Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Obsah Účinky

předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové

působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární transformace kabelu Návrh

předpětí metodou vyrovnání zatížení

1

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton

1. Silové působení kabelu na beton  

Osamělou silou v místech zakotvení Silami v místech změny směru kabelu Obecně - výslednice

Rozklad na složky do vodorovného a svislého směru

2

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton



Parabolický kabel

Přesné řešení -

předpínací síla se mění po délce vlivem ztrát předpětí třením radiální síly působí ve směru normály

Rozklad sil pro přesné řešení H = P∙cos α

H = P = konst

α V = P∙sin α

Rozklad sil pro zjednodušené řešení α

P

V = P∙tg α

3

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – ekvivalentní zatížení

2.

Ekvivalentní zatížení 

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení

 Silové působení kabelu:  Pouze koncové účinky: H = P∙cos α

α V = P∙sin α

P

 Ohybový moment lze spočítat přímo:

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥) (za předpokladu, že P je kladné číslo)

 Ekvivalentní zatížení  statické schéma: idealizace nosníku pomocí těžišťové osy  tvoří pouze koncové účinky, výsledné síly musí být vztaženy k těžišti !!!  reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové 4

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení



Přímý kabel


konzola - přesné řešení

 Protože reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové, průběh vnitřních sil nezávisí na způsobu podepření (platí pouze u staticky určitých konstrukcí).

5




Přímý kabel


H = P∙cos α

H = P = konst

α V = P∙sin α

prostý nosník – zjednodušené řešení

α P

V = P∙tg α

6




Lomený kabel


prostý nosník – zjednodušené řešení

7




Parabolický kabel - geometrie

 Souřadný systém x,y , kde e(x) = y(x)  Parametry paraboly: • délka L • vzepětí f v L/2 (s příslušným znaménkem) • excentricitou na počátku paraboly ea a na konci paraboly eb (s příslušným znaménkem)

 rovnice paraboly:

4𝑓 2 4𝑓 𝑒𝑏 − 𝑒𝑎 𝑒 𝑥 =− 2𝑥 + 𝑥+ 𝑥 + 𝑒𝑎 𝐿 𝐿 𝐿

 rovnice tečny paraboly, tj. směrnice tečny = tg (γ):

𝑑𝑒(𝑥) 8𝑓 4𝑓 𝑒𝑏 − 𝑒𝑎 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = =− 2𝑥+ + 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 𝐿

a odtud sklony tečen na začátku a na konci paraboly

4𝑓 𝑒𝑏 − 𝑒𝑎 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 0 = + 𝐿 𝐿 8𝑓 4𝑓 𝑒𝑏 − 𝑒𝑎 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 𝐿 = − 2 𝐿 + + = 𝐿 𝐿 𝐿 4𝑓 𝑒𝑏 − 𝑒𝑎 =− + 𝐿 𝐿

8




Parabolický kabel – účinky předpětí 

Předpoklad: H = P = konstantní (plochý kabel, vliv změn předpětí po délce zanedbán) P je kladná

• •

reakce nulové !!!



Silové působení: 

koncové účinky (rozklad na svislou a vodorovnou sílu): Ph = P = konst

α Pv = P∙tg α 

Ohybový moment lze spočítat přímo, protože platí:

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)

radiální síly po délce kabelu představují rovnoměrné spojité zatížení působící na nosník v úseku paraboly:

𝑑2 𝑀𝑃 𝑥 𝑑2𝑒 𝑥 8𝑓 𝑝= = −𝑃 = −𝑃 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝐿 9




Parabolický kabel – účinky předpětí P = 1000 kN

𝑑2 𝑀𝑃 𝑥 𝑑2𝑒 𝑥 8𝑓 𝑝= = −𝑃 = −𝑃 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝐿 10

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce - – ekvivalentní zatížení



Nosníky s proměnným průřezem

11

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce

3. Účinky předpětí na staticky neurčitých konstrukcích staticky určitá konstrukce vazby nebrání deformaci  nevznikají reakce

1x staticky neurčitá konstrukce přidaná vazba (zabránění pootočení v bodě a) brání deformaci  vznikají reakce

12


Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění pootočení v podpoře a)



1x staticky neurčitá konstrukce

• •

základní staticky určitá konstrukce

𝑀𝑎𝑠

• •

• •

přidáme tolik stupňů volnosti (tedy odebereme vazby), kolikrát je konstrukce staticky neurčitá v bodě a odebereme vetknutí a nahradíme pevnou podporou – odebraná jedna vazba každou odebranou vazbu nahradíme deformační podmínkou uvolnili jsme pootočení v uzlu a – 𝑐𝑒𝑙𝑘 deformační podmínka bude 𝜑𝑎𝑏 =0 v místě každé odebrané vazby přidáme příslušnou sílu (moment) – neznámou veličinu v našem případě moment v bodě a: 𝑀𝑎𝑠

Poznámka – kolik odebereme vazeb, tolik vznikne deformačních podmínek a tolik bude neznámých sil  soustava rovnic (silová metoda) 13




Postup výpočtu – silová metoda primární stav – účinky předpětí na základním



staticky určitém nosníku 𝑝 • 𝜑𝑎𝑏 primární stočení v uzlu a od předpětí (pomocí ekvivalentního zatížení od předpětí) • primární vnitřní síly od předpětí 𝑁 𝑝 , 𝑉 𝑝 , 𝑀𝑝 sekundární stav 𝑠 • 𝜑𝑎𝑏 sekundární stočení v uzlu a od momentu 𝑀𝑎𝑠 v bodě a (neznámá veličina) 𝑠 𝜑𝑎𝑏 = 𝑀𝑎𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏

primární stav – primární účinky předpětí

kde 𝛼𝑎𝑏 je stočení v uzlu a od jednotkového momentu působícího v uzlu a celkové účinky součet primárních a sekundárních účinků 𝑝

sekundární stav – sekundární účinky předpětí

𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑠 𝜑𝑎𝑏 = 𝜑𝑎𝑏 +𝜑𝑎𝑏 =0 𝑝

𝜑𝑎𝑏 + 𝑀𝑎𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏 = 0  výpočet 𝑀𝑎𝑠 a zbylých reakcí a vnitřních sil 𝑁 𝑠 , 𝑉 𝑠 , 𝑀 𝑠 •

výpočet celkových účinků 𝑁 𝑐 , 𝑉 𝑐 , 𝑀𝑐 14




Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění svislého podpření v bodě b)



primární stav – primární účinky předpětí

sekundární stav – sekundární účinky předpětí

15




Účinky předpětí

16




Příklad

Ekvivalentní zatížení – svislé složky sil

Pootočení od ekvivalentního zatížení v bodě b

Deformační podmínka v bodě b

Předpoklad směru působení momentu

dopočet reakcí v sekundárním stavu např. z momentové podmínky z rovnováhy svislých sil

17




Příklad – dtto jako předchozí ale uvolněná jiná vazba (svislý posun v bodě a)

s

Vnitřní síly viz předchozí strana

18




Spojitý nosník

Nosník bc

Nosník ab

reakce 19




Spojitý nosník

Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku a konci paraboly

Svislé složky sil

Ekvivalentní zatížení

20




Spojitý nosník

deformační podmínka

Sekundární moment vyšel se záporným znaménkem, tzn. že působí opačným směrem, než bylo předpokládáno

21




Příklad

Celkové účinky získáme: • součtem účinků primárních a sekundárních • nebo výpočtem účinků od ekvivalentního zatížení a reakcí sekundárního stavu na prostých nosnících • kombinací obou 22

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce



Staticky neurčité účinky předpětí – ještě jednou

Reakce od sekundárních účinků Reakce od sekundárních účinků jsou nulové

R/2

R/2

sekundární

primární celkový celkový 23


4. Tlaková čára • V průřezu (x) působí celkové účinky předpětí 𝑀𝑐 a 𝑁 𝑐 𝒆𝒄

x sekundární

celkový

• Bod, ve kterém působí síla 𝑁 𝑐 , je působiště tlakové síly v průřezu • Spojnice působištˇ tlakové síly v průřezech po délce nosníků tlaková čára - poloha tlakové čáry měřená od těžiště nosníku: 𝑒𝑐 = 𝑀𝑐 𝑁 𝑐 - poloha tlakové čáry měřená od těžiště kabelu ν = 𝑒𝑐 − 𝑒𝑝 = 𝑀𝑐 𝑁 𝑐 − 𝑀𝑝 𝑁 𝑝 = 𝑀 𝑠 𝑁 𝑐 pro 𝑁 𝑝 = 𝑁 𝑐 24


5. Konkordantní kabel

Vzdálenost tlakové čáry od polohy kabelu je dána vztahem ν = 𝑀 𝑝 𝑁 𝑐 Pokud jsou sekundární účinky od předpětí nulové, poloha tlakové čáry se shoduje s polohou kabelu (𝑒𝑝 = 𝑒𝑐 → ν = 0) a takovému kabelu se říká konkordantní kabel. Poznámka: z praktického hlediska to nemá význam, ale je výhodný právě proto, že jsou sekundární účinky nulové. Polohu takového kabelu lze nalézt, a pokud se upraví do proveditelného tvaru, lze předpokládat že sekundární účinky budou malé. 25


Jak nalézt polohu konkordantního kabelu?

• Mějme momentový obrazec od vnějšího zatížení na spojitém nosníku. • Vydělíme-li průběh momentů konstantou, dostaneme průběh tlakové čáry. • Umístíme-li do této tlakové čáry kabel, bude konkordantní. • 𝑀𝑎 /𝑘 = 𝑒𝑎 • 𝑀𝑏 /𝑘 = 𝑒𝑏 • 𝑀𝑐 /𝑘 = 𝑒𝑐 •

𝑒𝑎 𝑀𝑎

𝑒

 𝑘 = 𝑒𝑎 /𝑀𝑎  𝑘 = 𝑒𝑏 /𝑀𝑏  𝑘 = 𝑒𝑐 /𝑀𝑐 𝑒

= 𝑀𝑏 = 𝑀𝑐 = 𝑘 𝑏

𝑐

• konstanta 𝑘 odpovídá velikosti předpínací síly 26




Lineární transformace kabelu Předpoklad: • plochý kabel • změnou geometrie se nezmění velikost ztrát v daném místě

Celkové statické účinky kabelu na nosník se nezmění, pokud se se změnou jeho geometrie nezmění ekvivalentní zatížení (kromě svislých sil, které se přenášejí přímo do podpory 𝑉𝑎 , 𝑉𝑏 , 𝑉𝑐 , 𝑉𝑑 ), tedy: • zůstanou stejné koncové excentricity kabelu (𝑒𝑎 , 𝑒𝑑 ) • zůstane stejná křivost kabelu v každém místě (stejné vzepětí parabol v polích ac a bc) • zůstanou stejné diskontinuity kabelu (stejná změna úhlu v poli cd) Poznámka: celkové účinky se nemění, ale změní se primární účinky a tím pádem i sekundární účinky  změní se reakce 27




Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení • vyrovnává se 80 až 100% ztížení stálých pomocí ekvivalentních zatížení od parabol v poli

• paraboly nad podporou – radiální síly jdou přímo do podpory • V krajním poli max 𝑒𝑝 by měla odpovídat místu s maximálním momentem • momenty od stálých zatížení (uvažovaného procenta) a předpětí se odečtou a v průřezu zůstane jen tlaková rezerva daná velikosti předpínací síly, která slouží k vykrytí napětí od ostatního zatížení, tj. zbytku stálých zatížení a proměnných zatížení • návrh P: 𝑝 = −𝑃

8𝑓 𝐿2 28

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Recommend Documents