az eredő átmegy a közös ponton

STATIKA

BME Műszaki Mechanikai Tanszék

dr. Uj József c. egyetemi tanár

Egy közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: F=F1+F2,

az eredő átmegy a közös ponton.

Több erő eredője: F=F1+F2+F3+...+Fn ,

az eredő átmegy a közös ponton.

Az eredő helyettesíti az erőrendszert, ezért az erőrendszer redukáltjának tekinthetjük. Az erőrendszer nyomatéka a közös pontra nulla. Egy másik pontra az erőrendszer nyomatékát az eredő nyomatékával célszerű számolni. Síkbeli párhuzamos erőkből álló erőrendszer Elemei: F i párhuzamos erők az xy síkban és M j koncentrált nyomatékvektorok a síkra merőlegesen. Az eredő erő is síkbeli vektor, az erőrendszer nyomatékvektora pedig bármely pontban merőleges a síkra. Ha az eredő nem nulla, akkor az erőrendszer a centrális egyenesbe eső egyetlen F= S Fi erővel egyenértékű, ez az erőrendszer legegyszerűbb eredője. A centrális egyenes meghatározása számítással: redukáljuk a vektorrendszert egy tetszőleges A pontba, a centrális egyenes az A ponthoz viszonyítva úgy helyezkedik el a síkban, hogy •

párhuzamos az F eredővel,

•

a centrális egyenesbe eső F nyomatéka az A pontra megegyezik az MA nyomatékkal, ezért a centrális egyenes merőleges távolsága az A ponttól k=MA/F.

A centrális egyenes meghatározása szerkesztéssel: A szerkezeti ábrán a felvett távolságléptékkel megszerkesztjük az erők hatásvonalait, bejelöljük az erők irányait. A különálló erőábrán a felvett erőlépték szerint felmért erőket összeadjuk, így megkapjuk az eredő erőt. A centrális egyenes szerkesztéséhez a kötélsokszög szerkesztést alkalmazzuk. A szerkesztés elvi alapja: az erőrendszert kibővítjük két, önmagában egyensúlyi erővel (F0 és -F0), az erők összegzését F0-al kezdjük. Az első erő hatásvonalán egy tetszőleges pontban kezdjük a kötélsokszög szerkesztését. Minden lépésben egy részeredőt szerkesztünk. Az erőábra bármely háromszögének oldalait alkotó vektorok a szerkezeti ábrán egy közös pontban metsződnek. Közel párhuzamos erők esetén is így szerkeszthetünk eredőt. Térbeli erőrendszerek Elemei: a térbeli F i erők és a térbeli Mj koncentrált nyomatékvektorok. Az erőrendszert redukálva egy tetszőleges pontba kapjuk a [F;MA]A redukált vektorkettőst (statikai vektorkettőst), amely statikai szempontból helyettesíti az erőrendszert.

3. hét/ 1

STATIKA



Két vektorrendszer statikailag egyenértékű, ha •

eredőik megegyeznek, és

•

nyomatékaik bármely pontra egyenlőek.

Öszefüggés egy erőrendszer két különböző pontra számított nyomatékai között: Ha ismert az F eredő erő és az A-pontbeli MA nyomaték, akkor a B pontra MB = MA + rBA × F = MA + F × rAB Egy erőrendszer egyensúlyi, ha az •

eredője nulla és ha a

•

nyomatéka bármely pontra nulla.

A koncentrált erőrendszerek osztályai a statikai vektorkettős alapján 1. Ha F = 0 és MA = 0 , akkor az erőrendszer egyensúlyi. 2. Ha F = 0 és MA ≠ 0 , akkor az erőrendszer egy erőpárral egyenértékű. 3. Ha F ≠ 0 és MA ≠ 0, de F.MA = 0 , akkor az erőrendszer egyetlen erővel egyenértékű, amely a centrális egyenesen van. A centrális egyenesnek az A ponthoz legközelebb eső G pontjába mutató helyvektor rAG =

1 (F ´ M A ) F2

A centrális egyenes pontjaiban az erőrendszer nyomatéka nulla! 4. Ha F ≠ 0 és MA ≠ 0 és F.MA ≠ 0 , akkor az erőrendszer egy erőcsavarral egyenértékű, amely a centrális egyenesen (csavar-tengelyen) helyezkedik el. A centrális egyenesnek az A ponthoz legközelebb eső G pontjába mutató helyvektor rAG =

1 (F ´ M A ) F2

Az erőcsavar két vektorból áll: F és MG, ezek egymással párhuzamosak. A centrális egyenes bármely pontjára az erőrendszer nyomatéka MG állandó! A centrális egyenes pontjaiban számított [F;MG]G vektorkettős az erőrendszer legegyszerűbb eredője.

3. hét/ 2


STATIKA


PÉLDÁK P3.1 Redukáljuk a három síkbeli erőből álló erőrendszert az A pontba! Számítsuk ki az erőrendszer nyomatékát az E pontra! Hol van az eredő vektor? y F2

Adatok: F1= 1000 N, F2= 400 N, F3 = 800 N. D

E

0,5 m

Megoldás:

F1

Az eredő erő F = F1 + F2 + F3 = 466 i + 1300 j N.

A

A nyomaték az A pontra: MA = MAz k,

F3

ahol MAz a z tengelyre számított nyomaték:

B

x

1m

y

Centrális egyenes

1m

MAz = 400 × 0,5 + 500 × 1= 700 Nm.

D

Az A-pontbeli redukált vektorkettős

F

A MAz

E

F

0,5 m

466 i + 1300 j N és 700 k Nm.

30°

B

T xT

Az E ponton átmenő, z-vel párhuzamos tengelyre számított nyomatéka a három erőnek: MEz= 867 × 0,5 - 800 × 1= - 367 Nm, ME = - 367 k Nm. Másképpen, a redukált vektorkettőssel számolva: ME = MA + F × rAE = (700 + 467× 0,5 – 1300 ×1) k = - 367 k Nm. Az erőrendszer eredője a centrális egyenesen van, ami párhuzamos az F –al. Az x-engelyt metsző pontja legyen T, az xT távolság pedig az egyenértékűségből: Fy × xT = MAz, amiből xT = 700/1300= 0,5385 m. P3.2 Redukáljuk a három síkbeli erőből és az M0 nyomatékú erőpárból álló erőrendszert a C pontba! Határozzuk meg az eredő vektor helyzetét! y F1

Megoldás:

C

D

Adatok: F1= 2000 N, F2= 3000 N, F3= 1000 N, M0= 1500 Nm.

M0

2m

F2y /F2x =2, és F2x + F 2

2 2y

=3000, ezekből F2x = 1341,6 N, F2

F2y =2683,3 N. Az eredő erő F = F1 + F2 + F3 = 3341,6 i + 3683,3 j N. A nyomaték a C pontra: MC = -1500 k Nm, mivel csak az M0 ad nyomatékot. 3. hét/ 3

A

B 1m

x F3

STATIKA



F y

A centrális egyenes a T pontban metszi a

T

D

DC egyenest, a helyzetét meghatározó

C MC

LTC

távolság LTC = |MCz |/Fy =1500/3683,3= 0,407 m.

2m

A

B 1m

x

P3.3 Számítsuk ki az adott erőrendszer eredőjét, továbbá nyomatékát az adott A és H pontokra, valamint az A és H pontokon átmenő tengelyekre! Helyettesíthető-e az erőrendszer egyetlen erővel? Adatok: F1= 1 kN, F2= 3 kN, F3= - 2 i + 3 j – k kN. Megoldás: Az eredő erő z

F = F1 + F2 + F3 = - 5 i + 2 j – k kN.

H

A nyomaték az A pontra:

G

MA = rAO × F1 + rAE × F2+ rAD × F3 = - 9 i - 15 j + 7 k kNm. D

E F3

A nyomaték a H pontra:

F2

3m

MH = rHO × F1 + rHG × F2+ rHD × F3 = - 3 i + j + 9 k kNm. Az AH irány egységvektora:

a0

a0 = rAH / | rAH | = (- i + 3 k) / Ö10.

O

C

A

A nyomaték az AH tengelyre:

x

F1

y

1m 2m

B

MAH = MA . a0= (9 + 21) / Ö10 = 9,49 kNm. Végül az F nem 0 , továbbá az F és MA skalárszorzata F. MA= 45 – 30 –7 = 8, tehát az erőrendszer nem helyettesíthető egy erővel, hanem egy erőcsavarral egyenértékű. Megjegyzések: Teljesülnie kell az MH = MA + F × rAH összefüggésnek is, ellenőrizzük ezt! Az AH tengelyre a nyomatékot az MAH =

MH . a0 összefüggéssel is számíthatjuk, ezt is végezzük el

ellenőrzés és gyakorlás céljából!

3. hét/ 4


STATIKA


P3.4 Számítsuk ki az adott erőrendszer nyomatékát az A pontra és az A ponton átmenő, zvel párhuzamos tengelyre! Állapítsuk meg hogy helyettesíthető-e az erőrendszer egyetlen erővel!

z

M2

F5

Adatok: F3= 4 kN, F4= 2 kN, F5 = 3 kN,

B

C

M1= 2 kNm, M 2= 1 kNm. Megoldás: Az eredő erő F = F3 + F4 + F5 = 3 i + 4 j + 2 k kN.

2m

A nyomaték az A pontra: MA = rAD × F4 + rAC × F5+ M1 + M2 =

F4

A F3 1m

O

=- 4 i + 4 j + 4 k kNm. A tengely egységvektora k, nyomaték a tengelyrex

D 1m

y

M1

MA = MA . k = 4 kNm. Az erőrendszer nem helyettesíthető egyetlen erővel, mert bár F nem 0, az eredő nem merőleges a nyomatékra az A pontban, mert F. MA= 12 .

FELADATOK F3.1 Redukálja az adott síkbeli erőrendszert a D pontba! Keresse meg az eredő erő helyét! F2

Adatok: F1= 2000 N, F2= 1000 N, F3= 800 N, M0= 1,5 kNm

D

C

2m F3

A

3m F1

(eredmények: F = - 932 i - -2000 j N, Md= -6364 Nm, a centrális egyenes a DC egyenest a C ponttól jobbra, 0,182 m távolságra metszi)

3. hét/ 5

B 30°

M0

STATIKA



F3.2 Határozza meg az adott síkbeli erőrendszer centrális egyenesének a helyét! Írja fel a centrális egyenes irányát kijelölő egységvektort! Adatok: F1= 400 N, F2= 600 N, M0= 1100 Nm.

C

F3= 700 N,

F3

3m

(eredmény: a centrális egyenes az AB egyenest az A ponttól balra, 0,5 m távolságra metszi, egységvektora 0,2425 i + 0,9701 j)

A

2m

B

F2

M0 F1

F3.3 A vázolt hasábra két erőrendszer hat (külön-külön rajzoltuk meg). Állapítsa meg, hogy egyenértékű-e a két erőrendszer! (eredmény: nem)

300 N

100 N

150 N 150 N

A

1m

1,5 m

0,5 m

1 sz. erőrendszer

F3.4

1,5 m

1m 100 N

0,5 m

2 sz. erőrendszer

Vizsgálja meg, hogy a fenti 1 sz. erőrendszer egyenértékű-e egy erőcsavarral!

Redukálja az erőrendszert az A pontba! (eredmények: nem, F=0, MA = 150 k Nm)

3. hét/ 6

STATIKA



F3.5 Számítsa ki az adott erőrendszer nyomatékát a C és a D pontra! Határozza meg a C pontbeli eredő vektorkettőst!

z

Helyettesíthető-e az erőrendszer egyetlen erővel? Számítsa ki az erőrendszer nyomatékát a

C

M0

D és E pontokon átmenő tengelyre!

Adatok: F1 = 1 kN,

F2 = 2 i - 3 j - k kN,

E

1,5 m

M0 = - i + 3 j kNm.

D

O F1 x

y

1m A

1m

B F2

(eredmények: MC = - 5 i - 2 k kNm, MD = - i + 4 j - 2 k kNm, nem helyettesíthető egy erővel, MDE = - 3,883 kNm)

A témakörök részletesebb bemutatását, valamint további kapcsolódó példákat és feladatokat az Elterné: Statika Példatár, Műegyetemi Kiadó (45040) című egyetemi jegyzet 2.2 és 2.3.2 fejezeteiben találhatjuk meg.

3. hét/ 7

az eredő átmegy a közös ponton

Recommend Documents