerrel y = p + e − kt alakú kifejezések paramétereit lehet meghatározni, ha egyenlô idôközönként kaptuk az adatokat. ( y ∆t idôközönként mért értéke legyen y1 , y 2 ,K , y n . ) Az egymást követô differenciák: ∆ 1 = y1 − y 2 ∆ 2 = y2 − y3

M ∆ n −1 = y n −1 − y n

- 47 -

( 6.1 )

Ezért általánosan:

∆ j = y j − y j+1 ∆ j = q ( e − kj∆t − e − k ( j+1) ∆t ) = q (1 − e − k∆t ) e − kj∆t

( 6.2 )

lg ∆ j = lg( q (1 − e − k∆t )) − 0, 4343k∆tj

( 6.3 )

Logaritmusát véve:

Tehát ha a különbségek logaritmusát ábrázoljuk az idô függvényében, egyenest kapunk, melynek meredeksége −0, 4343k és az ordinátát lg( q (1 − e − k∆t )) -ben metszi. Ezekbôl k és q kiszámítható.

6.1.2 Cohn-Brues módszer n

Az eljárással y = ∑ X je

− λ jt

alakú függvényt lehet közelíteni. Legyen

j=1

λ 1 > λ 2 >K > λ n . Ekkor

n −1

∑X e

− λ jt

j

összeg elhanyagolható X n e −λ n t mellett, ha t elég

j=1

nagy. Így az utolsó adatpontokra: y i ≅ X n e −λ n t

( 6.4 )

lg y i = lg X n − 0, 4343λ n t

( 6.5 )

Logaritmizálva:

Ha a kísérleti adatok logaritmusát ábrázoljuk t függvényében, akkor ( 6.5 ) egyenese illeszthetô az utolsó adatokra. X n a t = 0-ban lévô metszéspontból, λ n a meredekségbôl meghatározható. Ezután X n e −λ n t értékét kivonjuk minden adatból, és a még fel nem n −1

használtakra folytatjuk az eljárást. Most y ' i = ∑ X j e

− λ jt

j=1

görbének keressük λ n −1

paraméterét. Az egyenesek illesztését addig folytatjuk, míg a kifejezéseket szét nem választottuk. Az eljárás meglehetôsen pontatlan és hosszú idôt vesz igénybe, ezért törekednünk kell, hogy felmentsük az orvosokat a hosszadalmas és pontatlan eljárás alkalmazása alól. Ez a megállapítás az összes grafikus eljárásra érvényes.

6.1.3 A módszerek pontossága Az inverz feladat megoldási módszereinek pontosságát leginkább befolyásoló tényezôk a következôk: 1. exponenciális kitevôk egymáshoz való viszonya, 2. mérési eredmények pontossága, 3. mérési adtok száma. Az 1.- 3. pontban felsorolt tényezôk más-más hatást fejtenek ki a pontosságre. Ezen tényezôk részletes analízisével most nem foglalkozunk.

- 48 -

6.2 Számítógépes paramétermeghatározás Élettani folyamatok dinamikus tulajdonságainak matematikai leírása idôtartományban differenciálegyenlet, vagy differenciálegyenlet-rendszer segítségével történik. A rendszert leíró differenciálegyenlet, illetve differenciálegyenlet-rendszer felírását célzó eljárást identifikációnak nevezzük. A rendszerrôl szerzet elôzetes ismeretek alapján az identifikáció két szélsôséges esetét különböztetjük meg. Ha a matematikai modell struktúráját ismerjük, tehát tudjuk, hogy a fiziológiai rendszert hány kompartmenttel modellezhetjük és ezek milyen kapcsolatban állnak egymással, akkor paraméterbecslésrôl beszélünk. Ha a vizsgált rendszer struktúrája ismeretlen, akkor a megoldandó feladatot rendszer-identifikációnak nevezzük. A gyakorlatban elôforduló feladatok általában e két szélsô eset közé esnek. Diagnosztikai vizsgálatok esetén például az elôzetes orvosi kutatások tisztázzák a modell struktúráját, így a mérési eredmények kiértékelése paraméterbecslésre egyszerûsödik. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy a mérési és kiértékelési módszerek fejlôdése nem vonhatja maga után a modell struktúrájának finomítását. Az identifikációs feladatok megoldására többféle matematikai módszer létezik. Ezek közül az adott feladat megoldásához elônyeik, hátrányaik figyelembevételével kell kiválasztani a legmegfelelôbbet.

6.2.1 Clearence-vizsgálatok mérési adatainak számítógépes kiértékelése A Clearence vizsgálatok kompartment modelljének matematikai leírása általában lineáris elsôrendû differenciálegyenlet-rendszer. A vizsgálat kiértékelése tulajdonképpen az ilyen differenciálegyenlet-rendszer megoldását adó n

y = ∑ X i eλ it

λ1 = 0

( 6.6 )

i =1

egyenletben szereplô X i és λ i paramétek meghatározásából áll. A feladat ezek után az, hogy a vizsgálati eredményeket hordozó mérési pontsorozatra egy exponenciális tagok összegébôl álló görbét illesszünk, és miután az illesztés jósága ( pontossága ) egy adott értéket elért, kiírassuk az X i együtthatók és λ i kitevôk értékét. Legyenek adottak: − m a mérési adatok száma, − k a becsült paraméterek száma, − t1 , t2 ,K tm mintavételi idôpontok ( független változó ), − y1 , y2 , K ym a mért adatok a fenti idôpontokban, − yˆ1 , yˆ 2 , … yˆ m becsült értékek a fenti idôpontokban, − b10 , b20 ,K bk 0 a becsülni kívánt paraméterek kezdeti értéke Feladat: meg kell határozni azokat a b1 ,K bk paraméter értékeket, melyekre teljesül, hogy a mért yi adatok és a kiszámított y$i becsült értékek különbségének négyzetösszege minimális, azaz n

Φ = ∑ (y i − yˆ i ) i =1

- 49 -

2

( 6.7 )

minimalizálása. Az y$i becsült érték meghatározásához írjuk át a fenti egyenletet a következô alakra: yˆ i = b1 +

k −1

∑ b l exp(b l+1 ⋅ t l )

( 6.8 )

l = 2, 4,…

A ( 6.7 ) minimalizálásához valamilyen alkalmas stratégia szerint lépésenként változtatnunk kell a b paramétervektort. Iterációs számítást alkalmazunk, a számítás leállításának feltételét megadhatjuk egyrészt úgy, hogy a Φ minimumra elôírunk egy meghatározott értéket és ennek elérése után állunk le, másrészt figyelhetjük a konvergencia sebességét és ha ez egy bizonyos érték alá csökken, az eredményt elfogadjuk. Az algoritmus konvergenciájának sebessége ugyanis a kezdeti igen nagy értékrôl meredeken csökken. Ha a konvergencia sebessége egy bizonyos érték alá csökken, akkor a kiértékelés pontosságának a növekedése nem áll arányban a ráfordított futási idôvel. Mivel a diagnosztikai vizsgálatokból származó mérési eredmények között sok a jelentôs hibával terhelt ( már aránylag nagy hibanégyzet összegnél erôsen csökken a konvergencia sebessége ), ezért célszerûbb a konvergencia sebesség adott értékének elérésével leállítani az iterációt.

6.2.2 198Au kolloiddal végzett májáramlás vizsgálatok kiértékelése Az IBM PC személyi számítógépen Turbo Pascalban írt programot többek között rádioaktív 198Au kolloiddal végzett májáramlás vizsgálatok kiértékelésére használtuk. A vizsgálat alapja, hogy a bizonyos szemcsenagyságú kolloidokat a plazmából a szervezet RES ( reticuloendothelialis rendszer ) sejtjei szûrik ki. Ezen sejtek legnagyobb számban a májban találhatók, de elôfordulnak a lépben és a csontvelôben is. A mérés menete: A betegnek beadják a 198Au kolloidot. A jelzett anyag elkeveredése után mérik az agy felett a plazma aktivitását ( percenkénti beütésszámot ). A mérési pontok elméletileg egy multiexponenciális jelleggel csökkenô görbén helyezkednek el. A vizsgálatnak megfelelô matematikai modell stuktúrája 4 kompartmentbôl álló ún. anya-rendszer.

- 50 -

Nyomjelzô

Máj

Plazma

Lép

Csontvelô

6.1 ábra A 198Au kolloid oldatot ( nyomjelzô ) a plazmába adjuk be intravénás injekció formájában. A program a mért adatok beadása után kiszámítja a matematikai modell paramétereit, majd ezekbôl az orvos számára sokkal informatívabb fiziológiás adatokat ( májra, lépre, csontvelôre vonatkozó biológiai felezési idôket és a máj véráramlását a keringô perctérfogat százalékában ).

- 51 -

ADAPTÍV SZABÁLYOZÁSOK

1. BEVEZETÉS Adaptáció, az alkalmazkodás, az é1ô szervezetek alapvetô tulajdonsága. Adaptációnak nevezzük a változó külsô és belsô körülményekhez való igazodást, áthangolódást. Köztudott, hogy az emberi szervezet egy olyan komplex szabályozási rendszert tartalmaz, amely képes biztosítani a belsô környezeti jellemzôk ( testhômérséklet, vérnyomás, anyagcsere, stb. ) állandóságát a különbözõ behatásokkal ( zavarásokkal ) szemben. Ezt a komplex irányitási feladatot nagyrészt a közpnti idegrendszer látja el. A mérési érzékelôk, az ún. receptorok a környezeti jellemzôkrôl ( fény, hang, stb. ), valamint a szervezet saját állapotjellemzôirôl ( vérnyomás, vércukor-koncentráció, stb. ) szolgáltatnak információt. A receptorok idegszálakon keresztül kapcsolatba kerülnek a gerincvelôvel, illetve az agyvelôvel. Az itt feldolgozott információ alapján a központi idegrendszer egyrészt közvetlen szabályozási feladatot lát el, másrészt a szervezetben levô "helyi" szabályozók számára alapjelet ( "vezetójelet" ) állit elõ. Szervezetünk legtöbbször optimálisan képes reagálni a környezeti behatásokra, igénybevételekre. Ez csak úgy lehetséges, hogy a szervezetünkben levô szabályozók nem állandó átviteli tulajdonságú komponensekbôl épülnek fel, hanem alkalmazkodó, adaptív tulajdonságú szabályozási körökbôl. Ezen "osztott intelligenciájú" adaptív szabályozási renszder mûködési mechanizmusának jobb megismerése az ipari irányító rendszereink tökéletesítését is eredményezheti. Az adaptáció, az adaptivitás fogalma a szabályozástechnikai irodalomban az ötvenes évek közepe körül jelent meg elôször, amikor Tsien ( 1955. ) könyvében ismertette Ashby-féle emberi agy modelljét. Körülbelül ugyanebben az idõben Benner és Drenick adaptív jellegû szabályozó tervezését mutatta be. Az ún. modell-referenciás adaptív szabályozási rendszerek (MRASZ) Ljapunov tervezésérôl szóló elsô eredmények egyike Parkstól származik ( 1966. ), és Hang és Parks ( 1973. ) mutatta meg a más módszerekhez viszonyított megasabbrendûségét. A MRASZ rendszerek globális stabilitási eredményei bizonytalannak tûntek, míg Morse ( 1980. ) és Narendra és munkatársai ( 1980. ) egymástól függetlenül kidolgozták a stabilitási bizonyításokat. Azok a feltételezések, amelyeket az ismeretlen szabályozott szakaszra vonatkozóan meg kell tennünk, nagyon szigorúak, és valószinûtlen, hogy ezek a gyakorlatban teljesülnének. Ezért Petersen és Narendra ( 1982. ) és Kreisselmeier és Narendra ( 1982. ) tanulmányozták a MRASZ rendszerek tervezését korlátos zavarások esetén, megengedve, hogy a modell és a rendszer közötti hiha korlátos legyen, aszimptotikusan csökkenô jelleg helyett. A MRASZ-ok gyakorlati alkalmazásaival Narendra és Monopoli ( 1980. ), valamint Harris és Billings ( 1981. ) foglalkozott. A következô fejezetekben - elsôsorban irodalomra való hivatkozássa - a MRASZ rendszer tervezésével, paraméter identifikáció, valamint adaptív megfigyelés kérdésével foglalkozunk.

- 53 -

2. ADAPTÍV SZABÁLYOZÁS 2.1 Modell-referenciás adaptív szabályozók ( MRASZ ) Ljapunov tervezése Alapvetô gondolat a modell-referenciás szabályozóknál ( MRASZ ) az, hogy a szabályozó u ′ jelét ( 2.1.ábra ) az

(

xɺ p = A p x p + B p u ′ x p ∈ R n , u ′ ∈ R m

egyenlettel leírható valódi rendszerben

(

u ′ = Q u + Fx p

)

( 2.1 )

)

alakúra választjuk, így a kapott rendszer

(

)

(

)

xɺ p = A p + B p QF x p + B p Q u

( 2.2 )

alakú lesz, amely a lehetô legjobban követi a

x&m = A m x m + Bm x

( 2.3 )

egyenlettel leírt modellt ( ld. Narenda és Kudva, 1974. ). u

Q

u'

x x = A x +B u' p

p p

p

p

Rendszer

F

-

Hiba e

+ x = A x +B u' m

m m

m

Modell SzervorendszerQ,F megválasztására

2.1.ábra Modell-referenciás adaptív rendszer A "lehetô legjobban követô" alatt azt értjük, hogy az e = x m − x p hibavektor aszimptotikusan 0-hoz tart. A modell-referenciás adaptív rendszer blokksémája a .1.ábrán látható. Mint látható, a cél a Q és F szabályozó mátrixok paramétereinek változtatása úgy, hogy lim e(t ) = 0

t →∞

legyen. A legegyszerûbb feltételezés - amit tehetünk annak érdekében, hogy a fenti, aszimptotikusan csökkenô hiba adaptív tulajdonságú legyen - az, hogy a szabályozott berendezés szabályozóit úgy lehet megválasztani, hogy a kapott zárt hurkú rendszer

- 54 -

pontosan megfelelljen a modellnek. Ebben az esetben egyértelmûen találhatunk olyan Q∗ és F∗ mátrixokat, hogy Bp Q∗ = Bm

  A p + B m F = A m 

( 2.4 )

∗

Pontos megfelelés feltételezése mellett a hibavektor kielégíti a következô egyenletet:

(

)

(

)

eɺ = A m e + A m − A p − B p QF x p + B m − B p Q u =

(

= A m e + B m Φx p + B m ΨQ u + Fx p

)

( 2.5 )

ahol: def

Φ = F ∗ − F(t ) −1 Ψ =  Q −1 (t ) − Q ∗    def

( Megjegyezzük, hogy Bp és Bm nulla elem nélküli mátrix, így Q∗ nem szinguláris. ) A ( 2.5 ) aszimptotikus stabilitásának megmutatására megfelelô Φ és Ψ választással tekintsük elôször a következô rendszert eɺ = Ae + DΞz(t )   ɺ Ξ = −ΓD T Pez T (t )

( 2.6 )

ahol z(t ) korlátos vektorértékû függvény, Γ = Γ T > 0, D egy n × m -es nulla elem nélküli mátrix és P pozitív definit mátrix, amely kielégíti a Ljapunov egyenletet valamely R mátrixra: A T P + PA = − R

R = RT > 0

Ez a rendszer aszimptotikusan stabil ( azaz e(t ) → 0 , ha t → ∞ ), mint az a következôkbôl látható. Legyen V=

[

(

1 T e Pe + tr Ξ T Γ −1Ξ 2

)]

ekkor V pozitív definit és

(

)

ɺ = 1 e T Re + e T PDΞz + tr Ξɺ Γ −1Ξ V 2 T 1 = − e T Re + tr  D T Pez T + Γ −1Ξɺ Ξ     2 1 = − e T Re 2

(

)

( 2.7 )

és így Vɺ negatív definit. Visszatérve a ( 2.5 ) egyenletre, a hibaegyenletet a következô formába írhatjuk: xp   eɺ = A m e + B m [ΦΨ ]  Q u + Fx p  

(

)

és ha így definiáljuk a Ξ = ΦΨ és Γ = diag Γ1Γ2 mátrixokat, akkor

- 55 -

[ (

[ ]

ɺ = −ΓB T Pe x T u + Fx ɺΨ Ξɺ = Φ m p p

)T Q T ]

a fenti megállapítások alapján: e(t ) → 0 . A fenti jelölésekkel az adaptív irányítás törvénye a következô alakba írható: e = xm − xp Fɺ = Γ1 B Tm Pex ɺ = Q

T p

Q Γ 2 B Tm Pe

( 2.8 )

(u + Fx p )T Q T Q

valamely Γ1 , Γ2 > 0 és A Tm P + PA m = − R -et kielégítô P -re. A gyakorlati megvalósítás blokksémája a 2.2. ábrán látható. Q

F xp

z

Γ BT P 1 m

u+FxP

ex Tp

e

Γ BT P 2 m

.

Q

Q

z u

2.2. ábra F,Q elôállítása Megjegyezzük, hogy csak a ( 2.6 ) összefüggés alapján vizsgáltuk e(t ) aszimptotikus stabilitását. A Ξ globális aszimptotikus stabilitása ( 2.6 )-ban ( és ugyan így F-é és Q-é ( 2.8 )-ban ) nem következik ( 2.7 )-bôl.

2.2 Paraméter identifikáció MRASZ használatával A MRASZ eljárásait felhasználhatjuk szakaszok ismeretlen paramétereinek meghatározására. A szakasz egyenlete: xɺ p = A p x p + B p u

Ebben az esetben a szakasz és a modell ( 2.1 )-beli szerepe felcserélôdik és a következô modellt választjuk: xɺ m = Cx m + [A m (t ) − C]x p + B m (t )u

Az egyenletben szereplô C egy állandó elemû mátrix, A m , Bm elemei változtathatók. Ha tudunk olyan rendszert tervezni, melyre

- 56 -

lim A m (t ) = A p

t →∞

lim B m (t ) = B p

t →∞

[

]

lim x m (t ) − x p (t ) = lim e(t ) = 0

t →∞

t →∞

akkor a modellparaméterek aszimptotikusan megközelítik a valódi rendszer paramétereit, így azokra becslést adnak. Most ugyanúgy, mint elôzôleg eɺ (t ) = Ce(t ) + Φx p + Ψu

ahol Φ = Am − Ap Ψ = Bm − Bp

Az elôzôekkel megegyezô módon láthatjuk, hogy az adaptációs törvény a következô: ɺ = −Γ Pex T Φ 1 p

( 2.9 )

ɺ = −Γ Peu T Ψ 2

ahol P pozitív definit és kielégíti a következô összefüggést: C T P + PC = − Q Γ1 = Γ1T > 0

Q = QT > 0 Γ2 = Γ2T > 0

( 2.10 )

Így a végeredmény: Aɺ m (t ) = − Γ1 Pex

T p

Bɺ m (t ) = − Γ 2 Peu

T

( 2.11 )

Mint az elôzôekben is, ennek az adaptív elképzelésnek ( sémának ) a stabilitását a ( 2.6 ) rendszer használatával vizsgálhatjuk. Most szükség van arra, hogy e -en túl Φ és Ψ is aszimptotikusan stabil legyen. Így a ( 2.6 )-ot a (e, Ξ ) térben kell vizsgálnunk. Ebben az esetben a ( 2.7 )-bôl kapott Vɺ csak negatív szemidefinit, de az aszimptotikus stabilitás bizonyítására alkalmazhatjuk a La Salle invariancia elvét. Tulajdonképpen az invariancia elv szerint a ( 2.6 ) megoldásai a többszörös M = {(e, Ξ ) : e = 0} -hoz tartoznak t → ∞ esetén. Így

(

)

lim Ξɺ = lim − ΓD T Pez T = 0

t →∞

t →∞

( 2.12 )

Mivel V > 0 és Vɺ ≤ 0 korlátos. Tegyük fel, hogy z r darab elembôl áll, amelyek mindegyike egymástól eltérô frekvenciajelet tartalmaz. Így mivel Ξ korlátos, és ( 2.6 ) periódikus együtthatójú differenciálegyenlet, ( 2.12 ) szerint Φ(t ) t → ∞ esetén konstans mátrixhoz tart. M -en DΞz ≡ 0(e ≡ 0)

és mivel D invertálható r

∑ ξ i z i (t ) ≡ 0 i =1

- 57 -

ahol ξ i a Ξ oszlopai. Mivel z i lineárisan független frekvenciaösszetevôket tartalmaz, ξ i ≡ 0 és Ξ ≡ 0 . Az aszimptotikus stabilitás most következik az invariancia elvbôl. Ezt az eredményt a ( 2.11 ) rendszerre alkalmazva z T = (x Tp u T )-t kapjuk, így még ha u periódikus is, x p nem feltétlenül az. De ha a rendszer egységesen aszimptotikusan stabilis, akkor x p a következô alakú: xp = ~ x p + ε(t )

ahol x p periódikus és ε → 0 , ha t → ∞ . Megmutatható ( ld. Narenda és Kudva, 1974. ), hogy ha uq ≥ (n + 1) 2 különbözô frekvenciát tartalmaz, akkor Ξ x Tp u = 0 Ξ = 0-t jelent és ismét aszimptotikus stabilitást kapunk. Így azt mondhatjuk, hogy a rendszer adaptívan identifikálható, ha a bemeneti gerjesztések megfelelôek a rendszerben.

2.3 MRASZ tervezése hiperstabilitással Adaptív rendszereket tervezhatünk a hiperstabilitás-elmélet alapján is ( Landau és Courtiol, 1974. ). Szorítkozzunk az alaprendszerre: xɺ m = A m x m + B m u m

( 2.13 )

xɺ p = A p x p + B p u p

( 2.14 )

ahol x m ∈ R n a modell, x p ∈ R m a rendszer egyenlete, és a valódi rendszer bemenetét up = − Kp xp + Kmxm + Kuum

( 2.15 )

formában határozzuk meg, ahol K p , K m , K u változó, a tervezés során meghatározandó mátri2. Mint a 2.1 fejezetben, itt is tökéletes modell megfeleltetést feltételezünk. A ( 2.13 )-( 2.15 ) összefüggések alapján írhatjuk:

[

)]

(

(

)

0 = A m − A p + Bp K p − K m x p + Bm − Bp K u u m

ha x m = x p . Mivel ennek minden x p és u m -re igaznak kell lennie, fenn kell állnia a következô összefüggéseknek:

(

d

)

A m − A p + Bp K p − K m = 0

( 2.16 )

Bm − Bp K u = 0

( 2.17 )

A tökéletes modell megfeleltetés miatt kell, hogy a fenti egyenleteknek K p − K m -re és K u -ra legyen megoldása. Tekintsük ( 2.17 )-et és definiáljuk Bp

i

Moore-Penrose-féle pszeudoinverzét B+p -t ( ld. Boulljon, 1971. ) a következô módon:

(

B p+ = B Tp B p

d

feltéve, hogy BTp Bp

i

−1

)

−1

B Tp

létezik. Ekkor a ( 2.17 )-bôl következik, hogy Ku = B p+ Bm .Az így

kapott K u azonban csak akkor elégíti ki a ( 2.17 ) összefüggést, ha (I − B p B +p )B m = 0 .

Hasonlóan ugyanez vonatkozik a ( 2.16 )-ra és a pontos modell megfeleltetés feltétele a következô:

- 58 -

dI − B B i B = 0 dI − B B idA − A i = 0 + p

p

p

+ p

m

m

( 2.18 )

p

Tudomásul vesszük, hogy a pontos modell azonosság megfelel annak, hogy az eredeti rendszer dinamikájának szerkezetét ( azaz a differenciáloperátorok fokszámát ) ismerjük. Abban az estben, ha a ( 2.18 ) feltételek nem teljesülnek, Curran megmutatta, hogy a modellt hogyan kell megválasztani, hogy kielégítse ezeket az egyenleteket. Tegyük fel, hogy ( 2.15 )-ben K p = K p t , e és K u = K u t , e az e = x m − x p hibától ( és az idôtôl ) függônek vannak választva. A K p és K u névleges értéktôl való kis eltérésre írható:

b g

b g

b g b g K bt , e g = K + ∆K bt , eg K p t , e = K p − ∆K p t , e u

u

u

Ezután a rendszer bemenete a következô alakban írható fel: u p = u p1 + u p2 ahol:

u p1 = − K p x p + K m x m + K u u m

b g

b g

u p2 = ∆K p t , e x p + ∆K u t , e u m Most a ( 2.13 ) és ( 2.14 )-bôl a következôt kapjuk:

e&= Am xm − Ap x p + Bmum − B p u p =

d

i

= Am xm − Ap x p + Am x p − Am x p + Bmum − B p − K p x p + Km xm + Ku um −

b g

b g

− B p ∆K p t , e x p + ∆Ku t , e um =

d

i

b g

= Ame + Am − Ap x p + Bmum − B p Ku um − B p ∆Ku t , e um +

b g = d A − B K ie + B B d A − A i − K + B B B − K − ∆K bt , eg u

+ B p K p x p − B p ∆K p t , e x p − B p Km x p + B p Km x p − B p Km xm = m

p

p

+ p

m

m

+ p

p

u

u

m

p

m

b g

+ K p − ∆K p t , e x p +

m

felhasználva a ( 2.18 )-at. A hibaegyenletet ezért a következô alakba írhatjuk:

d

i

e&= A m − Bp K m e + Bp w1 ahol

b g d i + ∆K b t , e g − B B + K

− w1 = ∆K p t , e − Bp+ Am − Ap + Km − K p x p u

+ p

m

u

um

Bevezethetjük a v transzformált hiba függvényt is:

- 59 -

( 2.19 )

v = De

( 2.20 )

A hiperstabilitáshoz a következôkre van szükség:

z t1

bg bg

v T t w t dt ≥ − γ 20

t1 ≥ 0

( 2.21 )

0

valamely γ 20 konstansra, ahol w = −w 1. Könnyû belátni, hogy a ( 2.21 ) teljesül a következô választás esetén:

z

b g

d i

d i

b g

b g

t

% Qx T dτ + Lv Qx ∆K p t , v = Lv p p

T

bg

+ ∆K p 0

( 2.22 )

0

b g

z t

% Ru T dτ + Mv Ru ∆K u t , v = Mv m m

T

bg

+ ∆K u 0

( 2.23 )

0

%, Q, M % és R pozitív definit mátrixok, L és M pedig nem negatív definit mátri2. ahol L Továbbiakban az alábbi általános lineáris rendszert vizsgáljuk:

x&= Ax + Bu y = Cx

b g

b g 1976. ), hogy a rendszer CbsI − A g B átviteli függvénye akkor és csak akkor valós, ha

ahol A , B irányítható pár, és C, A megfigyelhetô pár. Megmutatható ( Anderson, −1

bármely pozitív H mátrixra létezik olyan P pozitív definit mátrix, melyre PA + A T P = − H BT P = C A ( 2.20 ) és ( 2.21 )-re alkalmazva ezt és alkalmazva Popov tételét, miszerint egy rendszer akkor, és csak akkor hiperstabilis, ha a lineáris rész pozitív valós, látjuk, hogy D -t a

D = BTp P

( 2.24 )

elôírás szerint kell választanunk, ahol P a Ljapunov egyenletnek a megoldása:

dA

m

i

d

T

i

− Bp K m P + P A m − Bp K m = − H

( 2.25 )

tetszôleges pozitív definit szimmetrikus H -ra. ( Megjegyezzük, hogy A m − Bm K m -nek stabilis mátrixnak kell lennie. Világos, hogy ( 2.22 ) és ( 2.23 ) adaptív szabályozók PI típusúak. A teljes MRASZ ( másnéven modellkövetô rendszer ) a 2.3. ábrán látható. Meg kell továbbá jegyezni, hogy ha ( 2.24 ) és ( 2.25 ) egyenletek teljesülnek, tetszôleges ∆K p , ∆K n választás, melyre a ( 2.21 ) feltétel igaz, garantálni fogja a stabilitást. Másik ilyen választás a relé+integráló szabályozás, melyet a

b

b g

g

z t

d i

d i

% Qx T dτ + sgnv Qx ∆K p t , v = Lv p p 0

- 60 -

T

bg

+ ∆K p 0

( 2.26 )

z

b g

b g

t

b g

% Ru T dτ + sgnv Ru ∆K u t , v = Mv m m

T

bg

+ ∆K u 0

( 2.27 )

0

egyenletek határoznak meg, ahol

b

sgnv = sgnv1 , sgnv 2 ,K , sgnv m up

+

.x

xp

= Ap xp +Bp up p

+

g

Rendszer

Kp

_

+ +

+

Km

Ku

.x um w1

_

_

+

xm

= Amxm+Bm u' m Modell +

Bp

e.

z

+

e

D v

Am

Km

R + ∆ K (0) + K - B B u u p m + + +

w

z

_

( Rum T )

M

+

M +

∆ K (0) u +

+ ∆K

+

+ ∆ K (0) + K - K - B (A - A ) p m p p m p + +

u

+

z

_

L

(Qxp )T

L xp

∆K

Q

∆ K (0) p p

+

+

2.3. ábra Hiperstabilitás elvén mûködô szabályozás

- 61 -

A fentiek alapján az MRASZ rendszer tervezéséhez szükséges lépéseket a következôképpen foglalhatjuk össze: a. Meghatározzuk A m , Bm -et úgy, hogy a ( 2.18 ) teljesüljön. b. Megválasztjuk K m -et és K p -t úgy, hogy

d

K p − K m = Bp+ A p − A m

i

és A m − Bp K m stabil. Megválasztjuk a K u = Bp Bm -et. Ha ezek a feltételek nem állnak fenn, változtassuk meg az A m , Bm modellparamétereket. c. Válasszuk meg K p 0 -t, K v 0 -t és H -t ( tetszôlegesen ) és oldjuk meg ( 2.25 )-öt. Természetesen

bg

P=

z

∞

bg

d

i

d

T

i

exp A m − Bp K m t H exp A m − Bp K m t dt

0

d. Ellenôrizzük azt, hogy

ed A

m

d

i j

irányítható pár és D, A m − Bp K m

− Bp K m , Bp

megfigyelhetô pár. Az elmondottakat jól nyomonkövethetjük a következô példán. Példa: Tegyük fel, hogy másodrendû rendszert vizsgálunk: & x&+ a p x&+ b p x = u p

ahol a p és b p az ismeretlen paraméterek. Legyen x1 = x, x 2 = x&, ezzel a rendszer: x&p =

FG IJ FG H K H

I x + FG 0IJ u − a JK H 1K

0 d x1 = − bp dt x 2

1

p

p

Most kézenfekvô a következô modell választása:

x&m =

FG 0 H −b

1 m

−a m

IJ x + FG 0IJ u K H 1K m

m

ahol a m és b m a fenti a.- d. feltételek alapján határozható meg.

b g

b g

Mivel Bp = 0 1 , ezért B+p = 0 1 és így T

I − Bp B+p =

FG 1 0IJ H 0 0K

Innen:

dI − B B iB = FGH 10 00IJK FGH 01IJK F 0I =G J H 0K p

+ p

m

- 62 -

p

i

dI − B B idA p

+ p

m

i FGH 10 00IJK FGH − b 0+ b F 0 0IJ =G H 0 0K

− Ap =

m

p

0 −a m + a p

I JK

és így a ( 2.18 ) feltétel teljesül és lehetséges a pontos modell megfeleltetés ( mint természetesen, intuitíve is nyilvánvaló ). Most

b gFGH 01IJK = 1

Ku = 0 1 és

b = d−b

gFGH − b 0+ b

0

Kp − Km = 0 1

d

p

+ bm

m

−a p + a m

−a p + a m

b 1 I F 0I J − G J b− b − a K H 1K

i

i

Ezért természetes a K p = − b p

A m − Bp K m =

p

g F 0 1IJ −a g = G H 0 0K

−a p , K m = − b m

FG 0 H −b

m

I= JK

− a m választás, és

m

m

m

De ilyen K p és K m választással nem kapunk stabilis A m − Bp K m mátrixot, ezért K p -t és K m -et úgy módosítjuk, hogy

b = d− b

g − αi

Km = − b m − β −a m − α Kp

p

− β −a p

Ekkor def

%= A m − Bp K m = A

FG 0 1 IJ H β αK

Ez bármely α , β < 0 mátrixra stabil. Ezenkívül

dB A% B i = FGH 01 αβ IJK T

p

d

i

p

%, Bp irányítható pár bármely β ≠ 0 estén. Végül, ha az egyszerûség kedvéért és így A H = I , α = −3 , β = −2 -t választunk, akkor

z

∞

c h c h

%T t exp At % dt P = exp A 0

ahol:

c h FGH expb0λ t g

% =Q exp At

1

és

- 63 -

IQ expb λ t gJK 0

2

−1

λ1 = λ1 =

c

α + α 2 + 4β

1 2

h

1 2

2

c

α − α 2 + 4β 2

Q=

FG β λ H 1

1

= −1 = −2

β λ2 1

IJ K

−λ F λλ I G βb λ − λ g b λ − λ g J =G GG βb−λλ −λλ g b λ λ− λ g JJJ H K 1

Q −1

h

2

1

2

1

1

2

Egy egyszerû állítás szerint:

2

2

1

2

1

2

1

F1 I P=G H JK 1 2 1 2

−

−

és akkor D =

e

−

1 2

1 2

1 2

j.

cA% , D h irányítható pár és a tervezést ezzel elvégeztük. T

T

Végezetül megjegyezzük, hogy az MRASZ rendszerek Ljapunov- és hiperstabilitás tervezési módszereinek összehasonlítását Narenda és Kudva elvégezték, és azt találták, hogy egyenletesen korlátos valóságos jelek estén a két módszer azonos eredményt ad. Ez persze nem jelenti azt, hogy a gyakorlati alkalmazásoknál adott esetben az egyik módszer ne lehetne kényelmesebb a másiknál.

2.4 Adaptív megfigyelés A fenti MRASZ tervezésnél feltételeztük, hogy minden xp rendszerállapotváltozó rendelkezésre áll az adptív szabályozó számára. Ez nem teljesül, ha csak bemenet-kimenet méréseink vannak, és ekkor az adaptív tervezést valamilyen megfigyelésbôl származó állapotváltozó-becslésekre kell alapoznunk. Az irodalomban ma elôforduló ilyen tervezések Carrol és Lindorff ( 1973. ) Carrol ( 1974. ), Kundra és Narenda ( 1973. ) és Lüders és Narenda ( 1974. ) révén adottak. Bemenet-kimeneti adatok alapján végzett identifikációs módszerek szintén ismertek Lion ( 1967. ) és Anderson ( 1974. ) révén. Mi most Kreisselmeier ( 1977. ) módszerét fogjuk követni, amely Luenberger-féle megfigyelések egy struktúrájában másfajta, adaptív megfigyelésre alkalmas formába írása. Vizsgáljuk ismét a szokásos SISO rendszert

bg bg bg yb t g = c xb t g

x& t = Ax t + bu t , T

bg

x 0 = x0

UV W

( 2.28 )

ahol a rendszer minimális leírását jelentô "n" állapotváltozót ismertnek feltételezzük. Mivel A , b és c ismeretlen és a minimális leírást alkalmazzuk, A -t, b -t, és c -t a következô alakra hozhatjuk

- 64 -

F −a GG −a A=G M GG −a H −a

n −1

1 0 K 0 1 K M O 0 0 K

n

0 0 K

1 2

I JJ JJ 1 J 0K

Fb I Gb J b=G J GG MJJ Hb K

0 0

1

2

n

F 1I G 0J c=G J GG MJJ H 0K

( 2.29 )

Megjegyezzük, hogy az ún. Luenberger-féle megfigyelô szabvány alakja a következô: $ = Fx$ t + gy t + hu t , x& x$ 0 = x$0 ( 2.30 )

bg bg bg

bg

ahol

F −f GG − f F=G M GG − f H −f

n −1

1 0 K 0 1 K M O 0 0 K

n

0 0 K

1

2

I JJ JJ 1 J 0K

Fg I Gg J g=G J GG MJJ Hg K

0 0

Fh I Gh J h=G J GG MJJ Hh K

1

1

2

2

n

n

ahol fi -ket úgy választják, hogy F sajátértákei kívánt negatív valós részûek legyenek,− σ σ > 0 . Szokás szerint az állapotmegfigyelési hibát

b

g

bg bg bg

e t = x$ t − x t -vel definiáljuk. Ekkor e exponenciálisan csökken, ha g és h kielégíti a következô összefüggést: gc T = A − F, h = b Ebben az esetben

bg

( 2.31 )

b g

e t = exp Ft e 0 A ( 2.31 ) egyenlet alapján g -t és h -t az alábbiaknak megfelelôen kellene választanunk:

g i = fi − a i ,

hi = bi

( 2.32 )

Mivel a i és b i ismeretlen, adaptív megfigyelô meghatározására van szükségünk, úgy, hogy g és h paraméterek exponenciálisan konvergáljanak a ( 2.32 ) összefüggések által meghatározott értékekhez. A g és h valódi ( ismeretlen ) értékét, amely a ( 2.32 )-t kielégíti, g ∗ és h ∗ -gal fogjuk jelölni. A megfigyelô más formába írásához definiáljuk a 2n változós rendszert ξ&i t = Fξ i t + e i y t , ξi 0 = 0 ( 2.33 ) ξ&i + n t = Fξ i + n t + e i u t , ξi+ n 0 = 0

bg bg

b

g

bg bg bg bg

bg

ahol e i = 0 0 K 1 0 K 0 i-edik egységvektor. A ( 2.30 ) és ( 2.33 )-ból következik:

bg

b g ξ btg

x$ t = ξ1 t

c

h

2

K

T

ahol p = g T h T .

- 65 -

bg

bg

b g

ξ 2 n t p + exp Ft x$0

( 2.34 )

Most

csI − F h

T −1

b

g

e1 = det −1 sI − F s n −1

sn−2 K

s 1

T

Viszont

csI − F h

T −1

b

g bg

e i = det −1 sI − F Pi s

valamely n-nél alacsonyabb rendû Pi polinom mátrixra. Mivel

bg

Pi s = Ti s n −1

sn−2 K

s 1

T

valamely konstans Ti mátrixra, és

csI − F h

T −1

c

e i = Ti sI − FT

h

−1

1≤ i ≤ n

e1 ,

A ( 2.33 ) egyenletek így egy egyenlet párra egyszerûsödnek:

bg bg

bg bg bg bg

bg ζ b0g = 0

ζ&1 t = FTζ1 t + e1y t , ζ&2 t = FTζ 2 t + e1u t , ahol

bg

bg

ζ1 0 = 0

bg

ξ i t = Tiζ1 t ,

( 2.35 )

2

bg

ξ i + n t = Tiζ 2 t ,

1≤ i ≤ n

Vegyük észre, hogy pontos p ∗ paraméterekkel ( 2.34 )-bôl

b g b g K ξ b t g p + expbFt gx adódik, mert ekkor xb t g = x$b t g − expb Ft ge . ∗

x t = ξ1 t

2n

( 2.36 )

0

0

Így ( 2.34 )-bôl és ( 2.36 )-ból

bg

bg

e t = ξ1 t

b g c p − p h + expb Ftge

ξ 2n t

K

∗

0

( 2.37 )

kapjuk. A ( 2.37 ) egyenlet azt mutatja, hogy a megfigyelési hiba egy paramétere meg nem felelésébôl és egy kezdeti feltétel meg nem felelésébôl adódó részre osztható. Most definiáljuk a következô függvényt:

bg

bg bg

z t = ζ1T t ζ T2 t

T

A

b

c T sI − F

g

−1

c

e i = e Ti sI − FT

h

−1

e1

azonosságból és a ( 2.33 ) és ( 2.35 )-bôl következik, hogy

bg

c T ξ1 t

K

bg

bg

ξ 2n t = zT t

és így ( 2.34 )-bôl a megfigyelô kimenete

bg bg

b g

y$ t = z$ t p + c T exp Ft x$0 és a ( 2.37 )-bôl a megfigyelési hiba

- 66 -

b g b g b g b gc

h

def

b g

η t = y$ t − y t = z T t p − p∗ + c T exp Ft e 0

bg

Most p -re adaptációs törvényt ( szabályt ) kell választanunk, melynél p t → p∗ , ha t → ∞ . Kézenfekvô gondolat a η2 t -nek p t szerinti minimalizálására kell törekedni. η2 -nek p szerinti deriváltja

bg

bg

bg bg

2z t η t így ha kielégítjük a

bg

bg bg bg

p& t = − Gz t y$ t − y t

( 2.38 )

egyenletet, ahol G pozitív definit szimmetrikus erôsítés mátrix, akkor p& az η2 minimalizálására vezetô legmeredekebb lejtés felé mutat. Megmutatható ( Kreisselmeier, 1977. ), hogy ha 0 ≤ k 1I ≤

zbg

t +T

bg

z τ z T τ dτ ≤ k 2 I

( 2.39 )

t

minden t ≥ 0-ra valamely k 1 , k 2 , T konstansra, akkor az adaptív szabályozó globálisan exponenciálisan stabil, azaz p%t → p∗ és e t → 0 exponenciális gyorsasággal. Ezenkívül a stabilitás exponenciális foka nem kisebb, mint

bg

bg

R| S| T

min σ ,

b g

b g

b g U|V 1 + nk λ bG g |W k 1λ min G

2

2

max

ahol λ min G és λ max G a G legkisebb és legnagyobb sajátértékei. Vegyük észre, hogy z -re ( k 1 -gyel kapcsolatban ) tett ( 2.39 ) feltétel tulajdonléppen a z t elemeinek lineáris függetlenségét biztosítja. Látható, hogy z1 t , K z 2 n t lineárisan függetlenek ( mint " t " függvényei ), ha az u t bemenet legalább n különbözô frekvenciát tartalmaz. Itt ismét látható, hogy adaptív rendszer gerjesztési foka döntô jelentôségû. Másfajta adaptációs szabályt kaphatunk a költségfüggvény minimalizálásával.

bg

bg

bg

z z t

J t =

bg bg

b g

bg

z T t p t + c T exp Fτ x$0 − y t

2

bg

bg

b g

exp − q t − τ dτ =

0 t

=

bg bg

b g

b g

2

z T t ∆p t + c T exp Fτ e 0 exp − q t − τ dτ

0

a ( 2.36 )-ból, ahol ∆p = p − p ∗ . Akkor ∂J =2 R t p t +r t ∂p

bg bg bg

ahol

bg

zbg t

bg

b g

R t = z τ z T τ exp − q t − τ dτ 0

és

- 67 -

( 2.40 )

bg

zbg

b g

t

bg

b g

r t = z τ c T exp Fτ x$0 − y τ exp − q t − τ dτ

( 2.41 )

0

Mint fent, az adaptációs szabályt a következôképpen választjuk:

bg

bg bg bg

p& t = − G R t p t + r t

( 2.42 )

valamely pozitív definit szimmetrikus erôsítés G -re. Vegyük észre, hogy R-et és r -et megkapjuk a R& t = − qR t + z t z T t , R 0 =0 ( 2.43 ) r& t = − qr t + z t c T exp Ft x$0 − y t , r 0 =0

bg bg

bg bg bg bg bg bg b g bg bg differenciálegyenletekbôl. Kimutatható,hogy ha zb t g korlátos, és létezik olyan k , T ,

hogy

zbg

t +T

bg

z τ z T τ dτ ≥ kI > 0,

t≥0

t

minden t ≥ 0-ra, akkor az adaptív megfigyelô globálisan exponenciálisan stabil, legalább

b g b g

min σ , q , kλ min G exp − qT

gyorsan. A ( 2.42 ) adaptív megfigyelô hatásvázlata a 2.4.ábrán látható.

- 68 -

( 2.44 )

Rendszer

u

z

+

b

x0 y(t)

cT

A

+

e1

+

adaptív szabályozóhoz

z

z

FT

FT ξ

ξ

2

+

e1

+

1

Tj , 1 ≤ k ≤ n

$ cT exp(Ft)x 0

z

zzT

+ _

+ +

z

R(t)

z

+ +

-q

r(t)

-q

p(0) $ p(t)=p(t)

aktuális paraméter meghatározás

z

-G

+

R(t)

2.4.ábra Adaptív megfigyelô A fenti adptív megfigyelôt a következô módon használhatjuk adaptív szabályozás esetén ( Kreisselmeier, 1982. ). A pillanatnyi paramétert ( nevezzük p$-nak ) T p$ = g$T h$T adja meg, és definiáljuk

$ T, A$ = F + gc b$= h$ $$b$K A$n −1b$ és Q$ = bA Legyen P ( s) tetszôleges n-edrendû polinom baloldali félsíkra esô zérushelyekkel ( azaz Hurwitz polinom ). Definiáljuk

- 69 -

$Q $η$ − e , $ = −Q η& n

bg

η$ 0 = η$0

e j

$T η $ k$ = − P A

e j

$T Itt P A

( 2.45 )

$T -nek " s " helyébe egyszerûen az a mátrix, melyet P ( s)-be A

helyettesítéssel kapunk. Most az adaptív irányítás törvénye: u = k$T x$ + u t

( 2.46 )

ahol u t egy külsô jel, amelynek megfelelô gerjesztést ( végrehajtást ) kell biztosítani a rendszerre, hogy a megfelelô adaptáció létrejöhessen. Ha x 0 -t zérusnak választjuk a ( 2.34 )-bôl

bg

x$ t = Mp$ ahol

bg

bg

M = ξ1 t , K , ξ 2 n t és így a ( 2.46 ) a következô alakú:

u = k$T Mp$ + u t

( 2.47 )

Errôl az irányítási törvényrôl belátható, hogy lokálisan stabil, ha u t = 0 és globálisan stabil ( azaz p$ → p∗ , x → 0 ) ha u t elegendô gerjesztést jelent. Sôt Kreisselmeier ( 1982. ) kimutatja, hogy ez a szabályozás eredményes bizonyos idôinvariáns ( változó paraméterû ) rendszereknél és külsô zavarások esetén is. A teljes adaptív szabályozási rendszer a 2.5.ábrán látható.

- 70 -

Rendszer ut

+

u

z

+

b

+

x0

+

cT

A

M

$ k $x

Adapter megfigyelô

p M$

$ p $ g

$h

$ -k $ Q 1 $ η

z

+

en

_

QQT

2.5.ábra Adaptív szabályozás megfigyelôvel

- 71 -

y(t)

3. ÖNHANGOLÓ ( SELF-TUNING ) SZABÁLYOZÁS 3.1 Minimális varianciájú szabályozás Az önhangoló ( self-tuning ) szabályozás fogalmát Åström és Wittenmark ( 1973. ) vezette be, és a MRASZ-tól az különbözteti meg, hogy a rendszer paramétereket most állandónak, de ismeretlennek tételezzük fel. Az önhangoló szabályozás célja olyan szabályozási stratégia létrehozása és tervezése, amely konvergál ahhoz az optimális stratégiához, amelyet akkor kapnánk, ha ismernénk a rendszer paramétereit. A legegyszerûbb optimálkritérium az, hogy az u szabályozást úgy választjuk, hogy a rendszer E y 2 varianciája minimális legyen. Ennek a

c h

minôségszabályozásnál van nagy gyakorlati jelentôsége, ahol kívánalom a termék azonos jellemzôinek biztosítása. ζ(t)

Szabályozó u

C(s) ___ A(s)

ZOH

exp(-s ∆)

+

B(s) ___ A(s)

y* (t)

+

Mintavételezett kimenet

3.1.ábra Zajos mintavételezett rendszer Tekintsük a 3.1.ábrán látható rendszert, ahol a zavarást szûrt fehér zajnak vesszük és feltesszük, hogy C z minden gyöke az egységkörön belül van. Z-transzformációval a szabályozott szakasz impulzus-átviteli függvénye:

bg

c h=z

G z

−1

−k

cb

0

+ b1z −1 +K + b n z − n

1 + a 1z −1 +K + a n z − n

h = z Bcz h Ac z h −1

−k

−1

A zajszûrô impulzus-átviteli függvénye:

c h

H z

−1

c h c h

C z −1 1 + c1z −1 +K + c n z − n −k =z =z 1 + a1z −1 +K + a n z − n A z −1 −k

( 3.1 )

( 3.2 )

ahol k ≥ 1 és b 0 ≠ 0 . Legyen a zajszekvencia varianciája σ 2 ( állandó ). A rendszer bemenete és kimenete közötti összefüggés ekkor:

c h ubt − k g + Cc z h ζb t g yb t g = Ac z h Ac z h B z −1

−1

−1

−1

vagy

b g

bg

b g

Ay t + k = Bu t + Cζ t + k

( 3.3 )

ahol elhagytuk a z −1 inverz differenciál operátorra való utalást. A szabályozó u -vektorát a "költség" minimalizálásához választjuk: - 72 -

b g

I = E y2 t + k ahol t diszkrét idôt jelöl. A ( 3.3 )-ból látható, hogy

c h ζbt + k g = ζbt + k g + n ζbt + k − 1g+K +n ζbt + 1g + Ac z h + n ζbt g + n ζbt − 1g+K bt + k g + n$bt + k g = n%

C z −1

−1

k −1

1

( 3.4 )

k +1

k

def

ahol n i konstansokat C A polinomosztással kapjuk. Ezért

R|L B O U| R|L B O I = E S M ub t g + n$b t + k g + n%b t + k gP V = E S M ub t g + n$b t + k gP |TN A Q |W |TN A Q mivel nɶ ( t + k ) és ub t g, n$b t + k g korrelálatlanok. Most dI RL B O U = 2 E S M ub t g + n$b t + k gP b V = 0 dub t g Q W TN A 2

2

b gU|V| W

+ n%2 t + k

0

és így a minimális varianciájú szabályozás

bg

u t =−

b g

A n$ t + k B

( 3.5 )

Felhasználva a ( 3.3 )-( 3.5 ) összefüggéseket, látható, hogy ezt a szabályozást használva, a kimenet

b g b g

y t + k = n%t + k

Megjegyezzük, hogy n% a jósolt zavarás, és a szabályozó kiszûri ezt a zavarást n%t + k hibát hagyva. A zajról nyerhetô információ felbontható a t idôpillanatig meglévô és a t és t + k idôpont között predikálható részre az E és F bevezetésével. A ( 3.5 ) szabályozás használható formába írásához definiáljuk a z −1 -beli E és F polinomokat

b g

C F = E + z−k A A

( 3.6 )

azonossággal, ahol

c h Fc z h = f + f z

E z −1 = 1 + e1z −1 +K + e k −1z − k +1 −1

0

Ekkor

b g

n$ t + k =

1

−1

+K + f n −1z − n +1

LM b g N

b g OP Q

−k F F Ay t − z Bu t ζ t = A A C

bg

és így ( 3.5 ) szerint

- 73 -

bg

u t =−

LM b g N

b g OP Q

−k F Ay t − z Bu t B C

vagy

FA b gFGH C −Cz F IJK = − BC yb t g −k

u t A ( 3.6 )-ból

C − z − k F = AE így a végeredmény a következô:

bg

u t =−

bg

F yt BE

( 3.7 )

bg

A ( 3.7 ) a minimális varianciájú visszacsatolás értékét adja. Egy adott w t alapjel esetén létrehozhatjuk a 3.2.ábrán látható visszacsatolt rendszert. ζ(t)

w(t)

+

__ C A

u(t)

+

B z -k __ A

_

y(t)

+

__ F BE

3.2.ábra Minimális varianciájú visszacstolt szabályozási rendszer A zárthurkú átviteli függvény

bg

y t = z− k

LM b g N

b gOPQ

bg

bg

bg

B F C BE w t − y t + ζ t = z−k w t + Eζ t A BE A C

a ( 3.6 )-ból. Megjegyezzük, hogy a rendszer minimálfázisú és a szabályozás struktúráját pontosan ismerjük. Ha a renszer paraméterek ismeretlenek, elôször identifikálnunk kell a folyamat modellt a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával. Ez egy önhangoló szabályozóhoz vezet.

3.2 Minimális varianciájú önhangoló szabályozó Vizsgáljuk ismét a ( 3.3 ) folyamatot, ahol kezdetben feltételezzük, hogy C = 1, azaz

bg

b g bg

Ay t = Bu t − k + ζ t

( 3.8 )

Ha a 1K a n , b 0 K b n paraméterek ismeretlenek, meg kell becsülni ôket, például az elôzô fejezetben megadott rekurzív legkisebb négyzet módszerével. Legyen

- 74 -

bg

bg

bg bg

bg

β t = a$1 t , K , a$n t , b$0 t , K , b$n t

T

a becsült paramétervektor a t idôpillanatban. Ekkor a hiba

bg bg bg b g

ε t = y t − zT t β t − 1 ahol

bg

b g

b g b g

b

z T t = − y t − 1 ,K , − y t − n , u t − k , K , u t − k − n

g

az ún. szituációvektor, amely a bemenô jelrôl és a kimenô jelrôl tárolt információkat tartalmazza. E ε 2 minimalizálása elvezet a rekurzív legkisebb négyzetek módszeréhez.

c h

Minden lépésnél meg tudjuk oldani a következô egyenletet ( ld. ( 3.6 )-t )

$ + z− k F 1 = AE

( 3.9 )

E -re és F-re, amelyeket a szabályozás ( 3.7 ) összefüggésébe kell behelyettesítenünk. Ez vezet az explicit önhangoló ( self-tuning ) algoritmushoz, ahol a szabályozás a becsült folyamat modell paramétereken alapszik. Az explici algoritmusnak megvan az a hátránya, hogy minden lépésnél meg kell oldani a ( 3.9 ) egyenletet. Létrehozhatunk implicit algoritmust is, amely közvetlenül becsüli meg a szabályozási paramétereket a következôképpen. A ( 3.8 )-ból

bg

b g

bg

EAy t = EBu t − k + Eζ t és az 1 = EA + z − k F egyenlet felhasználásával

bg

b g

b g

bg

y t = Fy t − k + Gu t − k + Eζ t ahol

c h c hc h

G z −1 = E z −1 B z −1 Innen:

bg c hb g hubt − k g + E cz hζbt g = + c g + g z +K g z bt g = z bt gβbt − 1g + n%

y t = f 0 + f 1z −1 +K f n −1z − n +1 y t − k + −1

0

n + k −1

1

− n − k +1

−1

T

ahol

bg b g b g b g b g b g g βb t − 1g = b f , f , K , f , g , g , K , g n%b t g = ε b t g = ζb t g + e ζb t − 1g+K + e ζb t − k + 1g Az eb t g folyamat független zb t g szituációvektortól és így a rekurzív legkisebb zT t = y t − k , y t − k − 1 ,K , y t − k − n + 1 , u t − k ,K , u t − 2 k − n + 1 T

0

1

n −1

0

1

1

n + k −1

k −1

négyzetek módszere ( algoritmusa ) torzítatlan becslést ad F-re és G -re, amelyeket minden lépésnél a ( 3.7 ) szabályozásnál használhatunk fel. Így

- 75 -

bg

u t =−

bg

bg

F F y t =− y t BE G

azaz

bg bg

Gu t + Fy t = 0

( 3.10 )

Ha C ≠ 1, akkor az derül ki, hogy a rekurzív legkisebb négyzetek algoritmusa még mindig torzítatlan becslést ad és a fentiekkel megegyezô levezetés vezet a ( 3.10 ) implicit algoritmusra. Fontos megjegyezni, hogy a fenti algoritmusokban a paraméterbecslôk nem egyszeresek. Például tekinsünk egy elsô rendû rendszert

bg b g b g bg ub t g = kyb t g

y t = ay t − 1 + bu t − 1 + ε t visszacstolással. Ekkor tetszôleges λ -ra

bg b

gb g b

g b g bg

y t = a − kλ y t − 1 + b + λ u t − 1 + ε t és így tetszôleges λ -ra az

b a − kλ , b + λ g

paraméterek ugyanazt az értéket adják a

∑ε

2

btg

veszteségfüggvényre. Mint a MRASZ-ról szóló fejtegetéseinkben is, egyszeres paraméterbecslôket akkor kapunk, ha a rendszer bemenete állandóan gerjesztett állapotban van.

3.3 Általánosított legkisebb variancia Az elôzô fejezetbe tárgyalt minimális varianciájú szabályozóban nem vettük figyelembe a w t bemenô jelet, s az u t szabályozó jelet sem súlyoztuk az I költségfüggvényben. Ez könnyen megoldható, ha a költségfüggvényt a következôképpen írjuk fel:

bg

bg

{ b g

bg

I = E Py t + k − Rw t

2

bg }

+ Qu t

2

( 3.11 )

ahol P , Q és R z −1 -ben átviteli függvények és a konstruktôr ( tervezô ) által szabhatók meg, p 0 pedig 1-nek vehetô. Mint fentebb feltételelzzük, hogy a rendszer modellünk

bg

b g

bg

Ay t = Bu t − k + Cζ t Ekkor a C = EA + z − k F öszefüggést is felhasználva, kapjuk:

bg b g

b g

bg

Cy t − Fy t − k = Gu t − k + ECζ t ugyanazzal a megjegyzéssel, mint fent. Így

- 76 -

bg

y t =

b g

b g

def Fy t − k + Gu t − k + Eζ t = y$ t + n%t C

bg bg bg

bg I = E FH nP y$b t + k g + n%b t + k g − Rw b t gs + Qub t g IK = = Py$b t + k g − Rw b t g + Qub t g + α

Behelyettesítve y t -t a ( 3.11 ) költségfüggvénybe, kapjuk: 2

2

2

2

2

ahol

{ b g} 2

α 2 = E Pn%t + k

b g bg

bg

b g

mivel y$ t + k , w t és u t ismertek és determinisztikusak és Pn%t + k ezekkel a mennyiségekkel korrelálatlan. Most

b g

bg

bg

dI = 2 py$ t + k − Rw t b0 + 2 q0Qu t = 0 du t

bg

( 3.12 )

ahol Q = q 0 + q 1z −1 +K

b g bg G BE ub t g = ub t g = c b + α z C C

Vegyük észre, hogy y$ t + k -nak u t -tôl való függését 0

−1

1

h bg

+ α 2 z −2 +K u t

adja meg valamely α i -re. Definiáljuk

b g

def

b g

Φ ∗ t + k = Py$ t + k +

bg

bg

q 0Q u t − Rw t b0

( 3.13 )

Ekkor a ( 3.12 ) által adott szabályozási törvény:

b g

Φ∗ t + k = 0 Ha szintén definiáljuk

b g

b g

Φ t + k = Py t + k +

bg

bg

q 0Q u t − Rw t b0

akkor

b g c b g b gh = Φ bt + k g + εbt + k g

Φ t + k = P y$ t + k + n%t + k +

bg

bg

q0 Q u t − Rw t = b0

∗

ahol

bg

bg

ε t = Pn%t .

b g

Világos, hogy ε t + k négyzetek optimális becslôje.

b g

b g

korrelálatlan Φ ∗ t + k -val, ami Φ t + k

- 77 -

legkisebb

A szabályozó alkalmazásához figyeljük meg, hogy

b g LM Fybt g +CGubt g OP + qbQ ubt g − Rw bt g = 0 N Q

Φ∗ t + k = P

0

0

vagy

b g

bg

bg

bg

CΦ ∗ t + k = F′ y t + G ′u t + H ′w t = 0 ahol

F′ = PF G ′ = PG + CQ ′ H ′ = − CR qQ Q′ = 0 b0 Az általánosított legkisebb varianciájú szabályozási rendszer hatásvázlata a 3.3.ábrán látható. ζ(t) C

w(t)

+

H'

u(t)

__ 1 G'

_

z-k B

+

__ 1 A

+

y(t)

F'

3.3.ábra Általánosított minimális varianciájú szabályozási rendszer Könnyû belátni, hogy a zárt szabályozási kör átviteli függvénye:

bg

y t = z−k

B PEB + Q′C Rw t + ζ t PB + Q ′A PB + Q ′A

bg

bg

A rendszer karakterisztikus egyenlete:

PB + Q′A = 0

( 3.14 )

Ezt az egyenletet P és Q ′ megfelelô választása módosíthatja, ami különbözô szabályozásokra vezet, mivel u kifejezése:

bg

u t =

bg

bg

CR PF w t − y t PBE + CQ ′ PBE + CQ ′

( 3.15 )

Három esetet vizsgálunk: 1. Ha P = 1, R = Q = 0 , akkor ( 3.15 ) a minimális varianciájú szabályozásra ( 3.7 ) redukálódik. 2. Ha P = 1, R = 1, Q ′ = λ , akkor az átviteli függvény

- 78 -

EB + λC z −1B ζ t + w t B + λA B + λA

bg

bg

y t =

bg

λ = 0-nál a szabályozó megpróbálja "lengetni" a szabályozott szakaszt, ami instabil rendszerhez vezet, ha a nyílthurkú rendszer nem minimálfázisú. Ha azonban a nyílthurkú rendszer stabilis ( azaz a A z −1 = 0 gyökei az egységsugarú

c h

körön belül vannak ), akkor megfelelô értéket választva ( tuningolva=hangolva ) a zárthurkú pólusokat a nyílthurkúhoz tetszôlegesen közel hozhatjuk. Megjegyzendô, hogy a nagy λ értékek a költségfüggvénybeli szabályozást a "set point tracking" minôségének rovására súlyozza. 3. Ha Q = 0, a következô bemenet-kimenet összefüggést kapjuk a zárt körre:

bg

bg

y t = Eζ t + z − k

bg

R w t P

Így a rendszer jól követi R P -t, késleltetett bemenettel, így ez egyfajta modell-referenciás szabályozás. A ( 3.15 )-bôl világos, hogy a karakterisztikus polinom PBE, amelynek gyökei vannak az egységkörön kívül nem-minimálfázisú rendszerek esetén. A kibôvített minimális varianciájú algoritmus használható önhangoló szabályozó kiterjesztésére ( ld. Clarke és Gawthrop, 1975., 1979. ). Mint fentebb, u -t megkaphatjuk az

bg

bg

bg

F′ y t + G ′u t + H ′w t = 0 egyenletbôl. De az F ′ , G ′ és H ′ ismeretlen paraméterek és ezért, mint az egyszerû minimális varianciájú esetben, rekurzív legkisebb négyzetes becslést használhatunk ezeknek a paramétereknek a megbecsülésére. Ha C = 1, akkor

b g

b g b g = F ′y bt g + G ′ubt g + H ′wbt g + ε bt + k g = = z b t gβbt − 1g + ε bt + k g

Φ t + k = Φ∗ t + k + ε t + k = T

ahol

bg mbg b g

bg b g

bg b g r

z T t = y t , y t − 1 ,K , u t , u t − 1 , K , w t , w t − 1 ,K és

b g l

β T t − 1 = f0′ , f1′,K , g 0′ , g1′ ,K , h ′0 , h1′ ,K Ezután

q

b g

ε2 t + k

minimalizálásával megkapjuk a β rekurzív legkisebb négyzetes becslését ( ahol fi′, g ′i , h i′ az F′ , G ′ , H ′ polinomok együtthatói ). Ha C ≠ 1, akkor ugyanezt az algoritmust használhatjuk az önhangolás elôállításásra abban az esetben, ha a β paraméterbecslô a β igazi értékéhez konvergál. ( ld. Ljung, 1977. ) Ezt az önhangoló szabályozásról szóló rövid bevezetôt azzal zárjuk, hogy megemlítjük, hogy önhangoló szabályozót lehet tervezni "pólusáthelyezô regulátor" alapján is, ahol a szabályozást úgy választják, hogy a zárthurkú átviteli függvénynek adott póluskészlete legyen. Vizsgáljuk például az

- 79 -

bg

bg

bg

Ay t = z − k Bu t + Cζ t

modellt, ahol A , B és C z −1 -ben n A , n B és n C -ed rendû polinomok és explicite k lépésnyi késést foglal magába. Ekkor, visszacsatolt szabályozást használva

c h bg

c h bg

G z −1 u t = − F z −1 y t Ezért

cAG + z

−k

h bg

bg

BF y t = CGζ t

és így, ha F-et és G -t úgy választjuk, hogy kielégítsék AG + z − k BF = CT egyenletet, ahol T valamilyen kívánt ( vagy adott ) polinom, akkor

bg

y t =

bg

G ζ t T

úgyhogy a zárthurkú pólusok a T gyökei. Ha G = 1 + g1z −1 +K + g nG z − nG F = f0 + f1z −1 +K + f n F z − n F és T = 1 + t 1z −1 +K + t n T z − nT akkor egyértelmûen megoldható a ( 3.16 ), ha

nG = nB + k − 1 n F = nA − 1 nT = nA + n B + k − 1 − nC ahol az utolsó feltétel annak biztosítására szükséges, hogy a minták számának növekedésével a szabályozás ahhoz konvergáljon, amit a folyamat dinamikájának ismeretében terveztünk volna. A póluskijelölés önhangoló ( self-tuning ) szabályozó tervezéséhez ( C = 1 ) rekurzív legkisebb négyzetek becslési módszerét alkalmazzuk az

bg

bg bg

Ay t − z − k Bu t = ζ t

modellre, az A és B paraméterek becslésére, és a ( 3.16 ) megoldására adott T mintavételi idôközökre, G -re és F-re, és létrehozzuk a

u=−

F y G

szabályozást. A kibôvített önhangoló szabályozás C ≠ 1 esetében hasonló módon követhetô ( ld. Wellstead és Sanoff, 1981. ).

- 80 -

4. IRODALOMJEGYZÉK 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 l0.

11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. l8.

19. 20. 21. 22.

Landau, I. D. (1974.) A survey of model reference adaptive techniques-theory and applications, Automatica, 10, 353-79. Landau, I. D. (1979.) Adaptive Control: The Model Reference Approach, Marcel Dekker. Landau, I. D. and Courtiol, B. (1974.) Design of multivariable adaptive model following control systems, Automatica, 10, 483-94. Lion, P. M. (1967.) Rapid identification of linear and nonlinear systems, AIAA J., 5, 1835-42. Ljung, L. (1977.) Analysis of recursive stochastic algorithms, IEEE Trans. Aut. Control, 22, 551-75. Longchamp, R. (1980.) Stable feedback control of bilinear systems, IEEE Trans. Aut. Control, 25, 302-6. Luders, G. and Narendra, K. S. (1974.) A new canonical form for an adaptive observer, IEEE Trans. Aut. Control, 19, 117-19. Monopoli, R. V. (1974.) Model reference adaptive control with an augmented error signal, IEEE Trans. Aut. Control 19, 474-84. Morse, A. S. (1980.) Global stability of parameter-adaptive control systems, IEEE Trans. Aut. Control, 25, 433-9. Narendra, K. S. and Kudva, P. (1974.) Stable adaptive schemes for system identification and control, IEEE Trans. Systems, Man and Cyb. , 4, Part I, 542-51; Part II, 552-60. Narendra, K. S. and Monopoli, R. V. (1980.) Applications of Adaptive Control, Academic Press. Narendra, K. S. and Valavani, L. S. (1980.) A comparison of Lyapunov and hyperstability approaches to adaptive control of continuous systems, IEEE Trans. Aut. Control 25, 243-47. Narendra, K. S., Lin, Y-H. and Valavani L. S. (1980.) Stable adaptive controller design, Part II: proof of stability, IEEE Trans. Aut. Control, 25, 440-8. Parks, P. C. (1966.) Lyapunov redesign of model reference adaptive control systems, IEEE Trans. Aut. Control, 11 362-7. Peterson, B. B. and Narendra, K. S. (1982.) Bounded error adaptive control, IEEE Trans. Aut. Control, 27, 1161-8. Utkin, V. I. (1977.) Variable structure systems with sliding modes, IEEE Trans. Aut. Control, 22, 212-22. Van Amerongen, J. and Udink ten Cate, A. J. (1973.) Adaptive autopilots for ships, Proc. IFAC/IFIP Symp. Ship Operation Automation, Oslo, Norway. Weissenberger, S. (1966.) Stability-boundary approximations for relay-control systems via a steepest ascent construction of Lyapunov functions, J. Basic Eng., ASME, 88, 419-28. Wellstead, P. E. and Sanoff, S. P. (1981.) Extended self-tuning algorithm, Int. J. Control, 34, 433-55. Banks, S. P. (1986.) Control Systems Engineering, Prentice-Hall Int. Tsien, H. S. - Serdengecti, S.: Analysis of Peak-Holding, Optimilizing Control. J. Aeronaut. Sci., 22/1955 pp. 561-570 Benner, A. H. - Drenick, R.: An Adaptive Servo System, 1955 IRE Convention Record Pt. 4, pp. 8-14·

- 81 -

- 82 -