MATEMATIK FISIKA DAFTAR ISI BAB I : Eksponen ,logaritma danDeret 1.1 Bilangan berpangkat 1.2 Pengertian logaritma 1.3 Pengertian baris 1.4 Pengertian deret 1. 5 Persamaan dan Kesamaan
BAB. II -Bilangan dan pers Aljabar komplek -Matrik definisi serta aljabar komplek - Determinan, sistem persamaan linier - Transformasi koordinat -Analisa Vektor - Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor
BAB III. Persamaan deferensial biasa 3.1 Definisi pers.deff biasa 3.2 Membuat persamaan diff 3.3 Pers deff biasa orde satu 3.4 Penerapan PDB orde satu dalam fisika BAB IV. Vektor 4. 1 Pendahuluan 4.2 Aljabar Vektor 4.3 Garis dan bidang
BAB.V. Matriks 5.1 Matrik 5.2 Aljabar matriks 5.3 Determinan 5.4 Persamaan linier 5.5 Matriks adjoin dan matrks invers 5.6 Rannk matriks T K 5.7. Transformasi linier 5.8 Matrik ortogonal 5.9 Nilai Eigen dan Vektor Eugen 5.10 Matriks digonal
A1
I.1 Bilangan berpangkat Sifat-sifatnya a. a m xan xar x.... a m n r m n m n a b. a : a m n mn a c. ( a ) m m m m ( a.b.c... ) a b c ... d. m a a m n m e. m b dan a a b am a m m n m f. a a (a.b) dan ( ) m b b g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0 h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0 n m
Referensi. 1. Mery L Boas Mathematical Methods in the Physical, 3 and editor, Joen Weley & sons 2006 2. K>L Reley Mathematical Method for Physics and Engeneern,3and Combregge 2006. 3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.
i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0 j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g ialah bilangan x sehingga gˣ = a g log a 1. ͫlog mˣ = x dan g a 2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c 3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b x log a 4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a = x log m 5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s log a log d log a log s m x x log s (pembuktian) log m log a log d
log m
g
g
a b 6. log a log b 7. g log x g log y g 1 x y 8. g log x g log y g 1 x y g g log x log y 0 g 1 x y 9. 10. g log x g log y 0 g 1 x y
DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara
tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }. Sisipan Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilanganbilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.
sehingga menjadi baris aritmatika : m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b b maka : b' k 1 , k = banyak bil. Yan disisipkan Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’ Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah: a Un 1. St 2. dn = n.St ; St =suku te 2 Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama
Barisan dan Deret Geometri Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiaptiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap a = suku pertama ; p = pembanding a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : Un ap n 1
• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn n n 1 p p 1 p = pembanding dn a a 1 p p 1 dn=jml suku 1 Sisipan Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut : a, …………………………,b, baris geometri semula a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru
ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p 1. p' k 1 p p’=pembanding baru k= banyak bilangan yang disisipikan antara tiap dua suku berurutan. 2. n’ = n + (n – 1 ) k Deret ukur tak hingga 1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen
2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen Jumlah deret geometri tak terhingga (d) a ( [p] < 1 ) limdn n
1 p
Baris dan Deret Ukur Hitung. Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian
Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .
Un {a (n 1)b}.ap
n 1
PERSAMAAN DAN KESAMAAN Persamaan Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya . Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½ harga x tertentu yaitu = - ½ Macam-macam Persamaan 1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap
2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0 3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :
a0 x
n
a1 x
n 1
a2 x
n 2
..... an b
Persamaan kuadrat : x1, 2 b² - 4ac = D = diskriminan 1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂ 2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂ 3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner
0 b2 2a
4ac
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat : - x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂) 1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan. 2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama 3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya
Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel. (2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻ +….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻ +….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻ +…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru
2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru. 3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahanpecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut. Dalil Sisa Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻ +….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁). Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap 2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier 3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat
Fungsi kuadrat. Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0 Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r² Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0 Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1 Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y -“- “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)
Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi. a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam interval itu f’(x) naik. b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam interval itu f’(x) turun Syarat Maks dan Mim a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )
Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung fungsi dan bentuk2 turunan. Deferensil dapat dikelompokkan : 1. Persamaan Defersial Biasa(PDB) 2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP) Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g 2 2 2 u u u 0 2. Pers.Laplac: x 2 y2 z2 ditulis dalam bentuk 2u 0 pers. diffusi 2 2
u 1/ . u / t
Istilah dalam pers.deff. 1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat dalam persamaan deferensial. 2.Degree :pangkat dari orde persamaan diferensial. 2 2 d y dy 3 1 Contoh : persamaan 2 dx dx ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat 3 2 2 PDB ini berorde 2 d2y dy 1 2 dx dx dan degree 2
Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) : n
n 1
n 2
d y d y d y dy a0 n a1 n 1 a2 n 2 .... an 1 an y R( x) dx dx dx dx
PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x). 2 d3y dy ( y ' ) xy y 4 dan 3 dx dx Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)² Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)
R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien 2y d tetap. Contoh : 4 0 2 dx R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan 2 d koefisien tetap ; contoh : 2y 3 dy 4 y 5 dx dx R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien 2 d y dy variable , contoh : x 0 2 dx dx R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible
2 d2y dx 2
dy dx
2 contoh : x 2x y x 2 Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ. Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx 2 integrasi pers. di atas y xdx 1 / 2 x c
Membuat Persamaan Diferensial. Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu. Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0 PDB orde satu M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y) kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y) dy dx
f1 ( x ) g1 ( y ) f2 ( x) g2 ( y)
g2 ( y ) g1 ( y )
dy
f1 ( x ) f2 ( x)
dx
penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral . PDB linier Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y= P( x)dx c P ( x ) dx c P ( x ) dx maka y e dgn A =e . Ae Jadi penyelesaiannya PDB : (*)
y
e
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
Q( x)dx ce
P ( x ) dx
Persamaan Bernoulli. Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ. PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat : (1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx → dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)
T
Penerapan PDB orde satu dalam Fisika. Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*) Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*) maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ t , zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀ t t e maka : ½ N₀ = N₀ e → =1/2→-λt=ln 1-ln2 t = (ln 2)/ λ → waktu paruh - lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff dT L di/dt + Ri = V ; aliran panasQ (h.90) kA dx
Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1) , Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0 Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus : 1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x) Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan : y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde satu,persamaan diatas dapat diselesaikan. 2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy . Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0
PDB Euler-Cauchy. Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan dy 2 d y a x a x a2 y R ( x )....(1) 1 dx koefisien variabel : 0 dx a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy) Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy Misalkan x = e → dx/dz = e = x . Cari y’ = dy/dx dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz =-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²) x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz. 2
2
2 d2y dx 2
dy Sisipkan y”,y’ ke pers. a0 x a1 x dx a2 y R( x) a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z) a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*) Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).
VEKTOR Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai besaran, juga mempunyai arah Vektor ditulis dengan huruf kapital ( A) → A Panjang panah menyatakan besar vektor A arah panah menunjukan arah vektor A. Besaran vektor A adalah A atau A .Vektor satuan searah dengan vektor A dengan tanda a a
A A
A A
Komponen vektor A dalam sistem koordinat Kartesis (xyz) adalah Ax , Ay danAz terletak pada sumbu x, y, dan z. Vektor satuan i , j, dan k yang searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor A A Ax i Ay j Az k dan besar A = A adalah 2 2 2 A Ax Ay Az ,begitu juga koord kartesis xy Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke sebuah titik ditulis r atau R . Jika titik terdapat dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka vektor r : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z) 2 2 2 r x i y k z k r r x y z Yaitu dan
Jika vektor A dan Bberimpit atau sejajar arah yang sama , maka vektor A dan B dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka keduanya disebut vektor yang berlawanan arah. Dua vektor A dan B dikatakan sama jika A B dan arahnya sama. Jika arah B berlawanan dengan A, tetapi A B , maka kita katakan A B . Sebuah vektor B k A (k= sekalar) menunjukan bahwa Bsearah dgnA dan B k A .
Vektor nol : vektor yang besarnya (harga mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah A
A B
B
A
A
B kA
Aljabar Vektor Penjumlahan vektor Dua vektor A dan B dapat dijumlahkan dengan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap) B ke titik ujung (terminal) A → A B
B Titik tangkapnya terminal Adan B berimpit Dari penjumlahan vektor A ( komutatif ) A B B A A B A ( B C ) ( A B) C (asosiatif ) B Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang Kita dapat melakukan pengurangan A B A ( B) Perkalian vektor. a. Perkalian titi(dot). perkalian titik didef. Sebagai : A . B A B cos α =sudut antara A dan B
b. Perkalian silang (cross) Perkalian silang def. A x B A B sin Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil A x B adalah sebuah vektor C yang mempunyai besar = A B sin dan searah dengan vektor satuan Vektor Ctegak lurus terhadap bidang tempat A dan B terletak.Menentukan arah vektor C gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah C Ternyata A x B dan B X A mempunyai besaran skekar yang sama tetapi berlawanan arah.
atau : A x B B x A Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh : ; i xi j x j k xk 0 i xi i i sin 0 0 0 dan i x i i j sin 900 Garis dan Bidang. 1. Persamaan garis Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik P ( x0 , y0 , z0 ) sejajar dengan sebuah vektor A.Buat garis l melalui P( x0 , y0 , z0 ) ke Q( x, y, z ) // vektor A diperoleh PQ r r0 atau PQ ( x x0 ) i ( y y0 ) j ( z z0 ) k
Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka x x y y z z persamaan menjadi a b c persamaan ini : pers.garis simetri z P( x , y , z ) Q( x, y, z ) 0 o 0 l 0
0
0
A
r0
r
y x
Persamaan Bidang. persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah vektor N . Misalkan N = a i b j c k tegak lurus pada bidang α, diperoleh PQ r r Q( x, y, z) PQ ( x x0 ) i ( y y0 ) j ( z z0 ) k Kerena PQ terletak pada bidang α maka N ∟ PQ maka perkalian titik sama dengan nol N . PQ 0 0
N r r
α
P( x0 , y0 , z0 )
S
r
Matrik dan Determinan Matrik Sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom : matrik.Objek matrik dapat berupa bilangan real,bil komplek (fungsi) Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal a11 a12 a13 a1n kolom m =jml baris I = 1,2,3……m a21 a22 a23 a2 n A n = jml kolom . . . . I = 1,2,3,…..n a a a a 41
42
43
mn
Matrik A dengan elemen aij ,mempunyai baris m dan kolom n dengan orde (mxn). Matrik bujur sangkar dimana m=n yang terdiri 0 0 1. matrik nol 0 0 1 0 2. matrik satuan 0 1 a d Matrik lain : a b c A AT b e d e f 1. Matriks transpos c f 2. Matrik vektor atau matrik vektor kolom r
r1 r2 . rn
r1
r2
.
rn
T
