Bab 2 TEORI DASAR 2.1
Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan dangkal jika kedalaman air jauh lebih kecil daripada panjang gelombangnya. Selain itu, persamaan air dangkal dapat diterapkan jika h 1 A 1 ≤ dan ≤ , λ 11 h 10 dengan A menyatakan amplitudo gelombang permukaan, h menyatakan kedalaman air, dan λ menyatakan panjang gelombang permukaan. Berdasarkan hukum konservasi massa dan hukum konservasi momentum, secara berturut-turut diperoleh kedua persamaan berkut : ηt + ((η + h)u)x = 0,
(2.1.1)
ut + uux + g(η + h)x = 0,
(2.1.2)
dengan u menyatakan kecepatan horizontal partikel fluida yang ada di permukaan air laut, η menyatakan simpangan permukaan air laut dari keadaan setimbang, h meyatakan kedalaman air laut, dan g adalah konstanta gravitasi bumi. Persamaan (2.1.1) dan (2.1.2) dikenal sebagai persamaan air dangkal. 6
BAB 2. TEORI DASAR
7
Persamaan air dangkal pada (2.1.1) dan (2.1.2) akan dilinierkan agar kedua persamaan tersebut menjadi lebih mudah untuk dipelajari. Untuk melinierkan persamaan air dangkal, diperlukan solusi equilibrium η(x, t) dan u(x, t), yaitu solusi yang tidak bergantung pada parameter t. Solusi equilibrium yang memenuhi persamaan air dangkal (2.1.1) dan (2.1.2) adalah η(x, t) ≡ 0 dan u(x, t) ≡ 0. Kemudian misalkan η(x, t) berorde ε dan u(x, t) juga berorde ε sehingga ekspansi η(x, t) dan u(x, t) di sekitar solusi equilibrium adalah sebagai berikut : η(x, t) = 0 + εb η (x, t),
(2.1.3)
u(x, t) = 0 + εb u(x, t),
(2.1.4)
dengan ε bilangan yang sangat kecil. Kemudian ηb(x, t) dan u b(x, t) akan dicari. Substitusikan (2.1.3) dan (2.1.4) ke dalam (2.1.1) sehingga diperoleh ∂h ∂b η ∂b u ∂h ∂b η +ε + ε (h + εb η) + εb u + ε εb u = 0. ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x
(2.1.5)
Suku-suku berorde ε pada persamaan (2.1.5) memberikan persamaan berikut : ηbt + hb ux + h x u b = 0, atau dapat ditulis ηbt = −(hb u)x .
(2.1.6)
Kemudian substitusikan (2.1.3) dan (2.1.4) ke (2.1.2) sehingga diperoleh ε
∂b u ∂b η+h ∂b u + ε εb u + gε = 0. ∂t ∂x ∂x
(2.1.7)
Suku-suku berorde ε pada persamaan (2.1.7) memberikan persamaan berikut : u bt + gb ηx = 0, atau dapat ditulis u bt = −gb ηx .
(2.1.8)
BAB 2. TEORI DASAR
8
Persamaan (2.1.6) dan (2.1.8) dikenal sebagai persamaan air dangkal linier atau linier SWE yang secara eksplisit dapat ditulis sebagai berikut : ηb = −(hb u)x t u b = −gb η t
2.2
(2.1.9)
x
Ekspansi Asimtotik
Metode ekspansi asimtotik digunakan untuk mencari hampiran solusi dari suatu persamaan yang mengandung parameter dengan orde sangat kecil. Sebelum mendefinisikan hampiran asimtotik dari suatu fungsi, akan diperkenalkan simbol urutan yang merupakan ukuran relatif ’urutan’ fungsi. Pada definisi berikut, f , dan g merupakan fungsi skalar dengan peubah x dengan parameter ε. Definisi 2.1.
1. Fungsi f dikatakan ’O-besar’ dari fungsi g untuk ε → ε0 , ditulis
f = O(g) untuk ε → ε0 , jika terdapat suatu k dan suatu lingkungan N (ε0 ) di ε0 sehingga |f | ≤ k|g| , ∀ε ∈ N (ε0 ).
(2.2.1)
Hal khusus, jika g 6= 0 untuk ε ∈ N (ε0 ), lim
ε→ε0
f (x, ε) = S , 0 < S < ∞ ⇒ f = O(g). g(x, ε)
(2.2.2)
2. Fungsi f dikatakan ’o-kecil’ dari fungsi g untuk ε → ε0 , ditulis f = o(g) untuk ε → ε0 , jika untuk setiap c terdapat suatu lingkungan N (ε0 ) di ε0 sehingga |f | ≤ c|g| , ∀ε ∈ N (ε0 ).
(2.2.3)
Hal khusus, jika g 6= 0 untuk ε ∈ N (ε0 ), lim
ε→ε0
f (x, ε) = 0 ⇒ f = o(g). g(x, ε)
(2.2.4)
Notasi lain untuk f = o(g) adalah f ¿ g. Melalui transformasi translasi, limit ε → ε0 dapat diubah menjadi ε → 0. Untuk ε → 0, ε merupakan suatu parameter bernilai kecil, dinotasikan dengan ε ¿ 1.
BAB 2. TEORI DASAR
9
Berikut ini diberikan definisi dari hampiran asimtotik, barisan asimtotik, dan ekspansi asimtotik. Definisi 2.2. Diberikan f (ε) dan g(ε). Fungsi g(ε) dinamakan hampiran asimtotik dari f (ε) untuk ε → ε0 jika f = g + o(g) untuk ε → ε0 . Pada kasus ini dapat ditulis f ∼ g untuk ε → ε0 . Jika g(ε) 6= 0 di sekitar ε0 , maka g adalah hampiran asimtotik dari f untuk ε → ε0 dapat ditulis sebagai lim
ε→ε0
f (ε) = 1. g(ε)
(2.2.5)
Definisi 2.3. Barisan fungsi g1 , g2 , ... dinamakan barisan asimtotik untuk ε → ε0 jika dan hanya jika gn = o(gm ), ε → ε0 untuk setiap m dan n yang memenuhi m < n. Definisi 2.4. Jika g1 , g2 , ... adalah barisan asimtotik, maka f (ε) memiliki ekspansi asimtotik untuk n suku yang berkaitan dengan barisan tersebut jika dan hanya jika f = Σm k=1 ak gk (ε) + o(gm ) untuk m = 1, ..., n dengan ε → ε0 ,
(2.2.6)
dimana ak tidak bergantung pada ε. Pada kasus ini, dapat ditulis f ∼ a1 g1 (ε) + a2 g2 (ε) + .... + am gm (ε)
(2.2.7)
Fungsi gk disebut fungsi skala. Definisi 2.4 dapat digunakan apabila fungsi skala diketahui atau diberikan. Cukup banyak fungsi skala yang dapat diterapkan pada (2.2.6) dan (2.2.7), tetapi terdapat dua fungsi skala yang sering digunakan yaitu : 1. ϕ1 = (ε − ε0 )α , ϕ2 = (ε − ε0 )β , ϕ3 = (ε − ε0 )γ , .... dengan α < β < γ < .... (untukε → ε0 ), 2. ϕ1 = 1, ϕ2 = e−1/ε,
ϕ3 =e−2/ε
, .... (untuk ε → ε0 ).
Berikut ini akan adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan dengan metode ekspansi asimtotik
BAB 2. TEORI DASAR
10
1. Misalkan diketahui suatu persamaan sebagai berikut : F (x, y) = 0,
(2.2.8)
dengan F suatu operator (dalam tugas akhir ini, F merupakan suatu operator differensial). 2. Misalkan ekspansi asimtotik yang digunakan adalah y(x) ∼ y0 (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ...
(2.2.9)
3. Substitusikan ekspansi asimtotik yang diberikan oleh (2.2.9) ke dalam (2.2.8) sehingga akan diperoleh suku-suku berorde 1, berorde ε, berorde ε2 , dan seterusnya. 4. Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde 1 sehingga dapat diperoleh solusi untuk y0 (x). 5. Substitusikan y0 (x) ke dalam persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde ε, kemudian selesaikan untuk memperoleh solusi y1 (x). 6. Langkah-langkah untuk memperoleh y0 (x) dan y1 (x) dapat diteruskan secara sistematis untuk memperoleh y2 (x), y3 (x), dan seterusnya. 7. Hampiran solusi asimtotik dapat diperoleh dengan mensubstitusikan fungsifungsi y0 (x), y1 (x), dan seterusnya ke dalam persamaan (2.2.9). Perlu diingat bahwa hampiran solusi asimtotik ini akan berlaku jika O(y0 (x)) À O(εy1 (x)) À O(ε2 y2 (x))...
2.3
(2.2.10)
Metode Ekspansi Asimtotik Multi Skala
Tidak semua persamaan differensial dapat diselesaikan dengan metode ekspansi asimtotik reguler. Pada kasus-kasus tertentu, ekspansi asimtotik reguler memberikan
BAB 2. TEORI DASAR
11
hampiran solusi yang sangat jauh berbeda dengan solusi eksaknya. Hal ini disebabkan adanya pengaruh yang tidak wajar dari satu atau lebih suku pada ekspansi asimtotik sehingga ekspansi asimtotik tidak memenuhi (2.2.10). Suku tersebut dinamakan suku sekuler. Untuk mengatasi masalah tersebut, maka suku-suku yang merupakan suku sekuler harus ditiadakan. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menerapkan metode ekspansi asimtotik multi skala. Berikut ini akan diberikan suatu contoh yang dapat memperlihatkan bahwa metode ekspansi asimtotik reguler tidak dapat diterapkan. Kemudian akan ditunjukkan juga cara memperoleh hampiran solusi contoh tersebut dengan menggunakan metode ekspansi asimtotik multi skala. Misalkan persamaan differensial yang dimiliki adalah sebagai berikut d2 y dy + ε + y = 0, untuk t > 0, dt dt
(2.3.1)
dengan y(0) = 0 dan
dy(0) = 1. dt
(2.3.2)
Misalkan ekspansi asimtotik regular untuk y(t) adalah y(t) = y0 (t) + εy1 (t) + ....
(2.3.3)
Dengan menggunakan metode ekspansi asimtotik reguler diperoleh bahwa hampiran solusi untuk (2.3.1) dan (2.3.2) adalah 1 y(t) ∼ sin(t) − εt sin(t). 2
(2.3.4)
Sedangkan solusi eksaknya adalah 1
y(t) = p
1 − ε2 /4
p e−εt/2 sin(t 1 − ε2 /4).
(2.3.5)
Perhatikan Gambar 2.1, hampiran solusi yang diberikan oleh (2.3.4) sangat jauh berbeda dengan solusi eksaknya. Perhatikan juga bahwa untuk t membesar, maka
BAB 2. TEORI DASAR
12
2
1
y 0 0
10
20
30
40
50
60
70
t -1
-2
Solusi hampiran Solusi eksak
Gambar 2.1: Solusi eksak (2.3.5) dan solusi asimtotik reguler (2.3.4) untuk ε = 0.1.
suku kedua pada (2.3.4) juga membesar. Suku kedua pada (2.3.4) memiliki orde 1 ketika εt ≈ O(1), atau dapat ditulis O(εy1 ) = O( 21 εt sin(t)) = O(1) ketika εt ≈ O(1). Ini berarti O(y0 ) = O(εy1 ) yang mengakibatkan (2.2.10) tidak dipenuhi. Dengan demikian, suku kedua pada ruas kanan (2.3.4) disebut suku sekuler. Perhatikan bahwa jika εt ≈ 1, maka t = O( 1ε ). Oleh karena itu, untuk menghilangkan suku sekuler, diperlukan tambahan variabel baru yang berorde 1. Jika variabel sebelumnya adalah t1 = t, maka variabel tambahannya adalah t2 = εt, dengan t2 = O(1) ketika t = O(1/ε). Variabel t1 dan t2 secara berturut-turut dinamakan variabel ’cepat’ dan ’lambat’. Dengan kedua variabel waktu tersebut, maka turunan yang berlaku adalah sebagai berikut d dt1 ∂ dt2 ∂ ∂ ∂ = + = +ε , dt dt ∂t1 dt ∂t2 ∂t1 ∂t2
(2.3.6)
dan ekspansi asimtotiknya adalah y = y0 (t1 , t2 ) + εy1 (t1 , t2 ) + ....
(2.3.7)
BAB 2. TEORI DASAR
13
Langkah selanjutnya pada metode ekspansi asimtotik multiple scale sama seperti langkah-langkah pada metode ekspansi asimtotik reguler. Pertama-tama, substitusikan (2.3.6) dan (2.3.7) ke dalam (2.3.1) dan (2.3.2). Kemudian selesaikan persamaan untuk suku-suku berorde 1, suku-suku berorde ε, dan seterusnya. Untuk suku-suku berorde 1 diperoleh ∂ 2 y0 ∂y0 + y0 = 0, dengan y0 = 0 dan = 1 di t1 = t2 = 0, 2 ∂t1 ∂t1
(2.3.8)
sehingga solusi untuk y0 adalah y0 = a0 (t2 ) sin t1 + b0 (t2 ) cos t1 ,
(2.3.9)
a0 (0) = 1 dan b0 (0) = 0.
(2.3.10)
dimana
Perlu diketahui bahwa a0 dan b0 adalah fungsi yang bergantung pada t2 . Untuk suku-suku berorde ε diperoleh ∂ 2 y1 + y1 = (b0 + 2bb0 ) sin t1 − (a0 + 2b a0 ) cos t1 , ∂t21 dengan y1 = 0 dan
(2.3.11)
∂y1 ∂y0 =− di t1 = t2 = 0. ∂t1 ∂t2
Dengan demikian, solusi untuk y1 adalah 1 1 a0 )t1 sin t1 (2.3.12) y1 = a1 (t2 ) sin t1 + b1 (t2 ) cos t1 − (b0 + 2bb0 )t1 cos t1 − (a0 + 2b 2 2 dimana a1 (0) = b1 (0) = 0.
(2.3.13)
Perhatikan bahwa pada (2.3.12) terdapat suku yang dapat menjadi suku sekuler. Hal tersebut dapat dihindari dengan cara memilih a0 dan b0 sedemikian rupa sehingga suku sekuler tersebut tidak muncul yaitu dengan memilih b0 +2bb0 = 0 dan a0 +2b a0 = 0.
BAB 2. TEORI DASAR
14
Dengan demikian, diperoleh hampiran solusi untuk (2.3.1) dan (2.3.2) adalah y ∼ e−εt/2 sin t. Jika suku sekuler muncul pada suku ketiga yaitu ε2 t = O(1), maka harus ditambahkan lagi variabel t3 = ε2 t. Kemudian selesaikan lagi secara sistematis untuk memperoleh solusi bagi suku-suku berikutnya. Berdasarkan contoh yang telah diuraikan, metode ekspansi asimtotik multi skala dapat diterapkan setelah ditemukan adanya suku sekuler pada ekspansi asimtotik biasa. Misalkan diketahui suatu persamaan sebagai berikut : F (x, y),
(2.3.14)
dengan F suatu operator (dalam tugas akhir ini, F merupakan suatu operator differensial). Kemudian misalkan ekspansi asimtotik yang digunakan adalah y(x) ∼ y0 (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ...
(2.3.15)
Langkah-langkah penyelesaian persamaan differensial dengan metode ekspansi asimtotik multi skala dapat dirangkum sebagai berikut : 1. Jika secular term ditemukan pada suku kedua ruas kanan persamaan (2.3.15), maka perkenalkan variabel baru x1 = x dan x2 = εx sehingga berlaku L(x1 , x2 , y),
(2.3.16)
dan ekspansi asimtotiknya adalah y(x) ∼ y0 (x1 , x2 ) + εy1 (x1 , x2 ) + ...
(2.3.17)
2. Substitusikan (2.3.17) ke dalam (2.3.16) sehingga dapat diperoleh suku-suku berorde 1, berorde ε, berorde ε2 , dan seterusnya.
BAB 2. TEORI DASAR
15
3. Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde 1 sehingga dapat diperoleh persamaan untuk y0 (x1 , x2 ). 4. Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde ε, kemudian selesaikan untuk memperoleh solusi yang lengkap bagi y0 (x1 , x2 ). 5. Suku sekuler dapat dihindari dengan cara menolkan koefisien suku-suku pada ruas kanan persamaan berorde ε yang merupakan solusi homogennya.
