A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET 1. Pengertian barisan bilangan Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Contoh barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ... 2.
Pengertian deret bilangan Deret bilangan adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Contoh deret bilangan ganjil : 1 + 3 + 5 + 7 + ...
B. POLA BILANGAN 1. Pengertian pola bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan. 2.
Macam-macam pola bilangan Kelompok Bilangan Bilangan asli Bilangan genap Bilangan ganjil Bilangan segitiga
Pola Bilangan 1, 2, 3, 4, ... 2, 4, 6, 8, ... 1, 3, 5, 7, ... 1, 3, 6, 10, ...
Bilangan persegi 1, 4, 9, ... Bilangan persegi panjang 2, 6, 12, ... Bilangan segitiga Pascal 1, 2, 4, 8, ... Un = pola/rumus suku ke-n.
Un =
n n+1 2
2
Un = n Un = n(n + 1) (n – 1) Un = 2
3.
Pola bilangan penambahan atau pengurangan Pola penambahan dan pengurangan adalah barisan yang suku-suku sebelumnya diperoleh dari menambah atau mengurangi suku sesudahnya dengan bilangan tetap. Pola bilangan ini disebut sebagai pola bilangan hitung. Contoh: 2, 5, 8, ...
4.
Pola bilangan perkalian Pola perkalian adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap untuk mendapatkan suku berikutnya. Pola bilangan ini selanjutnya disebut pola bilangan ukur. Contoh: 2, 8, 16, ...
5.
Pola bilangan perpangkatan Pola dengan perpangkatan adalah suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dari perpangkatan suatu bilangan. Contoh: 1, 4, 9, 16, ...
6. 7.
Pola bilangan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Pola perhitungan bilangan, apabila jumlah dua bilangan sama dengan hasil kalinya. n+1 +
C.
Pola ke-n Un = n Un = 2n Un = 2n – 1
n+1 n
= n+1 x
n+1 n
;n ≠ 0
MENENTUKAN POLA SUATU BILANGAN Untuk menentukan pola/rumus suku ke-n suatu bilangan dapat melalui cara : 1. Substitusi eliminasi SA 2. Rumus Un = x A x C + k, hanya khusus untuk pola bilangan berpangkat dua. 2 Dengan : SA= selisih akhir, A = bilangan asli, C = bilangan cacah, dan k = konstanta.
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
43
PENDALAMAN MATERI 5.1. POLA BILANGAN 1.
Tuliskan dua suku dari barisan : a. 5, 9, 13, 17 … : b. 3, 4, 6, 9,13, … : c. 17, 16, 13, 8, … : d. 4, 9, 16, 49, .... : e. 1, 8, 27, ... :
2.
Diketahui suatu barisan : 2, 3, 5, 8, 13, a, b, p, … a. Tentukan nilai a, b, dan p : b. Tentukan nama barisan tersebut. :
3.
Tentukan nilai p dan q agar kumpulan bilangan berikut memunyai pola tertentu. a. 2, 5, 9, p, 20, 27, q. : b. 1, p, 5, 10, 17, 26, q. : c. 3, 5, 9, 15, p, 33, q. : d. 7, 10, 17, 28, p, q, 85. : e. p, 4, 10, 20, 35, 56, 84, q. :
4.
Suku ke-n dari barisan dirumuskan Un = 2n - 10. Tentukan U3 dan U8! Jawab:
5.
Dengan menggunakan pola bilangan Pascal (2x – 5) , tentukan koefisien dari variabel : 2 a. x : 3 b. x :
6.
Tentukan suku ke-n dan suku - 8 dari barisan-barisan bilangan berikut ! a. 3, 4, 7, 12, … : b. 3, 9, 18, 30, .... : c. 12, 24, 48, 96, ... :
7.
Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan berikut! a. 47, 29, 15, 5, -1, ... : b. 115, 70, 35, 10, -5, ... : c. 1, 5, 14, 30, 55, ... :
8.
Tentukan suku ke-n dan U8 dari barisan bilangan berikut! 2 5 10 17 a. , , , ,… :
2
4
3 6 11 18
b. 9.
2 4 6 8
, , , , ...
3 5 7 8
:
Perhatikan gambar berikut ini! Gambar disamping menunjukkan sekumpulan pola yang disusun dari batang-batang korek api. Tentunkan banyak korek api untuk membentuk bangun persegi panjang ke-18! Jawab:
10. Perhatikan gambar berikut! Gambar disamping menunjukkan suatu pola barisan yang disusun dari lidilidi dengan ukuran yang berbeda. a. Tulliskan barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya lidi! b. Tentukan formula suku ke-n! c. Tentukan banyak lidi pada pola ke-100! Jawab: Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
44
11. Perhatikan gambar berikut!
a. b. c.
Tentukan formula dari barisan yang disusun dari segitiga-segitiga sama sisi di atas, Hitunglah segitiga sama sisi pada pola ke-10, Hitunglah segitiga sama sisi pada pola ke-12,
Jawab: 12. Tentukan 4 pasangan bilangan yang hasil jumlahnya sama dengan hasil kalinya. Jawab: 13. Tentukan 3 pasangan bilangan yang selisihnya sama dengan hasil perkaliannya. Jawab: 14. Tentukan pola dan 2 pasang bilangan yang memunyai pola jumlah dari dua kali bilangan pertama dengan bilangan kedua sama dengan hasil kkali keduanya. Jawab: 15. Tentukan pola dua bilangan yang jumlahnya sama dengan dua lebihnya dari hasil perkaliannya dan tentukan pula 2 pasangan bilangan tersebut. Jawab:
D. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 1.
Barisan aritmatika a. Pengertian barisan aritmetika Barisan aritmetika (barisnan hitung) adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambah atau mengurangi suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap. Contoh barisan aritmetika : 7, 10, 13, 16, ...
b.
Beda Beda atau selisih (b) adalah hasil pengurangan suku kedua oleh suku pertama. b = U2 – U1 atau b = Un – Un – 1. Jika b > 0 disebut barisan aritmetika naik, sedangkan b < 0 disebut barisan aritmetika turun.
c.
Suku ke-n Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan : Un = a + (n – 1) x b dimana : Un = suku ke-n, n = banyak suku, a = suku pertama, dan b = beda
d.
Sisipan diantara dua suku Misalkan diantara c dan d akan disisipkan k bilangan, beda baru diperoleh dengan rumus : b baru =
𝑏 𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑘+1
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
45
PENDALAMAN MATERI 5.2. BARISAN ARITMATIKA 1.
Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan aritmatika berikut ini! a. 5, 12, 19, ... : b. 88, 80, 72, ... : c. -3, -10, -17, ... :
2.
Tentukan suku pertama dan beda bari barisan aritmatika berikut! a. 7, 10, 13, 16, ... : b. -6, -3, 0, 3, ... : c. 69, 60, 51, 42, ... :
3.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ini! a. 17, 21, 25, 29, ... : b. 40, 35, 30, 25, ... : c. -4, -10, -16, -22, ... : 1 4 7 10 d. , , , , ... : 2 7 12 17
4.
Tentukan U1 dan beda dari rumusan barisan berikut ini! a. Un = 8n + 2 : b. Un = 18 – 5n : c. Un = -2n + 7 :
5.
Tentukan banyak suku dari barisan hitung berikut ini! a. 1, 5, 9, ... , 117. : b. 15, 27, 39, ... , 135. : c. 92, 84, 76, ... , 4. :
6.
Diketahui barisan aritmetika, dengan U1 = 45 dan U4 = 54. Tentukan : a. beda, b. rumus suku ke-n! Jawab:
7.
Diketahui U15 = 125 dan U14 = 130. Tentukan U7 + U9! Jawab:
8.
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 6 dan -6. Carilah nilai suku ke-18. Jawab:
9.
Suatu barisan hitung dirumuskan Un = 9n – 6. Hitunglah U17 + U9! Jawab:
10. Diketahui 3p + 3, 5p + 1, 8p – 5 merupakan 3 suku yang berurutan dari barisan aritmatika. Tentukan: a. Nilai p, b. Suku tengahnya. Jawab: 11. Jika suku pertama suatu barisan hitung adalah 5, suku terakhir adalah 23, dan selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10. Tentukan beda dan suku ke-15 Jawab: Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
46
12. Seorang pemilik kebun memetik mangganya setiap hari dan mencatatnya. Banyak mangga yang dipetik pada suatu hari memenuhi pola Un = 20n + 80. Tentukan banyaknya mangga yang dipetik pada hari ke-18! Jawab: 13. Tentukan nilai suku tengah dari barisan hitung berikut ini! a. 7, 11, 15, ... , 83, 87. : b. 1, -1, -3, ... , -97, -99. : 14. Tentukan nilai negatif pertama dari barisan hitung berikut ini! a. 188, 186, 184, ... : b. 57, 50, 43, ... : 15. Tentukan beda baru, jika diketahui: a. U1 = 4 dan Un = 29, bila disipi 4 suku. b. U1 = 8 dan Un = 20, bila disisipi 3 suku. 2.
: :
Deret Aritmetika a. Pengertian deret aritmetika Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika. Contoh deret aritmetika : 7 + 12 + 17 + ... b.
Rumus deret aritmetika 1
1
2
2
Sn = . n (a + Un) atau Sn = . n. (2a + (n – 1)b) dimana : Sn = jumlah n suku pertama, n = banyak suku, a = suku pertama, Un = suku ke-n.
PENDALAMAN MATERI 5.3. DERET ARITMATIKA 1.
Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmatika berikut ini! a. 5 + 8 + 11 + 14 + ... : b. 72 + 70 + 68 + ... : c. (-13) + (-10) + (-7) + ... :
2.
Hitunglah! a. 5 + 9 + 13+ ... + 37. : b. 65 + 61 + 57 + ... + 9. : c. (-5) + (-7) + (-9) + ... + (-27).:
3.
Suatu barisan aritmetika U2 = 9 dan U5 = 21. Tentukan S10! Jawab:
4.
Dari suatu deret hitung diketahui suku ke-2 adalah 5, jumlah suku ke-4 dan suku ke-6 adalah 28. Tentukan U9! Jawab:
5.
Seseorang menata tanaman menurut deret ukur. Baris pertama ada 5 tanaman, baris kedua ada 8 pohon, baris ketiga ada 11 pohon dan seterusnya. Jika ada 10 baris tanaman, hitunglah banyak pohon seluruhnya! Jawab :
6.
Bila pembayaran sebesar Rp 8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp 250.000,00, Rp 270.000,00, Rp 290.000,00 dan seterusnya, maka berapa lama angsuran itu akan lunas ? Jawab:
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
47
7.
Diketahui jumlah tiga bilangan yang berurutan membentuk barisan aritmetika dan berjumlah 12. Tentukan suku pertama! Jawab:
8.
Diketahui enam bilangan berurutan merupakan barisan aritmetika. Jumlah empat suku pertama adalah 26, sedangkan jumlah tiga suku terakhir sama dengan 42. Tentukan b dan a x U6! Jawab:
9.
Diketahu barisan aritmetika adalah Un = 6n - 10, hitunglah S5 ! Jawab:
10. Diketahui U6 = 240 dan U1 = 10, tentukan S18 ! Jawab: 10. Tentukan nilai a + Un dari masing-masing deret aritmetika, jika : a. S18 = 900 : b. S17 = 340 : 11. Diketahui deret aritmetika dengan S8 = 116 dan S9 = 144. Tentukan: a. suku pertama dan beda : b. suku kesepuluh. : 12. Pada kotak catur terdapat 64 kotak. Jika pada kota ke-2 terdapat 5 butir jagung dan pada kotak ke-17 terdapat 20 butir jagung, tentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama. Jawab: 13. Apabila suku ke-7 suatu deret hitung besarnya 4 kali lebih besar dari suku ke-1 dan suku ke-5 enam lebihnya dari suku ke -3. Tentukan S7! Jawab: 14. Hitunglah bilangan antara 1 – 100 yang merupakan kelipatan 8! Jawab: 15. Hitunglah jumlah bilangan antara 1 - 1.000 yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 4 ! Jawab: 16. Tentukan nilai h yang memenuhi :
1+3+5+7+⋯+(2h−1) 2+4+6+⋯+(2h)
=
115 116
.
Jawab: 17. Tiga bilangan yang berurutan merupakan barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan itu 36, sedangkan hasil perkaliannya 1.620. a. Tentukan beda barisan tersebut, b. Tentukan barisan bilangan tersebut. Jawab:
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
48
E. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1.
Barisan Geometri a. Pengertian barisan geometri Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan atau mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap. Contoh : 2, 6, 18, 54, ...
b.
Rasio Rasio atau pembanding ( r ) adalah hasil bagi suku kedua oleh suku pertama. U
Un
r = U 2 atau r = U 1
c.
n −1
Suku ke-n
Un = a .r n – 1 d.
Sisipan n suku. Misalkan diantara c dan d disisipkan sebanyak k bilangan, maka rasio baru diperoleh dengan rumus :
r baru =
𝑘+1
𝑟𝑙𝑎𝑚𝑎 PENDALAMAN MATERI 5.4. BARISAN GEOMETRI
1.
Tentukan dua suku berikutnya dari barisan-barisan geometri berikut : a. 2, 4, 8, 16, … : b. -4, 12, -36, 108, … : c. 128, 84, 32, 16, … :
2.
Tentukan suku ke – n dan U5 dari barisan di bawah ini ! a. 1, 3, 9, 27, … : b. 5, 15, 45, … : c. 300, 150, 75, … : d. 12, 6, 3, … :
3.
Suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah Un = 3(-2)
n-1
. Tentukan U1, r, dan U7!
Jawab: 4.
Diketahui barisan geometri : 5, 10, 20, … , 2560. Tentukan banyak suku! Jawab:
5.
Diberikan U3 = 12 dan U5 = 48 merupakan barisan geometri . Tentukan : a. U1 dan rasio b. Suku ke-n. Jawab:
6.
Dari barisan geometri U2 = 15 dan U4 = 135. Tentukan U1, rasio dan U5 jika pembandingnya positif! Jawab:
7.
Diketahui suku pertama dari barisan geometri adalah 3 dan U5 = 48, carilah nilai (U7 + U10) ! Jawab:
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
49
8.
Diketahui tiga bilangan yaitu : 5 - p, 6, dan 6p merupakan barisan geometri. Tentukan : a. nilai p, : b. jumlah ketiga suku tersebut. : Jawab:
9.
Diketahui p + 1, p -2, p + 3 membentuk barisan ukur. Agar ketiga suku membentuk barisan hitung, maka : a. Tentukan beda, b. Suku ke-3 harus ditambah berapa? c. Rasio. Jawab:
10. Berapakah rasio barisan geometri bersuku 9, jika suku ketiga adalah 80 dan suku terakhir 327680? Jawab:
2.
Deret Geometri a. Pengertian deret geometri Deret geometri (deret ukur ) adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Contoh deret geometri : 1 + 2 + 4 + 8 + ... b.
Jumlah n suku pertama deret geometri Sn =
𝑎 𝑟𝑛− 1 𝑟 −1
𝑎 1− 𝑟 𝑛
untuk r > 1 atau Sn =
1− 𝑟
untuk r < 1.
PENDALAMAN MATERI 5.5. DERET GEOMETRI 1.
Hitunglah Jumlah 5 suku pertama dari deret ukur : a. 2 + 6 + 18 + … : b. 3 + 12 + 36 + … : c. 100 + 50 + 25 + … : d. 40 + 20 + 10 + .. :
2.
Hitunglah : a. 1 + 2 + 4 + … + 64 b. 2 + 6 + 18 + … + 486 c. 0,5 + 1 + 2 + … + 512 d. 0,25 + 1 + 4 + … + 256
3.
: : : : 2
n
Tentukan nilai n, supaya 1 + 2+ 2 + ... + 2 = 255! Jawab:
4.
1
1
𝑛
𝑛2
Bila +
+
1 𝑛3
+
1 𝑛4
= 341. Hitunglah nilai n!
Jawab: 5.
Suku ke-n dari barisan geometri adalah Un = 5
n-1
. Tentukan suku pertama dan rasio !
Jawab: 6.
Pada deret geometri, Sn = 80, U1 = 2 dan rasio = 3, tentukan banyak suku dari deret tersebut ! Jawab:
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
50
7.
Diketahui suku pertama dari deret ukur adalah 10 dan rasionya 5, tentukan S 4 ! Jawab:
6.
Pada deret geometri diketahui, S4 = 45 dan pembanding = 2. Tentukan suku pertama. Jawab:
7.
n
Jumlah n suku pertama sebuah deret geometri dinyatakan Sn = 4 – 1. Tentukan rasio dari deret tersebut! Jawab:
8.
Amoba membelah diri menjadi dua setap 15 menit. Jika mula-mula ada 30 amoba, hitunglah banyak amoba selama 2 jam! Jawab:
9.
Banyaknya bakteri dalam suatu habitat bertambah 30% setiap jamnya. Bila di habitat itu terdapat 25.000 bakteri pada pukul 01.00, berapa bayak bakteri pada pukul 07.00? Jawab:
10. Deret geometri diketahui suku ke-2 sama dengan 10 dan suku ke-5 sama dengan 1.250, maka jumlah n suku pertama adalah …. Jawab: 11. Pertambahan penduduk tiap tahun suatu desa mengikuti aturan deret geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 1996 sebesar 24 orang, tahun 1998 sebesar 96 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah …. Jawab: 12. Carilah sebuah bilangan antara 16 dan 81 yang membentuk deret ukur! Jawab: 13. Diketahui deret ukur S5 = -93 dan rasio = 2. Tentukan U3! Jawab: 14. Sebuah tali dibagi menjadi 5 bagian sehingga bagian-bagian tersebut membentuk deret ukur. Bila panjang tali terpendek 2 cm dan yang terpanjang 162 cm, tentukan berapa panjang tali semula? Jawab: 15. Marini menabung Rp 100.0000 pada hari pertama, Rp 200.000 pada hari kedua, Rp 400.000 pada hari ketiga, dan seterusnya. Berapa uang yang telah ditabung Marini dalam 17 hari? Jawab:
Matematika 9 - Pola Bilangan - yap
51
