ARITMETIKA - PRIMA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - PRIMA

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

Aritmetika – prima

2

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Přirozená čísla .......................................................................................................................... 12 Přirozená čísla a jejich znázornění ....................................................................................... 12 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 13 Varianta A ........................................................................................................................ 13 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 14 Varianta B ........................................................................................................................ 14 Přirozená čísla a jejich znázornění ................................................................................... 16 Varianta C ........................................................................................................................ 16 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 18 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno. .............................................................. 18 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 21 Varianta A ........................................................................................................................ 21 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 22 Varianta B ........................................................................................................................ 22 Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno ........................................................... 23 Varianta C ........................................................................................................................ 23 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 25 Zápisy přirozených čísel ....................................................................................................... 25 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 27 Varianta A ........................................................................................................................ 27 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 29 Varianta B ........................................................................................................................ 29 Zápisy přirozených čísel ................................................................................................... 31 Varianta C ........................................................................................................................ 31 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 32 Čísla a číslice ........................................................................................................................ 32


4

Čísla a číslice .................................................................................................................... 33 Varianta A ........................................................................................................................ 33 Čísla a číslice .................................................................................................................... 35 Varianta B ........................................................................................................................ 35 Čísla a číslice .................................................................................................................... 36 Varianta C ........................................................................................................................ 36 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 39 Porovnávání čísel podle velikosti ......................................................................................... 39 Porovnávání přirozených čísel podle velikosti ................................................................. 41 Varianta A ........................................................................................................................ 41 Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 43 Varianta B ........................................................................................................................ 43 Porovnávání přirozených čísel ......................................................................................... 44 Varianta C ........................................................................................................................ 44 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 46 Zaokrouhlování přirozených čísel ........................................................................................ 46 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 48 Varianta A ........................................................................................................................ 48 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 49 Varianta B ........................................................................................................................ 49 Zaokrouhlování přirozených čísel .................................................................................... 50 Varianta C ........................................................................................................................ 50 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 51 Sčítání přirozených čísel ...................................................................................................... 51 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 52 Varianta A ........................................................................................................................ 52 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 54


5

Varianta B ........................................................................................................................ 54 Sčítání přirozených čísel .................................................................................................. 56 Varianta C ........................................................................................................................ 56 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 58 Odčítání přirozených čísel .................................................................................................... 58 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 59 Varianta A ........................................................................................................................ 59 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 61 Varianta B ........................................................................................................................ 61 Odčítání přirozených čísel ................................................................................................ 62 Varianta C ........................................................................................................................ 62 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 64 Násobení přirozených čísel .................................................................................................. 64 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 66 Varianta A ........................................................................................................................ 66 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 68 Varianta B ........................................................................................................................ 68 Násobení přirozených čísel .............................................................................................. 69 Varianta C ........................................................................................................................ 69 Přirozená čísla .......................................................................................................................... 70 Dělení přirozených čísel ....................................................................................................... 70 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 71 Varianta A ........................................................................................................................ 71 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 73 Varianta B ........................................................................................................................ 73 Dělení přirozených čísel ................................................................................................... 74 Varianta C ........................................................................................................................ 74


6

Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 75 Zlomky ................................................................................................................................. 75 Zlomky ............................................................................................................................. 76 Varianta A ........................................................................................................................ 76 Zlomky ............................................................................................................................. 77 Varianta B ........................................................................................................................ 77 Zlomky ............................................................................................................................. 78 Varianta C ........................................................................................................................ 78 Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 80 Desetinná čísla a jejich znázornění ...................................................................................... 80 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 82 Varianta A ........................................................................................................................ 82 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 83 Varianta B ........................................................................................................................ 83 Desetinná čísla a jejich znázornění .................................................................................. 84 Varianta C ........................................................................................................................ 84 Desetinná čísla a zlomky .......................................................................................................... 85 Sčítání a odčítání desetinných čísel ...................................................................................... 85 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 86 Varianta A ........................................................................................................................ 86 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 87 Varianta B ........................................................................................................................ 87 Sčítání a odčítání desetinných čísel .................................................................................. 89 Varianta C ........................................................................................................................ 89 Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 90 Tisíciny i miliontiny ............................................................................................................. 90 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 91


7

Varianta A ........................................................................................................................ 91 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 93 Varianta B ........................................................................................................................ 93 Tisíciny a miliontiny ........................................................................................................ 95 Varianta C ........................................................................................................................ 95 Desetinná čísla I ....................................................................................................................... 96 Porovnávání desetinných čísel ............................................................................................. 96 Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 97 Varianta A ........................................................................................................................ 97 Porovnávání desetinných čísel ......................................................................................... 99 Varianta B ........................................................................................................................ 99 Porovnávání desetinných čísel ....................................................................................... 101 Varianta C ...................................................................................................................... 101 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 102 Zaokrouhlování desetinných čísel ...................................................................................... 102 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 103 Varianta A ...................................................................................................................... 103 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 104 Varianta B ...................................................................................................................... 104 Zaokrouhlování desetinných čísel .................................................................................. 105 Varianta C ...................................................................................................................... 105 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 106 Sčítání desetinných čísel .................................................................................................... 106 Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 107 Varianta A ...................................................................................................................... 107 Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 108 Varianta B ...................................................................................................................... 108


8

Sčítání desetinných čísel ................................................................................................ 109 Varianta C ...................................................................................................................... 109 Desetinná čísla I ..................................................................................................................... 110 Odčítání desetinných čísel .................................................................................................. 110 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 111 Varianta A ...................................................................................................................... 111 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 112 Varianta B ...................................................................................................................... 112 Odčítání desetinných čísel .............................................................................................. 113 Varianta C ...................................................................................................................... 113 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 114 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.................................................................. 114 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 115 Varianta A ...................................................................................................................... 115 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 116 Varianta B ...................................................................................................................... 116 Násobení desetinného čísla přirozeným číslem.............................................................. 117 Varianta C ...................................................................................................................... 117 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 118 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.................................................................. 118 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 119 Varianta A ...................................................................................................................... 119 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 120 Varianta B ...................................................................................................................... 120 Násobení desetinného čísla desetinným číslem.............................................................. 121 Varianta C ...................................................................................................................... 121 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 122


9

Dělení desetinného čísla přirozeným číslem ...................................................................... 122 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 124 Varianta A ...................................................................................................................... 124 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 125 Varianta B ...................................................................................................................... 125 Dělení desetinného čísla přirozeným číslem .................................................................. 126 Varianta C ...................................................................................................................... 126 Desetinná čísla II .................................................................................................................... 127 Dělení desetinného čísla desetinným číslem ...................................................................... 127 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 128 Variace A........................................................................................................................ 128 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 129 Variace B ........................................................................................................................ 129 Dělení desetinného čísla desetinným číslem .................................................................. 130 Variace C ........................................................................................................................ 130 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 131 Dělitel ................................................................................................................................. 131 Dělitel ............................................................................................................................. 132 Varianta A ...................................................................................................................... 132 Dělitel ............................................................................................................................. 133 Varianta B ...................................................................................................................... 133 Dělitel ............................................................................................................................. 134 Varianta C ...................................................................................................................... 134 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 135 Násobek .............................................................................................................................. 135 Násobek .......................................................................................................................... 136 Varianta A ...................................................................................................................... 136


10

Násobek .......................................................................................................................... 137 Varianta B ...................................................................................................................... 137 Násobek .......................................................................................................................... 138 Varianta C ...................................................................................................................... 138 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 139 Dělitelnost deseti a pěti ...................................................................................................... 139 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 140 Varianta A ...................................................................................................................... 140 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 142 Varianta B ...................................................................................................................... 142 Dělitelnost deseti a pěti .................................................................................................. 144 Varianta C ...................................................................................................................... 144 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 146 Dělitelnost dvěma ............................................................................................................... 146 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 147 Varianta A ...................................................................................................................... 147 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 149 Varianta B ...................................................................................................................... 149 Dělitelnost dvěma ........................................................................................................... 151 Varianta C ...................................................................................................................... 151 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 153 Dělitelnost třemi ................................................................................................................. 153 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 154 Varianta A ...................................................................................................................... 154 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 156 Varianta B ...................................................................................................................... 156 Dělitelnost třemi ............................................................................................................. 158


11

Varianta C ...................................................................................................................... 158 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 159 Prvočísla a čísla sloţená ..................................................................................................... 159 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 161 Varianta A ...................................................................................................................... 161 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 162 Varianta B ...................................................................................................................... 162 Prvočísla a čísla sloţená ................................................................................................. 163 Varianta C ...................................................................................................................... 163 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 164 Společní dělitelé ................................................................................................................. 164 Společní dělitelé ............................................................................................................. 165 Varianta A ...................................................................................................................... 165 Společní dělitelé ............................................................................................................. 166 Varianta B ...................................................................................................................... 166 Společní dělitelé ............................................................................................................. 167 Varianta C ...................................................................................................................... 167 Dělitelnost čísel ...................................................................................................................... 169 Společné násobky ............................................................................................................... 169 Společné násobky ........................................................................................................... 171 Varianta A ...................................................................................................................... 171 Společné násobky ........................................................................................................... 172 Varianta B ...................................................................................................................... 172 Společné násobky ........................................................................................................... 173 Varianta C ...................................................................................................................... 173


12

Přirozená čísla Přirozená čísla a jejich znázornění Přirozená čísla jsou čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Určují nám počet věcí, předmětů, osob, zvířat, … Znázorňujeme je na číselné ose, kde je i číslo nula. Nula mezi přirozená čísla nepatří.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Úloha 1: Z devíti přirozených čísel, která jsou seřazena podle velikosti, jsme pět vynechali. Která to jsou?

198,?, 200, 201, ?, ?, 204, 205,?

[199, 202, 203, 206]

Úloha 2: Vyjmenuj přirozená čísla, která jsou vyznačena na číselné ose barevnými tečkami. Postupuj od nejmenšího k největšímu (zleva doprava).

54

56

58

[55, 57, 60, 61, 62]

59

63

Úloha 3: Řekni přirozené číslo, které následuje hned za číslem 37.

[38]

Které přirozené číslo je hned před číslem 32.

[31]

Vyjmenuj všechna přirozená čísla, která jsou mezi čísly 32 a 37.

[33, 34, 35, 36]

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


13

Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta A Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně. A

327, 328, 239, 330, 340, 332, 333, 344, 335, 436, 337

B

656, 657, 658, 569, 660, 670, 662, 683, 664, 566, 666

Výsledek řešení: A: nesprávné čísla 239, 340, 344, 436, B: nesprávné čísla 569, 670, 683, 566 A

327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337

B

656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně.

A

289, 390, 291, 292, 233, 294, 295, 269, 297, 298, 199

B

734, 735, 756, 737, 738, 749, 740, 741, 724, 743, 754

A[290, 293, 296, 299], B[736, 739, 742, 744] 2) Mezi přirozenými čísly, která jsou seřazena podle velikosti od nejmenšího po největší, jsou čtyři čísla nesprávně. Najdi je, oprav a zapiš celou řadu správně. C

1 256, 1 257, 1 268, 1 259, 1 360, 1 261, 1 262, 1 233, 1 264, 1 275, 1 266

D

2 169, 2 270, 2 171, 2 172, 2 373, 2 174, 1 175, 2 176, 2 177, 2 178, 2 079

A[1 258, 1 260, 1 263, 1 265], B[2 170, 2 173, 2 175, 2 179]


14

Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta B

358

353 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 353 a 358? b) Které přirozené číslo je hned vlevo od čísla 353?

c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 358? Výsledek řešení: a) 354, 355, 356, 357 b) 352 Příklad:

c) 359, 360, 361

Varianta A Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 1)

40

33 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 33 a 40? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 40? c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vlevo od čísla 33?

a) [34, 35, 36, 37, 38, 39] b) [39] c) [31, 32]


2)

93

87 a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 87 a 93?

b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 87? c) Která přirozená čísla jsou vyznačena na obrázku vpravo od čísla 93?

a) [88, 89, 90, 91, 92] b) [86] c) [94, 95]

3)

1 239

1 244

a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 239 a 1 244? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vlevo od čísla 1 239? c) Které přirozené číslo je hned druhé za číslem 1 244 vyznačeným na obrázku?

a) [1 240, 1 241, 1 242, 1243] b) [1 238] c) [1 246] 4)

1 506

1 511

a) Která přirozená čísla jsou mezi čísly 1 506 a 1 511? b) Které přirozené číslo je vyznačena na obrázku hned vpravo od čísla 1 511? c) Které přirozené číslo je hned třetí za číslem 1 511 vyznačeným na obrázku? a) [1 507, 1 508, 1 509, 1 510] b) [1 512] c) [1 514]

15


Přirozená čísla a jejich znázornění Varianta C V řadě čísel 1, 3, 5, 7, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 25? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 25 a 37?

Výsledek řešení: a) 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 b) 27, 29, 31, 33, 35


Příklady k procvičení: 1) V řadě čísel 12, 14, 16, 18, … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 28? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 28 a 34? a) [20, 22, 24, 26, 28] b) [30, 32]

2) V řadě čísel 9, 11, 13, 15 … je zapsáno kaţdé druhé přirozené číslo. a) Jak bude řada pokračovat do čísla 25? b) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 25 a 31? a) [17, 19, 21, 23, 25] b) [27, 29]

16


17

3) V řadě čísel 9, 12, 15, 18, … je zapsáno kaţdé třetí přirozené číslo. a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 27 a 57? b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 9? a) [30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54] b) [1, 3, 6]

4) V řadě čísel 12, 16, 20, 24… je zapsáno kaţdé čtvrté přirozené číslo. a) Jaké budou čísla v řadě mezi čísly 44 a 80? b) Jaké budou čísla v řadě před číslem 12?

a) [48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76] b) [1, 4, 8,]


18

Přirozená čísla Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno. Přirozená čísla mezi sebou porovnáváme pomocí znaků nerovnosti

.

Tyto znaky nerovnosti vkládáme mezi přirozená čísla, a porovnáváme tak jejich velikost. Pro grafické znázornění pouţíváme číselnou osu. Úloha 4: 1, 2, 3, 4, 5 x menší neţ 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

7, 8, 9, 10, 11, … x větší neţ 6

0

1

2

3

Pokud pouţijeme znaky nerovnosti

krouţek, je prázdný.


1, 2, 3, 4, 5, 6 x menší nebo rovno neţ 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

29

30

6, 7, 8, 9, 10, 11, … x větší nebo rovno neţ 6

0

1

2

3

Pokud pouţijeme znaky nerovnosti

4

pak krouţek vyplníme.

Úloha 5: Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:

21

22

23

24

Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28, 29

a zároveň

.

.

25

26

27

28

19


Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí:

a zároveň

.

Takovýto zápis můţeme zjednodušit:

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

29

30

29

30

Výsledek: 24, 25, 26, 27, 28 Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:

21

22

23

24

a zároveň

.

.

25

26

27

28

Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 Vypište všechna přirozená čísla, pro která platí: Takovýto zápis můţeme zjednodušit:

21

22

23

24

Výsledek: 23, 24, 25, 26, 27, 28


a zároveň

.

.

25

26

27

28

20


21

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta A Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: a) 1, 2, 3

b) 1, 2, 3, 4, 5

c) 1

d) 1


Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 2) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 3) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] 4) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]


22

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta B Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí:

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

Výsledek řešení: 120, 121, 122, 123, 124, 125

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1106] 2) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla x, pro která platí: [1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051] 3) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 257 a zároveň menší neţ 265.

[258, 259, 260, 261, 262, 263, 264]

4) Zapište a znázorněte na číselné ose všechna přirozená čísla, která jsou větší neţ 307 a zároveň menší nebo rovny 313.

[308, 309, 310, 311, 312, 313]


23

Menší, větší, menší nebo rovno, větší nebo rovno Varianta C Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)

b)

9

10

11

c)

12

13

d)

14

15

16

17

18

Výsledek řešení: a)

b)

c)

d)


Příklady k procvičení: 1) Na obrázku je podtrţeno sedm čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)

b)

91 [a)

92

93 b)

c)

94

95

d)

96 c)

97

98 d)

99

100 ]


24

2) Na obrázku je podtrţeno šest čísel. Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby zápis byl správný pro všechna podtrţená čísla a pro ţádná jiná neplatil: a)

b)

91

92

[a)

93 b)

c)

94

95

d)

96 c)

97

98 d)

99

100 ]

3) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a vypište tato čísla: a)

b)

c)

d)

[16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]

4) Napište místo otazníků taková přirozená čísla, aby byly správné všechny zápisy čísel a vypište tato čísla: a)

b)

c)

d)

[57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]


25

Přirozená čísla Zápisy přirozených čísel Přirozené číslo zapisujeme zkráceným zápisem čísla v desítkové soustavě, nebo rozvinutým zápisem čísla v desítkové soustavě. 7 542 886 = 7. 1 000 000 + 5. 100 000 + 4. 10 000 + 2. 1 000 + 8. 100 + 8. 10 + 6. 1

Počet

7

5

4

2

8

8

6

milionů

statisíců

desetitisíce

tisíce

stovek

desítek

jednotek

Úloha 6: Zapiš tato přirozená čísla: A

B

Tři tisíce třicet dva

Devět set šedesát sedm tisíc osm set dva

Šest tisíc devět

Sto dvacet tisíc padesát dva

Čtyři tisíce šest set sedmdesát

Sto čtyři tisíc čtyři

Padesát dva tisíc dvě sta sedm

Dvě sta třicet šest tisíc sedm set padesát osm

Třináct tisíc osmdesát osm

Čtyři miliony pět set šedesát sedm tisíc tři sta dvacet devět

Výsledek řešení: A

B

3 032

967 802

6 009

120 052

4 670

104 004

52 207

236 758

13 088

4 567 329


Úloha 7: Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 5 672

b) 298

c) 110 702

d) šest tisíc tři sta dvacet dva

Výsledek řešení: a) b) c) d) Úloha 8: Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) b) c) Výsledek řešení: a) 3 421


b) 6 002

c) 222 740

26


27

Zápisy přirozených čísel Varianta A Zapiš slovy tato čísla: a) 6 006

b) 6 060

c) 6 600

d) 12 200

e) 12 020

f) 12 002

g) 4 320 000

h) 4 320 002

i) 4 320 200

Výsledek řešení: a) šest tisíc šest

b) šest tisíc šedesát

c) šest tisíc šest set

d) dvanáct tisíc dvě sta

e) dvanáct tisíc dvacet

f) dvanáct tisíc dva

g) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc h) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dva i) čtyři miliony tři sta dvacet tisíc dvě sta Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napište číslo sloţené: a) ze sedmi tisíců, dvou stovek, pěti desítek a čtyřech jednotek b) z jednoho desetitisíce, pěti tisíců, čtyřech stovek a osmi jednotek c) z osmi jednotek, dvou stovek, tří tisíců a osmi miliónů [a) 7 254, b) 15 408, c) 8 003 208] 2) Napište číslo sloţené: a) ze tří statisíců, tří tisíců a šesti stovek b) z pěti jednotek, jedné desítky, devíti tisíců a dvou desetitisíců c) ze sedmi stovek miliónů, pěti statisíců a šesti tisíců [a) 303 600, b) 29 015, c) 700 506 000]


28

3) Kolik jednotek je: a) sedm desítek

b) čtyřicet šest desítek

d) dvě sta třicet sedm stovek

c) dvě stovky e) čtrnáct tisíc

[a) 70, b) 460, c) 200, d) 23 700, e) 14 000]

4) Kolik jednotek je: a) pět desítek

b) sto třicet devět desítek

d) tisíc stovek

e) devět tisíc

c) tři stovky

[a) 50, b) 1 390, c) 300, d) 100 000, e) 9 000]


Zápisy přirozených čísel Varianta B Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 2 761

b) 8 007

c) 29 010

d) 10 001

e) 234 872

f) 760 980

g) 444 000

h) 2 050 307

Výsledek řešení: a) 2 761  2  1000  7  100  6  10  1  1 b) 8 007  8  1000  0  100  0  10  7  1 c) 29 010  2  10 000  9  1000  0  100  1  10  0  1 d) 10 001  1  10 000  0  1000  0  100  0  10  1  1 e) 234 872  2  100 000  3  10 000  4  1000  8  100  7  10  2  1 f) 760 980  7  100 000  6  10 000  0  1000  9  100  8  10  0  1 g) 444 000  4  100 000  4  10 000  4  1000  0  100  0  10  0  1 h) 2 050 307  2  1000 000  0  100 000  5  10 000  0  1000  3  100  0  10  7  1

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 3 102

b) 19 004

c) 234 987

d) 3 100 001

a) 3102  3  1000  1  100  0  10  2  1 b) 19 004  1  10 000  9  1000  0  100  0  10  4  1 c) 234 987  2  100 000  3  10 000  4  1000  9  100  8  10  7  1 d) 3100 001  3  1000 000  1  100 000  0  10 000  0  1000  0  100  0  10  1  1

29


2) Napiš v desítkové soustavě rozvinutý zápis těchto čísel: a) 4 012

b) 23 402

c) 340 207

d) 4 101 100

a) 4 012  4  1000  0  100  1  10  2  1 b) 23 402  2  10 000  3  1000  4  100  0  10  2  1 c) 340 207  3  100 000  4  10 000  0  1000  2  100  0  10  7  1 d) 4101100  4  1000 000  1  100 000  0  10 000  1  1000  1  100  0  10  0  1

3) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 37, 801, 1 098.

[a) 370, 8 010, 10 980

b) 3 700, 80 100, 109 800

c) 37 000, 801 000, 1 098 000]

4) Napište čísla a) desetkrát, b) stokrát, c) tisíckrát větší neţ číslo 53, 604, 2 908.

[a) 530, 6 040, 29 080

b) 5 300, 60 400, 290 800

c) 53 000, 604 000, 2 908 000]

30


31

Zápisy přirozených čísel Varianta C Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 3  1000  5  100  6  10  1  1 b) 4  1000  0  100  3  10  7  1 c) 8  10 000  5  1000  5  100  1  10  0  1 d) 7  100 000  0  10 000  4  1000  0  100  7  10  2  1 e) 3  1000 000  2  100 000  5  10 000  1  1000  0  100  0  10  7  1 Výsledek řešení: a) 3 561

b) 4 037

c) 85 510

d) 704 072

e) 3 251 007

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 5  10000  0  1000  0  100  6  10  6  1

[50 066]

b) 4  1000 000  0  100 000  9  10 000  3  1000  7  100  0  10  2  1

[4 093 702]

2) Napiš zkrácený zápis těchto čísel: a) 4  10000  4  1000  0  100  6  10  0  1

[44 060]

b) 8  100 000  9  10 000  5  1000  0  100  0  10  4  1

[895 004]

3) Které číslo je a) desetkrát menší b) o deset menší neţ číslo 21 000?

[2 100, 20 990]

4) Které číslo je a) desetkrát větší b) o deset větší neţ číslo 19 991?

[199 910, 20 001]


32

Přirozená čísla Čísla a číslice Čísla se skládají z číslic. Číslice neboli cifry v desítkové soustavě. 0 … nula

5 … pětka

1 … jednička

6 … šestka

2 … dvojka

7 … sedmička

3 … trojka

8 … osmička

4 … čtyřka

9 … devítka

Přirozené číslo JEDNOciferné

7

ČTYŘciferné

4 572

DVOJciferné

69

PĚTIciferné

15 890

TROJciferné

213

ŠESTIciferné

765 309

Úloha 9: Přečti číslo 865 234 509. Pak vyjmenuj všechny číslice, které jsou v zápisu tohoto čísla. Která číslice je na místě desítek? Která číslice je na místě desetitisíců? Která číslice je na místě milionů? Výsledek řešení: Osm set šedesát pět milionů dvě sta třicet čtyři tisíc pět set devět. Na místě desítek je nula. Na místě desetitisíců je trojka. Na místě milionů je pětka. Úloha 10: Vypište všechna dvojciferná čísla, ve kterých jsou jenom číslice 2 a 8. Číslice se mohou opakovat.

[28, 82, 22, 88]

Úloha 11: Vypište všechna trojciferná čísla x, pro která platí:

. [100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107]


Čísla a číslice Varianta A Vypiš z čísel 123, 65, 333, 4, 19, 980, 4 781, 98, 35 765, 5 000, 514, 32 a) všechna jednociferná čísla

b) všechna dvojciferná čísla

c) všechna trojciferná čísla

d) všechna čtyřciferná čísla

Výsledek řešení: a) 4

b) 65, 19, 98,

32 c) 123, 333, 980, 514

d) 4 781, 5 000


Příklady k procvičení: 1) Vypište z čísel 13, 465, 3 443, 5, 19, 3 980, 81, 198, 352 765, 53 010, 514, 2 a) všechna pěticiferná čísla


c) všechna trojciferná čísla


[a) 53 010

b) 13, 19, 81 c) 465, 198, 514

d) 3 443, 3 980]

2) Vypište z čísel 745, 90, 873, 3 456, 23 753, 7, 87, 621, 0, 897 541, 6 579, 56 874 a) všechna jednociferná čísla


c) všechna šesticiferná čísla


[a) 7, 0

b) 90, 87

c) 897 541

d) 3 456, 6 579]

33


34

3) Zmenšete daná čísla o jednu: 5 000, 2 800, 40 000, 99 990, 600 840, 1 milion. [4 999, 2 799, 39 999, 99 989, 600 839, 999 999] 4) Zmenšete daná čísla o jednu: 7 000, 5 810, 60 000, 96 900, 500 000, 1 miliarda. [6 999, 5 809, 59 999, 96 899, 499 999, 999 999 999]


35

Čísla a číslice Varianta B Zapište všechna trojciferná čísla, která mají: a) na místě jednotek číslici 7 a na místě stovek číslici 2, b) na místě desítek číslici 4 a na místě stovek číslici 6, c) na místě jednotek číslici 3 a na místě desítek číslici 8. Výsledek řešení:

a) 2

7

[207, 217, 227, 237, 247, 257, 267, 277, 287, 297]

b) 6 4

[640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649]

c)

[183, 283, 383, 483, 583, 683, 783, 883, 983]

83

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě jednotek číslici 4, na místě stovek číslici 2 a jsou tvořena pouze čísly 1, 2, 3, 4, 5, ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat. [1 234, 1 254, 3 214, 3 254, 5 214, 5 234,] 2) Zapište všechna čtyřciferná čísla, která mají na místě desítek číslici 4 a na místě stovek číslici 6 a jsou tvořena pouze čísly 2, 3, 4, 5, 6 ţádná číslice se nesmí v čísle opakovat. [2 643, 2 645, 3 642, 3 645, 5 642, 5 643] 3) Kolik je trojciferných čísel, která začínají dvojčíslím 24? [240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249] 4) Kolik je trojciferných čísel, která končí dvojčíslím 55? [155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955]


36

Čísla a číslice Varianta C a) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 2, 8, 1, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. b) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 6, 9 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat.

Výsledek řešení: a) 8 28, 21

2 1

2 82, 81

8 1 2 1

12, 18 8


b) 6 0

306, 309

9 0 3

6

360, 369 9 6

9

396, 390 0 3 603, 609

0 9 0 6

3

630, 639 9 3

9

693, 690 0 3 903, 906

0 6 0 9

3

930, 936 6 3

6

963, 960 0

37


38


Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 3, 5, 1, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu? [13, 15, 35, 31, 51, 53] 2) Zapište všechna dvojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 6, 4, 8, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu? [46, 48, 64, 68, 84, 86] 3) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 1, 2, 9 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má největší hodnotu? [129, 120, 109, 102, 190, 192, 210, 219, 202, 209, 290, 291, 910, 912, 901, 902, 921, 920] 4) Zapište všechna trojciferná čísla, která lze sloţit z číslic 7, 5, 3 a 0, přitom se ţádná číslice nesmí v čísle opakovat. Které číslo má nejmenší hodnotu? [753, 750, 730, 735, 703, 705, 503, 507, 530, 537, 570, 573, 305, 307, 350, 357, 370, 375]


39

Přirozená čísla Porovnávání čísel podle velikosti Přirozená čísla o stejném počtu číslic porovnáváme takto: Začneme porovnávat číslice od nejvyššího řádu, a jestliţe jsou číslice stejné, postupujeme k řádům niţším. 1 256

1256

1256

1256

1 293

1293

1293

1293

počet tisíců:

počet stovek:

počet desítek:

stejný

stejný

5 < 9, proto 1 256 < 1293

Úloha 12: Napiš, které ze dvou čísel je větší: a) 76, 176

b) 321, 312

c) 2 222, 1 679

d) 5 432, 15 432

[76 < 176, 321 > 312, 2 222 > 1679, 5 432 < 15 432]

Úloha 13: Zkontroluj a napiš ano, nebo ne: a) 347 > 345

b) 256 > 561

c) 12 309 < 12 039

d) 8 763 902 < 8 764 901

[ano, ne, ne, ano]


40

Úloha 14: Tabulka znázorňuje různé druhy ovoce, a jejich mnoţství v kilogramech, které se prodalo v uplynulém roce.

Banány

7 983

Mandarinky

1 007

Broskve 10 349

Meruňky

18 452

Citrony

878

Pomeranče

12 030

Hrušky

1 087

Švestky

23 459

Jablka

19 056

Třešně

10 321

Kterého ovoce se prodalo nejvíce?

[švestka]

Kterého ovoce se prodalo nejméně?

[citron]

Kterého ovoce se prodalo méně neţ 7 tisíc kilogramů?

[citron, hruška, mandarinka]

Kterého ovoce se prodalo vice neţ 15 500?

[jablko, meruňka, švestka]

Uspořádej druhy ovoce podle počtu prodaných kilogramů, od největšího k nejmenšímu. [švestka, jablko, meruňka, pomeranč, broskve, třešně, banán, hruška, mandarinka, citron]



41

Porovnávání přirozených čísel podle velikosti Varianta A Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: a) 1 725, 578, 1 239, 198, 1 701, 1 024, 602, 1 332 b) 2 348, 2 365, 20 034, 2 098, 23 204, 21 542, 2 549, 2 107 c) 7 435, 7 501, 5 689, 6 723, 5 986, 4 890, 6 893, 4 882 Výsledek řešení: a) 198  578  602  1024  1239  1332  1701  1725 b) 2 098  2107  2 348  2 365  2 549  20 034  21542  23 204 c) 4 882  4 890  5 689  5 986  6 723  6 893  7 435  7 501

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: 5 725, 5 578, 1 239, 1 298, 1 291, 524, 602, 5 572, 435, 3 547, 607, 3 447

[435 < 524 < 602 < 607 < 1 239 < 1 291 < 1 298 < 3 447 < 3 547 < 5 572 < 5 578 < 5 725] 2) Uspořádejte následující čísla od nejmenšího po největší: 2 239, 367, 452, 2 238, 3 291, 124, 102, 3 572, 135, 3 574, 407, 1 367

[102 < 124 < 135 < 367 < 407 < 452 < 1 367 < 2 238 < 2 239 < 3 291 < 3 572 < 3 574]


42

3) Firma Ferda a Syn rozváţí pečivo z Prostějova do čtyř měst, Brna, Olomouce, Ostravy a Zlína. a) Kolik kilometrů měří jejich cesty? b) Která cesta je nejdelší? c) Která cesta má vzdálenost mezi 100 km aţ 160 km? Vzdálenost v km

Brno

Olomouc

Ostrava

Prostějov

Zlín

Brno

0

78

165

54

96

Olomouc

78

0

93

24

63

Ostrava

165

93

0

117

104

Prostějov

54

24

117

0

150

Zlín

96

63

104

150

0

[b) Brno – Ostrava, c) Prostějov – Ostrava, Ostrava – Zlín, Prostějov - Zlín] 4) Firma Klubíčko a Dcery rozváţí vlnu z Prostějova do čtyř měst, Hodonín, Liberec, Písek, Svitavy. a) Kolik kilometrů měří jejich cesty? b) Která cesta je nejdelší? c) Která cesta má vzdálenost mezi 160 km aţ 240 km? Vzdálenost v km

Hodonín

Liberec

Písek

Prostějov

Svitavy

Hodonín

0

300

265

136

128

Liberec

300

0

207

238

172

Písek

265

207

0

276

202

Prostějov

136

238

276

0

95

Svitavy

128

172

202

95

0

[b) Hodonín – Liberec, c) Liberec – Písek, Liberec – Prostějov, Liberec – Svitavy, Písek Svitavy]


43

Porovnávání přirozených čísel Varianta B Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 325, menší neţ 352 a v jejich zápisu je číslice 4. Výsledek řešení: [334, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349]

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 234, menší neţ 257 a v jejich zápisu je číslice 3. [235, 236, 237, 238, 239, 243, 253] 2) Zapiš všechna přirozená čísla, pro která platí: jsou větší neţ 438, menší neţ 487 a v jejich zápisu je číslice 3. [439, 443, 453, 463, 473, 483] 3) Napište nejmenší a největší pěticiferné číslo sloţené ze čtyř různých číslic, kdy jedna číslice se opakuje. [10 123, 99 876] 4) Napište nejmenší a největší šesticiferné číslo, v jehoţ zápisu jsou tři různé číslice. [100 002, 999 987]


44

Porovnávání přirozených čísel Varianta C Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 1, 7, 4, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. Výsledek řešení:

147  174  417  471  714  741

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 2, 8, 6, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. [268 < 286 < 628 < 682 < 826 < 862] 2) Vypiš všechna trojciferná čísla, která se dají sestavit z číslic 9, 5, 3, přitom kaţdá číslice smí být v čísle pouze jednou. Uspořádej sestavená čísla podle velikosti od nejmenšího po největší. [359 < 395 < 539 < 593 < 935 < 953] 3) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 23 758 a jehoţ zápis končí: a) jednou nulou

b) dvěma nulami

c) třemi sedmičkami

d) čtyřmi jedničkami

[a) 23 760, 99 990, b) 23 800, 99 900, c) 23 777, 99 777, d) 31 111, 91 111]


45

4) Zapište nejmenší a největší pěticiferné číslo, které je větší neţ číslo 45 865 a jehoţ zápis končí: a) jednou nulou

b) dvěma nulami

c) třemi sedmičkami

d) čtyřmi jedničkami

[a) 45 870, 99 990, b) 45 900, 99 900, c) 46 777, 99 777, d) 51 111, 91 111]


Přirozená čísla Zaokrouhlování přirozených čísel Přirozená čísla zaokrouhlujeme takto: Před číslicemi 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ. Před číslicemi 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU. Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo. Zaokrouhlování: Na desítky: 4 8 7 3 = 4 870

6 4 3 8 = 6 440

Na stovky: 4 8 7 3 = 4 900

6 4 3 8 = 6 400

Na tisíce: 4 8 7 3 = 5 000

6 4 3 8 = 6 000

Úloha 15: Zaokrouhli postupně číslo 2 345 629 na stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce. 2 345 6 29 = 2 345 600

2 34 5 629 = 2 346 000

2 3 4 5 629 = 2 350 000

2 3 45 629 = 2 300 000

46


47

Úloha 16: Čísla jsou zaokrouhlena na desítky. Zkontroluj, zda je to správně. a) 683 = 680

b) 456 = 460

c) 704 = 710

d) 1 236 = 1 250

e) 3 766 = 3 770

f) 32 015= 32 010

[ano, ano, ne, ne, ano, ne] Úloha 17: Číslo 750 vzniklo zaokrouhlením neznámého přirozeného čísla na desítky. Vypiš všechna čísla, která mohla být tím neznámým číslem. [745, 746, 747, 748, 749, 751, 752, 753, 754]



48

Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta A a) Zaokrouhli na desítky: 234, 358, 492, 537, 1 673, 996 b) Zaokrouhli na stovky: 673, 1 972, 2 631, 12 784, 2 952, 32 098 c) Zaokrouhli na tisíce: 3 478, 502, 23 844, 8 545, 9 500, 323

Výsledek řešení: a) 234 = 230, 358 = 360, 492 = 490, 537 = 540, 1 673 = 1 670, 996 = 1 000 b) 673 = 700, 1 972 = 2 000, 2 631 = 2 600, 12 784 = 12 800, 2 952 = 3 000, 32 098 = 32 100 c) 3 478 = 3 000, 502 = 1 000, 23 844 = 24 000, 8 545 = 9 000, 9 500 = 10 000, 323 = 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 21 548, 6 793, 40 176, 105 320, 885. [desítky: 21 550, 6 790, 40 180, 105 320, 890] [stovky: 21 500, 6 800, 40 200, 105 300, 900] 2) Zaokrouhli na desítky a stovky čísla: 99 611, 15 234, 419 907, 8 452, 329. [desítky: 99 610, 15 230, 419 910, 8 450, 330] [stovky: 99 600, 15 200, 419 900, 8 500, 300] 3) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 93 611, 54 234, 49 972, 82, 3 329. [stovky: 93 600, 54 200, 50 000, 100, 3 300] [tisíce: 94 000, 54 000, 50 000, 0, 3 000] 4) Zaokrouhli na stovky a tisíce čísla: 21 583, 3 739, 40 946, 105 606, 58. [stovky: 21 600, 3 700, 40 900, 105 600, 100] [tisíce: 22 000, 4 000, 41 000, 106 000, 0]


49

Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta B Zaokrouhli čísla 9 654 734 a 407 279 na stovky, tisíce a desetitisíce. Stovky:

tisíce:

desetitisíce:

9 654 734 = 9 654 700

9 654 734 = 9 655 000

9 654 734 = 9 650 000

407 579 = 407 600

407 279 = 407 000

407 279 = 410 000


Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli číslo 7 346 893 na stovky, tisíce a desetitisíce. [7 346 900, 7 347 000, 7 350 000]

2) Zaokrouhli číslo 5 699 569 na stovky, tisíce a desetitisíce. [5 699 600, 5 700 000, 5 700 000] 3) Zaokrouhli číslo 4 125 336 569 desetitisíce, statisíce a miliony. [4 125 340 000, 4 125 300 000, 4 125 000 000] 4) Zaokrouhli číslo 2 533 256 762 desetitisíce, statisíce a miliony. [2 533 260 000, 2 533 300 000, 2 533 000 000]


50

Zaokrouhlování přirozených čísel Varianta C Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterých po zaokrouhlení na stovky vznikne číslo a) 800 b) 231 000. Výsledek řešení: a) nejmenší číslo: 750

největší: 849

b) nejmenší číslo: 230 950

největší: 231 049


Příklady k procvičení: 1) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne číslo 300.

[295, 304]

2) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desítky vznikne číslo 450.

[445, 454]

3) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce vznikne číslo 20 000.

[15 000, 24 999]

4) Napiš nejmenší a největší přirozené číslo, ze kterého po zaokrouhlení na desetitisíce vznikne číslo 240 000.

[235 000, 244 999]


Přirozená čísla Sčítání přirozených čísel Sčítáme-li přirozená čísla, pak tyto čísla nazýváme sčítance a jejich výsledek je součet. 234 + 1 866 = 2 100 sčítanec + sčítanec = součet Pro všechna přirozená čísla a, b platí: Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí: Sčítance můţeme libovolně sdružovat do skupin, součet se nezmění.

Pro kaţdé přirozené číslo a platí:

2 896 + 0 = 2 896 Velká čísla sčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto čísel pod sebou podle odpovídajících řádů. 749

8 452

2 386

356

4 378

64

1 105

12 830

2 450

419

2 809

77

3 890

789

673

56

11

98

4 365

3 609

2 001 2 849

51


Sčítání přirozených čísel Varianta A Zvol vhodné pořadí sčítanců a vypočítej zpaměti: a) 29 + 37 + 21

b) 123 + 85 + 27

c) 14 + 349 + 16

d) 543 + 125 + 75

e) 336 + 55 + 764 + 15

f) 89 + 302 + 61 + 108

Výsledek řešení: a) 29 + 37 + 21 = 29 + 21 + 37 = 50 + 37 = 87 b) 123 + 85 + 27 = 123 + 27 + 85 = 150 + 85 = 235 c) 14 + 349 + 16 = 14 + 16 + 349 = 30 + 349 = 379 d) 543 + 125 + 75 = 543 + 200 = 743 e) 336 + 55 + 764 + 15 = 336 + 764 + 55 + 15 = 1 100 + 70 = 1 170 f) 89 + 302 + 61 + 108 = 89 + 61 + 302 + 108 = 150 + 410 = 560

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečtěte zpaměti.

52


2) Sečtěte zpaměti.

3) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.

4) Sečtěte co nejvýhodněji zpaměti.

53


Sčítání přirozených čísel Varianta B Sečti pod sebou čísla: a) 78 324 + 794

b) 1 376 + 45 749

c) 2 148 + 76 + 58 983

d) 57 123 + 348 + 456 009

e) 66 + 6 666 + 666 + 66 666

f) 396 897 + 56 + 6 903 + 39 087


b)

c) 2148

78 324 794 79118

45 749 47 125

76 58 983 61 207

d)

e)

f)

1376

66

396 897

57 123

6 666

56

348

666 66 666 74 064

6 903

456 009 513 480


39 087 442 943

54


55

Příklady k procvičení: 1) Sečtěte písemně. a)

b) [a) 60 072, b) 106 074]

2) Sečtěte písemně. a)

b) [a) 100 237, b) 104 732]

3) Sečtěte písemně. a) b) [a) 789 189, b) 254 672] 4) Sečtěte písemně. a) b) [a) 670 156, b) 364 385]


56

Sčítání přirozených čísel Varianta C Petr si šetří na počítač. Plánuje, kolik bude potřebovat peněz. Vybral si základní sestavu, která je za cenu 23 990 Kč, za větší monitor připlatí 2 400 Kč, za DVD – RW zaplatí 3 200 Kč, zvuková karta stojí 1 060 Kč a reproduktory 2 530 Kč. Kolik bude Petra stát celé zařízení dohromady? 1) zápis úlohy 2) výpočet ceny celého počítače 3) odpověď Základní sestava …

23 990 Kč

Příplatek za monitor …

2 400 Kč

DVD – RW …

3 200 Kč

Zvuková karta …

1 060Kč

Reproduktory …

2 530 Kč

Cena celé sestavy …

x Kč

Cena celého počítačové sestavy je 33 180 Kč.


23 990 2 400 3 200 1 060 2 530 33180


57

Příklady k procvičení: 1) V továrně pracují na tři směny. V první směně pracuje 836 zaměstnanců, ve druhé směně 764 a ve třetí desetkrát méně neţ v první a druhé směně dohromady. Kolik zaměstnanců má továrna?

[1760 zaměstnanců]

2) Ve skladišti obchodu naloţili na dodávkové auto 10 beden po 25 kg, tisíc krabic po 200 g a sto plechovek po 75 dkg. Kolik váţilo naloţené zboţí?

[525 kg]

3) V roce 1978 byla průměrná roční spotřeba masa na jednoho obyvatele naší republiky 28 kg 90 dkg. V roce 1989 stoupla spotřeba o 1 320 dkg. V roce 1998 byla ještě o 12 kg 10 dkg masa vyšší neţ v roce 1989. Jaká byla průměrná spotřeba masa na jednoho obyvatele v roce 1998?

[54 kg 20 dkg ]

4) Pan Veselý si chtěl pořídit vlastní dům. Zjistil, ţe vyhlédnutý pozemek by stál 687 500 Kč. Za stavbu domu „na klíč“ poţaduje stavební firma 1 350 000 Kč, za plot okolo pozemku a za bezpečnostní zařízení by zaplatil asi 80 tisíc korun a úprava zahrady by stála přibliţně 65 000 Kč. a) odhadni, zda by panu Veselému stačily na všechno 3 miliony b) vypočítej, kolik by musel podle získaných informací celkem zaplatit. [a) ano, b) 2 182 500 Kč]


58

Přirozená čísla Odčítání přirozených čísel Při odčítání přirozených čísel, nazýváme první číslo menšenec, druhé menšitel a výsledkem je rozdíl. 756

–

76

= 680

menšenec – menšitel = rozdíl

680 + 76 = 756 Součet rozdílu a menšitele se rovná menšenci. Velká čísla odčítáme pod sebou. Musíme dát pozor, abychom správně provedli zápis těchto čísel pod sebou podle odpovídajících řádů. 749

8 452

2 386

- 356

- 4 378

- 64

393

4 074

2 322

Při odčítání přirozených čísel musíme dát pozor na pořadí čísel v zápisu. Kdyţ změníme pořadí čísel, pak se rozdíl čísel změní.

Jestliţe při odčítání přirozených čísel se objeví znaménko minus před závorkou, pak se musí při odstranění závorky všechna znaménka v závorce změnit v opačná. Při sčítání můţeme závorky libovolně odstraňovat.


Odčítání přirozených čísel Varianta A Zpaměti vypočítejte.

Výsledek řešení:

Zpaměti vypočítejte co nejvýhodněji. a) Výsledek řešení: a) b) c)


b)

c)

59


Příklady k procvičení: 1) Zpaměti vypočítejte.

2) Vypočtěte co nejvýhodněji.

[10, 300, 275] 3) Odečtěte a výsledek kontrolujte sčítáním.

4) Sečtěte a kontrolujte odečtením.

60


61

Odčítání přirozených čísel Varianta B Odečtěte. Provádějte zkoušku sčítáním. Výsledek řešení:

Zkouška:


Příklady k procvičení: 1) Odečtěte [23 897, 12 036]

2) Odečtěte [6 651, 103 043] 3) Vypočtěte menšitele, jestliţe menšenec je 1 010 101 a rozdíl 101 010. [909 091] 4) Které číslo jsme odečetli od 119 103, jestliţe rozdíl je 18 025? [101 078]


Odčítání přirozených čísel Varianta C Tatínek má průměrnou hrubou měsíční mzdu 22 830 Kč, maminka 19 960 Kč. Sečtěte a odečtěte obě čísla. Co jste vypočítali? Výsledek řešení: 22 830 19 960

42 790 Kč je celková hrubá mzda obou rodičů.

42 790

22 830 - 19 960 2 870


2 870 Kč je částka, o kterou má tatínek vyšší hrubou mzdu neţ maminka.

62


63

Příklady k procvičení: 1) Nejvyšší hora v Evropě je Elbrus je vysoká 5 633 m. Nejvyšší hora v Beskydech je o 4 309 m niţší neţ Elbrus a o 7 524 m niţší neţ nejvyšší hora světa Mount Everest. a) určete výšku všech tří hor b) vypočtěte, o kolik metrů je Mount Everest vyšší neţ Elbrus c) znázorněte výšku hor úsečkami. (výšku 1 000 m = 1 cm) [a) 5 633 m, 1 324 m, 8 848 m; b) 3 215 m] 2) Kdyţ vyjel autobus z města, bylo v něm 46 cestujících. Na první zastávce 9 cestujících vystoupilo a 12 přistoupilo, na druhé zastávce 11 cestujících vystoupilo a 4 nastoupili. Kolik cestujících pokračovalo v jízdě?

[42]

3) Součet čísel 5 048 a 1 795 zmenšete o číslo, které je o 962 větší neţ rozdíl prvních dvou čísel.

[2 628]

4) Kdyţ k rozdílu čísel 1 704 a 654 přičtete rozdíl čísel 14 920 a 14 042, dostanete rok, ve kterém byla vynalezena televize. Kolik roků znají lidé televizi? [r.1928, 81 let]


64

Přirozená čísla Násobení přirozených čísel Přirozená čísla, která mezi sebou násobíme, nazýváme činitele, výsledek násobení nazýváme součin. 200 .

40

= 8 000

činitel . činitel = součin Pro všechna přirozená čísla a, b platí:

Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění. Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí:

Činitele můţeme libovolně sdruţovat, součin se nezmění. Pro všechna přirozená čísla a, b, c platí:

Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.

Pro kaţdé přirozené číslo a platí:

Násobení má přednost před sčítáním a odčítáním.


Násobení velkých čísel provádíme pod sebou. 814 . 692 1628 7326 4884 563288


65


Násobení přirozených čísel Varianta A Vypočtěte.



Příklady k procvičení: 1) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:

66


67

2) Vynásobte zpaměti co nejvýhodněji:

3) Zručný pekař uplete ručně za hodinu 400 housek. Moderní stroj pracuje 25krát rychleji. Kolik housek uplete za 4 hodiny stroj?

[40 000]

4) Jaký výsledek dostanete, sečtete-li osmkrát číslo 35?

[280]


Násobení přirozených čísel Varianta B Vynásobte písemně mezi sebou čísla 2 086 a 2 407. Výsledek řešení 2 086 . 2 407 14602 0000 8344 4172 5021002

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 8 009 a 5 060.

[40 525 540]

2) Vynásobte písemně mezi sebou čísla 92 307 a 54 026.

[4 986 978 000]

3) Vypočtěte:

[64 647]

4) Vypočtěte:

[106 862]

68


69

Násobení přirozených čísel Varianta C Řidič autobusu najezdí týdně průměrně 427 km. Kolik kilometrů najezdil za rok, kdyţ měl 4 týdny dovolené a jindy v práci nechyběl? 1 týden …

427 km

1 rok …

x km

4 týdny volna 1 rok = 52 týdnů 52 týdnů – 4 týdny = 48 pracovních týdnů

Výsledek řešení: Řidič autobusu najezdí za rok 20 496 km.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Stavební firma potřebuje přivézt z nádraţí 45 ocelových nosníků. Kaţdý nosník má hmotnost 82 kg. Stavbyvedoucí pro tento náklad můţe poslat malé auto, které uveze 3 tuny, nebo větší, které uveze 8 tun. Které auto má pro náklad poslat, aby náklad přivezl najednou? [3 690 kg, velké auto] 2) Na koncert bylo prodáno 178 vstupenek po 560 Kč, 239 vstupenek po 350 Kč a 613 vstupenek po 195 Kč. Jaká byla celková trţba za vstupenky?

[302 865 Kč]

3) Ve školní jídelně obědvá 476 ţáků a 38 učitelů. Pro jednu osobu se počítá na oběd 90 gramů mouky a 70 gramů masa. Kolik kilogramů a dekagramů mouky a masa se spotřebuje pro všechny strávníky na jeden oběd? [mouky 46 kg a 26 dkg; masa 35 kg a 98 dkg] 4) Kolik korun by ušetřil za 15 let kuřák, který vykouří denně krabičku cigaret? Průměrná cena krabičky cigaret je 60 Kč.

[328 500 Kč]


Přirozená čísla Dělení přirozených čísel Přirozená čísla, která mezi sebou dělíme, nazýváme dělenec, dělitel a výsledkem dělení je podíl. 65

:

5

= 13

dělenec : dělitel = podíl Součin podílu a dělitele se rovná dělenci.

Dělení má přednost před sčítáním i odčítáním. Nulou se dělit nedá!

540

0=

Dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.


70


Dělení přirozených čísel Varianta A Vypočtěte:



Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte.

71


2) Vypočtěte.

3) Vypočtěte.

4) Vypočtěte.

72


73

Dělení přirozených čísel Varianta B Proveďte dělení čísla 501 číslem 29.

501  29  17 211 8 Při tomto dělení dostáváme neúplný podíl a zbytek. Neúplný podíl = 17 Zbytek = 8 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte.

[43 zb.4; 65 zb.65] 2) Vypočtěte.

[50 zb.100; 722 zb.30] 3) Dělíme-li číslo 118 jistým dělitelem, dostaneme neúplný podíl 5 a zbytek 13. Jaké číslo je dělitelem?

[21]

4) Dělenec je jisté číslo, dělitelem je číslo 76, neúplný podíl je 105 a zbytek 37. Jaké číslo je dělencem?

[8 017]


74

Dělení přirozených čísel Varianta C Při spotřebě 1 litru benzinu ujede auto Škoda Octavia přibliţně 22 km. Kolik litrů benzinu spotřebuje na cestě a) 154 km b) z místa školy do hlavního města? 1 litr …

22 km

x litrů …

154 km Výsledek řešení: Auto spotřebuje na vzdálenost 154 km 7 litrů benzinu.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Tropická tráva bambus vyroste asi za 50 dní do výše aţ 20 metrů. Kolik centimetrů vyroste přibliţně za den?

[40 cm]

2) Na postavení cihlového domu je třeba 130 000 cihel. Cihly budeme přiváţet třemi auty, na kaţdé z nich se vejde 850 cihel. Kolikrát musí přijet najednou všechny tři auta, aby dovezly potřebné mnoţství cihel?

[auta musí přijet 51x]

3) Z vesnice do města jsou 3 km. Cyklista dojel tam a zpět za 39 minut, přitom se v městě zdrţel čtvrt hodiny. Jakou průměrnou rychlosti jel?

[15 km/h]

4) V zahradnictví je ovocná zahrada, která obsahuje 65 jabloní, na podzim se průměrně z kaţdé jabloně sklidilo 14 kg jablek. Zahradnictví si ponechalo 410 kg jablek a ostatní prodali. a) Kolik kilogramů jablek sadaři prodali? b) Kolik korun dostali sadaři za jablka, jestliţe 1 kg prodali za 16 Kč? [a) 500 kg, 8000 Kč]


75

Desetinná čísla a zlomky Zlomky Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek nám vyjadřuje část celku. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou.

1 4

čitatel zlomková čára jmenovatel

jeden celek dvě poloviny celku

tři třetiny celku

čtyři čtvrtiny celku

pět pětin celku

deset desetin celku

Zlomky, které mají stejné jmenovatele, sčítáme tak, ţe čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme.


76

Zlomky Varianta A Na místo otazníků napiš správná čísla.


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečti zlomky

[

]

[

]

2) Sečti zlomky

3) Sečti zlomky a zjednoduš je.

[

]

[

]

4) Sečti zlomky a zjednoduš je.


77

Zlomky Varianta B Chlapec chodí do školy pěšky a cesta mu trvá 30 minut. Jakou část cesty ujde za 1 minutu, za 5 minut, za 20 minut. Celá 1 cesta trvá 30 minut. Část x ujde za 1 minutu, 5 minut, 20 minut

Výsledek řešení: Chlapec za 1 minutu ujde

cesty, za 5 minut ujde cesty a za 20 minut ujde .

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ţákyně přečetla knihu za 7 dní. Jakou část knihy přečetla za den, jestliţe přečetla kaţdý den stejný počet stran?

[ ]

2) Šestnáct kusů vajec je roven přesně 1 kilogramu. Vyjádřete v gramech průměrnou váhu jednoho vejce.

[

]

3) Celek jsme rozdělili na 15 stejných dílů. Zapište zlomkem 7 těchto dílů.

[ ]

4) Malá Veronika vybrala na dárky rodičů úspor. Jaká část úspor jí ještě zbyla?

[ ]


78

Zlomky Varianta C Traktorista zoral obdélníkové pole za 6 hodin. Zvolte si vhodné měřítko a nakreslete pole a vyznačte část, kterou zoral za 4 hodiny.

Zoraná část pole za 4 hodiny

Výsledek řešení: Traktorista za 4 hodiny zoral pole.


Příklady k procvičení: 1) Litrový hrnek je plný vody. Kolik litrů vody musíme vylít, aby jí v hrnku zůstalo [

litru]

2) Vyjádřete menšími jednotkami.

[75 cm, 5 g, 140 m, 45 minut, 50 haléřů, 8 měsíců]

litru?


79

3) Vyjádřete většími jednotkami. 56 cm, 7 kg, 30 minut, 1 měsíc, 127 m, 4 q [

4) Kniha má 128 stran a Jitka ji chce přečíst za 2 dny. První den přečetla knihy. Kolik stran jí zbylo na druhý den?

[48 stran]


Desetinná čísla a zlomky Desetinná čísla a jejich znázornění Desetinná čísla, jsou čísla, která ve svém zápise obsahují desetinnou čárku. Kaţdý zlomek se dá vyjádřit desetinným číslem.

Zlomky

Desetinná čísla 0,3

nula celá tři desetiny

0,47

nula celá čtyřicet sedm setin (nula celá čtyři desetiny sedm setin)

0,5

nula celá pět desetin

0,25

nula celá dvacet pět setin (nula celá dvě desetiny pět setin)

0,2

nula celá dvě desetiny

0,1

nula celá jedna desetina

0,01

nula celá jedna setina

Porovnávání desetinných čísel Desetinná čísla mezi sebou porovnáváme podle velikosti, podobně jako čísla přirozená. Které číslo je větší? 7,26 nebo 7,23

7,26 7,23 Počet jednotek: stejný Počet desetin: stejný

Počet setin: různý

Jelikoţ počet setin se v desetinných číslech různí a platí, ţe

, pak i

.

80


81

Zaokrouhlování desetinných čísel. Desetinná čísla zaokrouhlujeme obdobným způsobem, jako čísla přirozená. Záleţí, na kolik desetinných míst máme číslo zaokrouhlit. Při zaokrouhlování na jednotky, rozhoduje číslo umístěné za desetinnou čárkou na místě desetin. kdyţ je na místě desetin číslice 0, 1, 2, 3, 4 zaokrouhlujeme DOLŮ kdyţ je na místě desetin číslice 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme NAHORU

Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se nezmění. 0,4 = 0,40 0,236 = 0,2360 8,2 = 8,20



82

Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta A Zapiš jako desetinná čísla: A B

Výsledek řešení: A B

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 0,3

b) 0,6

c) 0,32

d) 0,05

e) 0,03

f) 0,75 [

]

2) Zapiš pomocí zlomku se jmenovatelem 10, nebo 100. a) 0,33

b) 0,7

c) 0,45

d) 0,25

e) 0,4

f) 0,99 [

]


b) 10,6

c) 42,2

d) 3,05

e) 8,03

f) 1,75

[

]


b) 2,7

c) 1,45

d) 5,25

e) 58,4 [

f) 6,99 ]


83

Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta B Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 4,8

3,65

2

2,2

4,68

3,54

4,07

2,09

3,44

5,07

3,09

3,41


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 1,8

1,65

1,2

2,02

2,68

4,54

[

]

2) Uspořádejte čísla podle velikosti od nejmenšího po největší: 5,02

5,12

5,98

4,18

5,68

3,94

5,17

3,9

[

4,14

]

3) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší: 123,56

145,69

85,96

536,04

138,29

145,91

123,87

147,09

535,99

[

]

4) Uspořádejte čísla podle velikosti od největšího po nejmenší: 863,02

[

752,92

685,8

694,18

755,75

863,94

684,9

802,9

555,55

]


84

Desetinná čísla a jejich znázornění Varianta C 1) Zaokrouhli na jednotky čísla: 5,42

18,23

1,78

10,81

109,8

17,49

83,7

619,09

14,77

105,68

13,94

25,17

69,9

14,14

Výsledek řešení: [

]


Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na jednotky čísla: 5,02

8,2

12,98

6,8

[

]

2) Zaokrouhli na jednotky čísla: 15,3

4,09

17,6

1,2

25,5

2,49

172,81

9,09

[

38,38

]


145,69

85,96

536,04

138,29

145,91

123,47

147,09

[

535,99

]


752,92

685,8

694,18

755,75

[

863,94

684,9

802,9

555,55

]


85

Desetinná čísla a zlomky Sčítání a odčítání desetinných čísel Při písemném sčítání a odčítání desetinných čísel, musí být jednotky, desítky, stovky a také desetiny, setiny, tisíciny pod sebou.

23,67

120,58

52,38

34,4

76,05

154,98


46,75 - 24,7 22,05

167,84 - 70,02 97,82


86

Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta A Vypočítej zpaměti: a)

c)

e)

b)

d)

f)

Výsledek řešení: [a) 15,9 b) 12 c) 12,1 d) 13,8 e) 44,3 f) 22,1] Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte zpaměti: a)

b)

c)

d)

[a) 28,1 b) 10,1 c) 0,28 d) 0,32] 2) Vypočítejte zpaměti: a)

b)

c)

d)

[a) 8 b) 13,77 c) 1,05 d) 0,75] 3) Vypočítejte zpaměti: a)

b)

c)

d)

[a) 4,2 b) 1,4 c) 17,6 d) 4,2] 4) Vypočítejte zpaměti: a)

b)

c)

d)

[a) 6,1 b) 2,2 c) 4,7 d) 0,5]


87

Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta B Počítejte výhodně zpaměti: a)

b)

c)

b)

c)

Výsledek řešení: a) b) c)


Příklady k procvičení: 1) Počítejte výhodně zpaměti: a)

[a) 5 b) 6,6 c) 10]

2) Počítejte výhodně zpaměti: a)

b)

c) [a) 3,1 b) 1,42 c) 7,73]


3) Vypočítejte písemně. a)

b)

c)

d) [a) 6,27 b) 0,5 c) 4,6 d) 106,56]

4) Vypočítejte písemně. a)

b)

c)

d) [a) 25,03 b) 106,99 c) 18,51 d) 5,62]

88


89

Sčítání a odčítání desetinných čísel Varianta C Mosazný odlitek váţil 2,07 kg, píst z něho vybroušený váţil 1,65 kg. Kolik kilogramů mosazi odpadlo broušením? Odlitek …

2,07 kg

Píst …

1,65 kg

Odpad …

x kg

Při broušení mosazného odlitku odpadlo 0,42 kg mosazi.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Kouřová roura do komína má délku 0,9 m. Jak dlouhou rouru dostaneme, spojíme-li čtyři díly roury, kdyţ na zasunutí počítáme 0,09 m?

[3,33 m]

2) Kolik kilogramů masa je v konzervě, je-li její čistá váha 800 gramů a konzerva obsahuje 0,05 kg tuku a 0,5 kg rýţe.

[0,25 kg]

3) Stavební firma staví rodinný domek na parcele , chodník zabere

a dvorek

. Podle plánku bude dům na ploše

. Kolik metrů čtverečních zbude na zahradu? [

]

4) Ve dvou nádobách bylo dohromady 0,6 hl benzinu. Kdyţ přelili z první nádoby do druhé 0,05 hl, bylo v obou nádobách stejné mnoţství benzinu. Kolik hektolitrů benzinu bylo původně v kaţdé nádobě? [

]


90

Desetinná čísla I Tisíciny i miliontiny

0,1

nula celá jedna desetina

0,01

nula celá jedna setina

0,001

nula celá jedna tisícina

0,000 1

nula celá jedna desítitisícina

0,000 01

nula celá jeda stotisícina

0,000 001

nula celá jedna miliontina

4 523,967 281 Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět desetin šest setin sedm tisícin dvě desítitisíciny osm stotisícin jedna miliontina. Čtyři tisíce pět set dvacet tři celých devět set šedesát sedm tisíc dvě sta osmdesát jedna miliontin.



91

Tisíciny a miliontiny Varianta A Zapiš slovy desetinné číslo: 0,03

0,008

0,58

0,045

0,000 2

0,000 12

0,000 007

0,005 1

1,025 2

0,000 04

0,000 032

Výsledek řešení: 0,03 – nula celá tři setiny 0,008 – nula celá osm tisícin 0,58 – nula celá padesát osm setin 0,045 – nula celá čtyřicet pět tisícin 0,000 2 – nula celá dvě desítitisíciny 0,000 12 – nula celá dvanáct statisícin 0,000 007 – nula celá sedm miliontin

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš slovy desetinné číslo. 0,8

0,006

5,78

[nula celá osm desetin, nula celá šest tisícin, pět celých sedmdesát osm setin, nula celá padesát jedna desítitisícin, jedna celá dvě sta padesát dva desítitisícin, nula celá čtyři stotisíciny, nula celá třicet dva miliontin]


92

2) Zapiš slovy desetinné číslo. 0,48

0,106

2,078

7,000 1

1,020 54

0,200 04

0,000 005

[nula celá čtyřicet osm setin, nula celá sto šest tisícin, dvě celé sedmdesát osm tisícin, sedm celé jedna desítitisícina, jedna celá dva tisíce padesát čtyři statisícin, nula celá dvacet tisíc čtyři statisícin, nula celá pět miliontin] 3) Zapiš slovy zlomek.

[šest desetin, čtyřicet osm setin, sedm setin, padesát tři tisíciny, osm set dvanáct desítitisícin, devět set šedesát tři statisícin, jedenáct miliontin] 4) Zapiš slovy zlomek.

[čtyři desetiny, osmdesát osm setin, tři setiny, osmdesát tři tisíciny, dvě sta dvanáct desítitisícin, sedm set třináct statisícin, devadesát jedna miliontin]


93

Tisíciny a miliontiny Varianta B Přepiš zlomek do desetinného čísla.

Výsledek řešení: [0,7;

0,12; 0,09; 0,078;

0,012 3;

0,003 56;

0,000 036]


Příklady k procvičení: 1) Přepiš zlomek do desetinného čísla:

[0,2;

0,42; 0,05; 0,065; 0,080 2; 0,005 73; 0,000 024]

2) Přepiš zlomek do desetinného čísla:

[0,5;

0,22; 0,09; 0,035; 0,072 3; 0,002 53; 0,000 038]



[1,5;

2,32; 14,99; 1,365; 0,000 3; 0,224 15; 0,000 008]


[3,5;

3,32; 15,01; 1,005; 0,000 4; 0,260 15; 0,000 005]

94


95

Tisíciny a miliontiny Varianta C Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,3

b) 0,75

c) 0,126

d) 0,205

e) 0,06

c)

d)

e)

d) 0,005

e) 0,082

f) 0,008


b)

f)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,7

b) 0,62

c) 0,652

[a)

b)

c)

d)

e)

]

2) Zapiš desetinné číslo pomocí zlomku. a) 0,41

b) 0,2

c) 0,262

d) 0,03

e) 0,009 [a)

b)

c)

d)

e)

]


b) 12,2

c) 2,882

d) 5,005 [a)

e) 62,000 62 b)

c)

d)

e)

]


b) 75,2

c) 82,002

d) 10,08 [a)

e) 2,009 4 b)

c)

d)

e)

]


Desetinná čísla I Porovnávání desetinných čísel Desetinná čísla znázorňujeme na číselné ose. Na číselné ose jsou čísla uspořádaná podle velikosti, číslo vlevo je vţdy menší neţ číslo vpravo. Desetinná čísla porovnáváme tak, ţe srovnáváme jejich jednotlivé řády.

45,46 45,45

45,48

45,5

45,54 45,53

45,47

45,56

45,55

45,58

45,6

45,57

Pokud připíšeme nulu na konec čísla za desetinnou čárku, hodnota desetinného čísla se nezmění. 0,5 = 0,50 0,45= 0,450 12,26 = 12,260

8,23 8,237 Počet jednotek: stejný Počet desetin: stejný

Počet tisícin: různý Počet setin: stejný

Jelikoţ počet tisícin se v desetinných číslech různí a platí, ţe 7 > 0, pak i 8,237 > 8,23.


96


97

Porovnávání desetinných čísel Varianta A Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a)

c)

b)

d)

Výsledek řešení: a) b)

c) d)


Příklady k procvičení: 1) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a) b)

c) d) [a) 7 b) 4 c) 9 d) 3 ]

2) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal nejmenší číslo, pro které platí: a)

c)

b)

d) [a) 6 b) 8 c) 3 d) 3 ]


98

3) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí: a) b)

c) d) [a) 4 b) 5 c) 8 d) 0 ]

4) Napiš místo otazníků takovou číslici, abys dostal největší číslo, pro které platí: a)

c)

b)

d) [a) 4 b) 1 c) 7 d) 3 ]


99

Porovnávání desetinných čísel Varianta B Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)

b)

c)

b)

c)



Příklady k procvičení: 1) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)

b) [a)

c) b)

c)

]

2) Porovnávejte desetinná čísla podle velikosti a)

b) [a)

c) b)

c)

]


100


b) [a)

c) b)

c)

]


b) [a)

c) b)

c)

]


101

Porovnávání desetinných čísel Varianta C Napište všechna přirozená čísla, která leţí na číselné ose mezi čísly 1,5 a 6,65. 6,65

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

Výsledek řešení: Mezi desetinnými čísly 1,5 a 6,65 leţí tato přirozená čísla: 2; 3; 4; 5; 6


Příklady k procvičení: 1) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 15,8 a 22,3. [16; 17; 18; 19; 20; 21; 22]

2) Napište všechna přirozená čísla, která leţí na reálné ose mezi čísly 0,2 a 5,5. [1; 2; 3; 4; 5]

3) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 3,36 a menší neţ číslo 3,42. [3,37; 3,38; 3,39; 3,40; 3,41]

4) Vypište všechna čísla, která jsou větší neţ číslo 9,65 a menší neţ číslo 9,74. [9,66; 9,67; 9,68; 9,69; 9,70; 9,71; 9,72; 9,73]


Desetinná čísla I Zaokrouhlování desetinných čísel Při zaokrouhlování desetinných čísel dodrţujeme stejný postup jako u přirozených čísel. Zaokrouhlujeme vţdy podle číslice, která následuje vpravo. Pokud chceme například zaokrouhlovat na setiny, je důleţitá číslice na místě tisícin. Pokud má tato číslice hodnotu 0, 1, 2, 3, 4, pak číslo zaokrouhlujeme DOLŮ Pokud má tato číslice hodnotu 5, 6, 7, 8, 9, pak číslo zaokrouhlujeme NAHORU

.

8, 2 3 7 6  8,24

.

8, 7 2 3 9  8,72


102


Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta A Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 2,3

b) 5,6

c) 18,6

d) 354,4

e) 159

f) 599,5

c) 19

d) 354

e) 159

f) 600

Výsledek řešení: a) 2

b) 6


Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 6,1

b) 98,7

c) 0,3 [a) 6

d) 892,8 b) 99 c) 0

e) 1,6

d) 893

f) 289,6 e) 2

f) 290]

2) Zaokrouhli na jednotky čísla. a) 25,9

b) 9,7

c) 0,6

d) 89,6

[a) 26 b) 10 c) 1

e) 2,4

f) 20,6

d) 90 e) 2

f) 21]

d) 59,08

e) 1,99

f) 2,62

b) 10 c) 1

d) 59 e) 2

f) 3]

d) 18,38

e) 2,65

f) 0,62

b) 5

d) 18 e) 3

f) 1]


b) 9,63

c) 0,83 [a) 5


b) 5,07

c) 79,51 [a) 3

c) 80

103


104

Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta B Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 2,36

b) 5,67

c) 18,69

d) 354,42

e) 159,31

f) 599,52

c) 18,7

d) 354,4

e) 159,3

f) 599,5

d) 892,81

e) 1,66

f) 289,64

Výsledek řešení: a) 2,4

b) 5,7

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 6,19

b) 98,75

c) 0,38

[a) 6,2 b) 98,8 c) 0,4 d) 892,8 e) 1,7 f) 289,7] 2) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 25,93

b) 9,77

c) 0,68

d) 89,62

e) 2,44

f) 20,65

[a) 25,9 b) 9,8 c) 0,7 d) 89,7 e) 2,4 f) 20,7] 3) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 5,216

b) 9,634

c) 0,893

d) 59,087

e) 1,999

[a) 5,2 b) 9,6 c) 0,9 d) 59,1 e) 2

f) 2,623 f) 2,6]

4) Zaokrouhli na desetiny čísla. a) 3,498

b) 5,017

c) 79,515

d) 18,384

e) 2,655

f) 0,629

[a) 3,5 b) 5

c) 79,5 d) 18,4 e) 2,7 f) 0,6]


105

Zaokrouhlování desetinných čísel Varianta C Zaokrouhli na setiny čísla. a) 2,368

b) 5,672

c) 18,693

d) 35,472

e) 9,319

f) 99,995

c) 18,69

d) 35,47

e) 9,32

f) 100

c) 0,388

d) 82,812

e) 1,667

f) 9,643

Výsledek řešení: a) 2,37

b) 5,67


Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhli na setiny čísla. a) 6,195

b) 98,754

[a) 6,2 b) 98,75 c) 0,39 d) 82,81 e) 1,67 f) 9,64] 2) Zaokrouhli na setiny čísla. a) 25,938

b) 9,727

c) 0,698

d) 89,682

e) 2,496

f) 20,675

[a) 25,94 b) 9,73 c) 0,7 d) 89,68 e) 2,5 f) 20,68] 3) Zaokrouhli na tisíciny čísla. a) 5,2167

b) 9,6348

c) 0,8396

d) 59,0807

e) 1,9099

f) 2,6235

[a) 5,217 b) 9,635 c) 0,84 d) 59,081 e) 1,91 f) 2,624] 4) Zaokrouhli na tisíciny čísla. a) 3,4984

b) 5,0107

c) 79,5015

d) 18,3848

e) 2,6595

f) 0,6295

[a) 3,498 b) 5,011 c) 79,502 d) 18,385 e) 2,66 f) 0,63]


106

Desetinná čísla I Sčítání desetinných čísel Při písemném sčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na jejich místo dopsat nuly. Úloha 1: Sečti tato tři desetinná čísla, 6,8 + 29,36 + 0,005 6,8

6,8 0 0

29,36

29,3 6 0

0,005

0,0 0 5

????

36,1 6 5

Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve sloupci.

Kdyţ změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění.

Sčítance můţeme libovolně sdruţovat do skupin, součet se nezmění.

Smíšené číslo Je to číslo, které se skládá ze zlomku a přirozeného čísla. - tři a jedna čtvrtina

- pět a tři čtvrtiny


107

Sčítání desetinných čísel Varianta A Sečti desetinná čísla: a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: [a)

b)

c)

d) ]


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 10,18; b) 14,43; c) 0,32]

2) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 9,74; b) 1,33; c) 13,86]

3) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 0,34; b) 5,972; c) 10,512]

4) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 0,288; b) 44,25; c) 86,001]


108

Sčítání desetinných čísel Varianta B Sečti co nejvýhodněji desetinná čísla: a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: a) b) c) d)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla: a)

b)

c) [a) 16,7; b) 9,89; c) 11,12]

2) Vypočítej co nejvýhodněji desetinná čísla: a)

b)

c) [a) 11,72; b) 17,76; c) 9,86]

3 ) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 819,186; b) 808,837; c) 18,983]

4) Vypočítej: a)

b)

c) [a) 709,78; b) 1 000,095; c) 1011,266]


109

Sčítání desetinných čísel Varianta C Zapiš desetinnými čísly a)

b)

c)

d)

Výsledek řešení: a) b) c) d)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš desetinnými čísly a)

b)

c)

d) [a) 27,2; b) 14,75; c) 10,5; d) 59,25]

2) Zapiš desetinnými čísly a)

b)

c)

d) [a) 12,25; b) 34,5; c) 15,75; d) 67,2]

3) Vypočítej: a) součet čísel 3,45 a 1,09 zvětšený o číslo 0,7 b) součet čísel 7,38 a 0,013 zvětšený o číslo 1,02 [a) 5,24; b) 8,413] 4) Vypočítej: a) součet čísel 9,76 a 8,14 zvětšený o číslo 0,04, b) součet čísel 3,473 a 0,017 zvětšený o číslo 11,08 [a) 17,94; b) 14,57]


110

Desetinná čísla I Odčítání desetinných čísel Při písemném odčítání desetinných čísel musíme dbát na to, aby desetinné čárky byly pod sebou. Pokud u některého desetinného čísla chybí řády za desetinnou čárkou, můţeme na jejich místo dopsat nuly. Zkoušku správnosti výsledku při odčítání provedeme sečtením rozdílu a menšitele, výsledkem je pak menšenec.

Úloha 2: Odečti tato dvě desetinná čísla, 36,8 - 9,36 36,8

36,8 0

- 9,36

- 9,3 6

???

27,4 4

Desetinou čárku ve výsledku umísťujeme přesně pod desetinné čárky jednotlivých čísel ve sloupci. Dvě rady pro odčítání: I. Výrazy bez závorek počítáme postupně zleva doprava.

II. Výraz se závorkami počítáme tak, ţe nejprve vypočítáme výraz v závorce.



111

Odčítání desetinných čísel Varianta A Odečti desetinná čísla zpaměti: a)

b)

c)

d)

c)

d)

Výsledek řešení: [a)

b)

c)

d)

]


Příklady k procvičení: 1) Odečti desetinná čísla zpaměti: a)

b)

[a)

b)

c) 6,01 d) 40,4]

2) Odečti desetinná čísla zpaměti: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c) 16,03 d) 1,2]

3) Odečti desetinná čísla: a)

b)

c) [a)

d) b)

c) 1,591 d) 9,92]

4) Odečti desetinná čísla: a)

b)

c) [a)

d) b)

c)

d)

]


112

Odčítání desetinných čísel Varianta B Vypočítej: a)

b)

c)

b)

c)

Výsledek řešení: a) b) c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a)

[a)

b)

c)

]

b)

c)

]

2) Vypočítej: a)

b)

c) [a)

3) Vypočítej: a)

b) [a)

b)

]

[a)

b)

]

4) Vypočítej: a)

b)


113

Odčítání desetinných čísel Varianta C Vypočítej:



Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: [8,87] 2) Vypočítej: [8,39] 3) Vypočítej: [46,162] 4) Vypočítej: [15,42]


Desetinná čísla II Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.

Ve výsledku oddělíme odzadu tolik desetinných míst, kolik jich má desetinné číslo, které násobíme:

62,5

Výsledek řešení: Úloha 1: Vynásob desetinné číslo přirozeným.


114


115

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta A Počítej zpaměti: a)

b)

c)

d)

e)

b)

c)

d)

e)

c)

d)


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Počítej zpaměti: a)

b)

[a) 3; b) 120; c) 21,2; d) 88]

2) Počítej zpaměti: a)

b)

c)

d) [a) 3; b) 120; c) 21,5; d) 77]


b)

c)

d) [a) 56; b) 56; c) 49; d) 20,1]


b)

c)

d) [a) 48; b) 48; c) 64; d) 8,2]


116

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta B Napiš znak nerovnosti. a)

b)

c)

b)

c)


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napiš znak nerovnosti. a)

b)

c) [a)

; b) ; c)

]

[a)

; b) ; c)

]

[a)

; b) ; c)

]

[a)

; b) ; c)

]

2) Napiš znak nerovnosti. a)

b)

c)


b)

c)


b)

c)


117

Násobení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta C V továrně na výrobu ovocných kompotů vyrobí za rok 1 200 tun kompotů. Na 1 kg kompotu spotřebují 0,48 kg cukru. Kolik metrických centů cukru spotřebovali na vyrobené ovocné kompoty? Za 1 rok …

1 200 tun = 1 200 000 kg

Na 1 kg …

0,48 kg cukru.

Celkem cukru …

x kg

Za rok spotřebuje továrna 576 metrických centů cukru k výrobě 1 200 tun kompotu. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Kurzovní lístek eura ve směnárně je 1euro za 26,82 Kč. Kolik českých korun musím mít, abych si mohl vyměnit 975 euro. Výsledek správně zaokrouhlete.

[26 150 Kč]

2) Země se pohybuje kolem Slunce rychlostí 29,8 km/s. Jakou dráhu urazí Země kolem Slunce za hodinu? [107 280 km]

3) Vypočtěte součet trojnásobku a sedminásobku čísla 37,029.

[370,29]

4) Vypočtěte rozdíl čtrnáctinásobku a čtyřnásobku čísla 0,24.

[2,4]


118

Desetinná čísla II Násobení desetinného čísla desetinným číslem Násobení desetinného čísla desetinným číslem: Vynásobíme obě čísla pod sebou, desetinnou čárku prozatím neumísťujeme.

Desetinnou čárku umístíme tak, aby se počet desetinných míst v součinu rovnal součtu počtů desetinných míst v činitelích: Násobení desetinných čísel má stejné vlastnosti jako násobení přirozených čísel: Kdyţ změníme pořadí činitelů, součin se nezmění.

Činitele můţeme libovolně sdružovat, součin se nezmění.

Stejné činitele můţeme vytknout před závorku, součin se nezmění.



Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta A Vypočítej zpaměti: a)

b)

c)

d)

e)

Výsledek řešení: a) b) c) d) e)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej zpaměti: a)

b)

c)

d) [a) 0,81; b) 0,9; c) 1,286; d) 0,003]

2) Vypočítej zpaměti: a)

b)

c)

d) [a) 0,49; b) 1,3; c) 1,969; d) 0,0021]

3) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti: a)

b)

c)

d) [a) 0,081; b) 0,06; c) 8,05; d) 0,0106]

4) Vypočítej co nejvýhodněji zpaměti: a)

b)

c)

d) [a) 0,128; b) 1,004; c) 0,601; d) 5,05]

119


120

Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta B Vypočítej:


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej a zaokrouhli na setiny:

[10529,33]

2) Vypočítej a zaokrouhli na jednotky:

[33951]

3) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny:

[0,314]

4) Vypočítej a zaokrouhli na tisíciny:

[0,034]


121

Násobení desetinného čísla desetinným číslem Varianta C Vypočítej povrch kvádru, který má rozměry

. Výsledek zaokrouhli na

setiny. Výsledek řešení:

Povrch kvádru je roven

.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Chceme vytapetovat obývací pokoj, jehoţ půdorys má tvar obdélníku s rozměry výška stropu je

. (strop a podlahu tapetovat nebudeme). Kolik metrů tapety

budeme potřebovat, jestliţe šířka tapety je

. (výsledek zaokrouhlete)

[44 m]

2) Chceme obloţit koupelnu dlaţdicemi, půdorys koupelny má tvar obdélníku s rozměry výška stropu je

. (strop obkládat nebudeme). Kolik metrů čtverečních dlaţdic

budeme potřebovat. (výsledek zaokrouhlete na jednotky)

[

3) Vypočítej: a)

b) [a) 6 623,3; b) 46,016]

4) Vypočítej: a)

b) [a) 2,4004; b) 13,975]

]


122

Desetinná čísla II Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Dělení desetinného čísla přirozeným číslem: Desetinnou čárku zapíšeme do podílu ihned potom, jakmile ji překročíme v dělenci:

Kontrola výsledků při dělení: Kontrolu provedeme tak, ţe podíl vynásobíme dělitelem a výsledkem musí být dělenec.

dělenec

podíl

dělitel

dělitel

podíl

dělenec

Úloha 2: Vypočtěte:

Podle potřeby při výpočtu doplňujeme za desetinnou čárkou nuly. Mezi dělencem a znakem dělení si necháváme větší mezeru.


Dělení se zbytkem: Počítáme podíl na JEDNOTKY

Počítáme podíl na DESETINY (na jedno desetinné místo)

Počítáme podíl na SETINY (na dvě desetinná místa)


123


Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta A Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d)

e)


b)

f)

e)

c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d) [a)

e) b)

c)

d)

e)

]

d)

e)

]

2) Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d) [a)

e) b)

c)

3) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

e) d)

e)

]

4) Vypočítej a proveďte zkoušku násobením: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

e) d)

e)

]

124


Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta B Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:



Příklady k procvičení: 1) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:

[86,24]

2) Dělte a výsledek zaokrouhlete na setiny:

[36,82]

3) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny:

[987,3]

4) Dělte a výsledek zaokrouhlete na desetiny:

[652,3]

125


126

Dělení desetinného čísla přirozeným číslem Varianta C Tloušťka knihy bez desek je 2,4 cm, kniha má 457 stran. Jaká je přibliţná tloušťka jednoho listu knihy (výsledek zaokrouhlete na desítitisíciny)?

Výsledek řešení: Přibliţná tloušťka jednoho listu knihy je 0,005 2 cm.


Příklady k procvičení: 1) Jeden list kancelářského papíru má hmotnost 80 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku, jehoţ hmotnost je 0,5 kg?

[6 250]

2) Jeden list tvrdého papíru má hmotnost 125 mg. Kolik kusů listů papíru bude v balíku, jehoţ hmotnost je 0,8 kg?

[6 400]

3) Vypočtěte: [134,14] 4) Vypočtěte: [111,09]


127

Desetinná čísla II Dělení desetinného čísla desetinným číslem Dělence i dělitele násobíme takovým číslem (10, 100, 1 000, …), aby dělitel byl přirozené číslo. Kdyţ vynásobíme dělence i dělitel stejným číslem, podíl se nezmění.

Dělenec i dělitel jsou nyní stokrát menší neţ předtím. Proto bude zbytek také stokrát menší, čili 0,04. Zkouška:

Násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. Nejprve vypočítáme vţdy to, co je v závorkách.



128

Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace A Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d)

e)


b)

d)

e)

c)


Příklady k procvičení: 1) Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

d)

]

2) Dělte zpaměti: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

d)

]

3) Dělte: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

d)

]

4) Dělte: a)

b)

c)

d)

[a)

b)

c)

d)

]


129

Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace B Napište místo otazníku znak nerovnosti. a) b)


b) 5


Příklady k procvičení: 1) Napište místo otazníku znak nerovnosti. [ ] 2) Napište místo otazníku znak nerovnosti. [ ] 3) Vypočti: [

]

4) Vypočti: [

]


130

Dělení desetinného čísla desetinným číslem Variace C Vodovodním kohoutkem nateče za minutu 8,5 litrů vody. Za kolik minut se z tohoto kohoutku naplní sud, do kterého se vejde 1 hl. (zaokrouhlete na desetiny) 1 minuta …

8,5 litrů

x minut …

1hl = 100 litrů

Vodovodním kohoutkem nateče 1 hl vody za 11,8 minut.


Příklady k procvičení: 1) Po obou stranách cesty dlouhé 1,4 km byly vysázeny švestky na vzdálenost 7,5 m. Kolik švestek je v aleji? (zaokrouhli na jednotky)

[374]

2) Litr vzduchu váţí 1,299 g, litr vodíku váţí 0,0898 g. Kolikrát je vodík lehčí neţ vzduch? (zaokrouhli na desetiny)

[14,5 krát]

3) Určete, kolikrát je desetina čísla 539 větší neţ setina čísla 49.

[110 krát]

4) Číslo 17,2 zmenšete o 5,98, rozdíl násobte deseti a součin dělte číslem 1,02. Jaké číslo dostanete?

[110]


131

Dělitelnost čísel Dělitel Jestliţe při dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je zbytek nula, pak říkáme, ţe dělení je beze zbytku.

Zbytek je nula, dělení proběhlo beze zbytku. Říkáme: Číslo 81 je dělitelné třemi. Číslo 3 je dělitelem čísla 81. Jestliţe dělení přirozeného čísla přirozeným číslem je s nenulovým zbytkem, pak říkáme, ţe dělení je se zbytkem.

Zbytek není nula, dělení proběhlo se zbytkem. Říkáme: Číslo 71 není dělitelné třemi. Číslo 3 není dělitelem čísla 71. Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má alespoň dva různé dělitele: Číslo 1 a samo sebe.



132

Dělitel Varianta A Zjisti a zapiš ta z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, která jsou děliteli čísla 648. Výsledek řešení:

Děliteli čísla 648 jsou čísla, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 45

b) 102

c) 72

[a) 3, 5 b) 2, 3, 6 c) 2, 3, 4, 6]

2) Zapiš, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6 je dělitelné číslo: a) 88

b) 95

c) 156

[a) 2, 4 b) 5 c) 2, 3, 4, 6]


b) 753

c) 691

[a) 2, 3, 4, 5, 6 b) 3 c) ţádným]


b) 803

c) 244

[a) 3, 5 b) ţádným c) 2, 4]


Dělitel Varianta B Najděte všechna čísla, která dělí číslo 100.

Výsledek řešení: Číslo 100 je dělitelné 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100


Příklady k procvičení: 1) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 81.

[1, 3, 9, 27, 81]

2) Najděte všechna čísla, která dělí číslo 64.

[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64]


[1, 2, 4, 5, 7, 10, 20, 28, 35, 70, 140]


[1, 5, 25, 125]

133


134

Dělitel Varianta C K závodům na 60 m se přihlásilo 35 ţáků. Mají běţet ve stejně velkých skupinách. Kolik ţáků můţe být ve skupině? (určete všechny moţnosti)

Výsledek řešení: 1 skupina … 35 ţáků 5 skupin …

po 7 ţácích

7 skupin …

po 5 ţácích

35 skupin … po 1 ţákovi

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Petr přečetl v průměru víc neţ jednu knihu za měsíc. Celkem jich za rok přečetl méně neţ 20 a jejich počet byl dělitelný šesti. Kolik knih přečetl za rok?

[18]

2) V obci je postaveno víc neţ 150 a méně neţ 170 domů. Jejich počet je dělitelný 24. Kolik domů má obec?

[168]

3) V divadle jsou řady po 14 sedadlech. Celkový počet míst je větší neţ 320 a menší neţ 330. Kolik je v divadle sedadel?

[322]

4) Kolika ţákům můţeme rozdělit 34 listů papíru, chceme-li, aby všichni dostali stejný počet celých listů?

[2, 17, 34]


Dělitelnost čísel Násobek jednonásobek čísla 6 dvojnásobek čísla 6 trojnásobek čísla 6 čtyřnásobek čísla 6 pětinásobek čísla 6 …

…

Čísla 6, 12, 18, 24, 30, … jsou násobky šesti.

Číslo 36 je násobkem dvanácti, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné dvanácti. Číslo 36 je násobkem tří, je totéţ, jako číslo 36 je dělitelné třemi.


135


136

Násobek Varianta A Určete číslo, jehoţ a) pětinásobek je 100 b) sedminásobek je 91 c) dvojnásobek je 118 d) trojnásobek je 156

a) b) c) d)

Výsledek řešení: a) 20, b) 13, c) 59, d) 52 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypiš z čísel 6, 15, 24, 28, 30, 35, 40, 54, 64, 72 všechny násobky čísla 6. [6, 24, 30, 54, 72] 2) Vypiš z čísel 16, 25, 32, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 82 všechny násobky čísla 8. [16, 32, 48, 64, 72] 3) Vypiš z čísel 9, 18, 28, 34, 45, 52, 54, 61, 67, 72, 82 všechny násobky čísla 9. [9, 18, 45, 54, 72] 4) Vypiš z čísel 14, 24, 35, 42, 50, 54, 61, 63, 72, 84 všechny násobky čísla 7. [14, 35, 42, 63, 84]


137

Násobek Varianta B Určete číslo, jehoţ a) pětinásobek je 220 b) osminásobek je 128 c) dvojnásobek je 302 d) trojnásobek je 501

a) b) c) d)

Výsledek řešení: a) 45, b) 16, c) 151, d) 167

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napište všechny násobky 14, které jsou větší neţ 100 a menší neţ 200. [112, 126, 140, 154, 168, 182, 196] 2) Napište všechny násobky 11, které jsou větší neţ 90 a menší neţ 160. [99, 110, 121, 132, 143, 154] 3) Vypište všechna čísla mezi čísly 30 aţ 80, která jsou násobky tří a zároveň dvou. [36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78] 4) Vypište všechna čísla mezi čísly 25 aţ 100, která jsou násobky čtyř a zároveň tří. [36, 48, 60, 72, 84, 96]


138

Násobek Varianta C V bramborárně Beskyd, zasadili na jaře 5 680 kg brambor a sklidili 12krát více. Kolik tun brambor zemědělci sklidili?

Zemědělci sklidili 68,16 tun brambor.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Které číslo je větší a o kolik, pětinásobek čísla 162, nebo šestinásobek čísla 135? [jsou obě stejné]

2) Vypočítej rozdíl čtyřnásobku čísla 51 a devítinásobku čísla 19.

[33]

3) Vypočítej součin trojnásobku čísla 37 a devítinásobku čísla 25.

[24 975]

4) Vypočítej dvanáctinásobek čísla 40 a pětinásobek čísla 14.

[480, 70]


139

Dělitelnost čísel Dělitelnost deseti a pěti Dělitelnost deseti: Čísla dělitelná deseti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici nula 0. Například: 10, 20, 30, …, 830, 1 020, … Dělitelnost pěti: Čísla dělitelná pěti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek číslici nula 0 nebo pět 5. Například: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …, 655, 660, …

Dělitelnost stem: Čísla dělitelná stem jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě desítek i na místě jednotek číslici nula 0. Například: 100, 200, …, 1 800, 1 900, … Čísla, která nejsou dělitelná stem: 208, 409, 5 603, 789



140

Dělitelnost deseti a pěti Varianta A Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 0, 1, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 1 450, 1 540, 4 150, 4 510, 5 140, 5 410. b) aby číslo bylo dělitelné pěti, a nedělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici pět. 1 405, 1 045, 4 105, 4 015.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 2, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 2 350, 2 530, 3 250, 3 520, 5 230, 5 320 b) 2 305, 2 035, 3 205, 3 025]

2) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 9, 5, 7, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) jsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 7 950, 7 590, 9 750, 9 570, 5 790, 5 970 b) 7 905, 7 095, 9 705, 9 075]


141

3) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 1, 5, 2, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 1 250, 1 520, 2 150, 2 510, 5 120, 5 210 b) 1 052, 1 502, 2 051, 2 501, 5 102, 5 012, 5 201, 5 021]

4) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 8, 5, 4, 0, která jsou dělitelná a) deseti b) nejsou dělitelná pěti, nejsou dělitelná deseti [a) 8 450, 8 540, 4 850, 4 580, 5 840, 5 480 b) 8 054, 8 504, 4 058, 4 508, 5 804, 5 084, 5 804, 5 084]


142

Dělitelnost deseti a pěti Varianta B Zapiš, která z čísel: 230, 405, 1 560, 9 002, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75 jsou dělitelná a) deseti b) pěti c) stem Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 230, 1 560, 10 100, 2 700 b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu. 230, 405, 1 560, 8 065, 10 100, 385, 2 700, 6 085, 75 c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu. 10 100, 2 700

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná: 3 203, 605, 6 500, 3 005, 8 752, 10 155, 975, 2 900, 6 089, 175, 6 005 a) deseti b) pěti c) stem [a) 6 500, 2 900 b) 605, 6 500, 3 005, 10 155, 975, 2 900, 175, 6 005 c) 6 500, 2 900]


143

2) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná: 5 205, 615, 6 006, 4 300, 2 652, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500 a) deseti b) pěti c) stem [a) 4 300, 10 050, 6 500 b) 5 205, 615, 4 300, 10 050, 1 405, 665, 6 500 c) 4 300, 6 500]

3) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná: 5 502, 656, 6 005, 300, 2 625, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 500 a) deseti b) pěti c) stem [a) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 1 404, 4 055, 5 877 b) 5 502, 656, 1 404, 5 877 c) 5 502, 656, 6 005, 2 625, 13 050, 1 40, 4 055, 5 877]

4) Zapiš, která z čísel nejsou dělitelná: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 a) deseti b) pěti c) stem [a) 402, 635, 1 304, 1 302, 5 905, 9 757, 10 001 b) 402, 1 304, 1 302, 9 757, 10 001 c) 402, 635, 1 304, 4 020, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001]


144

Dělitelnost deseti a pěti Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 893 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné deseti, musí mít na místě jednotek číslici nulu. 900 b) aby číslo bylo dělitelné pěti, musí mít na místě jednotek číslici pět nebo nulu. 895 c) aby číslo bylo dělitelné stem, musí mít na místě desítek a jednotek číslici nulu. 900

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 18 930 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 18 940, b) 18 935, c) 19 000]


145

2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 10 891 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 10 900, b) 10 895, c) 10 900]

3) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 5 899 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 5 890, b) 5 895, c) 5 800]

4) Zapiš největší čtyřciferné číslo, které je menší neţ 1 973 a je dělitelné a) deseti b) pěti c) stem [a) 1 970, b) 1 970, c) 1 900]


146

Dělitelnost čísel Dělitelnost dvěma Dělitelnost dvěma: Čísla dělitelná dvěma jsou všechna taková přirozená čísla, která mají na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8. Například: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 324, 326, … Pomocí dělitelnosti dvěma rozlišujeme čísla, zda jsou sudá, nebo lichá. Čísla, která jsou dělitelná dvěma, se nazývají sudá. Čísla, která nejsou dělitelná dvěma, se nazývají lichá. Například: SUDÁ

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

…

LICHÁ

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

…

Dělitelnost čtyřmi: Čísla dělitelná čtyřmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. 7 516 – je dělitelné čtyřmi. 8 254 – není dělitelné čtyřmi.

Dělitelnost osmi: Čísla dělitelná osmi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají poslední trojčíslí dělitelné osmi. 7 696 – je dělitelné osmi. 8 523 – není dělitelné osmi.


147

Dělitelnost dvěma Varianta A Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná a) dvěma b) jsou lichá Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek číslici 0, 2, 4, 6, 8. 1 720, 1 270, 1 072, 1 702, 2 170, 2 710, 7 120, 7 102, 7 210, 7 012, b) aby číslo bylo liché, nesmí být dělitelné dvěma. 1 207, 1 027, 2 107, 2 701, 2 071, 2 017, 7 201, 7 021,

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 1, 0, která jsou dělitelná dvěma. [1 350, 1 530, 3 150, 3 510, 5 130, 5 310]

2) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 9, 5, 7, 4, která jsou dělitelná dvěma. [7 954, 7 594, 9 754, 9 574, 5 794, 5 974]


148

3) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 8, 5, 2, 0, která jsou dělitelná. a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 8 250, 8 520, 8 502, 8 052, 2 850, 2 580, 2 508, 2 058, 5 820, 5 280, 5 082, 5 028, 5 802, 5 208 b) 8 520, 8 052, 2 580, 2 508, 5 820, 5 280, 5 028, 5 208 c) 8 520, 5 280, 5 208]

4) Zapiš všechna čtyřciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 4, 0, která jsou dělitelná. a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 430, 6 340, 6 304, 6 034, 4 630, 4 360, 4 306, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 046, 3 604, 3 406 b) 6 340, 6 304, 4 360, 4 036, 3 640, 3 460, 3 064, 3 604, c) 6 304, 4 360, 3 640, 3 064]


149

Dělitelnost dvěma Varianta B Zapiš, která z čísel: 280, 405, 1 560, 9 002, 8 064, 10 100, 385, 2 700, 6 084, 72 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. 280, 1 560, 9 002, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72 b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi 280, 1 560, 8 064, 10 100, 2 700, 6 084, 72 c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi. 280, 1 560, 8 064, 72

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel: 3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 3 240, 650, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088, b) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 972, 2 996, 6 088, c) 3 240, 6 504, 3 008, 8 752, 6 088]


2) Zapiš, která z čísel: 5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 405, 2 904, 4 051, 665, 6 500 jsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 5 208, 616, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 2 904, 6 500 b) 5 208, 616, 4 300, 2 904, 6 500 c) 5 208, 616, 2 904]

3) Zapiš, která z čísel: 5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436 nejsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 005, 4 055, 5 877 b) 6 005, 13 050, 4 055, 5 877, c) 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436]

4) Zapiš, která z čísel: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 nejsou dělitelná a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 635, 5 905, 9 757, 10 001 b) 402, 635, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 c) 402, 635, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001]

150


Dělitelnost dvěma Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 29 689 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. 29 690 b) aby číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi 29 692 c) aby číslo bylo dělitelné osmi, musí být poslední trojčíslí dělitelné osmi. 29 696

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 8 932 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 8 934, b) 8 936, c) 8 936]

151


2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 6 896 a je dělitelné a) dvěma b) čtyřmi c) osmi [a) 6 898, b) 6 900, c) 6 904]

3) Zapiš všechny násobky 8, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 232 a 268. [240, 248, 256, 264]

4) Zapiš všechny násobky 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 123 a 143. [124, 128, 132, 136, 140]

152


153

Dělitelnost čísel Dělitelnost třemi Dělitelnost třemi: Čísla dělitelná třemi jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný třemi. Ciferný součet. Součet všech číslic (cifer) čísla je jeho ciferný součet. 659 6 + 5 + 9 = 20

892 8 + 9 + 2 = 19

10 001 1+0+0+0+1=2 Příklad čísel, dělitelných třemi: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …, 342, …, 894, … Dělitelnost devíti: Čísla dělitelná devíti jsou všechna taková přirozená čísla, která mají ciferný součet dělitelný devíti. 78 534 – je dělitelné devíti 18 082 – není dělitelné devíti



154

Dělitelnost třemi Varianta A Zapiš všechna čísla sestavená z číslic: 7, 2, 0, 1, která jsou dělitelná (čísla se nesmí opakovat) a) třemi b) devíti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 12, 21, 27, 72, 102, 120, 201, 210, 207, 270, 720, 702, b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti. 27, 72, 207, 270, 720, 702,

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 3, 5, 4, 0, která jsou dělitelná: a) třemi b) devíti [a) 540, 504, 405, 450, 345, 354, 453, 435, 543, 534 b) 540, 504, 405, 450]

2) Zapiš všechna trojciferná čísla sestavená z číslic: 8, 0, 1, 5, která jsou dělitelná: a) třemi b) devíti [a) 801, 810, 108, 180, 501, 510, 105, 150 b) 801, 810, 108, 180]


3) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 4, 5, 6, 0, která nejsou dělitelná pěti a zároveň jsou dělitelná. a) třemi b) devíti [a) 54, 504, 456, 546, 564, 654, b) 54]

4) Zapiš všechna dvojciferná, trojciferná čísla sestavená z číslic: 6, 3, 2, 1, která nejsou dělitelná dvěma a zároveň jsou dělitelná. a) třemi b) devíti [a) 63, 321, 123, 213, 231, 621, 261 b) 621, 261]

155


156

Dělitelnost třemi Varianta B Zapiš, která z čísel: 180, 405, 1 560, 9 002, 8 064, 10 101, 385, 2 700, 6 084, 72 jsou dělitelná a) třemi b) devíti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 180, 405, 1 560, 8 064, 10 101, 2 700, 6 084, 72 b) aby číslo bylo dělitelné devíti, musí být ciferný součet číslic dělitelný devíti. 180, 405, 8 064, 2 700, 6 084, 72

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš, která z čísel: 3 240, 650, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 2 996, 6 088, 175, 6 105 jsou dělitelná a) třemi b) devíti [a) 3 240, 6 504, 4 008, 8 742, 10 185, 972, 6 105 b) 3 240, 972]


2) Zapiš, která z čísel: 5 208, 612, 6 006, 4 300, 2 654, 10 050, 1 305, 2 904, 4 051, 665, 6 501 jsou dělitelná a) třemi b) devíti [a) 5 208, 612, 6 006, 10 050, 1 305, 2 904, 6 501 b) 612, 1305]

3) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná: 5 504, 656, 6 005, 300, 2 628, 13 050, 1 404, 9 900, 4 055, 5 877, 6 436 a) třemi b) devíti [a) 5 504, 656, 6 436 b) 5 504, 656, 300, 6 436]

4) Zapiš, která z čísel jsou dělitelná dvěma a nejsou dělitelná: 402, 635, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302, 5 905, 4 050, 9 757, 10 001 a) třemi b) devíti [a) 4 400, 1 304 b) 402, 4 400, 1 304, 4 020, 15 000, 1 302]

157


158

Dělitelnost třemi Varianta C Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 49 658 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. Výsledek řešení: aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí mít na místě jednotek 0, 2, 4, 6, 8. aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet dělitelný třemi. 49 662

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 10 974 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. [10 980]

2) Zapiš nejmenší číslo, které je větší neţ 36 806 a je dělitelné dvěma a zároveň třemi. [36 810]

3) Zapiš všechny násobky 3 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 295 a 365. [300, 312, 324, 336, 348, 360]

4) Zapiš všechny násobky 9 a zároveň 4, které jsou na číselné ose zobrazeny mezi čísly 154 a 265. [180, 216, 252]


159

Dělitelnost čísel Prvočísla a čísla složená Číslo 1 má jen jednoho dělitele a to je číslo 1. Kaţdé přirozené číslo větší neţ 1 má aspoň dva dělitele, číslo 1 a samo sebe. Čísla, která mají právě dva různé dělitele (číslo 1 a samo sebe), se nazývají PRVOČÍSLA: Například: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Prvočíslo je dělitelné pouze číslem 1 a sebou samým. Čísla, která mají více neţ dva dělitele, se nazývají SLOŢENÁ ČÍSLA: Například: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … Kaţdé sloţené číslo se dá rozloţit na součin prvočísel.

Postup při rozkládání přirozeného čísla na součin prvočísel: 1) postupné dělení

2) sestavení „ţebříku“ 72

2

36

2

18

2

9

3

3

3

1


3) sestupující „vodopád“ 72

2

36

2

18

2

9

3

3

3


1

160


161

Prvočísla a čísla složená Varianta A Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 33, 35, 41, 42, 45, 49, 51, 53, 54, 57, 58, 59, 60. Výsledek řešení: Prvočíslo je číslo, které má pouze dva dělitele, 1 a samo sebe. Prvočísla jsou: 41, 53, 59.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 63, 67, 69, 75, 83, 89, 97, 101, 102, 104, 209, 894 [67, 83, 89, 97, 101, 209] 2) Rozhodni, která z čísel jsou prvočísla. 64, 68, 70, 71, 73, 77, 79, 81, 87, 93, 99, 103, 153 [71, 73, 79, 103] 3) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 10 aţ 25. [11, 13, 17, 19, 23] 4) Vypište všechna prvočísla, která leţí mezi čísly 25 aţ 40. [29, 31, 37]


162

Prvočísla a čísla složená Varianta B Rozloţte číslo 30 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. Výsledek řešení: a) b) c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozloţte číslo 40 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. [a)

,

,

b)

,

c)

]

2) Rozloţte číslo 50 a) na dva činitele, b) na tři činitele c) na součin prvočísel. [a)

,

b)

, c)

]

3) Rozloţte číslo 252 na součin prvočísel. [

]

4) Rozloţte číslo 264 na součin prvočísel. [

]


163

Prvočísla a čísla složená Varianta C Najděte nejmenší číslo, které je moţno rozloţit: a) na součin tří různých činitelů, z nichţ ani jeden není 1 b) na součin tří různých prvočísel c) na součin čtyř různých prvočísel. Výsledek řešení: a) b) c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Které největší dvojciferné číslo se dá rozloţit na součin dvou prvočísel? [95] 2) Číslo 17 je prvočíslo. Záměnou jeho číslic dostanete číslo 71, které je rovněţ prvočíslo. Najděte další dvojciferná čísla, která mají tuto vlastnost. [11, 13, 31, 37, 73] 3) Rok Dantova narození je násobkem prvočísel 5, 11 a 23. Rok jeho úmrtí je prvočíslo, které leţí mezi prvočísly 1 319 a 1 327. Určete rok narození a rok úmrtí. [1 265, 1 321] 4) Součet tří po sobě jdoucích prvočísel je a) 31, b) 97. Která jsou to prvočísla? [a) 7, 11, 13, b) 29, 31, 37]


164

Dělitelnost čísel Společní dělitelé Úloha 1: Najděte společné dělitele čísel 20 a 60. 1) Rozloţíme obě čísla na součin prvočísel.

2) Vypíšeme všechny dělitele čísel 20 a 70. 20 má dělitele 1, 2, 4, 5, 10, 20, 90 má dělitele 1, 2, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45, 90 Čísla 1, 2, 5, 10, jsou děliteli čísla 20 i čísla 90. Jsou to SPOLEČNÍ DĚLITELÉ čísel 20 a 90. Číslo 10 je NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL čísel 20 a 90 značíme jej D(20, 90). D(20, 90) = 10 Kaţdý společný dělitel čísel je dělitelem největšího společného dělitele těchto čísel. Pokud největší společný dělitel čísel je číslo 1, pak čísla nazýváme nesoudělnými čísly. D(27, 5) = 1. Čísla 5 a 27 jsou nesoudělná čísla. NESOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je 1.

D(27, 15) = 3. Čísla 15 a 27 jsou soudělná čísla. SOUDĚLNÁ ČÍSLA jsou taková čísla, jejichţ největší společný dělitel je větší neţ 1. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


165

Společní dělitelé Varianta A Určete všechny společné dělitele čísel: 60, 80 Výsledek řešení:

Společní dělitelné čísel 60 a 80 jsou: 2, 4, 5, 10, 20. Největší společný dělitel čísel 60 a 80 je 20.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete největšího společného dělitele čísel: 42 a 75.

[3]

2) Určete největšího společného dělitele čísel: 27 a 90.

[9]

3) Určete největšího společného dělitele čísel: 14, 24 a 34.

[2]

4) Určete největšího společného dělitele čísel: 48, 66 a 78.

[6]


166

Společní dělitelé Varianta B Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 11, 21

b) 31, 93

c) 19, 45

d) 24, 162

e) 14, 74

f) 27, 101

Výsledek řešení: Nesoudělná jsou taková čísla, která mají společného dělitele pouze jedničku 1. Nesoudělné dvojice čísel jsou: a) 11, 21

c) 19, 45

f) 27, 101

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 3, 21

b) 30, 37

c) 15, 65

d) 45, 52

e) 48, 120

f) 23, 115 [b), d)]

2) Určete, které dvojice čísel jsou nesoudělné. a) 13, 52

b) 22, 55

c) 16, 68

d) 54, 106

e) 41, 12

f) 21, 101 [e), f)]

3) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 56. [3, 9, 11, 13, 17, 19, 23] 4) Napiš všechna čísla, která jsou menší neţ 25 a jsou nesoudělná s číslem 76. [3, 5, 7, 11, 13, 17, 23]


167

Společní dělitelé Varianta C Při závodech soutěţilo 210 sportovců na třech hřištích. Na prvním bylo 105 sportovců, na druhém 60 a na třetím všichni ostatní. Na jednotlivých hřištích se sportovci rozdělili do skupin, a to tak, ţe kaţdá skupina, ať soutěţila v kterékoliv disciplíně, měla stejný počet členů. Vytvořené skupiny byly co největší. Kolik sportovců závodilo ve skupině? Výsledek řešení: 1. hřiště … 105 2. hřiště … 60 3. hřiště … 45 Musíme najít největšího společného dělitele čísel 105, 60, 45.

V kaţdé skupině bylo 15 sportovců.



168

Příklady k procvičení: 1) V květinářství dostali 72 bílých a 96 červených růţí. Kolik kytic nejvýše mohou svázat ze všech těchto růţí, jestliţe kaţdá kytice má mít stejný počet bílých růţí a stejný počet červených růţí?

[24]

2) Na výletě rozdělovali dětem 252 jablek, 396 ořechů a 108 čokoládových tyčinek, rozdělili je spravedlivě, tj. všechny děti dostaly stejný počet jablek, stejný počet ořechů a stejný počet tyčinek. Vypočítejte, kolik dětí bylo na výletě, kdyţ víte, ţe jich bylo víc neţ 30. Co kaţdé dítě dostalo?

[36 dětí, 7 jablek, 11 ořechů, 3 tyčinky]

3) Ve třídě mají ţáci celkem 416 sešitů a 224 učebnic. Kaţdý ţák má stejný počet sešitů a stejný počet učebnic. Určete, kolik ţáků je ve třídě, víte-li, ţe jich je víc neţ 30. [32] 4) Máte 200 perníků, 240 bonbónů a 360 ořechů a chcete je rozdělit do balíčků tak, aby všechny balíčky byly stejné. Kolik nejvýše stejných balíčků můţete připravit? Co bude v kaţdém balíčku?

[40 balíčků, 5 perníků, 6 bonbónů, 9 ořechů]


169

Dělitelnost čísel Společné násobky Úloha 2: Najděte společné násobky čísel 6 a 9, které jsou menší neţ 140. Násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132 Násobky 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135 Čísla 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 jsou násobky čísla 6 a čísla 9. Jsou to SPOLEČNÉ NÁSOBKY čísel 6 a 9. Číslo 18 je NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK čísel 6 a 9. Nejmenší společný násobek čísel 6 a 9 značíme n(6, 9) n(6, 9) = 18 Nejmenší společný násobek čísel je dělitelem kaţdého společného násobku těchto čísel. Postup při hledání nejmenšího společného násobku. n(36, 27) 1) rozloţíme obě čísla na součiny prvočísel:

2) nalezneme nejmenší součin prvočísel, který obsahuje rozklady obou čísel:

Číslo 108 je nejmenším násobkem čísel 27 a 36.


170

Dělitelnost šesti: Čísla dělitelná šesti jsou všechna taková přirozená čísla, která jsou současně dělitelná dvěma a třemi. 864 – je dělitelné šesti 890 – není dělitelné šesti

Nejmenší společný násobek nesoudělných čísel je součin těchto čísel.



171

Společné násobky Varianta A Vypište všechny násobky čísla 8 menších neţ 100. Výsledek řešení:

Násobky čísla 8 menších neţ 100 jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete všechny násobky čísla 9 menších neţ 80:

[9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72]

2) Určete všechny násobky čísla 7 menších neţ 65:

[7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63]

3) Určete všechny společné násobky čísel: 4 a 6 menších neţ 90. [12, 24, 36, 48, 60, 72, 84] 4) Určete všechny společné násobky čísel: 3 a 7 menších neţ 90. [21, 42, 63, 84, 105 ]


172

Společné násobky Varianta B Určete nejmenší společný násobek čísel 16 a 28. Výsledek řešení:

Nejmenší společný násobek čísel 16 a 28 je 112.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete nejmenší společný násobek čísel 18 a 32.

[288]

2) Určete nejmenší společný násobek čísel 12 a 28.

[84]

3) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 8 a 15.

[120]

4) Určete nejmenší společný násobek čísel 6, 9 a 21.

[126]


173

Společné násobky Varianta C Zapište, která z čísel: 240, 650, 604, 4 008, 842, 185, 92, 296, 2 088, 174, 6 105 jsou dělitelná a) třemi b) dvěma c) šesti Výsledek řešení: a) aby číslo bylo dělitelné třemi, musí být ciferný součet číslic dělitelný třemi. 240, 4 008, 2 088, 174, 6 105 b) aby číslo bylo dělitelné dvěma, musí být na místě jednotek číslice 0, 2, 4, 6, 8 240, 650, 604, 4 008, 842, 92, 296, 2 088, 174 c) aby číslo bylo dělitelné šesti, musí být dělitelné dvěma i třemi zároveň 240, 4 008, 2 088, 174 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti: 504, 656, 66, 300, 2 628, 357, 1 404, 900, 405, 877, 426 [66, 300, 2 628, 1 404, 900, 405, 426] 2) Zapište, která z čísel jsou dělitelná šesti: 208, 616, 6 006, 303, 684, 57, 140, 903, 451, 662, 552 [6 006, 303, 684, 57, 903, 552] 3) Jirka si chce koupit sešity po 18 korunách. Ani on, ani prodavačka nemají drobnější peníze neţ desetikoruny. Kolik sešitů musel nejméně koupit, aby mohl zaplatit pouze desetikorunami.

[5 sešitů]

4) Třída je dlouhá 9 m. Šířka třídy je menší a lze ji přejít stejně dlouhými kroky délky 40 cm nebo 55 cm. Určete šířku třídy.

[8 m]

ARITMETIKA - PRIMA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Recommend Documents