DAFTAR ISI DAFTAR ISI..............................................................................1 BAB 17. POTENSIAL LISTRIK.................................................2 17.1 Potensial dan Beda Potensial .....................................2 17.2 Dipole Listrik ...............................................................6 17.3 Kapasitansi Listrik .......................................................9 17.4 Dielektrikum ..............................................................11 17.5 Penyimpanan Energi Listrik ......................................15 17.6 Peralatan : Tabung Sinar Katoda..............................16 17.7 Quis 17......................................................................17
1
BAB 17. POTENSIAL LISTRIK 17.1
Potensial dan Beda Potensial
Medan gaya bersifat konservatif jika kerja yang dilakukan pada benda yang bergerak melalui lintasan tertutup sama dengan nol. Misalkan pada Gambar 1, benda bergerak di bawah pengaruh medan gaya konservatif dari A ke B kemudian kembali ke A.
Gambar 12.1 Benda bergerak dari titik A ke B
Bila medan gaya bersifat konservatif, v v
v v
v v
∫ F .dr = ∫ F .dr + ∫ F .dr = 0 c1
(12.1)
c2
dengan c1 dan c2 adalah kurva sebarang. Teorema kerja-energi menyatakan bahwa perubahan energi potensial sama dengan kerja yang harus dilakukan melawan medan gaya untuk memindahkan benda dari A ke B. Secara matematis dapat ditulis v v ΔU = −W AB = − ∫ F . dr B
(2)
A
Misalkan kita akan menentukan energi potensial muatan titik seperti pada Gambar 12.2.
2
Gambar 12.2 Potensial muatan titik
Gaya yang bekerja pada muatan uji, q0, bila berada pada jarak r dari muatan sumber, q, adalah
F=
qq0 4πε 0 r 2 1
(12.2)
Maka perubahan energi potensial untuk melawan gaya di atas dalam menggerakkan q0 dari Q ke P adalah P
ΔU = − ∫ F . dr = U P − U Q = Q
qq 0 1 qq 0 − 4πε 0 r1 4πε 0 r2 1
Secara umum energi potensial medan listrik oleh muatan sumber q yang dimiliki oleh muatan uji q0 pada jarak r dari q adalah
U=
qq0 4πε 0 r 1
(12.3)
Contoh 1 Jarak dua proton dalam inti U238 adalah 6 x 10-15 m. Berapa energi potensial listrik bersama kedua proton tersebut jika diketahui muatan proton adalah + 1,6 x 10-19 C. Jawab Energi potensial bersama −19 q1 q 2 )(1,6 x 10 −19 ) 9 (1,6 x 10 = (9 x10 ) = 3,8 x10 - 14 J U= 4πε 0 r 6 x 10 −15
1
= 2,4 x 10 5 eV Contoh 2
3
Tiga muatan dipegang tetap seperti pada Gambar 3 di bawah. Berapakah besar energi potensial bersama dari ketiga muatan tersebut. Anggap q =1 . 10-7 C dan a = 10 cm. Jawab
U = U 12 + U 13 + U 23 =
1 ⎡ (+ q )(−4q ) (+ q )(+2q ) (−4q )(+2q ) ⎤ + + ⎥⎦ 4πε 0 ⎢⎣ a a a
=−
10 q 2 4πε 0 a
= −9.10 −3 J Medan listrik di sekitar benda bermuatan tidak saja dapat dijelaskan oleh kuat medan listrik (besaran vektor), tapi juga oleh kuantitas skalar, yaitu potensial listrik. Potensial listrik didefinisikan sebagai energi potensial persatuan muatan. V =
U q0
(12.4)
Sedangkan selisih potensial atau beda potensial dapat dinyatakan
VB − V A =
ΔU W AB = q0 q0
(12.5)
Selisih potensial ini tidak tergantung pada jalan yang ditempuh untuh memindahkan muatan dari A ke B. Harga WAB bisa positif (VB > VA), negatif (VB < VA) atau nol (VB = VA). Biasanya A diambil pada jarak tak hingga sehingga VA berharga nol, maka persamaan (5) dapat disederhanakan menjadi V =
W q0
(12.6)
W pada persamaan (12.6) adalah kerja yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk menggerakkan muatan uji q0 dari tak hingga ke titik yang ditinjau. Satuan potensial listrik adalah J/C atau Volt.
4
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai potensial sama disebut permukaan ekipotensial. Perhatikan Gambar 12.4 di bawah ini. Kerja untuk menggerakkan muatan sepanjang lintasan I dan II adalah nol karena kedua jalan ini mulai dan berakhir pada permukaan ekipotensial yang sama. Sedangkan kerja melalui lintasan I’ dan II’ adalah sama tapi tidak sama dengan nol.
Gambar 12.4. Permukaan equipotensial
Tinjau sebuah muatan uji positif q0 yang digerakkan oleh pengaruh luar tanpa percepatan dari A ke B di dalam medan listrik uniform sepanjang garis lurus seperti diperlihatkan pada Gambar 12.5.
Gambar 12.5 Pengaruh medan listrik terhadap muatan
v Gaya listrik adalah q 0 E arahnya ke bawah dan kerja yang dilakukan adalah WAB = Fd = q0Ed,
maka beda potensialnya
VB − V A =
W AB = Ed q0
(12.7)
Tinjau sekarang medan listrik tidak uniform dan lintasan yang ditempuh tidak lurus seperti pada Gambar 12.6.
5
Gambar 12.6 medan listrik tidak uniform B B v v v v Karena, W AB = ∫ F . dl = − q 0 ∫ E. dl , maka : A
A
B v v W AB VB − V A = = − ∫ E . dl q0 A
(12.8)
Jika titik A diambil di tak hingga di mana VA = 0, maka B v v V = − ∫ E . dl
(12.9)
∞
v Untuk menghitung E dari V didapat dengan melakukan diferensiasi persamaan (12.9). Tetapi v karena E adalah besaran vektor dan V adalah besaran skalar maka harus digunakan vektor operator v diferensial yang disebut gradien dan dinyatakan dengan ∇ v v E = −∇ V
Ex = −
17.2
∂V ∂x
Ey = −
∂V ∂y
(12.10)
Ez = −
∂V ∂z
(12.11)
Dipole Listrik
Tinjau sebuah muatan uji q0 berupa titik yang digerakkan pengaruh luar dari A ke B dalam medan yang ditimbulkan muatan positif q seperti ditunjukkan pada Gambar 12.7.
6
Gambar 12.7 Muatan yang digerakkan dalam medan
Selisih potensialnya rB v v q VB − V A = − ∫ E. dl = − ∫ E. dr = − 4πε 0 A rA B
=
rB
dr
∫r
2
rA
q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ rB rA ⎟⎠
Jika A diambil di tak hingga maka V =
1
q 4πε 0 r
(12.12)
Untuk distribusi muatan diskrit
V = ∑ Vn =
1 4πε 0
qn
∑r
(12.13)
dq r
(12.14)
n
Untuk distribusi muatan kontinyu V = ∫ dV =
1 4πε 0
∫
Dua muatan yang sama besarnya dan berlawanan tandanya dan dipisahkan sejauh 2a akan membentuk sebuah dipol listrik seperti pada Gambar 12.8.
7
Gambar 12.8 Dipole listrik
Potensial listriknya
V = ∑ Vn = V1 + V2 =
1 ⎛q q⎞ q r2 − r1 ⎜⎜ − ⎟⎟ = 4πε 0 ⎝ r1 r2 ⎠ 4πε 0 r1 r2
Jika diasumsikan r >> a maka r2 − r1 ≅ 2a cos θ dan r1 r2 ≅ r 2 , sehingga V =
2a cos θ 1 p cos θ = 2 4πε 0 4πε 0 r 2 r q
(12.15)
dengan p = 2aq adalah momen dipol.
Contoh 3 Berapa besar potensial listrik pada permukaan inti emas jika jari-jari inti emas 6,6 x 10-15 m dan nomer atomnya Z = 79. Jawab Karena inti dianggap sebagai bola dan dengan mengingat bahwa muatan proton adalah 1,6 x 10-19 C, maka -19 q ) 9 (79)(1,6 x 10 V = = (9 x 10 ) = 1,7 x 10 7 V -15 4πε 0 r 6,6 x 10
1
Contoh 4 Berapakah besarnya potensial di pusat sebuah segiempat kuadratis dari Gambar 9, jika diketahui q1 = +1 x 10-8 C, q2 = -2 x 10-8 C, q3 = +3 x 10-8 C, q4 = +2 x 10-8 C dan a = 1 m.
8
Jawab Jarak dari tiap titik muatan ke titik P adalah a V = ∑ Vn =
q1 + q 2 + q 3 + q 4 4πε 0 r
= (9 x 10 9 )
17.3
2 atau 0,71 m, maka
1
(1 - 2 + 3 + 2) x 10 -8 = 500 V 0,71
Kapasitansi Listrik
Tinjau plat sejajar seperti pada Gambar 13.1. Ketika saklar S ditutup, dalam ruang antara plat akan timbul medan listrik. Setelah beberapa saat pada plat 1 akan terkumpul muatan +q dan pada plat 2 muatan –q.
Gambar 13.1 Plat sejajar
Muatan dalam plat mencapai harga maksimum q setelah potensial plat 1 mencapai harga V. Muatan maksimum q yang terkumpul pada plat sebanding dengan V. Kuat medan listrik yang timbul di antara plat adalah E=
σ ε0
(13.1)
9
dengan σ = V = Ed =
q adalah rapat muatan per satuan luas. Beda potensial antara plat A
qd σ atau, d= ε0 ε0A q = CV
C = ε0
(13.2) A d
(13.3)
Tetapan pembanding C disebut kapasitansi yang menyatakan kapasitas sistem untuk menyimpan muatan atau juga medan listrik. Harga kapasitansi tergantung pada bentuk sistem, yaitu luas plat dan jarak antar plat. Satuan kapasitansi C/V atau Farad (F). Sistem kapasitif adalah sistem yang dapat menyimpan muatan atau medan listrik. Sedangkan kapasitor adalah sistem kapasitif yang dibuat agar mempunyai harga kapasitansi tertentu. Contoh 1 Plat-plat sejajar sebuah kapasitor yang diisi dengan udara berjarak 1 mm satu dengan yang lain. Berapa seharusnya luas plat supaya kapasitansinya menjadi 1 F ? Jawab
A=
dC
ε0
(1 x 10 -3 )(1) = = 1,1 x 10 8 m -12 8,9 x 10
Ini adalah setara dengan bujursangkar yang sisi-sisnya lebih panjang dari 9,5 km. Jadi di sini satuan farad merupakan satuan yang sangat besar. Biasanya dalam praktek dipakai satuan mikrofarad (μF) di mana 1 μF = 10-6 F. Contoh 2 Sebuah kapasitor silinder terdiri dari dua silinder koaksial dengan jari-jari a dan b serta panjangnya l seperti Gambar di bawah. Tentukan kapasitansi dari sistem ini. Anggaplah kapasitor sangat panjang (yaitu l >> b) sehingga kita dapat mengabaikan efek pinggiran garis-garis gaya di ujung-ujungnya untuk maksud penghitungan kapasitansi.
10
Jawab Sebagai permukaan Gauss kita buat silinder koaksial dengan jari-jari r dan panjangnya l. Maka v v ε 0 ∫ E.dS = q
ε 0 E (2πr )(l ) = q E=
q 2πε 0 rl
di mana semua fluks melalui permukaan sepanjang silinder dan bukan melalui permukaan ujung. v v v Beda potensial antara plat (perhatikan bahwa arah E dan dl (= dr ) saling berlawanan) b v v b b V = − ∫ E.dl = ∫ E.dr = ∫ a
a
a
q
dr q a = ln 2πε 0 l r 2πε 0 l b
Kapasitansinya 2πε 0 l q C= = V ln(a / b)
17.4
Dielektrikum
Pada kebanyakan kapasitor, ruang di antara kedua platnya diisi bahan isolator yang disebut dielektrik. Fungsi dielektrik antara lain : mengatasi masalah mekanika, yaitu menempatkan dua plat yang sangat berdekatan tanpa terjadi persentuhan, meningkatkan kemampuan kapasitor untuk menahan suatu beda potensial maksimum dan meningkatkan harga kapasitansi dengan ukuran kapasitor yang kecil. Untuk menjelaskan efek dielektrik ini perhatikan Gambar 13.4 berikut.
11
Gambar 13.4 konsep dielektrik
Beda potensial sebelum ada dielektrik adalah V0, setelah diberi dielektrik beda potensial turun sampai suatu harga V yang lebih rendah dari V0. Jika dielektrik diambil, beda potensial kembali ke harga semula, yaitu V0. Penyisipan dielektrik tidak berpengaruh terhadap muatan awal kedua plat tersebut. Penyebab turunnya beda potensial adalah timbulnya muatan induksi pada kedua permukaan dielektrik yang tak seberapa banyak sehingga medan listrik induksi yang timbul tidak terlalu besar (Gambar 13.5).
Gambar 13.5 Permukaan muatan induksi Medan resultan akhir bila ada dielektrik ditunjukkan pada Gambar 13.5(d), di mana beberapa garis gaya menembus dielektrik dan yang lain berakhir pada muatan induksi di permukaan dielektrik. Pada kasus ini, lembaran dielektrik diandaikan menempati seluruh daerah antara plat. Celah kecil pada Gambar 8 hanya untuk maksud kejelasan gambar. Selanjutnya kita tinjau muatan induksi pada dielektrik secara molekuler. Molekul suatu dielektrik bisa bersifat polar atau non polar. Gambar 13.6 memperlihatkan perilaku molekul polar (a) dan non polar (b) dalam medan listrik. Efek netto dari proses penjajaran untuk memisahkan muatan positif dan negatif disebut polarisasi.
Gambar 13.6 Perilaku Polar dan non polar
12
Peristiwa polarisasi dalam bahan dielektrik yang menyebabkan muatan induksi pada permukaan dielektrik diperlihatkan dalam Gambar 13.7. Muatan induksi akan menimbulkan medan v v v listrik induksi E i yang menentang medan listrik luar E 0 . Medan listrik resultan E adalah searah v dengan E 0 tapi lebih kecil.
Gambar 13.7 Peristiwa polarisasi dalam bahan elektrik
E = E0 − Ei =
Dengan σ =
σ σi − ε0 ε0
(13.4)
q q = rapat muatan plat dan σ i = i = rapat muatan induksi. Untuk kuat medan A A
listrik yang tak terlalu besar, dengan χ e = suseptibilitas listrik maka
σ i = χe E
(13.5)
Dari persamaan (13.4) dan (13.5) didapat
E=
Tetapan K e = 1 +
χe ε0
σ ⎛ χ ⎞ ε 0 ⎜⎜1 + e ⎟⎟ ⎝ ε0 ⎠
=
σ K eε 0
(13.6)
disebut koefisien dielektrik. Biasanya besaran ε = K e ε 0 yang
disebut permitivitas listrik lebih sering digunakan, sehingga persamaan (13.6) dapat ditulis E=
σ ε
(13.7) 13
Jadi, pernyataan untuk medan listrik dalam dielektrik sama dengan medan tanpa dielektrik hanya permitivitas vakum ε0 diganti ε. Dari uraian di atas akhirnya kita dapat menyatakan kapasitansi kapasitor plat sejajar dengan adanya dielektrik sebagai berikut q σA εEA ε (V / d ) A εA = = = = V V V V d A = K eε 0 d = K eC0
C=
(13.8)
Jadi, kapasitansi kapasitor dielektrik adalah Ke kali kapasitansi tanpa dielektrik. Contoh 5 Jarak plat dalam kapasitor plat sejajar adalah 2 mm dan luas platnya 200 cm2. Plat diberi beda potensial 100 V (kapasitor sudah terlepas dari sumber tegangan). Kemudian ruang antara plat diisi dielektrik dengan koefisien dielektrik 50. Hitunglah : Kuat medan listrik sebelum dan sesudah diberi dielektrik, Kapasitansi sebelum dan sesudah diberi dielektrik, Beda potensial setelah diberi dielektrik dan Muatan induksi pada permukaan dielektrik Jawab Kuat medan listrik sebelum diberi dielektrik
E0 =
V0 100 = = 5 x 10 4 V/m -3 d 2 x 10
Kuat medan listrik sesudah diberi dielektrik
E0 =
E 0 5 x 10 4 = = 10 3 V/m Ke 50
Kapasitansi sebelum diberi dielektrik
C = ε0
A (200 x 10 -4 ) = (8,85 x 10 -12 ) = 8,85 x 10 -11 F = 88,5 nF d 2 x 10 -3
Kapasitansi sesudah diberi dielektrik C = K e C 0 = (50)(8,85 x 10 -11 ) = 4,425 x 10 -9 F = 4,425 pF
(1 μF = 10-6 F; 1 pF = 10-9 F; 1 nF = 10-12 F) Beda potensial setelah diberi dielektrik V = Ed = (103)(2 x 10-3) = 2 V Muatan induksi pada permukaan dielektrik
qi = σ i A = ε 0 Ei A = ε 0 ( E 0 − E ) A = (8,85 x 10 -12 )[(50 x 10 3 ) - ( 10 3 )](200 x 10 -4 ) = 8,673 x 10 -9 C qi = σ i A = χ e EA = ( K e − 1)ε 0 EA Atau = (50 − 1)(8,85 x 10 -12 )( 10 3 )(200 x 10 -4 ) = 8,673 x 10 -9 C 14
17.5
Penyimpanan Energi Listrik
Semua konfigurasi muatan mempunyai suatu energi potensial listrik U yang spesifik Energi ini besarnya sama dengan kerja W yang harus dilakukan untuk mengumpulkan muatan-muatan tersebut dari masing-masing komponennya, yang pada mulanya dianggap berjarak tak hingga satu sama lain dan berada dalam keadaan diam. Tinjau proses pengisian dan pengosongan pada kapasitor. Kerja harus dilakukan untuk memisahkan dua muatan yang sama besar dan berlawanan tandanya. Energi ini disimpan dalam sistem dan dapat diperoleh kembali jika muatan-muatan tersebut dibolehkan lagi berkumpul bersama. Dengan cara yang serupa, kapasitor yang dimuati telah menyimpan energi potensial yang sama besarnya dengan kerja yang diperlukan untuk memuati kapasitor tersbut. Energi ini dapat diperoleh kembali jika kapasitor tersebut dibolehkan mengosongkan muatannya. Biasanya kerja untuk memuati dilakukan oleh baterai, dengan mengorbankan energi kimia dalam baterai tersebut. Misalkan pada waktu t sebuah muatan q’(t) telah dipindahkan dari sebuah plat ke plat lain. Beda potensialnya menjadi V(t) = q’(t)/C. Jika suatu penambahan muatan ekstra dq’ dipindahkan, maka sejumlah kecil kerja tambahan yang diperlukan dW =Vdq = (q’/C)dq’. Jika proses ini diteruskan sampai muatan total q dipindahkan maka kerja totalnya
W = ∫ dW = ∫
q
0
q' 1 q2 dq' = C 2 C
Dari hubungan q = CV, didapat W ( = U ) = 12 CV 2
(13.9)
Di dalam sebuah kapasitor plat sejajar, dengan mengabaikan pinggiran, medan listrik di antara plat-platnya bersifat uniform, yaitu mempunyai nilai sama di semua titik. Maka kerapatan energinya, yang juga harus uniform, dapat ditulis 2 1 U 2 CV = u= Ad Ad
(13.10)
Dengan Ad adalah volume di antara plat-plat. Dari hubungan C = ε 0 A / d dan E = V / d , maka persamaan (13.10) dapat ditulis u = 12 ε 0 E 2
(13.11) 15
Persamaan (13.11) ini berlaku umum, yaitu jika sebuah medan listrik E terdapat pada setiap titik di dalam ruang (sebuah vakum), maka titik-titik tersebut dapat dipikirkan sebagai tempat tersimpannya energi yang besarnya persatuan volume adalah 12 ε 0 E 2 . Contoh 4 Sebuah kapasitor C1 dimuati sampai perbedaan potensial V0. Kemudian baterai pemuat diputuskan dan kapasitor dihubungkan dengan sebuah kapasitor C2 yang tak bermuatan seperti pada Gambar 6 di bawah ini. Tentukan beda potensial akhir V dan energi tersimpan sebelum dan sesudah saklar S ditutup.
Jawab Muatan asal q0 dibagi oleh kedua kapasitor q0 = q1 + q2 C1V0 = C1V + C2V
atau
V = V0
C1 C1 + C 2
Energi mula-mula
U 0 = 12 C1V0
2
Energi akhir
⎛ C1 U = C ek V = (C1 + C 2 )⎜⎜V0 ⎝ C1 + C 2 ⎛ C1 ⎞ ⎟⎟U 0 = ⎜⎜ ⎝ C1 + C 2 ⎠ 1 2
17.6
2
1 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
Peralatan : Tabung Sinar Katoda
Peralatan yang ada di sekitar kita mengaplikasikan tegangan yang berubah terhadap waktu, misalnya tabung sinar katoda (TSK). Prinsip kerja dari TSK adalah di dalam tabung hampa, suatu berkas sinar katoda (elektron-elektron) diarahkan ke berbagai bagian layar untuk menghasilkan sebuah bentuk/gambar.
16
Gambar Prinsip Kerja Tabung Sinar Katoda
17.7
Quis 17
1. Di dalam segiempat siku-siku seperti diperlihatkan dalam gambar dengan a = 1 cm, b = 3 cm, q1 = -4 μC dan q2 = +1 μC. q1
A
a B
b
q2
a. Hitunglah potensial listrik di titik A dan B ! b. Jika muatan q3 = +2 μC digerakkkan dari B ke A melalui diagonalnya, berapakah kerja yang terlibat ? Jelaskan pula apakah kerja diubah menjadi energi potensial atau sebaliknya ! c. Dengan muatan q3 dipegang tetap di A, hitung energi potensial dari konfigurasi tersebut ! 2. Dua buah bola yang mempunyai muatan yang sama 3 x 10-8 C, masing-masing berjari-jari 5 cm dan 10 cm. Jika kedua bola dihubungkan dengan penghantar, hitunglah (a) muatan akhir dan (b) potensial listrik masing-masing bola. 3. Pada suatu jarak tertentu, potensial sebuah muatan titik adalah 200 V dan medan listriknya 100 N/C. Berapakah (a) jarak ke muatan tersebut dan (b) besar muatan tersebut. 1. Kapasitor 2 μF dimuati sampai suatu perbedaan potensial 50 V. Kapsitor kedua dengan kapasitansi 4 μF dimuati sampai 100 V. Kemudian kedua kapasitor tersebut dihubungkan paralel. a. Berapakah muatan akhir masing-masing kapasitor. b. Berapa pula beda potensial masing-masing kapasitor. 2. Rangkaian kapasitor dibuat seperti pada gambar.
17
Jika diketahui C1 = 10 F, C2 = 5 F, C3 = 4 F dan V = 100 V, hitunglah : a. Kapasitor ekivalen b. Muatan masing-masing kapasitor c. Beda potensial masing-masing kapasitor d. Energi tersimpan dalam masing-masing kapasitor 3. Dua plat sejajar yang luasnya 100 cm2 masing-masing diberi muatan yang sama besarnya dan berlawanan tandanya sebesar 8,9 x 10-7 C. Medan listrik di dalam bahan dielektrik yang mengisi ruang di antara plat adalah 1,4 x 106 V/m. Tentukan : a. Konstanta dielektrik bahan tersebut 4. Besar muatan induksi pada masing-masing permukaaan dielektrik
18
