Szakdolgozat Fejezetek az algebra történetéb®l Egyenletek megoldása Galois el®tt Készítette: Dávid Bettina Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika BSc Elemz® szakirány
Témavezet®: Ágoston István Egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Algebra és Számelmélet Tanszék
Budapest 2009
Tartalomjegyzék
1. Bevezet®
3
2. Ókor
5
2.1.
Babiloni számírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.
Babiloni algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.
Az egyiptomi Rhind papirusz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.
Óegyiptomi algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5.
Görög újítások
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6.
Görög számírás
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7.
Geometriai algebra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Középkor
10
13
3.1.
Kínai matematika és számírás
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.
Matematika kilenc könyvben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.
A kínai algebra virágkora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4.
A hindu matematika és számírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.5.
Algebrai számítások, azonosságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.6.
Els®- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek . . . . . . . . . . .
19
3.7.
A kuttaka módszer
20
3.8.
A Közel- és Közép-Kelet országainak matematikája
3.9.
Hvárizmi algebrája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.10. Abu Kámil algebrája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.11. Harmadfokú egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4. Európai matematika
24
4.1.
A harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása
. . . . . . . . . . . .
24
4.2.
Racionális gyökteszt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3.
Tschirnhaus módszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5. Új szemlélet
35
5.1.
Étienne Bézout
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2.
Joseph Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.3.
Abel-Ru ni tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6. Életrajzok
40 2
1. Az
Bevezet®
algebra
arab eredet¶ szó.
Az al-dzsabr szó latin fordításából ered, melynek
jelentése helyreállítás. Ez annak a m¶veletnek felel meg, amellyel egy egyenletben egy tagot átviszünk a másik oldalra. Így nem meglep®, hogy a XX. század elejéig az algebra az algebrai egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának tudománya volt. De mit is nevezünk algebrai egyenletnek?
Az algebrai egyenlet olyan egyenl®ség,
amelynek mindkét oldalán ismert és ismeretlen számok jelei szerepelnek kizárólag a négy alapm¶velet véges számú jelével összekapcsolva. Hogy mit fogadunk el ismert számoknak, az csak is t®lünk és tudásunktól függ. Az ismert számok azon halmazát, amelyben a négy alapm¶velet mindig elvégezhet®, azaz a m¶veletek nem vezetnek ki a halmazból, testnek nevezzük.
Az egyenletek megoldhatósága szempontjából
célszer¶ volt a lehet® legb®vebb testet, azaz a komplex számok testét választani. Ugyanis ebben a testben minden egyismeretlenes algebrai egyenlet megoldható. Az ismeretek ezen pontján a klasszikus algebrából egy hatalmasabb, önállóbb tudomány kezdett kibontakozni, a modern algebra.
Ugyanis a matematikusok
rájöttek, hogy az algebrai egyenletek megoldhatósága szoros kapcsolatban áll az alapul vett test szerkezeti tulajdonságaival. Innent®l kezdve már nem az egyenletek megoldásával, hanem az összes lehetséges test (számtest, absztrakt test) szerkezetének vizsgálatával foglalkoztak. A XX. század második negyedében már nemcsak testeket vizsgáltak, hanem más algebrai struktúrákat is. például a gy¶r¶k, ferdetestek, csoportok.
Ezek közé tartoznak
Emiatt napjainkban az algebrát már a
matematika azon ágának tekintjük, amely algebrai struktúrákkal foglalkozik.
A fent említetteket gyelembe véve szakdolgozatom témája az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága, hiszen ez az a probléma, amely egészen az algebra születését®l kezd®d®en foglalkoztatta a tudósokat és melynek köszönhet®en kialakult a mai absztrakt algebra.
Számos algebrai fogalom kialakulása szorosan összefügg
az egyenletek elméletének fejl®désével, ezek közé tartozik például a determináns, a komplex számok, a testek valamint a csoportok fogalma. Szakdolgozatom betekintést nyújt az egyenletek megoldási módszereinek fejl®désébe és az általános elmélet kialakulásába, kezdve az ókori babiloni, egyiptomi illetve görög tudósok munkájával, majd a középkori kínai, hindu felfedezéseken át, egészen az európai matematikusok ma már jól ismert elméletéig.
3
A dolgozat els® felében fontos szerepet játszanak a számrendszerek, algebrai jelek, számjelek kialakulása, ugyanis mindezek egységesítése és tisztázása el®segítette a középkori európai algebra gyors és nagyszer¶ fejl®dését.
A dolgozat második
felében ennek a fejl®désnek jelent®s szerepl®it és munkáikat mutatom be, úgy mint Cardano és Ferrari megoldóképleteit, Lagrange módszerét, valamint Abel és Ru ni tételét. Az egyenletek megoldhatóságának kérdését a Galois-elmélet egyenletekre vonatkozó tételével zárom, melynek segítségével már minden egyenletr®l eldönthet®, hogy az megoldható-e gyökjelekkel.
Munkám a témához kapcsolódó irodalom,
els®sorban Jear-Pierre Tignol,
Sain
Márton és A.P. Juskevics könyveinek feldolgozásán alapul, összegezve, helyenként kiegészítve a bennük leírtakat.
4
2. I.e.
Ókor 10000-t®l i.e.
3000-ig tehet® az ember fejl®désének azon szakasza, mikor a
gy¶jtögetés, vadászat, és halászat helyett áttért a földm¶vel® életmódra.
Ennek
köszönhet® az ókori városok, mint például Babilon kialakulása, ahol gabonatermesztéssel, állattenyésztéssel foglalkoztak. A földm¶vesek mellett megjelentek különféle mesterséget gyakorló kézm¶vesek, iparosok, és kialakult a kereskedelem. Ekkor már nélkülözhetetlenné váltak a számok, ugyanis az új életmód megkövetelte bizonyos dolgok mérését, szükségessé vált a hosszúság, a terület, a térfogat és a tömeg mértékegységeinek ismerete, ugyanis a megtermelt, a raktározott és az elfogyasztott vagy eladott javakat nyilván kellett tartani.
Így i.e.
4000-3000 táján el®ször a számok
leírására alkalmas jelek, majd maguk a számjegyek is megszülettek. Kezdetben a számoláshoz különféle segédeszközöket, akár saját ujjaikat, testrészeiket alkalmazták.
Ezen számolások segítették el® a különféle számrendszerek kialakulását.
A
legrégibb számírásos emlékek Mezopotámiából és Kínából származnak.
2.1. Babiloni számírás A Tigris és az Eufrátesz folyók által határolt területen rengeteg ékírásos agyagtáblát találtak, melyek között sok a matematikai tartalmú. Ezeknek köszönhet®en megismerhetjük a mezopotámiai számírást és számolási technikát. A helyiértékes 60-as számrendszert alkalmazták:
a számokat 1-t®l 59-ig külön-
böz® alakú és helyzet¶ ékjelekkel írták le, de a 60 leírására már ugyanazt a jelet használták, mint az 1 leírására.
H = 1 HH = 2 HHH = 3 . . . J= 10
J H = 11 . . . JJ= 20 . . . H = 60
Az egyes helyi értékek meghatározása, valamint a 0 jel hiánya nehézségeket okoztak a számok olvasásában. Egy szám nagyságrendjére gyakran csak a szövegb®l lehetett következtetni. A pontatlanság elkerülése érdekében kés®bb bevezették a zérus jelét, két, egymás alá írt 10-es jelet. Nézzünk egy példát:
HH
J J
J H = 2 · 602 + 0 · 60 + 11 = 7211
5
2.2. Babiloni algebra A babiloni matematikusok gondolkodásmódja kifejezetten algebrai volt.
Ismertek
alapvet® algebrai azonosságokat, azonban a mai jelöléseket még nem alkalmazták, így tudásukat szavakban, szabályokban fogalmazták meg. Sok id®t töltöttek els®és másodfokú egyenletek megoldásával, vizsgálatával, mivel ezek rengeteg gyakorlati problémára adtak megoldást. Ezt mutatja az is, hogy az ékírásban külön ékjel írta le azt a szót, hogy hosszúság, és egy másik ékjel azt, hogy szélesség. Az egyenletek megoldására nem megoldóképleteket, inkább recepteket adtak. Minden ilyen recept végén megjelenik az eredmény ellen®rzése, ami már a bizonyítás igényét mutatja. Egy gyakran és rutinszer¶en használt sablon a következ®: Tekintsük az
(
x·y =a x+y =b
alakú egyenletrendszert. Ennek megoldására a babiloni matematikusok olyan módszert alkalmaztak, amely mindig jól használható, ha egy harmadik ismeretlent vezettek be,
x=
u-t,
b +u 2
x+y értéke adott.
Els® lépésben
ennek segítségével fejezték ki
y=
x-t
és
y -t.
b −u 2
Ezt az els® egyenletbe helyettesítve:
b b +u · −u =a 2 2
b2 − u2 = a 4 r b2 u= −a 4 A negatív számokat még nem ismerték, így u-ra egy pozitív számot kaptak, amellyel x
és
y
értékét könnyen meg tudták határozni:
Észrevehetjük, használják.
hogy
már
b b x= +u= + 2 2
r
b2 −a 4
b b y = −u= − 2 2
r
b2 −a 4
itt
is
a
ma
jól
ismert
másodfokú
megoldóképletet
Ugyanis az egyenletrendszer második egyenletéb®l, ha kifejezzük
6
y -t,
majd azt az els® egyenletbe írjuk, akkor az
x2 − bx + a = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldóképlete
x=
b±
r √ b2 − 4a b b2 = ± − a. 2 2 4
Ebb®l a példából is látszik, hogy már az ókori Mezopotámiában képesek voltak gyököt vonni. értékére,
a>1
Válasszunk egy
Ismertek egy iterációs eljárást, mely igen jó közelítést adott esetén:
x0 közelítést úgy, hogy
√
a > x0 > 1 és a hiba, azaz h0 =
√
a
√ a−x0 < 1
legyen. Mivel
√ a √ = a, a
ezért
Így
√
√ a > a. x0 a
értékére kapunk egy alsó- és fels®korlátot:
x0 <
√
a<
a = x00 x0
Innent®l a fels® korlátokat mindig vessz®vel, az alsó korlátokat vessz® nélkül jelölöm. E két korlát számtani közepe
x01 egy újabb közelít® érték
h01
a 1 = · x0 + 2 x0
hibával.
1 √ √ a = − a| = x0 + − a = 2 x0 √ x2 − 2x √a + a (x − √a)2 (x0 − a)2 0 0 0 = < = 2x0 2 · x0 2 h01
|x01
Tehát
√ (x0 − a)2 h20 h0 < = < , hiszen h0 < 1. 2 2 2 √ 0 x1 hibája kisebb, tehát ez jobb közelítése a-nak, mint x0 . Az eljárás következ® a 0 0 lépése, hogy x1 fels® korláthoz egy x1 = alsó korlátot választunk. x1 és x1 0 x1 h01
7
számtani közepe, azaz
x02
ismét közelebb lesz
√
a-hoz.
Ebb®l látszik, hogy minél
többször ismételjük az eljárást, annál pontosabb értékhez jutunk. Gyökvonás segítségével képesek voltak másodfokú egyenleteket megoldani.
Ezek
megoldásának receptjét azonban egyetlen ókori lelet sem tartalmazza, de a kutatók valószín¶nek tartják, hogy a teljes négyzetté alakítás módszerét alkalmazták. A babiloniaiak még igen gyakorlatias metematikát alkalmaztak, ez azonban igen jó alapot nyújtott a további fejl®déshez.
2.3. Az egyiptomi Rhind papirusz A Nílus völgyében elterül® Egyiptom matematikájának megismerésében két lelet, a Rhind- és a moszkvai papirusz van segítségünkre.
El®bbi Henry Rhind skót régi-
ségkeresked®r®l kapta nevét, ki 1858 telén vásárolta a papiruszt, felismerve annak értékét.
A tekercs hiányzó része 50 év múlva került el®.
Ez az els® matematikai
tartalmú, egyiptomi emlék. Mindkét papirusz ugyanúgy, mint Mezopotámiában, a mindennapi élettel kapcsolatos számolásokat tartalmaznak hieratikus írással, azaz a számokat apró jelekkel, parányi rajzokkal írták. Ezek a jelek koronként változtak, így a számjegyekb®l az írás idejére is következtethetünk.
2.4. Óegyiptomi algebra Az egyiptomi matematikusoknak is sok olyan problémát kellett megoldaniuk, amelyek els®fokú és tiszta másodfokú egyenletekre vezettek. Ezek a feladatok azonban néha már elszakadtak a gyakorlati alkalmazástól, volt, hogy csak önmaguk szórakoztatására végeztek számításokat. Gyakran alkalmazták az ún. regula falsi-t, azaz a hamis szabály módszerét. Ekkor az ismeretlen helyére egy hamis értéket választottak, majd ezzel számolták végig a feladatot. Végül az eredményül kapott számot összehasonlították a feladat adataival, és azt a megfelel® módon helyesbítették. Az alábbi példa a regul falsi alkalmazását mutatja be: Egy négyzetnek, meg egy másiknak, melynek oldala az els® négyzet oldalának
1 1 + 2 4
része, területe összesen: 100. Mondd meg nekem!
Feladatunk mai megfogalmazása: Számítsuk ki a megadott adatok alapján az eredeti
8
négyszög oldalhosszát. A szöveg alapján kapott egyenlet:
2
x + Tegyük fel, hogy oldalhossza
3 . 4
x = 1.
3 ·x 4
2 = 100
Tehát a keresett négyzet oldalhossza 1, a másik négyzet
Területük összege:
1+
9 25 = . 16 16
Ennek négyzetgyöke
5 6= 10. 4
Ebb®l következik, hogy az eredeti négyzet oldala nem 1, hanem annyiszor nagyobb, ahányszor a 10 nagyobb az
5 -nél, 4
azaz 8-szor. Tehát az eredeti négyzet oldalhossza
8, a másik négyzet oldalhossza 6, területük összege pedig tényleg 100.
Igaz, hogy ezek a számítások kielégítették az akkori szükségleteket, de eddigi ismereteink alapján az egyiptomi matematikai módszerek körülményessége, azok rossz irányból való megközelítése mind akadályozták a továbbfejl®dést.
2.5. Görög újítások A görög matematikusok babiloni és egyiptomi el®deikkel ellentétben nemcsak átvették és alkalmazták az ismereteket, hanem mertek újítani, gondolkodásmódjuk egyéni és szabad volt.
Alapismereteiket természetesen a fennmaradt írásokból szerezték,
azokat azonban igen hamar továbbfejlesztették.
Ezt mutatja az is, hogy a ránk
maradt írásos emlékekben már nem lehet felismerni a babiloni illetve egyiptomi alapokat. T®lük, pontosabban a püthagoreusoktól származik a matematika szó, ugyanis a számelméletet mathémának, tanulmánynak nevezték. Náluk jelenik meg el®ször a tényleges bizonyítás. Az els® görög tudós, aki el®ször bizonyított az Thalész (Kr.e. 624546), a görög matematika atyja.
2.6. Görög számírás A görögök a nem helyiértékes 10-es számrendszert és az alfabetikus számírást használták.
Kezdetben görög nagybet¶ket, majd kés®bb az ión írás kisbet¶it al-
kalmazták a számok jelölésére. A félreértések elkerülése érdekében a számokat jelöl® bet¶ket felülhúzták. Erre egy példa:
ϕξζ = 567
9
Az ® érdemük a zérus számjegy, mint üres helyiérték bevezetése is, melyet az
o
(omikron) bet¶vel jelöltek.
2.7. Geometriai algebra A görög matematika az eleai lozó ára támaszkodva, miszerint az 1 egységes és oszthatatlan, teljesen geometriaivá vált.
Ugyanis ®k már ismerték az irracionális
számokat, azonban számmal kifejezni nem tudták azokat, de a megfelel® szerkesztést mindig végre tudták hajtani. téglalapnak,
a
2
-t négyzetnek,
Náluk az algebrai jelölések nem alakultak ki,
a
3
ab-t
-t kockának tekintették.
A babiloni algebra görög geometriává válását mutatja az alábbi feladat:
(
x+y =a x · y = b2
A görögök ezt a feladatot hiánnyal való illesztésnek nevezték, ugyanis az ® gondolkodásukban ez az egyenletrendszer az alábbi problémával ekvivalens: Illesszünk az
a
szakaszhoz
b2
terület¶ téglalapot egy négyzet hiánnyal.
Ezt a feladatot geometriai úton megoldva a következ® összefüggést kapták:
a 2 2
−
a 2
−x
2
= b2
a − x befogójú háromszögre felírt Pitagorasz-tételnek 2 a a tekintjük, akkor ez a háromszög > b esetén megszerkeszthet®. Ekkor az átfogó2 2 a nak és az − x befogónak különbsége adja x-t. Innen y már könnyen kiszámolható. 2 Ha ezt egy
Bizonyos
a 2
átfogójú,
geometriai
b
és
feladatok,
például
kerületének kiszámítása szükségessé tette
a
√
c
szabályos,
adott
k
oldalú
sokszög
minél pontosabb közelítését. A görög
matematikusok, köztük Arkhimédész ekkor használta a lánctörtek módszerét: Tegyük fel, hogy
√
a2 + b = a + x.
Ekkor
x(2a + x) = b, 10
amib®l
x= Az egyenl®ség jobb oldalán szerepl®
b -t 2a + x
b . 2a + x x helyébe
folytatólagosan behelyettesítve
végtelen lánctörtet kapunk:
√ a2 + b = a +
b b
2a +
b 2a + . . .
2a +
A klasszikus görög matematika alkotásai között szembet¶nik Diophantosz (Kr.u. 250 körül) Aritmetika cím¶ 13 kötetes könyve, mely teljes egészében egyenletek megoldását tartalmazza. A m¶ hanyagolja a geometriai algebrát, tényleges algebrai módszereket és jelöléseket használ. Egy egyenlet mai és ókori alakja:
5x3 + 5x2 + 2x + 8 = 33 K Y ∆Y ςςβ
M˙ η
ι M˙ λγ
Diophantosz még nem ismerte a határozatlan egyenletek általános megoldásait, de sajátos ötletei igen célravezet®ek voltak.
A több feltétellel rendelkez® felada-
tok megoldása során úgy választotta meg az ismeretlenek értékét, hogy azok egy kivételével minden kritériumnak eleget tegyenek, és az általuk felírt másodfokú egyenletnek ne legyen konstans vagy pedig négyzetes tagja. Erre mutat példát az alábbi feladat: Egy adott számot, amely két négyzetnek az összege, bontsunk fel két másik négyzet összegére! Legyen az adott szám
13 = 22 + 32 . Legyen egy másik felbontása
13 = (x + 2)2 + (2x − 3)2 = x2 + 4x + 4 + 4x2 − 12x + 9 = 5x2 − 8x + 13. Tehát a kapott másodfokú egyenlet:
5x2 − 8x + 13 = 13 5x2 − 8x = 0 x(5x − 8) = 0 11
Mivel a
0
megoldást nem vette gyelembe, ezért a kapott eredmény
x=
2 18 1 keresett felbontás: + = 13. 5 5 2 Már ismerte az ax = 2bx + c alakú egyenlet megoldásának √ b + b2 + ac x= a
2
8 , 5
képletét, melyr®l azt is tudta, hogy csak akkor ad racionális megoldást, ha racionális szám négyzete.
azaz a
b2 + ac
vezette be a harmadfokúnál magasabb fokú is-
meretleneket, mint a négyzetszer négyzetet, négyzetszer köböt, köbször köböt. Mindezek
ellenére
az
i.e.
IIIII.-ban
fellép®
politikai
viszályok,
háborúk
következtében a tudományok anyagi és eszmei támogatása megsz¶nt, melynek hatására a görög matematika hanyatlásnak indult. A matematika további fejl®désére f®leg csak a középkori keleti országokban volt lehet®ség.
12
3.
Középkor
3.1. Kínai matematika és számírás A legkorábbi kínai matematika fejl®désér®l szóló emlékek id®számításunk kezdetéb®l származnak.
Ezek még mindig a mindennapi élet problémáira paloták építése,
adók kivetése, örökösödés adnak megoldást. Feladatok jöttek létre az arányosságokra, a lineáris egyenletekre és egyenletrendszerekre, négyzet- és köbgyökvonásra, és némely bonyolultabb esetben másod-, s®t harmadfokú egyenletekre. A kínaiak már a tízes alapú számrendszert alkalmazták. függ®leges, 10-t®l 90-ig vízszintes vonalakkal jelölték.
A számokat 1-t®l 9-ig
Az egyeseket jelöl® számje-
gyek szolgáltak a százasok, tízezresek stb., a tízesek számjegyei pedig az ezresek, százezresek stb. megjelölésére is. Például a
A
0-t
6728
kínai jelölése:
kezdetben nem alkalmazták, kés®bbi jelét, egy kört el®ször csak egy 1247-ben
megjelent matematikai témájú m¶ben találjuk meg. Számításaikat számolótáblán pálcikák segítségével végezték.
3.2. Matematika kilenc könyvben A legrégebbi kínai matematikai m¶ keletkezésének pontos ideje és szerz®i ismeretlenek.
Összegzi az i.e.
I. évezredben élt matematikusok munkáját 246 fe-
ladatban, melyekhez megoldás is tartozik, olykor általános formában. Az alábbiakban az egyenletek szempontjából lényeges könyvekkel, és azok megoldási eljárásaival foglalkozom. A IV. könyv feladatainak megoldásához már szükség van négyzet- ill.
köb-
gyökvonásra. Ennek elvégzésére a fang-fa módszert alkalmazták, melyet ma a kínaiHorner-módszernek nevezhetnénk. A módszert valójában arra hazsnálták, hogy valamely polinomját átrendezzék
(x + p) szerint.
x
Ha tehát az átrendezend® polinom
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 , akkor az átrendezett polinom
Pn (x) = bn (x + p)n + bn−1 (x − p)n−1 + · · · + b1 (x − p) + b0 = (x + p)Pn−1 (x) + b0 , 13
ahol
bi
együttható a
Pi (x) : (x + p)
osztási maradéka. A módszer elegend® számú
ismétlésével a gyökvonás tetsz®leges pontosággal elvégezhet®. Ezt mutatja az alábbi példa: Határozzuk meg
√ 620
Mivel
24 < x < 25,
most
y,
azaz
értékét, azaz oldjuk meg
ezért tegyük fel, hogy
(x − 24)
x2 − 620 = 0
x = 24 + y ,
ahol
egyenletet!
0 < y < 1.
Az egyenletet
szerint rendezzük, ahol az együtthatók meghatározására
használjuk a Horner-elrendezést:
0
−620
24
576
1 24
−44
1
24 1 48 1 Tehát a kapott egyenlet
y 2 + 48y − 44 = 0, y = 0, 8
esetén az egyenlet bal oldala
egyenl®. Ebb®l következik, hogy
z
0 < y < 1.
ahol
−4, 96-tal, y = 0, 9
esetén pedig
0, 01-gyel
0, 8 < y < 0, 9, vagyis y = 0, 8+z , ahol 0 < z < 0, 1.
egyenletének felírására is a Horner-módszert alkalmazva, az alábbit kapjuk:
z 2 + 49, 6z − 4, 96 = 0 Újabb próbálgatás során derül ki, hogy
z = 0, 09 + t.
0, 09 < z < 0, 1,
tehát tegyük fel, hogy
0, 009 < t < 0, 01.
Az eljárást ismételve kapjuk, hogy
Itt megállva az
alábbi eredményt kapjuk:
x = 24 + y = 24 + 0, 8 + z = 24, 8 + 0, 09 + t ≈ 24, 899 ≈ 24, 9 24, 92 = 620, 01 Köbgyökvonásra az alábbi közelít® formulát alkalmazták:
√ 3
a3 + b ≈ a +
b +1
3a2
A VII. könyv többlet és hiány módszerét két egyenletb®l álló, kétismeretlenes els®fokú egyenletrendszerek megoldására alkalmazták. Els® esetben az egyik ismeretlen
14
együtthatója legyen
1
vagy
−1. (
a1 x − y = c 1 a2 x − y = c 2
Ekkor az alábbi táblázatot írták fel, melyen keresztbe szorzásokat végeztek.
a1 a2 c1 c2 Ezek segítségével írták fel az
x-t
x= Érdekes,
y -t
és
megadó képleteket:
a1 c2 − a2 c1 c2 − c1 y= a2 − a1 a2 − a1
hogy ezt az eredményt a ma Cramer-szabálynak nevezett eljárással
megkaphatjuk. Most tegyük fel, hogy
y
együtthatója nem
(
±1.
Ekkor az
a1 x + b 1 y = c 1 a2 x + b 2 y = c 2
egyenletrendszer megoldása a következ® volt: az els® egyenletb®l kifejezték
y -t, majd
azt a második egyenletbe írva, egy
Ax + B = C
(1)
alakú egyenletet kaptak, ahol
A = a2 b 1 − a1 b 2 ,
B = b2 c 1 ,
C = b1 c 2 .
Ezt követ®en a 2 hamis feltevés módszerét alkalmazták: ha
x = x1 ,
akkor
Ax1 + B = b1 c02 = C1
(2)
ha
x = x2 ,
akkor
Ax2 + B = b1 c002 = C2
(3)
Ekkor
C − C1 = b1 (c2 − c02 ) = b1 k1
és
C − C2 = b1 (c2 − c002 ) = b1 k2 .
Az (1) egyenletb®l kivonták (2)-t illetve (3)-at, így a követekez®ket kapták:
A(x − x1 ) = C − C1 = b1 k1
ill.
15
A(x − x2 ) = C − C2 = b1 k2
Ezeket egymással elosztva
x − x1 b1 k 1 = , x − x2 b1 k 2
amib®l következik, hogy
x=
k2 x1 − k1 x2 . k2 − k1
Ezt az egyenletrendszer valamelyik egyenletébe helyettesítve
y
értéke is kiszámol-
ható. A VIII. könyv tartalmazza a lineáris egyenletrendszerek megoldására alkalmas fang-cseng módszert, amely egy bizonyos mátrixos megoldási eljárás.
Az egyen-
letrendszer együtthatóiból egy táblázatot, azaz egy mátrixot képeztek úgy, hogy az utolsó egyenlet együtthatói az els® oszlopban szerepeljenek, és így tovább. Tudták, hogy a mátrix bármely oszlopának valahányszorosát hozzáadhatják vagy kivonhatják bármely másik oszlopból anélkül, hogy az egyenletrendszer gyökei megváltoznának. Tehát a mátrixot addig alakították, míg az fölött csupa
0-t
a11 − ann
diagonális
nem kaptak:
0
0
...
0
0
b22 b12 . . . b2n b1n . . . e2 e1
. . . bnn bn−1,n en
en−1
0
b11
...
Ennek a mátrixnak megfelel® egyenletrendszer segítségével az ismeretlenek már lépésenként meghatározhatóak. A fang-cseng módszer volt a kezdete a mátrixokkal és determinánsokkal való számolásnak, és ennek kapcsán vezették be a negatív számokat is. A módszer valójában megegyezik a ma használatos Gauss-eliminációval. A IX. könyvben szerepl® problémák másodfokú egyenletekre vezetnek,
melyek
megoldási módszere megegyezik a babiloni recepttel, miszerint egy új változót vezetnek be és ennek segítségével fejezik ki az ismeretleneket.
16
3.3. A kínai algebra virágkora A XIII. században él® kínai matematikusok továbbfejlesztették az addigi algebrai módszereket és jelrendszert. Foglalkoztatta ®ket a magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Még ®k is a kínai-Horner-módszert alkalmazták, de már általánosítva tetsz®leges, pozitív gyök¶ egyenletekre.
Li Je, kínai algebrista ezt a
módszert tien-jüan módszernek, azaz égi elemek módszerének nevezte el.
Abban
az id®ben ez az eljárás a számítások szempontjából hasznosabb volt, mint a gyökjelekkel való megoldás. Így azonban nem jutottak el olyan problémákhoz, melyek megoldása az algebra további fejl®dését hozta volna.
3.4. A hindu matematika és számírás India matematikájára már a görög, babiloni és kínai ismeretek is hatással voltak. A
hindu
matematikusok
gondolkodása
eredeti
volt,
törekedtek
új
módszerek
kialakítására. Azonban nagyszer¶ eredményeik mellett nyilvánvaló tévedések is megtalálhatók. Az algebrát igen nagyra becsülték.
Két nagy területével foglalkoztak:
az algeb-
rai számításokkal és az els®- és másodfokú egyenletek megoldásával. Érdekes, hogy szabályaikat versekben fogalmazták meg, melyeket kívülr®l megtanultak.
Nagyot
léptek el®re a szimbolikus algebra kialakításában is, bár jelöléseik még igen bonyolultak voltak. Az indiai számjelek már nagy jelent®séggel bírnak, ezekb®l alakultak ki a ma használt számjegyek. Ezt az átalakulást nagyban segítette, hogy ezek az indiai számjelek már csak egyetlen, azaz nem összetett jelb®l álltak. Kezdetben a számaikat a helyiértékes 10-es számrendszer szerint írták jobbról balra, ez a sorrend 537 körül fordult meg Dzsinabhadra Gani (VI. század) jóvoltából. Ekkor már nélkülözhetetlenné vált a
0
használata, melynek jelét vagy a görögökt®l vagy a kínaiaktól vették át.
3.5. Algebrai számítások, azonosságok Számításaikban már igen ügyesen bántak a negatív és irracionális számokkal, valamint a négyzetgyökös kifejezésekkel. Ismerték a negatív számok m¶veleteinek összes alapszabályát és bizonyos négyzetgyökös azonosságokat:
√ √ √ √ ( a + b)( a − b) = a − b, 17
q √ a± b=
s a+
√
a2
s
−b
±
2
a−
√
a2 − b 2
Az els® egy ma is jól ismert azonosság, míg a második helyessége négyzetreemeléssel ellen®rizhet®. Foglalkoztak egytagú algebrai kifejezések és polinomok szorzásának és osztásának szabályaival. Ennek köszönhet® az alábbi összefüggés:
n X
!2 ak
=
n X
1
a2k + 2
1
X
ai aj
i6=j
Egy szám négyzetgyökének meghatározására az eddig ismert módszerekt®l igen
√
különböz® eljárást alkalmaztak. Srídhara gyökvonás-szabályát a
186624
példáján
szemléltetem: Szükség van a páratlan, ill. páros helyek függ®leges, ill. vízszintes vonalakkal való jelölésére.
− p 1 Most a
18-nál
− p
8 6
− p
6 2
4
kisebb legnagyobb négyzetszámot, a
páratlan helyr®l, majd
16
16-ot
levonjuk
18-ból,
az utolsó
gyökének kétszeresét a következ® számjegy alá írjuk:
− p
p
2 6
− p
6 2
4
8 Osszuk el
26-ot 8-cal,
a maradékot írjuk
26
helyébe és a
3
hányadost a kétszeres
gyök sorába írjuk:
− p
26-ból
vonjuk ki
3
négyzetét, majd
− p
2
6 2
8
3
3
4
helyébe írjunk
toljuk el egy hellyel:
− p 1
− p
7 2 8 6
18
4
2 × 3 = 6-ot
és a második sort
Most
0,
172-t osszuk el 86-tal, 172-t helyettesítsük a maradékkal, ami ebben az esetben
majd a hányadost írjuk a második sorba:
p 4 8 6 2 A
4-b®l kivonjuk a hányados négyzetét, majd a hányados helyébe önmaga kétszeresét
írjuk, így kapjuk
864-et.
Itt a gyökjel alatti szám elfogy, tehát az eljárás szerint a
második sorban kapott szám fele a keresett négyzetgyök, ami ebben az esetben A kapott eredmény helyes, ugyanis
432.
4322 = 186624.
A gyökvonással kapcsolatban tudták, hogy pozitív szám négyzetgyöke pozitív is, meg negatív is, azonban egy negatív szám négyzetgyökét még nem értelmezték.
3.6. Els®- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Az els®fokú egyenletek megoldására Indiában is a fentebb már ismertetett hamis feltevés szabályát alkalmazták. Az egyszer¶bb els®fokú egyenletrendszerek megoldása során, egy tetszés szerint kiválasztott ismeretlent mindegyik egyenletb®l kifejezték, majd ezeket a kifejezéseket egymással páronként egyenl®vé tették. Ezt az eljárást addig ismételték az új egyenletrendszerekkel, míg végül egy egyenletet nem kaptak. Innen visszafele haladva az ismeretlenek meghatározhatók. Az alábbi típusú egyenletrendszerek vizsgálatával is foglalkoztak:
n X
xk ± bxi = ci ,
ahol
i = 1, 2, . . . , n
k=1
ai
n X
x k − bi x i = c i ,
ahol
i = 1, 2, . . . , n
k=1 Míg az ókorban az
2
ax + bx = c,
ax2 = bx + c,
ax2 + c = bx
alakú egyenleteket
különböz®nek tekintették, addig Brahmagupta (598 665), india matematikus már általános szabályt ad az
ax2 + bx + c = 0 alakú egyenlet megoldására:
√ 4ac + b2 − b x= 2a 19
Ebb®l azonban látszik, hogy szerinte a másodfokú egyenletnek csak egy gyöke lehet. Egy másik tudós, Mahavíra viszont kés®bb már tudott a két megoldás létezésér®l, Bhászkara (520 körül) pedig már feltételt is adott két pozitív gyök létezésére. Ezen felül magasabb fokú egyenletek általános megoldását nem sikerült megtalálniuk.
3.7. A kuttaka módszer Ezt az eljárást az
ax + c = by
alakú egyenletek egész érték¶ megoldásainak kiszá-
molására alkalmazták. Vizsgáljuk meg Bhászkara II. megoldását Legyen az
(a, b) = 1, a > b,
és
a b
c>0
esetén!
legyen kifejezhet® a következ® lánctörttel, ahol
qk
(a, b) euklideszi algoritmussal való meghatározásakor a megfelel® osztások hánya-
dosaként adódik:
a = q0 + b
1 1
q1 + q2 +
Ha
Pn−1 Qn−1
az
n − 1-edik
,
[q0 , q1 , . . . , qn−1 , qn ]
ezt jelölje
1 q3 + . . .
közelít® lánctört, azaz
[q0 , q1 , . . . , qn−1 ],
akkor az egyenlet
összes megoldása az alábbi egyenletekkel fejezhet® ki:
x = (−1)n cQn−1 + bt
ahol
y = (−1)n cPn−1 + at
t
tetsz®leges egész.
A VIII. század végére az indiai tudósok felfedezései, algebrai eljárásaik valamint a 10-es alapú helyiérték-rendszer már az arab országokban is elterjedt.
3.8. A Közel- és Közép-Kelet országainak matematikája Az iszlám országok matematikai kultúrája a görög, valamint a keleti tudományos m¶vek arabra fordításával, majd kés®bb ezek kommentálásával kezd®dött. Az addigi ismeretek feldolgozása után számos új felfedezést tettek, beleértve az algoritmusokon alapuló megoldási eljárások továbbfejlesztését és a harmadfokú egyenletek kúpszeleteken alapuló geometriai megoldását. M¶veikben már sok gyelmet fordítottak a bizonyításokra, az anyag leírása teljes, elrendezése jól átgondolt. Számaikat a keleti arab számjegyekkel írták, a
20
0-t
speciálisan egy ponttal jelölték.
Ezeknek a számjegyeknek az elterjedése azonban éppúgy hosszú folyamat volt, mint a 10-es helyiértékes számrendszeré, ezt mutatja, hogy sok tudós m¶veiben szavakkal fejezte ki a számokat.
(Európában a számok mai írásmódja kés®bb jelent meg,
mint az araboknál, de elterjedése gyorsabb volt.)
Náluk a racionális számok már
az elméleti kutatás tárgyává váltak, ennek köszönhet®en pedig már eljutottak a racionális és irracionális pozitív számokat felölel® valós számok fogalmához.
3.9. Hvárizmi algebrája Hvárizmi (780850) algebrai munkájának f® témája az els®- és másodfokú számegyütthatós egyenletek megoldása. Elméletének alapja, hogy az egyenleteket normálalakra kell hozni az alábbi 6 típus szerint:
ax2 = bx,
ax2 = c,
ax2 + bx = c,
ax = c,
ax2 + c = bx,
bx + c = ax2
Az els® három egyenlettípus megoldásánál érdekes, hogy nemcsak az egyenlet gyökét, de annak négyzetét is mindig meghatározta.
Ebben a munkájában az egyik áta-
lakítás a dzsabr nevet viseli, ebb®l, pontosabban az al-dszabr kifejezésb®l alakult ki a mai algebra szó. A teljes másodfokú egyenletek megoldására külön módszert alkalmazott.
El®ször
szóban fejezte ki, hogyan írható fel az egyenlet gyöke négyzetgyökös mennyiségekkel,
x2 + px = q egyenlet megoldását: p téglalapot magassággal, majd az 4
majd ezt geometriai úton bizonyította. Lássuk az egy négyzet minden oldalához illesszünk egy alakzat sarkait egészítsük ki 4 darab
p 4
oldalú négyzettel.
p 4 Mindez formulával:
x2 + 4
p 4
x+4
p 2 4
21
=q+4
p 2 4
A bal oldalt négyzet alakba írjuk:
p 2 p 2 x+2· =q+4 , 4 4 amib®l
r x=
q+
p 2 2
p − . 2
Hvárizmi egyenletekre vonatkozó példái egyébként mind racionális együtthatójúak, megoldásaik gyakran egész számok.
3.10. Abu Kámil algebrája Hvárizmi után Abu Kámil (850930) volt az, aki jelent®s haladást ért el az algebra területén.
Az ® munkája is a másodfokú egyenletek megoldásáig terjed, melyben
külön szabályokat ad a különböz® normálalakú egyenletek kapcsán
2
x + px = q ⇒
p x = +q− 2
x2 + q = px ⇒
x2 =
p2 2
px + q = x2 ⇒
x2 =
p2 2
2
2
s
p2 2
x2 kiszámítására:
2
p2 q + s 2 p2 −q± − p2 q 2 s 2 2 p 2 +q+ p q+ 2
Mindhárom szabályt geometriai úton bizonyítja. Feladatai között már olyan egyenleteket is találhatunk, melyek az ismeretlen valamely hatványában másodfokúak.
3.11. Harmadfokú egyenletek Az arab matematikusok már a IX. században elkezdtek foglalkozni a harmadfokú egyenletekkel.
Figyelmüket Arkhimédész kockakett®zésér®l és a gömb fel-
darabolásáról szóló feladatai keltették fel.
Ezt követ®en újabb és újabb feladatok
bukkantak fel, melyek harmadfokú egyenletekre vezettek. Mindezek egy általánosabb elmélet illetve egy numerikus megoldási módszer megteremtését szorgalmazták. Omar Hajjám (10481131) algebrai m¶ve a harmadfokúakig bezárólag tartalmazza az egyenletek osztályozását: összesen 25 kanonikus formát és ezek geometriai szerkesztéssel kapott megoldását adja meg. Szerinte a harmadik hatványokat tartalmazó egyenletek megoldása csak kúpszeletek segítségével található meg, és el®fordulhat
22
olyan eset, amikor a görbék két pontban metsszik egymást. Tehát Hajjám két gyök létezésének lehet®ségét állapítja meg. Végül megjegyzi, hogy negyedfokú egyenletek megoldási módszere nem ismeretes.
23
4.
Európai matematika
A XI.-XIII. század tudósai számos görög és arab tudományos m¶vet fordítottak latinra.
Ennek köszönhet® a tudományok elterjedése és a tanulás lehet®sége Eu-
rópában. Már a XVI. századra matematikai központok alakultak ki, beleértve Itália nagyvárosait. Az itáliai matematikusok, del Ferro, Tartaglia, Cardano és Ferrari új matematikát hoztak létre, gyelmük az egyenletek megoldására terel®dött, módszereik szükségessé tették a számkör kib®vítését és a számfogalom kiépítését. Az alábbiakban a magasabb fokú egyenletek megoldhatóságával foglalkozom.
4.1. A harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása Kezdetben csak pozitív együtthatójú egyenletekkel foglalkoztak, ezért a harmadfokú egyenleteket az alábbi három típusba sorolták:
x3 + px = q, Az
x3 + px = q
x3 = px + q,
x3 + q = px
alakú egyenlet megoldását els®ként 1515 körül Scipione del Ferro
(14651526), bolognai matematikus találta meg, eredményeit azonban nem publikálta, csak professzortársának Fiorenak árulta el, ki e tudás birtokában nyilvános matematikai párbajra hívta Niccoló Fontanat (14991557), azaz Tartagliát. Azonban Tartaglia minderr®l tudomást szerzett, és kemény munka árán ® is megtalálta az általános megoldást, melynek segítségével a párbajt végülis megnyerte.
Ekkor
határozta el Girolamo Cardano (15011576), hogy akkor készül® m¶vében közzé teszi a fent említett harmadfokú egyenlet megoldását, melyet Tartagliától próbált megszerezni.
Kezdetben Tartaglia elutasította Cardanot, de kés®bb meggondolta
magát, és titoktartást követelve átadta az alábbi megoldást: Tegyük fel, hogy
x3 + px = q
megoldása
x=
√ √ 3 u− 3 v
alakban írható. Ennek köbe
√ √ 3 3 x3 = u − 3 u2 v + 3 uv 2 − v. Mivel fenáll az alábbi egyenl®ség, miszerint
√ √ √ 3 3 3 3 uv · x = 3 u2 v − 3 uv 2 , ezért
√ x3 = u − 3 3 uv · x − v, 24
azaz
√ x3 + 3 3 uv · x = u − v.
Ezt az eredeti egyenlettel összehasonlítva látjuk, hogy
(
Ebb®l
v -t
kiküszöbölve
u-ra
u−v =q √ 3 3 uv = p.
kapjuk, hogy
p3 = 27u(u − q), amib®l
u2 − qu −
p 3 3
= 0.
A másodfokú megoldóképlet alapján
r q+
q2 + 4
u=
p 3 q = + 2
3
2
r q 2 2
p 3
+
3
.
Az egyenletrendszerb®l következik, hogy
q v =u−q =− + 2
r q 2 2
+
p 3 3
.
Tehát a feltételezés szerint
s x=
3
q + 2
r q 2 2
s +
p 3 3
−
q − + 2
3
r q 2 2
+
p 3 3
,
amely képlet tényleg megadja az eredeti egyenlet megoldását. A másik két típusú egyenlet megoldása ugyanilyen módon az
x=
√ √ 3 u+ 3 v helyettesítéssel kapható meg.
Cardano 1545-ben kiadta Ars Magna cím¶ m¶vét, melyben szavát megszegve közölte az addig titkolt képletet, s®t annak továbbfejlesztését is. Összesen 13 típusú harmadfokú egyenlettel foglalkozott, f® eredménye az általános
x3 + ax2 + bx + c = 0 alakú egyenlet megoldása: észrevette ugyanis, hogy egyenlet
y 3 + py + q = 0
y = x+
alakra hozható, ahol
p=b−
a2 , 3
q= 25
2a3 ab − + c. 27 3
a 3
helyettesítéssel a fenti
Tehát a Tartaglia-féle megoldóképlet,
melyet ma Cardano-képletnek nevezünk,
ebben az esetben is alkalmazható. Voltak azonban olyan feladatok, mikor tudták, hogy az egyenletnek van valós gyöke, azt azonban a képlettel nem tudták meghatározni, ugyanis a négyzetgyökjel alatt negatív szám állt.
casus irreducibilis -nek,
Ezt az esetet nevezték
melynek
megoldását az utókorra hagyták és melynek kapcsán már felmerült a komplex számok fogalma.
Az
x3 + px + q = 0
alakú harmadfokú egyenlet megoldásával több matematikus
is foglalkozott, kik különböz® megoldási eljárásokat hoztak létre. Közéjük tartozik
p − y -nal való 3y p 3 y 6 − qy 3 − =0 3
Viéte (1540 1603), kinek ötlete az
egyenletet kapjuk. Ez
x=
y 3 -re egy másodfokú egyenlet.
A másodfokú megoldóképletet
és a fenti helyettesítést alkalmazva a megoldás
x= ahol
q y3 = − + 2 Ha
y3
2
+
p 3 3
q y =− − 2
r q 2 2
+
p 3 3
értéke nem változik, ugyanis
0 3
(yy ) = −
p 3 3
,
amib®l következik, hogy
p = −y 0 3y Tehát
.
másik értékét választjuk, miszerint
03
x
p − y, 3y
r q 2
és
p = −y. 3y 0
p p − y0 = − y = x. 0 3y 3y
26
helyettesítés, mellyel az
,
Azonban ez az eljárás is valójában a Cardano képlethez vezet, ugyanis el®bb láttuk, hogy
p = −y , 3y 0
tehát
s p − y 0 = −y − y 0 = 3y 0 Az
Ars
Magna
3
utolsó
q − + 2
r q 2
el®tti
2
s +
fejezete
p 3 3 a
+
3
q − − 2
negyedfokú
r q 2 2
+
p 3 3
egyenletek
= x.
megoldásá-
val foglalkozik, mely Cardano tanítványának, Ludovico Ferrarinak (15221556) munkája.
Neki sikerült az általános
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
egyenletet egy
harmadfokú egyenletre visszevezetnie, melyet a negyedfokú egyenlet rezolvensének nevezünk: Ötlete az
y = x+
a -gyel 4
való helyettesítés, mely az
y 4 + py 2 + qy + r = 0
egyenletet
adja, ahol
p=b−6
a 2 4
,
a 3 a q =c− b+ , 2 2
a 2 a 4 a r =d− c+ b−3 . 4 4 4
Rendezzük át a kapott egyenletet:
Ekkor tetsz®leges
u-ra
p 2 p 2 = −qy − r + y + 2 2 2
fenáll az alábbi egyenl®ség:
2 p 2 p y + + u = −qy − r + + 2uy 2 + pu + u2 2 2 2
Az alapötlet, hogy az egyenlet jobb oldalát négyzet alakba írjuk, azaz
−qy − r +
p 2 2
2
2
+ 2uy + pu + u =
√
q 2u · y − √ 2 2u
2 .
Ez az egyenl®ség akkor és csak akkor igaz, ha
−r +
p 2 2
+ pu + u2 =
q2 , 8u
azaz
8u3 + 8pu2 + (2p2 − 8r)u − q 2 = 0. Ezt a harmadfokú egyenletet nevezzük az eredeti egyenlet rezolvensének.
Ha
ezen egyenlet egy megoldásának választjuk, akkor
2 p 2 p y + + u = −qy − r + + 2uy 2 + pu + u2 = 2 2 2
27
√
q 2u · y − √ 2 2u
2 ,
u-t
azaz
2 p y + +u = 2 2
√
q 2uy − √ 2 2u
2 ,
és így
√ p q y + +u=± 2u · y − √ . 2 2 2u két másodfokú egyenlet, melyeket megoldva megkapjuk y -t, majd ebb®l x-et: r r u u p αq a 0 x=α + α − − − √ + , ahol α és α0 értéke +1 vagy −1. 2 2 2 2 2 4 2
Ez
Descartes (1596−1650) Ferrari felfedezését követ®en az alábbi eljárást adta az
x4 + px2 + qx + r = 0 egyenlet megoldására az 1637-ben megjelent La Géométrie cím¶ m¶vében: Vezessük be
a, b, c, d
értékeket úgy, hogy
x4 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd. Az együtthatók egyenl®ségéb®l következik, hogy
0=a+c
(1)
p = b + d + ac (2)
Ezeket felhasználva
b, c, d
q = ad + bc
(3)
r = bd.
(4)
könnyen kifejezhet®
a
segítségével:
(1) ⇒ c = −a (5) (3), (5) ⇒ q = ad − ab,
b-t
amib®l
d=
q + b (6), a
és
(2), (5) ⇒ p = b + d − a2 ,
amib®l
(6)
helyettesítéssel
(2), (5) ⇒ p = b + d − a2 ,
amib®l
(7)
helyettesítéssel
és
d-t
(4)-be helyettesítve
r=
a2 p q + − 2 2 2a
28
a2 p q + + 2 2 2a
q + d (7) a a2 p q b= + − 2 2 2a 2 a p q d= + + 2 2 2a b=
egyenletet kapjuk, melyre az
(a + b)(a − b) = a2 − b2 r=
a2 p + 2 2
2 −
összefüggést alkalmazzuk:
q 2 2a
Ebb®l következik, hogy
a6 + 2pa4 + (p2 − 4r)a2 − q 2 = 0, ami
a2 -re
harmadfokú, melynek megoldása már ismert. Mivel
x4 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = 0 és egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényez®je 0, ezért az eljárás az alábbi két egyenlet megoldásával végz®dik, mely már az együtthatók ismeretében könnyen megy:
(x2 + ax + b) = 0
és
(x2 + cx + d) = 0
4.2. Racionális gyökteszt Ez a ma is jól ismert eljárás már Albert Girard (15951632) francia matematikusnál megjelenik, azonban el®ször Descartes publikálta: Tekintsük az
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenletet, ahol
ai ∈ Q, i = 0, 1, . . . , n.
nevez®jével szorozva feltehetjük, hogy
Ha szükséges, akkor az együtthatók közös
ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n.
Az egyenletet
ann−1 -nel
szorozva kapjuk, hogy
(an x)n + an−1 (an x)n−1 + an−2 an (an x)n−2 + · · · + a1 ann−2 (an x) + a0 ann−1 = 0. an x
helyébe
y -t
írva egy normált, egész együtthatós egyenletet kapunk:
y n + bn−1 y n−1 + bn−2 y n−2 + · · · + b1 y + b0 = 0,
ahol
bi ∈ Z,
i = 0, 1, . . . , n − 1
Descartes tétele szerint egy normált, egész együtthatós egyenlet minden racionális megoldása egész szám, mely osztja a konstans tagot. Els® lépésben bizonyítja, hogy minden gyök egész szám:
29
Legyen
y ∈ Q egy racionális gyök, melyet y =
prímek. Tehát
y1 y2
n
+ bn−1
y1 y2
n−1
+ bn−2
y1 y2
y1 y2
alakban írunk, ahol
n−2
+ · · · + b1
y1 y2
y1
és
y2
relatív
+ b0 = 0,
ahonnan
y1n = −y2 (bn−1 y1n−1 + · · · + b1 y1 y2n−2 + b0 y2n−1 ). Ebb®l látszik, hogy
y2
együtthatója osztja
prímek, ez csak úgy lehetságes, ha
y1n -t,
y2 = ±1,
tehát
tehát
y1 -t
is. Mivel
y1
és
y2
relatív
y ∈ Z.
Második lépésben bebizonyítja, hogy minden gyök osztja a konstans tagot:
y n + bn−1 y n−1 + bn−2 y n−2 + · · · + b1 y + b0 = 0 egyenletet az alábbi alakba írjuk:
b0 = −y(y n−1 + bn−1 y n−2 + · · · + b1 ) Mivel
(y n−1 + bn−1 y n−2 + · · · + b1 ) ∈ Z,
ezért
y
osztója
b0 -nak.
Mindez az eredeti
egyenletre azt jelenti, és
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 p hogy ha x = ennek nem egyszer¶síthet® q
gyöke, akkor
p | a0
q | an .
4.3. Tschirnhaus módszere Tschirnhaus (1651 1708) német matematikus egy eljárást dolgozott ki az általános
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenlet megoldására. Ötlete, hogy a jól bevált
y = x+
an−1 n
helyettesítés helyett
válasszuk az
y = xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 helyettesítést. A két fenti egyenletb®l kifejezve az
x-et, y -ra
y n + cn−1 y n−1 + · · · + c1 y + c0 = 0
30
az alábbit kapjuk:
Tschirnhaus célja
bi -k
alkalmas megválasztása úgy, hogy
m
darab
ci
0 legyen. Ha
m = n − 1 értéket választjuk, akkor az n-ed fokú valamint a konstans tag kivételével a többi tag mind elt¶nik és az
y n + c0 = 0 egyenletet kapjuk, melynek megoldása már könnyen kiszámolható: Tehát az n-ed fokú egyenletet sikerült visszavezetni az alábbi letre:
y =
√ n
−c0 .
(n − 1)-ed fokú egyen-
√ n −c0 = xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0
Leibniz (1646 1716) azonban észrevette, hogy azok a feltételek, amelyek c1 , . . . , cn−1 elt¶nését biztosítják, egy egyenletrendszert adnak, amely tartalmazza, és melynek megoldása megegyezik egy
bi
különböz® hatványait
(n−1)! fokú egyenlet megoldásá-
val. A módszer célja, hogy a feladatot visszavezessük egy alacsonyabb fokú egyenletre, ez azonban az el®bbi észrevétel miatt
n = 4-re
n > 3 esetén már nem m¶ködik.
Viszont
egy hatodfokú egyenletet kapunk, melyet meg tudunk oldani.
Alkalmazzuk Tschirnhaus eljárását az
x3 + px + q = 0
(1)
y = x 2 + b 1 x + b0 .
(2)
harmadfokú egyenletre. Legyen
(1)-b®l és (2)-b®l fejezzük ki
x-et x3 + px + q
és
x2 + b1 x + (b0 − y)
polinomok
rezultánsának segítségével, azaz határozzuk meg az alábbi determinánst:
1 0 0 1 1 b1 0 1 0 0
0 p q b0 − y 0 0 b1 b0 − y 0 1 b1 b0 − y p
q
0
Itt tegyünk egy kis kitér®t, hogy a fönti determinánst megmagyarázzuk. Két polinom rezultánsa a két polinom együtthatóiból felépül® olyan racionális kifejezés, amelynek a következ® tulajdonságai vannak: ha a két polinomnak van közös zérushelye, akkor a rezultáns értéke 0. Ha viszont a rezultáns értéke 0, akkor a két polinomnak van közös zérushelye. Tehát
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an = a0 (x − α1 ) · · · (x − αn ) 31
g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm = b0 (x − β1 ) · · · (x − βm ) polinomok rezultánsának
R(f, g) = am 0 g(α1 ) · · · g(αn ) kifejezést tekintjük. A fenti két polinom közös zérushelyének megkeresése megegyezik azzal a feladattal, hogy van-e az
f (x) = 0
g(x) = 0
és
egyenleteknek közös gyöke. Tegyük fel, hogy
x=α
közös gyök. Ekkor
a0 αn + a1 αn−1 + · · · + an−1 α + an = 0, b0 αm + b1 αm−1 + · · · + bm−1 α + bm = 0. Szorozzuk meg a fels® egyenletet rendre az alsót rendre az
αn−1 , αn−2 , . . . , α, 1
αm−1 , αm−2 , . . . , α, 1 számokkal, majd az
számokkal, és az azonos hatványokat rendezzük
egymás alá. Így a következ® egyenletrendszert kapjuk:
a0 αn+m−1 + a1 αn+m−2 + · · · + an αm−1 = 0 a0 αn+m−2 + · · · + an−1 αm−1 + an αm−2 = 0 . . .
b0 αn+m−1 + b1 αn+m−2 + · · · + bm αn−1 = 0 b0 αn+m−2 + · · · + bm−1 αn−1 + bm αn−2 = 0 . . . A homogén lineáris egyenletrendszerek elmlélete szerint a tekintett egyenletrendszer determinánsának értéke 0. Ez szükséges feltétele annak, hogy egyenleteknek legyen közös gyöke. polinomok
R(f, g) rezultánsával.
f (x) = 0
S®t ez a determináns megegyezik
Ebb®l következik, hogy amennyiben
sem 0, úgy a determináns elt¶nése elégséges feltétele
g(x) = 0
f (x)
és
g(x)
a0 és b0 egyike
f (x) = 0 és g(x) = 0 egyenletek
közös gyökének létezésére. Visszatérve, Tschirnhaus eljárásában szerepl® determináns értéke
c3 y 3 + c2 y 2 + c1 y + c0 , 32
és
ahol
c3 = −1 c2 = 3b0 − 2p c1 = 4pb0 − 3qb1 − 3b20 − pb21 − p2 c0 = q 2 + p2 b0 − pqb1 + 3qb0 b1 − 2pb20 + b30 − qb31 + pb0 b21 . A továbbiakban tehát a
c3 y 3 + c2 y 2 + c1 y + c0 = 0 egyenlettel foglalkozunk, és célunk, hogy
c1
és
c2
(3)
0-val legyen egyenl®, azaz
0 = 3b0 − 2p, amib®l következik, hogy
b0 =
2p . 3
Ezt a
0 = 4pb0 − 3qb1 − 3b20 − pb21 − p2 egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy
pb21 + 3qb1 − amib®l
p2 = 0, 3
! r p 3 q 2 q + − . 3 2 2 r p 3 q 2 b1 értékét, valamint A := + , 3 2 3 q 3 3 3 . c0 = 2 A A− p 2 3 b1 = p
Már ismerjük
c0 -t
és
c3 -at
b0
és
tehát
(3)-ba helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk
3 3 q −y + 2 A A− = 0, p 2 3
3
3
melynek megoldása
6A y= p
r q 3 A− . 2
Az (1) egy megoldását tehát a (2) segítségével, azaz az
r 3 q 2p 6A 3 q x + A− x+ = A− p 2 3 p 2 2
33
(4)
egyenlet megoldásával kaphatjuk meg. Azonban általában (4) megoldásai közül csak egy megoldása (1)-nek is. A közös gyök megtalálásának céljából keressük meg (1) és (4) legnagyobb közös osztóját, mivel tudjuk, hogy az egyenleteknek akkor és csak akkor van közös gyökük, ha
d(x) = 0
prímek, és az összes közös gyököt a
d(x) Ha
az
f (x)
A 6= 0
és
f (x) = 0
g(x)
és
és
f (x)
g(x) = 0
nem relatív
egyenlet gyökei szolgáltatják, amelyre
g(x) r polinomoknak legnagyobb közös osztója. q B = 3 A − , akkor az Euklideszi algoritmus a következ® 2 és
közös osztót adja:
2 3 p p 2A B2 + Bx + − B 2 p 3 3 Ez csak úgy lehet egyenl® 0-val, ha
Bx + azaz a megoldás
p − B 2 = 0, 3
p 3 =B− p . B 3B
B2 − x=
Megjegyezzük, hogy ismét a Cardano-képletet kaptuk, ugyanis
s B=
3
és
q − + 2
r p 3 q 2 + 3 2
s p − = 3B
3
q − − 2
r p 3
34
3
+
q 2 2
.
legnagyobb
5.
Új szemlélet
A XVIII. század második felében már többé-kevésbé ismert volt a polinomok elmélete, képesek voltak magas szint¶ számításokat elvégezni, s®t Moivre (1667 1754) munkájában összekapcsolja a komplex számokat a trigonometriával, melynek segítségével meg lehet határozni az n-edik egységgyököket.
Mindezek az egyen-
letekkel kapcsolatos kutatásokat új irányba mozdították. Egy évszázadon belül az egyenletek elmélete gyors fejl®désen ment keresztül, mely drámaian megváltoztatta az egész algebrát.
5.1. Étienne Bézout E korszak els® munkái a 60-as években jelennek meg Euler (17071783) és Bézout (1730783) jóvoltából, kik új eljárásokat dolgoznak ki a legfeljebb 4-ed fokú egyenletek megoldására. Bézout 1765-ben kiadott munkájában már alkalmazza az egységgyököket: ötlete az
x = a0 + a1 y + a2 y 2 + · · · + an−1 y n−1 yn = 1 helyettesítés. kiszámítjuk
Ezekb®l a 31.-32.
Rn (x)-et.
lenthetjük, hogy
oldalon kifejtett rezultáns módszer segítségével
Ha szükséges,
Rn (x)
normált. Ha
Rn (x)
x
és
y
f®együtthatójával osztunk és így kije-
a fenti egyenletrendszer gyökei, akkor
x = a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 , ahol
w
n-edik egységgyök, gyöke
Rn (x) = 0-nak,
tehát
Rn (x)
osztható az
x − (a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 ) kifejezéssel.
a0 , a1 , . . . , an−1
független határozatlanok,
böz® n-edik egységgyökök tartoznak, így
Rn (x) =
Rn (x)
x
megfelel® értékeihez külön-
az alábbi módon írható fel:
Y (x − (a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 )),
ahol a szorzat az n különböz® n-edik egységgyökön fut végig. Ha alakját fel tudjuk írni, akkor
Rn (x) = 0
alapján egy tetsz®leges n-ed fokú
Rn (x)-nek
ezt az
egyenlet megoldásait is megkapjuk. Ezek
P (x) = 0 alakú egyenlet megoldása során célunk az 35
a0 , a1 , . . . , an−1 paramétereket úgy megválasztani, hogy Rn (x) azonos formájú legyen P (x)-szel,
így a
P (x) = 0
egyenlet megoldásait
a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1
alakban kaphatjuk meg. Alkalmazzuk Bézout módszerét az
x3 + px + q = 0 harmadfokú egyenletre. Els® lépésben számoljuk ki
R3 (x)-et
−a2 y 2 − a1 y + (x − a0 ) = 0 y3 − 1 = 0 egyenletekb®l:
−a −a x − a 0 0 2 1 0 0 −a2 −a1 x − a0 0 R3 (x) = 0 0 −a2 −a1 x−a 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 Most válasszuk meg
a0 , a1 , a2
= (x−a0 )3 −3a1 a2 (x−a0 )−(a31 +a32 )
paramétereket úgy, hogy
R3 (x)
megegyezzen az
x3 + px + q polinommal:
(2)-b®l fejezzük
a2 -t,
a0 = 0
(1)
−3a1 a2 = p
(2)
−(a31 + a32 ) = q
(3)
majd ezt helyettesítsük be (3)-ba:
a61 + qa31 − Ez egy másodfokú egyenlet
a2
3
=0
a31 -re, melynek megoldását már ismerjük. a1 ismeretében
már könnyen kiszámolható.
R3 (x) = x3 + px + q
p 3
megoldásai
a 3. egységgyökökön. Jelölje
ς
Rn (x)
gyöktényez®s alakjából láthatjuk,
a1 w + a2 w2
alakban el®állnak, ahol
w
hogy
végigfut
az egyik 1-t®l különböz® 3. egységgyököt. Ekkor a
megoldások:
a1 + a2 ,
ςa1 + ς 2 a2 , 36
ς 2 a1 + ςa2
5.2. Joseph Louis Lagrange Lagrange
(17361813)
1770-ben
kiadott
Észrevételek
az
egyenletek
algebrai
megoldásával kapcsolatban cím¶ m¶ve a korszak legérthet®bb és legátfogóbb m¶ve. El®ször felülvizsgálja a harmad- és negyedfokú egyenletek ismert megoldási eljárásait, melyeket megpróbál magasabb fokú egyenletekre is kiterjeszteni, majd ezt követ®en kidolgozza saját elméletét. Bézout munkájából az alábbi következtetéseket vonja le: ha egy n-ed fokú egyenlet megoldásai
a0 + a1 w + a2 w2 + · · · + an−1 wn−1 alakban el®állnak, ahol
w
végigfut az n-edik egységgyökökön, és
n-edik egységgyököt, akkor
x1 , . . . , x n
ς
jelöl egy primitív
gyökökre az alábbi kifejezéseket kapjuk:
x1 = a0 + a1 + a2 + · · · + an−1 x2 = a0 + a1 ς + a2 ς 2 + · · · + an−1 ς n−1 x3 = a0 + a1 ς 2 + a2 ς 4 + · · · + an−1 ς 2(n−1) . . . 2
xn = a0 + a1 ς n−1 + a2 ς 2(n−1) + · · · + an−1 ς (n−1) Tehát az általános alak:
xi =
n−1 X
aj ς (i−1)j ,
ahol
i = 1, . . . , n.
j=0
a0 , . . . , an−1
paraméterek
megszorozni ressük meg
ς
ak
meghatározásához
mindegyik
egyenletet
alkalmas hatványával, majd a kapott egyenleteket összeadni.
Ke-
értékét: a szorzást és összeadást követ®en
n X
ς −(i−1)k xi =
i=1 egyenletet kapjuk. Ha megoldása az
elegend®
n−1 X
aj
j=0
j 6= k ,
akkor
n X
! ς (j−k)(i−1)
ς (j−k)
egy egyt®l különböz® egységgyök, tehát
xn − 1 = xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 x−1
egyenletnek, amib®l következik, hogy
n X
(1)
i=1
ς (j−k)(i−1) = 0.
i=1 37
Így (1) jobboldalán minden tag elt¶nik, kivéve a keresett tagot, amikor
j = k , tehát
az alábbi egyenl®séget kapjuk:
1 n Ebb®l látható, hogy tehát
ak
egy
n!
ak
összes,
n X
! ς −(i−1)k xi
= ak
i=1
x1 , . . . , xn permutációival megadott értéke különböz®,
fokú egyenlet egy megoldása. Azonban Lagrange megmutatta, hogy
ank csak (n−1)! értéket vesz fel, s®t ha n prímszám, akkor ank egy megoldása egy n−1 fokú egyenletnek, melynek együtthatói meghatározása megegyezik egy
(n − 2)! fokú
5 egyenlet megoldásával. Így például n = 5 esetén ak meghatározása egy 3! = 6 fokú k egyenlet megoldását igényli. Ha n = pq , ahol p prím és q | k , akkor ap egy megoldása
p − 1 fokú egyenletnek, melynek együtthatói meghatározása megegyezik n! 2 fokú egyenlet megoldásával. n = 6 esetén a3 meghatározása tehát p (p − 1)p(q!)
egy
egy egy
10-ed fokú egyenlet megoldását igényli. Ezek Lagrange-ban kétséget ébresztettek az általános ötödfokú illetve magasabb fokú egyenletek megoldhatósága fel®l. Az általa vizsgált eljárásokból levont végs® következtetés végülis az, hogy bármely fokú egyenlet a jöv®ben megoldható lesz egy rezultáns egyenlet segítségével, melynek megoldásai
x1 + wx2 + w2 x3 + · · · + wn−1 xn
alakba írhatók, ahol
w
egy n-edik
egységgyök. Ma ezt a
t(w) = x1 + wx2 + w2 x3 + · · · + wn−1 xn kifejezést nevezzük Lagrange rezolvensnek. Ennek ismeretében egy n-ed fokú egyenlet megoldásai:
1 xi = n
! X
w−(i−1) t(w)
w
5.3. Abel-Ru ni tétel Lagrange felfedezéseit követ®en Paolo Ru ni (17651822) 1799-ben kiadta Teoria Generale delle Equazioni cím¶ munkáját, melyben bebizonyította, hogy a legalább ötödfokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel.
Bizonyításának 516 oldala
azonban túl hosszú és nehéz volt még a többi matematikus számára is,
így
munkájára negatív kritikákat kapott. Ezért bizonyítását leegyszer¶sítette, de még így sem kapta meg az elismerést. Egyedül Cauchy (17891857) támogatta munkája helyességét. Bizonyítása azonban tényleg hibákat, hiányosságokat tartalmazott.
38
1824-ben Niels Henrik Abel (18021829) által új bizonyítás jelent meg, mely már kiküszöbölte Ru ni hibáit. Az Abel-Ru ni tétel tehét a következ®:
Az általános n-edfokú egyenlet
esetén nem oldható meg gyökjelekkel, azaz az
n≥5
n ≥ 5
esetén az általános n-edfokú
polinom felbontási teste gyökökkel nem elérhet®. Az állítás igazolásának alapvet® ötlete, társítunk,
melynek
részcsoprtjai
hogy az egyenlet gyökeihez csoportot
alapján
a
megoldhatóság
eldönthet®.
Ha
a
részcsoportoknak létezik olyan növekv® lánca, amelyben az egyes tagok az el®z® részcsoportnak
viszonylag
egyszer¶
b®vítései,
akkor
az
egyenlet
gyökjelekkel
megoldható. A szükséges de níciók a következ®k:
De níció: f ∈ K[x] αi ∈ L K
Legyen
K ≤L
test, és tegyük föl, hogy
c ∈ K ).
Ekkor
tartalmazza egy nem nulla
f (x) = c(x − α1 ) · · · (x − αn )
polinom összes gyökét (vagyis
elemekre, ahol
L
K(α1 , . . . , αn )
az
f
alkalmas
polinom felbontási teste
fölött.
De níció: 1. A
K
A
K
test felett gyökökkel elérhet®nek nevezzük
testet.
2. Ha az
L
K -nak
test a
elérhet®, és
véges algebrai b®vítése, amely
K
felett gyökökkel
M = L(b), ahol b az L felett irreducibilis, prímfokú xp − a polinom
gyöke, akkor
M
gyökökkel elérhet® a
3. Csak azokat a testeket nevezzük
K
K
felett.
felett gyökökkel elérhet®nek, amelyek az
el®z® két lépés véges sokszori alkalmazásával állíthatók el®. Végül Galois (18111832) 1829-ben már elégséges feltételt adott egy egyenlet megoldhatóságára: Legyen
K ≤C
test, és
f ∈ K[x]
egy irreducubilis polinom. Ha
valamelyik (komplex) gyöke fölírható egy olyan képlettel, amely a négy alapm¶velettel és gyökvonásokkal keletkezik, akkor az felbontási testének Galois-csoportja feloldható csoport.
39
f
f
f
együtthatóiból
polinom
K
fölötti
6.
Életra jzok
Thalész
Élt Kr. e. 624546 között. Milétoszban született el®kel® családban. Hírnevét politikai tanácsadóként szerezte. A hét bölcs egyike, a matematika és lozó a atyja, a milétoszi iskola els® képvisel®je, a legkorábbi görög természet lozófus.
az els® olyan görög
matematikus, akinek neve máig fennmaradt. fogalmazta meg a geometria egyik legels® alaptételét, a róla elnevezett Thalész-tételt. Szintén az ® eredménye a párhuzamos szel®k tétele. Az olümpiai játékok gyelése közben halt meg.
Diophantosz
Élt Kr. e. 250 körül. Alexandriából származó görög matematikus. Az ókori görög matematika utolsó nagy képvisel®je. F®m¶ve, az Arithmetica tizenhárom könyvéb®l csak hat maradt fenn. Els®- és másodfokú egyenleteket oldott meg, valamint határozatlan egyenletekkel is foglalkozott. Az olyan feladványokat kedvelte, amelyek megoldása egész szám, ezért az ilyeneket mindmáig diofantikus problémáknak nevezzük.
Brahmagupta
Élt 598668 között. Bhinmalban született. Indiai matematikus, csillagász. Leghíresebb Brahmasphutasiddhanta c. m¶ve a legkorábbi matematikai m¶, melyben a nulla, mint szám szerepel. Brahmagupta negatív számokon végrehajtott m¶veleteket is leír. Jelent®s eredménye az általános másodfokú egyenlet megoldóképlete.
Hvárizmi
Élt 780850 között.
Horezm városában született.
Életér®l nagyon keveset tudunk.
Matematikusok és csillagászok vezet® személyisége volt. Aritmetikai és algebrai m¶vei óriási hatást gyakoroltak a matematika továbbfejl®désére. Nevezetes munkája, amely arab
40
nyelven is fennmaradt a Kitáb al-dzsabr val mukabala, azaz a Helyreállítás és egyszer¶sítés könyve. Az els® - és másodfokú számegyütthatós egyenletek megoldását tárgyalta.
Abu Kámil
Élt 850930 között. Egyiptomi muszlim matematikus volt, kit az Egyiptomi számológépnek neveztek.
Életér®l nagyon keveset tudunk.
Abu Kámil korának polihisztoraitól
eltér®en a matematika egy területére, az algebrára összpontosított.
Munkái fontos
szerepet játszanak a matematika Európában való elterjedésében, ugyanis módszereit kés®bb Fibonacci alkalmazta.
Omar Hajjám
Élt 10481131 között. Nisapur városában született, tudós perzsa költ®, csillagász, matematikus, lozófus. Neve sátorkészít®t jelent. Tudására fel gyelve a szultán egészen atalon az udvarába hívja. Kés®bb Iszfahánban él, a szultán pártfogoltjaként. Megpróbálkozik az algebra és a geometria élesebb elkülönítésével, és már harmadfokú egyenleteket old meg. Nagyban hozzájárult a számfogalom pontosításához.
Scipione del Ferro
Élt 1465.02.061526.11.05. között. Bolognában született. 1496-tól a bolognai egyetem számtan és geometria el®adója. Édesapja papírgyártással foglalkozott, melynek köszönhet®en del Ferro az oktatás mellett a papír kereskedelmében is részt vett. Megoldotta az x3 + px = q alakú egyenletet, azonban más munkái nem maradtak fenn, melynek következménye, hogy neve kevésbé ismert. Cardano így ír róla: Egy ember egyedülálló módon tehetséges ebben a m¶vészetben (algebra).
Niccoló Fontana Tartaglia
Élt 14991557 között. Bresciában született. Olasz matematikus, er®dítményeket tervez® mérnök, földmér® és a Velencei Köztársaság könyvel®je. Több könyve jelent meg, köztük Arkhimédész és Euklidész els® olasz fordítása. Édesapját 1505-ben meggyilkolták. Ezután Niccoló két testvérével és édesanyjával élt nagy szegénységben. 1512-ben további tragédia
41
érte, amikor a franciák lemészárolták Brescia lakóit. Ekkor szerezte sérülését, melynek következtében beszédhibás lett, és megkapta a Tartaglia, azaz a dadogós nevet.
Gerolamo Cardano
Élt 1501.09.24.1576.09.21. között. Olaszországban, Paviában született. Matematikus, zikus, orvos, asztrológus. Apja ügyvéd volt, de a matematikával is kapcsolatban állt. Cardano a paviai egyetemen tanult orvosnak, ahol kés®bb rektorrá választották. 1525-ben megszerezte az orvosi doktorátusát, azonban nem túl sikeres orvosi praxist alakított ki. Nem tudott elég pénzt keresni, ezért a szerencsjátékhoz fordult, de végül szegényházba került. Kés®bb óriási szerencséjére megkapta édesapja korábbi posztját és matematikát adhatott el® Milánóban. Ekkor a Fizikusok Kollégiuma is befogadta, és ekkor kezd®dött Cardano igazi karrierje.
Foglalkozni kezdett a harmad- és negyedfokú egyenletek
megoldhatóságával. F®eredménye ma Cardano-képlet néven ismeretes, amelyet az Ars Magna c. könyvében publikált 1545-ben. Vezet®, elismert tudóssá vált, és a Fizikusok Kollégiuma rektorrá avatta.
1570-ben Cardano börtönbe került eretnekség vádjával,
ugyanis elkészítette Krisztus horoszkópját. Mivel egyéb ügyekben támogatta az egyházat, nem büntették meg súlyosan. Az algebra mellett Cardanónak fontos felfedezései voltak a hidrodinamikában, mechanikában, valószín¶ség-számításban, geológiában. Cardanóról kapta nevét a hajók irányt¶inek fölfüggesztésére szolgáló kardántengely.
Ludovico Ferrari
Élt 1522.02.02.1565.10.05. között. Bolognában született. Édesapja halála után nagybátyjával élt, kinek köszönhet®en Ferrari Cardanóhoz kerülhetett szolgaként. Cardano észrevette, hogy a 14 éves Ferrari tud írni-olvasni, és felmentette ®t szolgai feladatai alól, és kinevezte titkárának, majd kés®bb matematikát tanított neki. 18 éves korában már tanított, majd 1541-ben a milánói egyetem el®adója lett. fedezte fel a negyedfokú egyenlet megoldóképletét.
Eredményeinek köszönhet®en a császár felkérte a mellé
tanítónak. Azonban ® a jobb zetés és pozíció reményében Milánó adószakért®je lett, melynek köszönhet®en atalon és gazdagon vonult vissza Bolognába. 1565-ben a bolognai egyetem állást ajánlott neki. Ferrari nem sokkal ez után arzénmérgezésben halt meg.
42
Francois Viéte
Élt 1540.1603.12.13. között. Franciaországban született. Foglalkozását tekintve jogász és parlamenti képvisel® volt, kedvtelésb®l ¶zte a matematikát. Sokoldalúságát a francia udvar is igénybe vette. Megfejtette a spanyolok megfejthetetlennek vélt kódját, ezzel segítve az ellenük vívott háborút. Bet¶jelöléseket bevezetve lehet®vé tette az egyenletek általános alakjának és megoldásának felírását. Megállapította a gyökök és együtthatók összefüggését néhány esetre (Viéte-formulák). Kidolgozta az algebrai mennyiségekkel való m¶veletek szabályait.
René Descartes
Élt 1596.03.31.1650.02.11. között. Francia lozófus, természetkutató és matematikus volt. Touraine megye La Haye nev¶ városában (ma már elnevezték róla Descartes-nak) született nemes, ám sem nem gazdag, sem nem híres családba. Tanulmányait a IV. Henrik által alapított La Fleche-i jezsuita líceumban kezdte, amely egyike volt Európa legkiválóbb iskoláinak. Itt elsajátította a latin nyelvet. 1616-ban jogi licenciátust szerzett, majd 1618-ban pedig Hollandiába utazott, ahol megismerkedett Isaac Beeckman nev¶ zikussal, aki a matematika és a zika felé fordította érdekl®dését. 1619-ben hosszabb utazásra indult, melynek során Magyarországra is ellátogatott.
1628-ban újból Hollandiába
költözött, és az egyik szolgálóleánytól gyereke született, aki sajnos 1650-ben meghalt. Descartes 1649-ben Stockholmba utazott, és nemsokára, 1650-ben tüd®gyulladásban halt meg. A matematikában els®sorban a geometriai munkássága miatt ismer. La Géométrie cím¶ könyve három részre oszlik: az els® kett® témája az analitikus geometria, a harmadik könyv algebrai fejtegetéseket tartalmaz.
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus
Élt 1651.04.10.1708.10.11. között. Német matematikus, zikus, orvos és lozófus volt. 15 éves koráig magántanára volt, majd 1666-ban Görlitzbe járt gimnáziumba, ahol felkészítették az egyetemre, és ahol magas szint¶ matematikai oktatást kapott. 1668 ®szén a leideni egyetem diákja lett, ahol matematikát, lozó át, zikát és gyógyszerészetet tanult. Az 1672-ben kitört háború miatt 18 hónapra félbe kellett szakítania tanulmányait, 43
majd 1674-ben európai körútra indult. 1682-ben a párizsi Tudományos Akadémia tagjává választották. 1683-ban megházasodott, és folytatva kutatásait, publikálta saját módszerét az általános harmadfokú egyenlet megoldására. A következ® években sok munkája megjelent, valamint a porcelánnak, mint anyagnak az el®állításával kísérletezett. Feleségének halálát követ®en újraházasodott, de a háborúknak köszönhet®en nagy szegénységben halt meg. Porcelánjának termelését halála után, 1710-ben kezdték meg.
Étienne Bézout
Élt 1730.03.31.1783.09.27. között. A franciaországi Nemours-ban született. Nagyapja és édesapja is elöljáró volt, azonban Bézout Euler munkáit olvasva a matematika mellett kötelezte el magát. 1758-ban a párizsi Tudományos Akadémai adjunktusává választották, és tankönyveket kezdett írni. Tankönyvei igen népszer¶ek voltak, angol fordításban ÉszakAmerikában is használták ®ket. Algebra témájú könyveit is sokan olvasták. Mivel sok id®t töltött oktatással, kevés ideje maradt kutatásokra, melyekben általános problémák megoldásait kereste.
Algebrai eredményeit az 1779-ben kiadott Théorie générale des
équations algébraiques c. m¶ összegzi. Halála után Nemours-ban egy szobrot állítottak, így emlékezve nagyszer¶ eredményeire.
Joseph Louis Lagrange
Élt 1736.01.25.1813.04.10.
között.
Olasz születés¶ francia matematikus.
Édesapja
ügyvédnek szánta, ezért a torinói f®iskolán tanult, kedvenc tárgya a klasszikus latin volt, a matematikát unalmasnak találta. Érdekl®dését Halley munkája keltette fel, melyben az algebrát az optikában alkalmazta. Els® matematikai munkáját 1754-ben adta ki, melyet Luigi De la Grange Tournier néven írt alá. Ezt követ®en tovább folytatta kutatásait, eredményeir®l Euler-t mindig levélben értesítette. Eredményeinek köszönhet®en már 19 éves korában a torinói Royal Artillery School matematika professzora lett. szerepe volt a torinói Tudományos Akadémia megalapításában.
1757-ben
1764-ben a Hold li-
brációjával kapcsolatos értekezéséért megkapta a párizsi Tudományos Akadémia díját. 1766-ban Berlinbe ment, hogy átvegye Euler megüresedett helyét az ottani akadémián. 1787-ig élt Berlinben, ahol kidolgozta Észrevételek az egyenletek algebrai megoldásával kapcsolatban c. m¶vét, mely új korszakot nyitott az algebra történetében. Berlin után Párizsba költözött, ahol Napóleon kinevezte szenátorrá, és gró címet adományozott neki. 44
Paolo Ru ni
Élt 1765.09.22.1822.05.10. között. Olasz matematikus és lozófus volt. 1783-ban a modenai egyetem diákja lett, ahol matematikát, gyógyszerészetet, lozó át és irodalmat tanult. 178788-ban még diák volt, de már analízist oktatott az egyetemen. A diploma megszerzése után pedig már az egyetem professzora lett.
Mikor Napóleon seregei
megszállták Modenát, Ru ni a politikai életben találta magát, és képvisel® lett. Kés®bb tisztségét elhagyva ismét tanítani szeretett volna, azonban ezt megtagadták t®le. Ru ni nem esett kétségbe, több ideje jutott kutatásaira, beleértve az ötödfokú egyenletek elméletét. 1799-ben kiadott m¶vében kijelenti, hogy az ötödfokú egyenletek nem oldhatók meg radikálokkal, azonban bizonyításában hiba található. Az elutasítást követ®en 7 évig alkalmazott matematikát tanított a modenai katonai iskolában, majd Napóleon elesése után a modenai egyetem rektorává választották. 1817-ben tífuszos lett, amib®l sosem sikerült teljesen felépülnie.
Niels Henrik Abel
Élt 1802.08.05.1829.04.06. között. Norvég matematikus volt. A 14 éves Abelt szülei a christianiai Cathedral Schoolba küldték tanulni, ahol matematika tanára felfedezte képességeit, és különórákat adott neki.
1821-ben egyetemista lett.
Tudását tovább
b®vítette Newton, Euler, Lagrange és Gauss munkáin keresztül. 1823-ban egyik munkája megjelent egy helyi tudományos lapban. Még ebben az évben Koppenhágába utazott, ahol részt vett a tudományos életben. 1824-ben kiadta az ötödfokú egyenletekr®l szóló elméletét, azonban elméletének bizonyítása nem volt tökéletes, így a várva várt elismerés elmaradt. 1825-ben lehet®séget kapott az utazásra, így 4 hónapot töltött Berlinben, ahol egy új tudományos lapban publikálhatott, mely Abel munkáinak köszönhet®en vezet® folyóirattá vált. 1826. júliusában érkezett Párizsba, ahol kidolgozta Párizsi éretkezését, melyet elküldött a Tudományos Akadémiának. Valaszt azonban nem kapott, és élete végéig úgy hitte, munkája örökre elveszett. Párizst szegényen és szomorúan hagyta el, hogy tudását szül®földjén kamatoztassa. Visszatérve Norvégiába útját kudarcként élte meg, hisz Párizsban nem jelent meg munkája, és Gauss-t sem látogatta meg. Hogy adósságait ki zesse, magántanárnak állt. 1828-ban ideiglenes állást kapott a christianiai egyetemen, ami ki45
csit javított anyagi helyzetén. Ezt követ®en Berlinben dolgozott, de rövid id® belül ismét visszatért Christianiába, ahol megbetegedett, és ágyhoz kötötté vált. Utolsó heteiben párizsi munkáját próbálta újraírni. Végül 26 évesen belehalt betegségébe. Elveszettnek hitt munkáját halála után 2 nappal megtalálták és dicséretekkel halmozták el, majd az Akadémia díjával jutalmazták.
46
Hivatkozások
[1] Sain Márton:
, Gondolat, Budapest, 1986
Nincs királyi út: Matematikatörténet
[2] A.P. Juskevics:
A középkori matematika története
, Gondolat, Budapest, 1982
[3] [4] Kiss Emil:
, Typotex, Budapest, 2007
Bevezetés az algebrába
[5] Szele Tibor:
, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977
Bevezetés az algebrába
[6] http://www.math.u-szeged.hu/klukovit/Hallgatoknak/AlgTort
47
