BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pemodelan Matematika Istilah pemodelan matematika (mathematical modeling) tidak memiliki satu definisi yang diterima oleh semua matematikawan (Ledder, 2005, p1). Pandangan umum mengatakan bahwa pemodelan matematika adalah usaha menggunakan matematika untuk menggali dan menelaah topik-topik di luar matematika (Ledder, 2005, p31). Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. Oleh karena itu, pemodelan matematika selalu terkait dengan bidang-bidang ilmu yang lain. Model-model matematika tidak hanya digunakan dalam ilmu-ilmu alam atau teknik rekayasa (seperti fisika, biologi, meteorologi, dan ilmu-ilmu teknik rekayasa), melainkan juga dalam ilmu-ilmu sosial (seperti ekonomi, psikologi, sosiologi, dan ilmu politik, bahkan sejarah). Eykhoff mendefinisikan suatu model matematika sebagai ‘representasi unsurunsur pokok dari suatu sistem yang ada (atau suatu sistem yang sedang dibangun) yang menyajikan sistem tersebut dalam bentuk yang dapat dipakai untuk menjelaskan keadaan sistem tersebut.’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model). Modelmodel matematika dapat mengambil berbagai macam bentuk, termasuk di antaranya, namun tidak terbatas pada, sistem-sistem dinamis, model-model statistikal, persamaan differensial, atau model-model teori permainan (game theory models). Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang saling berhubungan, yang dapat digambarkan pada bagan berikut ini.
10
Data Dunia-nyata
perumusan
pengujian
Model Matematika analisis
Prediksi/ Penafsiran
penafsiran
Kesimpulan Matematika
Gambar 2.1 Bagan Proses Pemodelan Matematika (Sumber: Vries, tanpa tahun, slide6) Dari bagan di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model matematika tidak pernah berhenti, terus bergerak antar tahap-tahap itu, untuk menghasilkan model yang lebih baik. Gerda de Vries menegaskan bahwa tidak ada model yang paling baik, hanya ada model yang lebih baik (Vries, tanpa tahun, slide6). Akhirnya, model matematika sendiri dapat didefinisikan sebagai representasi matematis dari suatu proses, alat, atau konsep, dalam bentuk sejumlah peubah yang didefinisikan sebagai pengganti dari masukan, keluaran, dan proses-proses internal dari proses atau alat yang direpresentasikan, dan serangkaian persamaan dan pertidaksamaan yang menggambarkan interaksi antar peubah tersebut.
2.2 Persamaan Differensial Dibandingkan dengan pemodelan matematika, pengertian persamaan differensial sudah lebih pasti (Ledder, 2005, p1). Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai
11
derajat turunan (Ledder, 2005, p16). Persamaan differensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi: apabila suatu relasi deterministik melibatkan beberapa besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan dengan fungsi) dan laju perubahan besaran itu dalam ruang atau dalam waktu (dimodelkan dengan turunannya) diketahui atau diandaikan. Dalam mekanika klasik, persamaan differensial dipakai dalam penggambaran gerak tubuh dalam kaitannya dengan posisi dan kecepatannya berdasarkan perubahan waktu. Hukum Newton memungkinkan orang menghubungkan posisi, kecepatan, percepatan, dan berbagai gaya lain yang bekerja pada tubuh dan menyatakan relasi atau hubungan ini sebagai suatu persamaan differensial dari posisi tubuh yang tak diketahui sebagai fungsi dari waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan differensial semacam ini (yang disebut persamaan gerak tubuh) dapat diselesaikan secara eksplisit. Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde dari persamaan differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan yang bersangkutan. Himpunan dari n persamaan differensial orde-satu dengan n menyatakan banyaknya persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan differensial orde-satu; n adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan. Satu pengertian lain yang perlu diketahui adalah persamaan differensial otonom. Suatu persamaan differensial biasa atau suatu sistem persamaan differensial biasa disebut otonom jika peubah bebasnya tidak tampak secara eksplisit dalam persamaannya (Ledder, 2005, p16).
12
Secara matematis, persamaan differensial dipelajari dari beberapa sudut pandang yang berbeda, sebagian besar dari sudut pandang yang beragam itu berminat dengan hasil dari persamaan differensial yang dipelajari, yaitu serangkaian fungsi yang memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Hanya persamaan differensial yang paling sederhana memungkinkan penyelesaian berdasarkan rumus eksplisit; akan tetapi, beberapa sifat penyelesaian dari suatu persamaan differensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan bentuknya yang tepat atau eksak. Jika suatu rumus yang dapat ditentukan penyelesaiannya tidak tersedia, hampiran terhadap penyelesaiannya dapat ditentukan secara numerik dengan bantuan komputer. Berikut ini salah satu metode penghitungan secara numerik penyelesaian persamaan differensial, yang akan dipakai dalam program aplikasi yang dirancang.
2.3 Metode Runge-Kutta Orde 4 Untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial biasa berbentuk ⎛ dny dy d 2 y d n−1 y ⎞ ⎟ ⎜ , , , , ... , f x y = ⎜ dt n dx dx 2 dx n−1 ⎟⎠ ⎝
diperlukan serangkaian syarat atau kondisi. Jika semua kondisi diberikan pada satu nilai x dan penyelesaiannya dicari berdasarkan nilai x yang diberikan itu, keadaan ini disebut dengan masalah nilai awal (initial-value problem). Jika kondisi-kondisinya diberikan pada beberapa nilai x yang berbeda, keadaannya disebut dengan masalah nilai batas (boundary-value problem). Sebarang persamaan differensial dapat diganti dengan serangkaian persamaan differensial orde-satu (Akai, 1994, p229). Karena itu, penyelesaian secara numerik ini menyangkut persamaan differensial orde-satu.
13
Metode penyelesaian persamaan differensial secara numerik yang dipakai di sini adalah metode Runge-Kutta. Istilah Metode Runge-Kutta sendiri sebenarnya mengacu pada salah satu dari sekelompok metode, tidak dipakai sebagai sebutan untuk satu metode tertentu saja (Akai, 1994, p238). Beberapa anggota metode Runge-Kutta adalah metode Euler termodifikasi, metode titik tengah, dan metode Runge-Kutta orde 2, orde 3, sampai Runge-Kutta orde-n. Mereka semua merupakan metode satu-langkah (onestep methods), yaitu metode yang menggunakan informasi penyelesaian pada satu lokasi xn untuk mendapatkan solusi pada lokasi berikutnya xn+1. Dipilih metode Runge-Kutta orde 4, karena orde yang lebih tinggi melibatkan penghitungan yang makin rumit dan tidak efisien (Akai, 1994, p239). Metode Runge-Kutta Orde 4 adalah metode numerik yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan problem nilai-awal dalam bentuk
dy = f (t , y ), y (0) = y0 . dt Penghitungan dengan metode Runge-Kutta Orde 4 diberikan dalam rumus yn+1 = yn + 16 ( K1 + K 2 + K 3 + K 4 )h t n+1 = t n + h . dengan
K1 = f (t n , yn ) , K 2 = f (t n + 12 h, yn + 12 K1 ) , K 3 = f (t n + 12 h, yn + 12 K 2 ) , dan K 4 = f (t n + h, yn + K 3 ) .
(2-1)
14
Dari rumus di atas, terlihat bahwa nilai y yang berikutnya (yn+1) ditentukan oleh nilai y sekarang (yn) ditambah hasil kali dari ukuran selang (h, galat pemotongan) dengan suatu perkiraan kemiringan atau gradien. Kemiringan ini merupakan rataan terbobot dari beberapa kemiringan: a.
K1 adalah kemiringan pada awal selang,
b.
K2 adalah kemiringan pada titik tengah dari selang, menggunakan kemiringan K1 untuk menentukan nilai y pada titik t + ½h,
c.
K3 juga merupakan kemiringan pada titik tengah selang, namun kali ini menggunakan K2 untuk menentukan nilai y, dan
d.
K4 adalah kemiringan pada akhir selang.
Dalam menentukan rataan dari keempat kemiringan ini, bobot yang lebih besar diberikan pada kemiringan di titik tengah selang, memberikan rumus (2-1) di atas. Dengan metode Runge-Kutta orde 4 ini, dapat dilakukan penghitungan terhadap penyelesaian suatu sistem persamaan differensial orde-satu, yang merupakan análisis kuantitatif terhadap model matematika yang berbentuk demikian.
2.4 Sistem Dinamis
Sistem dinamis dalam konsep matematika adalah formalisasi matematis dari sebarang aturan baku yang menggambarkan ketergantungan waktu dari posisi suatu titik dalam ruangnya yang berubah (ambient). Konsep ini menyatukan berbagai macam tipe aturan dalam matematika yang dapat digunakan dalam formalisasi tersebut: pilihan yang berbeda dapat diambil mengenai bagaimana waktu akan diukur dan sifat-sifat khusus
15
dari ruangnya yang berubah dapat memberikan gambaran akan luasnya kelas objek yang dapat digambarkan dengan konsep ini. Teori sistem-sistem dinamis menekankan analisis kualitatif dari sistem yang digambarkan dengan persamaan differensial. Sistem epidemis yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini merupakan salah satu contoh dari sistem dinamis. Secara umum ada dua jenis sistem dinamis: yang pertama digerakkan oleh persamaan differensial dan lebih bersifat geometris, sedang yang kedua lebih digerakkan oleh teori ergodik, yaitu cabang dari matematika yang mempelajari sistem dinamis dengan ukuran invarian beserta masalah-masalah yang berkaitan dengannya (http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_theory), dan lebih bersifat pengukuran teoretis. Sistem epidemis yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini lebih condong pada jenis yang pertama dengan penekanan pada analisis bidang-fase (phase-plane analysis) dari aspek geometris persamaan differensialnya. Jika analisis kuantitatif dari sistem dinamis bermodelkan persamaan differensial akan dilakukan dengan penghitungan penyelesaian persamaan differensialnya menggunakan metode Runge-Kutta orde 4, analisis kuantitatif terhadap modelnya dilakukan berdasarkan representasi visual dari perhitungan penyelesaian persamaan differensial itu dalam bentuk diagram berdasarkan waktu (time-plot diagram) dan analisis bidang-fase.
2.5 Sistem Epidemis
Penyakit menular adalah kenyataan hidup, terutama sejak manusia mulai hidup dalam kelompok yang besar. Suatu penyakit bersifat epidemis jika jumlah orang yang
16
terjangkit dalam suatu populasi bertambah besar seiring dengan bertambahnya waktu. Namun, definisi sederhana ini belum menyatakan semua aspek yang ada (Robeva et.al., 2008, p56). Model untuk sistem epidemis dalam skripsi sedehana ini bersifat kontinu, dan perilakunya akan digambarkan dengan beberapa persamaan differensial. Masingmasing persamaan menggambarkan perilaku salah satu bagian (compartment) dari populasi, bentuk yang biasa disebut dengan model kompartmen. Multi-compartment model adalah jenis model matematika yang digunakan untuk menggambarkan bagaimana materi atau energi dipindahkan di antara bagian-bagian (compartment) dari suatu
sistem
(Capasso,
2008,
p7;
Roberts
dan
Heesterbeek,
2003,
p19;
http://en.wikipedia.com/wiki/Multi-compartment_model). Dalam model epidemis, dua kelompok besar yang menjadi bagian dari satu populasi adalah Susceptibles (S) atau kelompok yang rentan terinfeksi dan Infectives (I) atau kelompok yang terinfeksi. Hipotesisnya adalah bahwa laju infeksi adalah sebanding dengan jumlah kontak yang dibuat antara S dengan I, dan bahwa perpindahan dari S menjadi I terjadi dengan angka αSI, di mana α > 0 berupa suatu konstanta; angka perpindahan ini sebanding dengan hasil kali ukuran kedua kelompok tersebut. Selain hipotesis dasar di atas, sebelum menganalisa apa yang terjadi bila terdapat sekelompok orang yang terinfeksi dalam populasi, perlu diketahui beberapa hal mengenai penyakitnya dan lingkungannya. Sebagai contoh, apakah mereka yang telah sembuh (R – Recovered) menjadi kebal, atau mereka kembali rentan terhadap penyakitnya? Apakah penyakitnya memiliki masa inkubasi (sehingga terdapat penundaan untuk sementara waktu, D – delay)? Apakah mereka yang terinfeksi
17
disendirikan, dikarantina, atau tersebar bebas dalam populasi? Semua faktor ini mempengaruhi model matematika yang dibangun. Skripsi sederhana ini hanya akan membahas dua model pokok, model SIS (Susceptibles – Infectives – Susceptibles) dan model SIR (Susceptibles – Infectives – Recovered).
2.6 Model SIS
Model ini cukup sederhana. Asumsi dasarnya adalah bahwa populasi dibagi menjadi dua kelompok yang saling asing – kelompok yang terjangkit penyakit dan dapat menularkan penyakit (I), dan kelompok yang tidak terjangkit penyakit namun dapat terjangkiti penyakit yang bersangkutan (S). Model matematika yang dibangun bertujuan menggambarkan perubahan ukuran S dan I dalam waktu. Maka, dibuat asumsi-asumsi sebagai berikut. a.
Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.
b.
Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.
c.
Kedua kelompok – S dan I – tersebar merata dalam populasi.
d.
Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi rentan kembali – menjadi anggota S lagi -, dengan kata lain, tidak terjadi kekebalan. Kendati asumsi-asumsi di atas tampaknya sewenang-wenang, namun model yang
paling sederhana ini bukannya tidak ada dalam kenyataan sehari-hari. Seandainya ditengarai terjadi wabah sindrom pernafasan akut berat dalam populasi penghuni satu unit rumah susun, dan seketika rumah susun yang bersangkutan dikarantina dalam
18
jangka waktu, katakanlah, tiga bulan, asumsi-asumsi model SIS di atas terpenuhi sehingga ia dapat dipakai sebagai sebuah model yang representatif. Andaikan pada suatu populasi yang besarnya tetap, N, sejumlah kecil terjangkit penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam waktu dapat dinotasikan sebagai: S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t, I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t. Berdasarkan asumsi bahwa besar populasi N adalah tetap, yang berarti S(t) + I(t) = N, maka:
dS dI + =0. dt dt Sebelumnya, sudah diandaikan bahwa besarnya perubahan orang yang rentan
menjadi terjangkiti sebesar αSI. Bilangan α > 0 ini disebut angka/kecepatan infeksi (infection rate), yang dapat didefinisikan sebagai peluang seorang rentan ditulari oleh seorang yang terjangkiti dalam setiap satuan waktu. Individu yang sembuh dari penyakit langsung bergabung kembali dengan kelompok rentan. Jika diandaikan bahwa peluang orang yang disembuhkan dari penyakit adalah β, maka angka/kecepatan kesembuhan (recovery rate) adalah βI. Artinya, aliran kembali dari I ke S terjadi dengan kelajuan βI. Memperhitungkan kelajuan baik yang keluar dari dan yang masuk kembali ke dalam kelompok S, laju perubahan ukuran S adalah:
dS = −αSI + β I . dt Karena
(2-2)
dS dI + = 0 , laju perubahan ukuran I adalah: dt dt
19
dI = αSI − βI . dt
(2-3)
Dua persamaan (2-2) dan (2-3) membentuk satu model matematika yang biasa disebut dengan model SIS. Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini.
αSI
S
I
βI Gambar 2.2 Diagram model SIS (sumber: Robeva, 2008, p61)
Laju kesembuhan per orang β pada model SIS ini berhubungan dengan lama ratarata seorang terjangkit penyakit ini, dilambangkan dengan d . Hubungannya dinyatakan dengan: d =
1
β
. Jadi, makin kecil nilai β, makin lama jangka waktu rata-rata penyakit
ini menjangkiti seseorang. Dengan berjalannya waktu, perilaku jangka panjang penyakit menular ini dapat dimodelkan sebagai berikut. Berdasarkan kondisi S(t) + I(t) = N, persamaan (2-3) dapat ditulis dengan:
β⎞ dI β⎞ ⎛ ⎛ = αI ⎜ S − ⎟ = α I ⎜ N − I − ⎟ . α⎠ dt α⎠ ⎝ ⎝ Berikutnya, jika N −
⎛ ⎝
β > 0 , sisi kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai: α
αI ⎜ N − I −
B I β⎞ β ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ = αI ⎜ N − − I ⎟ = β ⎜ N − ⎟⎜⎜1 − α⎠ α α ⎠⎝ N − αβ ⎝ ⎠ ⎝
⎞ I ⎟ I = r ⎛⎜1 − ⎞⎟ I , ⎟ ⎝ K⎠ ⎠
20
di mana K = N −
bentuk:
β⎞ β ⎛ , dan r = α ⎜ N − ⎟ = αN − β > 0 . Jadi, persamaan (2-2) mengambil α⎠ α ⎝
dI I ⎞ ⎛ = r ⎜1 − ⎟ I , yang merupakan persamaan logistik, yaitu persamaan yang dt ⎝ K⎠
menyatakan bahwa laju pertumbuhan tidaklah tak-terbatas, tergantung pada daya tampung (carrying capacity) ekosistem dari populasi yang bersangkutan (Robeva, et.al., 2008, p12-16). Akhirnya, diberikan di bawah ini beberapa simpulan mengenai model SIS. a.
Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalah
b.
Bila N −
1
β
.
β > 0 , penyakit yang bersangkutan masih menyebar (endemic) dalam α
populasi yang bersangkutan. c.
Bila N −
β ≤ 0 , tidak terjadi epidemi dalam populasi yang bersangkutan. α
2.7 Model SIR
Salah satu asumsi dari model SIS adalah bahwa orang yang sembuh dari penyakit tetap rentan terhadap penyakit menular yang bersangkutan. Model SIS cocok untuk beberapa penyakit, khususnya PMS (Penyakit Menular Seksual), seperti syphilis dan gonorrhea. Namun, model SIS tidak cocok untuk penyakit-penyakit yang memberikan kekebalan pada mereka yang disembuhkan, seperti cacar air dan campak. Oleh karena itu, dikembangkan model lain, yang mengakomodasikan sifat terakhir ini, yaitu bahwa setelah sembuh, orang yang bersangkutan menjadi kebal terhadap penyakit yang
21
bersangkutan. Model ini disebut model SIR, dengan R (Recovered) adalah kelompok ketiga dari populasi, yang terdiri dari orang yang sudah sembuh dari penyakit menular dan tidak rentan lagi terhadap penyakit yang bersangkutan. Maka, model SIR dibangun atas dasar asumsi-asumsi sebagai berikut. a.
Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.
b.
Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.
c.
Sebagaimana dalam model SIS, kedua kelompok pertama – S dan I – tersebar merata dalam populasi.
d.
Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi kebal secara permanen. Sekali lagi, asumsi-asumsi di atas menggambarkan situasi yang ideal. Sekarang,
sebagaimana model SIS, proses dimulai dengan adanya sejumlah kecil terjangkit penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam waktu dapat dinotasikan sebagai: S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t, I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t. R(t) = jumlah orang yang sembuh pada waktu t.
Dengan asumsi bahwa ukuran populasinya adalah konstan, maka: S(t) + I(t) + R(t) = N,
yang mengakibatkan
dS dI dR + + = 0 , untuk semua nilai t. dt dt dt
22
Selanjutnya diperlukan persamaan-persamaan yang menggambarkan perubahan pada masing-masing kelompok. Sebagaimana model SIS, diandaikan bahwa laju infeksi adalah αSI, namun pada model SIR tidak ada arus kembali ke dalam kelompok S, karena mereka yang telah sembuh menjadi kebal. Oleh karena itu, persamaan differensial yang pertama akan berbentuk: dS = −αSI . dt
Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada kelompok R. Jika diandaikan bahwa angka kesembuhan perorang adalah β, laju perubahan pada kelompok R adalah: dR = βI . dt
Kelompok I, menerima perpindahan dari kelompok S sebesar αSI dan melepaskan menuju kelompok R sebesar βI. Menggabungkan laju perubahan dari ketiga kelompok penyusun model SIR ini, didapatkan sistem persamaan differensial berikut ini. dS = −αSI dt
(2-4a)
dI = αSI − β I dt
(2-4b)
dR = βI . dt
(2-4c)
Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini. S
αSI
I
βI
Gambar 2.3 Diagram model SIR (sumber: Robeva, 2008, halaman 66)
R
23
Catatan yang perlu diberikan di sini adalah bahwa parameter α dan β memiliki arti yang sama dengan yang terdapat pada model SIS. Untuk mengetahui apakah terjadi epidemi atau tidak, titik tolaknya adalah kriterium bahwa epidemi terjadi bila jumlah mereka yang terjangkit dalam populasi makin bertambah besar. Maka, dari persamaan (2-4) dI = αSI − β I = I (αS − β ) , dt
jumlah mereka yang terjangkit akan bertambah bila αS(t) – β > 0; dengan kata lain, bila αS(t) > β. Sebaliknya, bila αS(t) < β, maka jumlah mereka yang terjangkit akan menurun.
Karena ukuran S(t) paling besar terjadi saat t = 0, epidemi tidak terjadi bila αS(0) – β < 0, yang setara dengan S(0) <
β . α
Selanjutnya, ingin diketahui berapa banyak orang yang rentan dapat tertulari oleh seorang yang terjangkiti. Secara intuitif, dapat diambil kesimpulan bahwa hal ini tergantung dari banyaknya orang yang rentan dan berapa lama seorang terjangkiti oleh penyakit yang bersangkutan. Untuk memperkirakan banyaknya rata-rata penularan sekunder, dapat digunakan contoh berikut. Andaikan banyaknya rata-rata penularan yang disebabkan oleh satu individu terjangkiti setiap satuan waktu adalah dua orang per jam, maka, jika seorang tertulari tetap sakit selama enam jam, secara rata-rata, dia dapat menulari (6 jam) × (2 orang rentan per jam) = 12 orang rentan. Dalam model SIR, laju perubahan orang rentan yang terinfeksi adalah dS = −αSI . Mengingat bahwa keluarnya orang dari kelompok S sama dengan masuknya dt
24
orang itu ke dalam kelompok I, laju perubahan orang terinfeksi baru adalah αSI = (αS)I, artinya laju infeksi rata-rata perorang pada waktu t adalah αS. Jika I(0) = 1, akan diperoleh bahwa pada t = 0,
dS = −αS (0) I (0) = −αS (0) . dt
Karena S(0) adalah nilai terbesar dari S(t), seorang yang terjangkiti dapat menulari, secara rata-rata, tidak lebih dari αS(0) orang rentan per satuan waktu. Diingatkan juga bahwa lamanya rata-rata orang terinfeksi adalah
1
β
. Jadi, rata-rata penularan sekunder
yang dihasilkan oleh seorang yang tertulari pada kelompok S(0) orang rentan paling besar adalah
α S. β
Sekarang, ingin diketahui perilaku jangka panjang penyakit dengan model SIR. Akan ditunjukkan bahwa pada akhirnya jumlah orang yang terjangkiti akan menuju pada 0. Dari persamaan S(t) + I(t) + R(t) = N, diketahui bahwa pada saat t →∞, S(∞) ada dan mendekati 0, dan R(∞) ada dan mendekati N. Yang sedikit rumit adalah I(∞). Telaah mengenai hal ini dapat dimulai dengan I(∞) = lim I (t ) = N – S(∞) – R(∞). t →∞
Karena S(∞) ada dan R(∞) ada, maka I(∞) juga ada. Ada dua kemungkinan untuk I(∞): I(∞) > 0 atau I(∞) = 0. Menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa I(∞) = 0. Andaikan I(∞) > 0. Karena
dR = βI , jika I(∞) > 0, maka akan didapatkan dt
dR = β I (∞ ) > 0 , t → ∞ dt
lim
25
yang berarti bahwa R(t) akan menuju tak-hingga. Hal ini tak mungkin terjadi, karena R(t) ≤ N, untuk setiap nilai t. Jadi, tak mungkinlah bahwa I(∞) > 0, dan hal ini mengimplikasikan bahwa I(∞) = 0 berlaku (Johnson, 2009, p2). Dari uraian di atas, dapat diringkaskan sifat-sifat model SIR sebagai berikut.
β . α
a.
Epidemi terjadi jika dan hanya jika S(0) <
b.
Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalah
c.
Di bahwa kondisi optimal, angka rata-rata penularan sekunder dari tiap orang
1
β
.
yang terjangkit dalam populasi yang sepenuhnya rentan adalah d.
α S (0) . β
Penyakitnya akan menghilang, dan tidak semua yang rentan akan tertulari penyakit yang bersangkutan. Pada model SIR, tidak mungkinlah mendapatkan penyelesaian eksplisit untuk
S(t), I(t), dan R(t). Yang lebih penting diketahui adalah bagaimana suatu kelompok bereaksi terhadap perubahan yang terjadi pada kelompok lain. Jika terdapat dua kelompok yang terlibat, suatu diagram bidang-fase akan sangat menolong.
2.8 Bidang-fase dan Analisis terhadapnya
Pada penjelasan tentang sistem dinamis di atas telah disebutkan bahwa analisis kualitatif terhadap model matematika dari sistem epidemis dilakukan pada representasi visual penyelesaian modelnya dalam bentuk kurva terhadap waktu (time-plot diagram) dan dalam bentuk diagram bidang-fase. Time-plot diagram adalah diagram yang
26
melukiskan perubahan nilai setiap kompartmen dari modelnya terhadap perubahan waktu. Semua bagian yang terlibat digambarkan pada satu sistem koordinat sehingga dapat langsung terlihat perubahan dari masing-masing bagian atau kompartmen seiring dengan bertambahnya waktu. Sementara, yang disebut bidang-fase adalah sistem koordinat Cartesius, di mana sumbu koordinatnya adalah peubah-peubah yang dipakai, misalkan pada model SIS, adalah S – I. Bila, pada suatu waktu, biasanya t = 0, dapat diperoleh nilai S dan I untuk persamaan-persamaan (2-3) di atas, dapat ditentukan pula titik (S(0), I(0)) pada bidangfase (S-I). Dapat juga dihitung berapa nilai turunan pertama S dan I pada suatu waktu tersebut, untuk mengetahui ke arah mana titik itu akan bergerak. Sebagai contoh, jika diberikan titik awal (S(0), I(0)), dan jika
dS dI > 0, maka S akan berkurang dan < 0 dan dt dt
I akan bertambah, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini. I
(S(0), I(0))
S Gambar 2.4 Bidang-fase untuk menentukan arah lintasan. Kurva yang dihasilkan dari perbandingan antara dua peubah terikat yang terlibat ini disebut lintasan (trajectory). Membandingkan satu persamaan differensial yang divisualisasikan dalam kedua diagram, time-plot dan bidang-fase, dapat diambil kesimpulan bahwa keduanya memberikan informasi tentang satu hal dengan cara yang
27
berbeda, dengan kelemahannya masing-masing. Diagram time-plot menunjukkan perkembangan peubah terikat seturut perubahan waktu, namun tak menunjukkan kecepatan perubahannya, kecuali didasarkan pada inferensi (=penarikan kesimpulan). Sedangkan diagram bidang-fase menunjukkan hubungan antara perubahan-perubahan yang terjadi pada peubah-peubah terikatnya, namun tak menunjukkan waktunya, kecuali berdasarkan inferensi (Ledder, 2005, p300). Berdasarkan teorema keberadaan dan keunikan nilai fungsi, dapat disimpulkan dua hal berikut ini berdasarkan analisis terhadap bidang-fase: a.
Diberikan titik awal pada bidang-fase (S-I), ada lintasan (=penyelesaian) yang mulai dari titik yang diberikan tersebut; dan
b.
Lintasan yang berbeda tak pernah berpotongan.
Analisis bidang-fase sangat membantu dalam menentukan perilaku suatu lintasan di sekitar titik keseimbangan (Robeva, 2008(1), p71). Jika lintasan dari sistem dua dimensi yang tergambar pada bidang-fase itu berawal cukup dekat pada titik keseimbangannya untuk setiap t > 0, maka titik itu disebut titik keseimbangan stabil, perilaku ini tidak terjadi di sekitar titik keseimbangan yang tidak stabil (Robeva, 2008(1), p.77).
2.9 Perancangan Perangkat Lunak
Perangkat lunak adalah (1) perintah (program komputer) yang bila dieksekusi memberikan fungsi dan unjuk kerja seperti yang diinginkan, (2) struktur data yang memungkinkan program memanipulasi informasi secara proporsional, dan (3) dokumen yang menggambarkan operasi dan kegunaan program.
Menurut Ian Sommerville
28
(2007), perancangan perangkat lunak adalah disiplin perancangan yang berhubungan dengan semua aspek dari produksi perangkat lunak dari tahap awal spesifikasi sistem sampai dengan pemeliharaan setelah sistem dalam tahap berjalan.
2.9.1 Daur Hidup Perangkat Lunak
Salah satu model perancangan perangkat lunak adalah dengan menggunakan model air terjun (waterfall model). Tahap-tahap utama dalam model ini, dilukiskan pada Gambar 2.5, menggambarkan aktivitas dasar pengembangan perangkat lunak berikut. a)
Analisis dan penentuan kebutuhan (Requirement) Kegiatan ini bertujuan untuk menentukan tugas, kendala, dan tujuan sistem yang akan dirancang. Ditentukan juga dengan cara yang dapat dipahami mengenai proses-proses yang seharusnya terjadi dalam sistem sesuai dengan tugas dan tujuan yang telah dirumuskan.
b)
Desain sistem dan perangkat lunak (Design) Proses desain sistem terbagi dalam kebutuhan perangkat keras dan perangkat lunak. Hal ini menentukan arsitektur perangkat lunak secara keseluruhan. Desain perangkat lunak menggambarkan fungsinya dengan suatu bentuk yang dapat ditransformasikan ke dalam satu atau lebih program yang dapat dijalankan.
c)
Implementasi dan pengujian unit (Implementation) Dalam tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam suatu himpunan program atau unit-unit program. Pengujian unit mencakup kegiatan verifikasi terhadap suatu unit sehingga memenuhi syarat spesifikasinya.
29
d)
Integrasi dan pengujian sistem (Verification) Unit program secara individual diintegrasikan dan diuji sebagai suatu sistem yang lengkap untuk memastikan bahwa kebutuhan perangkat lunak telah terpenuhi. Setelah pengujian, sistem perangkat lunak disampaikan kepada pengguna.
e)
Pengoperasian dan pemeliharaan (Maintenance) Secara normal, walaupun tidak selalu diperlukan, tahap ini merupakan bagian siklus hidup terpanjang. Sistem telah terpasang dan sedang dalam penggunaan. Pemeliharan mencakup perbaikan kesalahan yang tidak ditemukan dalam tahaptahap
sebelumnya,
meningkatkan
implementasi
unit-unit
sistem,
mempertinggi pelayanan sistem karena ditemukannya kebutuhan baru.
Gambar 2.5 Waterfall Model (sumber : Sommerville, 2001, halaman 45)
dan
30
2.10 Internet
Internet singkatan dari Interconnection Networking atau sering disebut juga sebagai Cyberspace, adalah sebuah jaringan komputer yang terdiri dari berbagai macam jaringan komputer di seluruh dunia dengan sistem operasi yang berbeda-beda. Namun demikian, membayangkan internet sebagai sekedar jaringan komputer adalah tidak tepat, sebaiknya diperhatikan bahwa internet adalah sebagai sumber daya informasi. Internet berawal dari jaringan komputer yang dibentuk pada tahun 1969 yang bernama ARPAnet. Nama jaringan ini diambil dari salah satu agen pada Departemen Pertahanan Amerika Serikat, yakni Advanced Research Project Agency yang menandatangani kontrak dengan Bolt, Beranek, dan Newman (BBN) untuk membangun suatu jaringan WAN (Wide Area Network). Jaringan tersebut dimaksudkan untuk menghubungkan empat universitas, yakni Stamford University, UCLA (University of California in Los Angeles), UC Santa Barbara, dan University of Utah untuk keperluan riset penelitian. Dari proyek ARPAnet ini dihasilkan Internet Protocol (IP). Pada awal tahun 80-an, Departemen Pertahanan Amerika Serikat memisahkan ARPAnet kedalam dua jaringan komputer, yakni ARPAnet yang ditujukan untuk penelitian dan MILnet yang digunakan untuk keperluan militer. Kemudian pada era 1980-an juga, National Science Foundation membentuk NSFnet, yang menghubungkan setengah lusin superkomputer pada kecepatan tinggi pada waktu itu. NSFnet akhirnya mengambil alih internet dari ARPAnet, dan perkembangannya untuk kebutuhan masyarakat sipil maju pesat setelah pengambil-alihan ini terjadi (http://en.wikipedia.org/ wiki/Internet).
31
2.10.1 URL (Uniform Resource Locator)
Salah satu subjek Internet yang paling awal harus dikenal adalah URL (Uniform Resource Locator). URL dapat didefinisikan sebagai sarana untuk menentukan alamat yang akan dipakai untuk mengakses internet khususnya website. Dapat dianalogikan sebagai alamat rumah yang tertulis pada amplop yang akan menuntun Pak Pos ke sana, URL pun bekerja secara demikian. Ia akan mengantarkan browser ke alamat yang akan dituju. Dengan begitu seluruh website pasti memiliki URL tertentu dan unik, karena jika tidak, ia tak akan bisa dikunjungi, sama halnya dengan rumah tanpa alamat. Secara garis besar URL terdiri dari jenis protokol yang akan dipakai, nama web server dan direktori.
2.10.2 HTTP (Hypertext Transfer Protocol)
Salah satu protokol yang sering kita gunakan adalah HTTP (Hypertext Transfer Protocol). Protokol ini digunakan untuk berkomunikasi antara web browser dan web server satu sama lain (client-server). HTTP ini akan kita gunakan jika kita hendak mengakses suatu website tertentu. Dari singkatannya, HTTP memiliki tugas untuk mentransfer dokumen berupa hypertext yang dalam pelaksanaannya lebih dikenal dengan sebutan HTML. Dengan demikian HTTP akan mentransfer HTML ke browser dari server tempat HTML tersebut disimpan.
2.10.3 WWW (World Wide Web)
WWW adalah sistem hypermedia pada internet. Dokumen-dokumen informasi pada WWW disertai dengan grafik berwarna dan mendukung sistem multimedia dan
32
memiliki link ke sumber informasi lainnya. Untuk memperoleh dokumen WWW, digunakan aplikasi browser seperti Internet Explorer. Kehebatan WWW adalah kemudahan untuk mengakses informasi, yang dibuhungkan satu dengan lainnya melalui konsep hypertext. Informasi dapat tersebar di mana-mana di dunia dan terhubung melalui hyperlink.
2.10.4 Web Server
Untuk dapat memberikan dokumen web kepada komputer lain, diperlukan software yang disebut dengan web server. Web server merpakan software server yang mengerti protocol HTTP dan menunggu koneksi di port tertentu (umumnya port HTTP 80). Pekerjaan utama web server adakah menerima permintaan terhadap dokumen tertentu yang ditulis dalam format alamat URL dan mencari file atau program yang sesuai pada sistem file, membaca, dan memberikannya kepada si peminta.
2.10.5 HTML (Hypertext Markup Language)
HTML (Hypertext Markup Language) merupakan suatu script di mana dapat ditampilkan informasi dan daya kreasi lewat internet. HTML sendiri adalah dokumen teks biasa yang mudah dimengerti dibandingkan bahasa pemrograman lainnya, dan karena bentuknya itu maka HTML dapat dibaca di platform yang berlainan seperti Windows, UNIX, dan lainnya. Walaupun berberntuk dokumen teks biasa, HTML memiliki perbedaan dengan dokumen lain seperti dokumen Word, misalnya.
33
Perbedaan yang paling mencolok adalah, pada dokumen Word, banyaknya karakter akan terbatasi oleh besarnya kertas sehingga jika teks yang ada di dalamnya banyak ia akan terdiri dari banyak halaman pula. Sedangkan HTML tidak memiliki batasan teks, sehingga tidak ada pemisah halaman 1, 2, dan seterusnya. HTML merupakan bahasa pemrograman yang lentur di mana dapat diletakkan skrip dari bahasa pemrograman lain seperti Java, Visual Basic, C, dan lain-lain, jika HTML tersebut tidak dapat mendukung suatu perintah pemrograman tertentu. Browser tidak akan menampilkan kotak dialog ‘syntax error’ jika terdapat penulisan kode yang keliru pada skrip HTML sepanjang kode-kode yang kita tuliskan merupakan kode-kode HTML tanpa penambahan kode-kode dari luar seperti Java, C, dan lain-lain. Oleh karena itu, juta terjadi syntax error pada skrip HTML, efek yang paling jelas adalah HTML tersebut tidak akan ditampilkan pada jendela browser. Hypertext dalam HTML berarti bahwa kita dapet menuju ke suatu tempat, misal website atau halaman web lain, dengan cara memilih suatu link atau penghubung yang biasanya digaris-bawahi atau diwakili oleh suatu gambar. Selain link atau penghubung ke website atau homepage halaman lain, hypertext ini juga mengizinkan kita untuk menuju ke salah satu bagian dalam satu teks itu sendiri. Sedangkan markup language menunjukkan suatu fasilitas yang berupa tanda tertentu dalam skrip HTML di mana kita dapat menentukan judul, membuat garis, tabel, atau gambar dengan perintah khusus.
34
2.10.6 CGI
CGI adalah singkatan dari Common Gateway Interface yaitu sebuah antarmuka atau protokol yang mengijinkan web site untuk dapet berkomunikasi dengan server, atau juga dapat berarti, suatu metode dimana web server dapat memproses suatu data yang di terimanya melalui browser lalu menyajikan atau mengirim data tersebut ke database server, mail server atau menampilkan hasil prosesnya ke web browser. Secara mudahnya CGI adalah pemrograman untuk web. CGI program dapat ditulis dengan banyak bahasa pemrograman seperti Perl, C/C++, Tcl, Apple script dan masih banyak yang lain. Dengan bantuan CGI dapat dibuat berbagai aplikasi berbasis web seperti program counter, guest book, web news/board, e-commerce, advertisement classfield, web database dan masih banyak yang lain tergantung dari fungsi situs web yang bersangkutan.
2.11 Microsoft Visual Studio
Microsoft Visual Studio merupakan sebuah perangkat lunak lengkap (suite) yang dapat digunakan untuk melakukan pengembangan aplikasi, baik itu aplikasi bisnis, aplikasi personal, ataupun komponen aplikasinya, dalam bentuk aplikasi console, aplikasi Windows, ataupun aplikasi Web. Visual Studio mencakup kompiler, SDK, Integrated Development Environment (IDE), dan dokumentasi (umumnya berupa MSDN Library). Kompiler yang dimasukkan ke dalam paket Visual Studio antara lain Visual C++, Visual C#, Visual Basic, Visual Basic .NET, Visual InterDev, Visual J++, Visual J#, Visual FoxPro, dan Visual SourceSafe.
35
Microsoft Visual Studio dapat digunakan untuk mengembangkan aplikasi dalam native code (dalam bentuk bahasa mesin yang berjalan di atas Windows) ataupun managed code (dalam bentuk Microsoft Intermediate Language di atas .NET Framework). Selain itu, Visual Studio juga dapat digunakan untuk mengembangkan aplikasi Silverlight atau aplikasi Windows Mobile (yang berjalan di atas .NET Compact Framework). Visual Studio kini telah menginjak versi Visual Studio 9.0.21022.08, atau dikenal dengan sebutan Microsoft Visual Studio 2008 yang diluncurkan pada 19 November 2007, yang ditujukan untuk platform Microsoft .NET Framework 3.5. Versi sebelumnya, Visual Studio 2005 ditujukan untuk platform .NET Framework 2.0 dan 3.0. Visual Studio 2003 ditujukan untuk .NET Framework 1.1, dan Visual Studio 2002 ditujukan untuk .NET Framework 1.0. Versi-versi tersebut di atas kini dikenal dengan sebutan Visual Studio .NET, karena memang membutuhkan Microsoft .NET Framework. Sementara itu, sebelum muncul Visual Studio .NET, terdapat Microsoft Visual Studio 6.0 (VS1998).
2.12 C#
C# (dibaca: C sharp) merupakan sebuah bahasa pemrograman yang berorientasi objek yang dikembangkan oleh Microsoft sebagai bagian dari inisiatif kerangka .NET Framework. Bahasa pemrograman ini dibuat berbasiskan bahasa C++ yang telah dipengaruhi oleh aspek-aspek ataupun fitur bahasa yang terdapat pada bahasa-bahasa pemrograman lainnya seperti Java, Delphi, Visual Basic, dan lain-lain, dengan beberapa
36
penyederhanaan. Menurut standar ECMA-334 C# Language Specification, nama C# terdiri atas sebuah huruf Latin C (U+0043) yang diikuti oleh tanda pagar yang menandakan angka # (U+0023).
2.12.1 Tujuan Desain
Standar European Computer Manufacturer Association (ECMA) mendaftarkan beberapa tujuan desain dari bahasa pemrograman C#, sebagai berikut: Bahasa pemrograman C# dibuat sebagai bahasa pemrograman yang bersifat general-purpose (untuk tujuan jamak), berorientasi objek, modern, dan sederhana. Bahasa pemrograman C# ditujukan untuk digunakan dalam mengembangkan komponen perangkat lunak yang mampu mengambil keuntungan dari lingkungan terdistribusi. Portabilitas programmer sangatlah penting, khususnya bagi programmer yang telah lama menggunakan bahasa pemrograman C dan C++. Dukungan untuk internasionalisasi (multi-language) juga sangat penting. C# ditujukan agar cocok digunakan untuk menulis program aplikasi baik dalam sistem klien-server (hosted system) maupun sistem tertanam (embedded system), mulai dari program aplikasi yang sangat besar yang menggunakan sistem operasi yang canggih hingga program aplikasi yang sangat kecil yang memiliki fungsi-fungsi terdedikasi. Meskipun aplikasi C# ditujukan agar bersifat 'ekonomis' dalam hal kebutuhan pemrosesan dan memori komputer, bahasa C# tidak ditujukan untuk bersaing secara
37
langsung dengan kinerja dan ukuran program aplikasi yang dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman C dan bahasa rakitan. Bahasa C# harus mencakup pengecekan jenis (type checking) yang kuat, pengecekan larik (array), pendeteksian terhadap percobaan terhadap penggunaan peubah-peubah
yang
belum
diinisialisasikan,
portabilitas
kode
sumber,
dan
pengumpulan sampah (garbage collection) secara otomatis.
2.13 Active Server Pages .NET
Active Server Pages .NET (sering disingkat sebagai ASP.NET) adalah sebuah teknologi layanan Web dinamis, aplikasi web, dan XML web service yang dikembangkan oleh Microsoft sebagai pengganti Active Server Pages (ASP) yang telah lama. Teknologi ini berbasis .NET Framework dan dibangun di atas Common Language Runtime (CLR), sehingga para programmer dapat menulis kode ASP.NET dengan menggunakan semua bahasa pemrograman .NET, meski yang populer digunakan adalah bahasa C# dan Visual Basic .NET.
