Biplot a jeho aplikace

´ UNIVERZITA PALACKEHO V OLOMOUCI ˇ´ ˇ ´ FAKULTA PR IRODOVEDECK A ´ ANALYZY ´ KATEDRA MATEMATICKE A APLIKACÍ MATEMATIKY

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A Biplot a jeho aplikace

Vedouc´ı bakaláˇrské práce: RNDr. Karel Hron, Ph.D. Rok odevzdán´ı: 2010

Vypracovala: Alˇ zbˇ eta Kalivodov´ a Aplikovaná statistika, III. roˇcn´ık

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem vytvoˇrila tuto diplomovou práci samostatnˇe pod veden´ım RNDr. Karla Hrona, Ph.D. a ˇze jsem v seznamu pouˇzité literatury uvedla vˇsechny zdroje pouˇzité pˇri zpracován´ı práce.

V Olomouci dne 30. bˇrezna 2010

Podˇ ekov´ an´ı Ráda bych na tomto m´ıstˇe podˇekovala vedouc´ımu bakaláˇrské práce RNDr. Karlu Hronovi, Ph.D. za obˇetavou spolupráci i za ˇcas, kter´ y mi vˇenoval pˇri konzultac´ıch. Dále bych ráda podˇekovala vˇsem sv´ ym bl´ızk´ ym, ˇze se mnou mˇeli trpˇelivost, a také svému poˇc´ıtaˇci.

Obsah ´ Uvod

4

1 Poznatky z teorie matic 1.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Singulárn´ı rozklad matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5

ˇ ıseln´ 2 C´ e charakteristiky n´ ahodn´ eho vektoru 2.1 Teoretické a v´ ybˇerové charakteristiky náhodného vektoru . . . . . 2.2 Mahalanobisova vzdálenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 10

3 Metoda hlavn´ıch komponent ´ 3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hlavn´ı komponenty ve v´ ybˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 15

4 Konstrukce biplotu

17

5 Pˇ r´ıklady 5.1 Studenti . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Zemˇedˇelstv´ı . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Zemˇedˇelstv´ı s bramborami 5.2.2 Zemˇedˇelstv´ı bez brambor . 5.2.3 Zemˇedˇelstv´ı ˇskálované . . 5.3 Inteligence a tˇelesné proporce . . 5.4 Cigarety a rakovina v USA . . . .

22 22 24 25 26 27 29 31

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Z´ avˇ er Pˇr´ıloha A: V´ ysledky student˚ u prvn´ıho roˇcn´ıku vysoké ˇskoly technického smˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıloha B: Hektarové v´ ynosy skliznˇe hlavn´ıch zemˇedˇelsk´ ych plodin . . . Pˇr´ıloha C: Pˇreˇskálovaná tabulka Hektarové v´ ynosy . . . . . . . . . . . Pˇr´ıloha D: IQ a tˇelesné proporce student˚ u Jihozápadn´ı univerzity . . . Pˇr´ıloha E: Poˇcet vykouˇren´ ych cigaret a v´ yskyt 4 druh˚ u rakoviny ve vybran´ ych státech USA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıloha F: Mapa Spojen´ ych stát˚ u americk´ ych . . . . . . . . . . . . . .

35

Literatura

42

36 38 38 39 40 41

´ Uvod ´ Ukolem této práce je popsat vlastnosti biplotu jako v souˇcasnosti hojnˇe uˇz´ıvaného grafického nástroje mnohorozmˇerné statistické anal´ yzy. Biplot se totiˇz ˇcasto uˇz´ıvá i pˇri statistické anal´ yze speciáln´ıch typ˚ u dat, napˇr´ıklad tzv. kompoziˇcn´ıch dat, nesouc´ıch pouze relativn´ı informaci. V prvn´ı kapitole pˇripomeneme nˇekteré poznatky z teorie matic, vˇcetnˇe tzv. singulárn´ıho rozkladu matice. Tyto znalosti se nám budou hodit pˇri dalˇs´ıch v´ ypoˇctech. Dále uvedeme vybrané ˇc´ıselné charakteristiky náhodného vektoru a Mahalanobisovu vzdálenost. V následuj´ıc´ı kapitole se seznám´ıme s metodou hlavn´ıch komponent, a to jak v jej´ı teoretické, tak i ve v´ ybˇerové podobˇe. Tato mnohorozmˇerná statistická metoda je totiˇz základem pro tvorbu samotného biplotu hlavn´ıho tématu této práce. Závˇereˇcnou, neménˇe d˚ uleˇzitou, ˇca´st´ı budou pˇr´ıklady z oblasti aplikac´ı. Toto téma jsem si vybrala hned z nˇekolika d˚ uvod˚ u. Statistika je m´ ym hlavn´ım oborem a biplot se mi zdá zaj´ımav´ ym, a podle mˇe nedocenˇen´ ym, nástrojem explorativn´ı anal´ yzy dat. Protoˇze je biplot pomˇernˇe novou grafickou technikou, c´ıtila jsem téˇz potˇrebu napomoci jeho rozˇs´ıˇren´ı do obecného povˇedom´ı. Mysl´ım si totiˇz, ˇze v´ ysledn´ y v´ ystup je dobˇre ˇciteln´ y i pro matematického laika.

4

1

Poznatky z teorie matic

1.1

Z´ akladn´ı pojmy

Nejprve se seznám´ıme s nˇekter´ ymi základn´ımi vlastnostmi matic, které budeme dále potˇrebovat pˇri samotné konstrukci a odvozován´ı biplotu. Zejména si pˇripomeneme, co je to singulárn´ı rozklad matice a osvˇetl´ıme nˇekteré jeho vlastnosti. Pˇri tvorbˇe této kapitoly byly informace ˇcerpány zejména z [9], [11], [14]. Definice 1.1. Necht’ u = (u1 , . . . , up )T a v = (v1 , . . . , vp )T jsou p-sloˇzkové reálné sloupcové vektory, tedy u, v ∈ Rp . ˇ Rekneme, ˇze u a v jsou ortogonáln´ı, jestliˇze plat´ı uT v = 0. Vektory u, v jsou ortonormáln´ı, jestliˇze uT v = 0 a zároveˇ n pro jejich euklidovskou normu plat´ı q pPp 2 ||u|| = ||v|| = v12 + . . . + vp2 = i=1 vi = 1. Definice 1.2. Reálnou ˇctvercovou matici A nazýváme ortogonáln´ı, jestliˇze plat´ı AT A = AAT = I, kde I je jednotková matice pˇr´ısluˇsného ˇrádu, tj. jestliˇze jsou jej´ı sloupce vzájemnˇe ortonormáln´ı vektory. Definice 1.3. ˇ 1. Ctvercovou matici A stupnˇe n nazýváme pozitivnˇe definitn´ı, je-li symetrická a plat´ı-li pro kaˇzdý nenulový vektor x nerovnost xT Ax > 0. Znaˇc´ıme A > 0. ˇ 2. Ctvercovou matici A stupnˇe n nazýváme pozitivnˇe semidefinitn´ı, je-li symetrická a plat´ı-li pro libovolný vektor x nerovnost xT Ax ≥ 0. Znaˇc´ıme A ≥ 0.

1.2

Singul´ arn´ı rozklad matice

Mˇejme dánu reálnou matici X o rozmˇerech n × p, zapisujeme Xn,p , a dále Un,n , Dn,p a Vp,p . Matici X lze rozloˇzit na souˇcin X = UDVT , 5

(1.1)

kde U a V jsou ortogonáln´ı matice. Tento vztah vˇcetnˇe znaˇcen´ı byl pˇrevzat z [4] (str. 64, vztah 6.1). Poznamenejme, ˇze pro matice U a V tedy plat´ı UUT = UT U = I a VVT = VT V = I.

(1.2)

Dále D je matice nezáporn´ ych, tzv. singulárn´ıch, hodnot. Ty se nacházej´ı na hlavn´ı diagonále a jsou uspoˇra´dány sestupnˇe. Tedy d11 ≥ d22 ≥ · · · ≥ dkk ≥ 0 kde k = min(n, p);

(1.3)

pˇritom prvky mimo hlavn´ı diagonálu jsou rovny nule. Maticovˇe obdrˇz´ıme (v pˇr´ıpadˇe n > p) 

d11 0 .   0 ..   0 0 D=  0 0  . .  .. .. 0 0

0



 0   dpp  . 0  ..  . 

(1.4)

0

M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze matice X o rozmˇerech n × p má maximálnˇe k = min(n, p) r˚ uzn´ ych singulárn´ıch hodnot. Sloupce matice U se naz´ yvaj´ı skóry (scores), odpov´ıdaj´ıc´ı sloupce matice V se naz´ yvaj´ı zátˇeˇze (loadings). Sloupce pˇr´ısluˇsn´ ych matic budeme znaˇcit ui , resp. vj , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Singulárn´ı hodnoty maj´ı potom vypov´ıdaj´ıc´ı ˇ ım bl´ıˇze k nule je ˇc´ıslo dii pro i = 1, 2, . . . , k, t´ım maj´ı funkci o jejich vztahu. C´ odpov´ıdaj´ıc´ı skóry a zátˇeˇze v celkovém rozkladu menˇs´ı vliv. Pˇeknˇe je toto vidˇet, zap´ıˇseme-li rozklad X pomoc´ı diagonáln´ıch prvk˚ u matice D a sloupc˚ u matic U, V,

Xn,p = u1 d11 v1 + u2 d22 v2 + · · · + uk dkk vk =

k X

dii ui viT .

(1.5)

i=1

Kladné hodnoty dii pro i = 1, 2, . . . , k budeme naz´ yvat cenné hodnoty matice X. Pˇritom plat´ı 6

Xvi = dii ui

a

XT ui = dii vi ,

i = 1, . . . , k.

(1.6)

Singulárn´ı hodnoty se pˇritom mˇen´ı se zmˇenou prvk˚ u matice X. Napˇr´ıklad, pokud vynásob´ıme vˇsechny prvky této matice dvˇema, normované velikosti prvk˚ u U a V se nezmˇen´ı, ale singulárn´ı hodnoty budou dvakrát vˇetˇs´ı. Singulárn´ı hodnoty dii jsou vlastnˇe odmocnˇená vlastn´ı ˇc´ısla ˇctvercov´ ych matic XXT a XT X, jak si ukáˇzeme za chv´ıli.

Souˇcin skóru a pˇr´ısluˇsné singulárn´ı hodnoty se naz´ yvá hlavn´ı komponenta (principal component). Rozklad ˇctvercov´ ych matic X XT a XT X tedy potom vede k tzv. metodˇe hlavn´ıch komponent. Tou se budeme podrobnˇe zab´ yvat ve tˇret´ı kapitole. Zm´ın´ıme se o rozkladu matic XXT a XT X podrobnˇeji: XXT = UDVT VDT UT = U(DDT )UT ,

(1.7)

XT X = VDT UT UDVT = V(DT D)VT ,

(1.8)

tedy sloupce matice U jsou vlastn´ı vektory matice XXT a sloupce matice V jsou vlastn´ı vektory matice XT X. Jin´ y zápis, ze kterého je toto zˇretelnˇejˇs´ı: XXT ui = d2ii ui

pro i = 1, . . . , k = min(n, p),

(1.9)

XT Xvi = d2ii vi

pro i = 1, . . . , k = min(n, p).

(1.10)

Poznamenejme, ˇze ve statistice matice X ˇcasto pˇredstavuje tzv. datovou matici. Jej´ı ˇra´dky jsou tvoˇreny n objekty, na nichˇz jsme zmˇeˇrili hodnoty p statistick´ ych znak˚ u.

7

ˇ ıseln´ C´ e charakteristiky n´ ahodn´ eho vektoru

2 2.1

Teoretick´ e a v´ ybˇ erov´ e charakteristiky n´ ahodn´ eho vektoru

Neˇz postoup´ıme dále, uvedeme si základn´ı ˇc´ıselné charakteristiky náhodného vektoru. Na konci kapitoly jeˇstˇe pˇripomeneme pojem Mahalanobisovy vzdálenosti. Hlavn´ım zdrojem pˇri tvorbˇe této kapitoly byly knihy [2], [3], [8] a internetové stránky [10].

Definice 2.1. Necht’ je dán náhodný vektor X = (X1 , . . . , Xp )T na pravdˇepodobnostn´ım prostoru (Ω, A, P) a necht’ existuj´ı stˇredn´ı hodnoty E(X1 ), . . . , E(Xp ) jeho sloˇzek. Pak se vektor E(X) = (E(X1 ), . . . , E(Xp ))T nazývá stˇredn´ı hodnota náhodného vektoru X. Tuto definici m˚ uˇzeme také interpretovat tak, ˇze stˇredn´ı hodnota náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xp )T je vektor stˇredn´ıch hodnot jeho sloˇzek (náhodn´ ych veliˇcin X1 , . . . , Xp ). Poznamenejme, ˇze E(X − E(X)) = 0. Tato zˇrejmá vlastnost je teoretick´ ym podkladem pro tzv. centrován´ı dat v popisné statistice, kdy od kaˇzdého sloupce (hodnot znaku) v datové matici odeˇcteme pr˚ umˇer hodnot znaku. Obdobnˇe definujeme stˇredn´ı hodnotu matice Xn,p , jej´ıˇz prvky jsou náhodné veliˇciny, 

   X11 · · · X1p E(X11 ) · · · E(X1p ) E(X) = E  · · · · · · · · ·  =  · · · · · · · · ·  . Xn1 · · · Xnp E(Xn1 ) · · · E(Xnp )

(2.1)

Definice 2.2. Necht’ má náhodný vektor X koneˇcné druhé momenty. Potom m˚ uˇzeme definovat kovarianci sloˇzek (náhodných veliˇcin) Xi a Xj jako cov(Xi , Xj ) = E(Xi − E(Xi ))(Xj − E(Xj )), i, j = 1, . . . , p. 8

Pro i = j je kovariance zˇrejmˇe rovna rozptylu, tedy cov(Xi , Xi ) = var(Xi ). ˇ Definice 2.3. Ctvercov´ a matice ˇrádu n var(X) = cov(Xi , Xj )ni,j=1 se nazývá varianˇcn´ı matice. Vˇ eta 2.1. Varianˇcn´ı matice je symetrická a pozitivnˇe semidefinitn´ı. D˚ ukaz:

Symetrie je zˇretelná z maticového zápisu 

var(X1 ) cov(X1 , X2 )  cov(X2 , X1 ) var(X2 )  var(X) =   ··· ··· cov(Xn , X1 ) cov(Xn , X2 )

 · · · cov(X1 , Xn ) · · · cov(X2 , Xn )   ; ..  . ··· · · · var(Xn )

v´ıme totiˇz, ˇze cov(Xi , Xj ) = cov(Xj , Xi ), i, j = 1, . . . , n. Pro d˚ ukaz pozitivn´ı semidefinitnosti zvolme libovoln´ y vektor c = (c1 , . . . , cn )T . Rozptyl kaˇzdé náhodné veliˇciny je nenulov´ y, nenulov´ y je také rozptyl veliˇciny cT X. Pouˇzijeme vlastnosti varianˇcn´ı matice lineárn´ı transformace ˇc´ıseln´ ym vektorem a ∈ Rm a ˇc´ıselnou matic´ı Bm,n , var(a+BX) = Bvar(X)BT , tedy var(cT X) = cT var(X)c ≥ 0. D˚ ukaz této vˇety je pˇrevzat z [2], str. 39, d˚ ukaz vˇety 3.3. 2 Varianˇcn´ı matice m˚ uˇze b´ yt definována i ”maticovˇe” jako h

T

var(X) = E (X − E(X))(X − E(X))

i

= E(XXT ) − (E(X))(E(X))T .

(2.2)

Situace v matematické statistice je opaˇcná neˇz v teorii pravdˇepodobnosti, kde spoleˇcnˇe s náhodn´ ym vektorem známe i jeho ˇc´ıselné charakteristiky. Zde vycház´ıme z p-rozmˇerného náhodného v´ ybˇeru X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı vektoru X a pomoc´ı vhodn´ ych statistik se snaˇz´ıme co nejlépe odhadnout skuteˇcnou hodnotu E(X), respektive var(X). Tedy pracujeme s p promˇenn´ ymi zjiˇstˇen´ ymi u n náhodnˇe vybran´ ych objekt˚ u. Pˇr´ısluˇsné teoretické charakteristiky oznaˇcme µ , Σ , tedy µ = E(X), Σ = var(X).

9

Definice 2.4. Vektor aritmetických pr˚ umˇer˚ u jednotlivých sloˇzek náhodných vektor˚ u X1 , . . . , Xn z p-rozmˇerného náhodného výbˇeru z rozdˇelen´ı vektoru X, n

X ¯ = 1 Xi , X n i=1 se nazývá výbˇerová stˇredn´ı hodnota. Dále si zavedeme tzv. Wishartovu matici, která je v teorii mnohorozmˇerné statistické anal´ yzy velmi obl´ıbená. Tato matice je ˇctvercová ˇra´du p, symetrická a má tvar

W=

n X

T

¯ ¯ (Xi − X)(X i − X) =

i=1

n X

¯X ¯T. Xi XTi − nX

(2.3)

i=1

Odhadem varianˇcn´ı matice var(X) je v´ ybˇerová varianˇcn´ı matice S. Definice 2.5. Necht’ máme dán náhodný výbˇer X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı vektoru X. Výbˇerovou varianˇcn´ı matic´ı nazveme matici S n

1 X 1 1 ¯ ¯ T W= (Xi − X)(X S= i − X) = n−1 n − 1 i=1 n−1

X n

Xi XTi

T ¯ ¯ − n XX .

i=1

Vˇ eta 2.2. Necht’ máme dán náhodný výbˇer X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı, které má stˇredn´ı hodnotu µ a varianˇcn´ı matici Σ . Potom plat´ı ¯ = µ, ¯ = 1 Σ, E(X) var(X) E(S) = Σ . n D˚ ukaz:

2.2

D˚ ukaz je uveden v [2], str. 68, d˚ ukaz vˇety 5.2. 2

Mahalanobisova vzd´ alenost

Mahalanobisova vzdálenost byla zavedena roku 1936 indick´ ym matematikem P.C. Mahalanobisem. Je uˇz´ıvána pˇredevˇs´ım ve své v´ ybˇerové podobˇe, kdy jej´ı realizace vyjadˇruje vzdálenost pozorován´ı Xi od centra distribuce datového sou¯ vzhledem ke kovarianˇcn´ı boru, vyjádˇreného pomoc´ı v´ ybˇerové stˇredn´ı hodnoty X, struktuˇre, dané v´ ybˇerovou varianˇcn´ı matic´ı S. 10

Definice 2.6. Mˇejme X = (X1 , . . . , Xp )T náhodný vektor, který má stˇredn´ı hodnotu µ a varianˇcn´ı matici Σ . Mahalanobisova vzdálenost je definována vztahem q DM (X) = (X − µ )T Σ −1 (X − µ ). Mahalanobisova vzdálenost m˚ uˇze b´ yt také definována jako vzdálenost dvou r˚ uzn´ ych náhodn´ ych vektor˚ u X a Y, které maj´ı stejné rozdˇelen´ı s varianˇcn´ı matic´ı Σ: q DM (X, Y) = (X − Y)T Σ −1 (X − Y).

(2.4)

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno na zaˇca´tku, nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı je Mahalanobisova vzdálenost ve své v´ ybˇerové formˇe q ¯ T S−1 (Xi − X). ¯ DM (Xi ) = (Xi − X)

11

(2.5)

3

Metoda hlavn´ıch komponent

3.1

´ Uvod

Jak si ukáˇzeme v dalˇs´ı kapitole, metoda hlavn´ıch komponent je základem pro konstrukci biplotu. Jej´ım tv˚ urcem je Karl Pearson (1901). C´ılem této metody je zredukovat dimenzi mnohorozmˇern´ ych dat tak, aby se stala jednoduch´ ymi a dobˇre ˇciteln´ ymi, ale abychom touto redukc´ı ztratili co nejménˇe informace. Data se zobrazuj´ı skrze hlavn´ı komponenty, coˇz jsou skryté veliˇciny, které vysvˇetluj´ı jejich variabilitu a vzájemnou závislost. Ve své teoretické podobˇe jsou hlavn´ı komponenty vlastnˇe lineárn´ı kombinace p˚ uvodn´ıch sloˇzek náhodného vektoru. Pˇri této metodˇe nejsou data nijak ˇclenˇena, ale posuzujeme je jako rovnocenné. Pˇri tvorbˇe hlavn´ıch komponent vycház´ıme ze singulárn´ıho rozkladu, kter´ y jsme si popsali v prvn´ı kapitole. Pˇri zpracován´ı této kapitoly bylo ˇcerpáno zejména z [1], [4], [7]. Mˇejme X = (X1 , . . . , Xp )T náhodn´ y vektor s rozdˇelen´ım, které má stˇredn´ı hodnotu E(X) = µ a pozitivnˇe semidefinitn´ı varianˇcn´ı matici Σ = var(X) = E[(X − µ )(X − µ )T ].

(3.1)

Dále je dána matice G = (g1 , . . . , gp ) , kde g1 , . . . , gp jsou ortonormáln´ı vlastn´ı vektory matice Σ . Plat´ı pro nˇe tedy giT gj = 0 pro i 6= j

a giT gi = 1 pro i, j = 1, . . . , p,

(3.2)

tedy matice G je ortogonáln´ı. Hlavn´ı komponenty jsou vyjádˇreny pomoc´ı náhodného vektoru Z, Z = GT (X − µ ) nebo téˇz jednotlivˇe jako náhodné veliˇciny 12

(3.3)

Zi = giT (X − µ ) pro i = 1, . . . , p.

(3.4)

Rozptyl i-té hlavn´ı komponenty je potom

var(Zi ) = E giT (X − µ )(X − µ )T gi = giT Σ gi

pro i = 1, . . . , p.

(3.5)

Libovolné dvˇe hlavn´ı komponenty jsou nekorelované, protoˇze jsou pˇr´ısluˇsné vlastn´ı vektory gi ortonormáln´ı. Takto lze tedy vytvoˇrit p komponent; z hlediska zmenˇsován´ı dimenze dat (která je naˇs´ım hlavn´ım c´ılem) je ale lepˇs´ı m´ıt komponent ménˇe. Oznaˇcme di vlastn´ı ˇc´ısla matice Σ seˇrazená sestupnˇe d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dr ≥ 0. Je-li r < p, pak zb´ yvaj´ıc´ı vlastn´ı ˇc´ısla (je jich p − r) jsou nulová. Pokud je Σ pozitivnˇe definitn´ı, jsou vˇsechny vlastn´ı hodnoty kladná reálná ˇc´ısla.

Hlavn´ım kritériem konstrukce veliˇcin Zi je poˇzadavek jejich maximáln´ıho rozptylu v daném smˇeru. Hlavn´ı komponenty tedy obdrˇz´ıme maximalizac´ı funkce giT Σ gi za podm´ınky giT gi = 1. Z´ıskáme funkci s Lagrangeov´ ymi multiplikátory φi = giT Σ gi − di (giT gi − 1),

i = 1, . . . , r.

(3.6)

Parciáln´ı derivac´ı podle gi obdrˇz´ıme: ∂φi Σgi − 2di gi = 0, = 2Σ ∂gi

(3.7)

Σ − di I)gi = 0, (Σ

(3.8)

Σ G = GD,

(3.9)

maticovˇe potom

13

kde D = Diag(d1 , . . . , dr ), tedy D je matice, která má na diagonále ˇc´ısla di , i = 1, . . . , r, a mimo diagonálu 0. Varianˇcn´ı matici Σ m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako Σ = GDGT

(3.10)

GT Σ G = D.

(3.11)

nebo m˚ uˇzeme vyjádˇrit D,

Stˇredn´ı hodnota hlavn´ıch komponent je nulová. Vycház´ıme z:

µ) = GT (µ µ − µ ) = 0. E(Z) = GT E(X − µ ) = GT E(X) − E(µ

(3.12)

Varianˇcn´ı matice má tvar var(Z) = GT var(X − µ )G = GT Σ G = D.

(3.13)

Prvky gij matice G vyjadˇruj´ı vliv veliˇciny Xi na Zj , i, j = 1, . . . , p, G se naz´ yvá matice zátˇeˇz´ı (loading matrix).

Trochu jin´ y náhled na konstrukci hlavn´ıch komponent spoˇc´ıvá v tom, ˇze hledáme takov´ y vektor reáln´ ych ˇc´ısel c = (c1 , . . . , cp )T , kter´ y splˇ nuje podm´ınku cT c = 1 a pro kter´ y má veliˇcina cT X nejvˇetˇs´ı rozptyl. X je centrovan´ y náhodn´ y vektor. Protoˇze var(cT X) = cT Σ c, maximalizujeme vlastnˇe v´ yraz cT Σ c. Tato maximáln´ı hodnota je d1 a plat´ı, pokud c = g1 . Z´ıskali jsme prvn´ı hlavn´ı komponentu Z1 = g1T X. Dále budeme hledat znovu vektor c ∈ Rp za dan´ ych podm´ınek, tentokrát ale pˇrib´ yvá jeˇstˇe jedna podm´ınka, a to, ˇze mus´ı b´ yt nekorelovan´ y s veliˇcinou Z1 . Tato podm´ınka nekorelovanosti je dosaˇzena pokud cT g1 = 0. Takto dostaneme c = g2 a druhou hlavn´ı komponentu Z2 = g2T X. Ukazuje se, ˇze tento proces pokraˇcuje obdobnˇe i dále, tedy do doby, neˇz najdeme vˇsechny hlavn´ı komponenty Zi = giT X,

i = 1, . . . , r. 14

(3.14)

Poznamenejme ovˇsem jiˇz nyn´ı, ˇze pˇri tvorbˇe biplotu pouˇz´ıváme pouze prvn´ı dvˇe hlavn´ı komponenty a prvn´ı dva sloupce matice G.

V praxi se objevuje problém pˇri tvorbˇe hlavn´ıch komponent veliˇcin X = (X1 , . . . , Xp )T , které jsou dány v r˚ uzn´ ych jednotkách. Zmˇenou mˇeˇr´ıtka se totiˇz mohou podstatnˇe zmˇenit hodnoty hlavn´ıch komponent. Proto ˇcasto nevycház´ıme z p˚ uvodn´ıch veliˇcin, ale provedeme transformaci znormován´ım sloˇzek náhodného vektoru. Takto tedy pracujeme s náhodn´ ym vektorem Y = (Y1 , . . . , Yp )T , kter´ y vznikne odeˇcten´ım stˇredn´ıch hodnot od p˚ uvodn´ıch veliˇcin a podˇelen´ım pˇr´ısluˇsnou smˇerodatnou odchylkou, Xi − E(Xi ) Yi = p , var(Xi )

i = 1, . . . , p.

(3.15)

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, v praxi se snaˇz´ıme popsat mnohorozmˇernou strukturu náhodného vektoru X pomoc´ı nˇekolika málo komponent Zi . Hlavn´ım kritériem je P y pˇritom procentuáln´ı pod´ıl celkové variability vektoru X, tj. pi=1 var(Xi ) , kter´ se pomoc´ı veliˇcin Zi podaˇr´ı vysvˇetlit. Poˇzadovaná hodnota tohoto pod´ılu pˇritom závis´ı na konkrétn´ı situaci a na dimenzi p.

3.2

Hlavn´ı komponenty ve v´ ybˇ eru

Z praktického hlediska je pro nás ovˇsem d˚ uleˇzitá zejména v´ ybˇerová obdoba metody hlavn´ıch komponent. Necht’ máme dán náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı vektoru X, tj. nezávislé a stejnˇe rozdˇelené náhodné vektory X1 , . . . , Xn , kter´ y uspoˇrádáme do datové matice X o rozmˇerech n × p. Dále aˇz do konce práce tedy budeme ¯ zápisem X rozumˇet tuto matici. Necht’ je dána v´ ybˇerová stˇredn´ı hodnota X a v´ ybˇerová varianˇcn´ı matice S, definované v pˇredchoz´ı kapitole. Jako analogii k (3.3) m˚ uˇzeme v´ ybˇerové hlavn´ı komponenty (resp. jednotlivé v´ ybˇerové komponenty - sloupce matice Zn,p ) vypoˇc´ıtat ze vztah˚ u

15

¯ T )G, ˆ Z = (X − 1 X

¯ T )gˆj Zj = (X − 1 X

pro j = 1, . . . , p.

(3.16)

(3.17)

ˆ = (gˆ1 , . . . , gˆp ) je matice, jej´ıˇz sloupce jsou Pˇritom 1 je vektor n jedniˇcek a G jednotlivé vlastn´ı vektory matice S. Podobnˇe jako v teoretickém pˇr´ıpadˇe (3.11) i zde ˆ T SG ˆ = D, ˆ G

(3.18)

ˆ = Diag(gˆ1 , . . . , gˆp ) je diagonáln´ı matice vlastn´ıch ˇc´ısel (seˇrazen´ kde D ych sestupnˇe) matice S. Poznamenejme pˇritom, ˇze matice Z má stejné rozmˇery jako datová matice X a jej´ı hodnoty Zij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p, m˚ uˇzeme oznaˇcit jako skóry. Realizac´ı náhodného v´ ybˇeru poté obdrˇz´ıme uvedené charakteristiky v jejich známé, ˇc´ıselné podobˇe. Ani pˇri v´ ybˇerové metodˇe hlavn´ıch komponent nezapom´ınáme na ˇskálován´ı jednotliv´ ych statistick´ ych znak˚ u (teoreticky viz vztah (3.15)).

16

4

Konstrukce biplotu V této kapitole se jiˇz budeme vˇenovat hlavn´ı náplni této práce - biplotu.

Biplot se dá zjednoduˇsenˇe vysvˇetlit jako dvoudimenzionáln´ı zobrazen´ı objekt˚ u a promˇenn´ ych v jednom grafu. Slovo biplot pocház´ı z angliˇctiny a ”bi” na zaˇca´tku znaˇc´ı právˇe dvˇe dimenze. Autorem této statistické metody je K. R. Gabriel, kter´ y ji poprvé popsal roku 1971 v ˇclánku [5]. Hlavn´ım zdrojem pro tuto kapitolu bylo opˇet skriptum [4]. Biplot je tedy grafické zobrazen´ı statistického souboru o rozsahu n odpov´ıdaj´ıc´ı p statistick´ ym znak˚ um X1 , . . . , Xp , vyjádˇren´ ym pomoc´ı datové matice X (pˇredpokládejme pˇritom, bez u ´jmy na obecnosti, ˇze pracujeme jiˇz s centrovan´ ymi daty). Biplot má nˇekolik druh˚ u, zde pˇredstav´ıme ten, kter´ y vycház´ı z metody hlavn´ıch komponent. O ostatn´ıch se m˚ uˇzeme doˇc´ıst napˇr´ıklad v knize autor˚ u Gower a Hand [6]. Zobrazen´ı v rovinném grafu je z hlediska interpretace dat v´ yhodné a pˇrehledné. Pˇri tomto zobrazen´ı mus´ıme ale pˇredpokládat, ˇze datová matice X má alespoˇ n dva sloupce. Pro matici s vˇetˇs´ım poˇctem sloupc˚ u pak vyuˇzijeme informaci z prvn´ıch dvou hlavn´ıch komponent.

Nejprve je pro konstrukci biplotu d˚ uleˇzité vyjádˇren´ı matice X pomoc´ı matic U, D a V (viz (1.1) a (1.5)). Dále ze vztah˚ u (1.7) a (1.8), m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze n sloupc˚ u U pˇredstavuje ortonormáln´ı vlastn´ı vektory matice XXT a p sloupc˚ u V jsou ortonormáln´ı vlastn´ı vektory matice XT X. Mˇejme tedy matici X o rozmˇerech n × p s hodnost´ı k < min(n, p). Princip konstrukce biplotu je zaloˇzen na nahrazen´ı matice X pomoc´ı jej´ı aproximace X(2) s hodnost´ı rovnou dvˇema, která se jev´ı optimáln´ı z hlediska minimalizace souˇctu ˇctverc˚ u odchylek jej´ıch prvk˚ u od pˇr´ısluˇsn´ ych prvk˚ u matice X. Ve vyjádˇren´ı matice X(2) pˇritom pouˇzijeme pouze prvn´ı dva sloupce matice U a prvn´ı dva sloupce matice V ze singulárn´ıho rozkladu. Maticovˇe lze tuto skuteˇcnost zapsat jako (upozorˇ nujeme pˇritom na pˇredefinován´ı matic U, D a V) 17

T

X ≈ X(2) = UDV = (u1 , u2 )

d11 0 0 d22

v1T v2T

.

(4.1)

Pˇritom je zˇrejmé, ˇze X(2) je opˇet rozmˇer˚ u n × p. M˚ uˇzeme ji rozdˇelit takto: X(2) = GHT ,

(4.2)

1−c d11 0 G = (u1 , u2 ) , 0 d22

(4.3)

c d11 0 H = (v1 , v2 ) 0 d22

(4.4)

kde

pro 0 ≤ c ≤ 1. Pˇripomeneme si tzv. cenné hodnoty X zm´ınˇené v kapitole 1.2. Po volbˇe ˇc´ısla c tedy máme rozdˇeleny prvn´ı dvˇe cenné hodnoty mezi matice G a H a m˚ uˇzeme takto z´ıskat jiˇz zm´ınˇené r˚ uzné druhy biplot˚ u. Biplot je potom tvoˇren právˇe ˇra´dky matic G a H o rozmˇerech n × 2 a p × 2. Pro c = 1 potom matice G a H vycház´ı  g1T   √ G =  ...  = n − 1(u1 , u2 ), gnT 

(4.5)



 hT1 1 d11 0  ..  (v1 , v2 ) . H= . = √ 0 d22 n−1 T hp Pro volbu c = 1 tedy matice G a H (aˇz na konstantu

√

(4.6)

n − 1) pˇredstavuj´ı skóry

a zátˇeˇze prvn´ıch dvou hlavn´ıch komponent, jak bylo zm´ınˇeno v kapitole 1.2.

Jak si uvedeme jeˇstˇe pozdˇeji pˇri samotné grafické intepretaci biplotu, ˇra´dky matice G v grafu pˇredstavuj´ı body a ˇra´dky matice H vrcholy ˇsipek, které vycházej´ı 18

z uspoˇrádané dvojice pr˚ umˇer˚ u sloupc˚ u matice G. V praxi ovˇsem ˇcasto pracujeme s centrovan´ ymi daty, to znamená, ˇze od hodnot sloupc˚ u datové matice X odeˇc´ıtáme aritmetické pr˚ umˇery tˇechto sloupc˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe je stˇred, ze kterého vycházej´ı ˇsipky, um´ıstˇen v bodˇe [0, 0].

Nyn´ı si ukáˇzeme nˇekteré vlastnosti biplotu (za pˇredpokladu práce s centrovan´ ymi daty). Pˇri souˇcinu ˇra´dk˚ u matic G a H nám vycház´ı

gi.T hj. =

√

n − 1uTi. √

1 T (vj.T D) = uTi. Dvj. ≈ xij . n−1

(4.7)

Druhé mocniny délek vektor˚ u hi aproximuj´ı rozptyl statistick´ ych znak˚ u Xi , protoˇze

1.

HHT = √ 3.

=

2. 1 1 1 VD √ DVT = VD2 VT n−1 n−1 n−1

1 1 1 4. 5. (VDUT )(UDVT ) = XT(2) X(2) ≈ XT X = S n−1 n−1 n−1

(4.8)

a diagonáln´ı prvky matice HHT jsou rovny hTi hi = khi k2 . Nyn´ı si jednotlivé kroky podrobnˇe zd˚ uvodn´ıme: 1. Je to pouze jin´ y zápis vzorce (4.6), vyuˇz´ıváme zde vlastnosti transpozice souˇcinu matic. 2. Vyuˇz´ıváme toho, ˇze D je diagonáln´ı matice nezáporn´ ych singulárn´ıch hodnot. M˚ uˇzeme tedy psát DDT = D2 . 3. Vycház´ı z rovnosti (1.8) a z toho, ˇze UT U = I. 4. Vyuˇz´ıváme rovnost´ı (1.1) a (4.1) a dále vlastnost´ı transpozice násoben´ ych matic. ¯ 5. Vyuˇz´ıváme vztah pro v´ ypoˇcet v´ ybˇerové varianˇcn´ı matice. Zde se vyskytuje X (v´ ybˇerová stˇredn´ı hodnota ˇrádk˚ u matice X), která je ale rovna nulovému vektoru, P protoˇze data jsou centrovaná. Dále vyuˇz´ıváme vztahu ni=1 Xi XTi = XXT . 19

Kosinus u ´hl˚ u hi a hj , i 6= j, aproximuje korelaˇcn´ı koeficient mezi Xi , Xj :

cos(hi , hj ) =

hTi hj ≈ rij . khi kkhj k

(4.9)

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, biplot nám slouˇz´ı ke zjednoduˇsen´ı grafického zobrazen´ı v´ıce neˇz dvou statistick´ ych znak˚ u. Pˇritom je takto metoda hlavn´ıch komponent vyuˇz´ıvána v tom smyslu, ˇze biplot je vlastnˇe zobrazen´ı skór˚ u a zátˇeˇz´ı prvn´ıch dvou hlavn´ıch komponent datové matice X pˇri volbˇe c = 1 (ve vztaz´ıch (4.3) a (4.4)). Rozd´ıl mezi metodou hlavn´ıch komponent a biplotem je v normován´ı. Kdyˇz si graficky zobraz´ıme matice skór˚ u a zátˇeˇz´ı z metody hlavn´ıch komponent, nebudou normované. Toto normován´ı nám naopak zajist´ı biplot, pˇritom normovac´ımi konstantami jsou singulárn´ı hodnoty. Matice G, H zm´ınˇené v této kapitole takto vlastnˇe pˇredstavuj´ı v´ ybˇerové skóry a zátˇeˇze (v tomto poˇrad´ı) prvn´ıch dvou hlavn´ıch komponent. Jestliˇze v grafu reprezentuj´ı body jednotlivé objekty (pomoc´ı skór˚ u), ˇsipky reprezentuj´ı jednotlivé statistické znaky. Délky jednotliv´ ych ˇsipek jsou pˇribliˇznˇe rovny rozptyl˚ um pˇr´ısluˇsn´ ych statistick´ ych znak˚ u, viz (4.8). Obecnˇe ˇreˇceno, ˇc´ım je ˇsipka delˇs´ı (znak má vˇetˇs´ı rozptyl), t´ım je vliv pˇr´ısluˇsného znaku na uspoˇrádán´ı dat vˇetˇs´ı. Kosinus u ´hlu mezi dvˇema ˇsipkami zobrazuje hodnotu korelaˇcn´ıho koeficientu dan´ ych znak˚ u. Jednoduˇse ˇreˇceno, ˇc´ım je u ´hel mezi ˇsipkami menˇs´ı, t´ım je lineárn´ı vztah odpov´ıdaj´ıc´ıch si statistick´ ych znak˚ u tˇesnˇejˇs´ı. Dalˇs´ı aspekty interpretace biplotu si ukáˇzeme jiˇz pˇr´ımo na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech v následuj´ıc´ı kapitole. Na konec celého procesu je dobré zjistit procentuáln´ı pod´ıl celkové variability souboru (souˇcet rozptyl˚ u jednotliv´ ych statistick´ ych znak˚ u) vysvˇetlené pomoc´ı prvn´ıch dvou hlavn´ıch komponent Z1 , Z2 , tedy pˇresnost aproximace p˚ uvodn´ı mnohorozmˇerné struktury dat (nˇekdy se m´ısto rozptylu uvaˇzuje smˇerodatná odchylka). Za dobr´ y v´ ysledek v tomto ohledu budeme nejˇcastˇeji povaˇzovat v´ıce 20

jak 75 %. Toto ˇc´ıslo je ale velmi subjektivn´ı a je dáno zkuˇsenostmi a rozmˇerem p˚ uvodn´ıch dat. Budeme se ˇr´ıdit pravidlem, ˇze ˇc´ım v´ıce statistick´ ych znak˚ u (sloˇzek) bude obsahovat p˚ uvodn´ı soubor, t´ım menˇs´ı procentuáln´ı pod´ıl vysvˇetlené variability budeme povaˇzovat za vyhovuj´ıc´ı.

21

5

Pˇ r´ıklady Na následuj´ıc´ıch pˇr´ıkladech si ukáˇzeme vyuˇzit´ı biplotu v praxi. Prvn´ı pˇr´ıklad

je pˇrevzat´ y ze skripta [4], v dalˇs´ıch jsou vyuˇz´ıvány datové soubory z interneˇ eho statistického u tov´ ych stránek Cesk´ ´ˇradu a knihovny datov´ ych tabulek, která je um´ıstˇena na internetov´ ych stránkách http://lib.stat.cmu.edu/DASL (konkrétnˇe [17], [18]). K v´ ypoˇct˚ um a grafickému vyjádˇren´ı je vyuˇz´ıván statistick´ y software R (www.r-project.org)[12].

5.1

Studenti

Tˇr´ıda 88 student˚ u prvn´ıho roˇcn´ıku vysoké ˇskoly technického smˇeru je testována z pˇeti pˇredmˇet˚ u. Kaˇzd´ y student m˚ uˇze z´ıskat v kaˇzdém z test˚ u maximálnˇe 100 bod˚ u. V´ ysledky jsou zaznamenány a seˇrazeny v tabulce (Pˇr´ıloha A). Zkratky jednotliv´ ych pˇredmˇet˚ u jsou tyto: ME = mechanika, AG = analytická geometrie, LA = lineárn´ı algebra, AN = matematická anal´ yza, ES = elementárn´ı statistika. ´ Ukolem je zjistit, jak´ y je vzájemn´ y vztah mezi jednotliv´ ymi studenty a také mezi jednotliv´ ymi pˇredmˇety. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno na zaˇca´tku, k v´ ypoˇct˚ um a grafick´ ym zobrazen´ım je pouˇz´ıván statistick´ y software R. Nejdˇr´ıve nastav´ıme pˇr´ısluˇsnou zdrojovou knihovnu v daném poˇc´ıtaˇci. K tomu pouˇzijeme pˇr´ıkaz setwd(). Zdrojová data jsou uloˇzena v tabulce v textovém souboru Stud.txt. Poté zadáme data do softwaru jako matici o 88 ˇra´dc´ıch (studenti) a 5 sloupc´ıch (pˇredmˇety): >X=matrix(scan("Stud.txt"),ncol=5,byrow=T)

Dále oznaˇc´ıme jednotlivé sloupce jmény: >colnames(X)=c("ME","AG","LA","AN","ES")

Následuje pˇr´ıkaz summary(princomp(X)), kter´ y ukazuje, kolik procent celkové variability statistického souboru (po vynásoben´ı 100) je vysvˇetleno pomoc´ı hlavn´ıch komponent, novˇe vytvoˇren´ ych statistick´ ych znak˚ u. V naˇsich pˇr´ıkladech se d´ıváme

22

na prvn´ı dva sloupce, které odpov´ıdaj´ı prvn´ım dvˇema (nejv´ yznamnˇejˇs´ım) hlavn´ım komponentám. V tomto pˇr´ıpadˇe máme tabulku:

Standard deviation Proportion of Variance Cumulative Proportion

Comp.1 26.061142 0.619115 0.619115

Comp.2 14.1355705 0.1821424 0.8012575

Comp.3 Comp.4 Comp.5 10.12760414 9.14706148 5.63807655 0.09349705 0.07626893 0.02897653 0.89475453 0.97102347 1.00000000

Prvn´ı ˇra´dek tabulky nám ukazuje smˇerodatné odchylky jednotliv´ ych znak˚ u Z1 , . . . , Z5 . Druh´ y ˇrádek vyjadˇruje, ˇze znak Z1 (prvn´ı hlavn´ı komponenta) vysvˇetluje 62 % a znak Z2 (druhá hlavn´ı komponenta) dalˇs´ıch 18 % celkové variability, coˇz dá v souˇctu 80 %, a tedy velmi dobr´ y v´ ysledek. Tento souˇcet je vidˇet v poli tˇret´ıho ˇra´dku, sloupce s nadpisem Comp.2 (ˇc´ıslo 0.8012575). Biplot tedy bude velmi dobˇre odráˇzet skuteˇcnou strukturu mnohorozmˇerného datového souboru. Posledn´ı pˇr´ıkaz, kter´ y byl pouˇzit, >biplot(princomp(X),main="Biplot-Studenti"), vykresl´ı biplot pro naˇse data:

Biplot−Studenti −50

0

50

100

0.3

−100

66

50 36 45 37 40 62 67 47 43 AG 44 58 42 26 2939 46 1 8 2527 32 55 60 68 74 3 59 80 83 18 65 5 79 24 3849 63 11 17 84 21 9 51 56 82 LA 70 35 4 31 13 22 69 75 2 86 7 57 64 6 AN 85 48 41 7778 33 72 52 30 20 34 ES 15

0 88

−50

87

−100

0.1 0.0 −0.1 −0.2

16

19 12

81 23 28

−0.3

Comp.2

10

71 73 50

0.2

61 54 53

14

100

76

ME

−0.3

−0.2

−0.1

0.0 Comp.1

23

0.1

0.2

0.3

Nyn´ı shrneme, jak lze biplot interpretovat. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze hodnoty znaku Z1 (Comp.1 v pˇredchoz´ım grafu) zhruba reprezentuj´ı obecnou u ´spˇeˇsnost student˚ u (pˇri orientaci zleva doprava, tj. od nejlepˇs´ıch k nejhorˇs´ım, lze porovnat s tabulkou v Pˇr´ıloze A). Kdyˇz se pod´ıváme na smˇery ˇsipek, vid´ıme, ˇze menˇs´ı u ´hly maj´ı mezi sebou AG a ME na jedné stranˇe a AN, LA, ES na stranˇe druhé. Tady se potvrzuje pˇredbˇeˇzn´ y pˇredpoklad, ˇze studenti, kteˇr´ı maj´ı odpov´ıdaj´ıc´ı pˇrevládaj´ıc´ı typ myˇslen´ı (prostorové, analytické) budou dosahovat lepˇs´ıch v´ ysledk˚ u v odpov´ıdaj´ıc´ıch pˇredmˇetech (tj. ME, AG, resp. LA, AN, ES). Pˇritom smˇery tˇechto ˇsipek nám téˇz pomáhaj´ı urˇcit interpretaci pro znak Z2 (Comp.2), kter´ y takto pˇredstavuje pˇrechod od prostorového myˇslen´ı k analytickému (jeˇz odpov´ıdá dosaˇzen´ ym v´ ysledk˚ um v jednotliv´ ych testech v pˇr´ısluˇsn´ ych pˇredmˇetech). Laicky tedy m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze studenti, kteˇr´ı se nacházej´ı v doln´ı ˇca´sti grafu jsou na tom lépe v pˇredmˇetech LA, AN, ES, zat´ımco studenti nahoˇre jsou zbˇehlejˇs´ı ve zbyl´ ych pˇredmˇetech. Konkrétnˇe se m˚ uˇzeme pod´ıvat na v´ ysledky studenta ˇc´ıslo 28, jehoˇz v´ ysledky jsou postupnˇe 18, 44, 50, 57, 81. Tedy je opravdu lepˇs´ı ve skupinˇe posledn´ıch tˇr´ı pˇredmˇet˚ u. Naopak student ˇc´ıslo 66 (v´ ysledky 59, 53, 37, 22, 19) má lepˇs´ı skóre v prvn´ıch dvou pˇredmˇetech. Nakonec poznamenejme, ˇze délky jednotliv´ ych ˇsipek ukazuj´ı, jaké odpov´ıdaj´ıc´ı znaky (zde ME a ES) maj´ı na uspoˇrádán´ı pozorován´ı v grafu nejvˇetˇs´ı vliv.

5.2

Zemˇ edˇ elstv´ı

Na dalˇs´ım pˇr´ıkladu si názornˇe ukáˇzeme, jak se v biplotu projevuj´ı promˇenné (statistické znaky) s v´ yraznˇe vyˇsˇs´ımi hodnotami (a rozptylem) neˇz maj´ı ostatn´ı ˇ eho promˇenné. V pˇr´ıkladu jsou pouˇzita reálná data z internetov´ ych stránek Cesk´ statistického u ´ˇradu [16]. Pˇr´ısluˇsná tabulka má název Hektarové v´ ynosy skliznˇe hlavn´ıch zemˇedˇelsk´ ych plodin podle kraj˚ u v roce 2007 (Pˇr´ıloha B). Promˇenn´ ymi jsou zde pˇsenice, jeˇcmen, brambory, ˇrepka, sluneˇcnice a p´ıcniny. Tou, jej´ıˇz hodnoty ˇ e pˇrevyˇsuj´ı ostatn´ı, jsou brambory. Jednotlivá pozorován´ı pˇredstavuj´ı kraje Cesk´ republiky (je jich tedy 14) a v grafu jsou oznaˇceny zkratkami státn´ıch poznávac´ıch znaˇcek automobil˚ u. Jednotlivé zkratky jsou uvedeny v jiˇz zm´ınˇené tabulce. 24

5.2.1

Zemˇ edˇ elstv´ı s bramborami

Prvn´ı biplot byl vytvoˇren pro vˇsechny promˇenné. Pˇr´ıkazy v softwaru jsou analogické jako u pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu, proto staˇc´ı zm´ınit pouze nˇekteré. Zde je vidˇet, jak jsou pojmenovány jednotlivé promˇenné: >colnames(X)=c("Ps","Je","Br","Re","Sl","Pi") ˇ e republiky: Následuje pojmenován´ı jednotliv´ ych pozorován´ı - kraj˚ u Cesk´ >rownames(X)=c("A","S","C","P","K","U","L","H","E","J","B","M","Z","T")

Dále je d˚ uleˇzitá tabulka charakteristik jednotliv´ ych hlavn´ıch komponent: Standard deviation Proportion of Variance Cumulative Proportion

Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 1.907905 0.33129175 0.191553760 0.105538424 0.067728392 1.443441e-02 0.957296 0.02886385 0.009649712 0.002929235 0.001206353 5.479378e-05 0.957296 0.98615991 0.995809618 0.998738853 0.999945206 1.000000

Vid´ıme tedy, ˇze znak Z1 vysvˇetluje skoro 96 % a znak Z2 pouze 2,9 % celkové variability, coˇz dá v souˇctu témˇeˇr 99 %. V´ ysledná vysvˇetlená variabilita se m˚ uˇze zdát vynikaj´ıc´ı. Ovˇsem, kdyˇz se pod´ıváme, jak´ y je nepomˇer mezi jednotliv´ ymi znaky, uˇz se tento v´ ysledek tak dobr´ y nejev´ı. Toto je také patrné z biplotu.

Biplot−Země dě lství s bramborami −10

−5

0

5

B 0.4

K T

0.2

5

L

U

H S

P

C −5

−0.2

Z

0

0.0

A

Br E

−0.4

M

−10

−0.6

Comp.2

J Sl Re PsJe Pi

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

Comp.1

25

0.2

0.4

Z grafu je na prvn´ı pohled patrné, ˇze brambory ”ovládly” ostatn´ı promˇenné. Jejich vliv je nejvˇetˇs´ı. Je to dáno t´ım, ˇze biplot se snaˇz´ı vysvˇetlit co nejv´ıce rozptylu datového souboru, proto vzal v u ´vahu pˇredevˇs´ım promˇennou brambory d´ıky nejvˇetˇs´ım hodnotám má téˇz zdaleka nejvˇetˇs´ı rozptyl. Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u zleva doprava nám ukazuje u ´spˇeˇsnost jednotliv´ ych kraj˚ u, co se t´ yˇce produkce brambor. Poˇrad´ı je zde ale opaˇcné neˇz u pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu - od nejhorˇs´ıho po nejlepˇs´ı, coˇz souvis´ı s orientac´ı jednotliv´ ych hlavn´ıch komponent. Ostatn´ı plodiny zde ne´ maj´ı vliv. Uhly mezi ˇsipkami, a tedy vztahy jednotliv´ ych promˇenn´ ych, nejsou moc zˇretelné, takˇze je bohuˇzel nem˚ uˇzeme nijak interpretovat. 5.2.2

Zemˇ edˇ elstv´ı bez brambor

V druhém pˇr´ıpadˇe je promˇenná brambory vynechána, t´ım pádem jsme z´ıskali pouze 5 promˇenn´ ych a vliv promˇenné brambory je eliminován. Pod´ıl celkové variability je v tomto pˇr´ıpadˇe menˇs´ı, ale poˇra´d dostaˇcuj´ıc´ı:


Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 0.3664893 0.2178510 0.1532782 0.06893191 0.017657245 0.6385857 0.2256398 0.1117011 0.02259108 0.001482321 0.6385857 0.8642255 0.9759266 0.99851768 1.000000000

Znak Z1 vysvˇetluje 64 % a znak Z2 22 % celkové variability, jejich souˇcet je tedy 86 % . Biplot zˇrejmˇe vyjadˇruje kovarianˇcn´ı strukturu zbyl´ ych znak˚ u lépe neˇz pˇredchoz´ı pˇr´ıpad.

Graf, kter´ y je uveden na následuj´ıc´ı stranˇe, je evidentnˇe zˇretelnˇejˇs´ı a ˇcitelnˇejˇs´ı. Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u zleva doprava nám opˇet ukazuje u ´spˇeˇsnost jednotliv´ ych kraj˚ u. Tentokrát v celkové produkci (od nejlepˇs´ıho po nejhorˇs´ı). Jde nám o hektarové v´ ynosy, a tedy o kvalitu p˚ udy. Zde je také krásnˇe vidˇet geografické rozloˇzen´ı jednotliv´ ych kraj˚ u. Jako nejhorˇs´ı nám totiˇz vyˇsel kraj Karlovarsk´ y, zato nejlepˇs´ı v´ ysledek má Olomouck´ y kraj - u ´rodná Haná. Nejmenˇs´ı u ´hel je mezi pˇsenic´ı a jeˇcmenem, tedy jejich vztah je nejsilnˇejˇs´ı. Toto je opˇet logické vzhledem k tomu, ˇze jsou obˇe plodiny obilovinami. 26

Biplot−Země dě lství bez brambor −0.5

0.0

0.8

−1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

Pi S M

E

Ps A

L 0.0

Sl Re P

T Je

K

−1.0

−0.4

−0.2

J

C

−0.5

0.2

U Z

0.0

Comp.2

1.0

0.4

1.5

0.6

2.0

B

H −0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Comp.1

Nejvˇetˇs´ı vliv (nejdelˇs´ı ˇsipku) maj´ı p´ıcniny. Tato skuteˇcnost je zˇrejmá z tabulky - p´ıcniny maj´ı druhé nejvyˇsˇs´ı hodnoty po bramborách. Posledn´ı fakt, kter´ y je zde zˇreteln´ y, je odlehlost pozorován´ı Jihomoravsk´ y kraj. Vˇsimnˇeme si pˇritom, proˇc je toto odlehlé pozorován´ı právˇe nahoˇre - tedy nejbl´ıˇze ze vˇsech ˇsipek k ˇsipce p´ıcnin. Hektarov´ y v´ ynos této plodiny pˇrevaˇzuje v daném kraji nad ostatn´ımi. I tento biplot je ovˇsem znaˇcnˇe ovlivnˇen r˚ uznou variabilitou jednotliv´ ych statistick´ ych znak˚ u. Také jsme v tomto pˇr´ıpadˇe pˇriˇsli o informaci z jednoho statistického znaku (brambor), coˇz biplotu dále ub´ırá na relevantnosti. 5.2.3

Zemˇ edˇ elstv´ı ˇ sk´ alovan´ e

Postup, kter´ y byl pouˇzit v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech, se ale obecnˇe nezdá pˇr´ıliˇs vhodn´ y. Pokud chceme zjistit vztahy mezi jednotliv´ ymi promˇenn´ ymi bez toho, aby byly ovlivˇ novány jejich vysok´ ymi (nebo naopak n´ızk´ ymi) hodnotami a s t´ım souvisej´ıc´ımi hodnotami rozptyl˚ u znak˚ u, pouˇzijeme ˇskálován´ı. Pˇreˇskálujeme tedy vˇsechny hodnoty jednotliv´ ych znak˚ u tak, aby jejich pr˚ umˇer byl nula a rozptyl byl roven jedné. Takto se sice zmˇen´ı hodnoty promˇenn´ ych, ale základn´ı struktura datového souboru z˚ ustane zachována. 27

Vezmeme tedy p˚ uvodn´ı matici hodnot: >X=matrix(scan("Zems.txt"),ncol=6,byrow=T)

Pojmenujeme jej´ı ˇrádky a sloupce: >colnames(X)=c("Ps","Je","Br","Re","Sl","Pi") >rownames(X)=c("A","S","C","P","K","U","L","H","E","J","B","M","Z","T")

A nakonec data pˇreˇskálujeme: >M=scale(X, center = TRUE, scale = TRUE)

Pˇreˇskálované hodnoty jsou v tabulce v Pˇr´ıloze C. Nyn´ı s novou datovou matic´ı M pracujeme stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech s matic´ı X. Tabulka charakteristik jednotliv´ ych hlavn´ıch komponent: Standard deviation Proportion of Variance Cumulative Proportion

Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 1.6738023 1.2312319 0.8448974 0.59072591 0.39008319 0.197253384 0.5028538 0.2720904 0.1281272 0.06263333 0.02731165 0.006983648 0.5028538 0.7749442 0.9030714 0.96570470 0.99301635 1.000000000

Znak Z1 vysvˇetluje 50 % a znak Z2 27 % celkové variability, tedy souˇcet je 77 % . Tato hodnota je vyhovuj´ıc´ı. Biplot−Země dě lství škálované −2

0

2

4

6 6 2

0.2

T

0

L

Pi A M Re

−0.2

U Z

J S

E

K

C

Ps

P

−2

0.0

Sl

Br

H

−0.4

Comp.2

0.4

4

0.6

0.8

B

Je −0.4

−0.2

0.0

0.2 Comp.1

28

0.4

0.6

0.8

Tento biplot je zˇrejmˇe nejv´ ystiˇznˇejˇs´ı ze vˇsech tˇr´ı, které máme k dispozici. Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u zleva doprava nám ukazuje u ´spˇeˇsnost jednotliv´ ych kraj˚ u v celkové produkci (od nejlepˇs´ıho po nejhorˇs´ı). Uspoˇra´dán´ı se v nˇekter´ ych aspektech liˇs´ı od grafu Zemˇedˇelstv´ı bez brambor, vyjma napˇr´ıklad postaven´ı kraj˚ u Olo´ mouckého a Karlovarského. Uhel mezi pˇsenic´ı a jeˇcmenem se znaˇcnˇe zvˇetˇsil (jejich vzájemn´ y vliv se tedy zmenˇsil), zato mezi p´ıcninami a pˇsenic´ı je menˇs´ı (vztah je silnˇejˇs´ı). Tentokrát ˇsipky pˇsenice a jeˇcmene nejdou stejn´ ym smˇerem. To znaˇ mená, ˇze produkce tˇechto dvou plodin nen´ı tolik korelovaná. Sipka odpov´ıdaj´ıc´ı promˇenné brambory smˇeˇruje na opaˇcnou stanu neˇz vˇetˇsina ostatn´ıch - jej´ı produkce je negativnˇe korelovaná. Jediná plodina, se kterou má alespoˇ n nˇejakou pozitivn´ı korelaci, je jeˇcmen. Nejdelˇs´ı ˇsipku, a t´ım pádem i nejvˇetˇs´ı vliv, maj´ı brambory a jeˇcmen souˇcasnˇe, o moc menˇs´ı nen´ı ani vliv ˇrepky a pˇsenice. Ovˇsem v tomto grafu maj´ı vˇetˇs´ı v´ yznam pro interpretaci sp´ıˇse smˇery ˇsipek neˇz jejich délky. M˚ uˇzeme pozorovat vztah mezi ˇrepkou a sluneˇcnic´ı a také se zde opakuje odlehlé pozorován´ı Jihomoravsk´ y kraj. Jeˇstˇe bychom se mˇeli zamˇeˇrit na postaven´ı Moravskoslezského kraje. Ten stoj´ı zhruba uprostˇred grafu nad spojnic´ı vˇsech ˇsipek. Toto postaven´ı nám ˇr´ıká, ˇze dan´ y kraj je v produkci jednotliv´ ych plodin zhruba uprostˇred. Kdyˇz se pod´ıváme do tabulky v Pˇr´ıloze C, je to opravdu tak. V produkci sluneˇcnice je sice nejlepˇs´ı (je totiˇz v grafu nejbl´ıˇze jej´ı ˇsipce), tuto v´ yhodu ale naopak sraz´ı pˇredposledn´ı m´ısto v p´ıcninách.

5.3

Inteligence a tˇ elesn´ e proporce

Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad byl vybrán jako ukázka, ˇze u biplotu je tˇreba b´ yt pˇri interpretaci v´ ysledk˚ u obˇcas velmi obezˇretn´ y. Data jsou pˇrevzata z knihovny tabulek dat, kterou nalezneme na internetu [17]. Jist´ y doktor Willerman dal v roce 1991 dohromady skupinu 40 student˚ u psychologie z Jihozápadn´ı univerzity ve Velké Británii. Studenti vyplnili ˇctyˇri testy (slovn´ı zásoba, podobnosti, Block Design a pˇredstavivost obrázk˚ u) z Wechslerova testu inteligence pro dospˇelé. Z tˇechto test˚ u urˇcil doktor jednotlivé inteligence respondent˚ u - celková (FSIQ), verbáln´ı (VIQ) a pˇredstavivostn´ı (PIQ). Dále je 29

uvedena informace o váze (Weight - v librách) a v´ yˇsce (Height - v palc´ıch) u testovan´ ych. Protoˇze u dvou osob chybˇely u ´daje, pracujeme pouze s 38 pozorován´ımi. Studenti jsou oznaˇceni podle pohlav´ı a oˇc´ıslováni pro jednoduchou orientaci. Tabulka u ´daj˚ u je uvedena v Pˇr´ıloze D. Kdyˇz se pod´ıváme na data, je nám jasné, ˇze nen´ı dobré poˇc´ıtat v p˚ uvodn´ıch jednotkách. Proto tabulku nejprve pˇreˇskálujeme. Pˇr´ıkazy v softwaru jsou obdobné jako u pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u, a proto je zbyteˇcné je zde znovu uvádˇet. Uvedeme tedy pouze tabulku charakteristik jednotliv´ ych hlavn´ıch komponent:



Znak Z1 vysvˇetluje necel´ ych 52 % a znak Z2 skoro 33 % celkové variability, dohromady 84 % . Tato hodnota je opˇet vyhovuj´ıc´ı.

Biplot−IQ škálované −2

0

2

4

0.4

−4

6

0.3

6

F15

F12 F17 F06 F01

F04 F10

F03 M17 M15

M06

M11

M07

Height M14 Weight M12 −0.2

−0.1

M08 −2

M16 M05 F07M02 M01M04 M13

−0.3

0

F05

F19 F16

0.0 Comp.1

30

0.1

M18

−4

FSIQ VIQ PIQ

−0.2

−0.1

0.0

F02 M10

−0.3

Comp.2

0.1

F20 M03 F18 F11 F09 F08 F14

2

0.2

4

F13

M09

0.2

0.3

0.4

Z grafu je na prvn´ı pohled patrné, ˇze jednotlivé inteligence nesouvis´ı s v´ yˇskou a váhou jedince, protoˇze hodnota u ´hlu mezi tˇemito skupinkami (inteligence a tˇelesné proporce) se pohybuje kolem 90 stupˇ n˚ u. Dále vid´ıme, ˇze jednotlivé druhy inteligence se sv´ ym v´ yznamem neliˇs´ı, je tedy zˇrejmé, ˇze tyto tˇri promˇenné jsou provázané. Téˇz v´ yˇska a váha maj´ı na uspoˇra´dán´ı pozorován´ı v biplotu zhruba stejn´ y vliv. Uspoˇrádán´ı prvk˚ u zprava doleva nám ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u ukazuje celkovou u ´spˇeˇsnost. V tomto pˇr´ıkladu ale porovnáváme dvˇe nekorelované skupiny promˇenn´ ych odliˇsného typu. Tedy celkovou ”´ uspˇeˇsnost” zde nelze jednoznaˇcnˇe urˇcit a pˇredevˇs´ım v interpretaci v´ ysledk˚ u mus´ıme b´ yt velmi opatrn´ı. Je potˇreba pozornˇe sledovat smˇery jednotliv´ ych ˇsipek. Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u zleva doprava nám seˇrazuje testované jedince podle hodnoty celkové inteligence. Tedy ˇc´ım v´ıce vlevo se dan´ y responent nacház´ı, t´ım vyˇsˇs´ı má IQ. Naopak uspoˇra´dán´ı prvk˚ u shora dol˚ u nám ukazuje rozloˇzen´ı v´ yˇsky a váhy. Nahoˇre jsou huben´ı a n´ızc´ı lidé, dole jsou tˇeˇzˇs´ı a vyˇsˇs´ı. Obecnˇe lze ˇr´ıci, ˇze v horn´ı polovinˇe grafu je vˇetˇsina ˇzen, muˇzi jsou naopak dole.

5.4

Cigarety a rakovina v USA

Posledn´ı pˇr´ıklad je opˇet pˇrevzat´ y z knihovny datov´ ych tabulek z internetu [18], dále zde vyuˇz´ıváme informace z internetov´ ych stránek [13], [15]. Tento pˇr´ıklad pouˇzijeme k posouzen´ı, zda m˚ uˇzeme nˇejaké promˇenné vynechat bez v´ yraznˇejˇs´ıho ovlivnˇen´ı celkov´ ych v´ ysledk˚ u. Data (Pˇr´ıloha E) znázorˇ nuj´ı poˇcet cigaret prodan´ ych ve vybran´ ych 43 státech USA vˇcetnˇe the District of Columbia v roce 1960, pˇrepoˇc´ıtáno vˇzdy na jednoho obyvatele daného státu. Dále je zde uvedena u ´mrtnost na 100 obyvatel na r˚ uzné formy rakoviny. Zkratky jednotliv´ ych promˇenn´ ych jsou tyto: CIG = Poˇcet vy´ kouˇren´ ych cigaret na 1 obyvatele, BLAD = Umrtnost na 100 obyvatel na rako´ ´ vinu moˇcového mˇech´ yˇre, LUNG = Umrtnost na rakovinu plic, KID = Umrtnost ´ na rakovinu ledvin, LEUK = Umrtnost na leukémii. Pˇr´ıkazy v softwaru se opˇet nijak neliˇs´ı od ostatn´ıch. Vzhledem k r˚ uzn´ ym velikostem hodnot promˇenn´ ych pouˇzijeme ˇskálován´ı. Tabulka charakteristik jed31

notliv´ ych hlavn´ıch komponent vypadá následovnˇe:



Znak Z1 vysvˇetluje 53 % a znak Z2 23 % celkové variability. Souˇcet 76 % tedy opˇet vyhovuje.

Biplot−Cigarety škálované −4

−2

0

2

4

6 6

0.4

MN LEUK

NB IO WV

ND

TX

MT IN

ARID

−0.1

MO AZWI TE

OH MI MA CA VT

LA

BLAD DC CIG NE

RI

LUNG

WY FL −4

SC

−0.3

−0.2

NJ

MD DE ME

NMKY MS AL

CT NY

IL

0

0.1 0.0

Comp.2

WA

OK PE UT

2

KID

KS

−2

0.2

4

0.3

SD

AK −0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Comp.1

Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u zleva doprava je dáno poˇctem cigaret a v´ yskytem rakoviny (od nejmenˇs´ıho v´ yskytu po nejvˇetˇs´ı), jako nejlepˇs´ı nám tedy z tohoto pohledu vycház´ı stát Utah. To je zˇrejmé i z tabulky - hodnota poˇctu prodan´ ych cigaret je nejmenˇs´ı. Uspoˇrádán´ı zdola nahoru ukazuje zasaˇzen´ı dané oblasti leukémi´ı. Dole jsou státy s nejmenˇs´ım v´ yskytem (Alaska), naopak nahoˇre jsou státy s vysok´ ym poˇctem pˇr´ıpad˚ u této nemoci (Minnesota). Je to zˇrejmé i z postaven´ı ˇsipky ´ leukémie - ta ukazuje opravdu zdola nahoru. Uhel mezi leukémi´ı a cigaretami 32

je 90 stupˇ n˚ u, tyto promˇenné jsou tedy nekorelované. Tento závˇer je podle mého ˇ názoru logick´ y, protoˇze kouˇren´ı nemá vliv na vznik leukémie. Sipka leukémie jde obecnˇe opaˇcn´ ym smˇerem neˇz ˇsipky ostatn´ı. M˚ uˇzeme to interpretovat tak, ˇze ´ leukémie je zcela specifick´ y druh rakoviny. Uhel mezi cigaretami a rakovinou plic je stejn´ y jako u ´hel mezi cigaretami a rakovinou moˇcového mˇech´ yˇre. Prvn´ı vztah nen´ı nijak zvláˇstn´ı, protoˇze pl´ıce jsou hlavn´ım orgánem postiˇzen´ ym u kuˇra´k˚ u. Druh´ y vztah m˚ uˇze b´ yt vˇsak pro nˇekoho na prvn´ı pohled pˇrekvapuj´ıc´ı, ovˇsem podle posledn´ıch studi´ı je kouˇren´ı v´ yznamn´ ym rizikov´ ym faktorem pro vznik rakoviny moˇcového mˇech´ yˇre. Nakonec m˚ uˇzeme naj´ıt na tomto grafu jeˇstˇe jednu zaj´ımavost. Uspoˇra´dán´ı prvk˚ u ˇca´steˇcnˇe odpov´ıdá uspoˇra´dán´ı stát˚ u na mapˇe. Napˇr´ıklad stát Florida je jak v grafu, tak na mapˇe, na okraji. Jeˇstˇe lépe je to vidˇet u Aljaˇsky (Alasky), která je v grafu mimo ostatn´ı státy - vpravo dole. Z geografického hlediska stoj´ı také mimo ostatn´ı státy USA, nacház´ı se totiˇz na sever od u ´zem´ı Kanady. Dále státy Minnesota, South Dakota a North Dakota jsou u sebe, Dakoty si jen vymˇenily m´ısto (North Dakota je v grafu n´ıˇz) a posledn´ı pˇr´ıklad New York, Connecticut a New Jersey jsou malé státy na severov´ ychodˇe. V této oblasti se nacház´ı také v grafu. Abychom si mohli ovˇeˇrit dané závˇery, v Pˇr´ıloze F je um´ıstˇena mapa Spojen´ ych stát˚ u americk´ ych.

Nyn´ı si ukáˇzeme, co se stane, kdyˇz promˇennou CIG vynecháme. Opˇet ˇskálujeme a tabulku charakteristik jednotliv´ ych hlavn´ıch komponent následnˇe dostaneme v tomto tvaru:


Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 1.3630421 1.0535728 0.8207924 0.51719566 0.4752726 0.2839575 0.1723419 0.06842802 0.4752726 0.7592301 0.9315720 1.00000000

Znak Z1 vysvˇetluje 47.5 % celkové variability, tedy ménˇe neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadu, znak Z2 28 %. Souˇcet je 76 % (stejn´ y jako s cigaretami). 33

Biplot−Rakovina škálovaná −2

0

2

6

LEUK

MN

0.4

4

6

−4

NB IO

WV KID

OK PE UT ID AR

MS AL

OH MT

IL

CT

NY CA MA MI NJ DC VT AZ MO WI NE MD ME DE

TX

IN

BLAD

LA RI LUNG

SC

FL −4

−0.2

TE KY NM WY

WA

−2

0.0

Comp.2

KS

2

ND

0

0.2

4

SD

AK −0.2

0.0

0.2

0.4

Comp.1

ˇ Sipka leukémie se nyn´ı posunula bl´ıˇze k ostatn´ım. Tedy vztah mezi n´ı a ostatn´ımi promˇenn´ ymi se m´ırnˇe zes´ılil, ostatn´ı u ´hly z˚ ustaly zhruba stejné. Uspoˇrádán´ı prvk˚ u zleva doprava vyjadˇruje opˇet mnoˇzstv´ı v´ yskyt˚ u rakovin (od nejmenˇs´ıho po nejvˇetˇs´ı), ale uˇz bez poˇctu cigaret. Tentokrát je ”nejlepˇs´ım” státem Mississippi, Utah je aˇz na druhém m´ıstˇe. Objekty se posunuly jen nˇekteré a pouze nepatrnˇe, tedy poznatky o geografickém rozloˇzen´ı z˚ ustávaj´ı zachovány. Z dan´ ych závˇer˚ u m˚ uˇzeme usuzovat, ˇze na tento graf promˇenná cigarety nemá témˇeˇr ˇza´dn´ y vliv, proto je celkem jedno, jestli ji vynecháme. Já osobnˇe bych ji ale asi zachovala. Ukáˇze nám totiˇz vliv kouˇren´ı na vznik jednotliv´ ych druh˚ u rakovin. I kdyˇz nˇekteré závˇery nejsou na prvn´ı pohled zˇrejmé (napˇr´ıklad jiˇz zm´ınˇená rakovina moˇcového mˇech´ yˇre), zdá se, ˇze jsou správné.

34

Z´ avˇ er Pˇriznávám, ˇze psan´ı toho textu pro mˇe nˇekdy nebylo jednoduché, pˇredevˇs´ım se ”prokousat” nˇekter´ ymi ˇca´stmi teorie. Naopak pˇri ˇca´sti praktické jsem se ”vyˇra´dila”. Hledán´ı vhodn´ ych pˇr´ıklad˚ u sice bylo ze zaˇca´tku sloˇzité, nakonec jsem ale, doufám, naˇsla zaj´ımavé nejen z matematického, ale i interpretaˇcn´ıho hlediska. Nejzaj´ımavˇejˇs´ı pro mˇe byl pˇr´ıklad o zemˇedˇelstv´ı; ne, ˇze bych skuteˇcnosti obsaˇzené v tabulce neznala, sp´ıˇse mˇe zaujalo, jak se s daty dá pracovat a kolik existuje moˇzn´ ych postup˚ u. Moˇzná i proto je tento pˇr´ıklad nejobsáhlejˇs´ı. Kdyˇz jsem se seznamovala s tématem a vidˇela prvn´ı pˇr´ıklady, mˇela jsem pocit, ˇze je interpretace biplotu velmi jednoduchá. Základn´ı pravidla pro ”v´ yklad” graf˚ u jsou daná. Ve sv´ ych pˇr´ıkladech jsem se ale pˇresvˇedˇcila, ˇze aˇckoliv graf vypadá jednoduˇse, v´ yklad m˚ uˇze b´ yt nˇekdy obt´ıˇznˇejˇs´ı. To je také vidˇet v pˇr´ıkladu Inteligence a tˇelesné proporce. Moje slova z u ´vodu, ˇze grafická reprezentace m˚ uˇze b´ yt jednoduchá i pro matematického laika, je tedy pˇrece jen nutné ponˇekud relativizovat. Pˇresnˇeji bych tedy tuto myˇslenku formulovala tak, ˇze i laik se m˚ uˇze v biplotu vyznat a ”ˇc´ıst” v nˇem, ovˇsem tento mus´ı m´ıt téˇz kvalitn´ı komentáˇr pˇr´ısluˇsného odborn´ıka.

35

Pˇ r´ıloha A V´ ysledky student˚ u prvn´ıho roˇcn´ıku vysoké ˇskoly technického smˇeru. Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

ME 77 63 75 55 63 53 51 59 62 64 52 55 50 65 31 60 44 42 62 31 44 49 12 49 54 54 44 18 46 32 30 46 40 31 36 56

AG 82 78 73 72 63 61 67 70 60 72 64 67 50 63 55 64 69 69 46 49 61 41 58 53 49 53 56 44 52 45 69 49 27 42 59 40

LA 67 80 71 63 65 72 65 68 58 60 60 59 64 58 60 56 53 61 61 62 52 61 61 49 56 46 55 50 65 49 50 53 54 48 51 56

AN 67 70 66 70 70 64 65 62 62 62 63 62 55 56 57 54 53 55 57 63 62 49 63 62 47 59 61 57 50 57 52 59 61 54 45 54

ES 81 81 81 68 63 73 68 56 70 45 54 44 63 37 73 40 53 45 45 62 46 64 67 47 53 44 36 81 35 64 45 37 61 68 51 35

36

Student 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

ME 46 45 42 40 23 48 41 46 46 40 49 22 35 48 31 17 49 59 37 40 35 38 43 39 62 48 34 18 35 59 41 31 17 34 46 10

AG 56 42 60 63 55 48 63 52 61 57 49 58 60 56 57 53 57 50 56 43 35 44 43 46 44 38 42 51 36 53 41 52 51 30 40 46

LA 57 55 54 53 59 49 49 53 46 51 45 53 47 49 50 57 47 47 49 48 41 54 38 46 36 41 50 40 46 37 43 37 52 50 47 36

AN 49 56 49 54 53 51 46 41 38 52 48 56 54 42 54 43 39 15 28 21 51 47 34 32 22 44 47 56 48 22 30 27 35 47 29 47

ES 32 40 33 25 44 37 34 40 41 31 39 41 33 32 34 51 26 46 45 61 50 24 49 43 42 33 29 30 29 19 33 40 31 36 17 39

Student 73 74 75 76 77 78 79 80

ME 46 30 13 49 18 8 23 30

AG 37 34 51 50 32 42 38 24

LA 45 43 50 38 31 48 36 43

AN 15 46 25 23 45 26 48 33

ES 30 18 31 9 40 40 15 25

37

Student 81 82 83 84 85 86 87 88

ME 3 7 15 15 5 12 5 0

AG 9 51 40 38 30 30 26 40

LA 51 43 43 39 44 32 15 21

AN 47 17 23 28 36 35 20 9

ES 40 22 18 17 18 21 20 14

Pˇ r´ıloha B Hektarové v´ ynosy skliznˇe hlavn´ıch zemˇedˇelsk´ ych plodin podle kraj˚ u v roce 2007. ´ Uzem´ ı SPZ Hlavn´ı mˇesto Praha A Stˇredoˇcesk´ y S Jihoˇcesk´ y C Plzeˇ nsk´ y P Karlovarsk´ y K ´ U Usteck´ y Libereck´ y L Královehradeck´ y H Pardubick´ y E Vysoˇcina J Jihomoravsk´ y B Olomouck´ y M Zl´ınsk´ y Z Moravskoslezsk´ y T

Pˇsenice 5.29 5.02 4.75 4.74 4.73 4.93 4.64 5.02 4.93 4.75 4.54 5.23 4.86 4.87

Jeˇcmen Brambory 3.78 24.26 3.88 26.19 3.91 28.37 4.07 27.77 3.85 28.77 3.69 24.88 3.72 27.79 4.20 26.09 3.87 27.41 3.73 28.59 3.30 21.73 3.88 25.10 3.81 25.58 3.78 26.36

ˇ Repka Sluneˇcnice P´ıcniny 3.18 2.13 6.34 3.09 2.13 6.48 3.00 2.00 6.35 3.03 2.01 6.33 3.01 2.00 5.40 3.11 2.13 6.49 3.03 2.10 5.73 3.10 2.12 6.27 3.07 2.16 6.13 3.00 2.04 5.99 3.02 2.12 6.30 3.14 2.28 6.62 3.09 2.23 6.50 3.05 2.29 5.69

´ Udaje jsou uvedeny v tunách.

Pˇ r´ıloha C Pˇreˇskálovaná tabulka Hektarové v´ ynosy skliznˇe hlavn´ıch zemˇedˇelsk´ ych plodin podle kraj˚ u v roce 2007. ´ Uzem´ ı SPZ Hlavn´ı mˇesto Praha A Stˇredoˇcesk´ y S Jihoˇcesk´ y C Plzeˇ nsk´ y P Karlovarsk´ y K ´ Usteck´ y U Libereck´ y L Královehradeck´ y H Pardubick´ y E Vysoˇcina J Jihomoravsk´ y B Olomouck´ y M Zl´ınsk´ y Z Moravskoslezsk´ y T

ˇ Pˇsenice Jeˇcmen Brambory Repka Sluneˇcnice P´ıcniny 1.94053570 -0.19378343 -1.062253797 2.07219013 0.06050784 0.4264185 0.66705915 0.29948349 -0.080985503 0.44034040 0.06050784 0.8169700 -0.60641741 0.44746356 1.027390083 -1.19150932 -1.31604545 0.4543150 -0.65358320 1.23669064 0.722332582 -0.64755941 -1.21015674 0.3985220 -0.70074900 0.15150341 1.230761750 -1.01019269 -1.31604545 -2.1958560 0.24256696 -0.63772366 -0.747027713 0.80297367 0.06050784 0.8448665 -1.12524119 -0.48974359 0.732501165 -0.64755941 -0.25715831 -1.2752703 0.66705915 1.87793763 -0.131828420 0.62165704 -0.04538088 0.2311427 0.24256696 0.25015680 0.539298082 0.07770713 0.37817398 -0.1594088 -0.60641741 -0.44041689 1.139244500 -1.19150932 -0.89249060 -0.5499603 -1.59689917 -2.56146465 -2.348579591 -0.82887605 -0.04538088 0.3148323 1.65754091 0.29948349 -0.635173296 1.34692358 1.64883856 1.2075215 -0.08759363 -0.04580336 -0.391127296 0.44034040 1.11939498 0.8727631 -0.04042783 -0.19378343 0.005447455 -0.28492614 1.75472727 -1.3868564

Bezrozmˇerná jednotka.

38

Pˇ r´ıloha D IQ a tˇelesné proporce student˚ u Jihozápadn´ı univerzity. Gender F01 M01 M02 F02 F03 F04 F05 M03 M04 F06 M05 M06 F07 F08 F09 F10 M07 F11 M08 M09 F12 M10 F13 M11 F14 M12 F15 F16 F17 M13 M14 M15 F18 F19 M16 F20 M17 M18

FSIQ 133 139 133 137 99 138 92 89 133 132 141 135 140 96 83 132 100 101 80 97 135 139 91 141 85 103 77 130 133 144 103 90 83 133 140 88 81 89

VIQ 132 123 129 132 90 136 90 93 114 129 150 129 120 100 71 132 96 112 77 107 129 145 86 145 90 96 83 126 126 145 96 96 90 129 150 86 90 91

PIQ 124 150 128 134 110 131 98 84 147 124 128 124 147 90 96 120 102 84 86 84 134 128 102 131 84 110 72 124 132 137 110 86 81 128 124 94 74 89

Weight 118 143 172 147 146 138 175 134 172 118 151 155 155 146 135 127 178 136 180 186 122 132 114 171 140 187 106 159 127 191 192 181 143 153 144 139 148 179 39

Height 64.5 73.3 68.8 65.0 69.0 64.5 66.0 66.3 68.8 64.5 70.0 69.0 70.5 66.0 68.0 68.5 73.5 66.3 70.0 76.5 62.0 68.0 63.0 72.0 68.0 77.0 63.0 66.5 62.5 67.0 75.5 69.0 66.5 66.5 70.5 64.5 74.0 75.5

Pˇ r´ıloha E Poˇcet vykouˇren´ ych cigaret a v´ yskyt 4 druh˚ u rakoviny ve vybran´ ych státech USA. Stát Alabama Arizona Arkansas California Connecticut Delaware District of Columbia Florida Idaho Illinois Indiana Iowa Kansas Kentucky Louisiana Maine Maryland Massachusetts Michigan Minnesota Mississippi Missouri Montana Oregon Nebraska New Jersey New Mexico New York North Dakota Ohio Oklahoma Pennsylvania Rhode Island South Carolina South Dakota Tennessee Texas

Zkratka AL AZ AR CA CT DE DC FL ID IL IN IO KS KY LA ME MD MA MI MN MS MO MT NB NE NJ NM NY ND OH OK PE RI SC SD TE TX

CIG 18.20 25.82 18.24 28.60 31.10 33.60 40.46 28.27 20.10 27.91 26.18 22.12 21.84 23.44 21.58 28.92 25.91 26.92 24.96 22.06 16.08 27.56 23.75 23.32 42.40 28.64 21.16 29.14 19.96 26.38 23.44 23.78 29.18 18.06 20.94 20.08 22.57 40

BLAD 2.90 3.52 2.99 4.46 5.11 4.78 5.60 4.46 3.08 4.75 4.09 4.23 2.91 2.86 4.65 4.79 5.21 4.69 5.27 3.72 3.06 4.04 3.95 3.72 6.54 5.98 2.90 5.30 2.89 4.47 2.93 4.89 4.99 3.25 3.64 2.94 3.21

LUNG 17.05 19.80 15.98 22.07 22.83 24.55 27.27 23.57 13.58 22.80 20.30 16.59 16.84 17.71 25.45 20.94 26.48 22.04 22.72 14.20 15.60 20.98 19.50 16.70 23.03 25.95 14.59 25.02 12.12 21.89 19.45 12.11 23.68 17.45 14.11 17.60 20.74

KID 1.59 2.75 2.02 2.66 3.35 3.36 3.13 2.41 2.46 2.95 2.81 2.90 2.88 2.13 2.30 3.22 2.85 3.03 2.97 3.54 1.77 2.55 3.43 2.92 2.85 3.12 2.52 3.10 3.62 2.95 2.45 2.75 2.84 2.05 3.11 2.18 2.69

LEUK 6.15 6.61 6.94 7.06 7.20 6.45 7.08 6.07 6.62 7.27 7.00 7.69 7.42 6.41 6.71 6.24 6.81 6.89 6.91 8.28 6.08 6.82 6.90 7.80 6.67 7.12 5.95 7.23 6.99 7.38 7.46 6.83 6.35 5.82 8.15 6.59 7.02

Stát Utah Vermont Washington Wisconsin West Virginia Wyoming Alaska

Zkratka UT VT WA WI WV WY AK

CIG 14.00 25.89 21.17 21.25 22.86 28.04 30.34

BLAD 3.31 4.63 4.04 5.14 4.78 3.20 3.46

Pˇ r´ıloha F Spojené státy americké

41

LUNG 12.01 21.22 20.34 20.55 15.53 15.92 25.88

KID 2.20 3.17 2.78 2.34 3.28 2.66 4.32

LEUK 6.71 6.56 7.48 6.73 7.38 5.78 4.90

Literatura [1] Andˇel, J., Matematická statistika, 1. vydán´ı, Praha, Praha, SNTL + Alfa, 1978. [2] Andˇel, J., Statistické metody, 3. vydán´ı, Praha: MATFYZPRESS, 2003. [3] Andˇel, J., Základy matematické statistiky, 2. opravené vydán´ı, Praha: MATFYZPRESS, 2007. [4] Filzmoser, P., Multivariate Statistik, TU Wien, 2007. [5] Gabriel, K. R., The biplot graphic display of matrices with application to principal component analysis, Biometrika, 1971. [6] Gower, J.C., Hand, D.J, Biplots, Chapman & Hall, London, UK, 1996. [7] Hebák, P. a kol., V´ıcerozmˇerné statistické metody [3], 1. vydán´ı, Praha: INFORMATORIUM, 2005. [8] Hebák, P., Hustopeck´ y, J., V´ıcerozmˇerné statistické metody s aplikacemi, 1. vydán´ı, Praha, SNTL + Alfa, 1987. [9] Jukl, M., Lineárn´ı algebra - Euklidovské vektorové prostory, Homomorfizmy vektorových prostor˚ u, 1. vydán´ı, Olomouc: Univerzita Palackého Olomouc, 2006. [10] Mahalanobis distance [online], dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/ Mahalanobis distance [citováno 7. 5. 2009]. [11] Massart, D.L, Vander Heyden, Y., From tables to visuals: PCA I, PCA II, Vrije Universiteit Brussel, Belgium, ˇclánek v ˇcasopise [online], dostupné z: http://chromatographyonline.findanalytichem.com/lcgc/data/ articlestandard/lcgceurope/462004/133038/article.pdf [citováno 6. 4. 2009]. [12] Nápovˇeda k softwaru R [online], dostupné z: http://www.r-project.org/ [citováno 20. 10. 2009]. [13] Rakovina moˇcového mˇech´ yˇre [online], dostupné z: http://theses.cz/id/jawkgj [citováno 12. 10. 2009]. [14] Singular value decomposition [online], dostupné z: http://en.wikipedia.org/ wiki/Singular Value Decomposition [citováno 16. 4. 2009]. [15] Spojené státy americké [online], dostupné z: http://cs.wikipedia.org/ wiki/Spojené státy americké [citováno 14. 9. 2009].

42

ˇ e republiky 2008 - Zˇemˇedˇelstv´ı, tabulka 14-9 [16] Statistická roˇcenka Cesk´ Hektarové v´ ynosy skliznˇe hlavn´ıch zemˇedˇelsk´ ych plodin podle kraj˚ u v roce 2007 [online], dostupné z: http://www.czso.cz/csu/2008edicniplan.nsf/ kapitola/10n1-08-2008-1400 [citováno 20. 7. 2009]. [17] The data and story library - Brain Size [online], dostupné z: http:// lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Brainsize.html [citováno 1. 8. 2009]. [18] The data and story library - Smoking and Cancer [online], dostupné z: http:// lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/cigcancerdat.html [citováno 18. 8. 2009].

43

Biplot a jeho aplikace

Recommend Documents