Bab 2. Tinjauan Pustaka. 2.1 Pendahuluan. 2.2 Bunga Majemuk

Bab 2 Tinjauan Pustaka 2.1

Pendahuluan

Sebelum melakukan penganalisisan untuk pemodelan matematika aktuaria yang mengarah ke reversionary anuities maka kita perlu memperkaya diri dengan teoriteori pendukungnya sehingga apa yang kita hendak tuju dalam penulisan tesis ini dapat diperoleh.

2.2

Bunga Majemuk

Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk. Didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat bunga. Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi sebagai faktor diskonto (v) : v=

1 1+i

(2.1)

Sedangkan untuk tingkat diskonto (d) didefinisikan , sebagai berikut : d=1−v = 4

i = i.v 1+i

(2.2)

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

5

Definisi 2.2.1 (the force of interest) : The force of interest didefinisikan oleh δ = lim i(m) = lim (1 + i) m→∞

m→∞

(2.3)

maka diperoleh eδ = (1 + i)

2.3

atau δ = ln (1 + i)

(2.4)

Mortalitas

Mortalitas diungkapkan dengan variabel acak T (x). Misalkan seseorang berusia x tahun, dinotasikan sebagai (x), maka sisa umurnya (future lifetime), T (x) = X − x|X > x, artinya variabel acak yang menyatakan (x) akan meninggal sesudah mencapai usia x tahun, bila diketahui ia masih hidup pada usia x tahun. Dapat dituliskan variabel acak dari sisa kehidupan (x) adalah X − x = T (x). Dengan demikian X = T (x) + x. Jadi T (x) adalah periode (x) akan meninggal. Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel acak T (x) = X − x|X > x yang kontinu adalah F (t) = Pr ((x) akan meninggal dalam periode t tahun) = Pr (T (x) ≤ t|X > x) , F (t) =

t≥0 (2.5)

t qx

dan fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak T (x) dinyatakan dengan f (t) = Pr (t < T (x) < t + ∆t) =

d F (t) . dt

Dari persamaan (2.10) akan diperoleh hubungan sebagai berikut t px

+ t qx = 1

dimana notasi t px menyatakan peluang bahwa (x) hidup paling sedikit t tahun lagi atau akan meninggal setelah t tahun, yang biasanya disebut sebagai fungsi survival dari variabel acak T (x), yaitu s (t) = Pr (T (x) > t|X > x) .


6

Bila x = 0 maka t p0 menyatakan peluang bayi yang baru lahir bisa mencapai usia t tahun, yaitu suatu fungsi survival yang dinyatakan dengan notasi s (t) = t p0 . Bila t = x maka diperoleh peluang bayi baru lahir bisa mencapai usia x. s (x) =

x p0 .

Misalkan lx menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang hidup dari sejumlah l0 yang lahir, maka akan diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut (2.6)

lx = l0 .s (x) = l0 .x p0 lx+t t px = lx lx+t lx − lx+t dx = = t qx = 1 −t px = 1 − lx lx lx

dimana dx menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang mati sebelum mencapai usia (x + 1) tahun. Definisi 2.3.1 (the force of mortality) : The force of mortality dari (x) pada usia x + t didefinisikan dengan μx+t =

f (t) . 1 − F (t)

(2.7)

Definisi diatas dapat diturunkan lagi menjadi μx+t = − dan t px

dt px 1 d . = − ln (t px ) dt t px dt ⎛

= exp ⎝−

Zt

0

(2.8)

⎞

μx+s ds⎠

(2.9)

sehingga diperoleh fungsi kepadatan peluang dari T (x), yaitu (2.10)

f (t) = t px .μx+t sedangkan fungsi distribusi dari T (x) adalah ⎛

F (t) = t qx = 1 − t px = 1 − exp ⎝−

Zt

0

⎞

μx+s ds⎠ .

(2.11)

Di dalam matematika aktuaria terdapat berbagai notasi yang sering digunakan untuk menyatakan peluang (bersyarat), antara lain


7

1. u px+t adalah peluang bersyarat (x) akan mencapai usia x + t + u tahun atau akan meninggal setelah x+t+u tahun bila ia bisa mencapai usia x+t tahun, yang dinyatakan dengan u px+t

= Pr (T (x) > t + u|T (x) > t) t+u px = u px

(2.12)

dimana t+u px adalah peluang tidak bersyarat bahwa (x) akan mencapai usia x + t + u. 2. u qx+t adalah peluang bersyarat bahwa (x) akan meninggal sebelum usia x + t + u tahun bila ia bisa mencapai usia x + t tahun, yang dinyatakan dengan u qx+t

3.

t|u qx

= 1 − u px =

− t qx . t px

t+u qx

(2.13)

adalah peluang bahwa (x) akan meninggal antara usia x + t tahun dan

x + t + u tahun, yang dinyatakan dengan t|u qx

= Pr (t < T (x) ≤ t + u) = Pr (T (x) ≤ t + u) − Pr (T (x) ≤ t)

t|u qx

=

t+u qx

= (1 −

t|u qx

− t qx

t+u px )

(2.14) − (1 − t px )

=

t px

−

=

t px

(1 − u px+t )

=

t px .u qx+t

t+u px

(2.15)

untuk u = 1, maka t |qx

= t px .qx+t .

(2.16)

Pada kasus diskrit, sisa umur seseorang dinyatakan oleh variabel acak K (x) yang didefinisikan dengan K (x) = [T (x)] dengan notasi [T (x)] menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari T (x). Fungsi distribusi (d.f.) dari variabel


8

acak K (x) adalah F (k) = Pr (K (x) ≤ k) = Pr (T (x) ≤ k + 1) =

k+1 qx .

Sedangkan fungsi kepadatan peluang dari K (x) adalah f (k) = Pr (K (x) = k) ,

k = 0, 1, 2, ...

= Pr ([T (x)] = k) = Pr (k < T (x) ≤ k + 1) −

=

k px

k+1 px

=

k px .qx+k

=

k |qx .

(2.17)

Beberapa ilmuan telah melakukan penelitian untuk mencari distribusi T (x) yang pada akhirnya menghasilkan beberapa macam hukum mortalitas, yaitu Hukum De Moivre, Hukum Gompertz, dan Hukum Makeham. Dalam tesis ini, Hukum Gompertz akan dipakai untuk menentukan distribusi dari T (x). Bila the force of mortality mengikuti Hukum Gompertz maka μx+t dapat dituliskan dengan μx+t = Bcx+t ,

B > 0, c > 0, t > 0

jika nilai B dan C sudah tertentu maka t px dapat dituliskan sebagai fungsi dari B, C, x, dan t t px

dimana

⎛

= exp ⎝−

Zt

⎞

Bcx+s ds⎠

¶ µ 0 ¡ t ¢ x 1 c −1 = exp −Bc . ln c ¢¢ ¡ ¡ = exp −mcx ct − 1

(2.18)

B ln c jika t = x dan x = 0 diperoleh fungsi survival bagi (x) sebagai berikut : m=

s (x) =

x p0

= exp (−m (cx − 1)) .

(2.19)


2.4

9

Anuitas (Annuity)

Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam jangka pembayaran disebut anuitas pasti.

2.4.1

Anuitas Pasti (Pembayaran Tahunan)

Anuitas yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas disebut anuitas awal (annuity-due) sedang bila di akhir jangka waktu pembayaran disebut anuitas akhir (annuity-immediate). Total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dapat dinotasikan sebagai ane (annuity-immediate) adalah : P V = ane = v + v2 + v 3 + ... + vn−1 + vn dengan menggunakan rumus deret geometri, maka : ¡ ¢ ane = v 1 + v2 + v3 + ... + vn−2 + v n−1 ¶ µ 1 − vn , dari persamaan (2.2) , maka = v 1−v µ ¶ 1 − vn = v iv 1 − vn ane = i

(2.20)

Sedangkan anuitas awal yang dinotasikan sebagai a ¨ne (annuity-due) : a¨ne = 1 + v2 + v3 + ... + v n−2 + v n−1 µ ¶ 1 − vn = v , 1−v 1 − vn a¨ne = d

2.4.2

(2.21)

Anuitas Pasti (Pembayaran m-kali setahun)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m-kali dalam setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun dan total pembayarannya dalam satu tahun


10

sebesar 1. (m)

Maka total nilai sekarang dari anuitas tersebut yang dinotasikan, ane adalah : (m)

ane

(m)

ane

¢ 1 ¡ 1/m v + v2/m + v3/m + ... + vn−1/m + vn mµ ¶ 1 v1/m − v n+1/m = m 1 − v1/m 1 − vn h i, = m (1 + i)1/m − 1 =

=

1 − vn i(m)

(2.22)

(m)

Sedangkan untuk anuitas awal yang dinotasikan a ¨ne : (m)

a¨ne

(m)

a¨ne

2.4.3

¢ 1 ¡ 1 + v 1/m + v 2/m + v 3/m + ... + v n−1/m mµ ¶ 1 1 − vn = m 1 − v1/m 1 − vn i, h = m 1 − (1 − d)1/m =

=

1 − vn d(m)

(2.23)

Anuitas Pasti (Pembayaran Kontinu)

Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali dalam setahun dengan m → ∞, atau dengan kata lain pembayarannya dilakukan setiap saat. Notasi anuitas tersebut adalah a ¯ne a ¯ne = =

2.5

(m)

1 − vn m→∞ i(m)

lim a ¯ne = lim

m→∞

1 − vn δ

(2.24)

Anuitas Hidup (Life Annuity)

Anuitas hidup (Life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah.


11

Jenis anuitas yang digunakan adalah anuitas seumur hidup (Whole Life Insurance).

2.5.1

Anuitas Hidup Kontinu (Continuous Life Annuities)

Anuitas seumur hidup sebesar 1 per akhir tahun dengan pembayaran kontinu atau setiap saat. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut variabel acak Y adalah T ≥0

Y =a ¯T e , dari persamaan (2.24) didapat a ¯T e =

1 − vT δ

Actuarial Present Value (AP V ) dari anuitas tersebut adalah £ ¤ a¯x = E [Y ] = E a¯T e Z∞ = a ¯te .g (t) dt 0

dengan menggunakan pengintegralan parsial integral tentu : Zb

a

Andaikan : u = a¯T e

u dv =

[uv]ab

µ

¶ t

−

Zb

v du

a

µ t¶ 1−v d v 1 dv t = − =− δ dt δ δ dt 1 t 1 t 1 −1 = − .v . ln v = .v . ln (1 + i) = .v t .δ δ δ δ = vt ⇒ du = v t .dt

d du = ⇒ dt dt

dv = g (t) dt dv = t px .μx+t dt

→

v = −t px

sehingga : a¯x =

Z∞

a ¯te .g (t) dt

0

¯∞ = a ¯te .t px ¯0 −

Z∞ 0

−t px .v t dt

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA jika :

t=∞ → t=0 →

t px t px

=0

=1

12 1 1 − v∞ = δ δ 1 − v0 =0 a¯te = δ

;

a ¯te =

;

Maka : £ ¤ a¯x = E aT e =

Z∞

v t .t px dt

(2.25)

0

Hubungan antara anuitas seumur hidup dengan asuransi seumur hidup yang kontinu : ¸ Z∞ ∙ £ ¤ 1 − vT 1 − vT E a ¯T e = E = .g (t) dt δ δ 0

=

1 1 − δ δ

Z∞

vt .g (t) dt

0

maka : 1 1¯ 1 − A¯x − Ax = δ δ δ ¯ = 1 − Ax ⇒ A¯x + δ¯ax = 1

a¯x = δ¯ ax

2.5.2

(2.26)

Anuitas Hidup Diskrit (Discrete Life Annuities)

Anuitas hidup diskrit menggunakan anuitas awal (annuity-due) yang pembayarannya setiap awal tahun. Nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan variabel acak dari Y adalah : Y = a¨K+1| ,

K≥0

dari persamaan (2.21) akan didapat : a¨K+1| =

1 − v K+1 d


13

AP V dari anuitas tersebut, a ¨x : i h ¨K+1| a ¨x = E [Y ] = E a =

∞ X

a ¨k+1| . Pr (K = k)

k=0

= =

∞ X k=0 ∞ X

a ¨k+1| .k px .qx+k vk .k px

(2.27)

k=0

Hubungan anuitas dengan asuransi adalah : ¸ ∙ i h 1 − v K+1 a¨x = E a¨K+1| = E d maka akan didapat :

a¨x

2.5.3

¤ £ 1 − E vK+1 = d 1 − Ax = d

(2.28)

Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran

AP V dari anuitas hidup sebesar 1 pertahun, yang dibayarkan 1/m pada awal setiap 1/m tahun selama orang berusia (x) tersebut hidup hingga K + (J + 1) /m. Variabel acak Y adalah : mk+j

Y

X 1 vj/m m j=0

=

(m)

= a ¨K+(J+1)/m| =

1 − vk+(j+1)/m d(m)

(2.29)

AP V dari anuitas : h i (m) ¨K+(J+1)/m| a ¨x(m) = E [Y ] = E a =

∞ X

(m)

a ¨k+(j+1)/m| . Pr (K = k)

k=0

1 X k/m = v .k/m px m k=0 ∞

(2.30)


14

Hubungan anuitas dengan asuransi adalah : i h (m) a¨(m) = E a ¨ x K+(J+1)/m| ¸ ∙ 1 − vK+(J+1)/m = E d(m)

(2.31)

maka akan didapat : a¨x(m)

2.6

¤ £ 1 − E vK+(J+1)/m = d(m) (m) 1 − Ax = d(m)

(2.32)

Anuitas Survivor, Anuitas Reversionary

Anuitas yang dibayarkan kepada istri pada waktu suaminya meninggal disebut Anuitas Janda, jika anuitas dibayarkan dengan syarat orangtuanya meninggal disebut anuitas yatim (orphans annuity). Dalam istilah umum disebut Survivor Annuity, dalam bagian ini dibahas perhitungan-perhitungannya. Pada anuitas ini dimulai pada waktu suami atau orangtuanya meninggal kepada isteri atau anak akan dibayarkan sejumlah anuitas, pada anuitas yang jatuh waktu, nilai sekarang pembayaran anuitas di waktu yang akan datang pada waktu kontrak dimulai perhitungan premi tunggalnya bisa dilakukan (nilai sekarang dari survivor annuity). Dari (x) , (y) , pada waktu (x) meninggal dunia dimulai pada akhir tahun polis setiap tahun dilakukan pembayaran anuitas hidup sebesar 1 sejauh (y) hidup, pembayaran terakhir dilakukan pada akhir tahun ke−n, nilai sekarang anuitas tersebut dinyatakan dalam ax|y:n| dengan menggunakan nilai kemungkinan, maka


ax|y:ne = qx py v a ÿ+1:ne +

15

1| qx 2 py

v2 a ÿ+2:n−1|

+ 2| qx 3 py v 3 a ÿ+3:n−2| + ... + n−1| qx n py v n a ÿ+n:1| ¡ ¢ = qx (py v) 1 + py+1 v + ... + n−1 py+1 v n−1 ¡ ¢¡ ¢ + 1| qx 2 py v2 1 + py+2 v + ... + n−2 py+2 vn−2 ¡ ¢¡ ¢ + 2| qx 3 py v3 1 + py+3 v + ... + n−3 py+3 vn−3

(2.33)

+..... +

n−1| qx (n py v

= (py v) qx +

¡

n

)

2 py v

2

¢¡ qx +

1| qx

¢

+

¡

3 py v

3

¢¡ qx + ¢

¡ +.... + (n py vn ) qx + 1| qx + ... + n−1| qx n n X X t = v t (1 − t px ) t py t py v t qx = t=1

1| qx

+

2| qx

¢ (2.34)

t=1

Rumus pada (2.34) bisa diinterpretasikan sebagai syarat berikut. Pada saat pembayaran anuitas satu demi satu, pada saat itu syarat pembayarannya adalah digambarkan pada nilai kemungkinannya, pada saat itu nilai sekarang pembayarannya anuitas dikalikan dengan vt jumlah totalnya digambarkan pada (2.34). Dalam hal pembuatan formula reversionary annuity seperti dijelaskan dalam bagian ini, untuk memperkenalkan akan lebih mudah bila menggunakan cara berpikir yang P P demikian. Dari ruas kanan (2.34) dari bentuk − didapatkan ax|y:n| = ay:n| − axy:n|

(2.35)

ruas kanan menggambarkan pembayaran anuitas hidup dari (y), dikurangi pembayaran anuitas hidup (x) , (y) , sesudah (x) meninggal menggambarkan besarnya pembayaran anuitas hidup kepada (y). Perhitungan menggunakan (2.35), menjadi sederhana. Benefit anuitas seumur hidup kepada (y) dinyatakan untuk n → ∞, seperti rumus berikut ini:

ax|y = ay − axy

(2.36)


16

Berikut ini anuitas dalam setahun dibayarkan sebanyak k kali, setelah (x) meninggal, pembayaran anuitasnya berikutnya kepada (y) yang berupa anuitas hidup besarnya adalah k1 −nya, n tahun kemudian pembayaran anuitas selesai, nilai sekarangnya adalah (k) ax|y:n|

=

nk ³ X

t−1 k

t=1

px −

t k

px

´

t

t k

py v k aÿ+ t :n− t−1 | k

(2.37)

k

bentuk ini adalah similar dengan (2.33) , atau menggunakan cara yang pada (2.34) . (k)

(k)

(k)

ax|y:n| = ay:n| − axy:n|

(2.38)

ax|y:n| = ay:n| − axy:n|

(2.39)

Jika k → ∞, didapatkan

(2.33) atau (2.36) , single life x atau y diganti dengan xy atau yang paling akhir hidup xy dimasukkan pada rumus tersebut akan didapatkan suatu formula. Jika persyaratan anuitasnya ditambahkan beberapa kondisi, aplikasi menjadi lebih luas dari pada survivor annuity. Berikut ini diperlihatkan reversionary annuity (dan juga survivor annuity). 1. (y) diganti dengan (y) dan (z) yang hidup bersamaan dimulai pada akhir tahun polis pada waktu (x) meninggal, yang masih hidup (y) dan (z) , sampai pada akhir tahun polis ke−n, setiap tahun dibayarkan anuitas hidup sebesar 1, similar dengan (2.33) nilai sekarangnya adalah: ax|yz:n| =

n X

t−1| qx

v t t pyz aÿ+t,z+t:n−t+1|

(2.40)

t=1

dalam bentuk lain menjadi ax|yz:n| =

n X t=1

t

v t qx t pyz =

n X t=1

v t (1 − t px ) t pyz

(2.41)

atau juga ax|yz:n| = ayz:n| − axyz:n|

(2.42)


17

Jika dalam 1 tahun anuitasnya dibayarkan k kali, maka a diganti dengan a(k) jika dibayarkan secara kontinu digunakan a, formulanya mirip dengan (2.42) . 2. (x) diganti dengan (x) dan (y) yang hidup bersamaan, penerimaan anuitasnya adalah (z) , jika di antara (x) dan (y) ada yang meninggal (yang manapun juga), pada akhir tahun polis tersebut jatuh tempo anuitas untuk (z), dengan menggunakan t| qxy nilai sekarang anuitasnya axy|z:n| =

n X

t−1| qxy

vt t pz a¨z+t:n−t+1|

(2.43)

t=1

Dengan menggunakan hubungan yang ada, didapatkan perubahan bentuk seperti yang ada pada (2.33) axy|z:n| =

n X

t

v t qxy t pz =

t=1

n X t=1

v t (1 − t pxy ) t pz

(2.44)

juga didapatkan rumus berikut ini : axy|z:n| = az:n| − axyz:n|

(2.45)

3. (y) diganti dengan yang terakhir hidup di antara (y) dan (z) , dimulai pada akhir tahun polis di mana (x) meninggal, nilai sekarang anuitas yang dibayar sejauh (y) atau (z) hidup adalah: ax|yz:n| =

n X

t t−1| qx v [t py t qz

a ÿ+t:n−t+1| + t qy t pz a ¨z+t:n−t+1|

t=1

+ t py t pz a ÿ+t,z+t:n−t+1| ]

(2.46)

dalam hubungan ini didapatkan juga: ax|yz:n| = ayz:n| − ax,yz:n| Suku ketiga a¨ yang terdapat dalam [...] pada (2.46) ax|yz:n| =

n X

t t−1| qx v [t py

a ÿ+t:n−t+1| + t pz a ¨z+t:n−t+1|

t=1

+ t pyz a ÿ+t,z+t:n−t+1| ]

(2.47)


18

Dari yang ada dalam kurung, (2.33) , (2.40) didapatkan ax|yz:n| = ax|y:n| + ax:z:n| − ax|yz:n|

(2.48)

Dari hasil ini dengan menggunakan (2.35) dan (2.42) maka ´ ³ ´ ³ ax|yz:n| = ay:n| + az:n| − ayz:n| − axy:n| + axz:n| − axyz:n| Suku pertamanya sama dengan ayz:n| , suku keduanya hasilnya sama dengan ax,yz:n| , dari sinar (2.47) bisa dibuktikan. Jika menggunakan (2.34) , maka ax|yz:n| =

n X t=1

vt (1 − t px ) t pyz

ruas kanannya bisa dinyatakan dalam

P

−

(2.49)

P , dan didapatkan (2.47) .

4. (x) diganti dengan yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) sebagai penerima anuitas adalah (z) , dimulai pada akhir tahun pada waktu yang hidup paling akhir di antara (x) dan (y) meninggal dimulai pembayaran reversionary annuity kepada (z), dengan menggunakan sekarangnya axy|z:n| =

n X

t−1| qxy

t−1| qxy


, maka nilai

(2.50)

t=1

Perubahan bentuk seperti (2.33) dapat dilakukan axy|z:n| =

n X t=1

t

v t qxy t pz =

n X t=1

v t (1 − t pxy ) t pz

(2.51)

bisa didapatkan juga hubungan seperti di bawah ini: axy|z:n| = az:n| − axy,z:n|

(2.52)

Dengan melihat pengaruh yang ada pada point 1-4, berapapun jumlah tertanggung secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut: aX|Y :n| = aY :n| − aXY :n|

(2.53)


19

sedang yang dimaksud dengan X adalah xyz..... atau xyz....., Y adalah abc..... atau abc...... Pada reversionary annuity, premi tahunan dibayar sampai tahun di mana pembayaran anuitasnya dimulai pada akhir tahun, (x) , (y) , (z) meninggal secara berurutan, benefitnya jatuh tempo secara berurutan, atau sebelum jatuh tempo kontraknya putus, akan diperhitungkan besar pendapatan premi. Sebagai contoh premi tahunan untuk anuitas sebesar 1. ax|y:n| ax|yz:n| ax|yz:n| , , a ¨xy:n| a ¨xyz:n| a ¨x,yz:n| Terakhir, bentuk dasar reversionary annuity, bentuknya dapat diubah dalam 2 macam seperti pada (1) . 5. m < n, dalam jangka waktu m tahun yang dimulai pada saat kontrak dibuat (x) meninggal dunia, dari akhir tahun polis tersebut, atau m tahun kemudian (x) tetap hidup, dari akhir tahun polis tersebut, setiap tahun dibayarkan kepada (y) anuitas sebesar 1, anuitas tersebut dibayarkan sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dinotasikan dengan ax:m||y:n| Dari (2.34) pembayaran masing-masing anuitas dilakukan sampai akhir tahun polis ke m−1, sampai saat pembayaran masing-masing (x) meninggal dunia, pada saat tersebut (y) tetap hidup, pada dan sesudah akhir tahun polis ke-m tidak ada lagi hubungannya dengan kematian (x) karena (y) tetap hidup ax:m||y:n| = =

m−1 X t=1 n X t=1

t

v (1 − t px ) t py + vt t py −

m−1 X

n X

v t t py

t=m

vt t pxy

t=1

= ay:n| − axy:m−1|

(2.54)

Untuk mendapatkan premi tahunan dibagi dengan a¨xy:m| . 6. Dewasa ini persoalan yang ada pada reversionary annuity, tanpa menunggu akhir tahun polis kematian (x) , jika pada waktu (x) meninggal, (y) tetap


20

hidup, pada saat itu anuitasnya dimulai reversionary annuity yang dibayarkan segera dinotasikan dengan b ax|y . Sekarang anuitasnya terhadap (y),

dan anuitasnya sampai tahun polis ke n. Kematian (x) rata-rata terjadi pada pertengahan tahun polis, sebagai ganti (2.33), didapatkan a ˆx|y:n| =

n X

1 t−1| qxy

1

v t− 2 aÿ+t− 1 :n−t+1| 2

(2.55)

t=1

maka a ˆx|y:n| =

n X

t−1| qx t− 1 py 2

1

vt− 2 a ÿ+t− 1 :n−t+1| 2

(2.56)

t=1

Perhitungan menjadi aÿ+t− 1 :n−t+1| = 2

ÿ+t:n−t+1| aÿ+t−1:n−t+1| + a 2

Jadi, kita bisa sedikit ambil penjelasan anuitas reversionary itu anuitas yang dialihkan. Sebagai contoh jika status x jatuh, dialihkan ke y. Dan lagi jika status x dan y jatuh maka dialihkan ke z itu jg dengan persyaratan yang telah diatur/ditentukan. Untuk kasus pensiun, anuitas reversionary di jelaskan pada penetapan anutias janda dan anuitas yatim. Sehingga kelak jika dilibatkan dalam perhitungan normal cost, anuitas reversionary berperan dalam perhitungan PV (present value) untuk pensiun janda dan pensiun yatim.

2.7

Compound Survivorship Annuity

Sebagai contoh axy|z:n| dan axy|z:n| persoalannya adalah (x) dan (y) dalam keadaan hidup bersamaan atau yang paling akhir hidup, sebagai contoh anuitasnya dimulai pada saat (x) meninggal paling awal, atau anuitasnya dimulai pada waktu (y) meninggal pada urutan ke-2, jika persoalannya adalah urutan kematian disebut Compound Survivorship Annuity. Pada permasalahan ini digunakan Compound Contingent Function tersebut di pembahasan Probabilitas Joint Conditional Life. Berikut ini diberikan 2 hal yang mendasar.


21

1. (x) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis kepada (z) dibayarkan anuitas tahunan sebesar 1 sampai akhir tahun polis ke n, nilai sekarangnya dituliskan dalam bentuk a1xy|z:n| . Penggambaran x ini meny1 atakan dimulainya anuitas setelah x meninggal. Dengan menggunakan t| qxy

, maka a1xy|z:n| =

n X

1 t−1| qxy


(2.57)

t=1

Pembuktian menggunakan proses yang sama seperti pada (2.34) , maka a1xy|z:n| =

n X

1 vt t qxy t pz

(2.58)

t=1

Dari (2.34), memperlihatkan saat pembayaran masing-masing, dan juga memperhatikan fungsi kondisi pembayaran, dari rumus tersebut bisa dituliskan 1 1 ruas kanannya. Perhatikan anuitasnya dihitung t| qxy , dihitung t qxy , dima-

sukkan pada ruas kanannya. Jika dimasukkan pada 2.43 didapatkan rumus berikut ini: 1 axy|z:n| = a1xy|z:n| + axy|z:n|

(2.59)

2. (y) meninggal duluan dari (y) dimulai pada akhir tahun polis pada waktu 2 (x) meninggal, dimulai anuitasnya (z) , menggunakan t| qxy , maka

a2xy|z:n| =

n X

2 t−1| qxy


(2.60)

t=1

Pembuktiannya menggunakan proses yang ada pada (2.34), maka a2xy|z:n|

=

n X

2 vt t qxy t pz

(2.61)

t=1

Menggunakan hubungan yang ada pada (2.60) , maka a1xy|z:n| + a2xy|z:n| = ax|z:n|

(2.62)

2 Membandingkan a1xy|z:n| dan axy|z:n| dengan kondisi (x) yang lebih cepat

meninggal daripada (y) , perbedaannya ada pada dimulainya anuitas jatuh


22

tempo, yang pertama setelah kematian (x) , yang lain setelah kematian (y). Dengan menggunakan (2.62) dan (2.59) perbedaan keduanya a1xy|z:n|

−

2 axy|z:n|

=

a1xy|z:n|

´ ³ 1 − ay|z:n| − axy|z:n|

= axy|z:n| − ay|z:n|

(2.63)

Dengan menggunakan (2.45) dan (2.35) didapatkan 2 = ayz:n| − axyz:n| a1xy|z:n| − axy|z:n|

dari ruas kanan (2.42) didapatkan rumus berikut ini 2 = ax|yz:n| a1xy|z:n| − axy|z:n|

(2.64)

Compound Survivorship Annuity, premi tahunan, benefitnya dimulai pada akhir tahun polis. Keadaannya sama dengan survivor annuity, benefitnya dimulai berdasarkan urutan yang mati, dalam hubungannya dengan pemutusan kontrak, sampai kapan pembayarannya dilakukan. Besarnya anuitas 1, premi tahunan, dinyatakan dalam rumus berikut ini. a1xy|z:n| a2xy|z:n| , a¨xyz:n| a ¨xz:n| Pada Compound Survivorship Annuity, anuitasnya dimulai pada akhir tahun polis, ada juga dimulainya pada saat kejadian. Perhitungannya menggunakan dan berdasarkan rumus (2.55) , (2.56) . Sebagai contoh dalam keadaan (2.57) , didapatkan rumus berikut ini: a ˆ1xy|z:n|

=

n X t=1

1 t−1| qxy

1

v t− 2

t− 12 pz

a ¨z+t− 1 :n−t+1| 2

(2.65)

Bab 2. Tinjauan Pustaka. 2.1 Pendahuluan. 2.2 Bunga Majemuk

Recommend Documents