Matematika Infomatika
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan yang lainnya. Notasi himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital (misal A,B,C,...) dan elemenelemennya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya huruf a,b,c. Himpunan dituliskan dengan tanda kurung kurawal {}. Contoh : Suatu himpunan tiga warna lampu lalu lintas. K = {merah, kuning, hijau} B.
Cara Penulisan Himpunan Ada dua cara dalam penulisan himpunan 1. Cara pendaftaran/pendataan (roster method) yaitu menuliskan atau mencantumkan semua unsur yang menjadi anggota suatu himpunan Contoh :
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} C = {2, 5, 8, 11, 14, 17}
2. Cara Pencirian (Rule Method) yaitu menuliskan atau menyebutkan karakteristik tertentu (syarat) dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Contoh :
A = {x | x ≤ 15, x ∈ Ganjil } B = {x | x <18, x ∈ Prima} C = {x | x = 3n – 1, n ∈ asli <7 }
Latihan : 1) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pendaftaran : a. b. c. d. e.
A = {x|x <7, x bilangan asli} G = {x| 0 < x < 16, x bilangan ganjil} W = {x| x2 – 1 = 0 } Z = {nama binatang bertaring} K = {x| 2 < x ≤ 4, x bilangan riil}
2) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pencirian : a. b. c. d.
D = {1, 3, 5, 7, 9} G = {1, 4, 9, 16} F = {2, 3, 5, 7,11} H = {2, 4, 9, 12, 35}
Universitas Gunadarma
Halaman 1
Matematika Infomatika C.
Beberapa Istilah dalam Himpunan 1. Anggota (∈) dan Bukan anggota (∉) Setiap obyek dalam suatu himpunan adalah merupakan anggota dari himpunan tersebut Contoh :
x∈A
dibaca
“x anggota himpunan A” “x unsur himpunan A” “x elemen himpunan A”
x ∉ B dibaca
“x bukan elemen himpunan B”
2. Bilangan Cardinal (Banyaknya Anggota Himpunan) Menyatakan banyaknya anggota himpunan yang termasuk kedalam himpunan tersebut. Bilangan cardinal dari himpuna A dinotasikan dengan n(A) atau |A| Contoh :
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
maka n(A) = 7
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
maka n(B) = 8
3. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi untuk himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan tanda kurung saja { } atau ∅. Contoh : Himpunan siswa Sekolah Dasar yang berusia dibawah 3 tahun. 4. Himpunan Berhingga dan Tak berhingga Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota himpunan berhingga. Jika tidak demikian dikatakan himpunan tersebut tak berhingga. Contoh : A={q, w, e, r, d} C={2, 4, 6, 8, ...}
B={1, 2, 3, 4}
→ himpunan berhingga
D={..., 5, 7, 9, ...}
→ himpunan takberhingga
5. Himpunan Sederajat Dua himpunan A dan B dikatakan sederajat jika n(A) = n(B). 6. Himpunan Sama Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama. Walaupun urutannya berbeda. (elemen-elemennya sama dan banyaknya anggota sama) 7. Himpunan Semesta / HIMPUNAN UNIVERSAL / HIMPUNAN BESAR Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Notasi dari himpunan semesta adalah S atau U.
Universitas Gunadarma
Halaman 2
Matematika Infomatika 8. Disjoin (Himpunan yang saling lepas) adalah pasangan dua himpunan yang tidak mempunyai anggota sekutu. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (A//B), jika elemen A tidak termuat di B dan elemen B tidak termuat di A.
A
B
A // B 9. Sub Set / Sub Himpunan / Himpunan Bagian A adalah sub himpunan B (ditulis A ⊆ B) jika setiap elemen A merupakan elemen B Contoh :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, dan C = {1, 3, 5} Dikatakan B ⊆ A, C ⊆ B, dan C ⊆ A
Beberapa sifat himpunan bagian : a. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan b. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri c. Jika A ⊆ B, dan B ⊆ A maka A = B. d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati dari B (A ⊂ B) jika A adalah himpunan bagian dari B dan ada unsur B yang tidak termuat dalam A. e. Himpunan semua himpunan bagian dari A disebut Himpunan Kuasa dari A Contoh himpunan kuasa : Jika A = {2,3} maka himpunan kuasa dari A yaitu : {∅, {2}, {3}, {2,3}} Jika B = {a, b, c} maka himpunan kuasa dari B yaitu : {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Latihan : 1) Tentukan himpunan kuasa dari C = {1, 3, 5, 7} 2) Tentukan himpunan kuasa dari D = {a, b, c, d, e} Banyaknya anggota Himpunan kuasa dari suatu himpunan yang memiliki n anggota adalah sebanyak 2n.
Universitas Gunadarma
Halaman 3
Matematika Infomatika D.
Operasi Antar Himpunan 1. Union adalah gabungan dari dua himpunan atau lebih yang hasilnya merupakan seluruh anggota kedua himpunan tersebut. Notasi dari union ini adalah ∪ (huruf u lepas) Misalnya : A = {1,2,3}
dan
B ={3,4,5}
Maka, A ∪ B adalah {1,2,3,4,5}, atau A ∪ B = {x; x ∈ A atau x ∈ B} Diagram vennnya adalah sebagai berikut : A ∪ B adalah terlihat pada bagian yang diarsir
2. Irisan adalah bagian yang serentak menjadi anggota kedua himpunan tersebut atau dengan kata lain Irisan adalah himpunan semua elemen dari kedua himpunan yang mempunyai unsur yang sama. Notasi dari Irisan ini adalah ∩ (huruf en lepas). Misalnya : A = {1,2,3}
dan
B = {3,4,5}
Maka, A ∩ B = {x; x ∈A dan x ∈B} Diagram vennnya adalah sebagai berikut : A ∩ B terlihat pada bagian yang diarsir
3. Set Pengurangan/set difference adalah selisih himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya. Notasi dari set difference ini adalah – (tanda minus) Misalnya
A = {3,4,5,6,7}
dan
B = {6,7,8,9,0}
Maka, A – B = {3,4,5}, yang diarsir kiri
Dan B – A = {8,9,0}, yang diarsisr kanan
Dimana, A – B = {x; x ∈ A dan x ∉ B}
Dimana, B – A = {x; x ∉ A dan x ∈ B}
A
A–B
Universitas Gunadarma
B
A
B
B–A
Halaman 4
Matematika Infomatika 4. Komplemen adalah penyisihan himpunan yang objeknya tidak merupakan unsur himpunan tersebut, tetapi masih anggota himpunan universalnya. Notasi komplemen dari himpunan A adalah :
A’ atau Ac atau Ā
Misalnya : S = {a,b,c,d,e,f,g} Maka, A’ = {e,f,g}
A = {a,b,c,d}
B = {d,e,f,g}
dan B’ = {a,b,c}
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Contoh 1 : Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh 2 : Misalkan U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q) TEOREMA: Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A
(hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C )
(hukum asosiatif)
Universitas Gunadarma
Halaman 5
Matematika Infomatika 6. Perkalian Himpunan (Cartesian Product) Hasil kali himpunan A dan B (ditulis A x B) adalah suatu himpunan yang elemennya terdiri dari pasangan berurutan (a, b) dengan a ∈A dan b ∈ B. A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈ B } Contoh : a. A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5} Maka A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} b. A = {x | 1 < x ≤ 3, x ∈ R} B = {y | 2 ≤ y < 5, y ∈ R} Maka A x B = {(x, y) | 1 < x ≤ 3 dan 2 ≤ y < 5 } 5 2 1
3
c. Jika A dan B adalah himpunan yang beranggotakan semua bilangan riil, maka A x B = himpunan semua titik di bidang datar.
Latihan : 1. Diketahui himpunan A, B, C. Manakah dari pernyataan berikut ini benar ? a. Jika A ⊂ B dan A ∩ C = ∅, maka B ∩ C = ∅ b. Jika A ⊂ B dan B ∩ C = ∅, maka A ∩ C = ∅ c. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = B d. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A 2. Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {6, 8} Tentukan : a. A ∪ B b. A ∩ (B – C) c. (A ∪ B)’ – C d. C ∪ (A – B) e. (A ∩ B)’ ∪ (A ∩ C)’
Universitas Gunadarma
Halaman 6
Matematika Infomatika 3. Tentukan irisan dari pasangan himpunan berikut : a. {x | –1 < x ≤ 5, x ∈ R} ∩ {x | 0 < x ≤ 7, x ∈ R} b. {x | 2 ≤ x < 4, x ∈ R} ∩ {x | 3 ≤ x < 8, x ∈ R} 4. Suatu asrama dihuni 50 mahasiswa dengan perincian 30 orang menguasai bahasa inggris, 25 orang menguasai bahasa Jerman, dan 10 orang menguasai bahasa Inggris dan Jerman. Berapa orang yang tidak menguasai bahasa Inggris dan Jerman? 5. Suatu kelompok dengan data sebagai berikut : Nama Amir Agus Bambang Cici Carla Darsono Gendis Haris Imbi Jeriko Kurnia Listiana Murtadho Zaki
Jenis kelamin L L L P P L P L L L P P L L
Asal daerah Bekasi Bekasi Bogor Bekasi Bogor Bogor Bekasi Bogor Bogor Bekasi Bekasi Bogor Bekasi Bogor
Pendidikan SMK SMA SMA SMA SMA SMA SMA SMK SMK SMA SMA SMA SMA SMK
Tuliskan Himpunan : a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o.
A = Mahasiswa berasal dari Bekasi B = Mahasiswa berasal dari Bogor C = Mahasiswa Laki-laki D = Mahasiswa Perempuan E = Mahasiswa berpendidikan SMA F = Mahasiswa berpendidikan SMK (C ∩ A) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bekasi (D ∩ F) = Mahasiswa perempuan dan berpendidikan SMK (E ∩ B) = Mahasiswa berpendidikan SMA dan berasal dari Bogor (A ∩ F) = Mahasiswa berasal dari Bekasi dan berpendidikan SMK (C ∩ B ∩ E) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bogor dan berpendidikan SMA (C ∪ A) = Mahasiswa Laki-laki atau yang berasal dari Bekasi (D ∪ E) = Mahasiswa Perempuan atau berpendidikan SMA (B ∪ E) = Mahasiswa berasal dari Bogor atau berpendidikan SMA (D ∪ A ∪ F) = Mahasiswa Perempuan atau yang berasal dari Bekasi atau berpendidikan SMK
Universitas Gunadarma
Halaman 7
Matematika Infomatika E.
Hukum – hukum Teori Himpunan 1. Hukum Komutatif adalah penggantian daripada himpunan yang satu dengan himpunan yang
lainnya,
akan
memberikan
penghasilan
yang
sama.
Hukum
komutatif
dikelompokkan atas dua yaitu : a. Komutatif untuk union ; A ∪B = B ∪A b. Komutatif untuk irisan ; A ∩B = B ∩A 2. Hukum assosiatif adalah penggantian penggabungan himpunan dari tiga himpunan yang diajukan pada suatu persoalan. Hukum assosiatif dikelompokkan atas dua yaitu : a. Assosiatif untuk union : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) b. Assosiatif untuk irisan (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. Hukum Distributif adalah pembagian pengelompokkan dua himpunan dari tiga himpunan yang mempunyai cara berbeda dan hasil yang berbeda. Hukum distributif dikelompokkan atas dua yaitu : a. Distributif Irisan terhadap Union ; 1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C) b. Distributif union terhadap Irisan ; 1. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 4. Hukum identitas adalah pasangan suatu himpunan dengan himpunan kosong. Hukum identitas dikelompokkan atas dua yaitu : a. Identitas untuk union A ∪ φ =φ ∪ A = A b. Identitas untuk irisan ; A ∩ φ =φ ∩ A = φ
Universitas Gunadarma
Halaman 8
Matematika Infomatika 5. Hukum Idempoten adalah penggabungan dua himpunan yang sama dan akan menghasilkan himpunan yang sama pula. Hukum idempoten ada dua yaitu : a. Idempoten untuk Union : A ∪ A=A b. Idempoten untuk irisan : A ∩ A=A 6. Hukum De Morgan yang dikelompokkan atas dua yaitu ; a. De Morgan untuk Union : (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Komplemen dari gabungan dua himpunan merupakan irisan dari komplemen masing-masing himpunan
b. De Morgan untuk Irisan : (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Komplemen dari irisan dua himpunan merupakan gabungan dari komplemen masing-masing himpunan
7. Hukum kelengkapan adalah pengoperasian sebuah himpunan dengan komplemennya. Hukum kelengkapan dikelompokkan atas dua yaitu : a. Kelengkapan untuk Union ; A ∪ A’ = S b. Kelengkapan untuk Irisan ; A ∩ A’ = Ø 8. Hukum Absorbsi A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A 9. Hukum Dominasi A∪S=S A∩Ø=Ø F.
Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B maka A ∪ B = A + B – A ∩ B A ⊕ B = A +B – 2A ∩ B
Universitas Gunadarma
Halaman 9
Matematika Infomatika Contoh : Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil) dari 3 dan 5, yaitu 15), Yang ditanyakan adalah A ∪ B. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A ∩ B = 100/15 = 6 A ∪ B = A + B – A ∩ B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
G.
PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A ∩ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 2. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan Contoh 1 : Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa �) = A (A ∩ B) ∪ (A ∩ B
Bukti : �) = A ∩ (B ∪ B �) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B =A∩U =A
Universitas Gunadarma
(Hukum distributif) (Hukum komplemen) (Hukum identitas)
Halaman 10
Matematika Infomatika Contoh 2 : Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A ∪ (B – A) = A ∪ B Bukti: �) A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ A (Definisi operasi selisih) � = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A ) (Hukum distributif) = (A ∪ B) ∩ U (Hukum komplemen) =A∪B (Hukum identitas) Latihan 1. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa � ∩ B) = A ∪ B (i) A ∪ ( A � ∪ B) = A ∩ B (ii) A ∩ ( A
2. Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta (U). Buktikan bahwa : � (a) A ⊕ U = A � (b) A ⊕ A = U �⊕U=A (c) A
Universitas Gunadarma
Halaman 11
