Bernardinuscollege Scienceklas 6 VWO. Inleiding in de Relativiteitstheorie

Bernardinuscollege

Scienceklas 6 VWO

__________________________________________________________________________________________

Inleiding in de Relativiteitstheorie __________________________________________________________________________________________

J.L.M. Jansen, sept-okt 2006

Inhoudsopgave Voorwoord …………………………………………………………..

blz 3

Inleiding …………………………………………………………….

blz 5

1. De Klassieke Natuurkunde (= natuurkunde tot 1900) …………..

blz 7

1.1 Inleiding ………………………………………………….. 1.2 Volledige inhoud klassieke natuurkunde ………………… 1.3 Het relativiteitsprincipe van Galileï ……………………...

blz 7 blz 8 blz 9

2. De Speciale Relativiteitstheorie (1905) ………………………..

blz 13

2.1 De postulaten van de speciale relativiteitstheorie ……….. 2.2 Van lichtklok tot tijdsdilitatie …………………………… 2.3 Tijd is relatief ……………………………………………. 2.4 De lorentzcontractie ……………………………………... 2.5 De tweelingparadox ……………………………………... 2.6 De lorentzvergelijkingen ………………………………… 2.7 De ruimte-tijd is 4-dimensionaal ………………………... 2.8 E = mc2 ………….…..…………………………….…….. 2.9 F ≠ ma …………………………………………………… 2.10 Opnieuw E = mc2 …..…………………………….……..

blz 13 blz 14 blz 16 blz 17 blz 18 blz 19 blz 21 blz 21 blz 22 blz 23

De Algemene Relativiteitstheorie (1915) ….………………….

blz 24

3.1 3.2 3.3 3.4

Zware massa = trage massa ?! ..…...……………………. Relativiteit binnen één inertiaalstelsel ………………….. Er is geen zwaartekracht ………………………………... Een klein beetje relativistische kosmologie ……………..

blz 24 blz 26 blz 27 blz 28

Besluit ……………………………………………………………...

blz 29

Noten ……….………………………………………………………

blz 30

Bijlage: afleiding lorentzvergelijkingen ……………………………

blz 31

3.

-2-

“Het meest onbegrijpelijke aan de natuur is zijn begrijpelijkheid” Albert Einstein

Voorwoord ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Deze module voor de scienceklas voor eindexamenleerlingen van het VWO behandelt de beginselen van de Speciale Relativiteitstheorie van Albert Einstein. Het is een natuurkundige theorie waarvan iedereen wel eens heeft gehoord maar waarschijnlijk denkt dat deze te ingewikkeld is om te kunnen begrijpen. Dat is zeker niet zo, vooral omdat het wiskundig niveau van de theorie niet hoog is en voor de betere leerling (in het vak natuurkunde) goed is te doen. Voor de Algemene Relativiteitstheorie geldt dat deze van een (te) hoog wiskundig niveau is; van deze theorie zullen we dan ook alleen kwalitatief enkele aspecten beschouwen. Kort gezegd handelt de relativiteitstheorie over de rol van de waarnemer bij het doen van tijden afstandmetingen; hoe een waarnemer een gebeurtenis (die op zichzelf zeer eenvoudig kan zijn) zal beschrijven en hoe een tweede waarnemer die ten opzichte van de eerste waarnemer beweegt, de zaken vanuit zijn standpunt zal zien. Dit lijkt op het eerste gezicht niet zo interessant, maar Einstein toonde aan dat als de onderlinge snelheid tussen beide waarnemers erg hoog wordt, zij steeds meer van mening zullen verschillen over ‘dezelfde’ gebeurtenissen die zij waarnemen. Zo blijken wel zeer vreemde verschijnselen op te treden die onze intuïtieve ideeën over ruimte en tijd volkomen op zijn kop zetten. Zo zullen we zien hoe meetlatten inkrimpen, hoe horloges langzamer gaan lopen en zelfs hoe je ouder (of juist jonger) kunt worden dan je (eventuele) tweelingbroer- of zus! Over de relativiteitstheorie is naast veel goede echter ook veel misleidende literatuur geschreven, met name in kranten, populairwetenschappelijke maandbladen en (natuurlijk) op Internet. De essentiële kenmerken van de theorie worden vaak gemist of zelfs gewoonweg verkeerd weergegeven. Dit dictaat geeft zeker geen volledig overzicht van de theorie en al haar toepassingen, maar probeert wel de belangrijkste aspecten aan te halen en een aantal misverstanden over de theorie te voorkomen. We zullen ons daarbij niet verlagen tot uitspraken in de trant van: ‘volgens de relativiteitstheorie geldt dan dat …’, of ‘Einstein toonde aan dat …’, maar resultaten zoveel mogelijk zelf afleiden, in het algemeen via gedachte-experimenten (Gedanken-experimente), soms dezelfde die Einstein indertijd gebruikte. Afgezien van de inleidende paragrafen, is dit dictaat niet geschreven voor zelfstudie; het uitwerken en interpreteren van de vraagstukken gebeurt tijdens de lessen alsmede het afleiden van bijvoorbeeld de verschillende relativistische effecten en coördinatentransformaties. Enkele ‘plaatsen’ in de tekst waar dit gebeurt zijn te herkennen aan de toevoeging [L]. Het dictaat is meer als een houvast bedoeld waarin de belangrijkste resultaten worden opgesomd. Bedenk dat “relativistisch redeneren” een hachelijke zaak is; bij het lezen van dit dictaat lijken de zaken soms bedrieglijk eenvoudig. Het is met name vaak moeilijk om in onjuiste redeneringen te ontdekken waar de fout schuilt … in ieder geval veel lees- en redeneerplezier!

-3-

Albert Einstein

-4-

Inleiding _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Albert Einstein werd op 14 maart 1879 geboren in het Duitse Ulm en stierf in Princeton N.J. op 18 april 1955. Hij wordt algemeen beschouwd als een van de grootste fysici aller tijden en is onder het grote publiek wellicht de beroemdste, dit dankzij zijn relativiteitstheorie. Van geboorte was Einstein Duitser, maar hij verwierf later de Zwitserse nationaliteit, vervolgens opnieuw de Duitse nationaliteit maar werd uiteindelijk in 1941 genaturaliseerd tot burger van de Verenigde Staten. Hij studeerde aan de Technische Hogeschool te Zürich, werkte van 1902 tot 1909 bij de Octrooiraad te Bern en was daarna o.m. hoogleraar in de theoretische fysica aan de universiteiten van Zürich, Praag en Berlijn. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd was Einstein zeker geen gemiddelde student (dit misverstand komt voort uit het feit dat waar hij studeerde het hoogst haalbare cijfer een 6 was). Hij werd echter ook niet als een potentieel genie beschouwd en verkreeg aanvankelijk ook geen baan in het wetenschappelijk onderzoek. Zoals al vermeld ging hij werken bij de Octrooiraad te Bern, een rustige baan met genoeg vrije tijd. Buiten de ‘wetenschappelijke wereld’ om werkte hij aan meerdere belangrijke natuurkundige problemen uit zijn tijd en publiceert op 26-jarige leeftijd in 1905 vier artikelen die ieder afzonderlijk in aanmerking zouden kunnen komen voor een Nobelprijs. Voor een daarvan, het artikel over het fotoelektrisch effect, wordt aan hem in 1922 de Nobelprijs voor Natuurkunde (de Nobelprijs van 1921) uitgereikt. In dit artikel stelt hij de these van lichtquanten (fotonen), die uiteindelijk een van de grondslagen van de moderne atoomfysica (quantummechanica) is geworden. In een van de andere artikelen, over de Brownse beweging, geeft Einstein een nieuw bewijs voor het bestaan van atomen (o.m. door het getal van Avogadro opnieuw af te leiden), een bestaan dat dan nog steeds omstreden is. Het artikel dat uiteindelijk de meeste aandacht trok, luidt ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’ dat de grondslagen van de Speciale Relativiteitstheorie (SRT) bevat. De klassieke mechanica die ruim twee eeuwen lang het wetenschappelijk wereldbeeld vormde, werd door Einstein omvergeworpen en daarmee ook onze intuïtieve ideeën over ruimte en tijd. In 1916, Einstein werkte toen als hoogleraar aan de universiteit van Berlijn (1914-1933), publiceerde hij de Algemene Relativiteitstheorie (ART). Zoals de naam suggereert, is deze theorie een uitbreiding van de SRT. In tegenstelling tot deze theorie, die in zekere zin al was voorbereid door experimentele resultaten en het werk van andere natuurkundigen (al was Einstein hier slechts gedeeltelijk van op de hoogte), was de ART geheel Einstein’s eigen schepping en wordt algemeen beschouwd als een van de grootste prestaties die ooit door een menselijke geest is geleverd. De theorie geeft een elegante verklaring voor het verschijnsel zwaartekracht in die zin dat er eigenlijk helemaal geen zwaartekracht bestaat, maar dat het de kromming van de tijd-ruimte is die een zwaartekracht suggereert. De theorie vormt eveneens de basis voor de moderne kosmologie die de tijdevolutie van het heelal (als geheel) probeert te beschrijven. De theorie geeft de theoretische mogelijkheid voor het bestaan van zogenaamde ‘zwarte gaten’ en andere exotische natuurverschijnselen. Bij de zonsverduistering van 1919 werd een van de voorspellingen van deze theorie bevestigd en Einstein werd op slag wereldwijd beroemd. Met name zijn eenvoud, bescheidenheid, sociale bewogenheid, humor en beminnelijkheid (Maralyn Monroe vond hem de meest sexy man die ze ooit ontmoet had) dragen ertoe bij dat hij wereldwijd een zeer populair persoon wordt. Zo is bijvoorbeeld nog overwogen Einstein het presidentschap van de nieuwe staat Israel aan te bieden.

-5-

In de jaren twintig en dertig verschijnt een andere theorie op het toneel die nog revolutionairder is dan de relativiteitstheorie: de zogenaamde Quantummechanica. Hoewel Einstein een van de (ongeveer) zes grondleggers van deze theorie is, keert hij zich, net als twee van de andere grondleggers, van de theorie af als duidelijk wordt wat de consequenties ervan zijn. Zo zegt de quamtummechanica dat (sub)atomaire verschijnselen principieel onvoorspelbaar zijn. Einstein werpt zich op als de voorvechter van de natuurkundigen die dit niet kunnen verteren (‘God dobbelt niet’) en voert felle discussies met de Deense natuurkundige Niels Bohr. Deze aanvaardt de quantummechanica juist tot in zijn uiterste consequenties en betoogt in tegenstelling tot wat Einstein probeert te bewijzen, dat de onvoorspelbaarheid geen gebrek van de theorie is, maar juist een wezenlijk kenmerk van de natuur is [1]. In 1920 werd Einstein ook bijzonder hoogleraar te Leiden. Met de opkomst van HitlerDuitsland in 1933 doet hij afstand van zijn Duits staatsburgerschap (hij was jood en had van kind af aan al een grote afkeer van autoriteit) en vestigt zich na een kort verblijf in België en Engeland in de Verenigde Staten [2]. Tijdens de oorlog wijst hij Roosevelt op de mogelijkheid van de fabricage van een atoombom door de Duitsers en dat het misschien beter zou zijn als de Geallieerden Duitsland vóór zouden zijn in de ontwikkeling van de bom. Na de oorlog en de verwoesting van Hirosjima en Nagasaki wordt Einstein een militant voorvechter van de internationale vrede. Ook op jongere leeftijd was hij reeds pacifist; zo beweerde hij o.a.: “de ware helden van de 1e wereldoorlog waren zij die dienst weigerden” (hierop stond de doodstraf). Op wetenschappelijk gebied probeert Einstein op latere leeftijd tot een zogenaamde Algemene Veldentheorie te komen, die alle bekende natuurkundige krachten in één theorie overkoepelt. Hij slaagt hier niet in, onder andere omdat later zal blijken dat hiervoor de tijd nog niet rijp was (later zijn nog diverse andere krachten ontdekt). Een algemene veldentheorie is tot op de dag van vandaag nog steeds de ‘Holy Grail’ voor de natuurkunde. Ironisch genoeg vormt hiervoor juist Einstein’s algemene relativiteitstheorie de grote spelbreker: 99% van alle bekende natuurkundige verschijnselen wordt uiteindelijk verklaard door de quantummechanica en slechts de zwaartekracht, beschreven door de algemene relativiteitstheorie, valt hier buiten. Op zeer kleine afstanden (nog kleiner dan een atoom) zijn de twee theorieën volkomen in tegenspraak, zodat een unificatie van de zwaartekracht met de overige natuurkrachten nog steeds niet bereikt is. De laatste jaren hebben meerdere natuurkundigen daarom stilletjes gehoopt dat de algemene relativiteitstheorie door moderne experimenten omvergeworpen zou worden. De experimenten gaven echter juist een bevestiging van de juistheid van de algemene relativiteitstheorie (tot op 15 significante cijfers(!)) en de laatste tijd worden in de astronomie steeds meer verschijnselen ontdekt die tot nu toe alleen door de algemene relativiteitstheorie bevredigend kunnen worden verklaard. Misschien bevindt de natuurkunde zich in eenzelfde crisissituatie als eind vorige eeuw, waarvoor een genie als Einstein nodig was om met een revolutionaire omwenteling de natuurkunde weer op het juiste spoor te brengen (aannemende dat zo’n spoor bestaat).

[x] = noot x en is te vinden vanaf blz 30.

-6-

1.

De Klassieke Natuurkunde (= natuurkunde tot 1900)

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.1 Inleiding Sinds Newton de klassieke mechanica bedacht en publiceerde in zijn beroemde driedelige ‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’ [3] in 1687, maakte de natuurkunde tot de 19e eeuw betrekkelijk weinig fundamentele vooruitgang. Newton was zijn tijdgenoten eigenlijk zo’n twee eeuwen vooruit en hij wordt dan ook algemeen beschouwd als de grootste natuur(en wiskundige) aller tijden. Zo ontdekte hij o.a. (onafhankelijk van Leibnitz) de differentiaal/ integraalrekening die misschien wel het belangrijkste wiskundige instrument voor natuurwetenschappers vormt. Mede door het enorme succes van de klassieke mechanica en in het bijzonder de zwaartekrachttheorie ontstond een (mechanisch) wereldbeeld onder natuurwetenschappers waarin alle verschijnselen door Newton’s mechanica succesvol beschreven zouden kunnen worden. Zo kon men bijvoorbeeld het bestaan en de plaats van nog niet eerder ontdekte planeten voorspellen; iets wat in die tijd (18e eeuw) als bijna een vorm van magie werd beschouwd. Met de ontdekking van elektrische en magnetische verschijnselen begon aan het eind van de 18e eeuw langzamerhand meer twijfel te ontstaan of ook deze verschijnselen op een mechanische manier beschreven konden worden. Ook op het gebied van de optica, die handelt over de beweging van het licht, was het niet duidelijk hoe men alle experimentele resultaten kon verklaren binnen Newton’s theorie. Tenslotte publiceerde James Clark Maxwell in 1865 een zeer elegante theorie die een uitstekende verklaring bood voor alle bekende elektromagnetische verschijnselen. Daarbij hanteerde hij een wiskundige formulering in termen van een magnetisch en elektrisch veld. Ook gaf deze theorie een beschrijving van lichtverschijnselen door te laten zien dat licht eigenlijk een onderdeel was van het hele spectrum van elektromagnetische straling. Er was echter een groot probleem: de theorie was in strijd met de klassieke mechanica. In het bijzonder voldeed de theorie van Maxwell niet aan het zogenaamde relativiteitsprincipe van Galileï dat een wezenlijk bestanddeel vormde van Newton’s theorie. Beide theorieën voldeden op hun eigen deelterreinen echter uitstekend en daarom probeerde men de zaak te redden door te veronderstellen dat het licht niet door het vacuüm reist zoals in Maxwell’s theorie, maar door een zogenaamde ‘ether’. Deze zou dan een heel ijle/vluchtige stof zijn die de gehele ruimte tussen en in alle lichamen zou beslaan. Op deze manier kon men dan misschien een mechanisme ontdekken in hoe het licht door deze ether bewoog om zo de elektromagnetische theorie te kunnen beschrijven binnen het raamwerk van de klassieke mechanica. Bij deze pogingen werden door Poincaré, Fitzgerald en Lorentz [4] zelfs al de relativistische vergelijkingen gevonden die later het hoofdbestanddeel van de speciale relativiteitstheorie zouden vormen! Deze waren echter op een ad hoc manier geformuleerd met geen ander doel dan aan het bestaan van een ether te kunnen vasthouden. Anderzijds kwam het bestaan van de ether onder vuur te liggen doordat herhaalde pogingen om de snelheid van de aarde in relatie tot deze ether te meten tot tegenstrijdige resultaten leidden. Het was echter Einstein die zijn collega’s ervan overtuigde dat de ethertheorie geen bestaansrecht had, maar daarentegen de klassieke mechanica van Newton rigoureus veranderd diende te worden. Hij leidde de al eerder gevonden relativistische vergelijkingen af, uitgaande

-7-

van twee postulaten, gaf er de juiste natuurkundige interpretatie aan en vormde er, hoewel volledig in strijd met wat het gezonde verstand ons vertelt, een logisch consistent geheel van. Interessant is dat door het nemen van de juiste wiskundige limieten de klassieke mechanica van Newton uit de relativiteitstheorie kan worden verkregen. Dit geldt echter allerminst voor de ideeën die uit de interpretatie van de wiskundige vergelijkingen volgen, die een dergelijke continue overgang helemaal niet kennen [5]. Het is gebleken dat andere nadien geformuleerde natuurkundige theorieën alleen dan op een consistente wijze konden worden geformuleerd, als ze binnen het kader van de speciale relativiteitstheorie werden geformuleerd (= invariant onder de lorentztransformatie). Zo spreekt men bijvoorbeeld van relativistische quantummechanica en relativistische kosmologie. Samen met vele overtuigende experimenten is de speciale relativiteitstheorie hierdoor tot op de dag van vandaag nog steeds boven alle twijfel verheven. 1.2 Volledige inhoud klassieke natuurkunde •

1e Wet van Newton / traagheidswet:

Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, volhardt in zijn bewegingstoestand; dat is een toestand van rust of een eenparig rechtlijnige beweging. •

2e Wet van Newton:

Werkt op een voorwerp wel degelijk een resulterende kracht, dan resulteert dit in een snelheidsverandering evenredig met deze kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het voorwerp: Fres = m.a met a = dv/dt. •

3e Wet van Newton:

Krachten treden altijd op als onderdeel van een wederzijdse wisselwerking; oefent voorwerp A een kracht uit op voorwerp B, dan oefent B (gelijktijdig) een even grote maar tegengesteld gerichte kracht uit op A: FAB = - FBA. •

Gravitatiewet:

Tussen ieder tweetal massa’s werkt een aantrekkende kracht, evenredig met hun massa’s en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand (gemeten tussen hun massamiddelpunten): Fz = G.m1.m2/r2. •

Elektromagnetische wisselwerking:

Elektrisch geladen deeltjes ondervinden t.g.v. een elektrisch veld een kracht evenredig met de sterkte van dat veld en evenredig met hun lading. Bewegen deze deeltjes in een magnetisch veld, dan ondervinden zij bovendien een kracht die wederom evenredig is met deze veldsterkte en lading, maar ook evenredig met hun snelheid: FL = qE + qvB •

+ al dan niet expliciete aannames als: - absolute ruimte - absolute tijd - translatie-invariantie m.b.t. ruimte ⇔ Wet van behoud van impuls (p = mv) - translatie-invariantie m.b.t. tijd ⇔ Wet van behoud van energie

-8-

- rotatie-invariantie m.b.t. ruimte ⇔ Wet van behoud van draai-impuls (L = mvr) Opgave 1 De bewering overdreven.

over

volledigheid

in

de

titel

van

deze

paragraaf

lijkt

nogal

a. Ken je een mechanisch probleem dat alleen oplosbaar is met gebruikmaking van het begrip energie? b. Leg uit waarom bijvoorbeeld de algemene gaswet niet in bovenstaand rijtje hoeft te worden opgenomen. c. Kun je ook een bewerking bedenken waaronder de wereld niet invariant is?

1.3 Het relativiteitsprincipe van Galileï De 1e Wet van Newton spreekt over ‘rust of beweging met een constante snelheid in een rechte lijn’. We hebben allemaal wel eens ervaren dat we dachten in een vertrekkende trein te zitten, om vervolgens te ontdekken dat onze trein nog steeds stil stond, terwijl juist de trein tegenover ons van het perron vertrok. Dit is ‘logisch’, immers beweging is altijd ten opzichte van iets anders. Wij stonden stil t.o.v. het perron, maar hadden (tijdens onze misvatting) net zo goed kunnen zeggen dat we toch bewogen, namelijk als we de andere trein als uitgangpunt hadden gekozen, wat we feitelijk deden toen we uit het raam naar de andere trein keken. Bevinden we ons op een schip op open zee en komen we een ander schip tegen, dan is het helemaal slechts een kwestie van smaak, welk schip we (voor het gemak) kiezen als ‘stilstaand’ schip of welk schip doorgaat als ‘bewegend’. Voor wie dit nog niet overtuigend is, kan de twee schepen vervangen door twee ruimteschepen in een verder leeg heelal. Ook de trein die ‘stil’ staat t.o.v. het perron of het schip t.o.v. de zee, is vanuit een ander gezichtspunt toch als bewegend te beschouwen, bijvoorbeeld als we de zon als uitgangspunt kiezen, waaromheen de trein, het schip, het perron, de zee en de hele aarde bewegen.. Kortom: (de mate van) snelheid (of rust) is relatief: het is altijd ten opzichte van een (vrij) gekozen referentiepunt. Opgave 2 Op open zee bevinden zich twee schepen A en B met respectievelijk een snelheid u en v t.o.v. de zee. We zien dat de beide routes van de schepen elkaar kruisen in punt P. De vraag is: zullen zij botsen? a. Kies schip A als stilstaand. Wat is nu de snelheid van schip B t.o.v. schip A? Construeer deze snelheid in de bovenstaande tekening. b. Laat nu zien dat de schepen zullen botsen en waar schip B schip A treft.

Deze relativiteit van beweging lijkt voor de hand liggend, maar is toch niet zo simpel als het lijkt. Als de trein afremt of een (scherpe) bocht neemt, voelen we dit (in onze maag) en zien we dit (een bekertje valt om) zonder dat we naar buiten hoeven te kijken om te zien of onze snelheid inderdaad verandert ten opzichte van iets anders. Zo zouden we in een geblindeerd

-9-

ruimteschip op basis van welk mechanisch experiment dan ook, niet kunnen vaststellen of we in ‘rust’ zijn of in een rechte lijn met constante snelheid bewegen. Als er echter sprake is van een versnelling of een kromming van de lijn waarlangs we bewegen, dan zouden we dat onmiddellijk opmerken: bijvoorbeeld een bal op een biljarttafel zou ‘vanzelf’ gaan rollen. Blijkbaar is er ‘iets anders’ ten opzichte waarvan we dan in zo’n geval bewegen (van bewegingstoestand veranderen) en wel de lege ruimte. Newton sprak daarom van een absolute ruimte, die een standaard referentiekader vormt voor alle waarnemers. Dat rust en beweging relatief zijn, is dus eigenlijk helemaal niet ‘logisch’ omdat je je snelheid (of rusttoestand) alleen maar kunt bepalen t.o.v. een bepaald referentiepunt/kader, maar juist heel bijzonder omdat het alleen maar geldt voor een beweging met een constante snelheid in een rechte lijn (eenparig rechtlijnig dus). Ook voor de tijd nemen we aan dat deze een soort absolute achtergrond vormt, met dat verschil dat deze altijd uit zichzelf in beweging is: het heden verplaatst zich continu naar wat nu nog toekomst is. Wel neemt Newton aan dat deze tijd voor iedere waarnemer dezelfde is en in hetzelfde tempo ‘voortschrijdt’. Deze beide begrippen van tijd en ruimte komen weliswaar sterk overeen met onze intuïtieve ideeën, maar Einstein zou aantonen dat ze toch niet houdbaar zijn. Laten we uitgaan van twee waarnemers S en S’, die beide uitgerust zijn met dezelfde meetlatten / zelfde assenstelsels om afstanden te bepalen en klokken om de tijd te meten.

Waarnemer S, staande op de wal, ziet een schip met constante snelheid v langzij komen. Tegelijkertijd vliegt een meeuw met constante snelheid u tussen wal en schip door en passeert (volgens S) op zeker moment een bepaalde patrijspoort van het schip. Op dat moment t kent hij aan de meeuw de coördinaten x, y en z toe. Waarnemer S’ bevindt zich op het schip en ziet dezelfde meeuw voorbijvliegen. S’ ziet de meeuw dezelfde patrijspoort op moment t’ passeren en kent vanuit zijn eigen (meevarende) assenstelsel aan de meeuw de coördinaten x’, y’ en z’ toe. [Op basis van de translatie- en rotatie-invariantie van de ruimte kunnen S en S’ hun assenstelsels altijd zo kiezen dat hun x-as en x’-as samenvallen en dat hun klokken op t = t’ = 0 beginnen te lopen op het moment dat hun beide assenstelsel-oorsprongen samenvallen.] Het klassieke relativiteitsprincipe (= het relativiteitsprincipe van Galileï) houdt in dat als de ene waarnemer, S’, met zijn referentiestelsel zich met constante snelheid v in een rechte lijn beweegt t.o.v. een andere waarnemer, S, beide waarnemers equivalent zijn. Dit betekent dat

- 10 -

als de ene waarnemer de bewegingsvergelijkingen van een bepaald lichaam binnen zijn referentiekader heeft kunnen vinden (zoals F = m.a), de andere waarnemer binnen zijn referentiekader dezelfde (vorm) vergelijkingen moet kunnen vinden (F’ = m’a’). Simpel gezegd: voor beiden geldt dezelfde natuurkunde. We definiëren: •

Inertiaalstelsel = waarnemer met klok en meetlat/assenstelsel die zich t.o.v. een waargenomen voorwerp in een eenparige beweging bevindt (en dus ook omgekeerd). Een bijzonder geval is:

•

Ruststelsel = waarnemer met klok en meetlat/assenstelsel die t.o.v. van het waargenomen voorwerp in rust is (een tweede waarnemer (in een ander inertiaalstelsel) zou zeggen dat de waarnemer met het voorwerp mee beweegt).

en formuleren het experimentele gegeven van het: Relativiteitsprincipe van Galileï: Alle inertiaalstelsels zijn equivalent, d.w.z. in al deze inertiaalstelsels gelden dezelfde natuurwetten (formules). Wiskundig gezien betekent dit dat de natuurwetten invariant moeten zijn (= dezelfde vorm behouden) onder een Galileï-transformatie (= hoe wiskundig over te stappen van het ene inertiaalstelsel naar het andere). We lichten dit toe aan het voorbeeld van de meeuw. Stel dat op het moment waarop de meeuw de patrijspoort passeert, de patrijspoort geopend wordt en de meeuw een ontwijkende manoeuvre maakt, d.i. de snelheid van de meeuw verandert op dat moment of anders gezegd: er is sprake van een versnelling en dus een kracht die op dat moment op de meeuw werkt (door de stand van zijn vleugels te veranderen verandert de liftkracht op zijn vleugels). Volgens het relativiteitsprincipe van Galileï moeten zowel S als S’ dezelfde kracht op de meeuw zien werken (aannemende dat zij aan de meeuw dezelfde massa toekennen). Galileï-transformatie: S (ruststelsel) tijd plaats snelheid massa

S’ (inertiaalstelsel met snelheid v)

Transformatieregels [L]

t x u m

t’ x’ u’ m’

t’ = t x’ = x – v.t u’ = u – v m’ = m

a F

a’ F’

a’ = a F’ = F

en dus ook: versnelling kracht

Leid af dat inderdaad geldt dat u’ = u – v en daarmee a’ = a [L] Beide waarnemers zien dus dat de meeuw ten opzichte van hun eigen assenstelsel een andere positie en snelheid heeft, maar wel dezelfde versnelling ondervindt. Waarnemer S en waarnemer S’ zien op de meeuw dus toch dezelfde kracht werken (volgens F = m.a).

- 11 -

Opgave 3 Waarnemer S, laat een bal uit zijn handen vallen. videocamera op een statief dat op het dek staat.

S’

meet

deze

val

met

een

a. Schets in een tekening de posities van de bal met tussenpozen van gelijke tijdsduur zoals S de val ervaart. b. Dezelfde vraag maar nu voor S’.

We zeggen dat de bewegingsvergelijking F = m.a invariant is onder de Galileï-transformatie: er komen geen extra termen in de vergelijking bij als we kiezen de zaken vanuit waarnemer S’ te bekijken i.p.v. vanuit waarnemer S. We zien dat de snelheid die de waarnemer S’ aan het lichaam toekent, vermeerderd wordt met de tegengestelde snelheid waarmee hij zich van waarnemer S verwijdert. De snelheids- en plaatsfunctie zijn dus strikt genomen niet invariant onder de Galileï-transformatie, de extra termen die in deze functies optreden hebben echter geen fysische betekenis (vanwege de al genoemde translatie invariantie van de ruimte en tijd). Omgekeerd, geloof je in de juistheid van de relativiteit van rust en eenparige beweging en dus in het relativiteitsprincipe van Galileï, dan moeten de bewegingsvergelijkingen invariant zijn onder de Galileï-transformatie. Dat is dan de ‘reden’ waarom in de bewegingswet F = ma geen ‘x’ of ‘v’ voorkomt; S en S’ zouden dan ieder een andere F op de meeuw zien werken (bij dezelfde versnelling(!)). Op deze wijze vormen de transformatieregels een leidraad voor het vinden van de ‘juiste’ natuurwetten. Daarmee lijkt het hele relativiteitsbegrip t.a.v. een eenparig rechtlijnige beweging afgerond en zo werd het ook eeuwenlang beschouwd … tot Einstein ten tonele verscheen.

- 12 -

2. De Speciale Relativiteitstheorie (1905) _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.1 De postulaten van de speciale relativiteitstheorie Einstein stelt in 1905 de volgende twee uitgangspunten voor (i.p.v. inertiaalstelsel gebruiken we de term inertiaalwaarnemer): A. Speciale Relativiteitsprincipe: alle inertiaalwaarnemers zijn equivalent B. Lichtpostulaat: alle inertiaalwaarnemers meten dezelfde lichtsnelheid c Dit is de gehele speciale relativiteitstheorie. Alles wat volgt is slechts een strikt logische consequentie van de toepassing van deze twee postulaten. We lichten de twee postulaten eerst toe: T.a.v. A: Het relativiteitspostulaat is een directe generalisatie van Galileï’s relativiteitsprincipe van de klassieke mechanica. Het verschil schuilt hierin dat dit relativiteitsprincipe alleen betrekking heeft op de wetten van de mechanica. Einstein realiseerde zich dat bij het daadwerkelijk doen van een waarneming niet alleen mechanische kwesties een rol spelen, maar ook bijvoorbeeld elektromagnetische verschijnselen: je ziet bijvoorbeeld d.m.v. het licht, dat een elektromagnetisch verschijnsel is. Een ander voorbeeld is het gebruik van een atoomklok bij tijdmetingen, die werkt op basis van atomaire verschijnselen. Hoe nauwkeuriger je kijkt, hoe meer verschillende onderdelen van de fysica een rol blijken te spelen bij het doen van een waarneming. Daarom breidde Einstein de equivalentie van waarnemers uit tot de gehele fysica: op geen enkele wijze, door welk fysisch experiment dan ook, kan een waarnemer vaststellen dat hij beweegt in absolute zin (zolang deze beweging eenparig rechtlijnig is). Niet alleen de bewegingsvergelijkingen van de klassieke mechanica, maar alle natuurkundige theorieën moeten zodanig geformuleerd worden dat zij invariant zijn voor de nog te vinden modificatie van de Galileï-transformatie (dat zullen de Lorentzvergelijkingen van paragraaf 2.6 zijn). T.a.v. B: Experimenten die de snelheid van de aarde t.o.v. de ether probeerden te meten, gaven geen resultaat (snelheid 0). Men probeerde de snelheid van de aarde te meten t.o.v. het licht dat volgens de theorie ‘gedragen’ werd door de ether. Men vond echter, ongeacht of men nu de snelheid van het licht bepaalde in de bewegingsrichting van de aarde of loodrecht daarop, steeds dezelfde waarde. Dit is een zeer merkwaardig resultaat. Je zou immers volgens de vectoriële optelling van snelheden verwachten dat men twee verschillende resultaten zou vinden. Als we echter het bestaan van de ether ontkennen, zoals Einstein deed, kunnen de resultaten van deze experimenten ook anders geïnterpreteerd worden. Ongeacht de beweging van de waarnemer (of lichtbron) vindt men kennelijk steeds dezelfde waarde voor de lichtsnelheid. Hoewel strijdig met onze intuïtie, hebben experimenten dit fenomeen overtuigend aangetoond (de lichtsnelheid c is overigens maar liefst (bijna) 300.000 km per seconde als het licht in vacuüm beweegt). Einstein was waarschijnlijk niet op de hoogte van deze experimenten (met name het beroemde Michelson-Morley experiment) en gebruikte deze dan ook niet als uitgangspunt bij het opstellen van dit postulaat. Verderop in dit dictaat wordt duidelijk ‘waarom’ de lichtsnelheid binnen het kader van de relativiteitstheorie constant is.

- 13 -

Hoewel achteraf gezien beide postulaten in zekere zin voor de hand lagen en zelfs gedeeltelijk al op een wiskundige wijze geformuleerd waren door o.a. Lorentz, lag de (geniale) bijdrage van Einstein hierin: • •

Het kiezen van juist deze twee ‘feiten’ als postulaten en dus niet als verschijnselen die verklaard moesten worden binnen de reeds bestaande (klassieke) natuurkunde. Hoewel de combinatie van deze twee postulaten onmiddellijk consequenties geven die volledig in strijd zijn met onze intuïtie en het toen al twee eeuwen bestaande natuurkundige wereldbeeld (de klassieke mechanica), slaagde Einstein erin deze uit te werken tot een innerlijk consistent geheel dat de klassieke mechanica vervangt.

Rest ons niets anders te doen dan in te zien wat schort aan (de ideeën achter) de klassieke mechanica. We beginnen met de consequenties ten aanzien van het tijdbegrip. 2.2 Van lichtklok tot tijdsdilitatie Een lichtklok werkt als volgt: twee evenwijdige spiegels staan op afstand L van elkaar opgesteld. Tussen deze twee spiegels reist een lichtstraal heen en weer. De reistijd van het licht om weer bij de uitgangspositie te komen is dan 2L/c. We hebben op deze manier dus een klok die na elke t = 2L/c ‘tikt’ (zie de linkerfiguur hieronder). Stel nu dat deze klok met een bepaalde snelheid v beweegt t.o.v. waarnemer S’. Volgens deze waarnemer zal het licht de weg afleggen zoals in de rechterfiguur weergegeven. S ( = waarnemer in ruststelsel; dus v = 0 t.o.v. klok)

volgens S: Δt = 2L / c

S’(= waarnemer met snelheid v t.o.v. de klok)

volgens S’: Δt’ = 2√(L2 + (½vΔt’)2) / c

In de uitdrukking voor S’ is het 2e (= licht) postulaat toegepast. Substitutie van L = ½cΔt in de uitdrukking voor S’ en enig heen en weer geschuif geeft [L]: Δt’ = γ Δt met γ = 1/√(1 – v2/c2)

[1]

- 14 -

Merk op dat de zogenaamde gammafactor γ altijd groter dan (of gelijk aan) 1 is; oftewel S’ kent aan de duur van een tik van klok een langere tijd toe dan S! Toepassing van het 1e (= relativiteits) postulaat laat zien dat deze uitdrukking geldt voor alle klokken ongeacht hun mechanisme: stel S bouwt een willekeurige andere klok die in hetzelfde tempo loopt als de (stilstaande) lichtklok en zet deze ernaast. Waarnemer S’ zal ook deze klok in hetzelfde tempo zien lopen als de lichtklok ongeacht het mechanisme dat de klok aandrijft. Als de klokken immers niet synchroon zouden lopen, dan zou S’ op basis hiervan moeten concluderen dat hij daadwerkelijk bewoog. Dit is echter in strijd met het relativiteitspostulaat dat zegt dat beweging (met constante snelheid in een rechte lijn) slechts relatief is. Maar als iedere denkbare klok zich zo gedraagt, dan gedraagt de tijd zelf zich volgens deze uitdrukking die bekend staat als de tijdsdilitatie: -

vergeleken met de tijdsduur die een klok in het ruststelsel registreert, registreren klokken in een bewegend inertiaalstelsel een langere tijdsduur, en wel met een factor γ, dus afhankelijk van de snelheid v van de waarnemer, de tijdsduur geldend in het ruststelsel wordt ook wel de eigentijd genoemd, deze tijdsduur is dus de kortst mogelijke die een klok voor een bepaalde gebeurtenis registreert.

Bewegende waarnemers S’ kennen een langere tijdsduur toe aan een gebeurtenis/proces dan een stilstaande waarnemer S (d.i.: stilstaand t.o.v. de gebeurtenis) doet. Als een waarnemer S in zijn ruimteschip op een (licht)klok 1 seconde ziet verstrijken, dan is volgens een bewegende waarnemer S’ een langere tijdsduur (met een factor γ) verstreken; S’ ziet de gebeurtenissen in S vertraagd verlopen. In het bijzonder: S’ ziet waarnemer S ook in een trager tempo verouderen. Opgave 4 a. Bereken de grootte van de γ-factor in de volgende gevallen: -

een een een een een

voor de klas ijsberende docent, dus v = 1 m/s. straaljager die Mach 2 vliegt. elektron dat om een atoomkern cirkelt: v is ongeveer 10% van c (!). elektron dat in een deeltjesversneller is versneld tot v = 0,998 c (!). foton.

b. Hoe snel moet een waarnemer t.o.v. een klok bewegen zodat een tijdsduur van 1 seconde (volgens S in het russtelsel) volgens S’ een minuut duurt?

Opgave 5 Schets de grafiek van γ tegen v (dat is dus ook de grafiek van Δt’ tegen Δt).

Opgave 6 Muonen zijn elementaire deeltjes die instabiel zijn; hun levensduur (eigenlijk halfwaardetijd) bedraagt 2,2 μs (in hun ruststelsel). Muonen worden gevormd op een hoogte van 10 km (als kosmische straling op onze atmosfeer botst) en verkrijgen daarbij een snelheid van 0,998 c. a. Verklaar waarom volgens de klassieke natuurkunde geen muonen het aardoppervlak zouden moeten bereiken. b. Verklaar waarom we deze muonen toch detecteren met op de grond geplaatste meetapparatuur (gebruik je 4e antwoord van vraag 4a).

- 15 -

2.3 Tijd is relatief Uit de vorige paragraaf volgt dat het tijdsdilitatie-effect: • relatief is, dat is ten opzichte van een waarnemer S ten opzichte waarvan waarnemer S’ beweegt (eenparig rechtlijnig). • qua grootte afhankelijk is van de snelheid v van S’ t.o.v. S. Opnieuw toepassen van het 1e postulaat geeft echter ook dat het tijdsdilitatie-effect •

wederzijds is, volgens S’ verstrijkt er meer tijd dan de klok van S aangeeft, maar S beweert hetzelfde over de klok van S’(!).

S’ ziet S trager ouder worden en S ziet juist S’ trager worden. In paragraaf 2.5 zetten we deze discussie verder. Einstein verduidelijkte aan de hand van het volgende gedachte-experiment dat (dus) ook het idee van ‘gelijktijdigheid’ (in absolute zin) moet worden opgegeven. Stel je een trein voor die met een bepaalde snelheid v over de rails beweegt. In deze trein staat in het midden een zekere waarnemer S. Langs de rails staat een tweede waarnemer S’ die naar de voorbijrijdende trein kijkt. Langs de rails staan op een afstand die gelijk is aan de lengte van de trein (zoals waargenomen door S’) twee fototoestellen geplaatst die flitsen zodra de voor- resp. achterkant van de trein voorbijkomt. De trein komt langs rijden. S’ die midden tussen de fototoestellen staat, ziet de flitsen van de toestellen hem gelijktijdig bereiken en hij concludeert daarom dat de toestellen gelijktijdig flitsten.

Waarnemer S, ondanks het feit dat hij zich in het midden van de treinwagon bevindt, concludeert echter dat de rechterflits vóór de linkerflits zal zijn uitgezonden. Immers, S reist naar rechts en dus zal de rechterflits eerder bij hem arriveren dan de linker. Bedenk dat óók S het licht met snelheid c ziet naderen (2e postulaat) én dat hij, op basis van het 1e postulaat, niet zal hoeven (mogen) corrigeren voor het feit dat hij de ‘echte’ beweger is, wat hij volgens de klassieke natuurkunde wel had moeten doen. Deze situatie is overigens niet wederkerig in de volgende zin:

- 16 -

Opgave 7 Hoe oordeelt S over de situatie die S’ ervaart; bereiken ook voor S de lichtstralen S’ tegelijkertijd?

Gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen die op verschillende plaatsen plaatsvinden, valt alleen te definiëren binnen één inertiaalstelsel. Ieder ander inertiaalstelsel zal concluderen dat de gebeurtenissen in ieder geval niet gelijktijdig zijn; er bestaat geen alom vertegenwoordigd ‘NU’. Dit verlies van het idee van gelijktijdigheid en de wederzijdse relativiteit van het tijdsdilitatieeffect dwingt ons tot de opgave van de newtoniaanse absolute tijd en het is in dit opzicht dat geldt: ‘tijd is relatief’. Overigens blijft de (causale) volgorde van gebeurtenissen behouden: als waarnemer S’ met een pistool door het hoofd wordt geschoten, ziet óók S eerst het pistool afgaan, vervolgens de kogel van het pistool naar S’ reizen en tenslotte … 2.4 De lorentzcontractie Omdat inertiaalwaarnemers het onderling niet eens zullen zijn over verstreken tijden, maar wel over de (zelfde) snelheid c van het licht, zullen zij óók onderling van mening verschillen over afgelegde afstanden. S ( = waarnemer in ruststelsel; dus v = 0 t.o.v. de meetlat)

S’ (= waarnemer met snelheid v t.o.v. de meetlat)

Stel dat S’ volgens S een tijd Δt nodig heeft om zijn meetlat te passeren. Voor S geldt dan voor de lengte van de meetlat: L = v.Δt Hoe ervaart S’ het passeren van deze meetlat? Voor S’ is het juist de meetlat die beweegt (t.o.v. S’). Vergeleken met S is voor S’ gedurende deze meting een kortere tijd verstreken en wel met een factor γ; volgens S’ is de verstreken tijd Δt’ = Δt/γ. S’ concludeert dat de meetlat een lengte heeft van L’ = v.Δt’ = v.Δt/γ = L/γ. Aangezien γ altijd groter (of gelijk is) aan 1, wordt een bewegende meetlat blijkbaar altijd verkort waargenomen t.o.v. de lengte van de meetlat zoals gemeten in zijn ruststelsel (= eigenlengte). Deze inkorting van lengtes staat bekend als de lorentzcontractie: L’ = L / γ met γ = 1/√(1 – v2/c2)

[2]

- 17 -

Evenals de tijdsdilitatie is ook de lorentzcontractie een wederzijds verschijnsel: S’ vindt dat de meetlat van S is ingekrompen en S vindt dat andersom van de meetlat die S’ gebruikt. De eigenlengte is de grootst mogelijke lengte die een waarnemer (n.l. diegene die in rust t.o.v. de meetlat is) aan de meetlat kan toekennen. Alle andere inertiaalwaarnemers zullen een kortere lengte vinden. Omdat waarnemers het onderling oneens zijn over gemeten afstanden en dus ook het afstandsbegrip geen absolute grootheid meer is, moet ook Newton's idee van de absolute ruimte worden opgegeven. Nota bene: het handelt hier om de lengte in de richting van de onderlinge snelheid (zie bijlage over afleiding lorentzvergelijkingen) van S en S’; dat is de reden waarom we in de afleiding van de tijdsdilitatie m.b.v. de lichtklok de loodrechte lengte L voor beide waarnemers gelijk konden kiezen. Opgave 8 Terug naar de muonen van opgave 6. Verklaar waarom de muonen vanuit hún optiek de grond weten te bereiken.

Opgave 9 Terug naar opgave 7. Welk gegeven heeft S’ nodig om voor elkaar te krijgen dat de lichtflitsen hen inderdaad gelijktijdig bereiken?

Is de lorentzcontractie nu echt? S vindt immers dat een ruimteschip waarin S’ zich bevindt, in de lengterichting is ingekrompen, maar S’ beweert hetzelfde over het ruimteschip waarin S zich bevindt. Wie heeft er nu ‘gelijk’? Het antwoord op deze vraag luidt niet dat dit slechts een kwestie van opinie is, dat de lorentzcontractie er alleen maar schijnt te zijn / alleen maar gezien wordt doordat een waarnemer in beweging is: Opgave 10 Albert heeft als hobby polstok springen. Hij heeft ook een schuurtje, maar de polstol is net te lang om erin te passen. “Geen nood”, zegt tweelingbroer Niels: “Ik neem gewoon een flinke aanloop, zodat de stok wèl in de schuur past”. a. Zal Niels tijdens het rennen inderdaad ervaren dat de stok past? b. Zal Albert dat ervaren? Past de stok nu wel of niet? Stel dat we in het midden van de schuur een bom plaatsen die afgaat indien de uiteinden van de stok net in de schuur passen (tegelijkertijd contact maken met de (binnen)wanden van de schuur), c. Gaat de bom af?

2.5 De tweelingparadox Opgave 11 De afstand tot onze dichtstbijzijnde ster (op de zon na), Proxima Centauri, is 4,3 lichtjaar. Iemand reist met een ruimteschip naar Proxima Centauri en weer terug. Hij doet dit met een constante snelheid van v = 0,8 c t.o.v. de aarde. a. b.

c.

Bij het vertrek van de reiziger wordt een klok op aarde gestart. Hoeveel tijd is op deze klok verstreken als de reiziger terugkeert? In het ruimteschip wordt eenzelfde klok meegenomen op reis. Bereken uit de lorentzcontractie hoeveel tijd op deze klok is verstreken bij terugkomst op aarde. Hoeveel tijd is volgens de reiziger op de klok op aarde verlopen?

Volgens de waarnemer op aarde loopt de klok van de reiziger langzamer en volgens de reiziger loopt juist de klok op aarde langzamer. Als de reiziger en thuisblijver tweelingbroers - 18 -

zijn, wie is dan bij terugkomst op aarde het meest verouderd en dus de oudste van de twee?! Volgens het relativiteitspostulaat zijn beide ‘standpunten’ gelijkwaardig. Als de reizigers elkaar gedurende de reis bekijken (m.b.v. heen en weer reizende lichtstralen) zal de thuisblijver weliswaar op een ‘bepaald moment’ vinden dat de reiziger minder oud is (hij kan als bewijs een foto maken en doorseinen naar de reiziger), maar dat zal de reiziger niet overtuigen, hij zal volgens zijn klok van mening zijn dat dat ‘bepaald moment’ van de thuisblijver veel vroeger plaatsvond! Deze kwestie staat bekend als de tweelingparadox, want bij terugkomst op aarde, blijkt de reiziger jonger te zijn dan de thuisblijver! Over deze paradox valt veel te zeggen, óók binnen het kader van de algemene relativiteitstheorie. We merken het volgende op: het relativiteitspostulaat is niet van toepassing: de reiziger zal namelijk om terug te keren op aarde op een gegeven moment zijn snelheid moeten vertragen, tot stilstand moeten komen, omdraaien en versnellen om (met constante snelheid) weer terug te keren. Gedurende deze manoeuvre (en tijdens het opstijgen en landen) heeft de reiziger dus geen constante snelheid in een rechte lijn en dit maakt hem in absolute zin tot reiziger. De thuisblijver ervaart deze versnellingen immers niet en de reiziger wordt daarmee de échte beweger. De reiziger verbreekt daarmee de symmetrie die volgens het relativiteitspostulaat tussen de twee waarnemers bestaat. Om tijdsduren zoals geregistreerd in twee verschillende referentiekaders (die van de reiziger en die van de thuisblijver) gelijktijdig (volgens beiden) te kunnen vergelijken, zal een waarnemer altijd zo’n terugkeermanoeuvre moeten uitvoeren. Het is de daadwerkelijke (fysieke) verplaatsing van het ene inertiaalstelsel naar het andere dat het relativistisch effect asymmetrisch doet zijn. Toch is hiermee het verhaal niet af. Ook tijdens de versnelde beweging loopt de reizende klok trager, maar dit valt binnen het kader van de algemene relativiteitstheorie; zelfs wanneer de reis een cirkelbeweging zou beschrijven (en er dus nooit sprake is van een eenparig rechtlijnige beweging), ook dan zal het verschil in leeftijd gevonden worden (bijv. in cirkelvormige deeltjesversnellers (maar dan met elementaire deeltjes)) [6]. 2.6 De lorentzvergelijkingen Zoals de naam suggereert, zijn de vergelijkingen die de coördinatentransformatie van S naar S’ beschrijven al vóór de relativiteitstheorie ontdekt en wel met name door Lorentz. Echter, zoals reeds in de inleiding vermeld, wist Lorentz hier geen juiste, consistente en algemene interpretatie aan te geven. Met deze lorentztransformatieregels kunnen we van de coördinaten x, y, z, en t zoals waarnemer S die (in het ruststelsel) gebruikt, overstappen naar de coördinaten x’, y’, z’ en t’ zoals S’ die gebruikt. De afleiding is niet moeilijk maar wel lang; hij is daarom als bijlage bijgevoegd. Klassiek

Galileï-transformatie

Relativistisch

Lorentztransformatie t’ = γ [t – vx/c²] x’ = γ [x – vt] y’ = y z’ = z

t’ = t x’ = x – vt y’ = y z’ = z - 19 -

met (weer) γ = 1/√(1 – v2/c2) Zoals door de reeds bekeken tijdsdilitatie- en lorentzcontractie-effecten te verwachten, zijn de relativistische transformatieregels ingewikkelder dan die van de klassieke mechanica. We bekijken ze in onderstaande opgaven wat nauwkeuriger. Opgave 12 a. Druk x en t uit in x’en t’. Waarom had je dit antwoord ook meteen kunnen opschrijven? b. Wat gebeurt met de lorentztransformatie als je v naar 0 laat naderen?

Opgave 13 In een bepaald referentiekader S’ is een voorwerp evenwijdig aan de x’-as vast geplaatst. De eigenlengte L van het voorwerp loopt in S’ van x’A tot x’B, dus L = x’B – x’A. Leid uit de lorentzvergelijkingen af dat de lengte het voorwerp volgens waarnemer S gelijk is aan L/γ (t = tA = tB).

Opgave 14 Een klok op plaats x’A in S’ registreert een bepaalde eigentijd(sduur) T. Leid uit de lorentzvergelijkingen af dat volgens S een tijd γT verstreken is (x’ = x’A = x’B).

Waarschuwing: met de Lorentzvergelijkingen kun je ieder willekeurige ‘plaats’ (x,t) transformeren naar (x’,t’) en daarmee ook afstanden en tijdsduren. Deze verschillen i.h.a. géén factor γ (maar een ingewikkelder factor). De lorentzcontractie en tijdsdilitatie gelden uitsluitend onder de voorwaarden tussen haakjes zoals in de opgave 13 en 14 vermeld. Opgave 15 Binnen een bepaald inertiaalstelsel S heeft een voorwerp een constante snelheid v evenwijdig aan de x-as. a. Laat d.m.v. de Lorentzvergelijkingen zien dat een waarnemer S’ die t.o.v. dit referentiekader beweegt met een snelheid –u evenwijdig aan de x-as, een snelheid w aan het voorwerp toekent die gelijk is aan:

w = (u + v) / (1 + uv/c²)

[3]

Hint: volgens S is v = x/t en volgens S’ is v’ = x’/t’. b. Wat had deze uitdrukking klassiek moeten zijn? Onder welke voorwaarde geeft formule 3 het klassieke resultaat? c. Welke snelheid vind je voor een ruimteschip dat met v = 0,75 c reist en dat een raket met snelheid u = 0,75 c lanceert? d. c + c = ?

Onder andere op deze wijze is in te zien dat snelheden groter dan de lichtsnelheid in de relativiteitstheorie niet kunnen voorkomen. Verder volgt uit vraag d. dat de lorentzvergelijkingen garanderen dat iedere inertiaalwaarnemer inderdaad de waarde c voor de lichtsnelheid vindt: e. Wat is w als volgens S de lichtsnelheid gelijk is aan c (dus als v = c)?

- 20 -

Opgave 16 Laat zien dat

x’2 + y’2 + z’2 – c2t’2 = x2 + y2 + z2 – c2t2

[4]

2.7 De ruimte-tijd is 4-dimensionaal Wat is de betekenis van de uitdrukking van opgave 16? Inertiaalwaarnemers zijn het onderling oneens over ruimtelijke afstanden en tijdsduren, maar zij zijn het wél eens over de grootte van het linker- (of rechter)lid van de uitdrukking in opgave 16! Mooier gezegd: deze uitdrukking is invariant onder de lorentztransformatie. De grootheid s = √ (x2 + y2 + z2 – c2t2) kan geïnterpreteerd worden als een afstand (ct heeft eenheid m), maar dan wél in een soort menging van ruimte- en tijdafstand (deze menging is overigens ook duidelijk zichtbaar in de uitdrukking voor t’ in de lorentztransformatie). Waarnemers zijn het oneens over een driedimensionale ruimtelijke afstand √ (x2 + y2 + z2) en óók niet eens over een tijd t en ‘tijdafstand ct’, maar blijkbaar wél over de ruimte-tijdafstand s. Het is in deze zin dat de ruimte-tijd een 4-dimensionaal continuüm is. Kiezen we als tijdcoördinaat niet de klassieke tijd t maar i.p.v. daarvan de complexe tijd [L] √(-1)t en daarmee als 4de coördinaat x4 = √(-1)ct, dan geldt dat afstanden in deze ruimte gemeten kunnen worden volgens de 4-dimensionale variant van de stelling van Pythagoras: s = √ (x12 + x22 + x32 + x42). We komen hier in hoofdstuk 3 op terug. 2.8 E = mc2 We bekijken een ander gedachte-experiment van Einstein [8]. Zie de figuur hieronder. Voor een foton geldt dat deze een impuls p bezit ter grootte E/c (dit is een experimenteel gegeven en is essentieel in de volgende afleiding, er bestaan echter ook andere afleidingen die geen beroep doen op dit experimentele gegeven). Een doos zendt een foton uit vanaf de linkerkant en wordt een tijd later aan de rechterkant geabsorbeerd. Aangezien het foton impuls bezit, krijgt de doos op moment van uitzenden een terugslag naar links en wel ter grootte p = – E/c. Stellen we de massa van de doos gelijk aan M dan volgt uit impulsbehoud dat de doos een hierdoor een snelheid v = – E/(Mc) verkrijgt. Op het moment dat de doos het foton aan de rechterkant weer absorbeert, komt de doos weer tot stilstand en heeft deze zich ondertussen over een afstand s = vt = vL/c = – EL/(Mc2) verplaatst met L de lengte van de doos. In eerste instantie lijkt het nu alsof het zwaartepunt van de doos zich heeft verplaatst maar dat kan niet omdat er geen uitwendige kracht op de doos werkt; de krachtenwisselwerkingen tussen foton en doos zijn immers ‘slechts’ inwendige krachten.

- 21 -

Blijkbaar moeten we veronderstellen dat het foton niet alleen maar energie maar ook massa heeft verplaatst van links naar rechts. Laten we die massa m noemen. Als we inderdaad aannemen dat het zwaartepunt van de doos op zijn plaats blijft, moet dan gelden: Ms = - mL. Substitutie van de uitdrukking voor s hierin levert de wellicht beroemdste wetenschappelijke formule ooit: E = mc2

[5]

Overigens staat deze formule in Einstein’s eerste artikel over dit onderwerp niet zo geformuleerd als hierboven, maar (terecht) als m = E/c2 met als conclusie dat aan energie (van bijvoorbeeld het foton in bovenstaand geval) blijkbaar een (trage) massa moet worden toegekend. We komen terug op de interpretatie van deze uitdrukking in paragraaf 2.10. 2.9 F ≠ ma In de speciale relativiteitstheorie blijven de ‘klassieke’ wetten van behoud van impuls p = mv en energie E (met mc2 óók als een vorm van energie) geldig. We bekijken de botsing tussen twee identieke deeltjes met massa m en tegengestelde snelheden v. De botsing is volkomen inelastisch: beide deeltjes gaan na de botsing als één deeltje verder. Vanwege de wet van behoud van impuls blijven ze als één deeltje met massa M = 2m stilliggen omdat hun gezamenlijke impuls vóór de botsing ook 0 was. Echter, dat geldt alleen voor een waarnemer S die stil staat t.o.v. van die nieuwe massa M; deze waarnemer bevindt zich in het zogenaamde zwaartepuntstelsel van de twee deeltjes.

We bekijken dezelfde botsing nu vanuit een waarnemer S’ die met het linkerdeeltje mL mee beweegt, anders gezegd: S’ bevindt zich in het ruststelsel van het linkerdeeltje. Klassiek gezien zou het rechterdeeltje mR dan voor S’ snelheid 2v verkrijgen maar uit opgave 15 volgt dat dit 2v/(1 + v2/c2) is. Voor massa M geldt dan dat de snelheid volgens S’ v zal zijn. Uit de (nieuwe) wet van behoud van energie en impuls volgt dan dat: mLc2 + mRc2 = Mc2 en mR.2v/(1 + v2/c2) = M.v Elimineren van M geeft mL = (1 + v2/c2) /(1- v2/c2) . mR. Nu is de factor vóór mL gelijk aan de γ-factor (die hoort bij snelheid 2v/(1 + v2/c2) (!)) en waren mR en mL twee identieke deeltjes met als enige verschil voor S’ dat het rechter stil staat en het linker beweegt (met snelheid 2v/(1 + v2/c2)). M.a.w. de massa van het bewegende deeltje is (volgens S’) groter dan de massa van het stilstaande deeltje en wel met een factor γ: m = γm0 met γ = 1/√(1 – v2/c2)

[6]

- 22 -

en m0 de massa zoals gemeten in het russtelsel, de zogenaamde ‘rustmassa’. Opgave 17 Leg uit waarom ook hieruit volgt dat de lichtsnelheid c een absolute snelheidslimiet vormt.

We zien op deze manier dat de klassieke aanname van een massa m die ‘slechts’ een hoeveelheid materie vertegenwoordigd, onjuist is: als de snelheid van een voorwerp toeneemt, neemt ook de massa van dat voorwerp met de γ-factor toe. De rustmassa is de kleinst mogelijke massa die aan een voorwerp kan worden toegekend (namelijk zoals gemeten in het ruststelsel). In deze zin is ook de 2e wet van Newton: F = m.a onjuist en moet luiden: F = γm0a. Overigens is de uitdrukking F = m.a niet in Newton’s werk te vinden maar wel de uitdrukking F = dp/dt die relativistisch wél correct is! (dp/dt = m.dv/dt = m.a onder de voorwaarde dat m constant is (en alleen in het 1-dimensionele geval)). 2.10 Opnieuw E = mc2 Uitgaande van de vorige paragraaf en opgave 17 krijgen we de indruk dat energie (bijvoorbeeld toegevoerd om een elektron in een deeltjesversneller te versnellen) kan worden ‘omgezet’ in massa (en vice versa). Dat is dan ook de definitieve interpretatie van de formule E = mc2. Massa is een soort ‘bevroren’ energie en kan als bijvoorbeeld kinetische energie ‘vrijkomen’. Dit gebeurt o.a. bij kernsplijting en kernfusie en nog spectaculairder bij de creatie van materie en antimaterie uit (stralings)energie en het omgekeerde proces van annihilatie van materie en antimaterie tot (stralings)energie. Opgave 18 De rustmassa van een elektron bedraagt 9,1.10-31 kg. De massa van een anti-elektron (ook wel positron genoemd) is hieraan gelijk. Zo’n elektron-postitron paar kan (spontaan) ontstaan uit een foton. a. b. c. d.

Bereken de minimale energie van zo’n foton. Waarom staat bij a. ‘minimale’ energie? Bereken met E = hf de bijbehorende frequentie van dat foton. Vergelijk deze frequentie met de genoemde frequenties in Binas tabel 19B.

Opgave 19 Zoek in Binas het uitgestraalde vermogen van de zon op. Dit vermogen is het gevolg van kernfusie in de zon waarbij materie wordt omgezet in energie. Bereken hoeveel massa de zon op deze manier per seconde verliest.

Uit de wiskunde is bekend dat 1/√(1 – x) = 1/(1 – x)½ = (1 – x) –½ = 1 + 1/2 x + 3/8 x2 + … Passen we dit toe op E = mc2 = m0c2 /√(1 – v2/c2), dan vinden we: E = m0c2 + 1/2 m0v2 + 3/8 m0v4/c2 + … Met m0 weer de ‘klassieke’ rustmassa. In de tweede term herkennen we de klassieke uitdrukking voor de kinetische energie (die dus slechts een benadering is omdat er ook hogere orde termen (in v) bestaan). De eerste term correspondeert met een hoeveelheid energie die ook aanwezig is als het voorwerp stil staat: de klassiek onbekende rustenergie E0.

- 23 -

De klassieke wet van behoud van massa geldt (dus) niet en de wet van behoud van energie geldt alleen als ook massa als een vorm van energie wordt beschouwd (met omrekeningsfactor c2). Opgave 20 De rustmassa van een proton en neutron is respectievelijk 1,008665 u en 1,007825 u. Hierin is u de atomaire massa-eenheid: 1u = 1,66054.10-27 kg. Een H-2 kern bestaat uit 1 proton en 1 neutron en heeft een (rust)massa van 2,014102 u. a. Bereken het zogenaamde massadefect (= massatekort) dat een H-2 kern vertoont. In de zon worden 2 protonen gefuseerd tot een H-2 kern (waarbij een proton in een neutron verandert en een positron uit de kern wordt gestoten. De massa van een elektron en positron is gegeven in opgave 18. b. Schat m.b.v. opgave 19 hoeveel van deze fusiereacties per seconde in de zon plaatsvinden. Een proton bestaat in werkelijkheid uit 3 zogenaamde quarks. Deze quarks wegen samen ongeveer evenveel als 24 elektronen. c. Bereken voor hoeveel % de massa van een proton bestaat uit de massa van de drie samenstellende quarks? d. Waaruit bestaat dit verschil in massa?

- 24 -

3. De Algemene Relativiteitstheorie (1915) _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.1 Zware massa is trage massa ?! De speciale relativiteitstheorie is in een bepaald opzicht onbevredigend: wat is er zo bijzonder aan eenparig rechtlijnige beweging dat deze een status aparte verdiend boven beweging in de meest algemene zin (dus ook versnelde beweging)? We hebben weliswaar gezien dat de relativiteit van beweging ons als vanzelfsprekend voorkomt zodra we ons realiseren dat beweging altijd beweging t.o.v. iets anders is, maar waarom is versnelling toch absoluut? Als we ons in een geblindeerd ruimteschip bevinden, kunnen we een eenparig rechtlijnige beweging niet vaststellen: we moeten uit het raam kijken om te constateren dat we ons eenparig bewegen t.o.v. een of andere ster. Maar zo gauw ons ruimteschip versnelt (naar boven), ervaren we dat onmiddellijk: een losgelaten bal ‘zweeft’ niet langer met ons mee, maar beweegt versneld naar de grond van het ruimteschip. Omdat deze beweging t.o.v. de astronaut versneld is, mag deze niet langer de resultaten uit de speciale relativiteitstheorie toepassen [9]. Hoe moet de astronaut een dergelijke (versnelde) beweging relativistisch beschrijven; hoe valt de speciale relativiteitstheorie binnen het kader van een algemenere theorie te beschrijven? Voor dit probleem zag Einstein zich gesteld en vanaf 1905 heeft hij gedurende 10 jaar (zo goed als alleen) gewerkt aan wat i.h.a. wordt beschouwd als de grootste prestatie die een menselijke geest ooit heeft geleverd: de Algemene Relativiteitstheorie. Deze heeft als centraal postulaat: C. Algemene Relativiteitsprincipe: alle waarnemers zijn equivalent In tegenstelling tot het speciale relativiteitsprincipe is de beperking van inertiaalwaarnemers losgelaten; alle natuurwetten moeten zodanig geformuleerd worden dat zij dezelfde vorm behouden voor iedere waarnemer ongeacht zijn bewegingstoestand. Wiskundig gezegd: zij moeten niet zozeer invariant zijn onder de lorentztransformatie, maar onder ieder denkbare (Gaussische) coördinatentransformatie. Het is juist dit wiskundig formalisme dat de theorie zo moeilijk (en voor ons te moeilijk) maakt. Einstein zelf was wiskundig niet zo bedreven en heeft met betrekking tot de wiskundige kant veel hulp gehad van zijn vroegere medestudent Friedmann. De uiteindelijke doorbraak bleek te liggen in een zeer merkwaardig fenomeen van de klassieke mechanica: namelijk dat de eigenschap zware massa en trage massa qua grootte voor ieder voorwerp gelijk aan elkaar zijn. Opgave 21 a. Wat wordt ook alweer bedoeld met de uitspraak: “massa is traag”? b. En wat met: “massa is zwaar”?

Voor de zwaartekracht tussen twee massa’s m1 en m2 geldt:

Voor de elektrische kracht tussen twee ladingen q1 en q2 geldt:

Fz = G.m1.m2/r2

Fel = f.q1.q2/r2

of voor een massa m in het zwaartekrachtsveld van de aarde: Fz = mg (in de buurt van het aardoppervlak)

of voor een lading q in een elektrisch veld E: Fel = qE - 25 -

Voor beide krachten geldt dat deze een versnelling a teweegbrengt voor een massa m volgens Newton’s tweede wet: F = ma In het geval van de Fel heeft de elektrische lading q geen enkel verband met de trage massa m zoals die in F = ma voorkomt, maar in het geval van de Fz is de ‘zwaartekrachtlading’ m precies gelijk aan de trage massa m! Voor deze coïncidentie bestaat in de klassieke mechanica geen enkele reden en daarom besluit Einstein dan ook dat er in werkelijkheid helemaal niet zo iets bestaat als het concept zware massa (en daarmee ook geen zwaartekracht). De massa die traag is, die verbonden is met de versnelling a, is ook de massa die zwaar is; oftewel zwaartekrachtswerking is fundamenteel niet verschillend van versnelling. Deze equivalentie van trage en zware massa ligt aan de basis voor het uitgangspunt dat: geen enkel fysisch experiment in staat is onderscheid te maken tussen een versnelling en een (homogeen) zwaartekrachtsveld. Te zeggen dat een voorwerp onderhevig is aan de zwaartekracht, is equivalent met te zeggen dat het voorwerp versnelt. Stel dat de astronaut is zijn geblindeerde ruimteschip ontwaakt na een dutje te hebben gedaan. Hij blijkt ‘gewoon’ op te kunnen staan en ziet voorwerpen naar beneden vallen alsof hij op aarde is. Hij vraagt retorisch aan een medeastronaut of ze inderdaad al op aarde zijn geland, maar deze antwoord ontkennend en zegt dat de raketmotoren ontstoken zijn en ze nu met een versnelling gelijk aan g reizen. Hij gelooft zijn medeastronaut niet helemaal, maar indien de equivalentie van zware en trage massa opgaat, kan de astronaut via geen enkel fysisch experiment er achter komen of zijn medereiziger liegt [10]. 3.2 Relativiteit binnen één inertiaalstelsel Wat leert ons dit over het verschijnsel ‘zwaartekracht’? We nemen aan dat relativistische effecten zoals die optreden in een versneld stelsel, ons ook inzicht geven in wat in een zwaartekrachtsveld aan relativistische effecten optreedt. We kiezen als voorbeeld een eenparige rotatie; we stellen ons een schijf voor (de vloer van een carrousel) die met constante snelheid roteert. Op deze schijf staat in het midden (op de rotatie-as) en aan het uiteinde een klok. Verder liggen aan het uiteinde twee meetlatten: één radieel en één tangentieel. We bekijken gedurende een zeer korte tijd de relativistische effecten die optreden t.a.v. deze klokken en meetlatten; omdat de tijdsduur zeer kort is, verandert de snelheid niet noemenswaardig en mogen we (in goede benadering) resultaten uit de speciale relativiteitstheorie toepassen (wiskundig gezien bekijken we de situatie momentaan: in de limiet waarin Δt naar 0 gaat). Opgave 21 a. Welke van de twee klokken vertoont een tijdsdilitatie (t.o.v. iemand die naast de carrousel staat? b. En welke van de twee meetlatten?

Let goed op het verschil met de relativistische effecten zoals die in het vorige hoofdstuk optraden: het roterende stelsel vormt slechts één stelsel en binnen dit ene stelsel lopen - 26 -

klokken ongelijk en meten meetlatten verschillende lengtes. Volgens het equivalentieprincipe veronderstellen we daarom dat ook binnen een zwaartekrachtsveld (stilstaande(!)) klokken verschillend lopen en afstanden verschillend worden gemeten: Binnen een zwaartekrachtsveld kent iedere tijd-ruimtecoördinaat zijn eigen tijd en afstandsmaat. Een voorwerp dat onder invloed van een zwaartekrachtsveld beweegt, zal t.o.v. een andere waarnemer een (geleidelijke) verandering van tijden en lengtes ‘ervaren’. Deze verandering is voor iedere denkbare massa dezelfde (zonder wrijving vallen alle massa’s met dezelfde versnelling). Daarom ligt het voor de hand deze verandering niet langer toe te schrijven aan een wisselwerking tussen twee massa’s (de massa van het voorwerp en de massa van de aarde) en in die zin aan een klassieke (zwaartekrachts)werking, maar als een eigenschap van de tijd-ruimte zelf: het is de tijd-ruimte die verandert/gekromd is van ‘plaats’ tot ‘plaats’ en dat is de reden waarom alle massa’s met dezelfde versnelling vallen (de reden waarom trage en zware massa equivalent zijn). 3.3 Er is geen zwaartekracht Zoals gezegd is de algemene relativiteitstheorie een stuk complexer dan de speciale relativiteitstheorie. We moeten daarom wat oppervlakkig blijven en ons beperken tot het noemen van resultaten zoals Einstein die heeft gevonden. We kijken nog eens naar de uitdrukking s = √ (x12 + x22 + x32 + x42) zoals we die aan het eind van paragraaf 2.7 hebben gevonden. Een wiskundige herkent deze uitdrukking als horend bij een vlakke ruimte: een meter is een meter waar deze zich ook in de ruimte bevindt. In een zwaartekrachtsveld geldt dit niet langer (ook m.b.t. een seconde). In de algemene relativiteitstheorie wordt deze uitdrukking voor s daarom vervangen door een uitdrukking waarin coëfficiënten vóór de verschillende xi’s zijn geplaatst. De waarden van die coëfficiënten worden bepaald door de aanwezige materie (bijvoorbeeld de massa van de aarde) en dit leidt ertoe dat de afstandsmaat (wat een ‘meter’ en ‘seconde’ zijn) van ‘plaats’ tot ‘plaats’ verandert. Dit leidt er weer toe dat wat volgens de uitdrukking voor s een rechte lijn zou zijn, nu ‘vanzelf’ (= zonder krachtwerking) een gekromde lijn wordt. Bijvoorbeeld zodanig dat de ‘rechte lijn’ die de maan zonder krachtwerking zou volgen in de ‘gewone’ (= vlakke) ruimte, nu een ellipsbaan rond de aarde wordt, alsof er sprake zou zijn van een zwaartekrachtswerking van de aarde op de maan. Kortom, krijtjes vallen niet naar beneden omdat ze door de zwaartekracht van de aarde worden aangetrokken, maar omdat ze ‘gewoon’ een rechte lijn / de kortst mogelijke weg volgen in een (door de aarde) gekromde 4-dimensionale tijd-

- 27 -

ruimte. De voor ons versnelde beweging van het krijtje krijgt nu dezelfde status als de eenparig rechtlijnige beweging in de klassieke mechanica: een ‘natuurlijk’, ‘vanzelf’ optredend verschijnsel dat géén oorzaak (= kracht) heeft. Wat overblijft van de klassieke zwaartekracht (van bijvoorbeeld de aarde) is het feit dat het (de materie van) aarde is die de ruimte-tijd is zijn omgeving doet krommen. In die zin komt het relativistische zwaartekrachtveld tegemoet aan het ideaalbeeld van een veld: de beïnvloeding van de ruimte rondom een voorwerp zoals het magnetisch veld rondom een magneet. Een lichtstraal die dwars een (naar ‘boven’) versnellend ruimteschip doorkruist, lijkt voor een astronaut in dat schip een (naar de vloer toe) gekromde baan te volgen. Indien de algemene relativiteitstheorie juist is, zal een lichtstraal in een zwaartekrachtsveld dus ook géén rechte lijn volgen (en dat niet alleen omdat aan fotonen via E = mc2 massa kan worden toegekend). Het is deze voorspelling die tijdens de zonsverduistering van 1919 succesvol is getest en Einstein wereldberoemd maakte.

Tot slot de bedrieglijk simpel lijkende centrale vergelijking van de ART die de samenhang beschrijft tussen de materieverdeling Gμν enerzijds en ruimte-tijdkromming Tμν anderzijds: Gμν = 8πGTμν/c4

[7]

3.4 Een klein beetje relativistische kosmologie Met de algemene relativiteitstheorie werd het ook voor het eerst mogelijk om de evolutie van het heelal (= ruimte-tijd met daarin aanwezige materie/energie) te beschrijven. Toepassing van [7] op het heelal als geheel geeft als eerste resultaat dat een leeg heelal niet kan bestaan: waar materie is, daar is tijd-ruimte en waar tijd-ruimte is, daar is materie (of energie). Ten tweede bleek al snel dat stationaire oplossingen niet mogelijk zijn; het heelal is inherent instabiel: het dijt uit of het krimpt in. Einstein had de mogelijkheid om op theoretische gronden te voorspellen dat het heelal uitdijde, maar zelfs hij durfde dit niet aan. Hij paste de vergelijkingen zodanig aan dat het heelal toch stabiel zou kunnen zijn. Toen in de jaren twintig gemeten werd dat het heelal wel degelijk uitdijde, noemde Einstein deze misser de grootste blunder van zijn leven. Ten derde blijkt dat de relativistische ‘zwaartekracht’ niet altijd aantrekkend hoeft te zijn: de lege ruimte kan een zogenaamde negatieve druk uitoefenen. In ons heelal lijkt dat het geval te zijn; sinds kort (1996) weten we dat de uitdijing niet afneemt door de aantrekkende en dus afremmende kracht van de aanwezige materie, maar juist toeneemt: de uitdijing versnelt!

- 28 -

Besluit Wat kunnen we leren van de relativiteitstheorie? Ten eerste, dat àlles wat we bedenken ‘fout’ kan zijn. Zelfs de meest voor de hand liggende concepten die eigenlijk niet meer zijn dan een verwoording van onze fundamentele intuïties / gezond verstand en die eeuwenlang stand hebben gehouden, zijn onjuist gebleken. Achteraf bekeken is dit niet zo verwonderlijk. De basisideeën die een mens heeft over de wereld zijn immers niet het resultaat van wetenschappelijke beschouwing, maar zij zijn geëvolueerd als een representatie van de ons omringende wereld; simpelweg om hierin te overleven. Kijken we aandachtig naar situaties die ver buiten onze ervaringswereld liggen, dan is het niet a priori zeker dat we die ideeën ook dan kunnen hanteren. Met name op zeer kleine (atomaire) afstandschalen (quantumtheorie) of juist zeer grote afstandschalen (algemene relativiteitstheorie) blijkt de wereld op een zeer fundamenteel niveau strijdig te zijn met onze intuïties. In dit dictaat hebben we meerdere van zulke voorbeelden gezien op het terrein van zeer hoge snelheden/energieën. Toch is de relativistische wereld toegankelijk in een begrijpelijke zin; daarmee bedoel ik dat de wiskunde van de relativiteitstheorie op een natuurkundige wijze kan worden geïnterpreteerd en ons, een weliswaar zeer abstract, maar na oefening en gewenning een nieuw mechanistisch wereldbeeld geeft. In deze zin worden de beide relativiteitstheorieën tegenwoordig gezien als de laatste klassieke theorieën! De ware natuurwetenschappelijke revolutie die zich aan het begin van de twintigste eeuw voltrok, was de opkomst van de quantummechanica. In deze theorie, waarvan Einstein aanvankelijk een van de meest enthousiaste grondleggers was en zich later tot de felste tegenstander ontwikkelde, komt het idee van een werkelijkheid die gevormd is uit een verzameling objectief bestaande ‘dingen’, zeer serieus onder vuur te liggen. Heeft de wereld van de relativiteitstheorie ons tot de grens van het voorstelbare gebracht, de wereld van de quantummechanica voert ons over deze grens.

- 29 -

Noten [1] Bohr is achteraf de winnaar: de quantummechanica en haar toepassingen in moderne natuurkundige theorieën is uitermate succesvol en accuraat gebleken en vrijwel niemand twijfelt nog aan de (wiskundige) correctheid. Filosofisch gezien blijft de theorie echter nog even problematisch als in haar begindagen, een bevredigende interpretatie van de theorie is nog steeds niet gegeven (en zal er m.i. ook nooit kunnen komen). [2] Met de opkomst van Hitler-Duitsland vluchtten vele wetenschappers naar de VS om na de oorlog niet meer terug te keren. Geschiedkundigen zijn vaak geneigd het belang van spectaculaire gebeurtenissen (zoals een wereldoorlog) en figuren (zoals Hitler) te overschatten (geschiedenislessen zijn vreemd genoeg vooral een opsomming van oorlogen en (oorlogs)misdadigers als Ceasar en Napoleon, i.p.v. mensen als Newton, Bach en Darwin). Hoewel Europa zichzelf bankroet maakte in twee wereldoorlogen, is het misschien meer de exodus van wetenschappers, technici en veel andere hoogopgeleiden uit Europa geweest die resulteerde in onze huidige tweederangs rol. [3] Let op de verwijzing naar de wiskunde in de titel. Newton wilde slechts een kwantitatieve, wiskundige verklaring geven voor een verschijnsel als zwaartekracht, zonder uitspraken te doen over de natuurkundige aard. Deze manier van natuurkunde bedrijven is met name door Galileï geïntroduceerd en was uitermate revolutionair. Voorheen werd het geven van een puur wiskundige beschrijving van natuurverschijnselen zonder verklaring over het ‘waarom’ of ‘werking’ als betekenisloos ervaren en werd dus ook niet gedaan. Toen de natuurkunde uit dit stramien bevrijd was, kon zij zo’n explosieve groei doormaken. Toentertijd dacht men nog dat men uiteindelijk wel het mechanisme zou ontdekken achter een verschijnsel als de zwaartekracht. Hier is het echter nooit van gekomen, zoals ook bij alle andere natuurkundige theorieën nadien. Als je er wat langer bij stilstaat, zul je inzien dat het hele idee van een zwaartekracht die onzichtbaar op afstand werkt rationeel gezien eigenlijk absurd is. Zeggen dat het de zwaartekracht is die veroorzaakt dat een voorwerp naar beneden valt, is feitelijk niets anders dan een andere bewoording voor de ervaring dat iets naar beneden valt. Het is slechts de wiskundige formulering die zegt hóe iets valt in afhankelijkheid van welke omstandigheden (bijvoorbeeld massa) dat de zwaartekracht een vorm (?) van bestaan krijgt. [4] Lorentz wordt algemeen beschouwd als Nederlands grootste natuurkundige en was rond de eeuwwisseling een soort vaderfiguur voor de natuurkundigen en een persoonlijke vriend van Einstein. [5] Dit verschijnsel doet zich algemeen voor in de geschiedenis van de natuurkunde als de ene theorie door een andere wordt ‘vervangen’. Het is in de zin van aanschouwelijke interpretaties dat de natuurkunde zich revolutionair ontwikkeld; in wiskundig opzicht is deze ontwikkeling eerder evolutionair en worden theorieën op den duur opgenomen in wiskundig algemenere theorieën. Zo is de klassieke mechanica in wiskundige zin het limietgeval van de speciale relativiteitstheorie als v naar 0 nadert. [6] In 1971 is in een niet zo serieus experiment met een cesiumatoomklok een vliegreis om de aarde gemaakt, zowel in westelijke als in oostelijke richting. Door deze twee richtingen te nemen kan men effecten t.g.v. het gravitatieveld en de draaiing van de aarde nauwkeurig aftrekken van het resultaat en heeft men op een netto vliegtijd van bijna 100 uur (in een gewoon lijnvliegtuig!) een tijdsverschil gemeten van ongeveer 150 nanoseconden zoals voorspeld door de speciale relativiteitstheorie. [7] Dit voorbeeld van Einstein is eigenlijk niet correct; in de relativiteitstheorie bestaan er geen starre lichamen; de krachtenwisselwerking in de wanden van de doos kan zich slechts met de lichtsnelheid verplaatsen met als gevolg dat de linkerkant van de doos eerder in beweging zal komen dan de rechterkant. Toch blijft het gevonden resultaat overeind als ook dit effect wordt meegenomen. [8] Denk bijvoorbeeld aan de grafiek van de functie log x; je kunt (van rechts) willekeurig dicht naar x = 0 toekruipen, maar je komt er nooit aan (x = 0 is verticale asymptoot). Toch beslaat log x (naar rechts toe) maar een eindig gedeelte van de x-as. [9] Dat kan wel momentaan (op één bepaald moment); we hebben dit weliswaar niet bekeken, maar ook voor (de componenten) van snelheden, versnellingen en krachten geeft de SRT relativistische uitdrukkingen. [10] is niet helemaal juist; op aarde vallen voorwerpen niet verticaal naar beneden, maar naar het middelpunt van de aarde. Twee losgelaten krijtjes vallen daarom ook naar elkaar toe (afgezien van t.g.v. hun zwaartekrachtswerking op elkaar)

- 30 -

Bijlage: afleiding lorentzvergelijkingen

Waarnemer A zendt met een bepaalde regelmaat lichtsignalen naar waarnemer B. In de oorsprong hebben A en B klokken beide op t = t’ = 0 gezet. Volgens A ligt tussen ieder signaal een tijdsinterval T. We veronderstellen dat waarnemer B deze signalen ontvangt met een regelmaat die lineair afhankelijk is van T, zeg kT. Factor k is dus een karakteristieke grootheid voor de beweging van B t.o.v. A. Volgens het eerste relativiteitspostulaat moet hetzelfde gelden voor A: als B lichtsignalen uitzendt met een tussenpoos T zal A deze ontvangen met tussenpozen kT (vanuit B beweegt A zich met dezelfde relatieve snelheid van hem vandaan). Wat is k dan als functie van de relatieve snelheid v tussen de twee waarnemers? Zoals in de figuur afgebeeld zendt waarnemer A na een tijdstip T op zijn klok waarnemer B een lichtsignaal achterna. Dit signaal arriveert bij waarnemer B na een tijdseenheid kT op zijn klok. Zendt hij onmiddellijk het signaal weer terug naar waarnemer A, dan ontvangt deze het signaal weer na k maal kT is k²T tijd die op zijn klok is verstreken. Volgens A zijn de coördinaten van het punt P dus (c = lichtsnelheid): tp = het tijdstip midden tussen T en k²T: dus ½(T + k²T) = ½(1 + k²)T xt = de afstand die tussen te tijdstippen T en k²T afgelegd is met de lichtsnelheid: ½(k²T – T)c = ½(k² - 1)Tc Hieruit volgt: P(t,x) = (½[k² + 1]T, ½ [k² - 1]cT) Als v de relatieve snelheid is van waarnemer B t.o.v. waarnemer A vinden we dus: v = x / t = ½ [k² -1]cT = [k²-1]c ½ [k²+1]T [k²+1] Hieruit volgt dat k = [1+(v/c)/1-(v/c)]1/2 (*) We bekijken in nevenstaande figuur weer de situatie van twee onderling bewegende waarnemers S en S’. We kiezen een willekeurig punt in de tijd-ruimte, P, en vragen naar de relatie zoals die bestaat tussen de coördinatie van S en de coördinatie van S’ van het punt P. S duidt de coördinaten van P aan met (t,x) en S’ de coördinaten (t’,x’). Om volgens onze definitie van afstandsmeting deze coördinaten aan P toe te kennen, moet waarnemer S een lichtsignaal naar P uitzenden op tijdstip t – (x/c), dat hij op tijdstip t + (x/c) weer ontvangt. Hetzelfde geldt voor waarnemer S’ in zijn coördinaten. Nemen we nu aan dat beide waarnemers hun klokken in O gelijk gesteld hebben, dan geeft de k-calculus het volgende verband:

- 31 -

t’ – x’/c = k (t – x/c) en t + x/c = k (t’ + x’/c) met (*) k = [(1+(v/c)/(1-v/c)]1/2 vinden we: t’ = γ [t – vx/c²] x’ = γ [x – vt] met γ = 1 / [1 – (v/c)²]1/2 Zij zijn echter nog niet compleet, omdat we slechts één ruimtelijk dimensie hebben beschouwd.

We kiezen de oriëntatie van de beide assenstelsels (bovenste figuur) zodanig dat het xz-vlak (y = 0) van S samenvalt met het x’z’-vlak (y’ = 0) van S’. De transformatie tussen de y en de y’-coördinaat moet daarom van de vorm: y = ny’ zijn, omdat y = 0 Æ y’ = 0 Roteren we nu de x- en y-as over 180° om de z-as (resultaat: middelste figuur) en bekijken we deze situatie vanuit waarnemer S’, zoals weergegeven in de onderste figuur, dan vinden we op basis van symmetrie dat ook: y’ = ny en dus dat: n² = 1 Æ n = +/- 1 Omdat y’ Æ y als v Æ 0 moet gelden n = 1. Dezelfde redenering kunnen we herhalen voor de z-coördinaat zodat: y’ = y z’ = z We vinden voor de coördinaten loodrecht op de bewegingsrichting dus dezelfde resultaten als bij de GalileÏtransformatie. Merk op dat we in de bovenstaande redenering de aanname van isotropie van de ruimte hebben gemaakt.

- 32 -