DIDACTISCHE AANDACHTSPUNTEN
ARTIKEL
bij verbetertrajecten
Rekenbeleid Dr. Kees Buijs, SLO Leerplanontwikkelaar rekenen-wiskunde
Artikel
Inleiding Streven naar hogere leeropbrengsten
Schoolteams zijn niet altijd helemaal tevreden over de leeropbrengsten bij rekenen1. Dit kan naar voren komen bij het analyseren van toetsresultaten van het gebruikte leerlingvolgsysteem, zoals het LOVS van het Cito. In de door het Cito verstrekte overzichten van de eigen school blijken dan bijvoorbeeld toch veel meer leerlingen in de categorieën D en E voor te komen dan men zelf had ingeschat. Ook kan het gebeuren dat nogal wat leerlingen die men in de klas veelal als goed ervaart, bij de LOVS-toetsen toch niet verder dan een B- of C-score komen. Als zulke trends zich een aantal jaren achter elkaar voordoen, kan dat tot de conclusie leiden dat het rendement van het rekenonderwijs op de eigen school nog niet optimaal is, en dat er verbetering mogelijk moet zijn. Wat zijn mogelijke oorzaken van dergelijke tegenvallende leeropbrengsten? En hoe kan het werken aan betere leeropbrengsten het beste aangepakt worden? Het blijkt vaak niet eenvoudig om een eenduidige oorzaak aan te wijzen. Vaak is een combinatie van
factoren van invloed op de leeropbrengsten. De voornaamste daarvan zijn: (1) Gebrek aan inzicht in doorlopende leerlijnen bij leerkrachten; De belangrijkste leerprocessen bij rekenen beslaan vaak meerdere leerjaren. Dit geldt bijvoorbeeld voor de tafels van vermenigvuldiging. De eerste verkenningen vinden gewoonlijk in groep 3 plaats, waarna in groep 4 de lagere tafels en in groep 5 de hogere tafels verkend en ingeoefend worden. Wat bij leerkrachten soms ontbreekt is een goed overzicht over zulke doorlopende leerlijnen, waarbij de globale structuur van deze leerlijnen helder is en plaats en functie van de door de methode aangereikte activiteiten doorzien wordt.
(2) 'Witte vlekken' in de gebruikte rekenmethode; In de gebruikte methode komen soms minder goed uitgewerkte onderdelen in een leerlijn voor ('witte vlekken'), waar je als leerkracht alert op moet zijn omdat er stagnaties door kunnen ontstaan.
(3) Niet optimaal functionerende instructievaardigheden bij leerkrachten; Hier wordt niet bedoeld dat leerkrachten potentieel niet over goede instructievaardigheden beschikken. Het tegendeel is meestal het geval. Maar wel dat zulke vaardigheden niet optimaal functioneren omdat er bijvoorbeeld onduidelijkheid bestaat over de mate van gewenste sturing tijdens een instructie, over de ruimte die leerlingen wel of niet dienen te krijgen om een eigen werkwijze te volgen, en over de wenselijkheid om bepaalde kennis en vaardigheden bij de leerlingen ‘in te slijpen’.
(4) Een steeds heterogenere leerlingenpopulatie binnen de school; Naarmate een groep leerlingen qua rekenniveau heterogener is, wordt het moeilijker om goed met de verschillen tussen deze leerlingen om te gaan. Daar komt nog bij dat deze verschillen soms ook door het onderwijs in de hand gewerkt lijken te worden.
(5) Een niet optimaal functionerende zorgstructuur binnen de school. Dit punt verwijst naar het feit dat zich binnen de school gewoonlijk verschillende actoren (groepsleerkracht, remedial teacher, rekencoördinator, interne begeleider, ...) met de problematiek van de zwakkere leerlingen bezighouden. Daarbij wordt lang niet altijd vanuit eenzelfde, gezamenlijk doordachte visie op onderwijsleerprocessen en op didactisch handelen gewerkt. 1 In veel publicaties wordt voor dit vakgebied de term rekenen-wiskunde en reken-wiskundeonderwijs gebruikt. Kortheidshalve wordt in dit artikel over rekenen en rekenonderwijs gesproken.
2
Artikel
Dit kan het voor leerlingen lastig maken om verband te zien tussen de aanwijzingen en suggesties die de leerkracht in de klas geeft, en bijvoorbeeld de hulp die een remedial teacher op basis van een handelingsplan biedt. Het gaat dus om een tamelijk complexe problematiek, waarvoor vaak geen pasklare oplossingen voorhanden zijn. Belangrijk is dan in ieder geval dat de didactische kennis van leerkrachten op peil is. Kwalitatief hoogwaardig rekenonderwijs staat of valt met die vakkennis. En dan gaat het niet alleen om de kennis van individuele leerkrachten, maar vooral ook om die van een schoolteam als geheel. Binnen veel scholen kan juist op dit punt nog veel winst geboekt worden. Dit artikel reikt een aantal vakdidactische aandachtspunten aan bij het opzetten en uitvoeren van een verbetertraject op het gebied van rekenen. Gedeeltelijk zijn deze aandachtspunten vakinhoudelijk van aard zonder dat zij specifiek betrekking hebben op een bepaald leerstofgebied. Drie van zulke algemene didactische aandachtspunten komen in § 2 aan de orde. Voor een ander deel gaat het om didactische aandachtspunten die wel specifiek betrekking hebben op een bepaald leerstofgebied. Deze punten hangen meestal samen met de algemene didactische aandachtspunten en zijn daarvan als een nadere uitwerking te beschouwen. Het zijn vaak praktische aanwijzingen voor het opzetten en uitvoeren van het dagelijkse onderwijs in de klas bij het doorlopen van fundamentele leerlijnen in de onderbouw van de basisschool zoals elementair getalbegrip, rekenen tot 100 en de tafels van vermenigvuldiging. Deze domeinspecifieke aandachtspunten komen in § 3 aan de orde. Daarmee weet je echter nog niet hoe je de aandachtspunten in een verbetertraject kunt inzetten. In de afsluitende § 4 worden daar enkele opmerkingen over gemaakt. Een rekenverbetertraject is bij voorkeur een teamgerichte aangelegenheid, waarbij langs bepaalde ontwikkelingslijnen gewerkt kan worden met intensieve onderlinge uitwisseling van praktijkervaringen, gezamenlijke doordenking van centrale doorlopende leerlijnen, 'bij elkaar in de keuken kijken', en dergelijke. Dat kan in samenspraak met of onder begeleiding van een externe deskundige (schoolbegeleider of onderwijsadviseur), maar ook in een reeks teamactiviteiten zonder hulp van buitenaf.
Algemene didactische aandachtspunten Een aantal didactische aandachtspunten die bij het werken aan een verbetertraject een rol kunnen spelen, zijn wel vakinhoudelijk maar toch algemeen van aard. Het gaat dan om de wijze waarop het rekenonderwijs is ingericht, de organisatie daarvan, de gehanteerde werkvormen, de wijze van instructie geven, en zo meer. Hieronder worden drie van zulke punten algemene didactische aandachtspunten beschreven. 2.1 Verdieping van het inzicht in doorlopende leerlijnen: werken aan een helikopterview Het gaat bij rekenen veelal om langlopende leerprocessen die meerdere leerjaren beslaan. Een voorbeeld vormt het gebied van de tafels dat vaak zo'n drie leerjaren bestrijkt. Een ander voorbeeld vormt het rekenen over de 10 (opgaven als 6+8, 13-9) waarvan de eerste verkenning gewoonlijk in de laatste periode van groep 3 plaatsvindt terwijl het proces van steeds efficiënter uitrekenen en automatiseren van opgaven in groep 4 zijn beslag krijgt. Afronding van het leerproces (memoriseren) en leren toepassen van deze kennis vinden voor een deel soms ook nog in groep 5 plaats. Bij het plannen, uitvoeren en evalueren van het onderwijs is het van grote waarde dat leerkracht én team (of onderbouwafdeling van een team) een goed overzicht over zulke doorlopende leerlijnen hebben. Dit betekent bijvoorbeeld dat de leerkracht in groep 4 weet welke activiteiten in groep 3 hebben plaatsgevonden, welke contexten daarbij aan de orde zijn geweest en welke reken-
3
Artikel
strategieën en –eigenschappen naar aanleiding daarvan besproken zijn. Ook moet de leerkracht overzien wat er in grote lijnen in het eigen leerjaar te gebeuren staat, hoe de voortgang door de leerstof globaal gepland is, op welke wijze er naar niveauverhoging en automatisering wordt gestreefd, en welke modellen daarbij in de opzet van de methode een rol spelen. Bovendien is het belangrijk te weten wat er in groep 5 nog op het programma staat om een leerproces af te ronden en om de verworven kennis te laten toepassen in complexere situaties. Het is dus wenselijk om een gemeenschappelijke helikopterview over de betreffende leerlijnen te hebben – een helikopterview waarbij men als (onderbouw)team weet wie in grote lijnen wat doet, en op welke manier. Zo’n helikopterview heeft voor de leerlingen het grote voordeel dat er meer continuïteit in het onderwijs ontstaat, en dat ze meer het gevoel hebben dat de verschillende leerstappen op een natuurlijke manier op elkaar volgen. Verder wordt het voor de leerkrachten zo beter mogelijk om de functie en het doel van bepaalde activiteiten die door de methode worden gesuggereerd, naar waarde te schatten en om eventueel aanpassingen en accenten aan te brengen in een leerlijn als dit nodig is. Men wordt dus minder afhankelijk van de ‘waan van de dag’ en is beter in staat om afstand van de methode te nemen en om deze effectief in te zetten. Laten we als voorbeeld het optellen en aftrekken over de 10 nemen. De eerste verkenningen van dit gebied vinden gewoonlijk in de tweede helft van groep 3 plaats, als de leerlingen bij het rekenen tot 10 (3+4, 5+2; 6-4, 10-7) de nodige progressie hebben geboekt. Nadat de telrij en het handig tellen van hoeveelheden tot 20 zijn verkend, volgt veelal een fase waarin de getalbeelden van het rekenrek (dubbelbeelden en tienbeelden; zie ook § 3.2) worden ingeoefend. Tegen het einde van groep 3 en in groep 4 worden aan de hand van het rekenrek vervolgens rekenstrategieën verkend waarmee dit soort opgaven efficiënt uitgerekend kunnen worden. Geleidelijk aan dient dit uitrekenen dan steeds 'automatischer' en sneller te gaan plaatsvinden waarbij het rek steeds meer achterwege blijft. Dit mondt uit in een reeks memoriseeroefeningen waarvan het doel is om de opgaven van buiten te leren kennen. Nu doen zich binnen deze leerlijn enkele belangrijke overgangen voor waarvan het cruciaal is dat leerkrachten (en onderbouwteams) zich er goed bewust van zijn. Belangrijk is bijvoorbeeld dat leerlingen de kennis van de getalbeelden van het rekenrek ook bewust leren inzetten bij de verkenning van efficiënte rekenstrategieën bij het rekenen over de 10, zodat het leerproces daarbij niet weer van voren af aan hoeft te beginnen. Een ander belangrijk moment doet zich voor bij de overgang van het hanteren van efficiënte rekenstrategieën op het rek, naar het uit het hoofd uitvoeren daarvan zonder het rek. Ook hier kan het zijn dat leerlingen de met behulp van het rek opgebouwde kennis niet 'meenemen' en bijvoorbeeld terugvallen op een voor een tellen. Het is belangrijk dat leerkracht én team zich bewust zijn van dergelijke overgangsmomenten en dat men alert is op mogelijke terugvalmomenten bij leerlingen. De helikopterview over de voornaamste leerlijnen draagt hier sterk aan bij. 2.2 Versterking van de instructievaardigheid: convergerende instructie Bij het geven van instructie tijdens de rekenles wordt veel waarde gehecht aan inbreng van de leerlingen. Door aan te sluiten bij de eigen kennis en strategieën van leerlingen en daarop in de instructie voort te bouwen, voelen leerlingen zich aangesproken en komen ze verder in hun leerproces. Bovendien ervaren leerlingen én leerkracht het onderwijsleerproces zodoende meer als een gemeenschappelijke onderneming. De gezamenlijke doordenking van een strategie of een eigenschap kan bijdragen aan de individuele 'groei' van leerlingen. Dat gaat natuurlijk niet altijd vanzelf. Sterker nog, er bestaat het gevaar dat
4
Artikel
bepaalde leerlingen door een overdaad aan strategieën of redeneringen die tijdens de instructie aan de orde komen, het spoor soms eerder bijster raken dan dat ze profijt van de instructie van hebben. Dat is met name het geval als die strategieën en redeneringen in hun ogen niet zoveel met elkaar te maken hebben en niet herkenbaar zijn vanuit het eigen denken. Immers, als je als leerling niet of nauwelijks het verband ziet tussen wat je zelf doet (of probeert te doen) en wat anderen doen, dan zal de kennismaking met zulke strategieën je niet erg helpen om verder te komen. Daarom kan het belangrijk zijn om de instructie regelmatig zo in te richten dat goed wordt aangesloten bij de meest basale oplossingswijzen van leerlingen en dat de samenhang daarvan met meer geavanceerde strategieën helder over het voetlicht komt. Dat kan door, afhankelijk van het leerstofgebied, uit te gaan van een basisstrategie en door helder te maken hoe je zo'n basisstrategie op verschillende niveaus kunt uitvoeren. Eerst kan daarbij het meest elementaire niveau van oplossen aan bod komen, het niveau dat voor (vrijwel) alle leerlingen te doorgronden is en waar ze in kunnen meedenken. Daarna kan een meer gevorderd oplossingsniveau aan de orde komen waarbij het verband tussen de niveaus helder gemaakt wordt, zodat ook voor de zwakkere leerlingen niveauverhoging mogelijk wordt. Eventueel kunnen daarna nog andere, meer geavanceerde typen oplossingsstrategieën besproken worden, maar het kan raadzaam zijn om hier terughoudend mee om te gaan omdat een al te uitbundige behandeling van zulke strategieën verwarring bij sommige leerlingen in de hand werkt. Laten we als voorbeeld de leerlijn rond het optellen en aftrekken tot 100 nemen. In alle rekenmethoden wordt daarbij op een zeker moment de rijgaanpak op de lege getallenlijn als basisstrategie aangeboden waarmee de leerlingen vanaf een zeker moment, veelal medio groep 4, opgaven als 36+27 en 82-49 leren oplossen. Het meest elementaire oplossingsniveau bestaat er dan uit dat met sprongen van 10 en 1 verder of teruggesprongen wordt langs de lege getallenlijn. Zie de voorbeelden hiernaast. Nadat de leerlingen hier enigszins vertrouwd mee zijn geraakt, volgen veelal enkele instructieactiviteiten waarbij ze nader bewust worden gemaakt van de mogelijkheid tot verkorting door sprongen van 10 te vervangen door een sprong van 20 of 30 en door sprongen van 1 te vervangen door in twee stappen via het tienvoud te springen. Stel dat je als leerkracht deze kwestie in de instructie aan de orde wilt stellen, dan kan dat op basis van de eigen inbreng van leerlingen die uit zichzelf al tot deze verkortingen zijn gekomen. Maar wel is belangrijk dit zorgvuldig op te bouwen. Zou de instructie bijvoorbeeld beginnen met de oplossingsstrategieën van enkele meer gevorderde leerlingen (die een opgave als 36+27 bijvoorbeeld oplossen door te redeneren: 36+30 is 66, en dan 3 eraf is 63), dan is dit vaak voor de leerlingen waar het om gaat, moeilijk te volgen. Het is daarom aan te bevelen te beginnen met enkele voorbeelden van strategieën op het meer elementaire niveau van sprongen van 10 en van 1. Deze geeft u op basis van de aanwijzingen van de betreffende leerling(en) op het bord weer. U vraagt wie het op dezelfde manier heeft gedaan, en laat leerlingen dit mogelijk verwoorden. Vervolgens vraagt u of er leerlingen zijn die wel de 'getallenlijn-manier' hebben gevolgd, maar die het korter hebben gedaan. Mochten die er niet zijn, dan kunt u zelf zo'n verkorte strategie aandragen en op het bord weergeven. Bijvoorbeeld, in het geval van 36+27: 'En als ik nu eens in een keer een sprong van 20 maak, zou het dan ook lukken? Waar kom ik dan uit? Hoe weet je dat?..' Nadat dit gezamenlijk
5
Artikel
besproken en verhelderd is, kunt u nog enkele andere leerlingen aan het woord laten die helemaal uit het hoofd gewerkt hebben. Zulke strategieën kunt u desgewenst in rekentaal op het bord weergeven. Door de instructie in grote lijnen op deze manier in te richten, wordt bevorderd dat deze vooral voor de zwakkere leerlingen effectief wordt. Niet alleen herkennen zij zich in de strategie(en) van het basale niveau waar in eerste de aandacht naar uitgaat, maar ook krijgen zij een steeds beter idee van verkortingen daarvan, en worden zij gestimuleerd om deze zelf te beproeven. Het effect van deze vorm van instructie (die natuurlijk niet alleen klassikaal maar ook in een kleine groep kan plaatsvinden) kan zijn dat de klas als geheel goed bij elkaar blijft en dat de verschillen tussen leerlingen niet steeds groter worden. Er wordt in dit verband dan ook wel gesproken van convergerende instructie. Een en ander hoeft overigens niet te betekenen dat betere leerlingen in hun ontwikkeling geremd worden. Zij kunnen een eigen rol als 'aanjager' van het gezamenlijke onderwijsleerproces vervullen. Bovendien hoeft het vertrekpunt in de instructie natuurlijk niet altijd bij het meest basale oplossingsniveau te liggen. Maar juist door op een aantal cruciale momenten in het onderwijsleerproces de instructie op deze wijze te ‘programmeren’, wordt bevorderd dat de leerlingen in globale zin gelijke tred met elkaar kunnen houden en dat de verschillen niet steeds groter worden. 2.3 Verhoging van de instructiefrequentie Instructie is de hoeksteen van het rekenonderwijs. Dit betreft niet alleen klassikale instructie maar ook allerlei andere vormen, zoals verlengde instructie waarbij een beperkte groep leerlingen na het klassikale deel van de les nog aanvullende instructie krijgt, en individuele instructie waarbij een leerling bijvoorbeeld persoonlijk uitleg krijgt over een bepaald type fout dat hij/zij in een toets heeft gemaakt. Behalve de inhoud en de kwaliteit van de instructie is ook de frequentie belangrijk voor de effectiviteit van het onderwijs. De ervaring leert dat deze frequentie op nogal wat scholen aan de lage kant is. Dat is meestal geen eigen keuze van een leerkracht of schoolteam, maar heeft eerder te maken met het organisatiemodel van de gebruikte rekenmethode. Veel scholen gebruiken een methode waarbij er in principe op twee dagen per week sprake is van geplande instructieactiviteiten (de 'leerkrachtgebonden' lessen) en op drie dagen per week van zelfstandig werkenactiviteiten (de 'leerkrachtvrije' lessen). Dit organisatiemodel (dat op meer dan 60% van de Nederlandse scholen in gebruik is) brengt over het algemeen een lage instructiefrequentie met zich mee. Zelfs voor cruciale leerstofonderdelen die in een bepaalde periode centrale aandacht vragen, staat vaak slechts eens per week of per twee weken een klassikaal instructiemoment gepland. Uiteraard kan een leerkracht naar eigen goeddunken extra instructieactiviteiten inplannen en ook tijdens een verwerking aanvullende instructie geven. Maar dat is lang niet altijd even makkelijk te realiseren. Een gevolg van deze lage instructiefrequentie kan zijn dat bepaalde (veelal zwakkere of modale) leerlingen onnodig achterop raken en op termijn stagnaties gaan vertonen. Laten we als voorbeeld het tellen met sprongen van 10 vanaf een willekeurig getal nemen; 13, 23, 33, ... 94, 84, 74, ..., en het doorzien waarop dit berust (steeds een groepje van 10 erbij of eraf). Voor de leerlingen van groep 4 wordt beheersing van deze vaardigheid als een essentiële stap gezien in de aanloop naar het leren optellen en aftrekken met tienvouden (43+10, 54+20; 82-10, 94-30), en dus ook naar de verkenning van de hierboven beschreven rijgaanpak op de lege getallenlijn als basisstrategie voor het rekenen tot 100. Het is vooral voor de zwakkere leerlingen (maar ook voor veel modale leerlingen) van grote waarde als er in de instructie in een betrekkelijk kort tijdsbestek van zo'n drie tot vier weken intensieve aandacht voor deze vaardigheid is. En dat bij voorkeur in de vorm van korte, klassikale oefenmomenten waarbij hulpmiddelen als het 100 kralensnoer, een portemonnee met namaakgeld of eierdozen ingezet worden om het principe van 'steeds een groepje van 10 erbij of eraf' te verhelderen.
6
Artikel
Belangrijk is dat er vaart en variatie in zulke oefeningen zit (inclusief 'voorspeloefeningen' waarbij de leerlingen bedenken wat bijvoorbeeld het nieuwe bedrag in de portemonnee wordt als er 20 euro uitgehaald wordt), en dat deze in de betreffende onderwijsperiode zo'n twee tot drie keer per week plaatsvinden. Ook als de instructiefrequentie in de eigen methode als gevolg van het genoemde organisatiemodel laag is, verdient het aanbeveling om zulke oefeningen met grote regelmaat in te plannen. Dit geldt ook voor vergelijkbare oefeningen en activiteiten binnen veel andere leerstofgebieden, zoals het automatiseren van de tafels en het inoefenen van de getalbeelden van het rekenrek. In veel opzichten verdient het dan ook aanbeveling om de instructiefrequentie van de eigen methode kritisch onder de loep te nemen en zo nodig structureel te verhogen. Het meest effectief is dit natuurlijk als het een teambeslissing is die in alle leerjaren op een vergelijkbare manier wordt doorgevoerd.
Domeinspecificatie didactische aandachtspunten Hierboven is een aantal algemene didactische aandachtspunten beschreven die een rol kunnen spelen bij het opzetten en uitvoeren van een rekenverbetertraject. Deze werden geïllustreerd met voorbeelden uit verschillende leerstofdomeinen. Daarnaast zijn er ook didactische aandachtspunten die specifiek betrekking hebben op een bepaald leerstofgebied, zoals elementair getalbegrip (groep 1/2), optellen en aftrekken over de 10 (groep 3/4) en de tafels van vermenigvuldiging (groep 4/5). Deze punten vormen een belangrijke aanvulling op meer algemene aandachtspunten omdat zij voor afzonderlijke gebieden didactische mogelijkheden aanreiken voor verbetering van het eigen rekenonderwijs. Hieronder worden vijf van dergelijke domeinspecifieke aandachtspunten beschreven. 3.1 Groep 1/2: Elementair getalbegrip, resultatief tellen In groep 1/2 wordt een flink deel van de grondslag voor het hele verdere rekenen gelegd doordat de leerlingen essentiële leerervaringen opdoen, zoals het opzeggen van de telrij, het tellen en vergelijken van hoeveelheden, het herkennen van getalsymbolen, het meten en ruimtelijke oriëntatie. Het verwerven van elementair getalbegrip en resultatief tellen zijn van doorslaggevend belang om leerlingen een goede start met het eigenlijke rekenen in groep 3 te laten maken. Het gaat daarbij om ontwikkelingsgerichte activiteiten die de ontwikkeling van leerlingen in hoge mate kunnen bevorderen. Gedeeltelijk zijn dat spontane activiteiten die leerlingen uit zichzelf ondernemen en gedeeltelijk worden deze activiteiten door de leerkracht georganiseerd; bijvoorbeeld het werken met ontwikkelingsmateriaal, werken in de hoeken (bijvoorbeeld in de bouwhoek of de winkelhoek) en klassikale activiteiten. Suggesties daarvoor zijn te vinden in alle ideeënboeken die als voorlopers bij rekenmethoden op de markt zijn gebracht. Belangrijk is dat zulke activiteiten voldoende didactische diepgang hebben en regelmatig worden gedaan. Op beide punten lijkt op veel scholen nog flinke winst geboekt te kunnen worden. Zo is het zeker voor de leerlingen in groep 2 aan te bevelen om meerdere keren per week systematische activiteiten rond het tellen, vergelijken en bewerken van hoeveelheden in groepsverband (met de hele klas of in kleinere groepjes) te houden en daarbij begripsmatige essenties vanuit verschillende contexten en invalshoeken te belichten2. Dit kunnen eenvoudige, bij het seizoen aansluitende situaties zijn, bijvoorbeeld het tellen van hoeveelheden eikels, bloemen, dropjes, knopen, blokken, poppen, enzovoorts. Centrale, steeds terugkerende vragen zijn: • Hoeveel zijn het er? Wat is een handige manier om daar achter te komen? • Waar zijn er meer van? Hoe weet je dat?
2
Leerlingen uit groep 1 kunnen aan zulke activiteiten natuurlijk vaak ook heel goed deelnemen, zeker als er voor hen mogelijkheden zijn om op hun eigen manier een bijdrage aan de activiteit te leveren.
7
Artikel
• •
Hoeveel zouden er zijn als ik er twee weghaal? Hoe kun je daar op een handige manier achterkomen? En als ik er drie bij doe? Hoeveel groepjes van twee kun je maken? En hoeveel groepjes van drie? Hoe weet je dat?
Belangrijk is verder dat leerlingen ruim gelegenheid krijgen om aan hun medeleerlingen te demonstreren hoe ze te werk gaan, wat voor manieren ze gebruiken, en om te verwoorden welke redeneringen ze volgen. En tevens, dat er ruimte is om op elkaars manieren te reageren, aanvullende suggesties te doen, gezamenlijk vast te stellen wat een efficiënte manier is, enzovoorts. Uiteraard hoeft de leerkracht niet alleen toe te zien hoe zulke gesprekken verlopen. Zij kan de nodige sturing aanbrengen door te wijzen op essentiële begripsmatige aspecten, zoals het synchroon tellen, een efficiënte telstrategie voor het voetlicht te halen, enzovoorts. Juist als dit met een zekere regelmaat gebeurt, kunnen leerlingen steeds vertrouwder met zulke aspecten raken. Om welke essentiële aspecten gaat het dan precies? Het betreft in de eerste plaats drie begripsmatige aspecten die te maken hebben met de basisstrategie van het resultatief tellen, het een voor een tellen. In de tweede plaats gaat het om ‘strategische’ aspecten die verband houden met het steeds bedrevener raken in het uitvoeren van efficiënte telstrategieën. In de derde plaats gaat het om het leren ‘symboliseren’ in situaties waarin sprake is van erbij en eraf. Laten we een voorbeeld nemen: in de kring liggen acht eikels kriskras door elkaar. Nadat de leerkracht er een bijpassend verhaaltje over het aanleggen van wintervoorraden door een eekhoorn bij heeft verteld, wordt besproken hoeveel eikels de eekhoorn heeft verzameld en hoe je daar handig achter kunt komen. In de uitwisseling van telstrategieën die vervolgens plaatsvindt, kan de aandacht in de eerste plaats uitgaan naar drie begripsmatige aspecten van de genoemde basisstrategie. Dit betreft het in de juiste volgorde opzeggen van de telrij bij het tellen, het synchroon tellen (in de zin dat bij elk uitgesproken telwoord één object wordt geteld) en het resultatieve aspect van het tellen (in de zin dat het laatst uitgesproken telwoord tevens de totale hoeveelheid aangeeft). In de tweede plaats kan de aandacht uitgaan naar enkele ‘strategische’ aspecten. Van groot belang is dat leerlingen zich steeds meer bewust worden van de mogelijkheid om handige ‘telweggetjes’ te bedenken waardoor vergissingen bij het tellen voorkomen worden en waardoor de essentie van het tellen steeds meer blootgelegd wordt. Er wordt in dit verband wel gesproken van het steeds efficiënter leren organiseren van de telhandeling via het gebruiken en gezamenlijk doordenken van strategieën als: • Systematisch tellen door van links naar rechts of van onder naar boven alle objecten langs te gaan; • Systematisch tellen door alle objecten bij het tellen een voor een te verplaatsen en apart te leggen; • Systematisch tellen door alle getelde objecten van een kruisje of een sticker te voorzien; • Structurerend tellen door alle objecten in een makkelijk herkenbaar patroon te leggen, zoals een dobbelsteenpatroon of het patroon van een dubbele rij; • Verkort tellen door in een deel van de hoeveelheid een bekend patroon te onderscheiden (bijvoorbeeld de dobbelsteen-4) en de overige objecten een voor een bij te tellen; • Verkort tellen door in een hoeveelheid direct een bekend patroon te herkennen. Bijvoorbeeld: ‘ik zie dubbel 4, dus het moeten er 8 zijn’. Uiteraard zal niet iedereen dergelijke strategieën even snel oppikken. Maar juist door regelmatige uitwisseling, er samen over praten en elkaar op ideeën brengen, kunnen leerlingen gaandeweg steeds bedrevener worden. De leerkracht beveelt daarbij bepaalde strategieën aan en licht deze toe. Tenslotte is het aan te raden om bij zulke activiteiten af en toe uitstapjes te maken naar een wat complexere probleemsituatie, waarbij het gaat om ‘erbij’ en ‘eraf’. Bijvoorbeeld: er liggen 6 eikels in de kring. Nadat dit is vastgesteld, bedekt de leerkracht de eikels met een doekje (of stopt ze in een gesloten trommel) en haalt dan 2 eikels onder de doek vandaan. Hoeveel zijn er nu nog over? En als de
8
Artikel
juf er daarna 4 bij legt, hoeveel zijn het er dan? Enzovoorts. Er zijn tal van varianten op dergelijke situaties te bedenken, waarin de leerlingen gestimuleerd worden om zich voor te stellen hoeveel objecten er nog over zijn. Een essentiële stap in de richting van het meer formele optellen en aftrekken is dan dat een leerling de situatie probeert te symboliseren op de vingers. Hierbij wordt de niet meer zichtbare hoeveelheid met een corresponderend aantal vingers uitgebeeld, en wordt aan deze gesymboliseerde hoeveelheid de handeling van het weghalen of erbij doen van het betreffende aantal eikels voltrokken. In eerste instantie zal dat bij veel leerlingen nog niet zo gestroomlijnd gaan. Maar gaandeweg zullen ze meer bedreven raken en bijvoorbeeld gebruik gaan maken van de natuurlijke vijfstructuur van de volle hand. Bijvoorbeeld: 6 wordt opgezet als een volle hand en nog 1 vinger. 2 wordt eraf gehaald door de ene losse vinger met nog een vinger van de volle hand weg te buigen. Het resterende aantal wordt als ‘vingerbeeld’ (een volle hand min 1, dus 4 vingers) afgelezen. Letterlijk en figuurlijk krijgen de leerlingen zo een krachtig hulpmiddel in handen waarmee ze in allerlei erbij en eraf situaties spelenderwijs tot een oplossing kunnen komen. Zodoende kan in belangrijke mate de weg naar het meer formele optellen en aftrekken van groep 3 worden geplaveid. 3.2 Groep 3/4: Optellen en aftrekken tot 20 In het verlengde van de hierboven beschreven activiteiten rond elementair getalbegrip en resultatief tellen, wordt in groep 3 het optellen en aftrekken tot 10 verkend. Vertrekpunt daarbij zijn alledaagse erbij en eraf situaties zoals in- en uitstappende passagiers, aan- en wegvliegende vogels in een vogelhuisje, kaarsen die aangestoken en uitgeblazen worden, een geldsituatie waarbij munten in een portemonnee toegevoegd en uitgegeven worden, enzovoorts. Ruime aandacht wordt besteed aan het verwoorden van de handelingen in zulke situaties, en aan de daarmee corresponderende ontwikkeling van de rekentaal. Veelal wordt de pijlentaal geïntroduceerd als een eerste semiformele beschrijving van erbij- en eraf-situaties, en naderhand de formele rekentaal met de bekende plus-, min- en gelijktekens. Verder is er aandacht voor het structureren van getallen (splitsen, aanvullen, groepjes maken) en voor het ontwikkelen van efficiënte rekenstrategieën om opgaven als 5+4 en 8-6 uit te rekenen. Behalve de hierboven beschreven vingerbeelden worden vaak ook hulpmiddelen als fiches, een 10 kralensnoer, een getallenlijn en het rekenrek gebruikt. Een en ander dient erin uit te monden dat de leerlingen in de loop van groep 3 alle opgaven tot 10 steeds ‘automatischer’ en efficiënter gaan uitrekenen, met als uiteindelijke resultaat dat al deze opgaven in de eerste helft van groep 4 gememoriseerd zijn. Een gedegen automatiseerprogramma waarbij systematisch geoefend wordt in korte klassikale en individuele oefeningen met aandacht voor essentiële getalrelaties (4+4 is 8, dus 5+4 is 9, 10 is 5 en 5, dus 10-6 is eentje minder dan 5, dus 4 …) kan daar in hoge mate toe bijdragen. Zo’n programma is lang niet in alle methoden te vinden, en het kan in dat geval raadzaam zijn om zelf zo’n programma toe te voegen of aan te vullen. Waarbij ook rekening gehouden kan worden met het feit dat sommige methoden nogal optimistisch zijn bij hun inschatting van het moment waarop alle opgaven tot 10 geautomatiseerd of gememoriseerd zijn. Dit kan per leerling verschillen. Daarom verdient het aanbeveling om hier ook in de eerste helft van groep 4 nog de nodige aandacht aan te besteden. Vaak wordt parallel aan het automatiseringsproces rond de opgaven tot 10, het optellen en aftrekken tot 20 verkend. Dit geldt in het bijzonder voor opgaven ‘over de 10’ zoals 6+7, 8+9, 12-4 en 14-6. Ook hier is het zo dat eerst het getalgebied als zodanig verkend wordt via telrijoefeningen, het tellen en structureren van hoeveelheden en het op de getallenlijn plaatsen van getallen. Het rekenrek fungeert daarbij als een hulpmiddel om de ‘getallenruimte’ tot 20 aanschouwelijk te maken. De aandacht gaat onder meer uit naar het snel herkennen van twee soorten getalbeelden op het rek, te weten dubbelbeelden
9
Artikel
(13 voorgesteld als 6 boven en 7 onder of andersom) en tienbeelden (13 als 10 boven en 3 onder). Het inoefenen van deze getalbeelden, met flitskaarten waarop de getallen als getalbeeld staan afgebeeld, krijgt lang niet altijd de aandacht die eigenlijk nodig is. Net als bij het hierboven beschreven tellen met sprongen van 10 (zie § 2.3), ontbreekt het soms aan een goed oefenritme voor dit belangrijke onderdeel. Het kan aanbeveling verdienen om hier aanvullende oefeningen en opdrachten bij te maken. In de volgende fase van het leerproces, meestal tegen het einde van groep 3 en begin groep 4, worden vervolgens rekenstrategieën verkend voor het optellen en aftrekken over de 10. Hier doen zich een aantal cruciale momenten voor die van groot belang zijn voor het daarna volgende automatiseringsproces. Dit betreft in de eerste plaats het feit dat het voor leerlingen lang niet altijd duidelijk is dat ze de kennis die ze van de getalbeelden hebben verworven, moeten inzetten bij het verkennen van rekenstrategieën aan de hand van het rekenrek. Het kan waardevol zijn om ze ervan bewust te maken dat wat ze al weten over deze getalbeelden, heel makkelijk ingezet kan worden bij het leren optellen en aftrekken over de 10. In de tweede plaats is het aan te bevelen om een zekere structurering en sturing in deze fase van het leerproces aan te brengen. In het kort komt dit op het volgende neer: • Laat optellen en aftrekken over de 10 niet tegelijkertijd verkennen. Begin met het optellen, en laat de leerlingen daarbij een vaste manier van getallen opzetten aanhouden: altijd het eerste getal in de som boven opzetten, en het tweede getal onder; • Maak de leerlingen daarbij bewust van het feit dat er een hele categorie opgaven is, namelijk de dubbelen (6+6, 7+7, …) en bijna dubbelen (6+7, 7+8, …) die ze eigenlijk al kennen op grond van hun kennis van de corresponderende getalbeelden; • Beperk voor de overige opgaven het aantal te gebruiken strategieën tot twee of drie typen waarover iedereen het eens zal zijn dat dit efficiënte aanpakken zijn. Dit betreft met name het aanvullen tot 10 en het redeneren op basis van de dubbele rode vijf. Bijvoorbeeld, in het geval van 7+9:
•
•
Introduceer de verkenning van het aftrekken bij voorkeur wat later, als de leerlingen bij het optellen al een eindje op streek zijn. Laat daarbij, net als bij het optellen, een vaste manier van getallen opzetten hanteren: het eerste getal altijd als tienbeeld opzetten. Perk ook hier het aantal te gebruiken strategieën in tot twee of drie typen die erg voor de hand liggen en die door iedereen als efficiënt ervaren zullen worden. Dit betreft met name het leegmaken tot 10 en het ‘van de volle 10 afhalen’. Bijvoorbeeld, in het geval van 12-8:
10
Artikel
•
Besteed na verloop van tijd, als de leerlingen vertrouwd zijn met de handelingen op het rek, bijzondere aandacht aan de overgang waarbij de leerlingen deze handelingen niet meer daadwerkelijk uitvoeren, maar steeds meer in gedachten. In eerste instantie wordt het rek daarbij veelal nog gebruikt als ‘kijksteun’ (zie de afbeelding hieronder). Het komt regelmatig voor dat leerlingen bij deze overgang een groot deel van wat ze tot dan toe geleerd hebben, niet ‘meenemen’ en dat ze terugvallen op het een voor een tellen. Om dit te voorkomen, is het belangrijk veel aandacht te besteden aan het verwoorden. Bijvoorbeeld bij 12-7: ‘ik zie 12, dat is 10 boven en 2 onder. Van die bovenste 10 haal ik er 7 af en houd ik er 3 over. Samen met die onderste 2 is dat 5’. Juist via dit verwoorden worden de leerlingen zich bewust van de getalrelaties die in de beelden en handelingen van het rekenrek besloten liggen. In die zin vormt het een cruciale schakel in het automatiseringsproces.
Net als bij het rekenen tot 10 komt het accent op een zeker moment steeds meer op het automatiseren en memoriseren te liggen. Ook hier geldt dat het soms aanbeveling kan verdienen het automatiseerprogramma intensiever in te richten dan de methode wellicht suggereert.
3.3 Groep 1 t/m 4/5: Getalverkenning als basis voor het leren rekenen Een algemeen kenmerk van de verschillende leergangen in het gebied van het aanvankelijk rekenen is dat het verkennen van het rekenen binnen een bepaald getalgebied wordt voorafgegaan door een periode waarin de getallen als zodanig verkend worden. Dit zorgt ervoor dat de leerlingen een zekere mate van begrip van die getallen verwerven, dat ze onderlinge relaties doorzien, dat ze de structuur van de telrij steeds beter doorgronden, enzovoorts. Dit is van waarde omdat inzicht in de getallenwereld een belangrijk op zichzelf staand doel is in het rekenonderwijs3. Maar ook omdat daarmee het rekenen binnen een getalgebied wordt voorbereid. Eerder in dit artikel zijn al voorbeelden van getalverkennende activiteiten genoemd, zoals het leren structureren van getallen tot 10 in de aanloop naar de verkenning van het rekenen tot 10. Meer in het algemeen spelen zulke activiteiten een rol binnen alle afzonderlijke getalgebieden die bij het aanvankelijk rekenen onderscheiden worden. In grote lijnen gaat het dan om het getalgebied tot 10 (groep 1/2), het getalgebied tot 20 (groep 3), het getalgebied tot 100 (groep 3/4) en het getalgebied tot 1000 (groep 4/5).4 Bij al deze verkenningen spelen drie typen activiteiten veelal een rol: • Oefeningen rond het opzeggen van de telrij; • Oefeningen rond het tellen en structureren van hoeveelheden; • Oefeningen rond het op de getallenlijn plaatsen oftewel positioneren van getallen. Bij alle drie de typen is er tevens aandacht voor het leren noteren van getallen en het leren doorzien van de relatie tussen getalnaam en getalnotatie.
3 In overeenstemming hiermee zijn in de LOVS-toetsen van het Cito voor alle leerjaren een flink aantal opgaven opgenomen die specifiek betrekking hebben op een goed begrip van getallen. 4 Uiteraard breidt dit zich naar de bovenbouw steeds verder uit naar het getalgebied tot 10.000, tot 100.000, enzovoorts. Tevens treden ‘vertakkingen’ op naar het gebied van de breuken, de kommagetallen, enzovoorts.
11
Artikel
Het leren opzeggen van de volledige telrij tot 10 en later tot 20 vormt in groep 1, 2 en 3 een centrale activiteit die in alle methoden veelal regelmatig aan bod komt. Het gaat dan om tellen, verder tellen vanaf een zeker getal, terugtellen en tellen met gelijke sprongen zoals sprongen van twee. Via deze activiteiten, die in korte, intensieve oefeningen aan de orde kunnen komen, wordt bereikt dat de leerlingen steeds meer een mentaal beeld van de telrij ontwikkelen. In de loop van groep 3 vindt een uitbreiding plaats naar de telrij tot 100. Ook nu gaat het om het heen en terug opzeggen van de volledige telrij, met daarnaast aandacht voor het tellen en terugtellen vanaf een willekeurig getal. Belangrijk hierbij is dat de leerlingen het akoestische patroon van de telrij steeds beter gaan doorzien; bij elk nieuw tiental herhaalt dit patroon zich. Daarnaast is er aandacht voor het tellen met sprongen van 5 en 10 (’5, 10, 15, 20, …’) en, vanaf een zeker moment in groep 4, voor het tellen met sprongen van 10 vanaf een willekeurig getal (zie § 2.3). Het mentale beeld van de telrij verdiept zich nu waarbij de speciale positie van de tienvouden als (decimale) ankerpunten binnen de telrij steeds meer naar voren komt. Verdere uitbreiding richting de getallen tot 1000 vindt gewoonlijk plaats tegen het einde van groep 4 en in groep 5, waarbij de leerlingen zich bewust worden dat het patroon tot 100 zich bij elk nieuw honderdtal herhaalt. Ook het tellen met sprongen van 10 langs de tienvouden (‘250, 260, 270, 280, …’) komt nu onder de aandacht. Over het tweede type activiteit, het tellen en structureren van hoeveelheden, is in het voorgaande al het nodige gezegd. Het vormt een essentieel onderdeel bij de ontwikkeling van elementair getalbegrip. Ook binnen het getalgebied tot 10 en tot 20 wordt er in rekenmethoden veelal de nodige aandacht aan besteed. Van belang daarbij is met name dat leerlingen bij het tellen zelf structuur leren aanbrengen, en zich ervan bewust worden dat de vijf- en tienstructuur hiervoor geschikt is. Hoe nuttig dit is, komt mooi tot uitdrukking bij een type oefening waarbij bijvoorbeeld 10 of 12 magnetische ‘bloemen’ kriskras op het bord staan opgesteld5. Nadat deze zijn geteld, doen de leerlingen de ogen even dicht en ‘plukt’ de leerkracht of een leerling een aantal bloemen. Vervolgens moeten de leerlingen bepalen hoeveel bloemen de leerkracht geplukt heeft. In principe kan dit door het nieuwe aantal te tellen, en het verschil met het oude aantal te achterhalen. Maar voor veel leerlingen is dit (ongeveer medio groep 3) nog lastig. Besproken wordt nu hoe het eenvoudiger zou kunnen. In een gezamenlijke uitwisseling van ideeën kan naar voren komen dat het een stuk eenvoudiger wordt als de bloemen in een mooi patroon (bloemperk) staan. Iemand mag zo’n patroon bedenken (bijvoorbeeld een lange dubbele rij of een ‘rondje’) en daarna wordt de oefening herhaald. Meestal gaat het achterhalen van het aantal geplukte bloemen nu makkelijker. Uiteraard zijn veel structuren mogelijk. Daarom worden deze in enkele vervolgactiviteiten ook beproefd. Hierbij kan uiteindelijk naar voren komen dat een vijfstructuur zoals die ook in de vingers, de eierdoos en het rekenrek aanwezig is, zich bij uitstek leent om efficiënt tot een oplossing te komen. Via deze oefening wordt tevens de verkenning van de getalbeelden van het rekenrek voorbereid. Een andere vorm van dit structurerend tellen kan bij de verkenning van het getalgebied tot 100 onder de aandacht komen. Dit betreft het tellen van grote, ongeordende hoeveelheden tot 100 (eind groep 3, begin groep 4). Hiervoor zijn allerlei materialen zoals blokjes, fiches, knopen en munten te gebruiken. De activiteit kan met alle leerlingen samen gedaan worden (in de kring), maar ook in kleinere groepjes. In eerste instantie gaat het om het tellen van een hoeveelheid blokjes als zodanig, waarbij vooral het correct tellen en het noteren van het betreffende getalsymbool aan bod komen. Maar al gauw blijkt dat je als leerling bij het tellen nogal snel in de war kunt raken als je bijvoorbeeld even afgeleid bent, of een vergissing maakt bij het opzeggen van de telrij. Je moet dan vaak weer helemaal opnieuw beginnen en het tellen wordt al gauw omslachtig. Hoe is dit nu te voorkomen? De leerlingen buigen zich over dit probleem, waarbij ideeën naar voren kunnen komen als: een geteld blokje steeds apart leggen, groepjes van twee maken, enzovoorts. De ervaring leert dat het maken van groepjes van vijf of 5
Het idee voor deze activiteit is afkomstig uit het Speciaal Rekenen-project (Boswinkel & Moerlands, 2002). De activiteit kan ook heel goed uitgevoerd worden in een situatie waarbij alle leerlingen voor zichzelf een hoeveelheid 'bloemen' op hun tafeltje hebben liggen.
12
Artikel
tien voor veel leerlingen in eerste instantie lang niet altijd een voor de hand liggende mogelijkheid is. Het is juist deze strategie waarop aangestuurd kan worden. Hebben ze eenmaal ervaren hoe handig het is om de hoeveelheid in groepjes van vijf of tien te leggen (en deze dus decimaal te structureren), dan blijkt dat dit een soort ei van Columbus is. Immers, ook al raak je even in de war en maak je een vergissing bij het tellen, door de overzichtelijke ordening in groepjes die heel makkelijk opnieuw te tellen zijn, ervaren de leerlingen dat het proces van het tellen aanzienlijk vereenvoudigd wordt. Bovendien treedt zo impliciet de decimale getalstructuur naar voren die naderhand steeds verder geëxpliciteerd kan worden. Een getal als 48 komt dan steeds meer te staan voor 4 groepjes van 10 en nog 8. Een belangrijke, wat complexere vorm van structureren is die waarbij met namaakgeld gewerkt wordt. Leerlingen wordt gevraagd om zelf bedragen te leggen als 16 euro (groep 3), 48 euro (groep 4) en 275 euro (groep 5). Door dit steeds op verschillende manieren te doen, verwerven de leerlingen een steeds genuanceerder beeld van de getalstructuur. Over het derde type oefening rond getalverkenning, het op de getallenlijn plaatsen van getallen, is in het voorgaande al het een en ander gezegd. Het is vooral de regelmaat en de afwisseling in de drie typen oefeningen is, die ervoor kan zorgen dat alle leerlingen steeds meer ‘getalgevoel’ ontwikkelen en steeds beter voorbereid aan het eigenlijke rekenen binnen het betreffende getalgebied beginnen. 3.4 Groep 4/5: optellen en aftrekken tot 100 Dit gebied vormt een van de meest cruciale leerstofdomeinen van het aanvankelijk rekenen. Als het onderwijsleerproces hier goed verloopt, terwijl daarnaast het automatiseren tot 10 en tot 20 naar wens gaat, dan is al veel gewonnen. Dit betekent uiteraard niet dat het leerproces zich bij alle leerlingen in precies hetzelfde tempo voltrekt. Bij de een zal het wat sneller gaan dan bij de ander, en sommigen zullen wat langer op een concreet niveau ondersteund met een lege getallenlijn blijven werken dan anderen. Er wordt in dat verband wel gesproken van leergangen met een zekere bandbreedte: alle leerlingen krijgen in principe dezelfde instructie en werken aan dezelfde opgaven. Mede door de wijze waarop de instructie plaatsvindt is er ruimte voor de leerlingen om op hun eigen niveau, al dan niet ondersteund met een lege getallenlijn, geleidelijk aan verder in hun leerproces te komen. In het voorgaande (§ 2.2) is al globaal geschetst hoe de leergang rond het optellen en aftrekken tot 100 in de meeste methoden opgebouwd wordt. Het vertrekpunt ligt gewoonlijk eind groep 3 of begin groep 4, in een verkenning van het getalgebied tot 100. Vanaf oktober of november in groep 4 wordt vervolgens het rekenen verkend, waarbij twee typen opgaven veelal intensief aan bod komen: het optellen en aftrekken met tienvouden (34+10, 63+20; 52-10, 78-20), en het optellen en aftrekken over het tienvoud (36+7, 25+8; 51-4, 74-9). Hulpmiddelen als het 100 kralensnoer en tientallig materiaal fungeren vaak als ondersteuning. Vervolgens wordt, ongeveer medio groep 4, gewoonlijk het optellen en aftrekken met willekeurige getallen verkend (36+27; 83-48). Daarbij fungeert de rijgaanpak op de lege getallenlijn als basisstrategie. Tegen het einde van groep 4 en in groep 5 vindt vervolgens veelal een uitbreiding plaats naar andere typen strategieën, zoals splitsen en compenseren. Niveauverhoging vindt ook plaats doordat handelingen steeds meer direct uit het hoofd en steeds automatischer plaatsvinden, hoewel er tegen het einde van groep 4 vaak toch nog wel leerlingen zijn die de ondersteuning van de lege getallenlijn enigszins nodig hebben. In aanvulling op wat in § 2.2 over deze leerlijn al is gezegd, wordt hier een specifiek punt nader belicht, namelijk de overgang van het werken op de lege getallenlijn naar het uit het hoofd werken. Voor sommige leerlingen kan dit een struikelblok zijn omdat de stap van werken op de lijn naar helemaal uit het hoofd groot is. Een mogelijkheid om deze overgang te ondersteunen bestaat eruit dat een leerling de verschillende stappen in eerste instantie niet meer helemaal op de getallenlijn uitvoert, maar deze in rekentaal leert noteren waarbij de stappen op de lege getallenlijn overeenkomen met de in rekentaal genoteerde stappen. In een korte serie ‘luchtoefeningen’ kan de leerling bewust gemaakt worden hoe
13
Artikel
dit in z’n werk gaat. Bijvoorbeeld, bij een opgave als 36+27. U stelt voor om de opgave met een getallenlijn ‘in de lucht’ te maken. U beeldt vervolgens zelf zo’n lijn in de lucht met een beweging uit, en vraagt de leerling waar je op de lijn ook alweer begint bij optellen. Nadat de leerling dit heeft aangewezen (helemaal links op de lijn, en dus voor u, werkend in spiegelbeeld, rechts), wordt het begingetal 36 denkbeeldig op de lijn geplaatst. Dan de sprongen van 10. U laat vaststellen dat er twee van zulke sprongen gemaakt moeten worden, en u beeldt deze sprongen uit langs de denkbeeldige lijn. De leerling bepaalt nu de betreffende tussenantwoorden die normaal gesproken langs de lijn genoteerd worden, en u vraagt hem/haar om deze in rekentaal op het eigen blaadje te noteren. Misschien moet u hem/haar daarbij enigszins op gang helpen, en duidelijk maken hoe de stappen bij voorkeur onder elkaar genoteerd kunnen worden zoals in de afbeelding hieronder. Indien gewenst kan dat met twee stappen (+10, +10) of met één stap (+20). Vervolgens wordt vastgesteld dat er nog 7 bij moeten; eerst 4 erbij om bij het volgende tiental te komen (60), dan nog 3 (63). Weer laat u daarbij de betreffende stappen in rekentaal op het blaadje noteren. Zo nodig maakt u de overeenkomstigheid tussen de in de lucht uitgevoerde stappen op de onzichtbare lege getallenlijn en de op papier genoteerde stappen in rekentaal nader bewust door de handelingen op de lege getallenlijn ook nog een keer ‘echt’ te laten zien op het bord (zie afbeelding links hieronder).
De overeenkomstigheid van stappen op de lege getallenlijn en stappen in rekentaal bewust maken.
Als deze ‘luchtoefening’ enkele keren wordt herhaald met andere getallen, waarbij natuurlijk ook aftrekopgaven aan bod komen, zal de leerling er al gauw aan gewend raken om in rekentaal te werken in plaats van op de lege getallenlijn. Uiteraard kan een leerling daarbij zelf bepalen welke stappen hij of zij precies noteert: de een zal nog wat langer sprongen van 10 noteren, de ander zal al gauw ook met veelvouden van 10 gaan werken. Ook de sprong over het tienvoud (56+7) kan in meer of minder verkorte mate uitgevoerd worden. In eerste instantie levert deze overgang naar het noteren van stappen in rekentaal natuurlijk nog niet zo’n geweldige besparing op, want ook daarbij wordt nog het nodige opgeschreven. Het voordeel is wel dat een leerling via deze notatiewijze geleidelijk de weg in te slaan naar louter uit het hoofd werken. Bovendien kan het in rekentaal noteren van tussenstappen worden teruggebracht tot bijvoorbeeld het noteren van een cruciaal tussenantwoord, zoals 56 in het geval van bovenstaande opgave. Daarnaast vormt het leren noteren van tussenstappen voor berekeningen die voor een leerling nog moeilijk helemaal uit het hoofd zijn uit te voeren, een essentiële verworvenheid die in het hele verdere proces van het leren rekenen verder uitgebouwd en verfijnd dient te worden. Of het nu om het optellen en aftrekken tot 1000 gaat, om het vermenigvuldigen met grotere getallen of om het rekenen met procenten of verhoudingen, het is van doorslaggevend belang dat een leerling ermee vertrouwd is om, voor zover de situatie dat wenselijk maakt, op een heldere en overzichtelijke manier tussenstappen te noteren. In Nederland zijn er nog veel leerlingen bij wie deze vaardigheid niet of onvoldoende tot ontwikkeling is gekomen. Hieraan moet dus in de klas intensief aandacht worden besteed. Ook als het leerproces rond het optellen en aftrekken tot 100 wordt uitgebreid naar andere oplossingsstrategieën, zoals het splitsen en het compenseren, kan het kladblaadje grote diensten bewijzen. Hetzelfde geldt voor het optellen en aftrekken boven de 100, waarbij na een eerste oriëntatie op de rijgaanpak op de lege getallenlijn, al gauw de overstap naar het noteren van stappen in rekentaal gemaakt kan worden.
14
Artikel
3.5 Groep 4/5: Tafels van vermenigvuldiging De eerste verkenningen op dit gebied vinden gewoonlijk in de laatste periode van groep 3 en de eerste periode van groep 4 plaats. Het gaat daarbij om situaties waarin sprake is van 'steeds dezelfde hoeveelheid', 'steeds dezelfde prijs', of 'steeds dezelfde afstand'. Bijvoorbeeld: 3 zakjes met in elk zakje 4 ballen, een pleintje met 4 rijen van 6 tegels, 5 broden die allemaal 3 euro kosten, en een kangoeroe die 6 sprongen van 2 meter maakt. Steeds is de vraag hoeveel ballen, tegels, etc. er in totaal zijn. Belangrijk is in de eerste plaats dat de taal- en begripsontwikkeling aan de hand van zulke situaties gestalte krijgt, waarbij de leerlingen kennismaken met vermenigvuldigen als 'nieuwe' bewerking en met het daarvoor gebruikelijke symbool, het keerteken. Zodoende kan een eerste bewustwording optreden dat een formele opgave als 3x4 kan staan voor heel uiteenlopende soorten situaties en dat je als leerling ook zelf op zoek naar vermenigvuldigstructuren in allerlei situaties kunt gaan. Met enige fantasie zijn zulke situaties in de klas in overvloed te vinden. Kijk maar eens naar de ramen (5 rijen van 2 ramen), het plafond (4 rijen van 5 plafondtegels), de kast (3 vakken met elk 4 planken), de tafels (4 groepjes van 4 tafels en nog 2 groepjes van 5 tafels), enzovoorts. Verder is er in deze fase aandacht voor het bedenken van geschikte oplossingsstrategieën om op een efficiënte manier het totaal aantal ballen, tegels, enzovoorts te achterhalen. Op het meest elementaire niveau kan zo'n oplossing via herhaald tellen of herhaald optellen verkregen worden. Om meer geavanceerde strategieën uit te lokken, is er soms sprake van situaties waarbij de objecten in kwestie niet allemaal zo makkelijk van elkaar te onderscheiden zijn, zoals in de situatie hiernaast:
Hoeveel tegels beslaat de tekening van het meisje? (opgave afkomstig uit Pluspunt, gr. 3)
In principe is het nog altijd mogelijk om herhaald op te tellen, maar het gebruik van andere strategieën wordt gestimuleerd. Bijvoorbeeld: • Verdubbelen: 4 en 4 is 8 tegels, 8 en 8 is 16, en 4 is 20, en 4 is 24; • Idem: 6 en 6 is 12, 12 en 12 is 24; • Een patroon herkennen: 4 rijen van 4 is 16, dat weet ik. Met nog 4 erbij is 20, en nog 4 erbij is 24; • Idem: een patroon van 5 rijen van 4 herkennen (4 rijen van 5), dat is 20. Met nog 4 erbij is 24; • .... Uiteraard gaat het om een eerste, brede verkenning van zulke strategieën. Daarbij kan de aandacht ook uitgaan naar een belangrijke eigenschap van het vermenigvuldigen die eveneens voor de verdere begripsontwikkeling van grote waarde is, namelijk de verwisseleigenschap of commutatieve eigenschap. Deze eigenschap is als het ware zichtbaar in de situatie: 6 rijen van 4 is evenveel als 4 rijen van 6. Later, tijdens het automatiseringsproces, kan deze eigenschap goed benut worden om nog niet bekende opgaven in verband te brengen met wel bekende. Bijvoorbeeld: 4x8 weet ik nog niet, maar 8x4 weet ik wel, dat is 32, dus dan is 4x8 ook 32. Vervolgens worden de tafels veelal een voor een aangeboden, te beginnen met de meest eenvoudige, de tafels van 2, 5 en 10. Daarna wordt uitgebreid naar de tafels van 3 en 4 (veelal in de 2e helft van groep 4), en naar de tafels van 6, 7, 8 en 9 (veelal in de 1e helft van groep 5). Bij elke tafel is er veel aandacht voor de tafelrij en voor het feit dat de uitkomsten in deze rij met name bij de eenvoudigste tafels een herkenbaar patroon laten zien: 2, 4, 6, 8, ...; 5, 10, 15, 20, ...; enzovoorts. Het onderwijs
15
Artikel
moet echter verder gaan dan alleen het aanleren van de tafel 'op rij'. Uiteindelijk moeten alle opgaven uit een tafel ook als op zichzelf staande rekenfeiten van buiten gekend worden. De tafelrij biedt daar natuurlijk wel aanknopingspunten voor, maar niet voldoende. Als je opgaven als 8x4, 6x7 of 9x6 louter op basis van je kennis van de tafelrij moet automatiseren, kan dat soms heel lang duren. Daarom wordt in de rekenmethoden na het aanbieden van de tafels, gewoonlijk gerichte aandacht besteed aan het inzetten van efficiënte oplossingsstrategieën die het automatiseringsproces kunnen ondersteunen. Dit betreft in grote lijnen drie typen strategieën: • (Herhaald) verdubbelen. Bijvoorbeeld: 8x4 uitrekenen via 2x4, 4x4 en 8x4; • Gebruik van 5x als steunpunt. Bijvoorbeeld: 5x7 is 35 (bekende som), dus 6x7 is 35+7 is 42; • Gebruik van 10x als steunpunt. Bijvoorbeeld: 10x6 is 60 (bekende som), dus 9x6 is 60-6 is 54. Nu bestaat het gevaar dat zulke strategieën te incidenteel aan de orde komen, zeker in het geval van methoden met een sterk accent op zelfstandig werken. Voor de betere leerlingen hoeft dit geen probleem te zijn, die pikken de strategieën even goed wel op. Maar voor meer modale of zwakkere leerlingen kan hier een probleem ontstaan dat voorkomen kan worden door aan het gebruik van deze strategieën in de klas systematisch aandacht te besteden. Daarbij kan teruggegrepen worden op de eerdere verkenningen van het vermenigvuldigen zoals die hierboven werden geschetst, waarbij zulke strategieën voor de leerlingen nader onderbouwd worden aan de hand van de beschreven situaties zoals die van het tegelplein. Verder is het belangrijk dat leerlingen doorzien dat de genoemde 'ankerpunten' 5x en 10x ook daadwerkelijk makkelijke sommen zijn die je al gauw uit het hoofd weet. Tenslotte speelt nog een derde element mee. Ben je als leerling namelijk binnen het gebied van het optellen en aftrekken tot 100 nog niet zo ver gevorderd en heb je nog moeite om een opgave als 35+7 of 60-6 vlot uit te rekenen, dan zul je 5x7=35 of 10x6=60 allerminst als een eenvoudig te gebruiken 'steunsom' ervaren. Het is daarom ook aan te bevelen om aan zulke elementaire somtypen uit het gebied van het rekenen tot 100 systematisch aandacht te besteden. Net als bij het rekenen tot 10 en tot 20 wordt het sluitstuk van het leerproces gevormd door het memoriseren: het van buiten leren van alle tafelopgaven. In principe zijn leerlingen daarmee al een heel eind op weg op het moment dat ze de eenvoudigste opgaven direct uit het hoofd kennen en de moeilijkere opgaven vlot kunnen uitrekenen via een efficiënte strategie zoals hierboven aangegeven. Maar dan nog vraagt het vaak een flinke onderwijsinspanning om het memoriseren tot een goed einde te brengen. Het kan belangrijk zijn om een reeks gerichte memoriseeroefeningen in groep 5 en zelfs nog in groep 6 op te nemen. Hoewel methoden hiervoor vaak wel suggesties geven, zijn deze soms te incidenteel van karakter of te veel gericht op het zelfstandig werken van leerlingen. Een gerichte serie tempo-oefeningen kan wat dat betreft wonderen doen. Leerlingen krijgen dan twee tot drie keer per week bijvoorbeeld drie minuten de tijd om een aantal opgaven op te lossen. In een gezamenlijke nabespreking wordt achterhaald welke opgaven nog het moeilijkste zijn en welke efficiënte strategieën beschikbaar zijn om deze snel uit te rekenen.
Ontwikkelingslijnen voor een verbetertraject Een verbetertraject kan bij uitstek succesvol zijn als dit een echte teamactiviteit is, waarbij zoveel mogelijk teamleden, inclusief interne begeleiders, rekencoördinatoren en remedial teachers direct betrokken zijn6. Daarmee wordt niet alleen bevorderd dat collega’s via onderlinge uitwisseling van praktijkervaringen en gezamenlijke analyse van leerlijnen van elkaar leren. Maar ook wordt 6
Een alternatief is nog om er een bovenschoolse activiteit van te maken, waarbij enkele scholen die onder hetzelfde schoolbestuur vallen, de krachten bundelen.
16
Artikel
gestimuleerd dat de verworven know how collectief gedeeld wordt en als gemeenschappelijk referentiekader voor het opzetten, uitvoeren en evalueren van het rekenonderwijs gaat fungeren. De hier beschreven didactische aandachtspunten kunnen daarbij als een handreiking voor zowel het werken in de klas als het analyseren van bijvoorbeeld leerlijnen uit de eigen methode gebruikt worden. Daarmee is uiteraard nog niet gezegd hoe zo’n verbetertraject opgebouwd kan worden. Een traject moet meer zijn dan het incidenteel proberen om een hulpmiddel als het rekenrek beter tot z’n recht te laten komen, of om een leerlijn zoals het optellen en aftrekken 100 in het eigen onderwijs beter gestalte te geven (hoe nuttig dit op zichzelf ook is). Het is in ieder geval aan te bevelen een globale planning voor de activiteiten uit een verbetertraject te maken, waarbij aspecten van het onderwijs in verschillende leerjaren beurtelings onder de loep genomen worden en waarbij een zekere wisselwerking tussen meer ‘theoretische’ en meer praktische activiteiten optreedt. Een waardevol vertrekpunt kan een bezinning zijn op wat de leerlingen op de eigen school nu daadwerkelijk aan kennis, strategiegebruik en rekenkundige inzichten laten zien. Een geschikte manier daarvoor is om enkele leerlingen uit verschillende leerjaren over hun rekenkennis te interviewen. Stel bijvoorbeeld dat een traject in november begint, dan kunnen in de voorafgaande maanden interviews met leerlingen uit groep 3 gehouden worden over hun kennis van het getalgebied tot 20 en van het optellen en aftrekken tot 10. Evenzo kunnen leerlingen uit groep 4 bevraagd worden over hun kennis van automatiseren tot 10, het optellen en aftrekken over de 10, en het getalgebied tot 100. Enzovoorts. Als het accent daarbij gelegd wordt op de zwakkere leerlingen, ontstaat al gauw een genuanceerd beeld van de stand van zaken bij deze groep7. Tevens ontstaan eerste vermoedens over wat er in het eigen onderwijs wellicht nog niet optimaal functioneert. Verslagen van deze interviews (op papier, maar ook op video) kunnen vervolgens een basis vormen voor de eigenlijke activiteiten uit het verbetertraject. Daarbij kunnen de leerlijnen uit de eigen methode onder de loep genomen worden, en in verband gebracht worden met het door de leerlingen vertoonde oplossingsgedrag en enkele van de hierboven geschetste didactische aandachtspunten. Dit kan leiden tot plannen om bepaalde aspecten van leerlijnen beter uit de verf te laten komen en om in de klas ideeën daarover uit te proberen. Het kan zinvol zijn om een externe deskundige in te zetten die voor de nodige vakinhoudelijke achtergrondinformatie zorgt en voor begeleiding op de werkvloer bij het uitproberen van de hierboven genoemde verbeterideeën. Misschien is er binnen de school een specialist op het gebied van rekenen, die het traject globaal kan uitzetten, de voortgang kan bewaken en specifieke teamactiviteiten kan organiseren. Het is in ieder geval zinvol om daarbij een aantal ‘lijnen’ in het oog te houden, waarlangs het verbetertraject zich in globale zin kan bewegen. Er zijn uiteraard veel van dergelijke ontwikkelingslijnen denkbaar. Drie van zulke lijnen die uit de hierboven beschreven didactische aandachtspunten voortvloeien, lijken in ieder geval bij uitstek in aanmerking te komen: (1) Werken aan verdieping van het gezamenlijke inzicht in doorlopende leerlijnen; (2) Werken aan verbetering van de eigen rekenmethode; (3) Werken aan optimalisering van instructievaardigheden. Het eerste punt, dat als algemeen didactisch aandachtspunt in § 2.2 al is aangestipt, is vooral een studieuze activiteit waarbij het door de leerlingen vertoonde oplossingsgedrag waaraan hierboven gerefereerd werd, als een vertrekpunt fungeert. Analyse van de leerlijnen uit de eigen methode, koppeling daarvan aan het vertoonde oplossingsgedrag en spiegeling aan leerlijnbeschrijvingen in andere vakinhoudelijke publicaties8 kunnen leiden tot ‘vermoedens’ omtrent mogelijkheden tot het verbeteren van die leerlijnen, en omtrent de wijze waarop dat in de praktijk gestalte kan krijgen.
7
Protocollen voor dergelijke interviews, waarbij het er vooral om gaat om te achterhalen wat voor strategieën leerlingen gebruiken, wat voor fouten ze maken, hoe ze redeneren, en dergelijke, worden momenteel bij SLO ontwikkeld.
17
Artikel
Daarmee komt direct ook de tweede ontwikkelingslijn in het vizier: naarmate het inzicht in doorlopende leerlijnen zich binnen het team verdiept, ontstaat waarschijnlijk de behoefte om deze leerlijnen in de eigen methode beter tot hun recht te laten komen. Dat kan bijvoorbeeld betekenen dat er plannen gemaakt worden om de instructiefrequentie op bepaalde cruciale momenten binnen leerlijnen te verhogen zoals in § 2.3 is belicht. Het kan ook betekenen dat een bepaald type activiteit zoals het leren gebruiken van 5x en 10x als ankerpuntsommen bij het automatiseren van de hogere tafels van vermenigvuldiging (zie § 3.5) een duidelijkere plaats in de leerlijn krijgt toebedeeld, en dat er in de praktijk ervaring wordt opgedaan hoe dit in z’n werk kan gaan. En zelfs kan het betekenen dat bepaalde minder relevant geachte activiteiten uit de methode verwijderd worden om plaats te maken voor activiteiten die men van meer belang acht. Invoering van zulke activiteiten brengt niet altijd automatisch verbetering van het onderwijsleerproces met zich mee. Dat is pas het geval als ook de kwaliteit van de instructie in alle opzichten goed is. Daarmee komen we bij de derde ontwikkelingslijn. Optimalisering van die instructiekwaliteit kan tot stand komen als collega’s van tijd tot tijd bij elkaar in de klas kijken, lessen observeren, daarvan verslagen maken (op papier of op video) en die in teamvergaderingen in het kader van het verbetertraject vervolgens bediscussiëren. De hierboven beschreven convergerende instructie (zie § 2.2) kan daarbij een aandachtspunt zijn. Uiteraard zijn er veel meer ontwikkelingslijnen te bedenken. De drie hierboven beschreven lijnen zijn slechts een betrekkelijk willekeurige greep. Het belangrijkste is misschien nog wel, dat er sprake is van een wisselwerking waarbij activiteiten langs de verschillende lijnen elkaar wederzijds aanvullen en versterken.
8
Belangrijke voorbeelden daarvan zijn de methodeoverstijgende leerlijnbeschrijvingen in de TAL-brochures (uitg. Noordhoff) en
op de TULE-website van SLO.
Colofon Het artikel ‘Didactische aandachtspunten bij verbetertrajecten’ (september 2009) is een bijdrage van Dr Kees Buijs, SLO leerplanontwikkelaar rekenen-wiskunde, en een uitgave van Projectbureau Kwaliteit voor de implementatiekoffer van site www.schoolaanzet.nl en www..rekenpilots.nl Het Projectbureau Kwaliteit draagt zorg voor de uitvoering van Spoor 3 en 4 van de Kwaliteitsagenda PO Scholen voor morgen. Dit gebeurt onder verantwoordelijkheid van de PO Raad en samen met het Ministerie van OCW. Postbus 85246 3508 AE Utrecht e-mail
[email protected] www.schoolaanzet.nl
18
