60
BAB V INTEGRAL KOMPLEKS 5.1. INTEGRAL LINTASAN Misal C suatu lintasan yang dinyatakan dengan : z(t) = x(t) + i y(t) dengan t riil dan a ≤ t ≤ b. Lintasan C disebut lintasan tutup bila z(a) = z(b). Lintasan tutup C disebut lintasan tutup sederhana bila z( t1 ) ≠ z( t2 ) untuk t1 ≠ t2 ( lintasan tidak berpotongan ). Integral dari fungsi kompleks f(z) atas lintasan C disebut integral lintasan atau integral garis atau integral contour dinyatakan sebagai : ∫ f ( z ) dz C
Bila C : lintasan tutup maka dinotasikan : ∫ f ( z ) dz . C
Sifat integral lintasan :
[
]
1. ∫ k f ( z ) + l g ( z ) dz = k ∫ f ( z ) dz + l ∫ g ( z ) dz dengan k, l ∈ C. ( sifat linier ) C
C
C
2. ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz ( C : komposisi dari C1 dan C2 ) C z1
C1 z0
z0
z1
C2
3. ∫ f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz ( z0 dan z1 merupakan ujung-ujung dari lintasan C )
5.1.1. Integral Bergantung Lintasan Misal lintasan C dengan z(t) = x(t) + i y(t) ( a ≤ t ≤ b ) dan f(z) fungsi tidak analitik pada domain D ( yang memuat lintasan C ). Maka nilai integral lintasan f(z) terhadap C bergantung pada bentuk lintasan yang diambil dan dapat dinyatakan : b
∫ f ( z ) dz = ∫ f [ z ( t )] z '( t ) dt C
a
Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut : 1. Nyatakan lintasan C dalam z(t) = x(t) + i y(t), a ≤ t ≤ b 2. Cari turunan, z’ (t). 3. Substitusikan z(t) ke dalam f(z). 4. Integrasikan f(z) z’ (t) terhadap t. Berikut beberapa lintasan C dan penyajiannya dalam z(t) : 1. Lingkaran
61
Misal diberikan lintasan C berbentuk Lingkaran satuan ( lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan jari-jari 1) dan t sebagai sudut pusat. Maka diperoleh hubungan x = cos t dan y = sin t. it Oleh karena itu persamaan lintasan C, z(t) = x(t) + i y(t) = cos t + i sin t = e dengan 0 ≤ t ≤ 2π. Sedangkan lintasan C berbetuk lingkaran dengan pusat z = ( 0,0 ) dan jari-jari r dapat ditentukan dengan cara sama, sehingga persamaan dituliskan sebagai : z ( t ) = x( t ) + i y ( t ) = r ei t dengan 0 ≤ t ≤ 2π. Menggunakan trasformasi salib sumbu dan bentuk persamaan lintasan di atas didapatkan persamaan lintasan C berbentuk lingkaran dengan pusat z0 dan jari-jari r, yaitu: z( t ) = z0 + r eit , dengan 0 ≤ t ≤ 2π. 1 atas lintasan C berbentuk lingkaran satuan dengan z arah berlawanan jarum jam.
Contoh 5.1. Hitung integral dari f ( z ) =
Jawab : it • Persamaan lintasan C : z(t) = e dengan 0 ≤ t ≤ 2π. it • z ‘(t) = i e 1 • f (z) = = e −i t . z •
∫
2π
f ( z ) dz =
C
∫
2π
f (z ) z ' ( t ) dt =
0
∫
ei t i e− i t dt = 2 π i
0
2. Segmen Garis Misal lintasan C berbentuk segmen garis dari z0 ( x0,y0 ) ke z1( x1,y1 ). Maka kita pilih terlebih dahulu interval parameter t, misal 0 ≤ t ≤ 1 dan dengan cara deduktif dapat diturunkan persamaan untuk lintasan C yaitu : t = 0 ⇒ x ( t ) = x0 , y ( t ) = y0 ⇒ z ( t ) = x0 + i y0 = z 0 1 x + 3 x1 y + 3 y1 1 t = ⇒ x (t ) = 0 , y (t ) = 0 ⇒ z ( t ) = z0 + (z1 − z 0 ) 4 4 4 4 ............................................................................................................ ............................................................................................................. ............................................................................................................. t = 1 ⇒ x ( t ) = x1 , y ( t ) = y1 ⇒ z ( t ) = z1 Secara umum persamaan lintasan C berbentuk segmen garis dari z0 ke z1 yaitu : z ( t ) = z0 + t (z1 − z 0 ) dengan 0 ≤ t ≤ 1
Contoh 5.2. Hitung
∫
f ( z ) dz dengan f ( z ) = z dan lintasan C berupa segmen garis dari z
C
= 2 - 3i ke z = 1 + 2i. Jawab :
62
• Persamaan lintasan C : z(t) = 2 - 3i + t ( -1 + 5i ) = 2 - t + i ( -3 + 5t ), 0 ≤ t ≤ 1. • Turunan, z ‘ (t) = -1 + 5i. • f ( z ) = z = 2 − t − i ( − 3 + 5t ) •
∫
1
f ( z ) dz =
C
∫
1
f ( z) z '( t ) dt = ∫ (2 − t − i ( − 3 + 5t ) )(− 1 + 5i ) dt =
0
0
−7 + 7i 2
3. Ellips
( x − x0)2 + ( y − y0 )2
= 1 dengan arah positif. a2 b2 Maka dengan cara sama seperti menentukan persamaan lintasan yang berbentuk lingkaran, didapatkan : z(t) = z0 + a cos t + i b sin t dengan 0 ≤ t ≤ 2π dan z0 = ( x0,y0 ). Misal Lintasan C berbentuk ellips :
Contoh 5.3. Hitung
∫
f ( z ) dz dengan f(z) = x - i y dan lintasan C berbentuk ellips
C 2 4 x + y 2 = 4 dengan arah berlawanan jarum jam.
Jawab : 2
y2
• Bentuk lintasan C : x + 2 = 1 dengan penyajian z(t) = cos t + 2 i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π. 2 • Turunan, z ‘ ( t ) = - sin t + 2 i cos t. • f(z) = cos t - 2 i sin t
∫
2π
f ( z ) dz =
• C
∫
( cos t − 2 i sin t ) ( − sin t + 2 i cos t) dt =
0
2π
∫
0
3 sin 2 t + 2 i dt 2
−3 2π = cos 2t + 2 it = 4πi 4 0
4. Kurva Bila lintasan C dinyatakan sebagai persamaan kurva maka kita dapat memisalkan x(t) = t. Sehingga interval parameter t dan bentuk y(t) sangat bergantung berturut-turut terhadap nilai x dari titik dan persamaan kurva yang diberikan. Sebagai contoh, misal lintasan 2 C berupa kurva dengan persamaan y = 3 x - 3 dari titik ( -1,0 ) ke titik ( 0,-3 ). Persamaan 2 lintasan : z(t) = x(t) + i y(t) = t + i ( 3 t - 3 ) dengan -1 ≤ t ≤ 0. Contoh 5.4. Hitung integral dari fungsi f(z) = x y + 2 i y atas lintasan C sepanjang kurva y = 3 2 x - 3 dari titik ( -1,0 ) ke titik ( 0,-3 ). Jawab : 2 • Persamaan lintasan C : z(t) = x(t) + i y(t) = t + i ( 3 t - 3 ) dengan -1 ≤ t ≤ 0. • Turunan, z ‘ (t) = 1+ 6 i t
63
• •
(
) (
)
(
)
f (z) = t 3 t 2 − 3 + 2 i 3 t 2 − 3 = 3 t 3 − 3 t + i 6 t 2 − 6
∫
− 39 32 3 t 3 − 3 t + i ( 6 t 2 − 6) ] (1 + 6 i t ) dt = + i [ 4 5 −1 0
f ( z ) dz =
C
∫
5.1.2. Integral Bebas Lintasan Dalam keadaan khusus integral lintasan tidak bergantung ( bebas ) terhadap lintasan artinya nilai integral lintasan akan bernilai sama walaupun lintasannya berbeda asalkan titik-titik ujung lintasan tetap. Syarat perlu dan cukup untuk keadaan tersebut diberikan berikut. Domain D disebut tersambung sederhana bila setiap lintasan tutup sederhana dalam D melingkupi titik-titik pada D. Misal f(z) analitik pada domain tersambung sederhana D. Maka terdapat fungsi analitik F(z) sehingga F’ (z) = f(z) untuk setiap z ∈ D dan nilai integral dari f(z) terhadap setiap lintasan yang menghubungkan dari titik z0 ke z1 dinyatakan sebagai: z1
∫ f ( z ) dz = F ( z1) − F ( z 0)
z0
Dari kondisi di atas dapat disimpulkan bahwa bila f(z) analitik pada domain tersambung sederhana yang memuat lintasan tutup C maka
∫
f ( z ) dz = 0 .
C
∫
Contoh 5.5. Hitung
f ( z ) dz bila f(z) = z sin z dan lintasan C berupa ruas garis yang
C
menghubungkan dari titik ( π,3π ) ke titik ( 2π,-π ). Jawab : Pandang bahwa f(z) = z sin z merupakan fungsi entire, sehingga analitik pada domain tersambung sederhana yang memuat lintasan C. Oleh karena itu, integral lintasan dari f(z) tidak bergantung ( bebas ) bentuk lintasan. Jadi :
∫ C
2 π − iπ
f ( z ) dz =
∫
2 π − iπ = π +3 π i
z sin z dz = ( − z cos z + sin z )
π +3 π i
= (π i − 2 π) cosh π − sinhπ − (π + 3 πi ) cosh 3π + sinh 3π
Soal Latihan____________________________________________________________ ( Nomor 1 sd 4 ) Nyatakan dalam z = z(t) , segmen garis dengan titik ujung, 1. z = -3 + 2i dan z = -4 + 5i. 2. z = 0 dan z = 5 + 10i. 3. z = 4 + 2i dan z = 3 + 5i.
4. z = 1 - i dan z = 9 - 5i. ( Nomor 5 sd 10 ) Nyatakan kurva berikut dalam z = z(t) 5. | z - i | = 2
64 2
6. y = x dari ( 0,0 ) ke ( 2,4 ) 7. | z -3 + 4 i | = 4 8. x 2 + y 2 = 1 9. y = 1/ x dari ( 1,1 ) ke ( 3,1/3 ) 2 10. 4( x − 1) 2 + 9( y + 2) = 36
( Nomor 11 sd 22 ) Hitung : ∫ f ( z ) dz dengan : C
11. f ( z ) = z
dan
C
: setengah −π π lingkaran , z = 2 eit ( ≤t≤ ) 2 2 dari titik z = -2i ke z = 2i. 2 12. f(z) = y - x - 3ix dan C : segmen garis dari titik 0 ke 1 + i. 2 13. f(z) = y - x - 3ix dan C : segmen garis dari titik 0 ke i. dilanjutkan ke 1 + i. 14. f ( z ) = z dan C : setengah lingkaran z = 3 eit ( 0 ≤ t ≤ π) dari titik z = 3 ke z = -3. 1 ,y< 0 15. f ( z ) = dan C : dari 4 y , y > 0 z = -1 -i ke z = 1 + i sepanjang y = 3 x 2 16. f(z) = Re z dan C : parabola y = x dari 0 ke 1 + i. z+2 17. f ( z ) = dan C : z z = 2 eit (0 ≤ t ≤ π) mempunyai arah berlawana jarum jam
z+2 dan C : z z = 2 eit (π ≤ t ≤ 2π) mempunyai arah positif. z+2 19. f ( z ) = dan C : z z = 2 eit (0 ≤ t ≤ 2π) mempunyai arah positif 18. f ( z ) =
20. f ( z ) = ( z − 1) −1 − ( z − 1) − 2 dan C : | z -1 | = ½ ( searah jarum jam ) 2 21. f(z) = Im z dan C : dari 0 ke 2+4i. sepanjang segmen garis. 2 22. f(z) = Im z dan C : dari 0 ke 2+4i. 2 sepanjang parabola y = x . ( Nomor 23 sd 27 ) Selidiki apakah integral dari f(z) atas C bebas lintasan dan tentukan ∫ f ( z ) dz bila : C
23. f ( z ) = e2 z dan C : segmen garis dari π i ke 2π i. 24. f ( z ) = sec2 z dan C : sembarang lintasan dari π i/4 ke π/4 di dalam lingkaran satuan. 25. f ( z ) = z cos z 2 dan C : sembarang lintasan dari 0 ke π i. 1 26. f ( z ) = dan C : lingkaran 2z − 5 satuan ( arah positif ) 27. f ( z ) = z 2 sec z dan C : lingkaran satuan ( arah berlawanan jarum jam ).
_______________________________________________________________________
5.2. INTEGRAL CAUCHY Rumitnya perhitungan integral lintasan mendorong timbulnya cara-cara atau metode yang lebih mudah dan praktis untuk menyelesaikannya . Hal ini nampak dari berbagai usaha ke arah sana walaupun hanya sebatas integral terhadap lintasan tutup, seperti yang dikenalkan oleh Cauchy berikut.
65
Titik z disebut titik interior dari lintasan tutup C bila terdapat lingkungan dari z yang termuat di dalam C.Misal fungsi f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tutup C arah positif , z0 titik 1 f (z) interior dari C. Maka f ( z0 ) = dz dengan z di dalam lintasan C. Bentuk ∫ 2π i C z − z 0 integral di atas dikenal dengan Rumus Integral Cauchy. Penerapan integral Cauchy di atas dapat dilihat dari dua contoh yang diberikan berikut.
Contoh 5.6. Hitung
∫
C
ez dz dengan C berupa | z | = 2 dan berlawanan jarum jam. z −i
Jawab : Lintasan C berbentuk lingkaran dengan pusat z = 0 dan jari-jari 2 dan z = i merupakan titik z interior dari C. Misal f(z) = e . Maka f(z) merupakan fungsi entire, sehingga analitik di dalam dan pada lintasan C. Karena semua syarat telah dipenuhi maka penerapan integral Cauchy dilakukan sebagai berikut : 1 f (i ) = 2πi Jadi :
∫
C
∫
C
f (z) dz ⇔ ei 2 π i = z−i
∫
C
ez dz z −i
ez dz = 2π(− sin1 + i cos1) z−i
Contoh 5.7. Hitung
∫
z sin z
2 C z −1
dz dengan C berupa | z | = 2 dan berlawanan jarum jam.
Jawab : Titik interior dari C adalah z = i dan z = -i. 1 z sin z 1 Pandang : 2 = sin z + . 2 (z − i) 2 (z + i) z −1 Menggunakan sifat linier integral lintasan didapatkan : z sin z 1 sinz 1 sin z ∫ z 2 − 1 dz = 2 ∫ z − i dz + 2 ∫ z + i dz = π i (sini + sin( − i)) = 0 C
C
C
5.2.1. Turunan Fungsi Analitik Secara umum, untuk z titik interior pada C maka bentuk integral Cauchy menjadi : 1 f ( s) f (z) = ds dengan s di dalam C. Bila f(z) diturunkan terhadap z maka ruas ∫ 2π i C s − z kanan juga diturunkan terhadap z, caranya integran diturunkan terhadap z dengan memandang peubah lain sebagai konstanta. Menggunakan cara deduktif kita dapat memperoleh turunan tingkat ke-n sebagai berikut : 1 f ( s) ds Turunan ke-1 f ' ( z ) = ∫ 2π i C ( s − z ) 2
66
f "( z) =
Turunan ke-2
1 f ( s) ds ∫ πi C ( s − z ) 3
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………………………….. n! f ( s) ds Turunan ke-n f (n ) ( z ) = ; n = 0,1,2,... ∫ 2π i C ( s − z ) n +1 Bentuk turunan di atas merupakan bentuk perluasan dari integral Cauchy yang pada dasarnya dapat juga diterapkan untuk menyelesaikan integral lintasan, sebagaimana contoh berikut.
Contoh 5.8. Hitung
∫
z ez
( )3 C z−i
dz dengan C berupa | z | = 2 dan berlawanan jarum jam.
Jawab : Titik interior C : z = i. z z z Misal f(z) = z e . Maka f “ (z) = 2 e + z e . Jadi :
z ez
∫ 3 C (z − i)
(
)
dz = π i 2 ei + i ei = − π( cos1 − 2 sin1 ) + π i (2 cos1 − sin1)
Soal Latihan____________________________________________________________
( Nomor 1 sd 7 ) Lintasan C dibatasi oleh garis x = ± 2 dan y = ± 2 ( arah positif ). Hitung integral berikut :
e
C 2.
∫
cos z dz
(
)
2 C z z +1
z dz C 2z + 1
3. ∫
4. 5.
∫
tan
(
z 2
C z − x0
∫
C
cosh z z4
7.
∫
)
cosh z
4 − z 2 dz z C ( z − 1) cos z
∫
C
−z
dz πi z− 2
1. ∫
6.
( Nomor 8 sd 15 ) Hitung integral dari g(z) atas lintasan C , bila : 1 8. g ( z ) = 2 ;C:|z - i|=2 ( z +4 arah positif ) 1 9. g ( z ) = 2 ;C:|z - i|=2( 2 z +4
(
2 dz ; − 2 < x0 < 2
dz
dz
z2 + 1
)
arah positif ) sin z 10. g ( z ) = ; C:|z -2+3i| z + 3i = 1 (arah positif )
67
1 11. g ( z ) = 2 z +1 (arah positif )
;C:|z -i|=1
z ez
12. g ( z ) = 2 ;C:|z+i|=1 z +1 (berlawanan jarum jam )
C
dengan C ≡ | z | = 2 arah positif, bila g(z) =
16.
2
2z − z − 2 , C:| z | = 3 z−2 ( arah positif ) z3 + 2z 14. g ( z ) = , w di dalam ( z − w) 3 lintasan tutup sederhana C yang mempunyai arah positif. ln z 15. g ( z ) = , C ≡ | z − 5| = 3 ( ( z − 4) 3 arah positif ) 13. g ( z ) =
( Nomor 16 sd 21 ) Hitung ∫ g ( z ) dz
17.
z2
( z − i) 2 z4
( z − i 3) 2
cos z 18. 3 z +z 19. 20.
21.
eπ z z2
z3 z ( z + 1) 3 ez sin z z2
Daftar Pustaka. 1. E B Saff, A D Snider, Fundamental of Complex Analysis for mathematics, Science, and Engineering, Prentice Hall Inc, USA, 1976. ( Hal 89 sd 170 ) 2.
