SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T - 10
Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman Maulana Malik, Sri Mardiyati Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia email :
[email protected]
Abstrak—Osilasi merupakan sifat dari solusi persamaan diferensial. Penentuan berosilasinya solusi persamaan diferensial dapat ditentukan dari persamaan diferensial yang diberikan. Dalam teorinya, penentuan osilasi suatu persamaan diferensial merupakan hal yang dapat membantu saat pencarian solusi dengan menggunakan metode numerik. Pada tulisan ini dibahas beberapa syarat cukup osilasi persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman, dimana syarat cukup osilasi yang diberikan bergantung pada kondisi-kondisi tertentu dan juga diberikan simulasinya sebagai pembanding. Kata kunci: osilasi, persamaan diferensial linier orde dua dengan redaman
I.
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari beberapa kejadian bisa dimodelkan dalam bentuk suatu persamaan matematika. Persamaan yang sering muncul dalam permasalahan fisik adalah persamaan diferensial , yaitu suatu persamaan yang menyatakan relasi antara fungsi yang tidak diketahui dengan satu atau lebih turunanturunannya. Setelah didapatkan bentuk persamaan diferensialnya, selanjutnya perlu dilakukan suatu proses untuk menentukan solusinya. Secara umum, ada dua macam cara penyelesaian dalam menentukan solusi persamaan diferensial, yaitu penyelesaian secara analitik dan penyelesaian secara numerik. Penyelesaian secara analitik dilakukan dengan teknik deduktif logis sehingga akan diperoleh solusinya dalam bentuk persamaan. Sedangkan penyelesaian secara numerik dilakukan dengan cara hampiran yaitu dengan menggunakan metode-metode tertentu. Terkadang untuk menghampiri solusi dari suatu persamaan diferensial diperlukan dugaan awal dari kondisi solusinya. Dalam teorinya kondisi dari solusi persamaan diferensial ada dua jenis yaitu solusi yang berosilasi dan solusi yang tidak berosilasi. Menurut Deo dan Raghavendra untuk menentukan berosilasi atau tidaknya suatu solusi persamaan diferensial cukup dengan menganalisis persamaan diferensialnya. Oleh karena itu pada tulisan ini penulis membahas beberapa syarat cukup yang harus dipenuhi oleh suatu persamaan diferensial sedemikian sehingga solusinya akan berosilasi dan pada tulisan ini penulis memberikan contoh-contoh beserta simulasinya. Adapun persamaan diferensial yang akan dianalisis adalah persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dikarenakan persamaan ini sering kali muncul dalam permasalahan fisika. II.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam pembahasan syarat cukup osilasi untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman diperlukan beberapa definsi sebagai teori pendukung. Pertama-tama diberikan definisi dari bentuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman. Definisi 1. [1] Persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan bentuk (1) disebut sebagai persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dimana fungsi sembarang yang kontinu pada Selanjutnya diberikan definisi solusi tidak trivial dari suatu persamaan diferensial.
MT 65
dan
adalah
ISBN. 978-602-73403-1-2
Definisi 2. [1] dan [2] Misalkan jika
adalah solusi dari suatu persamaan diferensial. Solusi untuk suatu .
dikatakan solusi tidak trivial
Berikut ini diberikan definisi tentang hubungan osilasi persamaan diferensial dengan solusinya. Definisi 3. [3] Solusi persamaan diferensial akan berosilasi jika dan hanya jika persamaan diferensialnya berosilasi. Selanjutnya diberikan definisi osilasi persamaan diferensial. Definisi 4. [2],dan [4] Suatu persamaan diferensial disebut berosilasi apabila terdapat solusi tidak trivial pada terdapat sedemikian sehingga .
dan untuk setiap
Dengan kata lain suatu persamaan diferensial disebut tidak berosilasi apabila untuk setiap solusi tidak trivial terdapat sedemikian sehingga pada interval . Setelah mengetahui beberapa definisi yang telah dibahas di atas. Berikut ini akan dibahas beberapa syarat cukup untuk (1) sehingga persamaan tersebut akan berosilasi. Teorema 1. [5] Jika pada
dan
maka (1) akan berosilasi. Bukti : Jika diketahui bahwa i. ii. maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan bahwa (1) tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 diperoleh bahwa setiap solusi tidak trivial akan terdapat sedemikian sehingga pada interval . Selanjutnya definisikan fungsi sebagai berikut untuk setiap
(2)
dan dengan menurunkan bentuk (2) terhadap akan didapatkan . Kemudian dengan mengganti
pada (3) dengan
pada (1), serta mengganti
(3) pada (3) dengan
pada (2) akan diperoleh . Selanjutnya dengan mengganti bentuk
pada (4) dengan
(4)
dalam (2) akan didapatkan
atau . maka akan didapatkan
Kemudian integralkan kedua ruas (5) pada interval
66
(5)
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
atau .
(6)
Dengan melakukan manipulasi aljabar pada (6) akan diperoleh
atau . sedemikian sehingga dengan
Selanjutnya berdasarkan yang diketahui (ii) maka akan terdapat bentuk (7) diperoleh
pada
.
(7)
(8)
Kemudian misalkan . Karena
maka didapatkan
(9)
yang mengakibatkan pada .
(10)
Selanjutnya dengan menurunkan bentuk (9) akan didapatkan dan dapat pula dituliskan sebagai atau . dan diketahui
Kemudian berdasarkan bentuk (10) yaitu (11) nilai dari yang berakibat
(11) maka pada persamaan
atau dapat dituliskan juga sebagai atau untuk
.
(12)
Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (12) didapat
atau . Karena
(13)
dan berdasarkan persamaan (13) maka akan diperoleh
Akibatnya, atau . Hal ini merupakan pernyataan yang kontradiksi. Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah. Jadi haruslah (1) berosilasi. Terbukti bahwa jika
dan
Maka (1) berosilasi.
MT 67
.
ISBN. 978-602-73403-1-2
Teorema 2. [5] Jika pada sedemikian sehingga
dan terdapat fungsi yang kontinu pada
yang memenuhi
dan
maka (1) akan berosilasi. Bukti : Jika diketahui bahwa i. pada . ii. Terdapat fungsi yang kontinu pada sedemikian sehingga
yang memenuhi .
iii.
maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan (1) tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 setiap solusi tidak trivial akan terdapat sedemikian sehingga pada interval . Selanjutnya definisikan fungsi sebagai berikut untuk setiap dan dengan menurunkan (14) terhadap
(14)
akan didapatkan
atau . Kemudian dengan mengganti bentuk
pada (15) dengan
(15)
pada (14) akan didapatkan
atau . Selanjutnya subtitusikan bentuk
(16)
pada (1) ke (16) maka akan diperoleh
atau .
68
(17)
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
Kemudian substitusikan bentuk
pada (14) ke (17) akan diperoleh
atau .
(18)
Selanjutnya misalkan (19) dan subsitusikan bentuk
pada (19) ke (18) maka akan didapatkan
(20) Dengan mengintegralkan kedua ruas (20) pada interval
maka diperoleh
atau
. Kemudian dengan mengganti bentuk
pada (21) dengan bentuk
(21)
pada (19) maka didapatkan
atau
(22) Berdasarkan yang diketahui (iii) maka akan terdapat akan diperoleh
sedemikian sehingga dengan persamaan (22) untuk
MT 69
.
(23)
ISBN. 978-602-73403-1-2
Kemudian misalkan untuk Karena diketahui
maka
.
(24)
pada (23) bernilai positif serta bentuk
sedemikian sehingga akan didapatkan
dan dengan menggunakan (24) diperoleh hubungan untuk . (25) Selanjutnya dengan menurunkan (24) terhadap akan didapatkan (26) atau (27) dan dengan melakukan manipulasi aljabar pada (27) maka akan diperoleh . Kemudian karena diketahui
,
dan telah didapatkan
serta bentuk
,
(28)
maka pada (28) bentuk
akibatnya (29)
dan berdasarkan hubungan (25) maka (29) menjadi
atau .
Dengan mengintegralkan kedua ruas (30) pada interval
(30)
didapat
atau . Selanjutnya berdasarkan hubungan (25) didapatkan didapatkan
(31)
maka dengan menggunakan (31) akan
Akibatnya, atau . Hal ini kontradiksi dengan (ii). Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah. Jadi haruslah (1) berosilasi. Sehingga telah terbukti bahwa (1) berosilasi.
III.
CONTOH DAN SIMULASI
Contoh 1 Misalkan diberikan persamaan diferensial linier homogen orde dua ,
.
Berdasarkan Teorema 1 persamaan diferensial di atas berosilasi karena : terpenuhi yaitu
dan
terpenuhi yaitu
70
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
. Dengan menggambarkan solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan Mathematica yang diberikan pada Contoh 1 maka dapat diperoleh grafik sebagai berikut
.
GAMBAR 1. GRAFIK SOLUSI
Berdasarkan Gambar 1 terlihat bahwa grafik yang dihasilkan berosilasi. Hal ini sesuai dengan hasil perhitungan Contoh 1 dengan menggunakan Teorema 1. Contoh 2 Seperti pada Contoh 1 persamaan yang diberikan berosilasi karena memenuhi persyaratan Teorema 2, yaitu : terpenuhi karena . Pilih
dan
terpenuhi karena
.
dan terpenuhi karena
.
IV.
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan yang dapat diambil yaitu bahwa syarat cukup osilasi persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman adalah bila persamaan tersebut memenuhi syarat-syarat tertentu yang telah dinyatakan dalam Teorema 1 dan Teorema 2 dan juga hasil simulasi yang diperoleh sesuai dengan hasil analisis dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2.
DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3]
W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Fourth edition, John Wiley & Sons (Asia). 2001. S.G. Deo and V. Raghavendra, Ordinary Differential Equations and Stability Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, New Delhi, India. 1993. S.R. Grace,”Oscillation Criteria For Third Order Non Linear Delay Differential Equations With Damping”, Opuscula Math. 35. no. 4. (2015). pp. 485–497.
MT 71
ISBN. 978-602-73403-1-2
[4] [5]
E.M. Ellabbasy and W.W. Elhaddad, “Oscillation of Second Order Nonlinear Differential Equations with Damping Term”, Electronic Journal of Qualitative of Diferential Equations , No. 25. (2007). pp. 1-19. H.K. Abdullah, “A Note the oscillation of second order differential equations”, Journal Czechoslovak Mathematical. vol.54. (2004). pp. 949-954.
72
