BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

Fendi Alfi Fauzi

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I 1.1 Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat)  Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya 1 derivatif dari fungsi yang tidak diketahui  Orde atau tingkat dari suatu PD ditentukan oleh tingkat derivatif yang tertinggi yang terdapat pada persamaan tersebut  Derajat/pangkat dari suatu PD adalah pangkat dari derivatif yang mempunyai tingkat tertinggi dari persamaan tertentu Contoh : 𝑑 2𝑦 𝑑𝑥 2

3

+

𝑑𝑦 2 𝑑𝑥

+ 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥

PD orde 2 derajat 3 1.2 Membentuk PD Eliminasikan hubungan 𝑐1 & 𝑐2 dari persamaan berikut : 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 1 𝑦 𝐼 = −2𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 3𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 2 𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 3 Persamaan 2 & 3 eliminasikan 𝑦 𝐼 = −2𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 3𝑐2 𝑒 3𝑥

x2 2𝑦 𝐼 = −4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 6𝑐2 𝑒 3𝑥

𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥

x1 𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥

………….(4)

Persamaan 1 & 3 eliminasikan 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥

x4

4𝑦 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 4𝑐2 𝑒 3𝑥

𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥

x1

𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 4𝑦 − 𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 ………..(5)

Persamaan 4 & 5 eliminasikan 2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥

x1

4𝑦 − 𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 x2

2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥 12𝑦 − 3𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝐼 + 𝑦 𝐼𝐼 + 12𝑦 − 3𝑦 𝐼𝐼 = 0

Fendi Alfi Fauzi

−2𝑦 𝐼𝐼 + 2𝑦 𝐼 + 12𝑦 = 0 𝑦 𝐼𝐼 − 𝑦 𝐼 + 6𝑦 = 0 𝑑 2𝑦 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦

+

𝑑𝑥

+ 6𝑦 = 0

Persamaan Diferensial Orde 2 derajat 1

1.3 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk umum F(x) dx + g(x) dy = 0 Solusi Umum : F(x) dx + g(x) dy = C

1.4 Persamaan Diferensial Reduksi ke Variabel Terpisah Bentuk umum F1(x) g1(y) dx + F2(x) g2(y) dy = 0 Solusi Umum : Dikali dengan faktor integralnya : Faktor integral adalah faktor pengali yang ingin kita cari yang ingin kita kalikan ke persamaan umum agar persamaan itu bias kita sendirikan. 1 F 2 (x) g 1 (y) 𝐹1 (𝑥) 𝐹2 (𝑥)

[𝐹1 (𝑥) 𝑔1 (𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2 (𝑥) 𝑔2 (𝑦) 𝑑𝑥 = 0]

𝑑𝑥 +

𝐹1 (𝑥) 𝐹2 (𝑥)

𝑔2 (𝑥)

dy = 0

𝑔1 (𝑥)

𝑔1 (𝑥)

𝑑𝑥 +

𝑔2 𝑥

𝑑𝑦 = 𝐶

Contoh soal ! 1. Selesaikan PD x5 dx + (y+2)2 dy = 0 Jawab : 𝑥 5 𝑑𝑥 + (𝑦 + 2)2 𝑑𝑦 = 𝑘 1

1

𝑥6 + 3 𝑦 + 2 6

3

𝑥6 + 2 𝑦 + 2

= 6𝑘

3

=𝑘

𝑥6 + 2 𝑦 + 2

3

= 𝐶 dimana C = 6k

Fendi Alfi Fauzi

𝑑𝑦

2. Selesaikan PD 9y 𝑑𝑥 + 4𝑥 = 0 Jawab : Faktor integralnya = dx dx (9y

𝑑𝑦

+ 4𝑥 ) = 0

𝑑𝑥

9y dy +4x dx = 0 9y dy + 4x dx = k 9 2

𝑦 2 + 2𝑥 2 = 𝑘

9𝑦 2 + 4𝑥 2 = 2𝑘 9𝑦 2 + 4𝑥 2 = 𝐶 dengan C = 2𝑘

1.5 Persamaan Diferensial Homogen  Fungsi Homogen Suatu fungsi F(x,y) dikatakan homogen berderajat n jika: F(λ x, λ y)= λ𝑛 f(x,y) Contoh fungsi homogen: F(x,y)

= 2x2+2y2

F(λ x, λ y) = 2(λx)2 + 2(λy)2 = 2λ2 𝑥 2 +2λ2 𝑦 2 = λ2 (2x2+2y2) F(λ x, λ y) = λ2 𝐹(𝑥, 𝑦) F(λ x, λ y) = λ2 𝐹(𝑥, 𝑦) fungsi homogen berderajat 2  Bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 Syaratnya M(x,y) dan N(x,y) adalah homogen dan berderajat sama Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu : 1.

Gunakan transformasi y = ux dan dy = x du + u dx adau x = uy dan dx = y du + u dy

2. PD homogen tereduksi ke PD variable terpisah 3. Gunakan aturan pada PD variabel terpisah 𝑦

4. Gantilah u= 𝑥 jika menggunakan transformasi y = ux

Fendi Alfi Fauzi

𝑥

Gantilah u = 𝑦 jika menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan solusi semula 5. Solusi umum PD homogen diperoleh Contoh : (x+2y)dx + (2x + 3y) dy = 0 Jawab : M(λ x, λ y) = (λ x + 2 λ y) = λ (x + 2y) = λ M(x,y)

=> fungsi homogen berderajat Satu

M(λ x, λ y) = 2 λx + 3 λy = λ (2x +3y) = λ M(x,y) => fungsi homogen berderajat Satu (x+2y) dx + (2x+3y)dy = 0 y = ux dan dy = x du + u dx (x + 2(ux)) dx + (2x + 3(ux)) (x du + u dx) = 0 (x + 2ux) dx + 2x2du + 2 xu dx + 3ux2 du + 3u2x dx = 0 (x + 4ux+ 3u2x) dx + (2x2 + 3ux2) du = 0 x(1+4u+3u2) dx+ x2(2 + 3u) du = 0 faktor integralnya = 1 1+4𝑢+3𝑢 2 𝑥 2 1 𝑥

1 𝑥

[x(1+4u+3u2) dx+ x2(2 + 3u) du = 0]

2+3𝑢

𝑑𝑥 +

1 1+4𝑢+3𝑢 2 𝑥 2

1+4𝑢+3𝑢 2

𝑑𝑢 = 0

2+3𝑢

𝑑𝑥 +

1+4𝑢+3𝑢 2

𝑑𝑢 = 𝑘

Misal w = 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 dw = 4 + 6u du 1 2

ln 𝑥 +

1

1

2

𝑤

dw = 2 + 3u du

𝑑𝑤 = 𝑘

1

ln 𝑥 + 2 ln 𝑤 = 𝑘 ln 𝑥 +

1 2

ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 = 𝑘

2 ln 𝑥 + ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 = 2𝑘

Fendi Alfi Fauzi

𝑦2

𝑦

ln 𝑥 2 + ln 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = 2𝑘 𝑦2

𝑦

ln 𝑥 2 . 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = ln 𝑒 2𝑘 𝑦2

𝑦

𝑥 2 . 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = 𝑒 2𝑘 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 𝑒 2𝑘 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑃𝐷 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 𝐶 dengan C = 𝑒 2𝑘

1.6 Persamaan Diferensial Eksak Bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dengan syarat sebagai berikut: 𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

dengan solusi umum yaitu f(x,y) = C

Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu : 𝜕𝑓

1.

𝜕𝑥

𝜕𝑓

= 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝜕𝑥 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓

2. Integralkan

𝜕𝑥

maka f(x,y) =

𝜕𝑓

terhadap x. sehingga menjadi 𝑥

𝜕𝑥

=

𝑥

𝑀(𝑥, 𝑦) dx.

𝑀(𝑥, 𝑦) dx + 𝜑𝑦

3. Hasil integral tersebut kemudian diturunkan terhadap y yaitu : 𝜕𝑓 𝜕𝑦

=

𝑥

𝜕 𝜕𝑦

𝑀(𝑥, 𝑦) dx +

𝜕𝑓

𝑑𝜑 𝑑𝑦 𝑑𝜑

𝜕

4. Karena 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) maka 𝑑𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 − 𝜕𝑦

𝑥

𝑀(𝑥, 𝑦) dx

5. 𝜑𝑦 yang diperoleh disubstitusikan kedalam f(x,y) dalam langkah 2 sehingga f(x,y) = C diperoleh. Contoh : Selesaikan PD berikut ! (x2 – y ) dx –x dy = 0 Jawab : M(x,y) = x2 – y 𝜕𝑀

N(x,y) = –x 𝜕𝑀

= −1

𝜕𝑦

Karena 

𝜕𝑀 𝜕𝑦

∂f ∂x

=

𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥

= −1

maka PD diatas adalah PD eksak ∂f

= M(x, y) dan ∂x = N(x, y)

Fendi Alfi Fauzi

 Integrasikan M(x,y) terhadap x dan y tetap 𝑥

f(x,y) =

𝑥 2 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦 )

1

= 3 𝑥 3 − 𝑥𝑦 + 𝜑(𝑦 ) 

𝜕𝑓

=

𝜕𝑦

𝜕

1

𝜕𝑦

3

𝑥 3 − 𝑥𝑦 +

𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦

𝑑𝜑 (𝑦 )

= −𝑥 +

𝑑𝑦

𝜕𝑓

 Karena 𝜕𝑦 = −𝑥 maka −𝑥 = −𝑥 + 𝑑𝜑 (𝑦 )

𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦

=0

𝑑𝑦 𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦

=

𝑜 𝑑𝑦

𝜑 𝑦 =k 1

Solusi f(x,y) = 3 𝑥 3 − 𝑥𝑦 + 𝑘 Jadi solusi umum PD eksak diatas adalah

1 3

𝑥 3 − 𝑥𝑦 = 𝐶 dengan C = −𝑘

f(x,y) = C 1.7 Persamaan Diferensial Non Eksak dan Non Homogen Bila persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD non eksak 𝜕𝑀 𝜕𝑦

≠

𝜕𝑁

maka akan dicari suatu fungsi yang dapat mengubahnya

𝜕𝑥

menjadi PD eksak. Fungsi yang akan dicari tersebut disebut faktor integral Pada umumnya faktor integral merupakan fungsi dengan peubah x dan y tetapi kadangkala mersupakan fungsi dengan peubah x saja. Misal u(x,y) adalah faktor integral dari PD tersebut, maka u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 Karena u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 adalah PD eksak, berarti 𝜕(𝑈𝑀) 𝜕𝑦

𝑈

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕(𝑈𝑁) 𝜕𝑥

maka ketika diturunkan akan menjadi

𝜕𝑈

+ 𝑀 𝜕𝑦 = 𝑈

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝜕𝑈

+ 𝑁 𝜕𝑥

 Jika u hanya dalam peubah x ( u= u(x)) 𝜕𝑈 𝜕𝑦

=0

dan

𝜕𝑈 𝜕𝑥

=

𝑑𝑈 𝑑𝑥

Fendi Alfi Fauzi

𝑈

𝜕𝑀

+ 𝑀. 0 = 𝑈

𝜕𝑁

𝜕𝑀

− 𝜕𝑥 . 𝑈 = 𝑁 𝑑𝑥

𝜕𝑁

𝑑𝑈

𝜕𝑦

𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑦

−

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁 − 𝜕𝑥

𝑁

=

𝑑𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦

ln 𝑢 =

−

𝑢 𝑑𝑢

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁

𝑢

𝑑𝑥

𝑁

u(x) = 𝑒

𝑑𝑢

= 𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝜕𝑈

+ 𝑁 𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝑑𝑥

 Jika u hanya dalam peubah y ( u= u(y)) 𝜕𝑈

=0

𝜕𝑥 𝜕𝑀

𝑈

𝜕𝑦

𝜕𝑀 𝜕𝑦

−

𝜕𝑈

dan

𝜕𝑦

𝑑𝑈

𝜕𝑁

+ 𝑀 𝑑𝑦 = 𝑈

𝜕𝑥

𝜕𝑁

=

𝑑𝑈 𝑑𝑦

+ 𝑁. 0 𝑑𝑢

− 𝜕𝑥 . 𝑈 = −𝑀 𝑑𝑢

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑀

𝑑𝑦 =

𝑢 𝑦 = 𝑒

−

𝑑𝑢 𝑢

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑀

𝑑𝑦

 Jika u dalam peubah x dan y (u(x,y) : maka tidak ada prosedur tertentu untuk mencarinya. Hanya pada dasarnya PD sebelumnya menjadi sederhana dan mudah diselesaikan. Contoh : Selesaikan PD berikut

x2

dy  ( xy  x 2  1)  0 dx

Jawab :

x2

dy  ( xy  x 2  1)  0 dikalikan dengan dx sehingga menjadi dx

( xy  x 2  1) dx  x 2 dy  0 M = xy + x2 +1

N = x2

M x y

N  2x x

Fendi Alfi Fauzi

M N maka PD tersebut adalah PD non eksak dan non  y x

Karena

homogen 𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝜕𝑁

−

= 𝑥 − 2𝑥 = −𝑥

𝜕𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁

𝑢 𝑥 = 𝑒

− 2 𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑥

𝑥

1 𝑥

= 𝑒−

𝑑𝑥

= 𝑒 − ln 𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑥

−1

= 𝑥 −1 1

u(x) = 1

𝑥

𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0

𝑥

1

𝑦+𝑥+

𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0

𝑥

1

M= 𝑦 + 𝑥 + 𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦

Karena  

N=x 𝜕𝑁

=1 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ∂f

𝜕𝑥

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

=1

maka PD diatas adalah PD eksak 1

∂f

=𝑦+𝑥+𝑥

∂x

f(x,y) =

𝑥

∂y 1

𝑦 + 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦) 1

= 𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝜑(𝑦) 

𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦



=

𝜕

1

𝑑𝜑

𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝑑𝑦

𝜕𝑦

𝑑𝜑

= 𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑓

𝑑𝜑

Karena 𝜕𝑦 = 𝑥 maka x = 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝜑 𝑑𝑦

=0

𝑑𝜑 𝑑𝑦

=

0 𝑑𝑦

𝜑 𝑦 = 𝑘

=x

Fendi Alfi Fauzi

Jadi, solusi umum untuk PD eksak tersebut adalah 1

f(x,y) = 𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝑘 1

𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 = 𝐶 dengan C = −𝑘 f(x,y) = C 1.8 Persamaan Diferensial Linier Orde 1 Bentuk umum

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)

Contoh 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 3𝑥𝑦 = sin 𝑥

Untuk menyelesaikan PD linier orde 1ada tiga metode yang dapat digunakan yaitu:  Metode Faktor Integral  Metode Variasi Konstanta Lagrange  Metode Bernouli

Metode Faktor Integral 𝑑𝑦

Bentuk PD 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) Faktor integralnya adalah 𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian umum PD ini : y𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

=

𝑦= 𝑄 𝑥 𝑒

𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD ini adalah : o Tentukan faktor integral o Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum diatas. Contoh : Selesaikan PD berikut ! 𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑥

𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏: 𝑃 𝑥 = 1 Q(x) = 2 + 2x

Fendi Alfi Fauzi

Faktor integral 𝑒 𝑦𝑒 𝑥 =

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

=𝑒

𝑑𝑥

= 𝑒𝑥

2 + 2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

= 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 2[𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥] = 2𝑒 𝑥 + 2 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑦𝑒 𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑦

= 2𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥

Jadi solusi umum PD tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥