ARITMETIKA - PRIMA
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
Aritmetika – prima
2
Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Aritmetika – prima
3
Obsah Přirozená čísla .......................................................................................................................... 12 Přirozená čísla a jejich znázornění ....................................................................................... 12 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 13 Varianta A ........................................................................................................................ 13 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 14 Varianta B ........................................................................................................................ 14 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 16 Varianta C ........................................................................................................................ 16 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 18 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno. .............................................................. 18 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 21 Varianta A ........................................................................................................................ 21 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 22 Varianta B ........................................................................................................................ 22 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 23 Varianta C ........................................................................................................................ 23 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 25 Zápisy přirozených čísel ....................................................................................................... 25 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 27 Varianta A ........................................................................................................................ 27 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 29 Varianta B ........................................................................................................................ 29 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 31 Varianta C ........................................................................................................................ 31 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 32 Čísla a číslice ........................................................................................................................ 32
Aritmetika – prima
4
Čísla a číslice .................................................................................................................... 33 Varianta A ........................................................................................................................ 33 Čísla a číslice .................................................................................................................... 35 Varianta B ........................................................................................................................ 35 Čísla a číslice .................................................................................................................... 36 Varianta C ........................................................................................................................ 36 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 39 Porovnávání čísel podle velikosti ......................................................................................... 39 Porovnávání přirozených čísel podle velikosti ................................................................. 41 Varianta A ........................................................................................................................ 41 Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 43 Varianta B ........................................................................................................................ 43 Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 44 Varianta C ........................................................................................................................ 44 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 46 Zaokrouhlování přirozených čísel ........................................................................................ 46 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 48 Varianta A ........................................................................................................................ 48 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 49 Varianta B ........................................................................................................................ 49 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 50 Varianta C ........................................................................................................................ 50 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 51 Sčítání přirozených čísel ...................................................................................................... 51 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 52 Varianta A ........................................................................................................................ 52 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 54
Aritmetika – prima
5
Varianta B ........................................................................................................................ 54 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 56 Varianta C ........................................................................................................................ 56 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 58 Odčítání přirozených čísel .................................................................................................... 58 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 59 Varianta A ........................................................................................................................ 59 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 61 Varianta B ........................................................................................................................ 61 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 62 Varianta C ........................................................................................................................ 62 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 64 Násobení přirozených čísel .................................................................................................. 64 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 66 Varianta A ........................................................................................................................ 66 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 68 Varianta B ........................................................................................................................ 68 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 69 Varianta C ........................................................................................................................ 69 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 70 Dělení přirozených čísel ....................................................................................................... 70 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 71 Varianta A ........................................................................................................................ 71 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 73 Varianta B ........................................................................................................................ 73 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 74 Varianta C ........................................................................................................................ 74
Aritmetika – prima
6
Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 75 Zlomky ................................................................................................................................. 75 Zlomky ............................................................................................................................. 76 Varianta A ........................................................................................................................ 76 Zlomky ............................................................................................................................. 77 Varianta B ........................................................................................................................ 77 Zlomky ............................................................................................................................. 78 Varianta C ........................................................................................................................ 78 Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 80 Desetinná čísla a jejich znázornění ...................................................................................... 80 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 82 Varianta A ........................................................................................................................ 82 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 83 Varianta B ........................................................................................................................ 83 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 84 Varianta C ........................................................................................................................ 84 Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 85 Sčítání a odčítání desetinných čísel ...................................................................................... 85 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 86 Varianta A ........................................................................................................................ 86 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 87 Varianta B ........................................................................................................................ 87 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 89 Varianta C ........................................................................................................................ 89 Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 90 Tisíciny i miliontiny ............................................................................................................. 90 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 91
Aritmetika – prima
7
Varianta A ........................................................................................................................ 91 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 93 Varianta B ........................................................................................................................ 93 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 95 Varianta C ........................................................................................................................ 95 Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 96 Porovnávání desetinných čísel ............................................................................................. 96 Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 97 Varianta A ........................................................................................................................ 97 Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 99 Varianta B ........................................................................................................................ 99 Porovnávání desetinných čísel ....................................................................................... 101 Varianta C ...................................................................................................................... 101 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 102 Zaokrouhlování desetinných čísel ...................................................................................... 102 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 103 Varianta A ...................................................................................................................... 103 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 104 Varianta B ...................................................................................................................... 104 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 105 Varianta C ...................................................................................................................... 105 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 106 Sčítání desetinných čísel .................................................................................................... 106 Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 107 Varianta A ...................................................................................................................... 107 Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 108 Varianta B ...................................................................................................................... 108
Aritmetika – prima
8
Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 109 Varianta C ...................................................................................................................... 109 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 110 Odčítání desetinných čísel .................................................................................................. 110 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 111 Varianta A ...................................................................................................................... 111 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 112 Varianta B ...................................................................................................................... 112 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 113 Varianta C ...................................................................................................................... 113 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 114 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.................................................................. 114 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 115 Varianta A ...................................................................................................................... 115 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 116 Varianta B ...................................................................................................................... 116 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 117 Varianta C ...................................................................................................................... 117 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 118 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.................................................................. 118 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 119 Varianta A ...................................................................................................................... 119 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 120 Varianta B ...................................................................................................................... 120 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 121 Varianta C ...................................................................................................................... 121 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 122
Aritmetika – prima
9
Dělení desetinného čísla přirozeným číslem ...................................................................... 122 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 124 Varianta A ...................................................................................................................... 124 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 125 Varianta B ...................................................................................................................... 125 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 126 Varianta C ...................................................................................................................... 126 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 127 Dělení desetinného čísla desetinným číslem ...................................................................... 127 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 128 Variace A........................................................................................................................ 128 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 129 Variace B ........................................................................................................................ 129 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 130 Variace C ........................................................................................................................ 130 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 131 Dělitel ................................................................................................................................. 131 Dělitel ............................................................................................................................. 132 Varianta A ...................................................................................................................... 132 Dělitel ............................................................................................................................. 133 Varianta B ...................................................................................................................... 133 Dělitel ............................................................................................................................. 134 Varianta C ...................................................................................................................... 134 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 135 Násobek .............................................................................................................................. 135 Násobek .......................................................................................................................... 136 Varianta A ...................................................................................................................... 136
Aritmetika – prima
10
Násobek .......................................................................................................................... 137 Varianta B ...................................................................................................................... 137 Násobek .......................................................................................................................... 138 Varianta C ...................................................................................................................... 138 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 139 Dělitelnost deseti a pěti ...................................................................................................... 139 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 140 Varianta A ...................................................................................................................... 140 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 142 Varianta B ...................................................................................................................... 142 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 144 Varianta C ...................................................................................................................... 144 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 146 Dělitelnost dvěma ............................................................................................................... 146 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 147 Varianta A ...................................................................................................................... 147 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 149 Varianta B ...................................................................................................................... 149 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 151 Varianta C ...................................................................................................................... 151 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 153 Dělitelnost třemi ................................................................................................................. 153 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 154 Varianta A ...................................................................................................................... 154 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 156 Varianta B ...................................................................................................................... 156 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 158
Aritmetika – prima
11
Varianta C ...................................................................................................................... 158 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 159 Prvočísla a čísla sloţená ..................................................................................................... 159 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 161 Varianta A ...................................................................................................................... 161 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 162 Varianta B ...................................................................................................................... 162 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 163 Varianta C ...................................................................................................................... 163 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 164 Společní dělitelé ................................................................................................................. 164 Společní dělitelé ............................................................................................................. 165 Varianta A ...................................................................................................................... 165 Společní dělitelé ............................................................................................................. 166 Varianta B ...................................................................................................................... 166 Společní dělitelé ............................................................................................................. 167 Varianta C ...................................................................................................................... 167 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 169 Společné násobky ............................................................................................................... 169 Společné násobky ........................................................................................................... 171 Varianta A ...................................................................................................................... 171 Společné násobky ........................................................................................................... 172 Varianta B ...................................................................................................................... 172 Společné násobky ........................................................................................................... 173 Varianta C ...................................................................................................................... 173
Aritmetika – prima
12
Přirozená čísla Přirozená čísla a jejich znázornění Přirozená čísla jsou čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Určují nám počet věcí, předmětů, osob, zvířat, … Znázorňujeme je na číselné ose, kde je i číslo nula. Nula mezi přirozená čísla nepatří.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Úloha 1: Z devíti přirozených čísel, která jsou seřazena podle velikosti, jsme pět vynechali. Která to jsou?
198,?, 200, 201, ?, ?, 204, 205,?
[199, 202, 203, 206]
Úloha 2: Vyjmenuj přirozená čísla, která jsou vyznačena na číselné ose barevnými tečkami. Postupuj od nejmenšího k největšímu (zleva doprava).
54
56
58
[55, 57, 60, 61, 62]
59
63
Úloha 3: Řekni přirozené číslo, které následuje hned za číslem 37.
[38]
Které přirozené číslo je hned před číslem 32.
[31]
Vyjmenuj všechna přirozená čísla, která jsou mezi čísly 32 a 37.
[33, 34, 35, 36]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
13
Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta A Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně. A
327, 328, 239, 330, 340, 332, 333, 344, 335, 436, 337
B
656, 657, 658, 569, 660, 670, 662, 683, 664, 566, 666
Výsledek řešení: A: nesprávné čísla 239, 340, 344, 436, B: nesprávné čísla 569, 670, 683, 566 A
327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337
B
656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně.
A
289, 390, 291, 292, 233, 294, 295, 269, 297, 298, 199
B
734, 735, 756, 737, 738, 749, 740, 741, 724, 743, 754
A[290, 293, 296, 299], B[736, 739, 742, 744] 2) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně. C
1 256, 1 257, 1 268, 1 259, 1 360, 1 261, 1 262, 1 233, 1 264, 1 275, 1 266
D
2 169, 2 270, 2 171, 2 172, 2 373, 2 174, 1 175, 2 176, 2 177, 2 178, 2 079
A[1 258, 1 260, 1 263, 1 265], B[2 170, 2 173, 2 175, 2 179]
Aritmetika – prima
14
Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta B
358
353 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 353 a 358? b) Které přirozené číslo je hned vlevo od čísla 353?
c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 358? Výsledek řešení: a) 354, 355, 356, 357 b) 352 Příklad:
c) 359, 360, 361
Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1)
40
33 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 33 a 40? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 40? c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vlevo od čísla 33?
a) [34, 35, 36, 37, 38, 39] b) [39] c) [31, 32]
Aritmetika – prima
2)
93
87 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 87 a 93?
b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 87? c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 93?
a) [88, 89, 90, 91, 92] b) [86] c) [94, 95]
3)
1 239
1 244
a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 239 a 1 244? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 1 239? c) Které přirozené číslo je hned druhé za číslem 1 244 vyznačeným na obrázku?
a) [1 240, 1 241, 1 242, 1243] b) [1 238] c) [1 246] 4)
1 506
1 511
a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 506 a 1 511? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vpravo od čísla 1 511? c) Které přirozené číslo je hned třetí za číslem 1 511 vyznačeným na obrázku? a) [1 507, 1 508, 1 509, 1 510] b) [1 512] c) [1 514]
15
Aritmetika – prima
Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta C V řadě čísel 1, 3, 5, 7, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 25? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 25 a 37?
Výsledek řešení: a) 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 b) 27, 29, 31, 33, 35
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) V řadě čísel 12, 14, 16, 18, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 28? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 28 a 34? a) [20, 22, 24, 26, 28] b) [30, 32]
2) V řadě čísel 9, 11, 13, 15 … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 25? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 25 a 31? a) [17, 19, 21, 23, 25] b) [27, 29]
16
Aritmetika – prima
17
3) V řadě čísel 9, 12, 15, 18, … je zapsáno kaţdé třetí přirozené číslo. a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 27 a 57? b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 9? a) [30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54] b) [1, 3, 6]
4) V řadě čísel 12, 16, 20, 24… je zapsáno kaţdé čtvrté přirozené číslo. a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 44 a 80? b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 12?
a) [48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76] b) [1, 4, 8,]
Aritmetika – prima
18
Přirozená čísla Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno. Přirozená čísla mezi sebou porovnáváme pomocí znaků nerovnosti
.
Tyto znaky nerovnosti vkládáme mezi přirozená čísla, a porovnáváme tak jejich velikost. Pro grafické znázornění pouţíváme číselnou osu. Úloha 4: 1, 2, 3, 4, 5 x menší neţ 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
7, 8, 9, 10, 11, … x větší neţ 6
0
1
2
3
Pokud pouţijeme znaky nerovnosti
krouţek, je prázdný.
Aritmetika – prima
1, 2, 3, 4, 5, 6 x menší nebo rovno neţ 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
29
30
6, 7, 8, 9, 10, 11, … x větší nebo rovno neţ 6
0
1
2
3
Pokud pouţijeme znaky nerovnosti
4
pak krouţek vyplníme.
Úloha 5: Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:
21
22
23
24
Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28, 29
a zároveň
.
.
25
26
27
28
19
Aritmetika – prima
Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí:
a zároveň
.
Takovýto zápis můţeme zjednodušit:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
29
30
29
30
Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28 Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:
21
22
23
24
a zároveň
.
.
25
26
27
28
Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:
21
22
23
24
Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
a zároveň
.
.
25
26
27
28
20
Aritmetika – prima
21
Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta A Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: a)
b)
c)
d)
Výsledek řešení: a) 1, 2, 3
b) 1, 2, 3, 4, 5
c) 1
d) 1
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 2) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 3) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] 4) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]
Aritmetika – prima
22
Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta B Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí:
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
Výsledek řešení: 120, 121, 122, 123, 124, 125
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1106] 2) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051] 3) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 257 a zároveň menší neţ 265.
[258, 259, 260, 261, 262, 263, 264]
4) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 307 a zároveň menší nebo rovny 313.
[308, 309, 310, 311, 312, 313]
Aritmetika – prima
23
Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta C Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)
b)
9
10
11
c)
12
13
d)
14
15
16
17
18
Výsledek řešení: a)
b)
c)
d)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)
b)
91 [a)
92
93 b)
c)
94
95
d)
96 c)
97
98 d)
99
100 ]
Aritmetika – prima
24
2) Na obrázku je podtrţeno šest čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)
b)
91
92
[a)
93 b)
c)
94
95
d)
96 c)
97
98 d)
99
100 ]
3) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a vypište tato čísla: a)
b)
c)
d)
[16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]
4) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a vypište tato čísla: a)
b)
c)
d)
[57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]
Aritmetika – prima
25
Přirozená čísla Zápisy přirozených čísel Přirozené číslo zapisujeme zkráceným zápisem čísla v desítkové soustavě, nebo rozvinutým zápisem čísla v desítkové soustavě. 7 542 886 = 7. 1 000 000 + 5. 100 000 + 4. 10 000 + 2. 1 000 + 8. 100 + 8. 10 + 6. 1
Počet
7
5
4
2
8
8
6
milionů
statisíců
desetitisíce
tisíce
stovek
desítek
jednotek
Úloha 6: Zapiš tato přirozená čísla: A
B
Tři tisíce třicet dva
Devět set šedesát sedm tisíc osm set dva
Šest tisíc devět
Sto dvacet tisíc padesát dva
Čtyři tisíce šest set sedmdesát
Sto čtyři tisíc čtyři
Padesát dva tisíc dvě sta sedm
Dvě sta třicet šest tisíc sedm set padesát osm
Třináct tisíc osmdesát osm
Čtyři miliony pět set šedesát sedm tisíc tři sta dvacet devět
Výsledek řešení: A
B
3 032
967 802
6 009
120 052
4 670
104 004
52 207
236 758
13 088
4 567 329
Aritmetika – prima
Úloha 7: Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 5 672
b) 298
c) 110 702
d) šest tisíc tři sta dvacet dva
Výsledek řešení: a) b) c) d) Úloha 8: Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) b) c) Výsledek řešení: a) 3 421
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
b) 6 002
c) 222 740
26
Aritmetika – prima
27
Zápisy přirozených čísel Varianta A Zapiš slovy tato čísla: a) 6 006
b) 6 060
c) 6 600
d) 12 200
e) 12 020
f) 12 002
g) 4 320 000
h) 4 320 002
i) 4 320 200
Výsledek řešení: a) šest tisíc šest
b) šest tisíc šedesát
c) šest tisíc šest set
d) dvanáct tisíc dvě sta
e) dvanáct tisíc dvacet
f) dvanáct tisíc dva
g) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc h) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dva i) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dvě sta Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napište číslo sloţené: a) ze sedmi tisíců, dvou stovek, pěti desítek a čtyřech jednotek b) z jednoho desetitisíce, pěti tisíců, čtyřech stovek a osmi jednotek c) z osmi jednotek, dvou stovek, tří tisíců a osmi miliónů [a) 7 254, b) 15 408, c) 8 003 208] 2) Napište číslo sloţené: a) ze tří statisíců, tří tisíců a šesti stovek b) z pěti jednotek, jedné desítky, devíti tisíců a dvou desetitisíců c) ze sedmi stovek miliónů, pěti statisíců a šesti tisíců [a) 303 600, b) 29 015, c) 700 506 000]
Aritmetika – prima
28
3) Kolik jednotek je: a) sedm desítek
b) čtyřicet šest desítek
d) dvě sta třicet sedm stovek
c) dvě stovky e) čtrnáct tisíc
[a) 70, b) 460, c) 200, d) 23 700, e) 14 000]
4) Kolik jednotek je: a) pět desítek
b) sto třicet devět desítek
d) tisíc stovek
e) devět tisíc
c) tři stovky
[a) 50, b) 1 390, c) 300, d) 100 000, e) 9 000]
Aritmetika – prima
Zápisy přirozených čísel Varianta B Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 2 761
b) 8 007
c) 29 010
d) 10 001
e) 234 872
f) 760 980
g) 444 000
h) 2 050 307
Výsledek řešení: a) 2 761 2 1000 7 100 6 10 1 1 b) 8 007 8 1000 0 100 0 10 7 1 c) 29 010 2 10 000 9 1000 0 100 1 10 0 1 d) 10 001 1 10 000 0 1000 0 100 0 10 1 1 e) 234 872 2 100 000 3 10 000 4 1000 8 100 7 10 2 1 f) 760 980 7 100 000 6 10 000 0 1000 9 100 8 10 0 1 g) 444 000 4 100 000 4 10 000 4 1000 0 100 0 10 0 1 h) 2 050 307 2 1000 000 0 100 000 5 10 000 0 1000 3 100 0 10 7 1
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 3 102
b) 19 004
c) 234 987
d) 3 100 001
a) 3102 3 1000 1 100 0 10 2 1 b) 19 004 1 10 000 9 1000 0 100 0 10 4 1 c) 234 987 2 100 000 3 10 000 4 1000 9 100 8 10 7 1 d) 3100 001 3 1000 000 1 100 000 0 10 000 0 1000 0 100 0 10 1 1
29
Aritmetika – prima
2) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 4 012
b) 23 402
c) 340 207
d) 4 101 100
a) 4 012 4 1000 0 100 1 10 2 1 b) 23 402 2 10 000 3 1000 4 100 0 10 2 1 c) 340 207 3 100 000 4 10 000 0 1000 2 100 0 10 7 1 d) 4101100 4 1000 000 1 100 000 0 10 000 1 1000 1 100 0 10 0 1
3) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 37, 801, 1 098.
[a) 370, 8 010, 10 980
b) 3 700, 80 100, 109 800
c) 37 000, 801 000, 1 098 000]
4) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 53, 604, 2 908.
[a) 530, 6 040, 29 080
b) 5 300, 60 400, 290 800
c) 53 000, 604 000, 2 908 000]
30
Aritmetika – prima
31
Zápisy přirozených čísel Varianta C Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 3 1000 5 100 6 10 1 1 b) 4 1000 0 100 3 10 7 1 c) 8 10 000 5 1000 5 100 1 10 0 1 d) 7 100 000 0 10 000 4 1000 0 100 7 10 2 1 e) 3 1000 000 2 100 000 5 10 000 1 1000 0 100 0 10 7 1 Výsledek řešení: a) 3 561
b) 4 037
c) 85 510
d) 704 072
e) 3 251 007
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 5 10000 0 1000 0 100 6 10 6 1
[50 066]
b) 4 1000 000 0 100 000 9 10 000 3 1000 7 100 0 10 2 1
[4 093 702]
2) Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 4 10000 4 1000 0 100 6 10 0 1
[44 060]
b) 8 100 000 9 10 000 5 1000 0 100 0 10 4 1
[895 004]
3) Které číslo je a) desetkrát menší b) o deset menší neţ číslo 21 000?
[2 100, 20 990]
4) Které číslo je a) desetkrát větší b) o deset větší neţ číslo 19 991?
[199 910, 20 001]
Aritmetika – prima
32
Přirozená čísla Čísla a číslice Čísla se skládají z číslic. Číslice neboli cifry v desítkové soustavě. 0 … nula
5 … pětka
1 … jednička
6 … šestka
2 … dvojka
7 … sedmička
3 … trojka
8 … osmička
4 … čtyřka
9 … devítka
Přirozené číslo JEDNOciferné
7
ČTYŘciferné
4 572
DVOJciferné
69
PĚTIciferné
15 890
TROJciferné
213
ŠESTIciferné
765 309
Úloha 9: Přečti číslo 865 234 509. Pak vyjmenuj všechny číslice, které jsou v zápisu tohoto čísla. Která číslice je na místě desítek? Která číslice je na místě desetitisíců? Která číslice je na místě milionů? Výsledek řešení: Osm set šedesát pět milionů dvě sta třicet čtyři tisíc pět set devět. Na místě desítek je nula. Na místě desetitisíců je trojka. Na místě milionů je pětka. Úloha 10: Vypište všechna dvojciferná čísla, ve kterých jsou jenom číslice 2 a 8. Číslice se mohou opakovat.
[28, 82, 22, 88]
Úloha 11: Vypište všechna trojciferná čísla x, pro která platí:
. [100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107]
Aritmetika – prima
Čísla a číslice Varianta A Vypiš z čísel 123, 65, 333, 4, 19, 980, 4 781, 98, 35 765, 5 000, 514, 32 a) všechna jednociferná čísla
b) všechna dvojciferná čísla
c) všechna trojciferná čísla
d) všechna čtyřciferná čísla
Výsledek řešení: a) 4
b) 65, 19, 98,
32 c) 123, 333, 980, 514
d) 4 781, 5 000
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypište z čísel 13, 465, 3 443, 5, 19, 3 980, 81, 198, 352 765, 53 010, 514, 2 a) všechna pěticiferná čísla
b) všechna dvojciferná čísla
c) všechna trojciferná čísla
d) všechna čtyřciferná čísla
[a) 53 010
b) 13, 19, 81 c) 465, 198, 514
d) 3 443, 3 980]
2) Vypište z čísel 745, 90, 873, 3 456, 23 753, 7, 87, 621, 0, 897 541, 6 579, 56 874 a) všechna jednociferná čísla
b) všechna dvojciferná čísla
c) všechna šesticiferná čísla
d) všechna čtyřciferná čísla
[a) 7, 0
b) 90, 87
c) 897 541
d) 3 456, 6 579]
33
Aritmetika – prima
34
3) Zmenšete daná čísla o jednu: 5 000, 2 800, 40 000, 99 990, 600 840, 1 milion. [4 999, 2 799, 39 999, 99 989, 600 839, 999 999] 4) Zmenšete daná čísla o jednu: 7 000, 5 810, 60 000, 96 900, 500 000, 1 miliarda. [6 999, 5 809, 59 999, 96 899, 499 999, 999 999 999]
Aritmetika – prima
35
Čísla a číslice Varianta B Zapište všechna trojciferná čísla, která mají: a) na místě jednotek číslici 7 a na místě stovek číslici 2, b) na místě desítek číslici 4 a na místě stovek číslici 6, c) na místě jednotek číslici 3 a na místě desítek číslici 8. Výsledek řešení:
a) 2
7
[207, 217, 227, 237, 247, 257, 267, 277, 287, 297]
b) 6 4
[640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649]
c)
[183, 283, 383, 483, 583, 683, 783, 883, 983]
83
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě jednotek číslici 4, na místě stovek číslici 2 a jsou tvořena pouze čísly 1, 2, 3, 4, 5, ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat. [1 234, 1 254, 3 214, 3 254, 5 214, 5 234,] 2) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě desítek číslici 4 a na místě stovek číslici 6 a jsou tvořena pouze čísly 2, 3, 4, 5, 6 ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat. [2 643, 2 645, 3 642, 3 645, 5 642, 5 643] 3) Kolik je trojciferných čísel, která začínají dvojčíslím 24? [240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249] 4) Kolik je trojciferných čísel, která končí dvojčíslím 55? [155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955]
Aritmetika – prima
36
Čísla a číslice Varianta C a) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 2, 8, 1, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. b) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 6, 9 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat.
Výsledek řešení: a) 8 28, 21
2 1
2 82, 81
8 1 2 1
12, 18 8
Aritmetika – prima
b) 6 0
306, 309
9 0 3
6
360, 369 9 6
9
396, 390 0 3 603, 609
0 9 0 6
3
630, 639 9 3
9
693, 690 0 3 903, 906
0 6 0 9
3
930, 936 6 3
6
963, 960 0
37
Aritmetika – prima
38
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 5, 1, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu? [13, 15, 35, 31, 51, 53] 2) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 6, 4, 8, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu? [46, 48, 64, 68, 84, 86] 3) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 1, 2, 9 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu? [129, 120, 109, 102, 190, 192, 210, 219, 202, 209, 290, 291, 910, 912, 901, 902, 921, 920] 4) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 7, 5, 3 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu? [753, 750, 730, 735, 703, 705, 503, 507, 530, 537, 570, 573, 305, 307, 350, 357, 370, 375]
Aritmetika – prima
39
Přirozená čísla Porovnávání čísel podle velikosti Přirozená čísla o stejném počtu číslic porovnáváme takto: Začneme porovnávat číslice od nejvyššího řádu, a jestliţe jsou číslice stejné, postupujeme k řádům niţším. 1 256
1256
1256
1256
1 293
1293
1293
1293
počet tisíců:
počet stovek:
počet desítek:
stejný
stejný
5 < 9, proto 1 256 < 1293
Úloha 12: Napiš, které ze dvou čísel je větší: a) 76, 176
b) 321, 312
c) 2 222, 1 679
d) 5 432, 15 432
[76 < 176, 321 > 312, 2 222 > 1679, 5 432 < 15 432]
Úloha 13: Zkontroluj a napiš ano, nebo ne: a) 347 > 345
b) 256 > 561
c) 12 309 < 12 039
d) 8 763 902 < 8 764 901
[ano, ne, ne, ano]
Aritmetika – prima
40
Úloha 14: Tabulka znázorňuje různé druhy ovoce, a jejich mnoţství v kilogramech, které se prodalo v uplynulém roce.
Banány
7 983
Mandarinky
1 007
Broskve 10 349
Meruňky
18 452
Citrony
878
Pomeranče
12 030
Hrušky
1 087
Švestky
23 459
Jablka
19 056
Třešně
10 321
Kterého ovoce se prodalo nejvíce?
[švestka]
Kterého ovoce se prodalo nejméně?
[citron]
Kterého ovoce se prodalo méně neţ 7 tisíc kilogramů?
[citron, hruška, mandarinka]
Kterého ovoce se prodalo vice neţ 15 500?
[jablko, meruňka, švestka]
Uspořádej druhy ovoce podle počtu prodaných kilogramů, od největšího k nejmenšímu. [švestka, jablko, meruňka, pomeranč, broskve, třešně, banán, hruška, mandarinka, citron]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
41
Porovnávání přirozených čísel podle velikosti Varianta A Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: a) 1 725, 578, 1 239, 198, 1 701, 1 024, 602, 1 332 b) 2 348, 2 365, 20 034, 2 098, 23 204, 21 542, 2 549, 2 107 c) 7 435, 7 501, 5 689, 6 723, 5 986, 4 890, 6 893, 4 882 Výsledek řešení: a) 198 578 602 1024 1239 1332 1701 1725 b) 2 098 2107 2 348 2 365 2 549 20 034 21542 23 204 c) 4 882 4 890 5 689 5 986 6 723 6 893 7 435 7 501
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: 5 725, 5 578, 1 239, 1 298, 1 291, 524, 602, 5 572, 435, 3 547, 607, 3 447
[435 < 524 < 602 < 607 < 1 239 < 1 291 < 1 298 < 3 447 < 3 547 < 5 572 < 5 578 < 5 725] 2) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: 2 239, 367, 452, 2 238, 3 291, 124, 102, 3 572, 135, 3 574, 407, 1 367
[102 < 124 < 135 < 367 < 407 < 452 < 1 367 < 2 238 < 2 239 < 3 291 < 3 572 < 3 574]
Aritmetika – prima
42
3) Firma Ferda a Syn rozváţí pečivo z Prostějova do čtyř měst, Brna, Olomouce, Ostravy a Zlína. a) Kolik kilometrů měří jejich cesty? b) Která cesta je nejdelší? c) Která cesta má vzdálenost mezi 100 km aţ 160 km? Vzdálenost v km
Brno
Olomouc
Ostrava
Prostějov
Zlín
Brno
0
78
165
54
96
Olomouc
78
0
93
24
63
Ostrava
165
93
0
117
104
Prostějov
54
24
117
0
150
Zlín
96
63
104
150
0
[b) Brno – Ostrava, c) Prostějov – Ostrava, Ostrava – Zlín, Prostějov - Zlín] 4) Firma Klubíčko a Dcery rozváţí vlnu z Prostějova do čtyř měst, Hodonín, Liberec, Písek, Svitavy. a) Kolik kilometrů měří jejich cesty? b) Která cesta je nejdelší? c) Která cesta má vzdálenost mezi 160 km aţ 240 km? Vzdálenost v km
Hodonín
Liberec
Písek
Prostějov
Svitavy
Hodonín
0
300
265
136
128
Liberec
300
0
207
238
172
Písek
265
207
0
276
202
Prostějov
136
238
276
0
95
Svitavy
128
172
202
95
0
[b) Hodonín – Liberec, c) Liberec – Písek, Liberec – Prostějov, Liberec – Svitavy, Písek Svitavy]
Aritmetika – prima
43
Porovnávání přirozených čísel Varianta B Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 325, menší neţ 352 a v jejich zápisu je číslice 4. Výsledek řešení: [334, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 234, menší neţ 257 a v jejich zápisu je číslice 3. [235, 236, 237, 238, 239, 243, 253] 2) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 438, menší neţ 487 a v jejich zápisu je číslice 3. [439, 443, 453, 463, 473, 483] 3) Napište nejmenší a největší pěticiferné číslo sloţené ze čtyř různých číslic, kdy jedna číslice se opakuje. [10 123, 99 876] 4) Napište nejmenší a největší šesticiferné číslo, v jehoţ zápisu jsou tři různé číslice. [100 002, 999 987]
Aritmetika – prima
44
Porovnávání přirozených čísel Varianta C Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 1, 7, 4, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. Výsledek řešení:
147 174 417 471 714 741
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 2, 8, 6, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. [268 < 286 < 628 < 682 < 826 < 862] 2) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 9, 5, 3, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. [359 < 395 < 539 < 593 < 935 < 953] 3) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 23 758 a jehoţ zápis končí: a) jednou nulou
b) dvěma nulami
c) třemi sedmičkami
d) čtyřmi jedničkami
[a) 23 760, 99 990, b) 23 800, 99 900, c) 23 777, 99 777, d) 31 111, 91 111]
Aritmetika – prima
45
4) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 45 865 a jehoţ zápis končí: a) jednou nulou
b) dvěma nulami
c) třemi sedmičkami
d) čtyřmi jedničkami
[a) 45 870, 99 990, b) 45 900, 99 900, c) 46 777, 99 777, d) 51 111, 91 111]
Aritmetika – prima
Přirozená čísla Zaokrouhlování přirozených čísel Přirozená čísla zaokrouhlujeme takto: Před číslicemi 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ. Před číslicemi 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU. Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo. Zaokrouhlování: Na desítky: 4 8 7 3 = 4 870
6 4 3 8 = 6 440
Na stovky: 4 8 7 3 = 4 900
6 4 3 8 = 6 400
Na tisíce: 4 8 7 3 = 5 000
6 4 3 8 = 6 000
Úloha 15: Zaokrouhli postupně číslo 2 345 629 na stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce. 2 345 6 29 = 2 345 600
2 34 5 629 = 2 346 000
2 3 4 5 629 = 2 350 000
2 3 45 629 = 2 300 000
46
Aritmetika – prima
47
Úloha 16: Čísla jsou zaokrouhlena na desítky. Zkontroluj, zda je to správně. a) 683 = 680
b) 456 = 460
c) 704 = 710
d) 1 236 = 1 250
e) 3 766 = 3 770
f) 32 015= 32 010
[ano, ano, ne, ne, ano, ne] Úloha 17: Číslo 750 vzniklo zaokrouhlením neznámého přirozeného čísla na desítky. Vypiš všechna čísla, která mohla být tím neznámým číslem. [745, 746, 747, 748, 749, 751, 752, 753, 754]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
48
Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta A a) Zaokrouhli na desítky: 234, 358, 492, 537, 1 673, 996 b) Zaokrouhli na stovky: 673, 1 972, 2 631, 12 784, 2 952, 32 098 c) Zaokrouhli na tisíce: 3 478, 502, 23 844, 8 545, 9 500, 323
Výsledek řešení: a) 234 = 230, 358 = 360, 492 = 490, 537 = 540, 1 673 = 1 670, 996 = 1 000 b) 673 = 700, 1 972 = 2 000, 2 631 = 2 600, 12 784 = 12 800, 2 952 = 3 000, 32 098 = 32 100 c) 3 478 = 3 000, 502 = 1 000, 23 844 = 24 000, 8 545 = 9 000, 9 500 = 10 000, 323 = 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 21 548, 6 793, 40 176, 105 320, 885. [desítky: 21 550, 6 790, 40 180, 105 320, 890] [stovky: 21 500, 6 800, 40 200, 105 300, 900] 2) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 99 611, 15 234, 419 907, 8 452, 329. [desítky: 99 610, 15 230, 419 910, 8 450, 330] [stovky: 99 600, 15 200, 419 900, 8 500, 300] 3) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 93 611, 54 234, 49 972, 82, 3 329. [stovky: 93 600, 54 200, 50 000, 100, 3 300] [tisíce: 94 000, 54 000, 50 000, 0, 3 000] 4) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 21 583, 3 739, 40 946, 105 606, 58. [stovky: 21 600, 3 700, 40 900, 105 600, 100] [tisíce: 22 000, 4 000, 41 000, 106 000, 0]
Aritmetika – prima
49
Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta B Zaokrouhli čísla 9 654 734 a 407 279 na stovky, tisíce a desetitisíce. Stovky:
tisíce:
desetitisíce:
9 654 734 = 9 654 700
9 654 734 = 9 655 000
9 654 734 = 9 650 000
407 579 = 407 600
407 279 = 407 000
407 279 = 410 000
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli číslo 7 346 893 na stovky, tisíce a desetitisíce. [7 346 900, 7 347 000, 7 350 000]
2) Zaokrouhli číslo 5 699 569 na stovky, tisíce a desetitisíce. [5 699 600, 5 700 000, 5 700 000] 3) Zaokrouhli číslo 4 125 336 569 desetitisíce, statisíce a miliony. [4 125 340 000, 4 125 300 000, 4 125 000 000] 4) Zaokrouhli číslo 2 533 256 762 desetitisíce, statisíce a miliony. [2 533 260 000, 2 533 300 000, 2 533 000 000]
Aritmetika – prima
50
Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta C Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterých po zaokrouhlení na stovky vznikne číslo a) 800 b) 231 000. Výsledek řešení: a) nejmenší číslo: 750
největší: 849
b) nejmenší číslo: 230 950
největší: 231 049
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne číslo 300.
[295, 304]
2) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne číslo 450.
[445, 454]
3) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce vznikne číslo 20 000.
[15 000, 24 999]
4) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce vznikne číslo 240 000.
[235 000, 244 999]
Aritmetika – prima
Přirozená čísla Sčítání přirozených čísel Sčítáme-li přirozená čísla, pak tyto čísla nazýváme sčítance a jejich výsledek je součet. 234 + 1 866 = 2 100 sčítanec + sčítanec = součet Pro všechna přirozená čísla a, b platí: Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.
Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí: Sčítance můţeme libovolně sdružovat do skupin, součet se nezmění.
Pro kaţdé přirozené číslo a platí:
2 896 + 0 = 2 896 Velká čísla sčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto čísel pod sebou podle odpovídajících řádů. 749
8 452
2 386
356
4 378
64
1 105
12 830
2 450
419
2 809
77
3 890
789
673
56
11
98
4 365
3 609
2 001 2 849
51
Aritmetika – prima
Sčítání přirozených čísel Varianta A Zvol vhodné pořadí sčítanců a vypočítej zpaměti: a) 29 + 37 + 21
b) 123 + 85 + 27
c) 14 + 349 + 16
d) 543 + 125 + 75
e) 336 + 55 + 764 + 15
f) 89 + 302 + 61 + 108
Výsledek řešení: a) 29 + 37 + 21 = 29 + 21 + 37 = 50 + 37 = 87 b) 123 + 85 + 27 = 123 + 27 + 85 = 150 + 85 = 235 c) 14 + 349 + 16 = 14 + 16 + 349 = 30 + 349 = 379 d) 543 + 125 + 75 = 543 + 200 = 743 e) 336 + 55 + 764 + 15 = 336 + 764 + 55 + 15 = 1 100 + 70 = 1 170 f) 89 + 302 + 61 + 108 = 89 + 61 + 302 + 108 = 150 + 410 = 560
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečtěte zpaměti.
52
Aritmetika – prima
2) Sečtěte zpaměti.
3) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.
4) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.
53
Aritmetika – prima
Sčítání přirozených čísel Varianta B Sečti pod sebou čísla: a) 78 324 + 794
b) 1 376 + 45 749
c) 2 148 + 76 + 58 983
d) 57 123 + 348 + 456 009
e) 66 + 6 666 + 666 + 66 666
f) 396 897 + 56 + 6 903 + 39 087
Výsledek řešení: a)
b)
c) 2148
78 324 794 79118
45 749 47 125
76 58 983 61 207
d)
e)
f)
1376
66
396 897
57 123
6 666
56
348
666 66 666 74 064
6 903
456 009 513 480
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
39 087 442 943
54
Aritmetika – prima
55
Příklady k procvičení: 1) Sečtěte písemně. a)
b) [a) 60 072, b) 106 074]
2) Sečtěte písemně. a)
b) [a) 100 237, b) 104 732]
3) Sečtěte písemně. a) b) [a) 789 189, b) 254 672] 4) Sečtěte písemně. a) b) [a) 670 156, b) 364 385]
Aritmetika – prima
56
Sčítání přirozených čísel Varianta C Petr si šetří na počítač. Plánuje, kolik bude potřebovat peněz. Vybral si základní sestavu, která je za cenu 23 990 Kč, za větší monitor připlatí 2 400 Kč, za DVD – RW zaplatí 3 200 Kč, zvuková karta stojí 1 060 Kč a reproduktory 2 530 Kč. Kolik bude Petra stát celé zařízení dohromady? 1) zápis úlohy 2) výpočet ceny celého počítače 3) odpověď Základní sestava …
23 990 Kč
Příplatek za monitor …
2 400 Kč
DVD – RW …
3 200 Kč
Zvuková karta …
1 060Kč
Reproduktory …
2 530 Kč
Cena celé sestavy …
x Kč
Cena celého počítačové sestavy je 33 180 Kč.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
23 990 2 400 3 200 1 060 2 530 33180
Aritmetika – prima
57
Příklady k procvičení: 1) V továrně pracují na tři směny. V první směně pracuje 836 zaměstnanců, ve druhé směně 764 a ve třetí desetkrát méně neţ v první a druhé směně dohromady. Kolik zaměstnanců má továrna?
[1760 zaměstnanců]
2) Ve skladišti obchodu naloţili na dodávkové auto 10 beden po 25 kg, tisíc krabic po 200 g a sto plechovek po 75 dkg. Kolik váţilo naloţené zboţí?
[525 kg]
3) V roce 1978 byla průměrná roční spotřeba masa na jednoho obyvatele naší republiky 28 kg 90 dkg. V roce 1989 stoupla spotřeba o 1 320 dkg. V roce 1998 byla ještě o 12 kg 10 dkg masa vyšší neţ v roce 1989. Jaká byla průměrná spotřeba masa na jednoho obyvatele v roce 1998?
[54 kg 20 dkg ]
4) Pan Veselý si chtěl pořídit vlastní dům. Zjistil, ţe vyhlédnutý pozemek by stál 687 500 Kč. Za stavbu domu „na klíč“ poţaduje stavební firma 1 350 000 Kč, za plot okolo pozemku a za bezpečnostní zařízení by zaplatil asi 80 tisíc korun a úprava zahrady by stála přibliţně 65 000 Kč. a) odhadni, zda by panu Veselému stačily na všechno 3 miliony b) vypočítej, kolik by musel podle získaných informací celkem zaplatit. [a) ano, b) 2 182 500 Kč]
Aritmetika – prima
58
Přirozená čísla Odčítání přirozených čísel Při odčítání přirozených čísel, nazýváme první číslo menšenec, druhé menšitel a výsledkem je rozdíl. 756
–
76
= 680
menšenec – menšitel = rozdíl
680 + 76 = 756 Součet rozdílu a menšitele se rovná menšenci. Velká čísla odčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto čísel pod sebou podle odpovídajících řádů. 749
8 452
2 386
- 356
- 4 378
- 64
393
4 074
2 322
Při odčítání přirozených čísel musíme dát pozor na pořadí čísel v zápisu. Kdyţ změníme pořadí čísel, pak se rozdíl čísel změní.
Jestliţe při odčítání přirozených čísel se objeví znaménko minus před závorkou, pak se musí při odstranění závorky všechna znaménka v závorce změnit v opačná. Při sčítání můţeme závorky libovolně odstraňovat.
Aritmetika – prima
Odčítání přirozených čísel Varianta A Zpaměti vypočítejte.
Výsledek řešení:
Zpaměti vypočítejte co nejvýhodněji. a) Výsledek řešení: a) b) c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
b)
c)
59
Aritmetika – prima
Příklady k procvičení: 1) Zpaměti vypočítejte.
2) Vypočtěte co nejvýhodněji.
[10, 300, 275] 3) Odečtěte a výsledek kontrolujte sčítáním.
4) Sečtěte a kontrolujte odečtením.
60
Aritmetika – prima
61
Odčítání přirozených čísel Varianta B Odečtěte. Provádějte zkoušku sčítáním. Výsledek řešení:
Zkouška:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Odečtěte [23 897, 12 036]
2) Odečtěte [6 651, 103 043] 3) Vypočtěte menšitele, jestliţe menšenec je 1 010 101 a rozdíl 101 010. [909 091] 4) Které číslo jsme odečetli od 119 103, jestliţe rozdíl je 18 025? [101 078]
Aritmetika – prima
Odčítání přirozených čísel Varianta C Tatínek má průměrnou hrubou měsíční mzdu 22 830 Kč, maminka 19 960 Kč. Sečtěte a odečtěte obě čísla. Co jste vypočítali? Výsledek řešení: 22 830 19 960
42 790 Kč je celková hrubá mzda obou rodičů.
42 790
22 830 - 19 960 2 870
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
2 870 Kč je částka, o kterou má tatínek vyšší hrubou mzdu neţ maminka.
62
Aritmetika – prima
63
Příklady k procvičení: 1) Nejvyšší hora v Evropě je Elbrus je vysoká 5 633 m. Nejvyšší hora v Beskydech je o 4 309 m niţší neţ Elbrus a o 7 524 m niţší neţ nejvyšší hora světa Mount Everest. a) určete výšku všech tří hor b) vypočtěte, o kolik metrů je Mount Everest vyšší neţ Elbrus c) znázorněte výšku hor úsečkami. (výšku 1 000 m = 1 cm) [a) 5 633 m, 1 324 m, 8 848 m; b) 3 215 m] 2) Kdyţ vyjel autobus z města, bylo v něm 46 cestujících. Na první zastávce 9 cestujících vystoupilo a 12 přistoupilo, na druhé zastávce 11 cestujících vystoupilo a 4 nastoupili. Kolik cestujících pokračovalo v jízdě?
[42]
3) Součet čísel 5 048 a 1 795 zmenšete o číslo, které je o 962 větší neţ rozdíl prvních dvou čísel.
[2 628]
4) Kdyţ k rozdílu čísel 1 704 a 654 přičtete rozdíl čísel 14 920 a 14 042, dostanete rok, ve kterém byla vynalezena televize. Kolik roků znají lidé televizi? [r.1928, 81 let]
Aritmetika – prima
64
Přirozená čísla Násobení přirozených čísel Přirozená čísla, která mezi sebou násobíme, nazýváme činitele, výsledek násobení nazýváme součin. 200 .
40
= 8 000
činitel . činitel = součin Pro všechna přirozená čísla a, b platí:
Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění. Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí:
Činitele můţeme libovolně sdruţovat, součin se nezmění. Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí:
Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.
Pro kaţdé přirozené číslo a platí:
Násobení má přednost před sčítáním a odčítáním.
Aritmetika – prima
Násobení velkých čísel provádíme pod sebou. 814 . 692 1628 7326 4884 563288
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
65
Aritmetika – prima
Násobení přirozených čísel Varianta A Vypočtěte.
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:
66
Aritmetika – prima
67
2) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:
3) Zručný pekař uplete ručně za hodinu 400 housek. Moderní stroj pracuje 25krát rychleji. Kolik housek uplete za 4 hodiny stroj?
[40 000]
4) Jaký výsledek dostanete, sečtete-li osmkrát číslo 35?
[280]
Aritmetika – prima
Násobení přirozených čísel Varianta B Vynásobte písemně mezi sebou čísla 2 086 a 2 407. Výsledek řešení 2 086 . 2 407 14602 0000 8344 4172 5021002
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 8 009 a 5 060.
[40 525 540]
2) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 92 307 a 54 026.
[4 986 978 000]
3) Vypočtěte:
[64 647]
4) Vypočtěte:
[106 862]
68
Aritmetika – prima
69
Násobení přirozených čísel Varianta C Řidič autobusu najezdí týdně průměrně 427 km. Kolik kilometrů najezdil za rok, kdyţ měl 4 týdny dovolené a jindy v práci nechyběl? 1 týden …
427 km
1 rok …
x km
4 týdny volna 1 rok = 52 týdnů 52 týdnů – 4 týdny = 48 pracovních týdnů
Výsledek řešení: Řidič autobusu najezdí za rok 20 496 km.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Stavební firma potřebuje přivézt z nádraţí 45 ocelových nosníků. Kaţdý nosník má hmotnost 82 kg. Stavbyvedoucí pro tento náklad můţe poslat malé auto, které uveze 3 tuny, nebo větší, které uveze 8 tun. Které auto má pro náklad poslat, aby náklad přivezl najednou? [3 690 kg, velké auto] 2) Na koncert bylo prodáno 178 vstupenek po 560 Kč, 239 vstupenek po 350 Kč a 613 vstupenek po 195 Kč. Jaká byla celková trţba za vstupenky?
[302 865 Kč]
3) Ve školní jídelně obědvá 476 ţáků a 38 učitelů. Pro jednu osobu se počítá na oběd 90 gramů mouky a 70 gramů masa. Kolik kilogramů a dekagramů mouky a masa se spotřebuje pro všechny strávníky na jeden oběd? [mouky 46 kg a 26 dkg; masa 35 kg a 98 dkg] 4) Kolik korun by ušetřil za 15 let kuřák, který vykouří denně krabičku cigaret? Průměrná cena krabičky cigaret je 60 Kč.
[328 500 Kč]
Aritmetika – prima
Přirozená čísla Dělení přirozených čísel Přirozená čísla, která mezi sebou dělíme, nazýváme dělenec, dělitel a výsledkem dělení je podíl. 65
:
5
= 13
dělenec : dělitel = podíl Součin podílu a dělitele se rovná dělenci.
Dělení má přednost před sčítáním i odčítáním. Nulou se dělit nedá!
540
0=
Dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
70
Aritmetika – prima
Dělení přirozených čísel Varianta A Vypočtěte:
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte.
71
Aritmetika – prima
2) Vypočtěte.
3) Vypočtěte.
4) Vypočtěte.
72
Aritmetika – prima
73
Dělení přirozených čísel Varianta B Proveďte dělení čísla 501 číslem 29.
501 29 17 211 8 Při tomto dělení dostáváme neúplný podíl a zbytek. Neúplný podíl = 17 Zbytek = 8 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte.
[43 zb.4; 65 zb.65] 2) Vypočtěte.
[50 zb.100; 722 zb.30] 3) Dělíme-li číslo 118 jistým dělitelem, dostaneme neúplný podíl 5 a zbytek 13. Jaké číslo je dělitelem?
[21]
4) Dělenec je jisté číslo, dělitelem je číslo 76, neúplný podíl je 105 a zbytek 37. Jaké číslo je dělencem?
[8 017]
Aritmetika – prima
74
Dělení přirozených čísel Varianta C Při spotřebě 1 litru benzinu ujede auto Škoda Octavia přibliţně 22 km. Kolik litrů benzinu spotřebuje na cestě a) 154 km b) z místa školy do hlavního města? 1 litr …
22 km
x litrů …
154 km Výsledek řešení: Auto spotřebuje na vzdálenost 154 km 7 litrů benzinu.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Tropická tráva bambus vyroste asi za 50 dní do výše aţ 20 metrů. Kolik centimetrů vyroste přibliţně za den?
[40 cm]
2) Na postavení cihlového domu je třeba 130 000 cihel. Cihly budeme přiváţet třemi auty, na kaţdé z nich se vejde 850 cihel. Kolikrát musí přijet najednou všechny tři auta, aby dovezly potřebné mnoţství cihel?
[auta musí přijet 51x]
3) Z vesnice do města jsou 3 km. Cyklista dojel tam a zpět za 39 minut, přitom se v městě zdrţel čtvrt hodiny. Jakou průměrnou rychlosti jel?
[15 km/h]
4) V zahradnictví je ovocná zahrada, která obsahuje 65 jabloní, na podzim se průměrně z kaţdé jabloně sklidilo 14 kg jablek. Zahradnictví si ponechalo 410 kg jablek a ostatní prodali. a) Kolik kilogramů jablek sadaři prodali? b) Kolik korun dostali sadaři za jablka, jestliţe 1 kg prodali za 16 Kč? [a) 500 kg, 8000 Kč]
Aritmetika – prima
75
Desetinná čísla a zlomky Zlomky Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek nám vyjadřuje část celku. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou.
1 4
čitatel zlomková čára jmenovatel
jeden celek dvě poloviny celku
tři třetiny celku
čtyři čtvrtiny celku
pět pětin celku
deset desetin celku
Zlomky, které mají stejné jmenovatele, sčítáme tak, ţe čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme.
Aritmetika – prima
76
Zlomky Varianta A Na místo otazníků napiš správná čísla.
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečti zlomky
[
]
[
]
2) Sečti zlomky
3) Sečti zlomky a zjednoduš je.
[
]
[
]
4) Sečti zlomky a zjednoduš je.
Aritmetika – prima
77
Zlomky Varianta B Chlapec chodí do školy pěšky a cesta mu trvá 30 minut. Jakou část cesty ujde za 1 minutu, za 5 minut, za 20 minut. Celá 1 cesta trvá 30 minut. Část x ujde za 1 minutu, 5 minut, 20 minut
Výsledek řešení: Chlapec za 1 minutu ujde
cesty, za 5 minut ujde cesty a za 20 minut ujde .
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ţákyně přečetla knihu za 7 dní. Jakou část knihy přečetla za den, jestliţe přečetla kaţdý den stejný počet stran?
[ ]
2) Šestnáct kusů vajec je roven přesně 1 kilogramu. Vyjádřete v gramech průměrnou váhu jednoho vejce.
[
]
3) Celek jsme rozdělili na 15 stejných dílů. Zapište zlomkem 7 těchto dílů.
[ ]
4) Malá Veronika vybrala na dárky rodičů úspor. Jaká část úspor jí ještě zbyla?
[ ]
Aritmetika – prima
78
Zlomky Varianta C Traktorista zoral obdélníkové pole za 6 hodin. Zvolte si vhodné měřítko a nakreslete pole a vyznačte část, kterou zoral za 4 hodiny.
Zoraná část pole za 4 hodiny
Výsledek řešení: Traktorista za 4 hodiny zoral pole.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Litrový hrnek je plný vody. Kolik litrů vody musíme vylít, aby jí v hrnku zůstalo [
litru]
2) Vyjádřete menšími jednotkami.
[75 cm, 5 g, 140 m, 45 minut, 50 haléřů, 8 měsíců]
litru?
Aritmetika – prima
79
3) Vyjádřete většími jednotkami. 56 cm, 7 kg, 30 minut, 1 měsíc, 127 m, 4 q [
4) Kniha má 128 stran a Jitka ji chce přečíst za 2 dny. První den přečetla knihy. Kolik stran jí zbylo na druhý den?
[48 stran]
Aritmetika – prima
Desetinná čísla a zlomky Desetinná čísla a jejich znázornění Desetinná čísla, jsou čísla, která ve svém zápise obsahují desetinnou čárku. Kaţdý zlomek se dá vyjádřit desetinným číslem.
Zlomky
Desetinná čísla 0,3
nula celá tři desetiny
0,47
nula celá čtyřicet sedm setin (nula celá čtyři desetiny sedm setin)
0,5
nula celá pět desetin
0,25
nula celá dvacet pět setin (nula celá dvě desetiny pět setin)
0,2
nula celá dvě desetiny
0,1
nula celá jedna desetina
0,01
nula celá jedna setina
Porovnávání desetinných čísel Desetinná čísla mezi sebou porovnáváme podle velikosti, podobně jako čísla přirozená. Které číslo je větší? 7,26 nebo 7,23
7,26 7,23 Počet jednotek: stejný Počet desetin: stejný
Počet setin: různý
Jelikoţ počet setin se v desetinných číslech různí a platí, ţe
, pak i
.
80
Aritmetika – prima
81
Zaokrouhlování desetinných čísel. Desetinná čísla zaokrouhlujeme obdobným způsobem, jako čísla přirozená. Záleţí, na kolik desetinných míst máme číslo zaokrouhlit. Při zaokrouhlování na jednotky, rozhoduje číslo umístěné za desetinnou čárkou na místě desetin. kdyţ je na místě desetin číslice 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ kdyţ je na místě desetin číslice 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU
Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se nezmění. 0,4 = 0,40 0,236 = 0,2360 8,2 = 8,20
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
82
Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta A Zapiš jako desetinná čísla: A B
Výsledek řešení: A B
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 0,3
b) 0,6
c) 0,32
d) 0,05
e) 0,03
f) 0,75 [
]
2) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 0,33
b) 0,7
c) 0,45
d) 0,25
e) 0,4
f) 0,99 [
]
3) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 1,3
b) 10,6
c) 42,2
d) 3,05
e) 8,03
f) 1,75
[
]
4) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 3,33
b) 2,7
c) 1,45
d) 5,25
e) 58,4 [
f) 6,99 ]
Aritmetika – prima
83
Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta B Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 4,8
3,65
2
2,2
4,68
3,54
4,07
2,09
3,44
5,07
3,09
3,41
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 1,8
1,65
1,2
2,02
2,68
4,54
[
]
2) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 5,02
5,12
5,98
4,18
5,68
3,94
5,17
3,9
[
4,14
]
3) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší: 123,56
145,69
85,96
536,04
138,29
145,91
123,87
147,09
535,99
[
]
4) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší: 863,02
[
752,92
685,8
694,18
755,75
863,94
684,9
802,9
555,55
]
Aritmetika – prima
84
Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta C 1) Zaokrouhli na jednotky čísla: 5,42
18,23
1,78
10,81
109,8
17,49
83,7
619,09
14,77
105,68
13,94
25,17
69,9
14,14
Výsledek řešení: [
]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na jednotky čísla: 5,02
8,2
12,98
6,8
[
]
2) Zaokrouhli na jednotky čísla: 15,3
4,09
17,6
1,2
25,5
2,49
172,81
9,09
[
38,38
]
3) Zaokrouhli na jednotky čísla: 123,56
145,69
85,96
536,04
138,29
145,91
123,47
147,09
[
535,99
]
4) Zaokrouhli na jednotky čísla: 863,02
752,92
685,8
694,18
755,75
[
863,94
684,9
802,9
555,55
]
Aritmetika – prima
85
Desetinná čísla a zlomky Sčítání a odčítání desetinných čísel Při písemném sčítání a odčítání desetinných čísel, musí být jednotky, desítky, stovky a také desetiny, setiny, tisíciny pod sebou.
23,67
120,58
52,38
34,4
76,05
154,98
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
46,75 - 24,7 22,05
167,84 - 70,02 97,82
Aritmetika – prima
86
Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta A Vypočítej zpaměti: a)
c)
e)
b)
d)
f)
Výsledek řešení: [a) 15,9 b) 12 c) 12,1 d) 13,8 e) 44,3 f) 22,1] Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte zpaměti: a)
b)
c)
d)
[a) 28,1 b) 10,1 c) 0,28 d) 0,32] 2) Vypočítejte zpaměti: a)
b)
c)
d)
[a) 8 b) 13,77 c) 1,05 d) 0,75] 3) Vypočítejte zpaměti: a)
b)
c)
d)
[a) 4,2 b) 1,4 c) 17,6 d) 4,2] 4) Vypočítejte zpaměti: a)
b)
c)
d)
[a) 6,1 b) 2,2 c) 4,7 d) 0,5]
Aritmetika – prima
87
Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta B Počítejte výhodně zpaměti: a)
b)
c)
b)
c)
Výsledek řešení: a) b) c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Počítejte výhodně zpaměti: a)
[a) 5 b) 6,6 c) 10]
2) Počítejte výhodně zpaměti: a)
b)
c) [a) 3,1 b) 1,42 c) 7,73]
Aritmetika – prima
3) Vypočítejte písemně. a)
b)
c)
d) [a) 6,27 b) 0,5 c) 4,6 d) 106,56]
4) Vypočítejte písemně. a)
b)
c)
d) [a) 25,03 b) 106,99 c) 18,51 d) 5,62]
88
Aritmetika – prima
89
Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta C Mosazný odlitek váţil 2,07 kg, píst z něho vybroušený váţil 1,65 kg. Kolik kilogramů mosazi odpadlo broušením? Odlitek …
2,07 kg
Píst …
1,65 kg
Odpad …
x kg
Při broušení mosazného odlitku odpadlo 0,42 kg mosazi.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Kouřová roura do komína má délku 0,9 m. Jak dlouhou rouru dostaneme, spojíme-li čtyři díly roury, kdyţ na zasunutí počítáme 0,09 m?
[3,33 m]
2) Kolik kilogramů masa je v konzervě, je-li její čistá váha 800 gramů a konzerva obsahuje 0,05 kg tuku a 0,5 kg rýţe.
[0,25 kg]
3) Stavební firma staví rodinný domek na parcele , chodník zabere
a dvorek
. Podle plánku bude dům na ploše
. Kolik metrů čtverečních zbude na zahradu? [
]
4) Ve dvou nádobách bylo dohromady 0,6 hl benzinu. Kdyţ přelili z první nádoby do druhé 0,05 hl, bylo v obou nádobách stejné mnoţství benzinu. Kolik hektolitrů benzinu bylo původně v kaţdé nádobě? [
]
Aritmetika – prima
90
Desetinná čísla I Tisíciny i miliontiny
0,1
nula celá jedna desetina
0,01
nula celá jedna setina
0,001
nula celá jedna tisícina
0,000 1
nula celá jedna desítitisícina
0,000 01
nula celá jeda stotisícina
0,000 001
nula celá jedna miliontina
4 523,967 281 Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět desetin šest setin sedm tisícin dvě desítitisíciny osm stotisícin jedna miliontina. Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět set šedesát sedm tisíc dvě sta osmdesát jedna miliontin.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
91
Tisíciny a miliontiny Varianta A Zapiš slovy desetinné číslo: 0,03
0,008
0,58
0,045
0,000 2
0,000 12
0,000 007
0,005 1
1,025 2
0,000 04
0,000 032
Výsledek řešení: 0,03 – nula celá tři setiny 0,008 – nula celá osm tisícin 0,58 – nula celá padesát osm setin 0,045 – nula celá čtyřicet pět tisícin 0,000 2 – nula celá dvě desítitisíciny 0,000 12 – nula celá dvanáct statisícin 0,000 007 – nula celá sedm miliontin
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš slovy desetinné číslo. 0,8
0,006
5,78
[nula celá osm desetin, nula celá šest tisícin, pět celých sedmdesát osm setin, nula celá padesát jedna desítitisícin, jedna celá dvě sta padesát dva desítitisícin, nula celá čtyři stotisíciny, nula celá třicet dva miliontin]
Aritmetika – prima
92
2) Zapiš slovy desetinné číslo. 0,48
0,106
2,078
7,000 1
1,020 54
0,200 04
0,000 005
[nula celá čtyřicet osm setin, nula celá sto šest tisícin, dvě celé sedmdesát osm tisícin, sedm celé jedna desítitisícina, jedna celá dva tisíce padesát čtyři statisícin, nula celá dvacet tisíc čtyři statisícin, nula celá pět miliontin] 3) Zapiš slovy zlomek.
[šest desetin, čtyřicet osm setin, sedm setin, padesát tři tisíciny, osm set dvanáct desítitisícin, devět set šedesát tři statisícin, jedenáct miliontin] 4) Zapiš slovy zlomek.
[čtyři desetiny, osmdesát osm setin, tři setiny, osmdesát tři tisíciny, dvě sta dvanáct desítitisícin, sedm set třináct statisícin, devadesát jedna miliontin]
Aritmetika – prima
93
Tisíciny a miliontiny Varianta B Přepiš zlomek do desetinného čísla.
Výsledek řešení: [0,7;
0,12; 0,09; 0,078;
0,012 3;
0,003 56;
0,000 036]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Přepiš zlomek do desetinného čísla:
[0,2;
0,42; 0,05; 0,065; 0,080 2; 0,005 73; 0,000 024]
2) Přepiš zlomek do desetinného čísla:
[0,5;
0,22; 0,09; 0,035; 0,072 3; 0,002 53; 0,000 038]
Aritmetika – prima
3) Přepiš zlomek do desetinného čísla:
[1,5;
2,32; 14,99; 1,365; 0,000 3; 0,224 15; 0,000 008]
4) Přepiš zlomek do desetinného čísla:
[3,5;
3,32; 15,01; 1,005; 0,000 4; 0,260 15; 0,000 005]
94
Aritmetika – prima
95
Tisíciny a miliontiny Varianta C Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,3
b) 0,75
c) 0,126
d) 0,205
e) 0,06
c)
d)
e)
d) 0,005
e) 0,082
f) 0,008
Výsledek řešení: a)
b)
f)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,7
b) 0,62
c) 0,652
[a)
b)
c)
d)
e)
]
2) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,41
b) 0,2
c) 0,262
d) 0,03
e) 0,009 [a)
b)
c)
d)
e)
]
3) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 5,7
b) 12,2
c) 2,882
d) 5,005 [a)
e) 62,000 62 b)
c)
d)
e)
]
4) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 2,41
b) 75,2
c) 82,002
d) 10,08 [a)
e) 2,009 4 b)
c)
d)
e)
]
Aritmetika – prima
Desetinná čísla I Porovnávání desetinných čísel Desetinná čísla znázorňujeme na číselné ose. Na číselné ose jsou čísla uspořádaná podle velikosti, číslo vlevo je vţdy menší neţ číslo vpravo. Desetinná čísla porovnáváme tak, ţe srovnáváme jejich jednotlivé řády.
45,46 45,45
45,48
45,5
45,54 45,53
45,47
45,56
45,55
45,58
45,6
45,57
Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se nezmění. 0,5 = 0,50 0,45= 0,450 12,26 = 12,260
8,23 8,237 Počet jednotek: stejný Počet desetin: stejný
Počet tisícin: různý Počet setin: stejný
Jelikoţ počet tisícin se v desetinných číslech různí a platí, ţe 7 > 0, pak i 8,237 > 8,23.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
96
Aritmetika – prima
97
Porovnávání desetinných čísel Varianta A Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a)
c)
b)
d)
Výsledek řešení: a) b)
c) d)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a) b)
c) d) [a) 7 b) 4 c) 9 d) 3 ]
2) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a)
c)
b)
d) [a) 6 b) 8 c) 3 d) 3 ]
Aritmetika – prima
98
3) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí: a) b)
c) d) [a) 4 b) 5 c) 8 d) 0 ]
4) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí: a)
c)
b)
d) [a) 4 b) 1 c) 7 d) 3 ]
Aritmetika – prima
99
Porovnávání desetinných čísel Varianta B Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)
b)
c)
b)
c)
Výsledek řešení: a)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)
b) [a)
c) b)
c)
]
2) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)
b) [a)
c) b)
c)
]
Aritmetika – prima
100
3) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)
b) [a)
c) b)
c)
]
4) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)
b) [a)
c) b)
c)
]
Aritmetika – prima
101
Porovnávání desetinných čísel Varianta C Napište všechna přirozená čísla, která leţí na číselné ose mezi čísly 1,5 a 6,65. 6,65
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
Výsledek řešení: Mezi desetinnými čísly 1,5 a 6,65 leţí tato přirozená čísla: 2; 3; 4; 5; 6
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 15,8 a 22,3. [16; 17; 18; 19; 20; 21; 22]
2) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 0,2 a 5,5. [1; 2; 3; 4; 5]
3) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 3,36 a menší neţ číslo 3,42. [3,37; 3,38; 3,39; 3,40; 3,41]
4) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 9,65 a menší neţ číslo 9,74. [9,66; 9,67; 9,68; 9,69; 9,70; 9,71; 9,72; 9,73]
Aritmetika – prima
Desetinná čísla I Zaokrouhlování desetinných čísel Při zaokrouhlování desetinných čísel dodrţujeme stejný postup jako u přirozených čísel. Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo. Pokud chceme například zaokrouhlovat na setiny, je důleţitá číslice na místě tisícin. Pokud má tato číslice hodnotu 0, 1, 2, 3, 4, pak číslo zaokrouhlujeme DOLŮ Pokud má tato číslice hodnotu 5, 6, 7, 8, 9, pak číslo zaokrouhlujeme NAHORU
.
8, 2 3 7 6 8,24
.
8, 7 2 3 9 8,72
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
102
Aritmetika – prima
Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta A Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 2,3
b) 5,6
c) 18,6
d) 354,4
e) 159
f) 599,5
c) 19
d) 354
e) 159
f) 600
Výsledek řešení: a) 2
b) 6
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 6,1
b) 98,7
c) 0,3 [a) 6
d) 892,8 b) 99 c) 0
e) 1,6
d) 893
f) 289,6 e) 2
f) 290]
2) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 25,9
b) 9,7
c) 0,6
d) 89,6
[a) 26 b) 10 c) 1
e) 2,4
f) 20,6
d) 90 e) 2
f) 21]
d) 59,08
e) 1,99
f) 2,62
b) 10 c) 1
d) 59 e) 2
f) 3]
d) 18,38
e) 2,65
f) 0,62
b) 5
d) 18 e) 3
f) 1]
3) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 5,21
b) 9,63
c) 0,83 [a) 5
4) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 3,49
b) 5,07
c) 79,51 [a) 3
c) 80
103
Aritmetika – prima
104
Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta B Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 2,36
b) 5,67
c) 18,69
d) 354,42
e) 159,31
f) 599,52
c) 18,7
d) 354,4
e) 159,3
f) 599,5
d) 892,81
e) 1,66
f) 289,64
Výsledek řešení: a) 2,4
b) 5,7
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 6,19
b) 98,75
c) 0,38
[a) 6,2 b) 98,8 c) 0,4 d) 892,8 e) 1,7 f) 289,7] 2) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 25,93
b) 9,77
c) 0,68
d) 89,62
e) 2,44
f) 20,65
[a) 25,9 b) 9,8 c) 0,7 d) 89,7 e) 2,4 f) 20,7] 3) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 5,216
b) 9,634
c) 0,893
d) 59,087
e) 1,999
[a) 5,2 b) 9,6 c) 0,9 d) 59,1 e) 2
f) 2,623 f) 2,6]
4) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 3,498
b) 5,017
c) 79,515
d) 18,384
e) 2,655
f) 0,629
[a) 3,5 b) 5
c) 79,5 d) 18,4 e) 2,7 f) 0,6]
Aritmetika – prima
105
Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta C Zaokrouhli na setiny čísla. a) 2,368
b) 5,672
c) 18,693
d) 35,472
e) 9,319
f) 99,995
c) 18,69
d) 35,47
e) 9,32
f) 100
c) 0,388
d) 82,812
e) 1,667
f) 9,643
Výsledek řešení: a) 2,37
b) 5,67
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na setiny čísla. a) 6,195
b) 98,754
[a) 6,2 b) 98,75 c) 0,39 d) 82,81 e) 1,67 f) 9,64] 2) Zaokrouhli na setiny čísla. a) 25,938
b) 9,727
c) 0,698
d) 89,682
e) 2,496
f) 20,675
[a) 25,94 b) 9,73 c) 0,7 d) 89,68 e) 2,5 f) 20,68] 3) Zaokrouhli na tisíciny čísla. a) 5,2167
b) 9,6348
c) 0,8396
d) 59,0807
e) 1,9099
f) 2,6235
[a) 5,217 b) 9,635 c) 0,84 d) 59,081 e) 1,91 f) 2,624] 4) Zaokrouhli na tisíciny čísla. a) 3,4984
b) 5,0107
c) 79,5015
d) 18,3848
e) 2,6595
f) 0,6295
[a) 3,498 b) 5,011 c) 79,502 d) 18,385 e) 2,66 f) 0,63]
Aritmetika – prima
106
Desetinná čísla I Sčítání desetinných čísel Při písemném sčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na jejich místo dopsat nuly. Úloha 1: Sečti tato tři desetinná čísla, 6,8 + 29,36 + 0,005 6,8
6,8 0 0
29,36
29,3 6 0
0,005
0,0 0 5
????
36,1 6 5
Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve sloupci.
Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.
Sčítance můţeme libovolně sdruţovat do skupin, součet se nezmění.
Smíšené číslo Je to číslo, které se skládá ze zlomku a přirozeného čísla. - tři a jedna čtvrtina
- pět a tři čtvrtiny
Aritmetika – prima
107
Sčítání desetinných čísel Varianta A Sečti desetinná čísla: a)
b)
c)
d)
Výsledek řešení: [a)
b)
c)
d) ]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 10,18; b) 14,43; c) 0,32]
2) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 9,74; b) 1,33; c) 13,86]
3) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 0,34; b) 5,972; c) 10,512]
4) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 0,288; b) 44,25; c) 86,001]
Aritmetika – prima
108
Sčítání desetinných čísel Varianta B Sečti co nejvýhodněji desetinná čísla: a)
b)
c)
d)
Výsledek řešení: a) b) c) d)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla: a)
b)
c) [a) 16,7; b) 9,89; c) 11,12]
2) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla: a)
b)
c) [a) 11,72; b) 17,76; c) 9,86]
3 ) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 819,186; b) 808,837; c) 18,983]
4) Vypočítej: a)
b)
c) [a) 709,78; b) 1 000,095; c) 1011,266]
Aritmetika – prima
109
Sčítání desetinných čísel Varianta C Zapiš desetinnými čísly a)
b)
c)
d)
Výsledek řešení: a) b) c) d)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš desetinnými čísly a)
b)
c)
d) [a) 27,2; b) 14,75; c) 10,5; d) 59,25]
2) Zapiš desetinnými čísly a)
b)
c)
d) [a) 12,25; b) 34,5; c) 15,75; d) 67,2]
3) Vypočítej: a) součet čísel 3,45 a 1,09 zvětšený o číslo 0,7 b) součet čísel 7,38 a 0,013 zvětšený o číslo 1,02 [a) 5,24; b) 8,413] 4) Vypočítej: a) součet čísel 9,76 a 8,14 zvětšený o číslo 0,04, b) součet čísel 3,473 a 0,017 zvětšený o číslo 11,08 [a) 17,94; b) 14,57]
Aritmetika – prima
110
Desetinná čísla I Odčítání desetinných čísel Při písemném odčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na jejich místo dopsat nuly. Zkoušku správnosti výsledku při odčítání provedeme sečtením rozdílu a menšitele, výsledkem je pak menšenec.
Úloha 2: Odečti tato dvě desetinná čísla, 36,8 - 9,36 36,8
36,8 0
- 9,36
- 9,3 6
???
27,4 4
Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve sloupci. Dvě rady pro odčítání: I. Výrazy bez závorek počítáme postupně zleva doprava.
II. Výraz se závorkami počítáme tak, ţe nejprve vypočítáme výraz v závorce.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
111
Odčítání desetinných čísel Varianta A Odečti desetinná čísla zpaměti: a)
b)
c)
d)
c)
d)
Výsledek řešení: [a)
b)
c)
d)
]
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Odečti desetinná čísla zpaměti: a)
b)
[a)
b)
c) 6,01 d) 40,4]
2) Odečti desetinná čísla zpaměti: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c) 16,03 d) 1,2]
3) Odečti desetinná čísla: a)
b)
c) [a)
d) b)
c) 1,591 d) 9,92]
4) Odečti desetinná čísla: a)
b)
c) [a)
d) b)
c)
d)
]
Aritmetika – prima
112
Odčítání desetinných čísel Varianta B Vypočítej: a)
b)
c)
b)
c)
Výsledek řešení: a) b) c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a)
[a)
b)
c)
]
b)
c)
]
2) Vypočítej: a)
b)
c) [a)
3) Vypočítej: a)
b) [a)
b)
]
[a)
b)
]
4) Vypočítej: a)
b)
Aritmetika – prima
113
Odčítání desetinných čísel Varianta C Vypočítej:
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: [8,87] 2) Vypočítej: [8,39] 3) Vypočítej: [46,162] 4) Vypočítej: [15,42]
Aritmetika – prima
Desetinná čísla II Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.
Ve výsledku oddělíme odzadu tolik desetinných míst, kolik jich má desetinné číslo, které násobíme:
62,5
Výsledek řešení: Úloha 1: Vynásob desetinné číslo přirozeným.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
114
Aritmetika – prima
115
Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta A Počítej zpaměti: a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
c)
d)
Výsledek řešení: a)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Počítej zpaměti: a)
b)
[a) 3; b) 120; c) 21,2; d) 88]
2) Počítej zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 3; b) 120; c) 21,5; d) 77]
3) Počítej zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 56; b) 56; c) 49; d) 20,1]
4) Počítej zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 48; b) 48; c) 64; d) 8,2]
Aritmetika – prima
116
Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta B Napiš znak nerovnosti. a)
b)
c)
b)
c)
Výsledek řešení: a)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš znak nerovnosti. a)
b)
c) [a)
; b) ; c)
]
[a)
; b) ; c)
]
[a)
; b) ; c)
]
[a)
; b) ; c)
]
2) Napiš znak nerovnosti. a)
b)
c)
3) Napiš znak nerovnosti. a)
b)
c)
4) Napiš znak nerovnosti. a)
b)
c)
Aritmetika – prima
117
Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta C V továrně na výrobu ovocných kompotů vyrobí za rok 1 200 tun kompotů. Na 1 kg kompotu spotřebují 0,48 kg cukru. Kolik metrických centů cukru spotřebovali na vyrobené ovocné kompoty? Za 1 rok …
1 200 tun = 1 200 000 kg
Na 1 kg …
0,48 kg cukru.
Celkem cukru …
x kg
Za rok spotřebuje továrna 576 metrických centů cukru k výrobě 1 200 tun kompotu. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Kurzovní lístek eura ve směnárně je 1euro za 26,82 Kč. Kolik českých korun musím mít, abych si mohl vyměnit 975 euro. Výsledek správně zaokrouhlete.
[26 150 Kč]
2) Země se pohybuje kolem Slunce rychlostí 29,8 km/s. Jakou dráhu urazí Země kolem Slunce za hodinu? [107 280 km]
3) Vypočtěte součet trojnásobku a sedminásobku čísla 37,029.
[370,29]
4) Vypočtěte rozdíl čtrnáctinásobku a čtyřnásobku čísla 0,24.
[2,4]
Aritmetika – prima
118
Desetinná čísla II Násobení desetinného čísla desetinným číslem Násobení desetinného čísla desetinným číslem: Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.
Desetinnou čárku umístíme tak, aby se počet desetinných míst v součinu rovnal součtu počtů desetinných míst v činitelích: Násobení desetinných čísel má stejné vlastnosti jako násobení přirozených čísel: Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.
Činitele můţeme libovolně sdružovat, součin se nezmění.
Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta A Vypočítej zpaměti: a)
b)
c)
d)
e)
Výsledek řešení: a) b) c) d) e)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 0,81; b) 0,9; c) 1,286; d) 0,003]
2) Vypočítej zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 0,49; b) 1,3; c) 1,969; d) 0,0021]
3) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 0,081; b) 0,06; c) 8,05; d) 0,0106]
4) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti: a)
b)
c)
d) [a) 0,128; b) 1,004; c) 0,601; d) 5,05]
119
Aritmetika – prima
120
Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta B Vypočítej:
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej a zaokrouhli na setiny:
[10529,33]
2) Vypočítej a zaokrouhli na jednotky:
[33951]
3) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny:
[0,314]
4) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny:
[0,034]
Aritmetika – prima
121
Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta C Vypočítej povrch kvádru, který má rozměry
. Výsledek zaokrouhli na
setiny. Výsledek řešení:
Povrch kvádru je roven
.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Chceme vytapetovat obývací pokoj, jehoţ půdorys má tvar obdélníku s rozměry výška stropu je
. (strop a podlahu tapetovat nebudeme). Kolik metrů tapety
budeme potřebovat, jestliţe šířka tapety je
. (výsledek zaokrouhlete)
[44 m]
2) Chceme obloţit koupelnu dlaţdicemi, půdorys koupelny má tvar obdélníku s rozměry výška stropu je
. (strop obkládat nebudeme). Kolik metrů čtverečních dlaţdic
budeme potřebovat. (výsledek zaokrouhlete na jednotky)
[
3) Vypočítej: a)
b) [a) 6 623,3; b) 46,016]
4) Vypočítej: a)
b) [a) 2,4004; b) 13,975]
]
Aritmetika – prima
122
Desetinná čísla II Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Dělení desetinného čísla přirozeným číslem: Desetinnou čárku zapíšeme do podílu ihned potom, jakmile ji překročíme v dělenci:
Kontrola výsledků při dělení: Kontrolu provedeme tak, ţe podíl vynásobíme dělitelem a výsledkem musí být dělenec.
dělenec
podíl
dělitel
dělitel
podíl
dělenec
Úloha 2: Vypočtěte:
Podle potřeby při výpočtu doplňujeme za desetinnou čárkou nuly. Mezi dělencem a znakem dělení si necháváme větší mezeru.
Aritmetika – prima
Dělení se zbytkem: Počítáme podíl na JEDNOTKY
Počítáme podíl na DESETINY (na jedno desetinné místo)
Počítáme podíl na SETINY (na dvě desetinná místa)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
123
Aritmetika – prima
Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta A Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d)
e)
Výsledek řešení: a)
b)
f)
e)
c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d) [a)
e) b)
c)
d)
e)
]
d)
e)
]
2) Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d) [a)
e) b)
c)
3) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c)
e) d)
e)
]
4) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c)
e) d)
e)
]
124
Aritmetika – prima
Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta B Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:
Výsledek řešení:
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:
[86,24]
2) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:
[36,82]
3) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny:
[987,3]
4) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny:
[652,3]
125
Aritmetika – prima
126
Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta C Tloušťka knihy bez desek je 2,4 cm, kniha má 457 stran. Jaká je přibliţná tloušťka jednoho listu knihy (výsledek zaokrouhlete na desítitisíciny)?
Výsledek řešení: Přibliţná tloušťka jednoho listu knihy je 0,005 2 cm.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Jeden list kancelářského papíru má hmotnost 80 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku, jehoţ hmotnost je 0,5 kg?
[6 250]
2) Jeden list tvrdého papíru má hmotnost 125 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku, jehoţ hmotnost je 0,8 kg?
[6 400]
3) Vypočtěte: [134,14] 4) Vypočtěte: [111,09]
Aritmetika – prima
127
Desetinná čísla II Dělení desetinného čísla desetinným číslem Dělence i dělitele násobíme takovým číslem (10, 100, 1 000, …), aby dělitel byl přirozené číslo. Kdyţ vynásobíme dělence i dělitel stejným číslem, podíl se nezmění.
Dělenec i dělitel jsou nyní stokrát menší neţ předtím. Proto bude zbytek také stokrát menší, čili 0,04. Zkouška:
Násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. Nejprve vypočítáme vţdy to, co je v závorkách.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
128
Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace A Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d)
e)
Výsledek řešení: a)
b)
d)
e)
c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c)
d)
]
2) Dělte zpaměti: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c)
d)
]
3) Dělte: a)
b)
c)
d) [a)
b)
c)
d)
]
4) Dělte: a)
b)
c)
d)
[a)
b)
c)
d)
]
Aritmetika – prima
129
Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace B Napište místo otazníku znak nerovnosti. a) b)
Výsledek řešení: a)
b) 5
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Napište místo otazníku znak nerovnosti. [ ] 2) Napište místo otazníku znak nerovnosti. [ ] 3) Vypočti: [
]
4) Vypočti: [
]
Aritmetika – prima
130
Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace C Vodovodním kohoutkem nateče za minutu 8,5 litrů vody. Za kolik minut se z tohoto kohoutku naplní sud, do kterého se vejde 1 hl. (zaokrouhlete na desetiny) 1 minuta …
8,5 litrů
x minut …
1hl = 100 litrů
Vodovodním kohoutkem nateče 1 hl vody za 11,8 minut.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Po obou stranách cesty dlouhé 1,4 km byly vysázeny švestky na vzdálenost 7,5 m. Kolik švestek je v aleji? (zaokrouhli na jednotky)
[374]
2) Litr vzduchu váţí 1,299 g, litr vodíku váţí 0,0898 g. Kolikrát je vodík lehčí neţ vzduch? (zaokrouhli na desetiny)
[14,5 krát]
3) Určete, kolikrát je desetina čísla 539 větší neţ setina čísla 49.
[110 krát]
4) Číslo 17,2 zmenšete o 5,98, rozdíl násobte deseti a součin dělte číslem 1,02. Jaké číslo dostanete?
[110]
Aritmetika – prima
131
Dělitelnost čísel Dělitel Jestliţe při dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je zbytek nula, pak říkáme, ţe dělení je beze zbytku.
Zbytek je nula, dělení proběhlo beze zbytku. Říkáme: Číslo 81 je dělitelné třemi. Číslo 3 je dělitelem čísla 81. Jestliţe dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je s nenulovým zbytkem, pak říkáme, ţe dělení je se zbytkem.
Zbytek není nula, dělení proběhlo se zbytkem. Říkáme: Číslo 71 není dělitelné třemi. Číslo 3 není dělitelem čísla 71. Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má alespoň dva různé dělitele: Číslo 1 a samo sebe.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
132
Dělitel Varianta A Zjisti a zapiš ta z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, která jsou děliteli čísla 648. Výsledek řešení:
Děliteli čísla 648 jsou čísla, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 45
b) 102
c) 72
[a) 3, 5 b) 2, 3, 6 c) 2, 3, 4, 6]
2) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 88
b) 95
c) 156
[a) 2, 4 b) 5 c) 2, 3, 4, 6]
3) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 960
b) 753
c) 691
[a) 2, 3, 4, 5, 6 b) 3 c) ţádným]
4) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 435
b) 803
c) 244
[a) 3, 5 b) ţádným c) 2, 4]
Aritmetika – prima
Dělitel Varianta B Najděte všechna čísla, která dělí číslo 100.
Výsledek řešení: Číslo 100 je dělitelné 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Příklady k procvičení: 1) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 81.
[1, 3, 9, 27, 81]
2) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 64.
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64]
3) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 140.
[1, 2, 4, 5, 7, 10, 20, 28, 35, 70, 140]
4) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 125.
[1, 5, 25, 125]
133
Aritmetika – prima
134
Dělitel Varianta C K závodům na 60 m se přihlásilo 35 ţáků. Mají běţet ve stejně velkých skupinách. Kolik ţáků můţe být ve skupině? (určete všechny moţnosti)
Výsledek řešení: 1 skupina … 35 ţáků 5 skupin …
po 7 ţácích
7 skupin …
po 5 ţácích
35 skupin … po 1 ţákovi
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Petr přečetl v průměru víc neţ jednu knihu za měsíc. Celkem jich za rok přečetl méně neţ 20 a jejich počet byl dělitelný šesti. Kolik knih přečetl za rok?
[18]
2) V obci je postaveno víc neţ 150 a méně neţ 170 domů. Jejich počet je dělitelný 24. Kolik domů má obec?
[168]
3) V divadle jsou řady po 14 sedadlech. Celkový počet míst je větší neţ 320 a menší neţ 330. Kolik je v divadle sedadel?
[322]
4) Kolika ţákům můţeme rozdělit 34 listů papíru, chceme-li, aby všichni dostali stejný počet celých listů?
[2, 17, 34]
Aritmetika – prima
Dělitelnost čísel Násobek jednonásobek čísla 6 dvojnásobek čísla 6 trojnásobek čísla 6 čtyřnásobek čísla 6 pětinásobek čísla 6 …
…
Čísla 6, 12, 18, 24, 30, … jsou násobky šesti.
Číslo 36 je násobkem dvanácti, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné dvanácti. Číslo 36 je násobkem tří, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné třemi.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
135
Aritmetika – prima
136
Násobek Varianta A Určete číslo, jehoţ a) pětinásobek je 100 b) sedminásobek je 91 c) dvojnásobek je 118 d) trojnásobek je 156
a) b) c) d)
Výsledek řešení: a) 20, b) 13, c) 59, d) 52 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypiš z čísel 6, 15, 24, 28, 30, 35, 40, 54, 64, 72 všechny násobky čísla 6. [6, 24, 30, 54, 72] 2) Vypiš z čísel 16, 25, 32, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 82 všechny násobky čísla 8. [16, 32, 48, 64, 72] 3) Vypiš z čísel 9, 18, 28, 34, 45, 52, 54, 61, 67, 72, 82 všechny násobky čísla 9. [9, 18, 45, 54, 72] 4) Vypiš z čísel 14, 24, 35, 42, 50, 54, 61, 63, 72, 84 všechny násobky čísla 7. [14, 35, 42, 63, 84]
Aritmetika – prima
137
Násobek Varianta B Určete číslo, jehoţ a) pětinásobek je 220 b) osminásobek je 128 c) dvojnásobek je 302 d) trojnásobek je 501
a) b) c) d)
Výsledek řešení: a) 45, b) 16, c) 151, d) 167
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napište všechny násobky 14, které jsou větší neţ 100 a menší neţ 200. [112, 126, 140, 154, 168, 182, 196] 2) Napište všechny násobky 11, které jsou větší neţ 90 a menší neţ 160. [99, 110, 121, 132, 143, 154] 3) Vypište všechna čísla mezi čísly 30 aţ 80, která jsou násobky tří a zároveň dvou. [36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78] 4) Vypište všechna čísla mezi čísly 25 aţ 100, která jsou násobky čtyř a zároveň tří. [36, 48, 60, 72, 84, 96]
Aritmetika – prima
138
Násobek Varianta C V bramborárně Beskyd, zasadili na jaře 5 680 kg brambor a sklidili 12krát více. Kolik tun brambor zemědělci sklidili?
Zemědělci sklidili 68,16 tun brambor.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Které číslo je větší a o kolik, pětinásobek čísla 162, nebo šestinásobek čísla 135? [jsou obě stejné]
2) Vypočítej rozdíl čtyřnásobku čísla 51 a devítinásobku čísla 19.
[33]
3) Vypočítej součin trojnásobku čísla 37 a devítinásobku čísla 25.
[24 975]
4) Vypočítej dvanáctinásobek čísla 40 a pětinásobek čísla 14.
[480, 70]
Aritmetika – prima
139
Dělitelnost čísel Dělitelnost deseti a pěti Dělitelnost deseti: Čísla dělitelná deseti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici nula 0. Například: 10, 20, 30, …, 830, 1 020, … Dělitelnost pěti: Čísla dělitelná pěti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici nula 0 nebo pět 5. Například: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …, 655, 660, …
Dělitelnost stem: Čísla dělitelná stem jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě desítek i na místě jednotek číslici nula 0. Například: 100, 200, …, 1 800, 1 900, … Čísla, která nejsou dělitelná stem: 208, 409, 5 603, 789
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
140
Dělitelnost deseti a pěti Varianta A Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 0, 1, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 1 450, 1 540, 4 150, 4 510, 5 140, 5 410. b) aby číslo bylo dělitelné pěti, a nedělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici pět. 1 405, 1 045, 4 105, 4 015.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 2, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 2 350, 2 530, 3 250, 3 520, 5 230, 5 320 b) 2 305, 2 035, 3 205, 3 025]
2) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 9, 5, 7, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 7 950, 7 590, 9 750, 9 570, 5 790, 5 970 b) 7 905, 7 095, 9 705, 9 075]
Aritmetika – prima
141
3) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 1, 5, 2, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 1 250, 1 520, 2 150, 2 510, 5 120, 5 210 b) 1 052, 1 502, 2 051, 2 501, 5 102, 5 012, 5 201, 5 021]
4) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 8, 5, 4, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 8 450, 8 540, 4 850, 4 580, 5 840, 5 480 b) 8 054, 8 504, 4 058, 4 508, 5 804, 5 084, 5 804, 5 084]
Aritmetika – prima
142
Dělitelnost deseti a pěti Varianta B Zapiš, která z čísel: 230, 405, 1 560, 9 002, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75 jsou dělitelná a) deseti b) pěti c) stem Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 230, 1 560, 10 100, 2 700 b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu. 230, 405, 1 560, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75 c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu. 10 100, 2 700
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná: 3 203, 605, 6 500, 3 005, 8 752, 10 155, 975, 2 900, 6 089, 175, 6 005 a) deseti b) pěti c) stem [a) 6 500, 2 900 b) 605, 6 500, 3 005, 10 155, 975, 2 900, 175, 6 005 c) 6 500, 2 900]
Aritmetika – prima
143
2) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná: 5 205, 615, 6 006, 4 300, 2 652, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500 a) deseti b) pěti c) stem [a) 4 300, 10 050, 6 500 b) 5 205, 615, 4 300, 10 050, 1 405, 665, 6 500 c) 4 300, 6 500]
3) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná: 5 502, 656, 6 005, 300, 2 625, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 500 a) deseti b) pěti c) stem [a) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 1 404, 4 055, 5 877 b) 5 502, 656, 1 404, 5 877 c) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 13 050, 1 40, 4 055, 5 877]
4) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 a) deseti b) pěti c) stem [a) 402, 635, 1 304, 1 302, 5 905, 9 757, 10 001 b) 402, 1 304, 1 302, 9 757, 10 001 c) 402, 635, 1 304, 4 020, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001]
Aritmetika – prima
144
Dělitelnost deseti a pěti Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 893 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 900 b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu. 895 c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu. 900
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 18 930 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 18 940, b) 18 935, c) 19 000]
Aritmetika – prima
145
2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 10 891 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 10 900, b) 10 895, c) 10 900]
3) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 5 899 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 5 890, b) 5 895, c) 5 800]
4) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 1 973 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 1 970, b) 1 970, c) 1 900]
Aritmetika – prima
146
Dělitelnost čísel Dělitelnost dvěma Dělitelnost dvěma: Čísla dělitelná dvěma jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8. Například: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 324, 326, … Pomocí dělitelnosti dvěma rozlišujeme čísla, zda jsou sudá, nebo lichá. Čísla, která jsou dělitelná dvěma, se nazývají sudá. Čísla, která nejsou dělitelná dvěma, se nazývají lichá. Například: SUDÁ
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
…
LICHÁ
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
…
Dělitelnost čtyřmi: Čísla dělitelná čtyřmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. 7 516 – je dělitelné čtyřmi. 8 254 – není dělitelné čtyřmi.
Dělitelnost osmi: Čísla dělitelná osmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední trojčíslí dělitelné osmi. 7 696 – je dělitelné osmi. 8 523 – není dělitelné osmi.
Aritmetika – prima
147
Dělitelnost dvěma Varianta A Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná a) dvěma b) jsou lichá Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek číslici 0, 2, 4, 6, 8. 1 720, 1 270, 1 072, 1 702, 2 170, 2 710, 7 120, 7 102, 7 210, 7 012, b) aby číslo bylo liché, nesmí být dělitelné dvěma. 1 207, 1 027, 2 107, 2 701, 2 071, 2 017, 7 201, 7 021,
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 1, 0, která jsou dělitelná dvěma. [1 350, 1 530, 3 150, 3 510, 5 130, 5 310]
2) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 9, 5, 7, 4, která jsou dělitelná dvěma. [7 954, 7 594, 9 754, 9 574, 5 794, 5 974]
Aritmetika – prima
148
3) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 8, 5, 2, 0, která jsou dělitelná. a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 8 250, 8 520, 8 502, 8 052, 2 850, 2 580, 2 508, 2 058, 5 820, 5 280, 5 082, 5 028, 5 802, 5 208 b) 8 520, 8 052, 2 580, 2 508, 5 820, 5 280, 5 028, 5 208 c) 8 520, 5 280, 5 208]
4) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 4, 0, která jsou dělitelná. a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 430, 6 340, 6 304, 6 034, 4 630, 4 360, 4 306, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 046, 3 604, 3 406 b) 6 340, 6 304, 4 360, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 604, c) 6 304, 4 360, 3 640, 3 064]
Aritmetika – prima
149
Dělitelnost dvěma Varianta B Zapiš, která z čísel: 280, 405, 1 560, 9 002, 8 064, 10 100, 385, 2 700, 6 084, 72 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. 280, 1 560, 9 002, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72 b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi 280, 1 560, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72 c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi. 280, 1 560, 8 064, 72
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel: 3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088, b) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088, c) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 6 088]
Aritmetika – prima
2) Zapiš, která z čísel: 5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 2 904, 6 500 b) 5 208, 616, 4 300, 2 904, 6 500 c) 5 208, 616, 2 904]
3) Zapiš, která z čísel: 5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436 nejsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 005, 4 055, 5 877 b) 6 005, 13 050, 4 055, 5 877, c) 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436]
4) Zapiš, která z čísel: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 nejsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 635, 5 905, 9 757, 10 001 b) 402, 635, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 c) 402, 635, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001]
150
Aritmetika – prima
Dělitelnost dvěma Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 29 689 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. 29 690 b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi 29 692 c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi. 29 696
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 8 932 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 8 934, b) 8 936, c) 8 936]
151
Aritmetika – prima
2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 6 896 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 898, b) 6 900, c) 6 904]
3) Zapiš všechny násobky 8, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 232 a 268. [240, 248, 256, 264]
4) Zapiš všechny násobky 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 123 a 143. [124, 128, 132, 136, 140]
152
Aritmetika – prima
153
Dělitelnost čísel Dělitelnost třemi Dělitelnost třemi: Čísla dělitelná třemi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný třemi. Ciferný součet. Součet všech číslic (cifer) čísla je jeho ciferný součet. 659 6 + 5 + 9 = 20
892 8 + 9 + 2 = 19
10 001 1+0+0+0+1=2 Příklad čísel, dělitelných třemi: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …, 342, …, 894, … Dělitelnost devíti: Čísla dělitelná devíti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný devíti. 78 534 – je dělitelné devíti 18 082 – není dělitelné devíti
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
154
Dělitelnost třemi Varianta A Zapiš všechna čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná (čísla se nesmí opakovat) a) třemi b) devíti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 12, 21, 27, 72, 102, 120, 201, 210, 207, 270, 720, 702, b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti. 27, 72, 207, 270, 720, 702,
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 4, 0, která jsou dělitelná: a) třemi b) devíti [a) 540, 504, 405, 450, 345, 354, 453, 435, 543, 534 b) 540, 504, 405, 450]
2) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 8, 0, 1, 5, která jsou dělitelná: a) třemi b) devíti [a) 801, 810, 108, 180, 501, 510, 105, 150 b) 801, 810, 108, 180]
Aritmetika – prima
3) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 6, 0, která nejsou dělitelná pěti a zároveň jsou dělitelná. a) třemi b) devíti [a) 54, 504, 456, 546, 564, 654, b) 54]
4) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 2, 1, která nejsou dělitelná dvěma a zároveň jsou dělitelná. a) třemi b) devíti [a) 63, 321, 123, 213, 231, 621, 261 b) 621, 261]
155
Aritmetika – prima
156
Dělitelnost třemi Varianta B Zapiš, která z čísel: 180, 405, 1 560, 9 002, 8 064, 10 101, 385, 2 700, 6 084, 72 jsou dělitelná a) třemi b) devíti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 180, 405, 1 560, 8 064, 10 101, 2 700, 6 084, 72 b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti. 180, 405, 8 064, 2 700, 6 084, 72
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel: 3 240, 650, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná a) třemi b) devíti [a) 3 240, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 6 105 b) 3 240, 972]
Aritmetika – prima
2) Zapiš, která z čísel: 5 208, 612, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 305, 2 904, 4 051, 665, 6 501 jsou dělitelná a) třemi b) devíti [a) 5 208, 612, 6 006, 10 050, 1 305, 2 904, 6 501 b) 612, 1305]
3) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná: 5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436 a) třemi b) devíti [a) 5 504, 656, 6 436 b) 5 504, 656, 300, 6 436]
4) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 a) třemi b) devíti [a) 4 400, 1 304 b) 402, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302]
157
Aritmetika – prima
158
Dělitelnost třemi Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 49 658 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. Výsledek řešení: aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet dělitelný třemi. 49 662
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 10 974 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. [10 980]
2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 36 806 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. [36 810]
3) Zapiš všechny násobky 3 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 295 a 365. [300, 312, 324, 336, 348, 360]
4) Zapiš všechny násobky 9 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 154 a 265. [180, 216, 252]
Aritmetika – prima
159
Dělitelnost čísel Prvočísla a čísla složená Číslo 1 má jen jednoho dělitele a to je číslo 1. Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má aspoň dva dělitele, číslo 1 a samo sebe. Čísla, která mají právě dva různé dělitele (číslo 1 a samo sebe), se nazývají PRVOČÍSLA: Například: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Prvočíslo je dělitelné pouze číslem 1 a sebou samým. Čísla, která mají více neţ dva dělitele, se nazývají SLOŢENÁ ČÍSLA: Například: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … Kaţdé sloţené číslo se dá rozloţit na součin prvočísel.
Postup při rozkládání přirozeného čísla na součin prvočísel: 1) postupné dělení
2) sestavení „ţebříku“ 72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
1
Aritmetika – prima
3) sestupující „vodopád“ 72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
1
160
Aritmetika – prima
161
Prvočísla a čísla složená Varianta A Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 33, 35, 41, 42, 45, 49, 51, 53, 54, 57, 58, 59, 60. Výsledek řešení: Prvočíslo je číslo, které má pouze dva dělitele, 1 a samo sebe. Prvočísla jsou: 41, 53, 59.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 63, 67, 69, 75, 83, 89, 97, 101, 102, 104, 209, 894 [67, 83, 89, 97, 101, 209] 2) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 64, 68, 70, 71, 73, 77, 79, 81, 87, 93, 99, 103, 153 [71, 73, 79, 103] 3) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 10 aţ 25. [11, 13, 17, 19, 23] 4) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 25 aţ 40. [29, 31, 37]
Aritmetika – prima
162
Prvočísla a čísla složená Varianta B Rozloţte číslo 30 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. Výsledek řešení: a) b) c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozloţte číslo 40 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. [a)
,
,
b)
,
c)
]
2) Rozloţte číslo 50 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. [a)
,
b)
, c)
]
3) Rozloţte číslo 252 na součin prvočísel. [
]
4) Rozloţte číslo 264 na součin prvočísel. [
]
Aritmetika – prima
163
Prvočísla a čísla složená Varianta C Najděte nejmenší číslo, které je moţno rozloţit: a) na součin tří různých činitelů, z nichţ ani jeden není 1 b) na součin tří různých prvočísel c) na součin čtyř různých prvočísel. Výsledek řešení: a) b) c)
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Které největší dvojciferné číslo se dá rozloţit na součin dvou prvočísel? [95] 2) Číslo 17 je prvočíslo. Záměnou jeho číslic dostanete číslo 71, které je rovněţ prvočíslo. Najděte další dvojciferná čísla, která mají tuto vlastnost. [11, 13, 31, 37, 73] 3) Rok Dantova narození je násobkem prvočísel 5, 11 a 23. Rok jeho úmrtí je prvočíslo, které leţí mezi prvočísly 1 319 a 1 327. Určete rok narození a rok úmrtí. [1 265, 1 321] 4) Součet tří po sobě jdoucích prvočísel je a) 31, b) 97. Která jsou to prvočísla? [a) 7, 11, 13, b) 29, 31, 37]
Aritmetika – prima
164
Dělitelnost čísel Společní dělitelé Úloha 1: Najděte společné dělitele čísel 20 a 60. 1) Rozloţíme obě čísla na součin prvočísel.
2) Vypíšeme všechny dělitele čísel 20 a 70. 20 má dělitele 1, 2, 4, 5, 10, 20, 90 má dělitele 1, 2, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45, 90 Čísla 1, 2, 5, 10, jsou děliteli čísla 20 i čísla 90. Jsou to SPOLEČNÍ DĚLITELÉ čísel 20 a 90. Číslo 10 je NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL čísel 20 a 90 značíme jej D(20, 90). D(20, 90) = 10 Kaţdý společný dělitel čísel je dělitelem největšího společného dělitele těchto čísel. Pokud největší společný dělitel čísel je číslo 1, pak čísla nazýváme nesoudělnými čísly. D(27, 5) = 1. Čísla 5 a 27 jsou nesoudělná čísla. NESOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je 1.
D(27, 15) = 3. Čísla 15 a 27 jsou soudělná čísla. SOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je větší neţ 1. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
165
Společní dělitelé Varianta A Určete všechny společné dělitele čísel: 60, 80 Výsledek řešení:
Společní dělitelné čísel 60 a 80 jsou: 2, 4, 5, 10, 20. Největší společný dělitel čísel 60 a 80 je 20.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete největšího společného dělitele čísel: 42 a 75.
[3]
2) Určete největšího společného dělitele čísel: 27 a 90.
[9]
3) Určete největšího společného dělitele čísel: 14, 24 a 34.
[2]
4) Určete největšího společného dělitele čísel: 48, 66 a 78.
[6]
Aritmetika – prima
166
Společní dělitelé Varianta B Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 11, 21
b) 31, 93
c) 19, 45
d) 24, 162
e) 14, 74
f) 27, 101
Výsledek řešení: Nesoudělná jsou taková čísla, která mají společného dělitele pouze jedničku 1. Nesoudělné dvojice čísel jsou: a) 11, 21
c) 19, 45
f) 27, 101
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 3, 21
b) 30, 37
c) 15, 65
d) 45, 52
e) 48, 120
f) 23, 115 [b), d)]
2) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 13, 52
b) 22, 55
c) 16, 68
d) 54, 106
e) 41, 12
f) 21, 101 [e), f)]
3) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 56. [3, 9, 11, 13, 17, 19, 23] 4) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 76. [3, 5, 7, 11, 13, 17, 23]
Aritmetika – prima
167
Společní dělitelé Varianta C Při závodech soutěţilo 210 sportovců na třech hřištích. Na prvním bylo 105 sportovců, na druhém 60 a na třetím všichni ostatní. Na jednotlivých hřištích se sportovci rozdělili do skupin, a to tak, ţe kaţdá skupina, ať soutěţila v kterékoliv disciplíně, měla stejný počet členů. Vytvořené skupiny byly co největší. Kolik sportovců závodilo ve skupině? Výsledek řešení: 1. hřiště … 105 2. hřiště … 60 3. hřiště … 45 Musíme najít největšího společného dělitele čísel 105, 60, 45.
V kaţdé skupině bylo 15 sportovců.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
168
Příklady k procvičení: 1) V květinářství dostali 72 bílých a 96 červených růţí. Kolik kytic nejvýše mohou svázat ze všech těchto růţí, jestliţe kaţdá kytice má mít stejný počet bílých růţí a stejný počet červených růţí?
[24]
2) Na výletě rozdělovali dětem 252 jablek, 396 ořechů a 108 čokoládových tyčinek, rozdělili je spravedlivě, tj. všechny děti dostaly stejný počet jablek, stejný počet ořechů a stejný počet tyčinek. Vypočítejte, kolik dětí bylo na výletě, kdyţ víte, ţe jich bylo víc neţ 30. Co kaţdé dítě dostalo?
[36 dětí, 7 jablek, 11 ořechů, 3 tyčinky]
3) Ve třídě mají ţáci celkem 416 sešitů a 224 učebnic. Kaţdý ţák má stejný počet sešitů a stejný počet učebnic. Určete, kolik ţáků je ve třídě, víte-li, ţe jich je víc neţ 30. [32] 4) Máte 200 perníků, 240 bonbónů a 360 ořechů a chcete je rozdělit do balíčků tak, aby všechny balíčky byly stejné. Kolik nejvýše stejných balíčků můţete připravit? Co bude v kaţdém balíčku?
[40 balíčků, 5 perníků, 6 bonbónů, 9 ořechů]
Aritmetika – prima
169
Dělitelnost čísel Společné násobky Úloha 2: Najděte společné násobky čísel 6 a 9, které jsou menší neţ 140. Násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132 Násobky 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135 Čísla 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 jsou násobky čísla 6 a čísla 9. Jsou to SPOLEČNÉ NÁSOBKY čísel 6 a 9. Číslo 18 je NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK čísel 6 a 9. Nejmenší společný násobek čísel 6 a 9 značíme n(6, 9) n(6, 9) = 18 Nejmenší společný násobek čísel je dělitelem kaţdého společného násobku těchto čísel. Postup při hledání nejmenšího společného násobku. n(36, 27) 1) rozloţíme obě čísla na součiny prvočísel:
2) nalezneme nejmenší součin prvočísel, který obsahuje rozklady obou čísel:
Číslo 108 je nejmenším násobkem čísel 27 a 36.
Aritmetika – prima
170
Dělitelnost šesti: Čísla dělitelná šesti jsou všechna taková přirozená čísla, která jsou současně dělitelná dvěma a třemi. 864 – je dělitelné šesti 890 – není dělitelné šesti
Nejmenší společný násobek nesoudělných čísel je součin těchto čísel.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Aritmetika – prima
171
Společné násobky Varianta A Vypište všechny násobky čísla 8 menších neţ 100. Výsledek řešení:
Násobky čísla 8 menších neţ 100 jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete všechny násobky čísla 9 menších neţ 80:
[9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72]
2) Určete všechny násobky čísla 7 menších neţ 65:
[7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63]
3) Určete všechny společné násobky čísel: 4 a 6 menších neţ 90. [12, 24, 36, 48, 60, 72, 84] 4) Určete všechny společné násobky čísel: 3 a 7 menších neţ 90. [21, 42, 63, 84, 105 ]
Aritmetika – prima
172
Společné násobky Varianta B Určete nejmenší společný násobek čísel 16 a 28. Výsledek řešení:
Nejmenší společný násobek čísel 16 a 28 je 112.
Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete nejmenší společný násobek čísel 18 a 32.
[288]
2) Určete nejmenší společný násobek čísel 12 a 28.
[84]
3) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 8 a 15.
[120]
4) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 9 a 21.
[126]
Aritmetika – prima
173
Společné násobky Varianta C Zapište, která z čísel: 240, 650, 604, 4 008, 842, 185, 92, 296, 2 088, 174, 6 105 jsou dělitelná a) třemi b) dvěma c) šesti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 240, 4 008, 2 088, 174, 6 105 b) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí být na místě jednotek číslice 0, 2, 4, 6, 8 240, 650, 604, 4 008, 842, 92, 296, 2 088, 174 c) aby číslo bylo dělitelné šesti, musí být dělitelné dvěma i třemi zároveň 240, 4 008, 2 088, 174 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti: 504, 656, 66, 300, 2 628, 357, 1 404, 900, 405, 877, 426 [66, 300, 2 628, 1 404, 900, 405, 426] 2) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti: 208, 616, 6 006, 303, 684, 57, 140, 903, 451, 662, 552 [6 006, 303, 684, 57, 903, 552] 3) Jirka si chce koupit sešity po 18 korunách. Ani on, ani prodavačka nemají drobnější peníze neţ desetikoruny. Kolik sešitů musel nejméně koupit, aby mohl zaplatit pouze desetikorunami.
[5 sešitů]
4) Třída je dlouhá 9 m. Šířka třídy je menší a lze ji přejít stejně dlouhými kroky délky 40 cm nebo 55 cm. Určete šířku třídy.
[8 m]