BARISAN DAN DERET 1. INTISARI TEORI A. NOTASI SIGMA n
Misalnya suatu barisan berhingga a1 , a 2 , a3 ,..., a n . Lambang
a
k
menyatakan jumlah
k 1
n
dari n suku pertama barisan, yaitu
a
a1 a 2 a3 ... a n .
k
k 1
Sifat-sifat Notasi Sigma Jika m dan n adalah bilangan-bilangan asli, dengan m n dan c adalah konstanta real, maka berlaku n
1.
a
a1 a 2 a3 ... a n
k
k 1
n
2.
ak
k 1
n
a
j
j 1
n
3. a.
n
c (n m 1)c
c nc
b.
k m n
4.
k 1
ca k c
k 1
a
k
k 1
n
5.
n
ak
bk
k m n
6.
ak
n
k m
bk 2
k m p
7.
a
k
n
a k bk
k m
n
b
2 k
k m
k
k m
n 1
n
c.
a k 1
k m 1
k
k 1
m
k
k 0
k 1
k 1
n n 1 2
1 2 1 n n 2 2
1 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
k 1
n 1
k
a m
k 1 2 3 ... n
a
a a
B. DERET KHUSUS n
k 1
k m 1
n
d.
k 1
k m
1.
ak
k m
n 1
n
a a
a
k
n
k
ak
b
a k2 2
a a
k m
9.
k p 1
n
b.
n
n
n
k m
k m
k m
8. a.
ak
k 2
k 1
n
2.
k
2
12 22 32 ... n 2
n n 1 2n 1
k 1
n n 1 k 1 2 3 ... n 2 k 1 n
3.
3
3
3
3
k 4 14 24 34 ... n4
n
k
5
k 1 n
6.
k
6
k 1
n
7.
k
7
k 1 n
8.
k
8
k 1
30
1 1 5 1 15 25 35 ... n5 n6 n5 n 4 n 2 6 2 12 12 1 1 1 1 1 16 26 36 ... n6 n7 n6 n5 n3 n 7 2 2 6 42
1 1 7 7 4 1 2 17 27 37 ... n7 n8 n7 n6 n n 8 2 12 24 12 1 1 2 7 2 1 18 28 38 ... n8 n9 n8 n7 n5 n3 n 9 2 3 15 9 30
n
9.
k
9
19 29 39 ... n9
k 1
1 10 1 9 3 8 7 6 1 4 3 2 n n n n n n 10 2 4 10 2 20
n
10.
k
10
n n 1 2n 1 3n 2 3n 1
k 1
5.
2
3
n
4.
1 1 1 n3 n2 n 3 2 6
6
110 210 310 ... n10
k 1
1 11 1 10 5 9 1 5 n n n n 7 n5 n3 n 11 2 6 2 66
C. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika didefinisikan sebagai suatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Bentuk umum barisan aritmetika: u1 , u2 , u3 ,..., un a, a b, a 2b,..., a n 1b
Berdasarkan definisi tersebut, kita memperoleh: b u n u n1 dan un a n 1b
dengan: a = u1 = suku pertama
un = suku ke-n
n = banyak suku
un1 = suku ke-(n 1)
b = beda atau selisih antara dua suku yang berurutan Ditinjau dari bedanya, barisan aritmetika dibagi menjadi dua macam, yaitu , barisan aritmetika naik, jika b 0 dan barisan aritmetika turun jika b 0 . a. Sifat Barisan Aritmetika
2 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
Jika suku ke-n suatu barisan merupakan fungsi linear dalam n, maka barisan itu adalah barisan aritmetika. un a n 1b bn a b (fungsi linear dalam n)
b. Rata-rata Hitung Rata-rata hitung dari dua bilangan x dan y didefinisikan sebagai
1 ( x y ) , y membentuk barisan aritmetika. Jika tiga buah bilangan 2
Bilangan x,
membentuk barisan aritmetika, maka bentuk sederhananya Demikian
1 ( x y) . 2
pula,
jika
u1 , u2 , u3
membentuk
barisan
a b, a, a b .
aritmetika,
maka
1 u1 u3 . 2 c. Suku Tengah pada Barisan Aritmetika Jika barisan aritmetika mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku terakhir un, maka suku tengah ut ditentukan oleh rumus: u2
ut
1 a u n , dengan t 1 n 1 2 2
d. Sisipan pada Barisan Aritmetika Antara dua suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika dapat disisipkan beberapa suku baru sehingga dengan suku-suku yang lama membentuk barisan aritmetika baru. Jika antara setiap dua suku disisipkan k buah suku baru, maka Barisan aritmetika lama: a, a b, a 2b,... Barisan aritmetika baru: a, a b', a 2b',..., a (k 1)b' Sehingga diperoleh 1. hubungan antara b, b' , dan k a b a k 1b' b'
b k 1
2. hubungan antara n, n' , dan k n' n ( n 1)k
dengan: k = banyak suku yang disisipkan b = beda antara dua suku berurutan dari barisan aritmetika baru b = beda antara dua suku berurutan dari barisan aritmetika lama n = banyak suku barisan aritmetika lama n = banyak suku barisan aritmetika baru 2. Deret Aritmetika Deret aritmetika (deret hitung atau deret tambah) adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum deret aritmetika: 3 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
u1 + u2 + u3 + … + un
a a b a 2b ... a n 1b
Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika ditulis S n yang dirumuskan sebagai n a un atau Sn n 2a n 1b 2 2 dengan: Sn
S n = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
n = banyak suku
un = suku ke-n
Deret aritmetika dapat dituliskan dalam notasi sigma sebagai beriku. n
u
k
u1 u 2 u 3 ... u n
k 1
n u1 u n 2
n
a k 1b a a b a 2b ... a n 1b 2 2a n 1b n
k 1
a. Sifat Deret Aritmetika Jika dari sebuah deret, jumlah n suku pertama merupakan fungsi kuadrat dalam n tanpa suku tetap, maka deret itu adalah deret aritmetika. Sn
n 2a n 1b 2a b n bn 2 (fungsi kuadrat dalam n) 2 2
Dalam deret aritmetika berlaku sifat u n S n S n1 . Rumus langsung: A A S n n 2 B 1. Jika u n An B , maka 2 2 b A
u 2 An B A 2. Jika S n An 2 Bn maka n b 2A
Berikut ini sifat-sifat penting lainnya dari deret aritmetika. b. Deret Aritmetika Bersuku Ganjil Jika banyak suku suatu deret aritmetika ganjil adalah n buah, dengan suku pertama a, suku terakhir un , dan suku tengah ut , maka jumlah deret aritmetika itu adalah S n
n a un atau S n n ut . 2
c. Sisipan pada Deret Aritmetika Sifat-sifat sisisipan pada barisan aritmetika berlaku pula pada sisipan deret n' aritmetika. Jika jumlah n' deret aritmetika baru S n' a u n dan jumlah 2
deret aritmetika lama S n
n a u n , dengan n = banyak suku barisan aritmetika 2
lama dan n = banyak suku barisan aritmetika baru, maka pada deret aritmetika berlaku hubungan S n ' : S n
n' : n .
4 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
D. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1. Barisan Geometri Barisan geometri didefinisikan sebagai suatu barisan dengan rasio (perbandingan/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Bentuk umum barisan geometri: u1, u2, u3 , … , un a, ar, ar 2 ,..., ar n 1
Berdasarkan definisi itu dapat dikemukakan bahwa:
r
un dan u n ar n 1 u n 1
dengan: a = suku pertama
un = suku ke-n
n = banyak suku
un 1 = suku ke-(n1)
r = rasio antara dua suku yang berurutan Barisan geometri dapat dikelompokkan menjadi 3 macam, yaitu barisan geometri naik, jika a 0 dan r 0 , barisan geometri turun jika a 0 dan 0 r 1 , dan barisan geometri bergoyang (alternate) yang suku-sukunya bergantian positif dan negatif, jika r 0 . a. Sifat Barisan Geometri Jika suku ke-n suatu barisan merupakan fungsi eksponen dalam n yang tidak mengandung suku tetapan, maka barisan itu adalah barisan geometri. u n ar n 1 (fungsi eksponen dalam n)
b. Rata-rata Ukur Rata-rata ukur dari dua bilangan x dan y didefinisikan sebagai x 0 dan y 0 . Bilangan x,
rasio
xy , dengan
xy , y membentuk barisan geometri dengan
y . Jika tiga buah bilangan membentuk barisan geometri, maka x
bentuk sederhananya
a , a, ar , dengan r adalah rasio. Demikian pula, jika u1, r
u2, u3 membentuk barisan geometri, maka u 2 u1u 2 . c. Perkalian Suku-suku Barisan Geometri Hasil kali suku-suku barisan geometri P a ar ar 2 ... ar n 1 a n r
n n 1 2
d. Suku Tengah pada Barisan Geometri Jika barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku terakhir un, maka suku tengah ut ditentukan oleh rumus: u t2 a u n , dengan t
1 n 1 2
Hasil kali suku-sukunya P utn 5 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
e. Sisipan pada Barisan Geometri Apabila antara setiap dua suku yang berurutan harus disisipkan k buah suku baru yang dengan suku-suku lama merupakan barisan geometri baru, maka Barisan geometri lama: a, ar , ar 2 ,... Barisan aritmetika baru: a, ar ' , ar '2 ,..., ar 'k 1 Sehingga diperoleh 1. hubungan antara r , r ' , dan k ar ar '
k 1
r ' k 1 r
2. hubungan antara n, n' , dan k n' n n 1k
dengan: k = banyak suku yang disisipkan r = rasio antara dua suku berurutan dari barisan geometri baru r = rasio antara dua suku berurutan dari barisan geometri lama n = banyak suku barisan aritmetika lama n = banyak suku barisan aritmetika baru 2. Deret Geometri Deret geometri (deret ukur/deret kali) adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Bentuk umum deret geometri: u1 u2 u3 ... un a ar ar 2 ... ar n1
Jumlah n suku pertama dari deret geometri ditulis Sn yang dirumuskan sebagai Sn
a r n 1 , r 1 r 1
dengan: S n = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
n = banyak suku
un = suku ke-n
Deret geometri dapat dituliskan dalam notasi sigma sebagai beriku. n
u
k
u1 u 2 u 3 ... u n atau
k 1 n
ar k 1 a ar ar 2 ... ar n 1
k 1
a r n 1 , r 1 r 1
a. Sifat Deret Geometri Jika dari sebuah deret, jumlah n suku pertama merupakan fungsi eksponen dalam n yang mengandung suku tetapan, maka deret itu adalah deret geometri.
6 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
a rn 1 ar n a (fungsi eksponen dalam n yang mengadung r 1 r 1 r 1 suku tetapan) Sn
Dalam deret geometri berlaku sifat-sifat un Sn Sn 1 . b. Sisipan pada Deret Geometri Sifat-sifat sisipan pada barisan geometri berlaku pula pada sisipan pada deret geometri. Jika r = rasio antara dua suku berurutan dari barisan geometri baru, a = suku pertama, dan n = banyak suku barisan aritmetika baru, maka jumlah n pertama deret geometri baru adalah S n '
a r ' 1 . r '1 n'
E. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Jumlah S dari deret geometri (deret kali/deret ukur) tak berhingga (deret geometri konvergen) a ar ar 2 ... dengan r 1 adalah S
a . 1 r
dengan: S = jumlah deret geometri
un = suku ke-n
a = suku pertama
un 1 = suku ke-(n1)
r
un = rasio antara dua suku yang berurutan u n1
F. INDUKSI MATEMATIKA Misalnya Pn adalah suatu pernyataan mengenai bilangan asli n. Kebenaran Pn untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa: 1. P1 benar, dan 2. andaikan Pn benar, maka Pn 1 juga benar. Secara sistematis, langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut. 1. Langkah 1 (baris induksi), merupakan pemeriksaan terhadap berlakunya teorema untuk bilangan asli terkecil, P1 . Catatan: Kadang-kadang bukti tidak dimulai dari n = 1, bukti boleh dimulai dari n = 2 atau yang lainnya. 2. Langkah 2 (langkah induksi atau bukti sifat induktif), andaikan Pn benar, maka harus dibuktikan bahwa Pn 1 juga benar.
7 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
3. Langkah 3 (kesimpulan), dari hasil yang diperoleh pada langkah 1 dan langkah 2 dapat disimpulkan jika teorema itu berlaku untuk semua bilangan asli n, maka
Pn terbukti.
F. PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET Untuk menentukan solusi masalah dalam kehidupan nyata yang berkaitan dengan barisan dan deret, ditempuh langkah-langkah berikut ini. 1. Mengidentifikasi karakteristik masalah yang akan ditentukan solusinya memiliki model matematika berbentuk barisan dan deret. 2. Merumuskan masalah itu yang model matematika berbentuk barisan dan deret. 3. Menentukan solusi modelnya. 4. Menafsirkan hasil yang diperoleh.
8 | Husein Tampomas, Barisan dan Deret, 2016
