BAB III PEMODELAN KOLOM DAN PERHITUNGAN

BAB III PEMODELAN KOLOM DAN PERHITUNGAN


3.1.

Asumsi Dasar Pada analisis model matematik yang akan dikembangkan, perlu ditetapkan beberapa

asumsi dasar agar rumusan yang diturunkan dan teori bisa berlaku. Asumsi-asumsi dasar yang diambil adalah sebagai berikut : 1. Penampang yang akan dianalisis adalah penampang beton kolom segmental prategang pracetak dengan bentuk persegi empat yang menerima beban lentur satu arah dan aksial tekan. Sedangkan pengaruh pertambahan momen akibat eksentrisitas gaya tekan aksial terhadap lendutan tidak diperhitungkan. 2. Antara beton dan baja, baik baja tulangan maupun prategang tidak terjadi pergeseran (slip) dengan anggapan bahwa terjadi lekatan sempurna. 3. Perubahan bentuk pertambahan panjang dan perpendekan (regangan tarik dan tekan) pada serat-serat penampang, berbanding lurus dengan jarak tiap serat ke sumbu netral. Dengan kata lain penampang rata akan tetap berupa bidang rata (Asas Navier). 4. Tegangan tarik beton tidak dianggap nol dan mengikuti aturan effective embedded zone seperti yang telah dijelaskan pada bab dasar teori. 5. Diagram tegangan penampang diasumsikan berbentuk parabola. 6. Hubungan tegangan-regangan beton dan baja tulangan sesuai dengan kurva teganganregangan yang terdapat pada bab II. Untuk baja prategang digunakan jenis low-relaxation strands. 7. Bidang momen yang bekerja pada kolom akibat lentur berbentuk segitiga

22


3.2.

Pemodelan Kolom Beton Prategang. Kolom terdiri atas dua buah model : 1. Kolom Segmental Prategang Pracetak 2. Kolom Monolit Prategang Kedua kolom memiliki dimensi yang sama 600x600 mm2.

(a)

23


(b)

(c)

(d)

Gambar 3.1 (a)Penampang Kolom pada Bagian Segmen (b) Tegangan dan Regangan Akibat Beton dan Tulangan Biasa (c) Tegangan dan Regangan Akibat Pre-Stressed dan Beban Aksial

Proses pembuatan diagram momen kurvatur mengambil nilai regangan tekan beton pada serat atas pada tiga kondisi yang berbeda, yaitu keadaan pada saat crack, saat yield, dan saat ultimate. Adapun prosedur perhitungan penentuan diagram momen kurvatur penampang beton yang dikenakan sistem prategang adalah sebagai berikut :

24


1. Menetapkan properties penampang yaitu f’c, fy steel, fy tendon, fe, Ec , Es , dan dimensi penampang. 2. Asumsikan penampang mengalami crack pada serat tarik terluar, dimana regangan pada saat crack dapat dihitung dengan menggunakan rumus (2.8) , (2.12), dan (2.13) f cr = 0,6λ f 'c MPa Ect = 5500

ε cr =

f 'c MPa

f cr Ect

3. Asumsikan sembarang nilai c . Hitung gaya-gaya yang terjadi pada penampang yang terdiri dari gaya pada beton, gaya pada tulangan baja, dan gaya pada tendon pre-stressed. 4. Untuk menghitung gaya tekan beton (Cc) dihitung dengan metode “ Rectangular Stress

Block Factor ” dimana nilai Cc didekati dengan bentuk persegi panjang dengan faktor α untuk pengali nilai c dan β untuk pengali f’c. Berikut gambar ilustrasinya :

Gambar 3.2 Tegangan dan Regangan pada Penampang

ε 1⎛ ε ⎞ α β = c − ⎜⎜ c ⎟⎟ ε 'c 3 ⎝ ε 'c ⎠

2

(3.1)

25


β=

4 − ε c / ε 'c 6 − 2 ε c / ε 'c

(3.2)

y = c − 0 .5 β c

(3.3)

Cc = α f ' c β c b

(3.4)

5. Untuk mencari besarnya gaya pada tulangan baja non-prestressed dihitung dengan mengguanakan persamaan :

Fs = fs As

(3.5)

Dimana untuk mencari fs digunakan persamaan (2.1) atau persamaan (2.2) 6. Untuk mencari besarnya gaya pada tulangan baja prestressed dihitung dengan menggunakan persamaan-persamaan :

ε ' p _ tot = ε pe + ε ce − ε ' p

(3.8)

ε p _ tot = ε pe + ε ce + ε p

(3.9)

Dengan catatan,

ε pe =

Pe Ap E p

ε ce =

Pe Atrans Ec

Atrans = bh + (ns - 1)As_tot

(3.10)

(3.11) (3.12)

Dari regangan baja prategang diatas, maka dapat dicari besar tegangan pada baja prategang (fp) dengan menggunakan persamaan (2.4) sehingga gaya pada baja prategang dapat dihitung dengan persamaan berikut. Fp = Ap fp

(3.13)

26


7. Berdasarkan keseimbangan gaya ΣF = 0 , maka diperoleh persamaan sebagai berikut (khusus untuk kondisi seperti pada gambar 3.1) : Pn = Cc + Fs1 + Fs2 +Paksial - Fs3 - Fs4 - Tc - Fp_top - Fp_mid - Fp_bot

(3.13)

Jika nilai Pn yang didapat tidak nol (0), maka nilai asusmsi “c” salah. Untuk mendapatkan nilai Pn = 0 maka perlu dicoba berbagai nilai “c”.Setelah kondisi kesetimbangan gaya-gaya didapat, nilai momen lentur dapat ditentukan dengan peramaan berikut yang mengabil serat tengah penampang sebagai referensi : h⎞ ⎛ h βc ⎞ ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎛ M = C c ⎜ − ⎟ + Fs1 ⎜ − d1 ⎟ + ( Fs 2 + T p _ top )⎜ − d 2 ⎟ + ( Fs 3 + T p _ bot )⎜ d 3 − ⎟ 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ h⎞ ⎛ + Fs 4 ⎜ d 4 − ⎟ + Tc (h' ) 2⎠ ⎝

(3.14)

Dimana h’ adalah panjang lengan momen untuk gaya tarik dari beton. 8. Hitung kurvatur untuk keadaan tersebut, dimana besar kurvatur adalah :

ϕ=

ε c _ terluar c

9. Kemudian prosedur perhitungan diatas (2 sampai 7) dilakukan terus menerus dengan keadaan berbeda, yaitu pada saat yield ( ε s 4 = ε y ) dan pada saat ultimate ( M n = M u ). 10. Plot setiap momen dan kurvatur yang didapat untuk tiap keadaan. 11. Berdasarkan asumsi-asumsi yang ditetapkan, diambil batasan - batasan sebagai berikut. •

Tegangan karakteristik beton,

fc’ = 35 MPa.

•

Tegangan leleh baja,

fy = 240 MPa.

•

Modulus Elastisitas baja tulangan ,

Es = 200.000 MPa.

•

Tegangan ultimate baja prategang ,

fpu = 1860 MPa.

•

Tegangan leleh baja prategang,

fpy = 0.2% offset method = 1695 MPa.

•

Modulus Elastisitas baja tulangan,

Eps = 200.000 MPa.

•

Tegangan efektif baja prategang,

fpe = 1304 MPa. 27


12. Untuk bagian joint mengikuti pemodelan sebagai berikut :

Gambar 3.2 Tegangan dan Regangan pada Penampang Kolom pada Bagian Joint

13. Selanjutnya lakukan prosedur yang sama (1 sampai 10) untuk keadaan joint. Batasan-batasan yang diambil untuk daerah joint adalah sebagai berikut :

3.3.

•

Tegangan karakteristik beton,

fc’ = 45 MPa.

•

Tegangan ultimate baja prategang ,

fpu = 1860 MPa.

•

Tegangan leleh baja prategang,

fpy = 0.2% offset method = 1695 MPa.

•

Modulus Elastisitas baja tulangan,

Eps = 200.000 MPa.

•

Tegangan efektif baja prategang,

fpe = 1304 MPa.

Perhitungan Momen Kurvatur Pada Bagian Segmen

Pada sub bab kali ini akan diberikan contoh perhitungan untuk mendaptkan kurva momen kurvatur. Contoh perhitungan detail diberikan pada saat salah satu keadaan yaitu pada saat crack. Sedangkan untuk kondisi yield dan ultimate akan diberikan resume hasil keadaan pada saat keadaan tersebut.

28


3.3.1 Pada Saat Crack

•

Asumsikan penampang mengalami crack pada serat tarik terluar, dimana regangan pada saat crack dapat dihitung dengan menggunakan rumus (2.8) , (2.12), dan (2.13)

•

f cr = 0,6λ f ' c = 0,6 × 1 × 35 = 4,03 MPa

Ect = 5500

ε cr =

f 'c = 5500 45 = 36.895,12 MPa

f cr = 1,09 × 10 − 4 Ect

Asumsikan sembarang nilai c (c = 382.5 mm, nilai ini merupakan nilai yang didapat dari hasil iterasi). Dengan nilai c tersebut maka dapat dicari nilai ε c (serat tekan terluar). Dan diagram regangannya adalah sebagai berikut :

⎛ 600 − c ⎞ −4 ⎟ε cr = 2.31 × 10 c ⎝ ⎠

o

εc = ⎜

o

ε s1 = ⎜

o

ε s2 = ⎜

o

ε s3 = ⎜

o

ε s4 = ⎜

⎛ c − 75 ⎞ −4 ⎟ε c = 1.89 × 10 ⎝ c ⎠ ⎛ c − 275 ⎞ −4 ⎟ε c = 1.04 × 10 ⎝ c ⎠

⎛ c − 375 ⎞ −5 ⎟ε c = 1.85 × 10 c ⎝ ⎠

Gambar 3.3 Regangan Crack

•

⎛ 525 − c ⎞ −5 ⎟ε cr = 6.65 × 10 ⎝ 600 − c ⎠

Untuk menghitung gaya tekan beton (Cc) dihitung dengan metode “ Rectangular Stress Block Factor ” dimana nilai Cc didekati dengan bentuk persegi panjang dengan faktor α untuk pengali nilai c dan β untuk pengali f’c.

29


ε 'c =

β=

2 × f 'c 2 × f 'c = = 2.28 × 10 −3 Ect 5500 f ' c

4 − ε c / ε 'c = 0.67 6 − 2 ε c / ε 'c 2

•

εc 1⎛ εc ⎞ ⎟ − ⎜ ε ' c 3 ⎜⎝ ε ' c ⎟⎠ = 0.146 α= β Cc = α f ' c β c b = 840.62 kN

Untuk mencari besarnya gaya pada tulangan baja non-prestressed dihitung dengan mengguanakan persamaan :

Fs1 = fs1 As1

= ε s1 × E × 4 As = 20.04 kN

(tekan)

Fs2 = fs2 As2

= ε s 2 × E × 2 As = 5.5 kN

(tekan)

Fs3 = fs3 As3

= ε s 3 × E × 2 As = 0.98 kN

(tekan)

Fs4 = fs4 As4

= ε s 4 × E × 4 As = 7.07 kN

(tarik)

Jika didapat ε > εy , maka fs = fy •

Untuk mencari besarnya gaya pada tulangan baja pre-stressed dihitung dengan menggunakan persamaan-persamaan :

ε pe =

Pe Ap E p

= 6.57 x 10-3

ε ce =

Pe

= 1.76 x 10-5

Atrans = bh + (ns - 1)As_tot = 373331.8 mm2

ε p _ top _ tot = ε pe + ε ce − ε ' p _ top = 6.48 x 10-3

ε p _ mid _ tot = ε pe + ε ce − ε ' p _ mid = 6.53 x 10-3

ε p _ top _ tot = ε pe + ε ce − ε ' p _ bot = 6.57 x 10-3

Atrans Ec

30


•

Dari regangan baja prategang diatas, maka dapat dicari besar tegangan pada baja prategang (fp) dengan menggunakan persamaan (2.4) sehingga gaya pada baja prategang dapat dihitung dengan persamaan berikut.

•

⎡ 0,975 fp_top = 2 x 105 ε p_top_tot ⎢0,025 + 10 ⎢ 1 + (118ε p_top_tot ) ⎣

⎡ 0,975 fp_mid = 2 x 10 ε p_mid_tot ⎢0,025 + 10 ⎢ 1 + (118ε p_mid_tot ) ⎣

⎡ 0,975 fp_bot = 2 x 105 ε p_bot_tot ⎢0,025 + 10 ⎢ 1 + (118ε p_bot_tot ) ⎣

Fp_top = Ap1 fp_top

= 180.38 kN (tarik)

Fp_mid = Ap2 fp_mid

= 362.97 kN (tarik)

Fp_bot = Ap3 fp_bot

= 182.59 kN (tarik)

(

5

⎤ ⎥ 0.1 ⎥ ⎦

)

(

(

⎤ ⎥ 0.1 ⎥ ⎦

)

⎤ ⎥ 0.1 ⎥ ⎦

)

= 1288 MPa

= 1296 MPa

= 1304 MPa

Berdasarkan daerah tarik pada effektif embedded zone akibat adanya pre-stessed, maka dapat dicari besar gaya tarik oleh beton.

Gambar 3.4. Luas Embeded Zone Yang Mengalami Tarik

Luas daerah embedded zone yang mengalami tarik = 16521.4 mm2

Tc = 0.5 fcr Luas = 0.5 x 0.6 x

f ' c x Luas = 29.32 kN 31


•

Berdasarkan keseimbangan gaya ΣF = 0 , maka diperoleh persamaan sebagai berikut

Pn = Cc + Fs1 + Fs2 + Fs3 + Paksial - Fs4 - Fp_top - Fp_mid - Fp_bot - Tcp - Tcr = 840.62 + 20.04 + 5.5 + 0.98 + 100 – 7.06 – 180.38 – 362.97 – 182.59 – 29.32 - 204.8 = 0

•

Karena nilai Pn yang didapat sudah nol (0), maka

βc ⎞ ⎛ M = C c ⎜ 0.3 − ⎟ + ( Fs1 + Fs 4 )0.225 + ( Fs 2 − Fs 3 − T p _ top + T p _ bot )0.075 + Tcp (0.121) + Tcr (0.2) 2 ⎠ ⎝ = 124.08 kNm

(C)

Gambar 3.5 (a) Segmen Saat Crack (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Prestressed

(c) Diagram Tegangan Regangan Pre-Stressed 32


•

Kurvatur untuk keadaan tersebut adalah :

ϕ=

•

ε c _ terluar c

2.31 × 10 −4 = = 5.67 × 10 −7 rad = 0.567 rad km 407.67

Secara umum : c εc kurvatur Momen

= = = =

407.67 mm 0.000231 0.567 rad/km 189.23 KNm

3.3.2 Pada Saat Yield

Pada tahap ini regangan tulangan mencapai regangan lelehnya untuk pertama kalinya, dimana regangan leleh untuk tulangan bergantung juga pada besarnya tegangan leleh dari tulangan tersebut. Kontrol terjadinya leleh diperoleh ketika regangan dari tulangan tarik terluar sama dengan regangan lelehnya (ε y ) yang dapat dicari menggunakan persamaan (2.1).

Akibat dari crack yang terjadi pada serat terluar, maka akan terjadi retakan pada bagian yang mengalami tarik. Dengan adanya retak tentunya akan mengurangi luasan beton yang mampu menghasilkan gaya tarik. Jika lebar retak panjang, maka hal ini akan mengurangi luasan

effective embedded zone yang menyumbangkan gaya tarik beton. Karena pada perhitungan ini tidak dihitung panjang retak yang terjadi, maka kami mengasumsikan bahwa luasan effective

embedded zone yang tersisa adalah setengah dari luasan awalnya.

Efective Embeded Zone Saat Yield

Gambar 3.6 Effective Embedded Zone Saat Yield 33


Dengan melakukan prosedur yang sama dengan keadaan crack diatas, maka pada saat tulangan mengalami leleh pertama kali didapatkan beberapa parameter sebagai berikut : c εc kurvatur Momen

= = = =

175.31 Mm 0.000602 3.43 rad/km 248.06 kNm

Gambar 3.7 (a) Segmen Saat Yield (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Pre-Stressed

(c) Diagram Tegangan Regangan Pre-Stressed

34


3.3.3 Pada Saat Ultimate

Kondisi ultimate dicapai ketika momen yang dihasilkan mencapai nilai maksimumnya. Biasanya keadaan ini dicapai pada saat serat tekan dari beton mencapai regangan 0.003. Tetapi tidak menutup kemungkinan juga regangannya bisa melebihi nilai 0.003. Dari hasil trial and

error, maka pada saat mencapai momen ultimatenya didapatkan beberapa parameter sebagai berikut: c εc Kurvatur Momen

= = = =

77.37 Mm 0.003 38.77 rad/km 347.19 KNm

Gambar 3.8 (a) Segmen Saat Ultimate (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Pre-Stressed



Gambar 3.9 Plot 3 Titik Penting

Dari 3 titik penting yang didapat diatas, maka selanjutnya dilakukan proses trial and

error untuk titik-titik lain yang terdapat diantara ketiga titik penting tersebut untuk mencari besarnya kurvatur dan momennya . Hasil penggabungan nilai momen dan kurvatur dari tiap titiktitik hasil trial and error tersebut pada akhirnya dapat diplot sebagai grafik hubungan antara momen terhadap kurvatur.

Gambar 3.10 Grafik Momen Vs Kurvatur Untuk Bagian Segmen 36


3.4.

Perhitungan Momen Kurvatur Pada Bagian Joint

3.4.1 Pada Saat Crack

Pada tahap awal ini, akibat lentur dan aksial yang diterima oleh kolom, maka kolom akan mengalami keretakan pada bagian serat tarik terluar. Dari hasil trial and error dari program excel kami, maka pada saat kondisi terjadinya crack didapat beberapa parameter sebagai berikut: c εc Kurvatur Momen

= = = =

395.83 mm 0.000224 0.565 rad/km 217.43 kNm

Gambar 3.11(a) Joint Saat Crack (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Pre-Stressed



3.4.2 Pada Saat Yield

Pada tahap ini regangan tendon mencapai regangan lelehnya untuk pertama kalinya, dimana regangan leleh untuk tendon didekati dengan metode 0.2% offset method. Dengan metode ini didapat fy=1695 MPa. Dari hasil trial and error kami, maka pada saat tendon mengalami leleh pertama kali didapatkan beberapa parameter sebagai berikut : c εc Kurvatur Momen

= = = =

82.39 mm 0.0012 14.90 rad/km 245.33 kNm

Gambar 3.12 (a) Joint Saat Yield (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Pre-Stressed



3.4.2 Pada Saat Ultimate

Kondisi ultimate dicapai ketika momen yang dihasilkan mencapai nilai maksimumnya. Biasanya keadaan ini dicapai pada saat serat tekan dari beton mencapai regangan 0.003. Tetapi tidak menutup kemungkinan juga regangannya bisa melebihi nilai 0.003. Dari hasil trial and

error, maka pada saat mencapai momen ultimatenya didapatkan beberapa parameter sebagai berikut: c εc Kurvatur Momen

= = = =

50.42 mm 0.003 59.5 rad/km 269.13 kNm

Gambar 3.13 (a) Joint Saat Ultimate (b) Diagram Tegangan Regangan Non-Pre-Stressed



Gambar 3.14 Plot 3 Titik Penting

Dari 3 titik penting yang didapat diatas, maka selanjutnya dilakukan proses trial and

error untuk titik-titik lain yang terdapat diantara ketiga titik penting tersebut untuk mencari besarnya kurvatur dan momennya . Hasil penggabungan nilai momen dan kurvatur dari tiap titiktitik hasil trial and error tersebut pada akhirnya dapat diplot sebagai grafik hubungan antara momen terhadap kurvatur.

Gambar 3.15 Grafik Momen Vs Kurvatur Pada Bagian Joint 40


3.5.

Kurva Push Over

3.5.1. Kolom Monolit Pre-Stressed

Langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan kurva push over adalah :

•

Merubah kurva Momen Vs Kurvatur yang sudah diidealisasi menjadi Kurvatur Vs Length

Along Member. Cara merubahnya adalah membagi momen ultimate dengan besar gaya geser maksimumnya. Diketahui bahwa untuk bagian segmen, momen ultimatenya adalah = 347.19 kNm. Untuk tinggi kolom = 3 m ,maka gaya geser maksimumnya adalah = 115.73. Dengan membagi setiap momen dengan bilangan 115.73, maka didapat grafik sebagai berikut :

Gambar 3.16 Kurvatur Vs Length Along Member

•

Hitung luasan total yang berada dibawah kurva tersebut. Untuk menghitungnya digunakan dengan metode Integrasi Metode Trapesium. Dari hitungan kami denganmetode tersebut, didapatkan luasan total dibawah kurva tersebut adalah 11.228,3 satuan luas. (Untuk perhitungan detailnya dapat dilihat pada lampiran)

•

Hitung luasan dibawah kurva elastis saja. Luasan ini bisa didekati dengan luasan segitiga dimana panjang member sebagai alas segitiga dan besar curvature yield sebagai tinggi segitiga. 41


•

Selanjutnya sendi panjang plastis dapat dicari dengan membagi selisih luas dengan selisih kurvatur ultimate dengan kurvatur yield. Untuk kasus kali ini didapat panjang sendi plastis untuk kolom monolit adalah 224.15 mm.

Gambar 3.17 Kurvatur Vs Length Along Member Untuk Mencari Panjang Plastis

•

Hitung suatu fungsi persamaan kurvatur sebagai fungsi dari momen , ϕ(M) untuk kondisi yang berbeda (zero to crack, crack to yield, yield to ultimate).

Gambar 3.18 Kurvatur Sebagai Fungsi dari Momen Untuk Kondisi Zero To Crack

42


Gambar 3.19 Kurvatur Sebagai Fungsi dari Momen Untuk Kondisi Crack To Yield

Gambar 3.20 Kurvatur Sebagai Fungsi dari Momen Untuk Kondisi Yield To Ultimate

•

Gunakan persamaan (2.19) untuk menghitung defleksi di ujung kolom untuk tiap momen yang bekerja. (Untuk perhitungannya dapat dilihat dilampiran)

•

Untuk mencari gaya gesernya didapat dengan membagi momen yang bekerja dengan tinggi kolom.

•

Plot gaya geser vs defleksi untuk mendapatkan kurva push over.

43


Gambar 3.21 Kurva Push Over Kolom Monolit

3.5.2. Kolom Segmental Precast Pre-Stressed

Untuk kasus kolom segmental, maka kurva push over merupakan kombinasi antara defleksi yang diakibatkan oleh joint dan juga defleksi yang diakibatkan oleh bagian perletakan. Bagian dasar kolom segmental ini mengikuti bentuk yang sama dengan bagian kolom monolit.

Gambar 3.21 Bidang Momen Untuk Kolom Segmental

44


•

Δ1 merupakan kontribusi yang bersesuaian dengan kolom

monolit. Sedangkan Δ2

sampai Δ5 merupakan kontribusi yang bersesuai dengan bagian joint.

•

Panjang plastis di bagian joint dapat didekati dengan tebal sambungan antarsegmen yang diterapkan di lapangan. Untuk kasus kali ini tebal sambungan adalah 5 cm.

•

Setelah didapatkan Lp, maka dilakukan prosedur yang sama seperti pada kolom monolit sampai didapatkan kurva push over.

Gambar 3.22 Kurva Push Over Kolom Segmental

45


3.6.

Hubungan Luas Tendon dengan Panjang Sendi Plastis

Analisis ini dilakukan untuk kolom prategang monolit dengan spesifikasi: b

= 600 mm

h

= 600 mm

L

= 3000 mm

diameter tulangan

= 13 mm

As

= 133 mm2

fy

= 240 MPa

fu

= 360 MPa

f’c

= 35 MPa

fpu

= 1860 MPa

Untuk mengetahui hubungan tersebut maka digunakan beberapa alternatif diameter tendon dan dalam kasus tersebut digunakan konfigurasi tendon yaitu dengan menggunakan satu buah tendon dan empat buah tendon. Konfigurasi tulangan biasa dan properties struktur yang lain sama.

Gambar 3.25 (a) Diagram Tegangan

Gambar 3.25 (b) Diagram Tegangan

Regangan Beton

Regangan Baja Tulangan

46


Gambar 3.26 Diagram Tegangan Regangan Tendon Prategang

Tabel 3.1 Properties Geometri Penampang dan Alternatif tendon Prategang No

Diameter tendon (mm)

Luas tendon (mm2)

1

11,3

100

2

16,0

200

3

19,5

300

4

25,2

500

5

29,9

700

6

35,7

1000

3.6.1 Dengan satu tendon prategang •

Tendon diameter 11,3 mm Pada model dengan satu tendon letak tendon konsentris pada penampang. Untuk contoh perhitungan kita gunakan alternatif yang pertama yaitu tendon dengan diameter 11,3 mm dan luas tendon 100 mm2. Proses ini dibantu dengan software Response 2000 untuk beberapa tahap perhitungan.

47


Gambar 3.27 Penampang Kolom dengan Satu Tendon (10M) Prategang Konsentris

Gambar 3.28 Momen Kurvatur Penampang (1 tendon - 10M)

48


Dari Response 2000 diperoleh Curvature Distrubution sebagai Berikut: Tabel 3.2 Curvature Distribution (1 tendon - 10M) Length (mm) Curvature

0

0

42,5

0,01

127,5

0,03

212,5

0,05

297,5

0,07

382,5

0,09

467,5

0,11

633,75

0,149

881,25

0,207

1128,75

0,266

1376,25

0,324

1623,75

0,382

1871,25

0,44

2118,75

0,499

2366,25

1,292

2532,5

6,93

2617,5

11,844

2702,5

14,667

2787,5

18,327

2872,5

22,532

2957,5

27,051

3000

29,683

Tabel diatas merupakan distribusi kurvatur sepanjang elemen struktur. Jika data tersebut disajikan dalam bentuk grafik di mana sumbu x merupakan panjang elemen dalam milimeter (mm) dan sumbu y adalah besarnya kurvatur, maka grafik dari curvature distribution adalah sebagai berikut:

49


Length vs Curvature 35 30

Curvature

25 20 15 10 5 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Length (mm)

Gambar 3.29 Distribusi Kurvatur (1 tendon - 10M)

Untuk mencari besarnya panjang sendi plastis terlebih dahulu menghitung luasan yang ada di bawah grafik curvatur distribution. Untuk itu digunakan metode untuk menghitung luasan yang dimaksud. Metode yang digunakan untuk menghitung luasan tersebut adalah metode trapesium di mana: x0 + h

⎡

∫ y dx = h⎢⎣ y

x0

0

+

Δy 0 ⎤ h = [ y 0 + y1 ] 2 ⎥⎦ 2

dimana

h = [x1 − x0 ]

50


Contoh bentuk pengintegrasian dengan Metode Trapesium Numerik 40 35 30

kurvatur

25 numerik S i 2

20 15 10 5 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

distance (mm)

Gambar 3.30 Pengintegrasian Dengan Metode Trapesium (1 tendon - 10M)

Maka bentuk pengintegrasian dari grafik di atas dapat dilihat dalam tabel seperti di bawah ini: Tabel 3.3 Perhitungan Pengintegrasian Trapesium untuk satu tendon 10 M

x0

x1

h

y0

y1

⎡ y1 + y 0 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣

⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ ⎣ 2 ⎦

0

42,5

42,5

0

0,008

0,004

0,17

42,5

127,5

85

0,008

0,023

0,0155

1,3175

127,5

212,5

85

0,023

0,038

0,0305

2,5925

212,5

297,5

85

0,038

0,053

0,0455

3,8675

297,5

382,5

85

0,053

0,069

0,061

5,185

382,5

467,5

85

0,069

0,084

0,0765

6,5025

467,5

633,75

166,25

0,084

0,114

0,099

16,45875 51


633,75

881,25

247,5

0,114

0,158

0,136

33,66

881,25

1128,75

247,5

0,158

0,202

0,18

44,55

1128,75

1376,25

247,5

0,202

0,247

0,2245

55,56375

1376,25

1623,75

247,5

0,247

0,291

0,269

66,5775

1623,75

1871,25

247,5

0,291

0,336

0,3135

77,59125

1871,25

2118,75

247,5

0,336

0,383

0,3595

88,97625

2118,75

2366,25

247,5

0,383

0,43

0,4065

100,6088

2366,25

2532,5

166,25

0,43

0,461

0,4455

74,06438

2532,5

2617,5

85

0,461

5,187

2,824

240,04

2617,5

2702,5

85

5,187

11,976

8,5815

729,4275

2702,5

2787,5

85

11,976

18,905

15,4405

1312,443

2787,5

2872,5

85

18,905

25,003

21,954

1866,09

2872,5

2957,5

85

25,003

29,621

27,312

2321,52

2957,5

3000

42,5

29,621

30,781

1308,193

3000

31,941

31,941 Total

8355,398

Contoh Perhitungan: Misal untuk baris pertama dari tabel diketahui besarnya x0 = 0 dan x1 = 42,35 y0 atau φ0 = 0 y1 atau φ1 = 0.015 maka :

h = [x1 − x0 ] = [42,35 − 0] = 42,35 ⎡ y1 + y 0 ⎤ ⎡ 0.008 + 0 ⎤ ⎢ 2 ⎥=⎢ ⎥⎦ = 0,004 2 ⎦ ⎣ ⎣ sehingga

52


⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ = 42,35 x0,004 = 0,17 ⎣ 2 ⎦ Dan nilai dari intergrasi untuk mencari luasan yang dimaksud adalah jumlah total dari

⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ dari baris pertama hingga baris terakhir. ⎣ 2 ⎦ L

n ⎡h ⎤ y dx = ∑ ∫0 ⎢⎣ 2 [ y 0 + y1 ]⎥⎦ 1 n

⎡h ⎤ ⎡h ⎤ ⎡h ⎤ = ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ + ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ + ... + ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ ⎣2 ⎦1 ⎣ 2 ⎦2 ⎣2 ⎦n

Di mana n adalah baris ke-n

Dari Response 2000 diperoleh bahwa untuk penampang dengan empat tendon dan diameter 11,3 mm kurvatur pada saat leleh (φy) adalah 0,464. Untuk mengetahui panjang plastis maka harus diketahui Luasan dari kurva yang mengalami inelastis. Luasan tersebut dapat dihitung dengan:

Plastic _ Hinge _ Rotation = Actual − Idealized Di mana: ⎡ Length * ϕ y ⎤ Idealized = ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

Actual

= Luas di bawah kurva

Maka akan di dapatkan perhitungan Plastic Hinge Rotation sebagai berikut:

Actual Idealized Plastic Hinge Rotation

8355,398 1050 7305,398

53


Besarnya panjang plastis dapat dihitung dengan: panjang _ plastis =

plastic _ hinge _ rotation (ϕ u − ϕ y )

panjang _ plastis =

7305,398 = 233,8401 mm (31,941 − 0,464)

Maka

Hasil perhitungan di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

35 actual

30

Idealized Plastic hinge rotation

Kurvatur

25 20 15 10 5 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Length (mm) Gambar 3.31 Luasan Panjang Plastis

54


Hasil resume panjang plastis untuk penampang dengan satu tendon untuk setiap alternatif tendon tersaji dalam tabel dan telah di plot dalam grafik berikut:

Tabel 3.4 Hubungan Panjang Plastis dengan Rasio Penulangan

Luas Tendon (mm) 100 200 300 500 700 1000

ρ Panjang plastis (mm2) 0,000278 233,84 0,000556 296,70 0,000833 242,09 0,001389 265,19 0,001944 288,9 0,002778 327,16

Rasio Penulangan vs Panjang Plastis

400

Panjang plastis (mm)

350 300 250 200 150 100 Ap vs Lp

50 0 0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

ρ

Gambar 3.32 Hubungan Panjang Plastis dengan Rasio Penulangan Tendon ( satu tendon)

55


3.6.1

•

Dengan empat tendon prategang Tendon diameter 11,3 mm

Pada model dengan empat tendon, letak tendon konsentris pada penampang. Untuk contoh perhitungan kita gunakan alternatif yang pertama yaitu tendon dengan diameter 11,3 mm dan luas tendon 100 mm2. Jadi luas total Tendon adalah 400 mm2. Proses ini dibantu dengan software Response 2000 untuk beberapa tahap perhitungan.

Gambar 3.33 Penampang Kolom dengan Empat Tendon (10M) Prategang Konsentris

Gambar 3.34 Momen Kurvatur Penampang

56


Dari Response 2000 diperoleh Curvature Distrubution sebagai Berikut: Tabel 3.5 Curvature Distribution (4 tendon - 10M) Length (mm) Curvature

0

0

42,5

0,015

127,5

0,046

212,5

0,076

297,5

0,107

382,5

0,137

467,5

0,168

633,75

0,228

881,25

0,317

1128,75

0,406

1376,25

0,494

1623,75

0,594

1871,25

0,828

2118,75

1,938

2366,25

4,395

2532,5

7,578

2617,5

11,347

2702,5

14,863

2787,5

22,426

2872,5

33,931

2957,5

45,547

3000

51,517

Tabel diatas merupakan distribusi kurvatur sepanjang elemen struktur. Jika data tersebut disajikan dalam bentuk grafik di mana sumbu x merupakan panjang elemen dalam milimeter (mm) dan sumbu y adalah besarnya kurvatur maka grafik dari curvature distribution adalah sebagai berikut:

57


Length vs Curvature 60 50

Curvature

40 30 20 10 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Length (mm)

Gambar 3.35 Curvature Distribution (4 Tendon – 10M)

Maka bentuk pengintegrasian dari grafik di atas dengan metode Trapesium dapat dilihat dalam tabel seperti di bawah ini:

Tabel 3.6 Perhitungan Pengintegrasian Trapesium (4 Tendon – 10M)

x0

x1

h

y0

y1

⎡ y1 + y 0 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ ⎣ 2 ⎦

0

42,5

42,5

0

0,015

0,0075

0,31875

42,5

127,5

85

0,015

0,046

0,0305

2,5925

127,5

212,5

85

0,046

0,076

0,061

5,185

212,5

297,5

85

0,076

0,107

0,0915

7,7775

297,5

382,5

85

0,107

0,137

0,122

10,37

382,5

467,5

85

0,137

0,168

0,1525

12,9625

467,5

633,75

166,25

0,168

0,228

0,198

32,9175

633,75

881,25

247,5

0,228

0,317

0,2725

67,44375

881,25

1128,75

247,5

0,317

0,406

0,3615

89,47125

58


1128,75

1376,25

247,5

0,406

0,494

0,45

111,375

1376,25

1623,75

247,5

0,494

0,594

0,544

134,64

1623,75

1871,25

247,5

0,594

0,828

0,711

175,9725

1871,25

2118,75

247,5

0,828

1,938

1,383

342,2925

2118,75

2366,25

247,5

1,938

4,395

3,1665

783,7088

2366,25

2532,5

166,25

4,395

7,578

5,9865

995,2556

2532,5

2617,5

85

7,578

11,347

9,4625

804,3125

2617,5

2702,5

85

11,347

14,863

13,105

1113,925

2702,5

2787,5

85

14,863

22,426

18,6445

1584,783

2787,5

2872,5

85

22,426

33,931

28,1785

2395,173

2872,5

2957,5

85

33,931

45,547

39,739

3377,815

2957,5

3000

42,5

45,547

51,517

48,532

2062,61

3000

51,517 Total

14110,9

Contoh Perhitungan: Misal untuk baris pertama dari tabel diketahui besarnya x0 = 0 dan x1 = 42,35 y0 atau φ0 = 0 y1 atau φ1 = 0.0015

maka : h = [x1 − x0 ] = [42,35 − 0] = 42,35 ⎡ y1 + y 0 ⎤ ⎡ 0.015 + 0 ⎤ ⎢ 2 ⎥=⎢ ⎥⎦ = 0,0075 2 ⎦ ⎣ ⎣ sehingga ⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ = 42,35 x0,0075 = 0,31875 ⎣ 2 ⎦ 59


Dan nilai dari intergrasi untuk mencari luasan yang dimaksud adalah jumlah total dari ⎡ y + y0 ⎤ h⎢ 1 ⎥ dari baris pertama hingga baris terakhir. ⎣ 2 ⎦ L

n ⎡h ⎤ y dx = ∑1 ⎢⎣ 2 [y 0 + y1 ]⎥⎦ ∫0 n

⎡h ⎤ ⎡h ⎤ ⎡h ⎤ = ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ + ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ + ... + ⎢ [ y 0 + y1 ]⎥ ⎣2 ⎦1 ⎣ 2 ⎦2 ⎣2 ⎦n

Di mana n adalah baris ke-n

Dari Response 2000 diperoleh bahwa untuk penampang dengan satu tendon dan diameter 11,3 mm kurvatur pada saat leleh (φy) adalah 1,1. Untuk mengetahui panjang plastis maka harus diketahui Luasan dari kurva yang mengalami inelastis. Luasan tersebut dapat dihitung dengan: Plastic _ Hinge _ Rotation = Actual − Idealized Di mana: ⎡ Length * ϕ y ⎤ Idealized = ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

Actual

= Luas di bawah kurva

Maka akan di dapatkan perhitungan Plastic Hinge Rotation sebagai berikut:

Actual Idealized Plastic Hinge Rotation

14110,9 1650 12460,9

60


Besarnya panjang plastis dapat dihitung dengan: panjang _ plastis =

plastic _ hinge _ rotation (ϕ u − ϕ y )

panjang _ plastis =

12460,9 = 247,1567 mm (51,517 − 1,1)

Maka

Hasil perhitungan di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Length vs Kurvature

60 Actual

50

Idealized

Curvature

Plastic hinge rotation

40 30 20 10 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Length (mm) Gambar 3.36 Luasan Panjang Plastis

61


Hasil resume panjang plastis untuk penampang dengan empat tendon setiap alternatif tendon tersaji dalam tabel dan telah di plot dalam grafik berikut:

Tabel 3.7 Hubungan Panjang Plastis dengan Rasio Penulangan ( empat tendon)

Luas total tendon (mm2)

Luas total tendon (mm2)

Ρ

Panjang plastis (mm)

400

400

0,0011

247,15

800

800

0,0022

304,51

1200

1200

0,0033

354,93

2000

2000

0,00556

382,12

2800

2800

0,00778

348,94

4000

4000

0,0111

252,67

Rasio Penulangan vs Panjang plastis 450

panjang plastis (mm)

400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

ρ

Gambar 3.37 Hubungan Panjang Plastis dengan Rasio Penulangan (4 tendon)

62


Jika data dari penampang yang menggunakan satu tendon dengan penampang yang menggunakan empat tendon digabungkan dalam sebuah grafik dapat di lihat dalam grafik berikut:

Rasio Penulangan vs Panjang Plastis 450 400 Panjang plastis (mm)

350 300 250 200 150 100 50

Ap vs Lp

0 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

ρ

Gambar 3.38 Hubungan Panjang Plastis dengan Rasio Penulangan Tendon Total

63

BAB III PEMODELAN KOLOM DAN PERHITUNGAN

Recommend Documents