BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam perancangan suatu struktur biasanya hanya memperhitungkan kekuatan struktur saja tanpa memperhitungkan aspek ekonomisnya. Padahal jika aspek ekonomis juga diperhitungkan, maka dapat dilakukan penghematan dalam suatu perancangan struktur tersebut. Sehingga untuk mendapatkan perancangan struktur yang ekonomis maka perlu dilakukan optimasi dalam perhitungannya. Beban yang bekerja pada suatu elemen struktur baik yang berupa beban gravitasi ( vertikal ) maupun beban – beban yang lain, seperti halnya beban angin ataupun beban gempa dapat menyebabkan adanya lentur pada elemen struktur. Karakteristik dari beton adalah kuat menerima tekan namun lemah bila terkena tarik. Sedangkan jika suatu elemen struktur mengalami lentur maka salah satu bagian menerima tekan dan bagian yang lain menerima tarik. Untuk mengatasi masalah tarik yang terjadi maka diperlukan tulangan baja yang berfungsi sebagai penahan beban tarik yang terjadi pada elemen struktur ( beton ) tersebut ( Nawy, 1998 ). Sehingga dalam perencanaan struktur pemakaian tulangan baja ini sangat perlu diperhatikan. Kolom adalah batang tekan vertikal dari rangka (frame) struktur yang memikul beban dari balok. Kolom meneruskan beban-beban dari elevasi atas ke elevasi yang lebih bawah hingga akhirnya sampai ke tanah melalui fondasi. Menurut Kirsch pada tahun 1981 biasanya dalam suatu perencanaan terdiri atas empat langkah yaitu : 1. Perumusan syarat-syarat fungsional, yaitu mencari dan merumuskan syaratsyarat fungsional yang dalam beberapa kasus tidak terlihat secara nyata. 2. Perencanaan dasar, misalnya pemilihan topologi, tipe struktur dan material. 3. Proses optimasi, yaitu untuk memperoleh kemungkinan perencanaan terbaik dengan kriteria, pertimbangan dan batas-batas yang ada. 4. Pendetailan, setelah seluruh penyajian optimasi, hasil yang didapat harus diperiksa dan dimodifikasi. Salah satu metode optimasi yang dapat digunakan adalah metode algoritma genetika ( Mitsuo Gen, 1997 ), disamping metode optimasi yang ada, antara lain metode tradisional dan metode Random. Penggunaan metoda optimasi dalam perencanaan struktur sebenarnya bukanlah merupakan hal yang baru dan sudah banyak dikembangkan karena manfaatnya yang banyak dirasakan. Pada tahun 1890 Maxwell mengemukakan beberapa teori tentang desain yang rasional pada suatu struktur yang kemudian
dikembangkan lebih lanjut oleh Michell pada tahun 1904 ( Wu, 1986 ). Beberapa penelitian tentang optimasi struktur yang ditujukan untuk penggunaan praktis telah dilakukan sekitar tahun 1940 dan 1950. Pada tahun 1960 Schmit mendemonstrasikan penggunaan teknik pemrograman non-linier untuk desain struktur dan menyebutnya dengan istilah “sintesa struktur” ( Wu, 1986 ). Komputer digital yang kemudian dibuat dan mampu untuk memecahkan masalah numeris dalam skala besar telah memberikan momentum yang besar untuk penelitian. Pada awal tahun 1970 optimasi struktur telah menjadi sesuatu yang penting dalam berbagai aspek perancangan suatu struktur ( Wu, 1986 ). Algoritma genetika adalah salah satu cabang dari algoritma evolusi yang merupakan metode adaptif yang digunakan untuk pencarian solusi dalam sebuah masalah optimasi. Algoritma ini diilhami oleh proses genetic yang terjadi pada makhluk hidup. Semua populasi makhluk hidup pasti mengalami proses seleksi alamiah, dimana individu yang kuat yang akan bertahan, sedangkan yang lemah akan musnah. Algoritma genetika akan meniru prinsip tersebut untuk mencari solusi yang terbaik ( yang paling optimal ) dari suatu permasalahan optimasi ( Goldberg, 1989 ). Metode ini mengkombinasikan suatu rangkaian terbaik dengan suatu rangkaian acak dengan cara pertukaran informasi untuk membentuk pencarian algoritma dengan beberapa pengamatan. Metode ini ialah mengeksploitasi informasi terlebih terdahulu untuk mempertimbangkan pencarian nilai yang baru dengan harapan mendapatkan hasil yang terbaik ( Goldberg, 1989 ). Hal inilah yang menjadi keunggulan dari metode algoritma genetika bila dibandingkan dengan metode tradisional yang menggunakan dasar kalkulus yang berupa penurunan fungsi, padahal tidak semua fungsi dapat diturunkan. Sedangkan bila dibandingkan dengan metode random, algoritma genetika dapat diperoleh dari hasil yang terbaik. Dalam perancangan struktur , metode algoritma genetik digunakan untuk mengoptimasi ukuran penampang serta jumlah tulangan lentur yang akan digunakan tetapi masih mampu memikul gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Untuk melakukan optimasi dengan metode algoritma genetic perlu dibuatkan suatu program bantu. Bahasa pemrograman yang akan diperguanakan adalah Microsoft Visual Basic 6.0 Karena selain mudah penggunaannya juga mempunyai tampilan yang menarik. Namun ada beberapa juga bahasa pemrograman yang juga bisa dipergunakan untuk mengaplikasikan metode ini, antara lain C, C++, Java, Matlab, Delphi, Perl, Phyton, dan Pascal. 1.2. Permasalahan 1
1. Parameter dari algoritma genetika apa saja yang harus ditentukan. 2. Parameter dari algoritma genetika apa saja yang akan di analisa. 3. Data data kolom apa saja yang harus ditentukan. 4. Data dari kolom apa saja yang akan di optimasi. 5. Bagaimana menentukan satu hasil yang optimum diantara yang lain. 1.3. Tujuan Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam pembahasan ini ialah : 1. Menentukan parameter dari algoritma genetika yang akan diperlukan dalam mengoptimasi kolom seperti ukuran generasi, ukuran populasi, probabilitas mutasi, dan probabilitas cross over. 2. Menganalisa parameter parameter dari algoritma genetika seperti inialisasi kromosom, seleksi kromosom, crossover, mutasi, dan lain lain. 3. Menetukan data dari kolom yang harus diketahui sebelum mengoptimasi, seperti dimensi kolom, jumlah tulangan terpasang, dan diameter tulangan terpasang. 4. Menganalisa kolom berdasarkan data data yang diketahui sebelumnya seperti analisa momen, dan lain lain. 5. Menenetukan hasil yang paling optimum selain berdasarkan kemampuan juga ditinjau dari nilai nominalnya. 1.4. Batasan Masalah Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis akan membatasi permasalahan agar pembahasan masaalah bisa menjadi mudah dan terfokus. Adapun batasan tersebut meliputi : 1. Perancangan sruktur yang ditinjau berupa perancangan kolom dengan bentuk penampang bujur sangkar dan lingkaran dengan jumlah tulangan sama setaiap sisinya.. 2. Perancangan yang ditinjau ialah perancangan tulangan vertikal saja. 3. Perancangan tulangan hanya akibat beban vertikal dan momen satu arah saja. 4. Pemilihan tulangan dalam perancangan kolom menggunakan beberapa diameter yang ada di pasaran, yang nantinya akan terpilih satu dengan hasil yang optimal. 5. Pemilihan elemen kolom yang optimal hanya berdasarkan harga yang paling minimum yang dihasilkan dari penggabungan antara material beton dan
tulangan baja tetapi tetap mampu menahan beban yang diterima. 6. Dalam perancangan aspek pelaksanaan tidak ditinjau. 1.5. Manfaat Adapun manfaat yang bisa diambil dari hasil tugas akhir ini adalah memberikan alternatif cara optimasi kepada perancang dalam mendesain kolom dan tulangan lentur yang terpasang untuk mendapatkan suatu desain yang ekonomis. Yang kemudian bisa dikembangkan lagi untuk mengggoptimasi aspek dan elemen struktur elemen yang lain, sehingga bisa mendapatkan desain struktur yang kuat dan ekonomis secara keseluruhan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Algoritma Genetika 2.1.1. Umum Sebelum melakukan proses perumusan masalah optimasi struktur beton betulang ( kolom ), yang terkena beban vertical dan momen, diperlukan pendefinisian variable desain, fungsi kendala atau konstrain, dan fungsi sasaran atau fungsi objektif, dimana hal hal tersebut merupakan dasar perumusan optimasi. Dalam metoda optimasi terdapat tiga besaran utama, yaitu: 1. Variabel desain. Besaran yang tidak berubah nilainya disebut parameter tetap, sedangkan yang nilai berubah selama proses optimasi disebut variabel desain. Variabel desain merupakan variabel yang dicari dalam masalah optimasi. Contohnya adalah ukuran komponen struktur dan geometri struktur. 2. Fungsi kendala atau constrain. Fungsi kendala merupakan suatu fungsi yang memberikan batasan daerah layak dan daerah tak layak. Dalam bidang teknik terdapat dua macam kendala yaitu : (a) Kendala rencana, yaitu kendala yang menentukan variabel desain selain yang memberikan batasan berdasarkan sifat. Kendala ini biasanya dapat dilihat secara nyata, misalnya batasan karena masalah fungsional, fabrikasi atau keindahan. Contoh kendala rencana adalah ketebalan plat, kemiringan atap. (b) Kendala sifat, yaitu kendala yang didapat dari persyaratan sifat. Biasanya kendala ini tidak dapat terlihat secara nyata karena berhubungan dengan analisis struktur. Contoh kendala sifat adalah batas tegangan maksimum, perpindahan ( displacements ) yang diijinkan, kekuatan tekuk. 2
3. Fungsi sasaran atau fungsi objektif. Fungsi sasaran adalah suatu fungsi yang mengandung kriteria dari struktur yang diinginkan, misalnya struktur dengan berat paling ringan, dengan harga termurah, paling aman atau paling efisien. Pemilihan fungsi sasaran merupakan hal yang terpenting dalam proses optimasi agar dapat mencapai sasaran yang sebenarnya sedekat mungkin. Dalam beberapa situasi fungsi sasaran dapat terlihat jelas. Misalnya jika ingin mencari harga yang termurah maka fungsi sasarannya dapat diasumsikan ke dalam berat strukturnya. Namun terkadang sulit juga untuk menentukan harga yang sebenarnya dari sebuah konstruksi, misalnya struktur dengan berat paling ringan, atau dengan kemampuan yang besar belum tentu yang termurah. 2.1.2. Konsep Dasar Secara umum proses Algoritma Genetika dalam stu kali siklus melalui beberapa tahapan tahapan sebagai berikut : 1. Inialialisasi. 2. Evaluasi kromosom. 3. Seleksi kromosom. 4. Crossover. 5. Mutasi. 2.1.2.1. Inialisasi Dalam proses ini ditentukan variabel variabel apa saja yang akan dioptimasi, lalu ditentukan bentuk kromosomnya, dan di tentukan berapa jumlah kromosom dalam suatu populasinya. Agar algoritma genetika dapat dijalankan berdasarkan teori evolusi, maka tiap solusi harus dipresentasikan dalam suatu kode yang sesuai dengan persoalan. Kode yang digunakan harus dapat mewakili seluruh ruangan persoalan. Pada algoritma genetika persoalan diasumsikan sebagai sebuah kromosom yang terdiri dari beberapa gen. Populasi adalah himpunan kromosom, populasi tersebut yang nantinya akan digunakan oleh algoritma genetika untuk memulai melakukan optimasi ( Gen,1997 ). Ada banyak jenis kromosom yang dapat digunakan dalam proses Algoritma Genetika, misalnya kromosom biner ( kromosom yang disusun dari gen gen yang bernilai 0 dan 1 ) , kromosom float ( kromosom yang disusun dari gen gen dengan nilai pecahan dan bilangan integer juga termasuk ), kromosom string ( kromosom yang disusun dari gen gen yang bernilai string atau simbol ) , dalam pengerjaan Tugas Akhir ini akan digunakan bentuk kromosom float, tetapi akan dijelaskan juga kromosom biner yang biasa digunakan dalam Algoritma Genetika, berikut penjelasannya :
1. Kromosom Biner, bentuk ini adalah bentuk standart yang sering digunakan, tetapi jarak antar batasannya harus sama, bentuk biner ini nantinya akan dirubah menjadi bilangan integer lalu dirubah lagi menjad bentuk bilangan float. Untuk menentukan panjang bilangan integer ditentukan dengan rumusan, berikut penjelasnnya : Misalkan variabel yang dipakai adalah rasio tulangan ( ρ ), dan range dari ρ misalkan 1% - 8% atau ( 0,01 – 0,08 ) dan kita menginginkan ketelitian 4 angka dibelakang koma , maka : 2m-1 < ( b - a ) . 10p ≤ 2m - 1 . a = batas bawah = 0,0100 ( ketelitian 4 angka dibelakang koma ) b = batas atas = 0,0800 ( ketelitian 4 angka dibelakang koma ) p = ketelitian yang diinginkan = 4 ( Ketelitian 4 angka dibelakang koma ) m = panjang bilangan biner 2m-1 < ( b - a ) . 10p ≤ 2m - 1 2m-1 < ( 0,0800 – 0,0100 ) . 104 ≤ 2m – 1 2m-1 < ( 0,0700 ) . 104 ≤ 2m – 1 2m-1 < ( 0,0700 ) . 104 ≤ 2m – 1 210-1 < 700 ≤ 210 – 1 512 < 700 ≤ 1023 Dari contoh diatas didapatkan panjang bilangan binernya 10, contoh bilangan biner dengan panjang 10 digit : ( 1001100101 ), ( 0110011011 ), ( 1110011001 ), dan lain lain. Kemudian bilangan biner akan dirubah menjadi bilangan integer dengan menggunakan suatu rumusan, berikut penjelasannya : ( bm ... b3 b2 b1 b0 ) ( 20 x b0 + 21 x b1 + 22 x b2 + ... + 2m x bm ) Misalkan bilangan binernya ( 1110011001 ), maka : ( b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 ) = ( 1001100111 ) ( dibalik ) b0 = 1 b5 = 1 b1 = 1 b6 = 1 b2 = 1 b7 = 0 b3 = 0 b8 = 0 b4 = 0 b9 = 1 Bilangan integer : 20.b0 + 21.b1 + 22.b2 + 23.b3 + 24.b4 + 25.b5 + 26.b6 + 27.b7 + 28.b8 + 29.b9 Bilangan Integer : 20.1 + 21.1 + 22.1 + 23.0 + 24.0 + 25.1 + 26.1 + 27.0 + 28.0 + 29.1 Bilangan integer : ( 1 + 2 + 4 + 0 + 0 + 32 + 64 + 0 + 0 + 512 ) = 615 Kemudian bilangan integer akan dirubah menjadi bilangan float dengan menggunakan suatu rumusan, berikut penjelasannya : Bilangan float : a + bilangan integer . ( b – a ) / ( 2m – 1 ) Misalkan diambil dari contoh diatas : a = 0,0100 b = 0,0800 3
m = 10 bilangan integer = 615 Bilangan float = 0,0100 + 615 .
Maka untuk permasalahan minimalisasi nilai fitness adalah inversi dari nilai minimal yang
(0,0800 - 0,0100)
(210 - 1)
= 0,0521 Jadi arti bilangan integer ( 1110011001 ) dalam contoh diatas adalah rasio tulangan ( ρ ) sebesar 0,0521 atau 5,21 %. 2. Kromosom Float, bentuk ini bisa digunakan apabila batasanya meiliki selisih yang tidak sama, bentuk ini lebih simpel dan lebih mudah dipahami oleh orang awam, berikut penjelasannya : Misalkan kita mempunyai suatu fungsi F ( w, x, y, z ) dari fungsi tersebut kita mempunya 4 variabel atau solusi untuk fungsi tersebut yaitu ( w, x, y, z ), maka bentuk pengkodeannya adalah susunan dari keempat variabel tersebut, berikut penjelasannya : Misalkan batasan nilai dari variabel ( w, x, y, z ) adalah bilangan integer 0 – 30, berikut beberapa contoh kromosomnya : ( w1, x1, y1, z1 ) = ( 12; 05; 03; 08 ) ( w2, x2, y2, z2 ) = ( 02; 01; 08; 03 ) ( w3, x3, y3, z3 ) = ( 10; 04; 03; 04 ), dan lain lain
Gambar 2.1. Gambaran Populasi, Kromosom dan Gen
2.1.2.2. Evaluasi Kromosom Setelah terbentuk kromosom dan ditentukan jumlahnya dalam suatu populasi, akan dilakukan proses evaluasi, proses ini dilakukan berdasarkan fungsi objektif yang dibentuk dari fungsi yang akan dioptimasikan. Evaluasi kromosom dilakukan dengan cara memasukkan nilai dari gen gen yang ada didalam setiap kromosom kedalam fungsi objektifnya. Nilai fitness merupakan suatu ukuran baik tidaknya suatu solusi yang dinyatakan sebagai satu individu, atau dengan kata lain nilai fitness menyatakan nilai dari fungsi tujuan. Algoritma genetika mempunyai tujuan untuk memaksimalkan nilai fitness atau mencari nilai fitness maksimal. Misalkan kita akan mencari nilai minimum dari suatu fungsi F ( w, x, y, z ) dan tentu saja solusinya adalah ( w, x, y, z ), batasannya misalkan untuk ( w, x, y, z ) adalah bilangan integer 0 – 30.
diharapkan
1 F ( w, x, y, z )
Tetapi bila untuk mencari nilai maksimal dari suatu fungsi maka nilai fitness adalah nilai fungsi F ( w, x, y, z ) itu sendiri. 2.1.2.3. Seleksi Kromosom Seleksi adalah proses pemilihan calon induk, Gen dan Cheng ( 2000 ) menjelaskan bahwa selama dua dekade beberapa metode seleksi telah diperkenalkan, dipelajari dan dibandingkan. Beberapa jenis seleksi yang umum dipakai adalah: roulette wheel selection, (μ + λ) selection, tournament selection, steady-state reproduction, ranking and scaling, sharing. Dalam mengerjakan tugas akhir ini akan digunakan metode Roulette wheel selection, selain itu Roulette wheel selection merupakan salah satu metode seleksi yang banyak dipergunakan, maka dari itu hanya akan dijelaskan metode ini saja. Roulette wheel selection, metode ini diajukan oleh John Holland. Ide dasarnya adalah untuk menentukan proporsi probabilitas seleksi atau probabilitas survival pada tiap kromosom sesuai dengan nilai fitness-nya. Individu dipetakan dalam suatu segmen garis secara berurutan sedemikian hingga tiap segmen individu memiliki ukuran yang sama dengan ukuran fitness-nya. Sebuah bilangan random dibangkitkan dan individu yang memiliki segmen dalam kawasan bilangan random tersebut akan terseleksi. Proses ini diulang hingga diperoleh sejumlah individu yang diharapkan, berikut contoh aplikasinya : Misalkan ada suatu fungsi yang akan diminimalisasikan F ( w, x, y, z ) dan solusi persamaannya ( w, x, y, z ), dan dipilih bentuk kromosom float, dan jumlah dalam satu populasi misalkan 6 kromosom, dan telah dilakukan proses evaluasi kromosom, berikut hasilnya dan contoh proses Roulette Wheel : Kromosom 1 ( w1, x1, y1, z1 ) Fitness1 = 90 Kromosom 2 ( w2, x2, y2, z2 ) Fitness2 = 80 Kromosom 3 ( w3, x3, y3, z3 ) Fitness3 = 83 Kromosom 4 ( w4, x4, y4, z4 ) Fitness4 = 46 Kromosom 5 ( w5, x5, y5, z5 ) Fitness5 = 94 Kromosom 6 ( w6, x6, y6, z6 ) Fitness6 = 55 Minimal fungsi maka perlu dilakukan inversi, tetapi apabila yang dicari maksimal fungsinya maka tidak perludilakukan inversi, langsung gunakan nilai fitnessnya Q1 = 1/Fitness1 = 1/90 = 0,0108 Q2 = 1/Fitness2 = 1/80 = 0,0125 Q3 = 1/Fitness3 = 1/83 = 0,0120 Q4 = 1/Fitness4 = 1/46 = 0,0217 Q5 = 1/Fitness5 = 1/94 = 0,0106 Q6 = 1/Fitness6 = 1/55 = 0,0182 4
ΣQ = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6 ΣQ = 0,0108 + 0,0125 + 0,0120 + 0,0217 + 0,0106 + 0,0182 ΣQ = 0,0859 Mencari probabilitasnya P ( i ) = Q ( i ) / ΣQ P1 = 0,0108 / 0,0859 = 0,1252 P2 = 0,0125 / 0,0859 = 0,1456 P3 = 0,0120 / 0,0859 = 0,1403 P4 = 0,0217 / 0,0859 = 0,2532 P5 = 0,0106 / 0,0859 = 0,1239 P6 = 0,0182 / 0,0859 = 0,2118 Mencari Kumulatif probabilitasnya C0 = 0 C1 = P1 = 0,1252 C2 = P1 + P2 = 0,2708 C3 = P1 + P2 + P3 = 0,4111 C4 = P1 + P2 + P3 + P4 = 0,6643 C5 = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0,7882 C6 = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1,0000 Setelah dihitung kumulatif probabilitasnya bangkitkan bilangan random ( R ) dalam range 0 – 1, sebanyak jumlah koromosom dalam satu populasi, dalam contoh ini jumlahnya ada 6 R1 = 0,201 R2 = 0,284 R3 = 0,009 R4 = 0,822 R5 = 0,398 R6 = 0,501 Berikut cara kerja Roulette Wheel C0 < R3 < C1 C1 < R1 < C2 C1 < R1, R2, R5 < C2 C1 < R2 < C2 C2 < R6 < C3 C0 < R3 < C1 C3 < < C4 C4 < R4 < C5 C4 < R4 < C5 C1 < R5 < C2 C5 < < C6 C2 < R6 < C3 Berikut penjelasannya C1 < R1 < C2 Kromosom 1 baru = Kromosom 2 lama = ( w2, x2, y2, z2 ) C1 < R2 < C2 Kromosom 2 baru = Kromosom 2 lama = ( w2, x2, y2, z2 ) C0 < R3 < C1 Kromosom 3 baru = Kromosom 1 lama = ( w1, x1, y1, z1 ) C4 < R4 < C5 Kromosom 4 baru = Kromosom 5 lama = ( w5, x5, y5, z5 ) C1 < R5 < C2 Kromosom 5 baru = Kromosom 2 lama = ( w2, x2, y2, z2 ) C2 < R6 < C3 Kromosom 6 baru = Kromosom 3 lama = ( w3, x3, y3, z3 )
2.1.2.4. Cross Over Dalam bahasa indonesia artinya pindah silang, dalam hal ini yang pindah silang adalah pertukaran gen gen antar kromosom dalam suatu populasi dengan kondisi tertentu, untuk penjelasan selengkapnya akan dibahas dalam sub bab berikutnya. Pertukaran informasi antar individu melalui pertukaran dari komponen suatu kromosom. Sehingga dari dua individu bias dihasilkan dua individu baru lagi, atau dari satu pasang individu lama menghasilkan sepasang individu baru, berikut contohnya :
Dalam crossover ada parameter Algoritma Genetika yang dibutuhkan yaitu Probabilitas Crossover ( Pc ), misalkan Pc ditentukan 0,50 maka diharapkan 50% dari total kromosom akan mengalami crossover, bila dipakai contoh sebelumnya dengan jumlah kromosom dalam satu populasi ada 6, maka yang akan di crossover adalah 50% dari 6 kromosom yaitu 3 kromosom, berikut penjelasannya : Kromosom awal Kromosom 1 = ( w1, x1, y1, z1 ) Kromosom 2 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 3 = ( w3, x3, y3, z3 ) Kromosom 4 = ( w4, x4, y4, z4 ) Kromosom 5 = ( w5, x5, y5, z5 ) Kromosom 6 = ( w6, x6, y6, z6 ) Setelah proses Roulette Wheel Kromosom 1 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 2 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 3 = ( w1, x1, y1, z1 ) Kromosom 4 = ( w5, x5, y5, z5 ) Kromosom 5 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 6 = ( w3, x3, y3, z3 ) Bangkitkan bilangan random 0 - 1 ( R ) seperti pada proses Roulette Wheel sebelumnya sebanyak jumlah kromosom R1 = 0,191 R2 = 0,959 R3 = 0,760 R4 = 0,006 R5 = 0,159 R6 = 0,340 Berikut cara kerja crossover ( Pc = 0,500 ) R1 < Pc R4 < Pc R2 < Pc R5 < Pc R3 > Pc R6 < Pc Karena yang akan di crossover hanya 3, tetapi dari hasil diatas didapatkan ada 4 ( R1, R4, R5, R6 ) bilangan random yang lebih kecil dari Pc ( memenuhi syarat ), maka cukup diambil 3 saja yang dijadikan induknya, misalkan ( R1, R4 dan R5 ) Setelah itu bangkitkan bilangan acak antara 1 sampai ( panjang kromosom dikurangi 1 ), dalam contoh diatas karena panjang kromosomnya 4 ( w, x, y, z ) maka bilangan acaknya antara 1 sampai ( 4 – 1 = 3 ), berikut permisalannya Kromosom 1 baru Kromosom 1 >< Kromosom 4 Bilangan acak 1 = 1 Kromosom 4 baru Kromosom 4 >< Kromosom 5 Bilangan acak 2 = 3 Kromosom 5 baru Kromosom 5 >< Kromosom 1 Bilangan acak 3 = 2 Kromosom 1 baru = Kromosom 1 >< Kromosom 4 = ( w2, x2, y2, z2 ) >< ( w5, x5, y5, z5 ) = ( w2, x5, y5, z5 ) Kromosom 4 baru = Kromosom 4 >< Kromosom 5 = ( w5, x5, y5, z5 ) >< ( w2, x2, y2, z2 ) = ( w5, x5, y5, z2 ) Kromosom 5 baru = Kromosom 5 >< Kromosom 1 = ( w2, x2, y2, z2 ) >< ( w2, x2, y2, z2 ) = ( w2, x2, y2, z2 ) Maka kromosom baru setelah proses Cross Over
Kromosom 1 = ( w2, x5, y5, z5 ) 5
Kromosom 2 Kromosom 3 Kromosom 4 Kromosom 5 Kromosom 6
= = = = =
( w2, x2, y2, z2 ) ( w1, x1, y1, z1 ) ( w5, x5, y5, z2 ) ( w2, x2, y2, z2 ) ( w3, x3, y3, z3 )
2.1.2.5. Mutasi Dalam hal ini gen gen dalam satu kromosom atau lebih akan diganti dengan gen gen yang baru sesuai dengan kondisi kondisi tertentu. Menyisipkan suatu perbedaan pada suatu populasi, hal ini diperlukan karena suatu saat semua populasi menjadi homogen dan tidak adanya kemungkinan untuk peningkatan ( perbaikan ). Jika panjang kromosom adalah Nc bits, kemudian bilangan random dibuat antara 1 dan Nc nilai bit pada lokasi yang sesuai dengan bilangan tersebut diganti ( Goldberg,1989 ), berikut permisalannya : Pertama hitung total gen Total Gen = Jumlah gen dalam kromosom x Jumlah populasi Total gen = 4 x 6 = 24 Setelah itu bangkitkan bilangan random ( R ) antara 0 – 1 sebanyak total gen ( 24 ) Pada proses mutasi dibutuhkan parameter Algoritma Genetika yaitu Probabilitas Mutasi ( Pm ), probabilitas ini menentukan berapa gen yang akan mengalami mutasi. Misalkan Pm ditentukan sebesar 0,1 maka diharapkan 10% dari total gen mengalami mutasi ( 10% dari 24 adalah 2,4 ≈ 2 gen saja ). Bilangan random yang terbentuk Kromosom 1 R1 = 0,125 R3 = 0,888 R2 = 0,521 R4 = 0,912 Kromosom 2 R5 = 0,321 R7 = 0,212 R6 = 0,333 R8 = 0,111 Kromosom 3 R9 = 0,125 R11 = 0,888 R10 = 0,521 R12 = 0,012 Kromosom 4 R13 = 0,321 R15 = 0,212 R14 = 0,333 R16 = 0,111 Kromosom 5 R17 = 0,125 R19 = 0,888 R18 = 0,521 R20 = 0,912 Kromosom 6 R21 = 0,321 R23 = 0,212 R22 = 0,093 R24 = 0,111 Dari bilangan random diatas, diketahui bahwa pada Bilangn random ke 12 dan ke 22 yang nilainya lebih kecil dibandingkan Pm, maka yang megalami mutasi adalah kedua gen tersebut, jadi bangkitkan bilangan yang dipilih secara acak sesuai dengan batasan batasan awal yag ditentukan, misalkan untuk variabel ( w, x, y, z ) batasannya alphabet mulai A sampai Z, maka
bangkitkan alphabet mulai A sampai Z sebanyak dua kali untuk menggantikan posisi gen ke 12 dan ke 22. Misalkan yang terbangkitkan adalah huruf K dan F, maka kromosom baru setelah mutasi : Kromosom 1 = ( w2, x5, y5, z5 ) Kromosom 2 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 3 = ( w1, x1, y1, K ) Kromosom 4 = ( w5, x5, y5, z2 ) Kromosom 5 = ( w2, x2, y2, z2 ) Kromosom 6 = ( w3, F, y3, z3 ) Kromosom hasil mutasi ini akan digunakan sebagai kromosom awal pada generasi berikutnya. 2.1.3. Parameter Algoritma Genetika Dari proses proses yang dilalui dalam Algoritma Genetika diatas diketahui ada beberapa parameter yang diperlukan dalam Algoritma Genetika, yaitu Popsize ( ukuran populasi atau jumlah kromosom dalam suatu populasi ), Pc ( Probabilitas Crossover ), dan Pm ( Probabilitas Mutasi ). Parameter parameter tersebut ditentukan berdasarkan permasalahan yang akan dipecahkan. Ada beberapa rekomendasi yang bisa digunakan, antara lain : 1. Untuk permasalahan yang memiliki kawasan solusi cukup besar, De Jong merekomendasikan untuk nilai parameter kontrol : ( popsize; Pc; Pm ) = ( 50; 0,6; 0,001 ) 2. Bila rata-rata fitness setiap generasi digunakan sebagai indikator, maka Grefenstette merekomendasikan : ( popsize; Pc; Pm ) = ( 30; 0,95; 0,01 ) 3. Bila fitness dari individu terbaik dipantau pada setiap generasi, maka usulannya adalah : ( popsize; Pc; Pm ) = ( 80; 0,45; 0,01 ) 4. Ukuran populasi sebaiknya tidak lebih kecil dari 30, untuk sembarang jenis permasalahan. 2.1.4. Pemanfaatan Algoritma Genetika pada bidang yang lain Telah lebih dari 10 – 15 tahun Genetik Algoritma digunakan dalam berbagai macam lingkungan aplikasi yang luas, dan juga berbagai bidang, seperti disain jaringan listrik tegangan tinggidisain optimasi jaringan pipa air bersih, perancangan mesin turbin gas untuk mendapatkan penggunaan bahan bakar yang efisien pada pesawat udara, dan lain lain. ( Kuliah Umum IlmuKomputer.Com, 2004 ) 2.2. Struktur Lentur pada Kolom 2.2.1. Umum
6
Beban – beban yang bekerja pada struktur, baik berupa beban gravitasi ( arah vertikal ), maupun beban – beban yang lain seperti beban angin dan beban gempa ( arah horizontal ), menyebabkan adanya lentur pada elemen struktur. Komponen penyusun dari suatu elemen struktur beton bertulang adalah beton dan tulangan baja . Karakteristik beton adalah kuat menerima tekan tapi lemah dalam menerima tarik, maka dari itu untuk mengatasi masalah tarik pada beton dipasanglah tulangan baja sebagai penahan beban tarik yang terjadi ( Nawy, 1998 ). Kolom adalah elemen struktur yang menerima beban aksial dan beban momen secara bersamaan, maka dari itu perlu dilakukan perhitungan tentang tulangan baja dengan tepat agar seluruh beban tarik dapat di atasi, kecuali adanya gaya aksial yang bekerja maka pada dasarnya analisis kolom sama dengan balok.
Distribusi tegangan tekan aktual yang terjadi pada penampang memiliki bentuk parabola. Untuk hal ini digunakan blok segi empat ekuivalen yang dapat digunakan untuk menghitung gaya tekan tanpa harus kehilangan ketelitiannya, yang berarti juga dapat digunakan untuk menghitung kekuatan lentur penampang. Blok tegangan ekuivalen ini memiliki tinggi a dan tegangan tekan rata – rata sebesar 0,85f’c. Besarnya a adalah β1c. Berdasarkan penelitian regangan maksimum beton yang dizinkan adalah 0.003.
2.2.2. Konsep Dasar pada Kolom Beton Bertulang Pada kenyataannya, hampir semua elemen struktur tekan (kolom) diperlakukan untuk menerima momen sebagai tambahan terhadap beban aksial. Hal ini bisa diakibatkan oleh beban yang tidak terletak pada center kolom seperti pada gambar di bawah atau juga sebagai hasil dari penahan daripada keadaan tidak seimbang momen pada ujung balok yang didukung oleh kolom.
Gambar 2.3. Blok Tegangan Tekan Beton Ekuivalen
2.2.4. Faktor Konversi Bentuk Parabola ke Bentuk Persegi Mengacu Pasal 12.2.7.3 SNI 03 – 2847 – 2002, faktor β1 harus diambil sebesar 0,85 untuk beton dengan nilai kuat tekan f’c lebih kecil daripada atau sama dengan 30 Mpa. Untuk beton dengan nilai kuat tekan diatas 30 Mpa, β1 harus direduksi sebesar 0,05 untuk setiap kelebihan 7 Mpa diatas 30 Mpa, tetapi β1 tidak boleh diambil kurang dari 0,65. f'c ≤ 30 Mpa ............................. β1 = 0,85 30 Mpa < f’c ≤ 58 Mpa ............ β1 = 0,85 – ( f’c – 30 ) .( 0,05 / 7 ) f’c > 58 Mpa ............................ β1 = 0,65 Gambar 2.2. Beban Aksial dan Momen pada Kolom
Jarak e diartikan sebagai eksentrisitas terhadap beban. Kedua kasus ini pada dasarnya sama, Beban P eksentris pada Gambar 2.14(b) bisa diganti dengan beban P yang bekerja pada aksis centroidal, ditambah dengan momen, M = P x e terhadap sumbu centroid. Beban P dan momen M dapat dikalkulasi dengan memperhatikan geometri daripada aksis centroid karena momen dan gaya yang didapatkan dari analisa struktur dihitung terhadap aksis ini. 2.2.3. Blok Segi Empat Ekuivalen Gambar 2.4. Nilai β1 untuk berbagai Mutu Beton
7
2.2.5. Kuat Rencana
melampaui kapasitas kolom dan dapat menyebabkan keruntuhan.
Kuat rencana, dalam tata cara perhitungan struktur beton adalah kuat struktur minimal yang harus dimiliki penampang beton terhadap kuat perlu ( Ultimate ). Mengacu Pasal 11.3 SNI 03 – 2847 – 2002, maka Ф ditentukan berikut : Lentur tanpa beban aksial .................................... Aksial tarik dan aksial tarik dengan lentur .......... Aksial tekan dan aksial tekan dengan lentur Komponen struktur dangan tulangan spiral ......... Komponen struktur lainnya ................................. Geser dan torsi .....................................................
2.2.8. Penggambaran Diagram Interaksi
0,80 0,80 0,70 0,65 0,75
Untuk komponen struktur dimana fy tidak melampaui 400 Mpa, dengan tulangan simetris, dan dengan ( h – d’ – ds ) / h ≥ 0,70, maka nilai Ф boleh ditingkatkan secara linier menjadi 0,80 seiring dengan berkurangnya Ф.Pn dari 0,1.f’c.Ag ke 0. 2.2.6. Ragam Keruntuhan Berdasarkan besarnya regangan pada tulangan baja yang tertarik, penampang kolom dapat dibagi menjadi dua kondisi awal keruntuhan yaitu : 1. Keruntuhan tarik, yang diawali dengan lelehnya tulamgan yang tertarik 2. Keruntuhan tekan, yang diawali dengan hancurnya beton yang tertekan. 3. Kondisi balanced terjadi apabila keruntuhan diawali dengan lelehnya tulangan yang tertarik sekaligus juga hancurnya beton yang tertekan. Apabila e adalah eksentrisitas yaitu perbandingan antara momen dan beban aksial dan eb adalah eksentrisitas pada kondisi balanced, maka : 1. e > eb Keruntuhan tarik ( Tekan menentukan ) 2. e = eb Keruntuhan balanced 3. e < eb Keruntuhan tekan ( Tarik menentukan ) 2.2.7. Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang Untuk memudahkan mengetahui keruntuhan pada kolom beton bertulang dibuatlah diagram interaksi. Kapasitas penampang kolom beton bertulang dapat dinyatakan dalam bentuk diagram interaksi aksial-momen (P-M) yang menunjukkan hubungan beban aksial dan memen lentur pada kondisi batas. Setiap titik kurva menunjukkan kombinasi P dan M sebagai kapasitas penampang terhadap suatu garis netral tertentu. Suatu kombinasi beban yang diberikan pada kolom bila diplot ternyata berada di dalam diagram interaksi kolom, berarti kolom masih mampu memikul dengan baik kombinasi pembebanan tersebut. Demikian pula sebaliknya, yaitu jika suatu kombinasi pembebanan yang diplot ternyata berada di luar diagram itu berarti kombinasi beban itu telah
Gambar 2.5.. Hubungan P – M pada keruntuhan kolom beton bertulang
Dari semua titik-titik yang diperlukan untuk menggambar diagram interaksi, ada lima titik yang harus ada pada kurva interaksi ini. Adapun titik-titik tersebut adalah : 1. Beban aksial tekan maksimum Kolom dalam keadaan beban konsentris dapat dituliskan sebagai rumus dibawah ini:
Pn o = (0.85f ' c )(A g - A st ) + f y (A st ) Dimana: f’c = Kuat tekan maksimum beton Ag = Penampang bruto kolom Fy = Kuat leleh tulangan Ast = Luas tulangan pada penampang 2. Beban aksial diijinkan
tekan
maksimum
yang
Pn maks = 0.8 P no 3. Beban lentur dan aksial pada kondisi balans, nilainya ditentukan dengan mengetahui kondisi regangan ultimate beton εcu = 0.003, dan regangan baja εs = εy = fy / Es 4. Beban lentur pada kondisi beban aksial nol, kondisi seperti pada balok. 5. Beban aksial tarik maksimum n
Pn -T = ∑- f y A si i =1
8
Mn, artinya desin kolom tidak mampu menerima beban Pu dan Mu. 4. Zone 4 = Apabila titik ( Pu, Mu ) terdapat di zone 4 maka Pu < 0, artinya desain kolom tidak mampu menerima beban Pu dan Mu. Dari keempat zona di atas dapat diambil kesimpulan bahwa Pu dan Mu dapat diterima desain kolom apabila terdapat di zona 2 saja, maka dari itu dapat disimpulkan bahwa untuk mengetahui apakah desain kolom kita dapat menerima beban Pu dan Mu atau tidak hanya perlu dilihat apakah 0 < Pu ≤ Ф . ( 0,8 x ( 0,85 x f’c x ( Ag – Ast ) + Ast x fy ) ) dan Mu ≤ Ф . Mn BAB III METODOLOGI Gambar 2.6. Titik titik minimum pada Diagram Interaksi
3.1. Prosedur Umum
Gambar 2.7. Pembagian zona pada diagram interaksi kolom beton bertulang
Untuk menentukan apakah kolom desain mampu menahan beban aksial ( Pu ) dan beban momen ( Mu ) dapat diketahui dari letak koordinat titik ( Pu, Mu ) di dalam diagram interaksi desain, berikut penjelasannya : 1. Zone1 = Apabila titik ( Pu, Mu ) terdapat di zone 1 maka Pu > Ф . ( 0,8 x ( 0,85 x f’c x ( Ag – Ast ) + Ast x fy ) ), artinya desain tidak mampu menerima beban Pu dan Mu. 2. Zone 2 = Apabila titik ( Pu, Mu ) terdapat di zone 2 maka 0 < Pu ≤ Ф . ( 0,8 x ( 0,85 x f’c x ( Ag – Ast ) + Ast x fy ) ) dan Mu ≤ Ф . Mn, artinya desain kolom mampu menerima beban Pu dan Mu. 3. Zone 3 = Apabila titik ( Pu, Mu ) terdapat di zone 3 maka 0 < Pu ≤ Ф . ( 0,8 x ( 0,85 x f’c x ( Ag – Ast ) + Ast x fy ) ) dan Mu > Ф .
Gambar 3.1. Flowchart prosedur umum
9
3.2. Algoritma Analisa Penampang Kolom 3.2.1. Algoritma Sederhana Aplikasi Metoda Pembagi Interval
menghasilkan f ( x ) = 0, dan nilai ( x ) tersebut berada diantara ( 2 ) dan ( 3 ) (x)
f(x)
0
-7
1
-4
2
-3
3
2
4
17
Tabel 3.1. Data masukan ( x ) dan hasil dari fungsi polynomial f ( x ) = X3 – 4X2 +6X – 7
60
50
40
30
(X)=? f(X)=0
20
10
0 0
1
2
3
4
5
6
-10
Gambar 3.2. Flowchart iterasi pencarian nilai ( x ) dari fungsi polynomial f ( x )
3.2.1.1. Contoh Sederhana Aplikasi Metoda Pembagi Interval Untuk suatu persamaan non linier, mencari akar persamaan dapat dilakukan dengan cara melakukan iterasi, baik itu untuk persamaan satu dimensi maupun lebih. Dalam kasus ini akan digunakan suatu algoritma sederhana yaitu ” Pembagi Interval ” ( Interval Halving ) untuk mencari nilai akar persamaan tersebut dengan cara pendekatan ( bisa sampai ketelitian 0,001 dari nilai akar yang sebenarnya ). Contoh sederhana : Ada suatu fungsi polinomial f(x) = X3 – 4X2 +6X – 7 = 0 Dari hasil memasukkan nilai ( x ) kedalam f ( x ) dapat dilihat dari tabel dibawah ini bahwa nilai f ( x ) yang mendekati nilai yang diinginkan ( 0 ) yaitu saat f ( 2 ) = - 3 dan f ( 3 ) = 2, jadi pertanyaannya berapakah nilai ( x ) yang dapat
Gambar 3.3. Grafik dari fungsi polinomial f ( x ) = X3 – 4X2 +6X – 7
Tetapkan ” Batas Atas ” ( XP ) = 3 nilai yang menghasilkan f ( x ) negatif ” Batas Bawah ” ( XN ) = 2 nilai yang menghasilkan f ( x ) positif ” Nilai Tengah ” ( XM ) =
(XN + XP) 2
Iterasi pertama XM =
(2 + 3) = 2,5 2
f ( XM ) = f ( 2,5 ) = - 1,375 Bila nilai negatif maka ( XM ) menggantikan ( XN ) pada iterasi selanjutnya. Iterasi kedua XM =
(2,5 + 3) = 2,75 2
f ( XM ) = f ( 2,75 ) = 0,046875 Bila nilai positif maka ( XM ) menggantikan ( XP ) pada iterasi selanjutnya
10
