El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
N´eh´any hasonl´o t´etel.
´ ltala ´ nos (univerza ´ lis) algebra Az a ´ kialakulasa, ´ ha ´ ny eredme ´nye. ne
A csoportelm´eleti homorfiat´etel. Legyen G , H k´et csoport, ϕ : G → H pedig sz¨ urjekt´ıv homomorfizmus. Van olyan N / G norm´aloszt´ o, hogy H∼ = G /H.
Klukovits Lajos
A gy˝ur˝uelm´eleti homorfiat´etel. TTIK Bolyai Int´ ezet
Legyen R, S k´et gy˝ ur˝ u, ϕ : R → S pedig sz¨ urjekt´ıv homomorfizmus. Van olyan I / R ide´al, hogy
2013. m´ajus 8. S∼ = R/I .
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
N´eh´any hasonl´o t´etel.
N´eh´any hasonl´o t´etel.
A csoportelm´eleti 1. izomorfiat´etel.
A csoportelm´eleti 2. izomorfiat´etel.
Legyen G csoport, B r´eszcsoportja G -nek, N / G . Ekkor BN r´eszcsoport G -ben, B ∩ N / B, tov´abb´a
Legyen G csoport, H ⊆ G r´eszcsoport ´es N / G olyan norm´aloszt´ o, hogy N ⊆ H. H/N / G /N pontosan akkor teljes¨ ul, ha H / G , ´es ekkor (G /N)/(H/N) ∼ = G /H.
BN/N ∼ = B/B ∩ N,
A gy˝ur˝uelm´eleti 1. izomorfiat´etel.
A gy˝ur˝uelm´eleti 2. izomorfiat´etel.
Legyen R gy˝ ur˝ u, S r´eszgy˝ ur˝ uje R-nek, I / R. Ekkor R + I r´eszgy˝ ur˝ u R-ben, S ∩ I / S, tov´abb´a
Legyen R gy˝ ur˝ u, S ⊆ R r´eszgy˝ ur˝ u ´es I / R olyan ide´al, hogy I ⊆ S. S/I / R/I pontosan akkor teljes¨ ul, ha S / R, ´es ekkor
(S + I )/I ∼ = S/(S ∩ I ),
(R/I )/(S/I ) ∼ = R/S.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Egy term´eszetes f¨olvet´es.
Keress¨unk k¨oz¨os tulajdons´agokat. • Minden oszt´ alyoz´as egy´ertelm˝ uen meghat´aroz egy ekvivalencia
rel´aci´ ot.
¨ zo ¨ s tulajdonsa ´ ga a Mi lehet az a ko ´ loszto ´ ja ´ nak e ´s a gyu ˝ ru ˝ csoport norma ´ lja ´ nak? idea Mit vehet¨unk ´eszre? 1. Mindkett˝o speci´alis tulajdons´ag´ u r´eszcsoport, ill. r´eszgy˝ ur˝ u, ´es 2. mindkett˝o seg´ıts´eg´evel oszt´alyoz´as defini´alhat´ o a strukt´ ur´ak alaphalmazain. 3. S˝ot, ezen oszt´alyoz´asok kompatibilisek a m˝ uveletekkel, ami a faktorcsoport, ill. a faktorgy˝ ur˝ u fogalm´anak bevezet´es´ehez vezetett.
• Mit jelent az oszt´ alyoz´as kompatibilis volta a hozz´a tartoz´ o
rel´aci´ ora? • Ha te a G csoport N / G norm´ aloszt´ oj´ahoz, vagy az R gy˝ ur˝ u
I / R ide´alj´ahoz tartoz´ o ekvivalenvcia-rel´aci´ o, akkor az oszt´alyoz´asok kompatibilit´asa azt jelenti, hogy 1. tetsz˝ oleges a1 , a2 , b1 , b2 ∈ G elemekre a1 ϑb1 ´es a2 ϑb2 ⇒ (a1 a2 )ϑ(b1 b2 ) 2. illetve tetsz˝ oleges a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R elemekre a1 ϑb1 ´es a2 ϑb2 ⇒ (a1 ◦ a2 )ϑ(b1 ◦ b2 ) ahol ◦ ∈ {+, ·}. • Eml´ ekezz¨ unk a sz´amelm´eleti kongruenci´ara.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 1.
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 2.
Defin´ıci´ o. Legyen g csoport (R gy˝ ur˝ u) ´es ϑ ekvivalencia-rel´aci´ o a G (az R) halmazon. Azt mondjuk, hogy ϑ kongruencia-rel´aci´ oja a G csoportnak (az R gy˝ ur˝ unek), ha kompatibilis a G csoport, ill. az R gy˝ ur˝ u m˝ uvelet´evel, ill. m˝ uveleteivel.
Megjegyz´ es. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az ismert modulo n kongruenci´ak kongruencia rel´aci´oi az eg´esz sz´amok Z gy˝ ur˝ uj´enek.
M´eg egy defin´ıci´o. • Defin´ıci´ o. Legyen A, B k´et halmaz, η : A → B tetsz˝ oleges
lek´epez´es. A ker η = {(a, a0 ) ∈ A × A : aη = a0 η} rel´aci´ ot a az η lek´epez´es magj´anak nevezz¨ uk. • Egyszer˝ uen l´athat´o, hogy a ker η ekvivelencia-rel´aci´ o A-n.
N´eh´any egyszer˝u t´etel. 1. Csoportok, gy˝ ur˝ uk eset´en a homorfizmusok magja kongruencia-rel´aci´ o. 2. Csoportok, gy˝ ur˝ uk eset´en a kongruencia-rel´aci´ okhoz tartoz´ o oszt´alyoz´asok kompatibilis oszt´alyoz´asok. 3. Ha ϑ valamely G csoport (R gy˝ ur˝ u) kongruencia-rel´aci´ oja, akkor a ϑ-hoz tartoz´ o oszt´alyoz´asnak pontosan egy olyan oszt´alya van, amely r´eszcsoport (r´eszgy˝ ur˝ u). 4. Az el˝ obbi r´eszcsoport (r´eszgy˝ ur˝ u) norm´aloszt´ o (ide´al), ´es a ϑ oszt´alyok ezen norm´aloszt´ o (ide´al) szerinti mell´ekoszt´alyok.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 3: a klasszikus t´etelek ´atfogalmaz´asa. A kiindul´o l´ep´es. A homorfia- ´es az izomorfia-t´etelekben a norm´aloszt´ o (ide´al) helyett kongruencia-rel´aci´ot, a r´eszcsoport (r´eszgy˝ ur˝ u) helyett ekvivalencia-rel´aci´ot tekint¨ unk. Con(G ), ill. Con(R) jel¨ oli a G csoport, ill. az R gy˝ ur˝ u ¨osszes kongruencia-rel´aci´ oi halmaz´at.
Homorfiat´etelek.
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 3: a klasszikus t´etelek ´atfogalmaz´asa. 1. izomorfiat´etel. • Legyen G csoport, B ⊆ G r´ eszcsoport, ϑ ∈ Con(G ), tov´abb´a
hBi = {a ∈ G |∃b ∈ B, aϑb} Ekkor hBi/(ϑ hBi) ∼ = B/( B).
• Legyen G , H k´ et csoport, ϕ : G → H pedig sz¨ urjekt´ıv
homomorfizmus. Van olyan ϑ ∈ Con(G ), hogy
• Legyen R gy˝ ur˝ u, S ⊆ R r´eszgy˝ ur˝ u, ϑ ∈ Con(R), tov´abb´a
H∼ = G /ϑ. • Legyen R, S k´ et gy˝ ur˝ u, ϕ : R → S pedig sz¨ urjekt´ıv
homomorfizmus. Van olyan ϑ ∈ Con(R), hogy
hSi = {a ∈ R|∃b ∈ S, aϑb} Ekkor hSi/(ϑ hSi) ∼ = S/(ϑ S).
S∼ = R/ϑ.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 3: a klasszikus t´etelek ´atfogalmaz´asa.
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as 3: a klasszikus t´etelek ´atfogalmaz´asa. 2. izomorfiat´etel.
2. izomorfiat´etel. Legyen G csoport, α ∈ Con(G ), β ⊇ α ekvivalencia-rel´aci´ oaG halmazon. Jel¨olje β/α a k¨ ovetkez˝ o rel´aci´ ot a G /α faktorhalmazon (a, b) ∈ β/α ⇔ (a, b) ∈ β β/α pontosan akkor kongruenci´aja az G /α faktorcsoportnak, ha β ∈ Con(G ). Valah´anyszor ez teljes¨ ul, mindannyiszor
Legyen R gy˝ ur˝ u, α ∈ Con(R), β ⊇ α ekvivalencia-rel´aci´ o az R halmazon. Jel¨ olje β/α a k¨ ovetkez˝ o rel´aci´ ot az R/α faktorhalmazon (a, b) ∈ β/α ⇔ (a, b) ∈ β β/α pontosan akkor kongruenci´aja az R/α faktorgy˝ ur˝ unek, ha β ∈ Con(R). Valah´anyszor ez teljes¨ ul, mindannyiszor (R/α)/(β/α) ∼ = R/β
(G /α)/(β/α) ∼ = G /β
Megjegyz´ es. Vegy¨ uk ´eszre, hogy mindh´arom t´etelp´ar l´enyeg´eben ugyanazon egyetlen t´etel, csak...
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Egy tov´abbi k¨oz¨os gy¨oker˝u fogalom.
Egy tov´abbi k¨oz¨os gy¨oker˝u fogalom. Csoportok direkt szorzata kongruenci´akkal.
Csoportok direkt szorzata klasszikusan.
Legyen G csoport, α1 , . . . , αk ∈ Con(G ).
Legyen G csoport, N1 , . . . , Nk / G . G∼ = G /N1 × . . . × G /Nk pontosan akkor teljes¨ ul, ha • [N1 ∪ . . . ∪ Nk ] = G , • minden 1 ≤ i ≤ k-ra
Ni ∩ [N1 ∪ . . . ∪ Ni−1 ∪ Ni+1 ∪ . . . ∪ Nk ] = {1}.
G∼ = G /α1 × . . . × G /αk pontosan akkor teljes¨ ul, ha minden 1 ≤ i, j ≤ k-ra k k W S • αi = ι, αi = i=1
i=1
•
αi ∩ [α1 ∪ . . . ∪ αi−1 ∪ αi+1 ∪ . . . ∪ αk ] = ω, ahol ι, ω a teljes- ill. az egyenl˝ os´eg-rel´aci´ ot jel¨ oli.
A v´eges Abel-csoportok alapt´etele. Minden v´eges Abel-csoport pr´ımhatv´anyrend˝ u ciklikus csoportok (direkt f¨ olbonthatatlan csoportok) direkt szorzat´ara bonthat´ o.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Egy tov´abbi k¨oz¨os gy¨oker˝u fogalom.
Egy tov´abbi k¨oz¨os gy¨oker˝u fogalom. Gy˝ur˝uk direkt szorzata.
Gy˝ur˝uk direkt szorzata. • K´ erd´es: lehet-e a v´eges Abel-csoportok alapt´etel´ehez hasonl´ o
t´etelt igazolni gy˝ ur˝ ukre? Esetleg valamilyen j´ o tulajdons´ag´ u” ” gy˝ ur˝ uoszt´alyra? • Igaz-e, hogy minden gy˝ ur˝ u direkt f¨ olbonthatatlan gy˝ ur˝ uk
direkt szorzat´ara bonthat´ o. • A v´ alasz t¨obb okn´al fogva NEM (csoportokra is ez a v´alasz),
nem teljes¨ ul a sz´amelm´elet alapt´etel´ehez hasonl´ o ´all´ıt´as.
1. K´et lehet˝ os´eg van: ´ anos´ıtjuk a direkt szorzat fogalm´at (erre a csoportok 1.1 Altal´ eset´en is sz¨ uks´eg van). 1.2 Speci´alis gy˝ ur˝ uoszt´alyokat tekint¨ unk, ´es tov´abbi f¨ olt´eteleket t´amasztunk.
2. Az 1. esettel k´es˝ obb foglalkozunk. 3. A 2. esetben a k¨ ovetkez˝ ot tessz¨ uk. ¨ 3.1 Osszegy˝ ujtj¨ uk egy adott oszt´alyban a rossz” gy˝ ur˝ uket, ” pontosabban a rossz” gy˝ ur˝ ur´eszeket, amelyekre nem igaz a ” k´ıv´ant strukt´ urat´etel, amelyek azt elrontan´ak”. ” 3.2 Ezek — ha bizonyos tov´abbi f¨ olt´etelek teljes¨ ulnek — az u ´n. radik´ aloszt´ alyok.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Egy tov´abbi k¨oz¨os gy¨oker˝u fogalom.
Gy˝ur˝uk.
Gy˝ur˝uk direkt szorzata. • Defin´ıci´ o. Legyen R gy˝ ur˝ u, ´es I ide´alja. Az
{r ∈ R | ∃k ∈ N, hogy r k ∈ I } =
√ I
ide´al az I ide´al radik´alja, vagy nil-radik´alja. • Defin´ıci´ o. Legyen R egys´egelemes gy˝ ur˝ u. A
Egy strukt´urat´etel. Wedderburn-Artin t´etel. Legyen R gys´egelemes Artin-gy˝ ur˝ u. Az R/J(R) faktorgy˝ ur˝ u v´eges sok ferdetest f¨ ol¨ otti teljes m´atrixgy˝ ur˝ u direkt szorzat´ara bonthat´ o.
J(R){a ∈ R | 1 − a invert´alhat´ o} ide´alt R Jacobson-radik´alj´anak nevezz¨ uk. • Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy R Artin-gy˝ ur˝ u, ha balide´aljai
b´armely nem¨ ures halmaz´aban van minim´alis elem.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as: Garett BIRKHOFF (1911-96) univerz´alis algebra” ”
K¨oz¨os ´altal´anos´ıt´as: Garett BIRKHOFF (1911-96) univerz´alis algebra” ”
1. Defin´ıci´ o. Legyen A nem¨ ures halmaz ´es n ∈ N0 . Az f : An → A lek´epez´eseket A-n ´ertelmezett n-´er m˝ uveletnek nevezz¨ uk. Az A = (A, F ) p´art, ahol F az A-n ´ertelmezett m˝ uveletek egy halmaz, pedig algebr´anak. Az im´ent defini´alt algebr´ak r´eszalgebr´ait ugyan´ ugy defini´aljuk, mint vektorterek eset´en az alt´er, csoportok eset´en a r´eszcsoport,gy˝ ur˝ uk r´eszgy˝ ur˝ ui fogalm´at.
2. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (A, F ) ´es a (B, G ) algebr´ak hasonl´ ok, ha van olyan λ : F → G bijekt´ıv lek´epez´es, amely meg˝ orzi az arit´ast, azaz n v´altoz´os m˝ uveletet n v´altoz´ osba visz.
Megjegyz´ es. Kor´abban, megk¨ ul¨onb¨oztet˝ o jelz˝ ok´ent haszn´alt´ak az univerz´alis algebra kifejez´est is.
3. Defin´ıci´ o. Legyenek (A, F ) ´es (B, G ) hasonl´ o algebr´ak. Azt mondjuk, hogy a ϕ : A → B lek´epez´es homomorfizmus, ha tetsz˝ oleges f ∈ F ´es a1 , . . . , an ∈ A-ra (f (a1 , . . . , an ))ϕ = (f λ)(a1 ϕ, . . . , an λ). Megjegyz´ es. A tov´abbiakban az f ´es az f λ m˝ uveleteket ugyanazzal a jellel jel¨ olj¨ uk. L´enyeg´eben nem m˝ uveletnek, hanem m˝ uvelet szimb´ olumnak” tekintj¨ uk, hasonl´ oan pl.a +” jelhez. ” ”
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Univerz´alis algebra.
Univerz´alis algebra. 5. Defin´ıci´ o.
4. Defin´ıci´ o. Legyenek A1 , . . . , Ak hasonl´ o algebr´ak, m˝ uvelethalmazukat jel¨ olje F . Tetsz˝oleges n-´er f ∈ F ´es (ai1 , . . . , aik ) ∈ A1 × . . . × Ak -ra (1 ≤ i ≤ n), legyen
Legyen A = (A, F ) algebra. Az A-n defini´alt ϑ ekvivalenciarel´aci´ o kongruencia, ha tetsz˝ oleges f ∈ F ´es a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ A-re ai ϑbi , 1 ≤ i ≤ n maga ut´an vonja, hogy f (a1 , . . . , an )ϑf (b1 , . . . , bn ).
f ((a11 , . . . , a1k ), . . . , (an1 , . . . , ank )) = (f (a11 , . . . , an1 ), . . . , f (a1k , . . . , ank )). A kapott A = (A, F ) algebr´at az A1 , . . . , Ak algebr´ak direkt szorzat´anak nevezz¨ uk, ´es haszn´aljuk az A = A1 × . . . × Ak jel¨ol´est.
Az A algebra ¨ osszes kongruenci´ainak halmaz´at Con(A) fogja jel¨ olni.
Megjegyz´ es. Megmutathat´ o, hogy az eg´esz sz´amok gy˝ ur˝ uj´enek, a (Z; +, ·) algebr´anak, kongruenci´ai a j´ ol ismert sz´amelm´eleti — modulo n — kongruenci´ak. Ez szolg´al modell¨ ul a k¨ ovetkez˝ o ´altal´anos fogalomhoz is.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Univerz´alis algebra.
Univerz´alis algebra. Algebr´ak 1. izomorfiat´etele.
6. Defin´ıci´ o.
Legyen A csoport, B ⊆ A r´eszalgebra, ϑ ∈ Con(A), tov´abb´a
Legyen A = (A, F ) algebra ´es ϑ ∈ Con(A). Az A/ϑ faktorhalmazon defini´alhatjuk az F -beli m˝ uveleteket: ha f ∈ F , ´es a1 , . . . , an ∈ A/ϑ, akkor legyen f (a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ).
hBi = {a ∈ A|∃b ∈ B, aϑb} Ekkor hBi/(ϑ hBi) ∼ = B/(ϑ B).
A kapott A/ϑ algebra hasonl´ o A-hoz.
Algebr´ak 2. izomorfiat´etele.
Algebr´ak homorfiat´etele.
Legyen A algebra, α ∈ Con(A), β ⊇ α ekvivalencia-rel´aci´ o az A halmazon. Jel¨ olje β/α a k¨ ovetkez˝ o rel´aci´ ot az A/α faktorhalmazon: (a, b) ∈ β/α ⇔ (a, b) ∈ β. Az β/α rel´aci´ o pontosan akkor kongruenci´aja az A/α faktoralgebr´anak, ha β ∈ Con(A). Valah´anyszor ez teljes¨ ul:
Legyenek (A, F ), (B, F ) hasonl´ o algebr´ak, Ha B az A homomorf k´epe, akkor van olyan ϑ kongruenci´aja A-nak, hogy A/ϑ ∼ = B.
(A/α)/(β/α) ∼ = A/β
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Univerz´alis algebra.
Univerz´alis algebra. Algebr´ak direkt f¨olbont´asa 2.
Algebr´ak direkt f¨olbont´asa 1. Ha egy A algebr´ara A ∼ = A1 × A2 × · · · Ak , akkor l´eteznek olyan τ1 , τ2 , . . . , τk ∈ Con(A) kongruenci´ak, hogy ∼ Ai , 1 ≤ i ≤ k, • A/τi = •
Ha az A algebr´anak l´eteznek olyan τ1 , τ2 , . . . , τk kongruenci´ai amelyekre teljes¨ ul, hogy k W • τi = ι, i=1 W • τi ∧ ( τj ) = ω, 1 ≤ i ≤ k, i6=j
k W
τi = ι, i=1 W • τi ∧ ( τj ) = ω, 1 ≤ i ≤ k,
W
• τi ´ es
akkor A∼ = A/τ1 × · · · × A/τk .
i6=j
• τi ´ es
W
τj a szorz´asn´al f¨ olcser´elhet˝ ok minden 1 ≤ i ≤ k-ra,
i6=j
τj a szorz´asn´al f¨ olcser´elhet˝ ok minden 1 ≤ i ≤ k-ra.
i6=j
1. T´ etel. Minden v´ eges algebra izomorf direkt f¨ olbonthatatlan algebr´ak direkt szorzat´aval.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Univerz´alis algebra: algebr´ak szorzatra bont´asa.
Univerz´alis algebra: algebr´ak szorzatra bont´asa.
Megjegyz´ es. L´etezik olyan v´egtelen algebra, amely nem bonthat´ o direkt f¨olbonthatatlan algebr´ak direkt szorzat´ara.
K´erd´es. Lehet-e a direkt szorzat fogalm´at u ´gy ´altal´anos´ıtani, hogy minden algebra f¨olbonthat´o ezen szorzatra n´ezve irreducibilis algebr´ak (ilyen) szorzat´ara?
G. Birkhoff 1933. Defin´ıci´ o. Az A algebra az (Ai |i ∈ I ) hasonl´ o algebr´ak egy szubdirekt szorzata, ha Q 1. A r´eszalgebr´aja (Ai |i ∈ I )-nek, 2. πi (A) = Ai minden i ∈ I -re, ahol πi az i–edik projekci´ o.
G. Birkhoff t´etele, 1944 Minden algebra szubdirekt irreducibilis algebr´ak szubdirekt szorzat´ara bonthat´ o.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Az algebra ´es a logika kapcsolata.
Az algebra ´es a logika kapcsolata.
Hasonl´os´agi oszt´alyok. Defin´ıci´ o. Az olyan algebra-oszt´alyokat, amelyek hasonl´ o algebr´akb´ol ´allnak hasonl´os´agi oszt´alyoknak nevezz¨ uk.
Hozz´arendelt els˝orend˝u nyelv. Minden hasonl´os´agi oszt´alyhoz hozz´arendelhet˝ o egy olyan els˝orend˝ u nyelv, amelynek f¨ uggv´enyjelei ´epp az adott hasonl´ os´agi oszt´aly m˝ uvelet szimb´olumai.
Azonoss´ag Tekints¨ uk hasonl´o algebr´ak egy A oszt´aly´at ´es jel¨ olje L a hozz´a tartoz´o els˝orend˝ u nyelvet. Az f =g
Azt mondjuk, hogy az f = g azonoss´ag teljes¨ ul az A ∈ A algebr´an, jel¨ ol´ese A |= {f = g }, ha b´armely a1 , a2 , . . . ∈ A elemekre f (a1 , a2 , . . .) = g (a1 , a2 , . . .).
Defin´ıci´ o. Hasonl´ o algebr´ak egy V oszt´aly´at variet´asnak nevez¨ unk, ha azonoss´agok egy halmaz´aval defini´alhat´ o. M´ask´eppen mondva: Legyen A hasonl´ o algebr´ak egy oszt´alya. Valamely V ⊆ A oszt´alyt variet´asnak nevez¨ unk, ha l´etezik azonoss´agok egy olyan Σ halmaza, hogy V pontosan azon algebr´akb´ ol ´all, amelyeken teljes¨ ul valamennyi Σ-beli azonoss´ag.
jelsorozatot, ahol f , g a L nyelv kifejez´esei (termek), azonoss´agnak nevezz¨ uk.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Birkhoff t´etele 1936.
Egy u´jabb klasszikus strukt´ura”. ” H´al´ok. • Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az L = (L; ∨, ∧) algebra h´al´ o,
Hasonl´o algebr´ak egy V oszt´alya pontosan akkor defini´alhat´ o azonoss´agok egy halmaz´aval, azaz alkot variet´ast, ha z´art a homomorf k´epek, a r´eszalgebr´ak ´es a direkt szorzatok k´epz´es´ere.
Megjegyz´ es. Ezen eredm´eny kiindul´opontja az u ´n. meg˝ orz´esi t´etelek kutat´as´anak..
ha mindk´et m˝ uvelet asszociat´ıv, kommutat´ıv tov´abb´a teljes¨ ulnek a k¨ ovetkez˝ o azonoss´agok: x ∧ x = x ∨ x = x mindk´et m˝ uvelet idempotens x ∧ (x ∨ y ) = x ∨ (x ∧ y ) = x mindk´et m˝ uvelet abszorpt´ıv • Az L h´ al´ o disztribut´ıv h´al´ o, ha mindk´et m˝ uvelet disztribut´ıv a
m´asikra. • Megjegyz´ es. Igazolhat´ o, hogy a k´et disztribut´ıv azonoss´ag
mindegyike k¨ ovetkezik a m´asikb´ ol.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
K´ıs´er˝o strukt´ur´ak.
K´ıs´er˝o strukt´ur´ak.
Automorfizmusok. Egyszer˝ uen l´athat´o, hogy egy adott A algebra automorfizmusai csoportot alkotnak, az algebra automorfizmuscsoportja, jel¨ ol´ese: Aut(A).
K´erd´esek. • Milyen k¨ oz¨os tulajdons´agai vannak az
automorfizmuscsoportoknak. • Mely csoportokhoz l´ etezik olyan algebra, amelynek
automorfizmuscsoportja izomorf az adott csoporttal. • Adott csoporttulajdons´ ag eset´en tudunk-e mondani valamit
R´eszalgebr´ak. Igazolhat´ o, hogy egy A algebra ¨ osszes r´eszalgebr´ai h´al´ ot alkotnak. R´eszalgebrah´al´ o: Sub(A).
Kongruenciah´al´ok. Egy adott A algebra kongruencia-rel´aci´ oi h´al´ ot alkotnak. Kongruenciah´al´ o: Con(A)
K´erd´esek. Az el˝ obbivel anal´ og k´erd´esek tehet˝ ok f¨ ol mindk´et esetben.
azon algebr´akr´ol, amelynek automorfizmuscsoportja izomorf az adott csoporttal.
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Variet´asok Malcev-t´ıpus´u jellemz´esei 1.
Variet´asok Malcev-t´ıpus´u jellemz´esei 2.
A kezdet. 1. A.I. Malcev t´ etele. (1954) A V varit´asban pontosan akkor teljes¨ ul, hogy b´armely k´et algebra b´armely k´et kongruenci´aja a szorz´asn´al f¨olcser´elhet˝o, ha l´etezik e variet´as nyelv´eben olyan µ kifejez´es, hogy a µ(x, y , y ) = µ(y , y , x) = x azonoss´ag V minden algebr´aj´an teljes¨ ul. 2. A. F. Pixley (1963). A V variet´asban pontosan akkor teljes¨ ul, hogy minden algebra kongruenciah´al´ oja disztribut´ıv ´es b´armely k´et kongruencia a szorz´asn´al f¨ olcser´elhet˝ o, ha l´etezik a variet´asban olyan ν kifejez´es, amelyre teljes¨ ul a ν(x, y , x) = ν(x, y , y ) = ν(y , y , x) = x azonoss´ag.
H´al´ok kongruenciah´al´oi. B. J´ onsson (1967). A V variet´asban pontosan akkor teljes¨ ul, hogy minden algebra kongruenciah´al´ oja disztribut´ıv, ha l´etezik olyan n ∈ N ´es p0 , p1 , . . . , pn kifejez´esek, amelyekre teljes¨ ulnek az al´abbi azonoss´agok. pi (x, y , x) = x,
ha 0 ≤ i ≤ n
p0 (x, y , z) = x,
pn (x, y , z) = z
pi (x, x, y ) = pi+1 (x, x, y ),
ha i p´aros
pi (x, y , y ) = pi+1 (x, y , y ),
ha i p´aratlan
El˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy jellemz´ eseEl˝ ozm´ enyek Direkt szorzat. Ismert t´ etelek k¨ oz¨ os ´ altal´ anos´ıt´ asa Azonoss´ agokkal defini´ alhat´ o oszt´ alyok K´ıs´ er˝ o strukt´ ur´ ak. Variet´ asok egy
Variet´asok Malcev-t´ıpus´u jellemz´esei 3. Egy ´altal´anos´ıt´as. T´ etel. (K.L. 1975.) A V variet´asban pontosan akkor teljes¨ ul, hogy minden algebra b´armely r´eszalgebr´aja egy alkalmas kongruencia oszt´alya, ha minden f n-´er kifejez´ehez van olyan kf h´aromv´altoz´os kifejez´es, hogy f (x1 , . . . , xn ) = kf (x0 , x1 , f (x0 , x2 , . . . , xn )) azonoss´ag minden V-beli algebr´an.
Megjegyz´ es. Malcev ´es J´onsonn t´etel´eben a kifejez´esekre egzisztenci´alis kvantor vonatkozott csak, de az ut´ obbi t´etelben m´ar univerz´alis is.
Tov´abbi, Szegedhez k¨othet˝o jellemz´esek.
Teljess´ egi k´ erd´ esek. (A klasszikus Lagrange-t´etel ´altal´anos´ıt´asai.) • Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az A = (A, F ) v´eges algebra
prim´al (f¨ uggv´eny-teljes), ha minden f : An → A lek´epez´es (A-n defini´alt n-v´altoz´ os f¨ uggv´eny) kifejez´esf¨ uggv´eny (polinom). ´ • Cs´ ak´ any B., Szendrei Agnes, Szab´ o L. eredm´enyei (a 80-as ´evek) szerint e k´erd´esk¨ or szoros kapcsolatban van az algebra automorfizmusai csoportj´aval: annak er˝ osen” tranzit´ıvnak ´es ” el´eg nagynak” kell lennie. ”
