BAB 9 FUNGSI LOGARITMA
A
RINGKASAN MATERI
1. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma f dengan bilangan pokok atau basis a dapat dituliskan dalam bentuk f : x a log x atau y = f(x) = a log x, dengan: 1. x adalah peubah bebas atau numerus dan sebagai daerah asal fungsi f, yaitu Df = {x | x > 0, xR}, 2. a adalah bilangan pokok atau basis logaritma, dengan a > 0 dan a 1, 3. y adalah peubah tak bebas dan daerah hasil fungsi f, Rf = {y | yR}. Grafik fungsi logaritma Y y = alog x, a > 1
1
X y = alog x, 0 < a < 1
2. Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dengan bilangan pokok atau numerusnya berbentuk suatu fungsi dalam suatu variabel. Menyelesaikan persamaan logaritma a.
Jika alog f(x) = b, maka f(x) = ab, dengan f(x) > 0.
b.
Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p, dengan f(x) > 0.
c.
Jika alog f(x)= blog f(x), maka f(x) = 1
d.
Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
e.
Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), maka g(x) = h(x), dengan g(x) > 0, h(x) > 0, f(x) > 0 dan f(x) 1.
f.
Jika A{alogf(x)}2 + B{alog f(x)} + C = 0 maka penyelesaian menggunakan persamaan kuadrat.
3. Pertidaksamaan Logaritma Jika alog f(x) > alog g(x), dengan a > 1, maka f (x) > g (x) > 0 Jika alog f(x) > alog g(x) dengan 0 < a < 1, maka 0 < f (x) < g (x)
Fungsi Logaritma
1
Sukses Ujian Nasional Matematika
B
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 3log (x2 – 2x) = 1 adalah ….. a. {–1} b. {3} c. {–1, 3} d. {1, 3} e. {1, –3} Jawaban: c Penyelesaian: 3 log (x2 – 2x) = 1 (x2 – 2x) = 3 x2 – 2x – 3 = 0 (x + 1) (x – 3) = 0 x = –1 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {–1, 3} 2. Ebtanas 1999 Penyelesaian persamaan 2log (x + 2) – 4log (3x2 – x + 6) = 0 adalah p dan q. Untuk p > q, nilai p q = …. a.
2
b.
3 2
c.
1 2
d. –
3 2
e. –
5 2
Jawaban: b Penyelesaian: 2 log (x + 2) – 4log (3x2 – x + 6) = 0 2log (x + 2) = 4log (3x2 – x + 6) 4log (x + 2)2 = 4log (3x2 – x + 6) x2 + 4x + 4 = 3x2 – x + 6 2x2 – 5x + 2 = 0 (2x – 1)(x – 2) = 0 1 = q atau x = 2 = p 2 3 Jadi, nilai p – q = 2
x=
3. UAN 2003 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (3log x)2 3 3log x + 2 = 0, maka nilai x1 x2 = …. a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27 Jawaban: e Penyelesaian: Misalnya 3log x = a, maka persamaan Metode Praktis: (3log x)2 3 3log x + 2 = 0 ekuivalen dengan persamaan: 2 Persamaan a(g log x)2 + b g log x + c = 0, a 3a + 2 = 0 b (a 1) (a – 2) = 0 akar-akarnya x1 dan x2, maka x1 x2 = g a . a = 1 atau a = 2 Persamaan (3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0 a = 1 3log x = 1 x1 = 3 maka x1 x2 = 33 = 27 a = 2 3log x = 2 x2 = 9 Jadi, x1 x2 = 3 9 = 27 4. Ebtanas 2000 Nilai x yang memenuhi log 2 + log (2x –1) > log (x + 7) untuk bilangan pokok 3 adalah …. a.
–7 < x <
1 2
b.
1 <x<3 2
c. x > 2
d. x > 3
e. x > 4
Jawaban: e Penyelesaian: Syarat yang harus dipenuhi adalah: 1) 2x – 1 > 0 x >
1 2
2) x + 7 > 0 x > 7 3) 3log 2 + 3log (2x –1) > 3log (x + 7) 3 log (4x – 2) > 3log (x + 7) 4x 2 > x +7 x>3 Dari syarat 1), 2), dan 3) yang memenuhi adalah x > 3. Fungsi Logaritma
2
7
1
3
2
Sukses Ujian Nasional Matematika
5. UAN 2002 Himpunan penyelesain pertidaksamaan xlog 9 < xlog x2 adalah.… a. {x |x ≥ 3} b. {x | 0 < x < 3} c. {x |1 < x < 3} d. {x | x > 3} Jawaban: d Penyelesaian: x log 9 < xlog x2 Syarat yang harus dipenuhi adalah 1) Bilangan pokok logaritma: x > 1 atau 0 < x < 1
e. {x |0 < x ≤ 3}
2) Untuk bilangan logaritma: x > 1, maka 9 < x² x² 9 > 0 (x + 3)(x 3) > 0 x < 3 atau x > 3 Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 3}.
1
3
3
3) Untuk bilangan pokok logaritma: 0 < x < 1, maka 9 > x² x² – 9 < 0 (x + 3) (x – 3) < 0 3 0 1 3 < x < 3 Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 1}. Dari syarat 2) dan 3) diperoleh himpunan penyelesaiannya: {x | x > 3 atau 0 < x < 1}.
C
3
LATIHAN SOAL log x 3 , maka f(x) + f = .... 3 1 2 log x x d. –1 e. –3 3
1. Jika f(x) = a. 3 b. 2 c. 1
2. Jika 2 log x + log 6x – log 2x – log 27 = 0, maka x = a. –3 d. 9 b. 3 e. –9 atau 9 c. –3 atau 3 3. Jika alog (3x – 1) 5log a = 3, maka x = …. a. 42 d. 36 b. 48 e. 35 c. 50 4. Nilai x yang memenuhi persamaan 10 log x2 + 10log x + 2 10log x = 50 adalah …. a. 1010 d. 100 b. 105 e. 5000 c. 50 5. UN 2006 Akar-akar dari persamaan 2log (x2 – 4x + 5) = 3 adalah x1 dan x2. Nilai x12 + x22 = .... a. 3 d. 16 b. 4 e. 22 c. 10 6. Ebtanas 1997 Penyelesaian persamaan 2 log (2x2 – 4x + 3) – 2log (6x – 9) = 0 adalah dan . Untuk > , maka – = …. a. 1 d. 5 b. 2 e. 11 c. 4 Fungsi Logaritma
3
Sukses Ujian Nasional Matematika
7. UN 2006 Himpunan penyelesaian persamaan 5 log (x – 2) + 5log (2x + 1) = 2 adalah …. a. {1 12 } d. {1 12 , 3} b. {3}
e. {3, 4 12 }
c. {4 12 } 8. Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 5 – 4x log (x2 – 7x – 5) = log 10 adalah …. a. –4 d. 2 b. –3 e. 3 c. –2 9. UAN 2002 Himpunan penyelesaian persamaan logaritma x log (10x3 – 9x) = xlog x5 adalah .... a. {3} d. {–3, –1, 1, 3} b. {1, 3} e. {–3, –1, 0, 1, 3} c. {0, 1, 3} 10. Ebtanas 1994 Hasil kali dari semua anggota himpunan penyelesaian persamaan x log (3x + 1) – xlog (3x2 – 15x + 25) = 0 adalah .... a. 6 d. 12 b. 8 e. 15 c. 10 11. Diketahui sistem persamaan 5log x + 5log y = 5 dan 5 log x4 – 5log y3 = –1 . Nilai x dan y yang memenuhi persamaan itu mempunyai jumlah .... a. 225 d. 75 b. 150 e. 50 c. 100 12. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x 2 + log x = 1.000, maka x1.x2 = …. a. 10 –2 d. 10 b. 10 –1 e. 100 0 c. 10 13. UN 2008 Akar-akar persamaan 2log2 x – 6.2log x + 8 = 2log 1 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = .... a. 6 d. 12 b. 8 e. 20 c. 10 14. Diketahui 2(4log x)2 – 2 4log x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = .. a. 5 d. 2 ½ b. 4 ½ e. 2 ¼ c. 4 ¼ 15. UN 2006 Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 2 log 2log (2x + 1 + 3) = 1 + 2log x adalah …. a. 2log 3 d. –1 atau 3 2 1 b. 3log e. 8 atau 3 2 c. log 2
Fungsi Logaritma
4
Sukses Ujian Nasional Matematika
16. Ebtanas 2001 Pertidaksamaan
25
log (x2 – 2x – 3) <
1 dipenuhi 2
oleh .... a. –4 < x < 2 b. –2 < x < 4 c. x < –1 atau x > 3 d. –4 < x < –1 atau 2 < x < 3 e. –2 < x < –1 atau 3 < x < 4 17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 6
log (x2 – x) > –1 adalah …. a. –2 < x < 3 b. x < 0 x > 1 c. –2 < x < 0 1 < x < 3 d. 0 < x < 3 e. x > –2
18. Ebtanas 2000 Batas-batas nilai x yang memenuhi log (x – 1)2 < log (x – 1) adalah …. a. x < 1 atau x > 2 d. 1 < x < 2 b. –1 < x < 5 e. –1 < x < 2 c. x > 1 19. UN 2006 Penyelesaian pertidaksamaan logaritma log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …. a. x > 6 d. –8 < x < 6 b. x > 8 e. 6 < x < 8 c. 4 < x < 6 20. UN 2005 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah …. 5 5 a. ≤ x ≤ 10 d. ≤ x < 0 2 2 b. –2 ≤ x ≤ 10 e. –2 < x < 0 c. 0 < x ≤ 10 21. Nilai-nilai x yang memenuhi 2log x – xlog 2 > 0 adalah …. a. x > 12 b. x > 1 c. 1 < x < 2 d. –1 < x < 0 x > 1 e. 12 < x < 1 x > 2 22. Nilai x yang memenuhi
2
1 1 < 1 2 log x log x 1
adalah …. a. x < 1 atau x > 2 b. 1 < x < 2 c. 0 < x < 1 d. x < 2 atau x > 3 e. 0 < x < 1 atau x > 2 By Kusnandar Fungsi Logaritma
5
Sukses Ujian Nasional Matematika
Fungsi Logaritma
6
Sukses Ujian Nasional Matematika
