ANALÍZIS II. Előadást követő vázlatok
Differenciálszámítás A derivált (differenciálhányados) Definíció: f : a, b → ℜ és x 0 ∈ a, b . Az f függvény deriválható (differenciálható) az x 0 pontban, ha
létezik a (1) lim
x → x0
f (x ) − f (x 0 ) = f ′( x 0 ) -lal jelölt véges határérték. x − x0
Ezt az f ′(x 0 ) -al jelölt határétéket az f x 0 pontbeli deriváltjának (differenciálhányadosának) nevezzük. Használatosak még az
f ( x 0 );
df df ( x ) dy / x = x0 ; / x = x 0 ; y ′( x 0 ); / x = x 0 jelölések. dx dx dx
Ha (1)-ben féloldali határértéket tekintünk, akkor a féloldali derivált fogalmához jutunk. Jelölése f −′ ( x 0 ) , ill. f +′ ( x 0 ) (baloldali, ill. jobboldali derivált) T:
f ⇔ deriválható x 0 -ban ha ott létezik mindkétoldali féloldali derivált és ezek
megegyeznek. Definíció:
Ha f : a, b → ℜ függvény az a, b minden pontjában deriválható, akkor azt mondjuk, hogy f deriválható a, b -n.
Ekkor (1) szerint adott f ′ : a, b → ℜ függvény, melyet f derivált függvényének nevezzük.
Geometriai jelentés (ábrát lásd az előadáson) f (x ) − f (x 0 ) differenciahányados x − x0
lim
x → x0
f (x ) − f (x 0 ) = tg α differenciálhányados x − x0
Más jelölés: lim h→0
f (x 0 + h ) − f (x 0 ) h
A differenciahányadosra gyakran
∆f ( x ) ∆y , ill. jelölést is használjuk. ∆x ∆x
1
A deriválhatóság és folytonosság kapcsolata
T: Ha az f : a, b → ℜ függvény deriválható az x 0 ∈ a, b pontban, akkor f folytonos x 0 ban. Bizonyítandó: lim f ( x ) = f ( x 0 ) az lim ( f (x ) − f ( x 0 )) = 0 x → x0
x → x0
f (x ) − f (x 0 ) f (x ) − f (x 0 ) (x − x 0 ) = xlim ⋅ lim ( x − x 0 ) = → x0 x → x0 x − x0 x−x
lim ( f ( x ) − f ( x 0 )) = lim
x → x0
x → x0
= f ′( x 0 ) ⋅ 0 = 0
A tétel megfordítása nem igaz. Pl.: f (x ) = x folytonos az x 0 = 0 helyen, de nem deriválható a x 0 = 0 helyen. lim+
x →0
lim−
x →0
x −0 x−0
x −0 x−0
= lim+
x =1 x
= lim−
−x = −1 x
x →0
x →0
A deriválhatóság és a műveletek
T: Ha f , g : a, b → ℜ függvények deriválhatóak az x 0 ∈ a, b pontban, akkor az a) F = f ± g b) F = c ⋅ f
(c ∈ ℜ)
c) F = f ⋅ g és d) g ( x 0 ) ≠ 0 esetén F =
f is deriválható x 0 -ban és g
a) F ′( x 0 ) = f ′( x 0 ) ± g ′( x 0 ) b) F ′( x 0 ) = c ⋅ f ′( x 0 ) c) F ′( x 0 ) = f ′( x 0 ) ⋅ g (x 0 ) − f ( x 0 ) ⋅ g ′( x 0 ) d) F ′( x 0 ) =
f ′( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) − f (x 0 ) ⋅ g ′( x 0 ) g 2 (x 0 )
2
Bizonyítás: a) házi feladat b) házi feladat c) lim
x → x0
F (x ) − F (x 0 ) f ( x )g ( x ) − f ( x 0 )g ( x 0 ) f ( x )g ( x ) − f ( x 0 )g ( x ) − f ( x 0 )g ( x 0 ) = = lim = lim x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 x − x0
f (x ) − f (x 0 ) g (x ) − g (x 0 ) = lim g ( x ) + f (x 0 ) = f ′( x 0 )g ( x 0 ) + f ( x 0 )g ′( x 0 ) x → x0 − − x x x x 0 0
Ugyanis x → x 0 esetén g (x ) → g ( x 0 ) a g folytonossága miatt.
d)
f (x ) f (x o ) − F (x ) − F (x o ) g (x ) g (x o ) lim = lim = x → xo x → xo x − xo x − xo = lim
x → xo
f (x )g ( x o ) − f (x o ) ⋅ g ( x ) + f ( x o )g ( x o ) − f ( x o )g ( x o ) 1 = g(x) ⋅ g(x o )
f (x ) − f (x o ) g (x ) − g (x o ) 1 g (x o ) − f (x o ) = x → xo g ( x )g ( x ) x − xo o x − xo f ′( x o )g ( x o ) − f ( x o )g ′( x o )
= lim =
g 2 (x o ) ugyanis g folytonossága miatt x → x o esetén g ( x ) → g (x o ) .
Az összetett függvény deriváltja
T: ! g :< a, b > →< c, d > és f :< c, d > → R/ (Lánc-szabály) Ha a g függvény deriválható x o ∈< a, b > -ban és a f függvény deriválható g ( x o ) ∈< c, d > -ban, akkor a F = f o g is deriválható x o -ban és F ′( x o ) = f ′( g ( x o )) ⋅ g ′( x o ) F (x ) − F (x o ) f ( g ( x )) − f ( g ( x o )) lim = lim = Biz: x → xo x x → o x − xo x − xo f ( g ( x )) − f ( g ( x o )) g ( x ) − g ( x o ) = = lim x → xo g (x ) − g (x o ) x − xo f ( g ( x )) − f ( g ( x o )) g (x ) − g (x o ) = f ′( g ( x o )) ⋅ g ′( x o ) ⋅ lim = lim g ( x )→ g ( xo ) x → xo g (x ) − g (x o ) x − xo ugyanis x → x o esetén g folytonossága miatt g ( x ) → g (x o ) .
3
Az inverz függvény deriváltja
T: Ha f :< a, b >→ R/ szigorúan monoton folytonos függvény < a, b > -n és x o ∈< a, b > -ben
f ′( x o ) ≠ 0, akkor f
is deriválható f ( x o ) -ban és 1 f −1′ ( f ( x o )) = f ′( x o ) * Ha az x o pontban f ′( x o ) = 0, akkor f −1 nem deriválató az f ( x o ) -ban. −1
B: Mivel f szigorúan monoton és folytonos ezért f −1 is szigorúan monoton és folytonos. f −1 ( f (x )) − f −1 ( f ( x o )) 1 1 = lim lim = f ( x )→ f ( xo ) y → xo f ( x ) − f ( x ) f (x ) − f (x o ) f ′( x o ) o x − xo Ugyanis f ( x ) → f ( x o ) akkor x = f
* Bizonyítás: Indirekt: Tegyük fel, hogy f f
−1
f
−1
−1
−1
( f (x )) →
f
−1
( f (x o )) = x o
f ( x o ) -ban deriválható, akkor
( f (x )) = x deriváltja az x o helyen az összetett függvény deriváltja szerint. ( f (x o )) ⋅ f ′(x o ) = 1, ami ellentmond f ′(x o ) = 0 -nak.
Megjegyzés: 1) a, kiterjeszthető tetszőleges n tagot tartalmazó összegre. 2) c, n tényezős szorzat esetén ( f 1 ⋅ f 2 ... ⋅ f n )′ = f 1′⋅ f 2 ... f n + f 1 ⋅ f 2′ ⋅ f 3 ... f n + ... + f 1 ⋅ f 2 ... ⋅ f n′
4
Az elemi függvények deriváltjai f az x pontban
f’ az x pontban
1.
c(c ∈ ℜ )
0
2.
x
1
3.
x n (n ∈ ℵ)
nx n −1
4.
x α (α ∈ ℜ )
αx α −1 1
5.
x
6.
sin x
cos x
7.
cos x
− sin x
8.
tg x
1 cos 2 x
9.
ctg x
−
10.
arcsin x
11.
arccos x
12.
arc tg x
1 1+ x 2
13.
arc ctg x
−1 1+ x 2
14.
ex
ex
15.
a x a ∈ℜ+ , a ≠ 1
a x ⋅ ln a
16.
ln x
1 x
17.
log a x a ∈ ℜ + , a ≠ 1
1 x ⋅ ln a
18.
ln x
1 x
2 x
(
1 1− x 2 −1 1− x 2
)
(
1 sin 2 x
)
5
Bizonyítás: 1) 2) 3)
triviális x − xo lim = 1. x → xo x − x o a, n = 1 -re igaz b, Tételezzük fel, hogy x n = n ⋅ x n −1 c, x n +1 = x ⋅ x n = x n + x ⋅ nx n −1 = x n (n + 1) x − xo x + xo ⋅ cos 2 sin sin x − sin x o 2 2 = = lim lim x → x x → xo o x − xo x − xo x − xo sin 2 ⋅ cos x + x o = cos x = lim o x → xo x − xo 2 2 π cos x = sin − x 2 ′ ′ π (cos x ) = sin − x = − cos π − x = − sin x 2 2 ′ (tg x )′ = sin x = cos x ⋅ cos x ⋅ 2+ sin x sin x = 12 cos x cos x cos x (ctg x )′ = cos x = − sin x sin x −2 cos x cos x = − 21 sin x sin x sin ! y = arcsin x 1 1 (arcsin x )′ = 1 ′ = 1 = = (sin y ) cos y cos arcsin x 1 − x 2
(
6,
7,
8, 9, 10,
11, 12, 13,
16,
) (
)
−1 1 −1 = = sin y sin ar cos x 1− x2 (ar ctg x )′ = 1 = cos 2 y = cos 2 arc tg x = 1 2 (tg y ) 1+ x (ar ctg x )′ = 1 = − sin 2 y (− sin 2 arc tg x = − 1 2 −1 1+ x 2 sin y x 1 ln x x − xo xo ln x − ln x o lim = lim = lim ln = x → xo x → xo x − x x → xo x − xo o xo
(arccos x )′ =
6
x + x − xo = lim ln o x → xo xo
1 x − xo
1 = lim ln1 + x → xo xo x − xo
xo
17, 15,
14, 4,
5, 18.
x − xo 1 1 1 1 = ln lim 1 + = ln e = x x → xo o xo xo xo x − xo (log a x )′ = ln x = 1 ln a x ⋅ ln a y = ax
x = log a y 1 1 y′ = = = y ln a = a x ln a ′ 1 (log a y ) y ln a ′ e x = e x ⋅ ln e = e x
( )
x α = e α ⋅ln x (x α )′ = eα ⋅ln x ⋅α ⋅ 1x = α x α −1 1 !α = 2 !x > 0 ln x = ln x
(ln x )′ = 1 x
!x < 0
ln x = ln (− x )
(ln(− x ))′ = 19.
20. 21. 22.
1 1 ⋅ (− 1) = −x x
(sh x )′ = ch x (ch x )′ = sh x (th x )′ = 12
ch x (cth x )′ = −21 sh x
7
xo
x − xo
⋅
1 xo
=
Logaritmikus deriválás
! y = f (x ) ln y = g (x ) ln f ( x ) g (x )
y = e g ( x ) ln f ( x ) 1 y ′ = e g ( x ) ln f ( x ) g ′( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′( x ) f (x )
Magasabbrendü deriváltak
D: ! f :< a, b >→ R/ és x o ∈< a, b >, és tekintsük az f függvény f ′ deriváltfüggényét. Ha f ′ deriválható x o -ban azaz létezik a f ′( x ) − f ′( x o ) = f ′′( x o ) véges határérték akkor ezt az f x o -beli második lim x → xo x − xo deriváltjának nevezzük. d 2 f (x o ) d 2 f Jelölje: f ( x o ), , , y ′′( x o ) dx 2 dx 2 x = x o Hasonlóan lehet definiálni a k-adik deriváltat is ( k −1)
( k −1)
(k ) f (x ) − f (x o ) lim = f (x o ) x → xoo x−x
Deriválható függvények tulajdonságai
A szélsőértékszámítás alaptétele T(Fermat): ! f :< a, b >→ R/ és x o ∈ (a, b ). Ha f deriválható x o -ban és x o az f lokális szélsőértékhelye, akkor f ′( x o ) = 0. B: ! x o lokális max. hely, azaz ∃ V ( x o ) úgy, hogy ∀x ∈ ∃V ( x o ) esetén f ( x o ) ≥ f (x ) f (x ) − f (x o ) f (x ) − f (x o ) = f +′ (x o ) Mivel lim+ ≤ 0 ezért f +′ ( x o ) ≤ 0 x → xo x − xo x − xo f (x ) − f (x o ) f (x ) − f (x o ) = f −′ ( x o ) lim ≥ 0 ezért f −′ ( x o ) ≥ 0 x → xo x − xo x − xo Mivel f deriválható x o -ban ezért a f +′ ( x o ) = f +′ ( x o ) = f ′(x o ) f ′( x o ) = 0. Megjegyzés: 1) Geometriailag azt jelenti, hogy a szélsőérték helyen a függvény görbéhez húzható érintő párhuzamos az x tengellyel. 2) Ha x o az intervallum végpontja, akkor ott is lehet szélsőérték ha a derivált ≠ 0. A tétel megfordítása nem igaz. Pl: f ( x ) = x 3 deriváltja x o = 0 helyen 0, de f − nek ∃/ szélsőértéke x o = 0 − ban. 8
Intervallumon monoton függvény
T: ! f :< a, b >→ R/ és f deriválható < a, b > −n. Ha f monoton növekvő (csökkenő) < a, b >, akkor f ′( x ) ≥ 0 ( f ′( x ) ≤ 0 ) < a, b > −n. Bizonyítás: ! f monoton növekvő és x o ∈< a, b > tetszőleges. a) ha x < x o ⇒ f ( x ) < f ( x o ) f (x ) − f (x o ) ≥ 0 és így x − xo f (x ) − f (x o ) f −′ ( x o ) = lim ≥0 x → xo x − xo b) ha x o < x ⇒ f ( x o ) < f ( x ) f (x ) − f (x o ) ≥ 0, és így x − xo f (x ) − f (x o ) f +′ ( x o ) = lim ≥0 x → xo x − xo c) a deriválhatósága miatt 0 ≤ f −′ ( x o ) = f +′ ( x o ) = f ′( x o ) A differenciálszámítás középértéktételei
T: (Rolle-tétel) ! f : [a, b ] → R/ . Ha 1) f folytonos [a, b] − n 2) f deriválható (a, b ) -n és 3) f (a ) = f (b ), akkor ∃ξ ← (a, b ), hogy f ′(ξ ) = 0. B: f folytonos [a, b] -n ⇒ felveszi maximumát, minimumát [a, b] -ben. Ha a) a maximumát vagy a minimumát az intervallum egy belső pontjában ξ veszi fel, ⇒ f ′(ξ ) = 0. b) a maximumot és minimumot a végpontokban veszi fel akkor f (a ) = f (b ) miatt f konstans [a, b] -n. Konstans függvény deriváltja pedig bármely pontban 0. Geometriai jelentése: Van legalább egy olyan hely az (a, b ) -ben ahol a függvényhez húzható érintő párhuzamos az x tengellyel. (A tétel legalább egy ilyen ζ hely létezését mondja ki, de lehet végtelen sok is.) T: (Lagrange-tétel) ! f : [a, b] → R/ . Ha 1) f folytonos [a, b] -n 2) f deriválható (a, b ) -n akkor ∃ξ ∈ (a, b ), hogy f (b) − f (a) f ′(ξ ) = b−a
9
Bizonyítás: f (b) − f (a) (x − a ) + f (a ) ! F (x ) = f (x ) − b−a F teljesíti a Rolle-tétel feltételeit 1, 2, triviális F (a) = F (b) = 0, ezért ∃ ξ ∈ (a, b ), F (ξ ) = 0. f (b ) − f (a ) f (b ) − f (a ) F ′( x ) = f ′( x ) − F ′(ξ ) = f ′(ξ ) − = 0. b−a b−a Geometriai jelentés: ∃ legalább egy olyan ξ hely, ahol a függvény görbéhez mutató érintő párhuzamos a húrral. Cauchy-tétel: Ha az [a, b] -n értelmezett f és g függvények teljesítik a Lagrauge-tétel feltételeit és g (b ) ≠ g (a ) és ∀x ∈ (a, b ) -re g (x ) ≠ 0 , akkor ∃ξ ∈ (a, b ) , amelyre f ′(ξ ) f (b ) − f (a ) = . g ′(ξ ) g (b ) − g (a ) g ( x ) − g (a ) Bizonyítás: ! F ( x ) = f ( x ) − ⋅ ( f (b ) − f (a )) + f (a ) . g (b ) − g (a )
Megismételhető a Lagrauge tételnél mondottak. Megjegyzés: látható, hogy g (x ) = x esetén a Lagrauge-tételt kapjuk. Darboux-tétel: Ha az f : [a, b] → ℜ függvény deriválható [a, b] -n és f ′(a ) ≠ f ′(b ) továbbá 〈 〈 c ∈ ℜ olyan, hogy f ′(a ) c f ′(b ) , ekkor ∃ξ ∈ (a, b ), f ′(ξ ) = c . 〉 〉 Bizonyítás: ! sgn f ′(a ) ≠ sgn f ′(b ) pl. f ′(a )〉 0 és f ′(b )〈 0 . Megmutatjuk, hogy ∃ξ ∈ (a, b ) , hogy f ′(ξ ) = 0 . Az f folytonos [a, b] -n ⇒ ∃ξ ∈ [a, b] ahol f felveszi a maximumát (ill. minimumát). Mivel f ′(a )〉 0 ezért f ′(a )〉 0 , azaz ha x〉 a ⇒ f ( x )〉 f (a ) hasonlóan f ′(b )〈 0 ⇒ f ′(a )〈 0 azaz ha x〈b ⇒ f ( x )〉 f (b ) . Tehát f a maximumát nem a-ban, ill. b-ben veszi fel, hanem az [a, b] egy belső ξ pontjában. Ekkor f ′(ξ ) = 0 (Fermat-tétel). 〈 〈 ! c ∈ ℜ f ′(a ) c f ′(b ) és tek F ( x ) = f ( x ) − cx függvényt. 〉 〉 F ′(a ) ⋅ F ′(b )〈 0 ⇒ ∃ξ ∈ (a, b ) F ′(ξ ) = f ′(ξ ) − c = 0 .
10
A derivált függvény szakadási helyei
Tétel: Ha az f függvénynek az x 0 jobboldali környezetében ( x〉 x 0 ) ∃ a deriváltja és ∃ a lim f ′( x ) = a j ⇒ az x 0 helyen ∃ f j′ ( x 0 ) és a j = lim+ f ′(x ) .
x → x0
x → x0
Bizonyítás: a Largenge-tétel értelmében f (x ) − f (x 0 ) = f ′(ξ ) ahol ξ ∈ ( x 0 , x ) x − x0
Mivel lim+ f ′( x ) = a j határérték ∃ , ezért x → x0
a j = lim+ f ′( x ) = lim+ f ′(ξ ) = f j′ ( x 0 ) x → x0
+
ui x → x 0 ⇒ ξ → x 0
x → x0
+
Megjegyzés: hasonlóan lehet igazolni a baloldali határérték és derivált esetén is. Köv.: Ha az f függvénynek az (a, b ) ∀ helyén létezik a deriváltja ⇒ a derivált függvénynek nem lehetnek elsőfajú szakadási végei. Bizonyítás: lim+ f ′( x ) ≠ lim− f ′( x ) azt jelenti, hogy f ′(x 0 ) ∃/ . x → x0
x → x0
11
A differenciálszámítás középértéktételeinek néhány következménye Rolle-tételéből: f (a ) = f (b ) = 0 feltétellel, azt kapjuk, hogy a deriválható f függvény két zérushelye között van az f ′ -nek zérushelye. Ebből következik, hogy az f ′ két egymást követő zérushelye között f -nek legfeljebb egy zérushelye van. (Ha ugyanis kettő lenne, akkor az előbbiek szerint f ′ -nek ezek között lenne zérushelye azaz a két zérushely nem egymást követő.) (Ez fontos szerepet játszik az algebrai egyenletek elméletében. Valós gyökök szétválasztása.) Lagrange-tételéből 1. T: Ha f folytonos [a, b] és f deriváló (a, b ) , továbbá f ′( x ) = 0 ∀x ∈ (a, b ) -re ⇒ f ( x ) ≡ c . Bizonyítás: ! x1 〈 x 2 ∈ (a, b ) akkor ∃ ξ ∈ ( x1 , x 2 ) f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ′(ξ ) = 0 azaz f ( x1 ) = f ( x 2 ) x1 − x 2
[a, b]-n és deriválhatók (a, b ) , f ′( x ) = g ′( x ) ∀x ∈ (a, b ) -re, akkor f ( x ) = g ( x ) + c . h ′( x ) = f ′( x ) − g ′( x ) = 0 ⇒ h( x ) = C Bizonyítás: !. h = f − g
2. T:
Ha
f , g : [a, b] → ℜ
folytonosak
továbbá
3. T: ! f : [a, b] → ℜ f folytonos [a, b] -n és f deriválható (a, b ) -n, f ⇔ monoton növekvő (csökkenő) [a, b] -n, ha f ′( x ) ≥ 0 f ′( x ) ≤ 0 x ∈ (a, b ) . Szükségesség. Bizonyítás: Ha f monoton növekvő ! x〈 x 0 ⇒ f (x )〈 f ( x 0 ) ! x 0 x ⇒ f ( x 0 )〈 f ( x )
lim−
f (x ) − f (x 0 ) ≥0 x − x0
azaz f ′( x 0 ) ≥ 0
lim
f (x ) − f (x 0 ) ≥0 x − x0
azaz f +′ ( x 0 ) ≥ 0
x → x0
x → x0
A deriválhatóság miatt 0 ≤ f −′ ( x 0 ) = f +′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ) . ⇐ ha f ′(x ) ≥ 0. ! x1 〈 x 2
f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ′(ξ ) ≥ 0 x1 − x 2
⇒
12
f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )
T: L’ Hospital szabály: ! f , g : [a, b] → ℜ és x 0 ∈ (a, b ) , f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0 . Ha ∃V (x 0, δ ) úgyhogy f és g deriválható V ( x 0 , δ ) -ban és g ′( x ) ≠ 0 (x ∈ V ( x 0 , δ ) \ {x 0 }) , akkor amennyiben
f′ -nek ∃ határérték x 0 ban, akkor g′
f g
is ∃ határérték x 0 -ban és
f (x ) f ′( x ) = lim . g ( x ) x → x0 g ′( x )
lim
x → x0
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a tétel feltételei az x 0 valamely baloldali ( x 0 − δ ; x 0 ] környezetében teljesülnek. Mivel g ′( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) -ra,
∃x ∈ ( x 0 − δ ; x 0 ) , hogy az f és g függvényekre az
[x, x 0 ] -on teljesülnek a Cauchy-féle középérték tétel feltételei, így ∃ξ ∈ (x, x 0 ) amelyre f ′(ξ ) f (x 0 ) − f ( x ) 0 − f ( x ) f ( x ) = = = g ′(ξ ) g (x 0 ) − g ( x ) 0 − g ( x ) g ( x )
akkor ha x → x 0 ⇒ ξ → x 0
lim−
x → x0
−
f ′( x ) f ′(ξ ) f (x ) = lim− = lim . g ′( x ) ξ → x0 g ′(ξ ) x → x0 g ( x )
Jobb oldali környezetre hasonlóan lehet igazolni. Megjegyzés: 1. Féloldali határérték esetén x 0 féloldali környezetében kell teljesülni a feltételeknek. 2. L’ Hospital szabályt többször egymásután lehet alkalmazni. 3. A tétel állítása akkor is igaz marad, ha f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0 helyett. lim f ( x ) = ∞ x →∞
ill.
lim g ( x ) = ∞ ill. x →∞
lim f ( x ) = ∞
x → x0
lim g ( x ) = ∞
x → x0
teljesül. Megjegyzés:
1. Ha
f′ f -nek ∃/ határérték ⇒ -nek sincs. / g′ g
1 1 1 1 1 2 x sin − x 2 cos ⋅ 2 x sin x x x → 0 − ∃/ , helyesen lim x = lim x =0 lim x →0 x →0 x → 0 sin x cos x sin x x x 2 sin
13
2.
A L’Hospitál-szabály 0 ± ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0 0 , ∞ 0 alakú határérték esetén is alkalmazható például lim+ x sin x f ( x ) = x sin x x →0
ln f ( x ) = sin x ln x
1 ln x x lim ln f ( x ) = lim+ sin x ln x = lim+ = lim+ = x →0 + x →0 x →0 x → 0 − 1 sin − 2 x ⋅ cos x 1 sin x − sin x sin x = lim+ ⋅ = 0 ⇒ lim+ f (x ) = e 0 = 1 x →0 x →0 cos x x Definíció: Az f függvény az x 0 pontban növekvően halad át (növekvő) ha ∃ ∨ ( x 0 ) úgy, hogy
x ∈ ∨ ( x 0 ) és ∀ ∨ 〈 x 0 esetén f ( x )〈 f ( x 0 ) és ∀x〉 x 0 esetén f ( x ) > f ( x 0 ) . Hasonlóan lehet definiálni csökkenőre. T: Ha f ( x ) x 0 -ban deriválható és f ′( x 0 )〉 0 akkor f x 0 -ban növekvő. Bizonyítás: Mivel f deriválható x 0 -ban és f ′( x 0 )〉 0 , ezért ∃ ∨ (x 0, δ ) , f (x ) − f (x 0 ) 〉0 x − x0
ha
x〉 x 0 ⇒ f ( x )〉 f ( x 0 ) x〈 x 0 ⇒ f ( x )〈 f ( x 0 )
T: Ha f x 0 -ban deriválható és növekvően halad át, akkor f ′( x 0 )〉 0 . Bizonyítás: Indirekt f ′( x 0 )〈 0 ⇒ f csökkenően halad át. A szélsőérték létezésének elégséges feltétele
T: ! f : V ( x 0 , δ ) → ℜ legalább n-szer deriválható függvény. Ha
f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) = ... = f ((xn0 −)1) = 0 , de
f ((xn0 )) ≠ 0 . Ekkor ha n páros f-nek x 0 -ban ∃
szélsőértéke, mégpedig, ha f ((xn0 )) 〈 0 ⇒ max , ha f ((xn0 )) 〉 0 ⇒ min . Ha pedig n páratlan, akkor ∃/ szélsőérték. Bizonyítás: ! x ∈ ∨ ( x 0 , δ ) az f és g ( x ) = ( x − x 0 ) teljesíti a Cauchy-tétel feltételeit az [x, x 0 ] n
ban. x ∈ ∨ ( x 0 , δ ) az f ′( x ) és g ′( x ) = n( x − x 0 )
14
n −1
teljesítik a Cauchy-tétel feltételeit, a
[ξ1 , x 0 ] -ban, az
f ′′( x ) és g (x ) = n(n − 1)( x − x 0 )
n−2
tétel a Cauchy-tételt feltételeit a [ξ 1 , x 0 ] -
ban f (x ) − f (x 0 )
(x − x0 )
n
− (x0 − x0 )
n
=
f ′(ξ1 )
n(ξ 1 − x 0 )
n −1
=
f ′(ξ1 ) − f ′( x 0 )
n(ξ1 − x 0 )
− n( x 0 − x 0 )
n −1
n −1
=
f ′′(ξ 2 )
n(n − 1)(ξ 2 − x 0 )
n−2
=
f (ξ(nn −−11))
n!(ξ n −1 − x 0 )
sgn
f (ξ(nn −−11))
n! (ξ n −1 − x 0 )
= ? Mivel f ( nx0 ) ≠ 0 , legyen f ( nx0 ) 〉 0 ⇒ f ((xn)−1) x 0 -ban szigorúan monoton
növekvően x 0 -ban. Az f ((xn0 −)1) = 0 miatt 1. ha x〈ξ n −1 〈 x 0 ⇒ f (ξ(nn −−11)) 〈 f ((xn0 −)1) = 0 2. ha x〉ξ n −1 〉 x 0 ⇒ f (ξ(nn −−11)) 〉 f ((xn0 −)1) = 0
f (x ) − f (x 0 )
( x − x 0 )n
(
f (ξ(nn −−11))
n! ξ n1 − x 0
)〉0
〉 0 ha n páros f ( x ) − f ( x 0 )〉 0 ⇒ f ( x )〉 f (x 0 )
A függvénynek minimuma van. Ha n párataln
f ( x ) − f ( x 0 )〉 0 ha x〉 x 0
f ( x ) − f ( x 0 )〈0 ha x〈 x 0
azaz ∃/ szélsőérték.
Hasonlóan lehet igazolni f ((xn0 )) 〈 0 -ra is. Konvexitás Definíció: ! f : [a, b] → ℜ és f deriválható a, b -n. Az f függvény görbéjének az íve [a, b] -on
alulról konvex (konkáv), ha ez az ív bármely pontjában húzott érintője fölött (alatt) helyezkedik el. f ( x ) ≥ f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f (x 0 )
( f (x ) ≤ f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ))
∀x ≠ x 0 , x, x 0 ∈ [a, b]
esetén. Az [a, b] helyett lehet a, b . T: Ha az f : a, b → ℜ függvény legalább kétszer deriválható a, b -n, akkor f a, b -hez tartozó íve alulról konvex (domború), ha f ′′( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ a, b és az egyenlőség egyetlen részintervallumon sem áll fenn.
15
(Hasonlóan lehet a tételt megfogalmazni konkáv (homorú) esetre f ′′( x ) ≤ 0 esetén.) Bizonyítás: ha f ′′( x ) ≥ 0 ∀x ∈ a, b -re ⇒ f konvex. Ha f ′′( x ) ≥ 0 ⇒ f ′(x ) szigorúan monoton növekvő. ⇒ f ( x ) konvex. Ui.:
f (x ) − f (x 0 ) = f ′(ξ )〈 f ′(x 0 ) x − x0
ha ξ 〈 x 0
ξ ∈ ( x, x 0 )
ha ξ 〉 x 0
ξ ∈ (x 0 , x )
f ( x ) − f ( x 0 )〉 f ′(x 0 )( x − x 0 ) f (x ) − f (x 0 ) = f ′(ξ )〉 f ′(x 0 ) x − x0
f ( x ) ≥ f ′(x 0 ) (x − x 0 ) + f ( x 0 ) ha f konvex (domború) ⇒ f ′′( x ) ≥ 0 . Ha f konvex ⇒ f ′ monoton növekvő. Ui: ! x 0 〈 x1 f ( x )〉 f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) és
(
)
f ( x1 )〉 f ′( x 0 ) x1 − x 0 + f ( x 0 ) . f ( x )〉 f ′( x1 )( x − x1 ) + f ( x1 ) f ( x 0 )〉 f ′( x1 )( x 0 − x1 ) + f ( x1 ) f ′(x 0 )〈
f ( x1 ) − f ( x 0 ) 〈 f ′(x1 ) azaz f ′(x ) monoton növekvő ⇒ f ′′( x ) ≥ 0 x1 − x 0
Megjegyzés: A tételt úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy f ⇔ konvex (konkáv) a, b -n f ′ monoton növekvő (csökkenő).
Inflexiós pont Definíció: Az ! f : D → ℜ
(D ⊂ ℜ és
a, b ⊂ D ) az x 0 ∈ a, b -t az f függvény inflexiós
helyének nevezzük, ha ∃V ( x 0 ) , hogy x〈 x 0 esetén f ( x ) alulról konvex (konkáv) és x〉 x 0 esetén f ( x ) alulról konkáv (konvex). Az ( x 0 ; f ( x 0 )) pontot inflexiós pontnak nevezzük. T.: Ha x 0 az f függvény inflexiós helye és f ′ folytonos x 0 egy V ( x 0 ) környezetében, akkor x 0 az f ′ helyi szélsőérték helye, azaz f ′′( x 0 ) = 0 . Biz.: ! x 0 , f olyan inflexiós helye, ahol f konvexből konkávba megy át. f ′′( x ) ≥ 0 ⇒ f ′( x ) mon. növekvő Ha x〈 x 0 f ′′( x ) ≤ 0 ⇒ f ′( x ) mon. csökkenő Ha x 0 〈 x 16
Tehát f ′( x 0 ) = 0 hisz f ′ folytonos V ( x 0 ) -ban. Megjegyzés: A tétel megfordítása nem igaz. Pl. f ( x ) = x 4 Tehát f ′′( x 0 ) = 0 csak szükséges feltétel. Az elégséges, hogy f ′′′( x 0 ) ≠ 0 (általában az első el nem tűnő derivált rendje páratlan legyen.) T: f : a, b → ℜ, x 0 ∈ a, b és f az x 0 -ban legalább háromszor deriválható. Annak, hogy x 0 ban f-nek inflexiós helye legyen a) szükséges feltétele, hogy f ′′( x 0 ) = 0 b) elégséges feltétele, ha f ′′′( x 0 ) ≠ 0 . Asszimptóták
1.) Függőleges Definíció: Az x = x 0 egyenes az f függvény grafikonjának függőleges asszimptótája, ha az f függvénynek az x 0 helyen legalább az egyik féloldali határértéke végtelen. lim f ( x ) = ±∞ (± vagylagos) x → x0 ±
Megjegyzés: x 0 a D f -nek torlódási pontja.
x 0 az f-nek másodfajú szakadási helye. 2.) Vízszintes Definíció: Az y = y 0 egyenes az f függvény grafikonjának vízszintes asszimptótája, ha lim f ( x ) = y 0 (± vagylagos) x → ±∞
Ha f-nek van vízszintes asszimptatója, akkor az értelmezési tartomány alulról vagy felülről nem korlátos. 3.) Ferde Definíció: Az y = mx + b egyenes az f függvény grafikonjának ferde asszimptótája, ha lim [ f ( x ) − mx − b] = 0 (± vagylagos) x → ±∞
Ha lim[ f ( x ) − mx − b] = 0 x →∞
⇒
f (x ) lim x − m = b , ahonnan x →∞ x
lim( f ( x ) − mx ) = b x →∞
lim
x →∞
f (x ) =m. x
17
Függvény vizsgálat:
1. Értelmezési tartomány 2. Parítás 3. Periódicitás 4. Tengelymetszetek 5. Pozitivitási intervallumok 6. Asszimptóták 7. Növekedési viszonyok 8. Staciomárius helyek 9. Szélsőérték helyek 10. Szélsőértékek 11. Inflexiós pont 12. Görbületi viszonyok 13. Ábrázolás 14. Értékkészlet Taylor-formula n
! P( x ) = ∑ a k x k ezt a polinomot akarjuk (x − x 0 ) polinomjaként előállítani. Tételezzük fel, k =0
n
hogy P ( x ) átrendezhető P( x ) = ∑ C k ( x − x 0 ) alakba k
k =0
P ( x ) = C 0 + C1 ( x − x 0 ) + C 2 ( x − x 0 ) + ... + C n ( x − x 0 ) 2
P ′( x ) = C1 + 2C 2 ( x − x 0 ) + ... + C n ⋅ n( x − x 0 )
n
n −1
P ′′( x ) = 2C 2 + 3 ⋅ 2( x − x 0 ) + ... + C n ⋅ n(n − 1)( x − x 0 )
n−2
P (n ) ( x ) = n! C n
! x = x 0 ⇒ P( x 0 ) = C 0 , P ′( x 0 ) = C1 , P ′′( x 0 ) = 2 ⋅ C 2 , P ′′′( x 0 ) = 3!C 3 P (n ) ( x 0 ) = n!C n
Tehát P( x ) =
P( x 0 ) P ′(x 0 ) P ′′( x 0 ) P (n ) ( x 0 ) (x − x0 ) + (x − x 0 )2 + ... + ( x − x 0 )n . + 0! 1! 2! n!
Más függvényeknél az ilyen átrendezésnek nincs értelme, de ha f legalább n-szer deriválható n
f
(k )
(x 0 )
k
(x − x 0 ) . k! Definíció: !: D → ℜ(D ⊂ ℜ és x 0 ∈ D ) és f legalább n-szer deriválható x 0 -ban. x 0 -ban akkor képezhető a
Az
f
függvény n
Tn ( x ) = ∑
f
(k )
(x 0 )
∑ k =0
x0
ponthoz
tartozó
( x − x 0 )k
n-ed
fokú
Taylor
polinomjának
a
polinomot nevezzük. k! Az egyenlőság általában nem áll fenn az f ( x ) és a Tn (x ) között egy x 0 -tól különböző pontban, de elképzelhető, hogy minél nagyobb n-értéke, annál kisebb az eltérés. Jelöljük Rn ( x ) -el az f ( x ) és a Tn (x ) eltérését. k =0
18
R n ( x ) = f ( x ) − Tn ( x ) azaz f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) . Ezt a formulát nevezzük Taylor-formulának. T: Ha az f függvény az x 0 pont egy V ( x 0 ) -ban legalább (n + 1) -szer deriválható, akkor 〈 〈 ∀xeV ( x 0 ) -hoz ∃ξ x ξ x 0 , amelyre fennáll az 〉 〉 ( ) k ( n +1) n f (x 0 ) (x − x 0 )k + f (ξ ) (x − x 0 )n +1 . f (x ) = ∑ (n + 1)! k! k =0 Mivel Rn ( x ) az f ( x ) és a Tn (x ) eltérését méri, ezért keressük Rn ( x ) -et valamilyen becslésre alkalmas alakban. An (x − x 0 )n+1 An -et akarjuk alkalmasan megváltoztatni. ! Rn (x ) = (n + 1)!
(n ) ′′ A f ′(t ) (x − t ) + f (t ) (x − t )2 + ... + f (t ) (x − t )n + n (x − t )n +1 ! F (t ) = f ( x ) − f (t ) + (n + 1)! n! 1! 2! A F (x ) = 0 és F ( x 0 ) = 0. Így Rolle-tétel értelmében ∃ξ ∈ ( x, x 0 ) , hogy F ′(ξ ) = 0 .
( n +1) ′ ′′′ ′′ f ′′(t ) (x − t ) − f (t ) + f (t ) (x − t )2 − 2 f (t ) (x − t ) + ... + f (t ) (x − t )n − F ′(t ) = − f ′(t ) + 1! 1! 2! 2! n! (n ) ( n +1) (n + 1)An A nf (t ) (x − t )n−1 − (x − t )n = n (x − t )n − f (t ) (x − t )n − (n + 1)! n! n! n!
]
F ′(ξ ) =
( x − ξ )n (A
n
n!
− f
( n +1)
(ξ ) (ξ ) (x − x )n +1 f Rn (x ) = 0 (n + 1)! An = f
( n +1)
(ξ )) = 0
( n +1)
A maradék tag Lagnauge-féle alakja.
Megjegyzés: 1. Ha x 0 = 0 akkor Mac-Laurin formulát kapjuk. 2. Ha n = 0 akkor a Taylor-formula a Lagrange-tételbe megy át. A függvény közelítése Taylor polinomjával
Szükségünk van az f ( x ) = e x függvény [0,1] közé eső értékeire. Hanyadfokú Taylorpolinomjával közelítsük, hogy a hiba kisebb legyen 10 −3 ? f (x ) = e x x0 = 0 f
(n )
(x ) = e x
Tn ( x ) = 1 +
(n )
(x0 ) = 1
n=1,2,3…
x x2 x3 xn + + + ... + 1! 2! 3! n!
e − Tn (x ) 〈10 x
f
−3
azaz
eξ Rn (x ) = x n +1 〈10 −3 (n + 1)!
19
az [0,1] -on e ξ 〈e x ≤ e〈3 3 x n +1 3 ≤ 〈10 −3 (n + 1)! (n + 1)!
e ≈1+1+
3000〈(n + 1)! = 7!
tehát n=6
1 1 1 1 1 517 + + + + =2 = 2,718 2! 3! 4! 5! 6! 720 Görbék paraméteres egyenlete
x = x(t ) α ≤ t ≤ β y = y (t )
(
)
Ha x-nek ∃ az x −1 inverze t = x −1 (x ) , akkor egy y = y x −1 ( x ) = f ( x ) függvényhez jutunk, amelynek értelmezési tartománya az x értékkészlete. (Paraméter kiküszöbölése) Bármely függvény előállítható paraméteresen (sőt végtelen sokféle módon). x=t Ui: y = f (t ) Paraméteresen adott függvények deriválása
Tegyük az y = f ( x ) függvényt, amely az [a, b] -on paraméteres alakban van adva, a megfelelő [α , β ] -n ért x = x(t ) és y = y(t ) folytonos függvények által. T.: Ha az x(t ) és y (t ) függvények deriválhatók a t 0 ∈ [α , β ] helyen és x 0 (t 0 ) ≠ 0 , akkor az f y& (t 0 ) függvény is deriválható az x 0 = x(t 0 ) helyen és f ′( x 0 ) = x& (t 0 )
Bizonyítás: ! x = x(t ) y = y (t )
(
)
f ′( x ) = y& x −1 (x ) ⋅
Pl.:
x = r cos t y = r sin t
(
t = x −1 ( x )
1
( (x ))
x& x
−1
)
f ( x ) = y x −1 ( x ) =
y& (t ) x& (t )
π t ∈ 0, 2
t0 =
π 4
20
Integrálszámítás Határozatlan integrál
Primitív függvény (kezdeti jelentésű). Definíció: ! f : a, b → ℜ . A F : a, b → ℜ függvényt, amelynek deriváltja
a, b -n
mindenütt egyenlő f ( x ) -el, az f a, b feletti primitív függvényének nevezzük. ( F ′( x ) = f ( x )
∀x ∈ a, b -re)
Pl.: f ( x ) = sin x ⇒ F ( x ) = − cos x T: ! f , F : a, b → ℜ , ha F ′ = f
úgy G : a, b → ℜ ⇔ primitív függvénye f-nek, ha
∃c ∈ ℜ, G = F + c .
Bizonyítás: Nyilvánvaló ha F primitív függvénye f-nek, akkor G = F + c is az. Ha G ′ = f = F ′ ⇒ ′ 0 = G ′ − F ′ = (G − F ′) ⇒ G − F = c. G (x ) = F (x ) + c Definíció: Egy f függvény
a, b -hoz tartozó primitív függvényeinek a halmazát az f
határozatban integráljának nevezzük és v ∫ f (x )dx ∫ f = F -fel jelöljük.
f ( x ) az integrandus, ∫ ... dx az integrál jele.
Megjegyzés: Nem minden függvénynek van primitív függvénye. 1 ha x〉 0 Például: sgn x = 0 ha x = 0 − 1 ha x〈0
sgnx-nek ∃/ promitív függvénye. Nincs olyan F (x ) , hogy F ′( x ) = f ( x ) , mert minden derivált függvény Darbaux tulajdonságú. (A derivált függvénynek nem lehet elsődleges szakadási helye.) T: Minden folytonos függvénynek van primitív függvénye. B: később T: A határozatlan integrál deriválható és deriváltja az integrendus. ′ ′ ∫ f (x )dx = (F (x ) + c ) = F ′(x ) = f (x )
(
)
21
Alapintegrálok
1.
∫ 0 dx = c
2.
∫ dx = x
mert c ′ = 0 x′ = 1
mert
x α +1 3. ∫ x dx = +c α +1
(α ∈ ℜ \ {− 1})
α
1
4.
∫ x dx = ln x + c
5.
x ∫ a dx =
6.
∫e
7.
∫ sin x dx = − cos x + c
8.
∫ cos x dc = sin x + c
9.
∫ cos
10.
∫ sin
11.
∫
12.
∫1+ x
x
ax +c ln a
dx = e x + c
1 2
x
−1 2
x
dx = tg x + c dx = ctg x + c
1 1 − x2 1
2
dx = arcsin x + c
dx = arctg x+c
A határozatlan integrál és a műveletek, egyszerű integrálási szabályok
1.
∫ c ⋅ f (x ) dx = c ∫ f (x ) dx
2.
∫ ( f (x ) ± g (x )) dx = ∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx
3. 4.
∫
f ′( x ) dx = ln f ( x ) + c f (x )
∫
f ′( x ) ⋅ f α ( x ) =
5. Ha F ′ = f ,
c≠0
f α +1 (x ) +c α +1 akkor
(α ∈ ℜ
α ≠ −1)
∫ f (ax + b) dx =
F (ax + b ) +c a
22
Parciális integrálás
T: ! f , g : a, b → ℜ , ha f és g deriválhatók a, b -n és f ⋅ g ′ -nek ∃ primitív függvénye, akkor a f ′ ⋅ g -nek is ∃ és
∫ f ′(x )g (x ) dx = f (x ) ⋅ g (x ) − ∫ f (x ) ⋅ g ′(x ) dx
(
x ∈ a, b
)
′ B: f ( x ) ⋅ g ( x ) − ∫ f ( x ) ⋅ g ′( x ) dx = f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x ) = f ′( x ) ⋅ g ( x ) Helyettesítéses integrál
T: ! f : a, b → ℜ, g : c, d → a, b . Ha g deriválható c, d -n és f-nek ∃ a F primitív függvénye, akkor ∃ az ( fog ) ⋅ g ′ -nek is és
∫ f (g (x ))g ′(x ) dx = F (g (x )) + C
x ∈ c, d
B: F és g deriválhatósága miatt Fog deriválható és (F (g (x )) + C )′ = F ′(g (x )) ⋅ g ′(x ) = f (g (x )) ⋅ g ′(x ) Riemann-integrál Határozott integrál
A Riemann integrál fogalma 1. Definíció: ![a, b] ⊂ ℜ . A
B = { xi
a = x 0 〈 x1 〈...〈 x n = b
}
halmazt az
[a, b]
egy
beosztásának (felosztásának) nevezzük. Az x i számok a beosztás osztópontjai az [x i −1 −, x i ] (i = 1,2,...n ) a beosztás részintervallumai.
Ha B egy beosztás, akkor a B = sup{ x i − x i −1 i = 1,2,...n} számot a beosztás finomságának nevezzük. A B beosztás δ beosztás (δ (〉0 ) ∈ ℜ ) ha B 〈δ
2. Definíció: ! B1, B2 két beosztása [a, b] -nek. A B 2 beosztás finomítása a B1 beosztásnak, ha B1 ⊂ B 2 A B1 és B 2 egyesítésén a B1 ∪ B 2 halmazt értjük. 3. Definíció: Az
[a, b]
egy
Bk
beosztássorozatát minden határon túl finomodónak
(normális beosztássorozatnak) nevezzük, ha lim B k = 0 k →∞
4. Definíció: ! f : [a, b] → ℜ korlátos és B egy beosztása [a, b] -nek és jelölje M i = sup f ( x ) x ∈ [x i −1 , x i ] továbbá ξ i ∈ [x i −1 , x i ] (i = 1,2,...n ) mi = inf f ( x ) 23
n
n
i =1
i =1
Az s ( f , B ) = ∑ mi (x i − x i −1 ), S ( f , B ) = ∑ M i ( x i − x i −1 ) n
ω ( f , B ) = ∑ (M i − mi )(x i − xi −1 ) számokat az f függvénynek az [a, b] B beosztáshoz tartozó i =1
alsó (Darboux) felső ( Darbaux) ill. osszcillációs összegének, míg a n
σ ( f , B ) = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) számot az f függvénynek az [a, b] B beosztásához és a i =1
ξ i (1,2,...n ) -hez pontokhoz tartozó integrálközelitő vagy Riemann összegének nevezzük. Geometriai jelentés: lásd előadáson. Tétel: ! f : [a, b] → ℜ korlátos függvény és B, B1 , B2 beosztása [a, b] -nek, ekkor 1. ∀I ( f , B ) -re s ( f , B ) ≤ I ( f , B ) ≤ S ( f , B ) 2. Ha B1 ⊂ B2 , ekkor
s ( f , B1 ) ≤ s ( f , B2 ) és
S ( f , B2 ) ≤ S ( f , B1 )
3. s ( f , B1 ) ≤ S ( f , B2 ) Bizonyítás: 1. Tek. az [xi −1 , xi ] -t. mi ≤ f (ξ i ) ≤ M i m( xi − x1 ) ≤ f (ξ i )( xi − xi −1 ) ≤ M i ( xi − xi −1 ) n
n
n
i =1
i =1
i =1
∀i = 1,2..n -re
∑ mi (xi − xi−1 ) ≤ ∑ f (ξ i )(xi − xi−1 ) ≤∑ M i (xi − xi −1 ) 2. ! B1 ⊂ B2
B1 = {xi a = x0 〈 x1 〈...〈 xi −1 〈 xi 〈...〈 x n = b} B2 = {xi a = x0 〈 x1 〈...〈 xi −1 〈 xi′ 〈 xi 〈...〈 x n = b}
mi = inf f ( x )
x ∈ [xi −1 , xi ]
mi′ = inf f ( x )
x ∈ [xi −1 , xi′ ]
mi ≤ mi′
és
mi′′ = inf f (x ) x ∈ [xi′ , xi ]
mi ≤ mi′′
mi ( xi − xi −1 ) = mi ( xi − xi′ ) + mi ( xi′ − xi −1 ) ≤ mi′ ( xi − xi′ ) + mi′′( xi′ − xi −1 )
Hasonlóan lehet felső összegekre is igazolni. 3. !B1 és B2 két tetszőleges beosztása [a, b] -nek. Ekkor B1 ∪ B2 finomítása B1 -nek és B2 -nek is. s ( f , B1 ) ≤ s ( f , B1 ∪ B2 ) ≤ S ( f , B1 ∪ B2 ) ≤ S ( f , B2 )
24
Definíció: ! f : [a, b ] → ℜ korlátos függvény. Az b
I = ∫ f = sup{s ( f , B )} B
a
b
I = ∫ f = inf {S ( f , B )} számokat (ahol az infimumot és suprémumot az összes lehetséges B
a
beosztásra nézzük). Az f függvény
[a, b]
feletti alsó, ill. felső Darboux-integráljának
nevezzük. b
I = ∫ f ( x )dx = ∫ f a
b
I = ∫ f ( x )dx = ∫ f a
T: Ha f : [a, b] → ℜ korlátos, akkor I ≤ I . Biz.: ∀B és B1 beosztásra s ( f , B1 ) ≤ S ( f , B )
⇒ ∃I és
s ( f , B1 ) ≤ I ⇒ ∃ I
és
I≤I
Következmény:
∀B beosztásra s( f , B ) ≤ I ≤ I ≤ S ( f , B ) ⇒ 0 ≤ I − I ≤ ω ( f , B ) Definíció: az f : [a, b] → ℜ korlátos függvény Riemann-integrálható [a, b] -n, ha I = I . Ezt a b
közös értéket az f [a, b] feletti Riemann-integrálnak nevezzük és I , ∫ f vagy a
b
∫ f (x ) dx -el a
jelöljük. T: Az [a, b] intervallumon f ⇔ Riemann integrálható, ha ∀ε 〉 0 − hoz ∃δ 〉 0 és B beosztás B 〈δ , akkor ω ( f , B )〈ε .
Bizonyítás: ⇒ s ( f , B ) ≤ I ≤ I ≤ S ( f , B )
∀B beosztásra I − I ≤ S ( f , B ) − s ( f , B )〈ε azaz
I =I.
ε
ε
⇐ ! f ∈ ℜ és ε 〉 0 tetszőleges, akkor ∃ B1 és B2 , amelyre S ( f , B1 ) − I 〈 és I − s ( f , B2 )〈 . 2 2
25
! B = B1 ∪ B2
S (B1 , f ) ≤ S (B1 , f )〈 I +
ε 2
〈 s ( f , B2 ) + ε ≤ s ( f , B ) + ε
A következőkben egy elméletileg igen fontos és szép állítást igazolunk, amely azt mondja ki, hogy ha f korlátos, akkor ∃ a felső Darboux összegek határérétke és ez I . Tétel: (Darboux): ! f : [a, b ] → ℜ korlátos. Ekkor ∀ε 〉 0 -hoz ∃δ 〉 0 , hogy ∀ olyan B beosztásra, amelyre B 〈δ . S ( f , B ) − I 〈ε
I − s( f , B )〈ε
és
! f korlátos ⇒ ∃K 〉 0 f ( x ) ≤ K . ∀x ∈ [a, b]-re.
Biz.: (felső összegre) Jelölje ∆xi = xi − xi −1
!ε 〉 0
Mivel I = inf {S ( f , B )} ezért ∃ B0 = {xi i = 0,1,2...r + 1} beosztása [a, b] -nek, hogy (B
belső osztópontjainak száma r) S ( f , B0 )〈 I +
ε 2
ε
S ( f , B0 ) − I 〈 . 2 ! B = {y j j = 0,1 ... n} olyan beosztása
ε B 〈δ = inf , ∆xi i = 1,2 ... r + 1 . 4 Kr
[a, b] -nek.
Megmutatjuk, hogy erre a beosztásra igaz a tétel állítása. Ha B1 = B0 ∪ B = {z k k = 0,1 ... m} ⇒ B0 , B ⊂ B1 S ( f , B ) − I = S ( f , B ) − S ( f , B1 ) + S ( f , B1 ) − I ≤ S ( f , B ) − S ( f , B1 ) + S ( f , B0 ) − I 〈 S ( f , B ) − − S ( f , B1 ) +
ε 2
Elegendő tehát (*) S ( f , B ) − S ( f , B1 )〈
ε 2
belátni ha B 〈δ .
Jelölje M i0 , M i , M i1 az f suprémumát a B0 , B, B1 i-edik részintervallumán. Ekkor (*) a következő alakban írható (*’)
n
∑M j =1
B1 = B0 ∪ B miatt
[
ε
m
j
∆y j − ∑ M k1 ∆z k 〈 . 2 k =1
]
B egy y j −1 , y j intervallumára.
vagy
α ) ∃k , [y j −1 , y j ] = [z k −1 , z k ] intervallum B1 -ben
vagy
β ) ∃xi0 , [y j −1 , y j ] = [y j −1 , xi0 ] ∪ [xi0 , y j ] = [z k −1 , z k ] ∪ [z k , z k +1 ] 1
[
1
]
1
1
két B1 -beli intervallumra bomlik xi0 , xi +1 ∉ y j −1 , y j mert ∆y j ≤ ∆xi )
26
α ) esetben (*’)-ben M j ∆y j − M k1 ∆z k = 0
Így
β ) esetben
M j ∆y j − M k11 ∆z k1 − M k11 +1 ∆z k1 +1
∆y j = ∆z k1 + ∆z k1 +1 miatt (*) a következő alakú
∑ [(M
(*’’) (A
∑
∑ [(M
j
)
(
] ε2
)
+ M k11 ∆z k1 + M j − M k11 +1 ∆z k1 +1 〈
legfeljebb r tagot tartalmaz!) j
)
(
]
)
(
)
− M k11 ∆z k1 + M j − M k11 +1 ∆z k1 +1 ≤ ∑ 2 K ∆z k1 + ∆z k1 +1 =
= 2 K ∑ ∆y j 〈 2 K ⋅ r ⋅ δ ≤ 2 Kr ⋅
ε 4 Kr
=
ε 2
.
A Darboux-tétel következményei
Tétel: ! f : [a, b] → ℜ korlátos [a, b] -n, ekkor ∀ Bk normális beosztássorozatra létezik a
lim S ( f , Bk ), lim s( f , Bk ) és k →∞
k →∞
lim S ( f , Bk ) = I k →∞
lim s( f , Bk ) = I k →∞
Bizonyítás: (felső összegre) !ε 〉 0 tetszőleges a Darboux-tétel szerint ε 〉 0 -hez. ∃δ 〉 0, ∀ B 〈δ . S ( f , B ) − I 〈ε . ! Bk egy normális beosztássorozat, azaz lim Bk = 0 ekkor δ 〉 0 -hoz ∃k 0 ∈ ℵ, hogy ∀k〉 k 0 k →∞
Bk 〈δ
Tehát az adott ε 〉 0 -hoz ∃k 0 ∈ ℵ, hogy ∀k〉 k 0 akkor Bk 〈δ ⇒ S ( f , Bk ) − I 〈ε . Köv.: ω ( f , Bk ) → I − I Tétel: ! f : [a, b ] → ℜ korlátos [a, b] -n, ekkor ∀ Bk
normális beosztássorozathoz létezik
ˆ Iˆ( f , Bk ) és Iˆ( f , Bk ) integrálközelítő összeg-sorozat, hogy
lim Iˆ( f , Bk ) = I
k →∞
ˆ lim Iˆ( f , Bk ) = I k →∞
{
Bizonyítás: (csak alsó összegre!) ! Bk = xik i = 0,1 ... nk
27
}
normális felosztássorozat
[
mik = inf f ( x ) x ∈ xik−1 , xik
]
(i = 0,1,2, ... nk )
Ekkor az inf. definíciója miatt ∃ξ ik
(k ∈ ℵ)
ξ ik ∈ [xik−1 , x1k ]
( )
mik ≤ f ξ ik 〈 mik +
1 k
( )
nk
nk nk k 1 k k k k k m ∆ x ≤ f ξ ∆ x 〈 ∆xi ∑ ∑ i i i i ∑ mi + k i =1 i =1 i =1
b−a 1 nk s ( f , Bk ) ≤ Iˆ( f , Bk )〈 s( f , Bk ) + ∑ ∆xik = s ( f , Bk ) + k i =1 k
Ahonnan a rendőr-tétel alapján következik a tétel állítása. A Riemann-integrálhatóság kritériumai
Tétel: Az f : [a, b] → ℜ korlátos függvény ⇔ Riemann integrálhatlható, ha ∃ I ∈ ℜ , hogy ∀ε 〉 0 -hoz ∃δ 〉 0, ∀B beosztására [a, b] -nek melyre B 〈δ I ( f , B ) − I 〈ε teljesül. b
∀I ( f , B ) -re. (Ekkor I = ∫ f ) a
b
Bizonyítás: ⇒ ! f integrálható azaz I = I = I = ∫ f . Ekkor a Darboux-t miatt ∀ε 〉 0 -hoz a
∃δ 〉 0
hogy,
∀B -ra,
amelyre
B 〈δ fenn
áll
S ( f , B ) − I 〈ε ⇒ I = I = I I − s( f , B )〈ε
és
s ( f , B ) ≤ I ( f , B ) ≤ S ( f , B ) miatt I ( f , B ) − I 〈ε .
⇐ ∃I ∈ ℜ ∀ε 〉 0 ∃δ 〉 0 ∀B -re,
B 〈δ
amelyre
I ( f , B ) − I 〈ε ∀I ( f , B ) -re
integrálható. A Dorboux-tétel miatt ∀ε 1 〉 0 -hoz ∃δ 1 〉 0, B 〈δ 1 ⇒ S ( f , B ) − I 〈ε 1 és I − s ( f , B )〈ε 1 . A feltétel miatt ∀ε 2 〉 0 ∃δ 2 〉 0, B 〈δ 2 ⇒ I ( f , B ) − I 〈ε 2 . Az mi M i definíciója miatt ∀ε 3 〉 0 ∃ ξ i ,η i ∈ [xi −1 , xi ] f (ξ i ) − mi 〈ε 3
( ∆xi és
∑
-uk)
M i − f (η i )〈ε 3 I ( f , B ) − s ( f , B )〈ε 3 (b − a )
S ( f , B ) − I ( f , B )〈ε 3 (b − a )
28
⇒ f
!δ = inf {δ 1 , δ 2 }
I − I ≤ s ( f , B ) − I + I − I ( f ( B ) + I ( f , B ) − s ( f , B ) 〈ε 1 + ε 2 + ε 3 (b − a ) = ε
I − I ≤ S ( f , B ) − I + I − I ( f , B ) + S ( f , B ) − I ( f , B ) 〈ε 1 + ε 2 + ε 3 (b − a ) = ε
ε
ha ε 1 = ε 2 =
3
és ε 3 =
ε
⇒ I = I = I azaz f Riemann-integrálható.
3(b − a )
Tétel: Az f : [a, b] → ℜ korlátos függvény ⇔ Riemann-integrálható [a, b] -n, ha ∀ Bk normális beosztássorozathoz tartozó ∀ I ( f , Bk ) integrálközelítő-összeg-sorozat konvergens.
Bizonyítás:
⇒! f integrálható I = I = I és Bk egy normális beosztássorozat, ekkor s ( f , Bk ) ≤ I ( f , Bk ) ≤ S ( f , Bk ) ahonnan a Darboux-tétel 2. következménye és a rendőr-tétel adja a I ( f , Bk ) konvergenciáját I-hez ⇐ ! Bk
egy
normális
beosztássorozat
és
∀ I ( f , Bk )
konvergens,
ekkor
∃I ∈ ℜ, I ( f , Bk ) → I .
{
}
ˆ Ekkor a Darboux-tétel 2. következménye miatt létező Iˆ( f , Bk ) és Iˆ( f , Bk ) sorozatok
Iˆ( f , Bk ) ha k páros I ( f , Bk ) = ˆ Iˆ( f , Bk ) ha k páratlan
I ( f , Bk ) konv. ⇒ I = I
Tétel: (Riemann-kritérium): Az f : [a, b] → ℜ korlátos függvény ⇔ Riemann-integrálható
[a, b] - ha ∀ε 〉 0 -hoz ∃ B beosztásra [a, b] -nek, amelyre ω ( f , B )〈ε Bizonyítás: ⇐ ω ( f , B )〈ε s( f , B ) ≤ I ≤ I ≤ S ( f , B )
így
⇒ f integrálható
ω ( f , B )〈ε
⇒
0 ≤ I ≤ I ≤ S ( f , B ) − s ( f , B )〈ε f integrálható
ε
f integrálható I = I = I ⇒ Dorbaux ∀ 〉 0 ∃ δ 1 〉 0 és δ 2 〉 0 2 tétel. S ( f , B1 ) − I 〈
ε 2
I − s ( f , B2 )〈
ε 2
29
B1 〈δ 1 B2 〈δ 2
Darbaux-
B ≤ min{δ 1 , δ 2
! B = B1 ∪ B2 ekkor
S ( f , B ) ≤ S ( f , B1 )〈 I +
ε 2
〈 s ( f , B2 ) + ε ≤ s ( f , B ) + ε
ω ( f , B )〈ε Tétel: Az f : [a, b] → ℜ korlátos függvény ⇔ Riemann-integrálható, ha ∀(Bk ) normális beosztássorozat esetén ω ( f , Bk ) nullsorozat.
Riemann-integrálható függvényosztályok
Tétel: f : [a, b] → ℜ . Ha f folytonos [a, b] -n, akkor f Riemann-integrálható [a, b] -n. Bizonyítás: Megmutatja, hogy ∀ε 〉0 -hoz ∃δ 〉 0, B 〈δ , akkor ω ( f , B )〈ε . Mivel f folytonos
[a, b] -n, ezért egyenletesen folytonos, azaz ∀ε 1 -hez ∃δ 〉 0, ξ i − η i 〈δ n
n
i =1
i =1
f (ξ i ) − f (η i ) 〈ε 1 .
Legyen B 〈δ , ekkor ω ( f , B ) = ∑ (M i − mi )∆xi = ∑ ( f (ξ i ) − f (η i ))∆xi 〈ε 1 n
∑ ∆x i =1
i
= ε 1 (b − a )
ha
ε1 =
ε b−a
⇒ ω ( f , B )〈ε .
Megjegyzés: Az f : [a, b] → ℜ véges sok pont kivételével folytonos és korlátos függvény Riemann-integrálható [a, b] -n. Tétel: f : [a, b] → ℜ. Ha f monoton [a, b] -n, akkor f Riemann-integrálható [a, b] -n. Bizonyítás: mon. növekvő esetben !ε 〉 0 tetszőleges és δ = beosztása, hogy B 〈δ =
ε
f (b ) − f (a )
ε
f (b ) − f (a )
és B [a, b] -nek olyan
.
n
n
n
i =1
i =1
i =1
ω ( f , B ) = ∑ (M i − mi )∆xi = ∑ ( f ( xi ) − f (xi −1 ))∆xi 〈 δ ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = δ ( f (b ) − f (a )) Mivel f m. növ. M i = f (xi ) és mi = f ( xi −1 ) ha δ =
ε
f (b ) − f (a )
akkor ω ( f , B )〈ε
30
A Riemann-integrálhatóság és a műveletek
Tétel: Ha f , g : [a, b] → ℜ Riemann-integrálhatók, α , β ∈ ℜ , ekkor az αf + βg is Riemannb
b
b
a
a
a
∫ (αf + βg ) = α ∫ f + β ∫ g .
integrálható és
Bizonyítás: ! Bk tetszőleges normális beosztássorozata [a, b] -nek. ∀I (αf + βg , Bk ) -ra
I (αf + β g , Bk ) = αI ( f , Bk ) + β I ( g , Bk ) .
Mivel a jobboldalnak ∃ határértéke, ezért a baloldalnak is és ez a határérték az integrál. Megjegyzés: 1. A tétel megfordítása nem igaz. 1 ha x rac. 0 ha x irrac.
0 ha x rac. 1 ha x irrac.
χ (x ) =
χ1 (x ) =
2. Teljes indukcióval tetszőleges n-tagra kiterjeszthető. T: Ha f , g : [a, b] → ℜ Riemann-integrálható, akkor f ⋅ g , Riemann -integrálható [a, b] -n és ha ∃C ∈ ℜ + g ( x ) ≥ c ∀x ∈ [a, b] -re, akkor
f is integrálható. g
Biz.: ! f ( x ) ≥ 0 és g (x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] -re. Jelölje mi
mi f
az f ⋅ g , f , g függvénynek infinumát [xi −1 , xi ]
mig
Mi
M if
M
M
f
az f ⋅ g , f , g függvénynek suprémumát [xi −1 , xi ] -n.
M ig
f ⋅ g , f , g függvények suprémumát [a, b] -n.
Mg
Ekkor fennállnak M i ≤ M i f M ig
mi ≥ mif mig .
M i − mi ≤ M i f M ig − mif mig = M i f M ig − M i f mig − M i f mig + M i f mig − mif mig =
(
)
(
)
= M i f M ig − mig + mig M i f − mif ≤ M
f
(M
g i
!ε tetszőleges és δ olyan, hogy β 〈δ ω ( f , β )〈 n
ω ( f ⋅ g , B ) = ∑ (M i − mi )∆xi ≤ M i =1
f
∑ (M n
i =1
g i
)
)
(
− mig + M g M i f − mif
ε 2M
g
és az (g , β )〈 n
(
)
ε 2M
f
)
− mig ∆xi + M g ∑ M i f − mif ∆xi i =1
ahonnan ω ( f ⋅ g , B )〈ε . Ezek után megmutatjuk, hogy a tétel igaz két tetszőleges integrálható függvény szorzatára is.
31
m f ≤ f ( x ) m g ≤ g ( x ) f ( x ) − m f ≥ 0 és g ( x ) − m g ≥ 0
(
)(
)
F = f − m f g − m g = fg − m g ⋅ g − m f ⋅ g − m g ⋅ f + m f ⋅ m g Megjegyzés: 1) A tétel kiterjeszthető tetszőleges n-tényezőre. x ha x rac. 2) Nem megfordítható f ( x ) = − x ha x irrac. Egyenlőtlenségek, középértéktételek Riemann-integrálra
Tétel: Ha f , g : [a, b] → ℜ , Riemann-integrálható függvények és akkor
b
b
a
a
f ( x ) ≤ g ( x ) ∀x ∈ [a, b] -re,
∫ f (x )dx ≤ ∫ g (x )dx.
Bizonyítás: ! Bk tetszőleges normális Beosztássorozat Bk = xik i = 0,1,...nk
ξ ik ∈ [xik=1 , xik ] tetszőleges ⇒ f (ξ ik ) ≤ g (ξ ik ) miatt I ( f , Bk ) ≤ I (g , Bk ) ⇒ a sorozatok és egyenlőtlenségekre vonatkozó tételből jön az állítás.
Tétel: Ha f : [a, b] → ℜ integrálható [a, b] -n akkor f és integrálható és
b
∫
b
f ≥
a
∫f a
Bizonyítás: Az integrálhatóság
(M
i
− mi )∆xi ≤ M i − mi ∆xi 〈ε
Az egyenlőtlenség − f ≤ f ≤ fb b
b
a
a
b
b
−∫ f ≤∫ f ≤∫ f a
⇒
∫ a
Tétel: (Középérték-tétel) ! f , g : [a, b] → ℜ
b
f ≤∫ f a
Riemann-integrálható függvények, továbbá b
b
b
a
a
a
m ≤ f (x ) ≤ M ∀x ∈ [a, b] -re és g ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] -re, akkor m ∫ g ≤ ∫ f ⋅ g ≤ M ∫ g .
Bizonyítás: m ⋅ g , f ⋅ g , M ⋅ g integrálhatók így az első tételből adódik az állítás.
32
Következmény: 1. ! f : [a, b ] → ℜ Riemann-integrálható és m ≤ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [a, b ] -n ekkor b
B: a fenti tételből g (x ) = 1 választással. m(b − a ) ≤ ∫ f ≤ M (b − a ) a
2. ! f : [a, b ] → ℜ folytonos, akkor ∃ ξ ∈ [a, b], f (ξ ) =
1 b−a
b
∫f. a
B: Az 1. következményben m = inf f ( x ) M = sup f ( x ) x ∈ [a, b] és b
1 b−a
∫
f ∈ [m, M ] ⇒ a Bolzano-tétel miatt ∃ ξ ∈ [a, b] , f (ξ ) =
a
1 b−a
b
∫f. a
Az integrál mint additív intervallum-függvény
Tétel: Ha f : [a, b] → ℜ R-integrálható [a, b] -n és c ∈ (a, b ) , akkor f R-integrálható [a, c ] -n és b
c
b
a
a
c
[c, b] -n és ∫ f = ∫ f + ∫ f . Bizonyítás: Először megmutatjuk, hogy f R-integrálható [a, c ] -n
([c, b] − n ). !
Bk
olyan
)(
)
normális beosztássorozata [a, b] -nek, ahol c osztópont marad. Ekkor 0 ≤ ω ( f , Bk )
[a , c ]
≤ ω ( f , Bk )
[a , b ]
(
⇒ lim ω f , Bk k →∞
[a , c ]
)= 0 .
Ezután igazoljuk, hogy fennáll az egyenlőség.
(
! Bk[a ,c ] és Bk[c ,b ] az [a, c ] és [b, c ] egy-egy normális beosztássorozata I f , Bk[a ,c ] I f , Bk[c ,b ] a hozzájuk tartozó integrálközelítő összeg ! Bk[a ,b ] = Bk[a ,c ] ∪ Bk[c ,b ] ekkor
(
[a , b ]
I f , Bk
) = I ( f , B )+ I ( f , B ) [a , c ]
[c ,b ]
k
k
→
b
c
b
a
a
c
∫ f =∫ f +∫ f
Tétel: ! f : [a, b ] → ℜ és c ∈ (a, b ) . Ha f R-integrálható [a, c ] -n és [c, b] -n ⇒ f R-integrálható b
c
b
a
a
c
[a, b] -n és ∫ f = ∫ f + ∫ f . Bizonyítás: Az, hogy az egyenlőség igaz az következik az előző tételből. ∀ε 〉 0 -hoz ∃B1 , ill. B2 olyan beosztása [a, c ] -nek, ill. [c, b] -nek, hogy ω ( f , B1 )〈
ω ( f , B ) = ω ( f , B1 ) + ω ( f , B2 )〈ε .
33
ε
ε
és ω ( f , B2 )〈 ⇒ B = B1 ∪ B2 2 2
Newton-Leibniz formula Tétel: ! f , F : [a, b] → R/ . Ha f R-integrálható [a, b] -n. F folytonos [a, b] -n és differenciálható (a, b ) -n, úgy F ′(x ) = f (x )(∀x ∈ (a, b ) − re ), akkor b
∫ f (x ) dx = F (b ) − F (a ) a
Bizonyítás: ! (Bk ) = {xik i = 0,1,...n k } egy normális beosztássorozat.
[ ] ζ ∈ (x F (x ) − F (x ) = F ′(ξ )(x − x ) = f (ξ )(x − x ) F (b ) − F (a ) = ∑ (F (x − Fx )) = ∑ f (ξ )(x − x ) = I ( f , B )
F teljesíti a Lagrange-tétel feltételeit az xik−1 , xik -on azaz ∃ k i
k i −1
k i
nk
i =1
k i
k i −1
k i
nk
k i =1
b
ahonnan ⇒
k i
k i
k i
i =1
k i
k i −1
)
, xik , hogy
k i −1
k i
k i −1
k
∫ f (x )dx = [ f (x )]
b a
a
A N-L szabály jelentősége igen nagy, mert a deriválás és integrálás kapcsolatát mutatja meg. Sok esetben igen egyszerű lehetőséget ad az integrál kiszámítására. Az integrál mint a felső határ függvénye
Definíció: ! f : [a, b] → R/ függvény R- integrálható [a, b] -n, ekkor az F : [a, b ] → R/ x
F ( x ) := ∫ f (t )dt a
függvényt az f integrálfüggvényének nevezzük. Tétel: ! f : [a, b ] → R/ R - integrálható [a, b] − on, akkor f integrál függvénye folytonos [a, b] on. Bizonyítás: Ha f integrálható ⇒ korlátos azaz ∃K > 0 ∈ R/ , hogy ∀x ∈ [a, b] − re f ( x ) ≤ K ! x, xo ∈ [a, b] tetszőleges, akkor ∀ε 〉 0 - hoz ∃δ 1 > 0, x
xo
a
a
F ( x ) − F ( xo ) = ∫ f (t )dt − ∫ f ( x )dx =
Tétel: Ha
ε
x
∫ f (t )dt ≤ K x − x
o
< Kδ 1
xo
akkor F(x ) − F ( x 0 ) < ε . K f : [a, b] → R/ R - integrálható
Ha δ 1 =
x − xo < δ 1 akkor
[a, b]
és folytonos
x
F ( x) = ∫ f (t )dt deriválható xo -ban és a
F ′( xo ) = f (x o )
Bizonyítás: x
∫ f (t )dt 1 F ( x ) − F ( x o ) xo = = x − xo x − xo x − xo
lim
x → xo
F (x ) − F (xo ) = lim f (ξ ) = f (x o ) ξ → xo x − xo
x
∫ f (t )dt = f (ξ )
xo
34
x ≤ ξ ≤ x0
x0 ∈ [a, b] -ben, akkor
Megjegyzés: ! f : [a, b] → R/ F : [a, b ] → R/
folytonos
[a, b] -n,
ekkor ∃ primitiv függvénye és az
x
F ( x ) = ∫ f (t )dt . a
Megjegyzés: f folytonossága nem szükséges feltétele annak, hogy integrálfüggvénye deriválható legyen. 1 1 2 x sin − cos ha x ≠ 0 Pl: f : [0,1] = x x 0 ha x = 0 akkor integrálfüggvénye 1 2 x ⋅ sin ha x ≠ 0 F : [0,1] = x 0 ha x = 0 mindenütt deriválható. Parciális és helyettesítéses R-integrál
Tétel: Ha f , g : [a, b] → R/ folytonosan deriválhatók akkor b
∫ a
b
f (x )g ′( x )dx = f (b )g (b ) − f (a )g (a ) − ∫ f ′( x )g ( x )dx .
Bizonyítás:
a
! F : [a, b] → R/ x
x
a
a
F ( x ) = ∫ f (t )g ′(t )dt + ∫ f ′(t )g (t )dt + f (a )g (a ) − f ( x )g ( x )
F deriválható és F ′( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = c F (a ) = 0 ⇒ c = 0 ⇒ F (b ) = 0 b
0 = F (b ) = ∫ a
b
f ( x )g ′( x )dx + ∫ f ′( x )g ( x )dx − f (a )g (a ) − f (b )g (b ) a
Tétel: ! g : [a, b ] → [c, d ] folytonosan deriválható függvény f : [c, d ] → R/ folytonos, akkor b
∫
f ( g (t )) ⋅ g ′(t )dt =
g (b )= d
∫ f (x )dx
g ( a )= c
a
Bizonyítás: B.sz. Tétel: (C − B − S ) Ha f , g : [a, b] → ℜ R-integrálható függvények b
∫ a
b f ( x ) ⋅ g ( x )dx ≤ ∫ f a
2
b
a
(x )dx ⋅ ∫ g 2 (x )dx
35
Az integrálszámítás néhány alkalmazása
Területszámítás Tétel: ! f , g : [a, b] → R/ folytonosak [a, b] − n és f ( x ) ≥ g ( x ) x ∈ [a, b] . Ekkor a két függvény az x = a, x = b görbéje által határolt síkidom területe b
T = ∫ ( f ( x ) − g ( x ))dx a
Bizonyítás: A tétel nyilvánvaló a határozott integrál geometriai jelentése alapján. x2 y2 Pl: Az ellipszis területe: 2 + 2 = 1. a b π a
a
2 b x a 2 − x 2 dx = 4b ∫ 1 − dx = 4ab ∫ cos 2 tdt = a a o o
T = 4∫ o
x = sin t a
dx = a cos t dt π
4ab sin 2t 2 π = t + = 2 ab + 0 − (0 + 0 ) = abπ 2 2 o 2 Paraméteresen adott görbe esetén β x = x(t ) α ≤ t ≤ β T = ∫ y (t )x& (t )dt . y = y (t ) t = x −1 ( x ) α b
β
a
α
((
β
) x&(t )dt = ∫ y(t ) x(t ) dt
T = ∫ y (x )dx = ∫ y x x −1 (t )
⋅
α
A görbe ívhosszának kiszámítása ! f : [a, b] → R/ folytonos [a, b] -n. Tekintsük az [a, b] egy normális
{
}
Bk = x ik a = x ok < x k , < ... < x knk = b beosztás sorozatát!
! Pi k (xik , f (xik )). k 0
k 1
k 2
(i = 0,1,...., nk )
k n
A P P P ...P töröttvonalat a görbe beirt poligonjának nevezzük. A
nk
∑P i =1
k k i −1 i
P a beirt poligon hossza.
Definíció: A görbét rektifikálhatónak nevezzük, ha a beírható poligonok hosszának a halmaza korlátos. Definíció: A beirt poligonok hossza halmazának felső határát a görbe ívhosszának nevezzük. (Azt a határértéket, amelyhez a görbére írt poligonok hosszának sorozata tart ∀ normális {Bn } esetén.) Tétel: ! f [a, b ] → R/ folytonosan deriválható [a, b] − n, ekkor f [a, b] -hez tartozó grafikonjának íve b
L = ∫ 1 + f ′(x 2 )dx. a
36
Bizonyítás: k rögzített ! Bk = {xik }a = xok < x k , < ... < x nkk = b} nk
nk
i =1
i =1
Lnk = ∑ Pi −1 Pi = ∑
(x
k i
[
− xik−1
egy beosztása
) + ( f (x ) − f (x )) 2
i k
k i −1
2
]
Az f függvény az xik−1 , xik − n teljesíti a Lagrange-tétel feltételeit ezért
∃ξ ik ∈ (xik−1 , xik ), hogy
f ′(ξ ik )(xik − xik−1 ) = f (xik ) − f (xik−1 )
( ) (x
nk
Lnk = ∑ 1 + f ′ 2 ξ ik i =1
k i
− xik−1
)
1 + f ′ 2 Riemann-összege és mivel ez
és ez a
folytonos ezért integrálható. b
Ln → ∫ 1 + f ′ 2 ( x ) dx a
a
⋅β
L=
Paraméteresen
∫
⋅
⋅
x 2 (t ) + y 2 (t ) dt
a
Forgástest térfogata
Tétel: ! f : [a, b] → R/ folytonos [a, b] -n, f ( x ) ≥ 0∀x ∈ [a, b] -re ekkor f [a, b ]-hez tartozó ívének megforgatásával létrejött forgástest térfogata. b
V =π∫ f
{
2
(x )dx
a
}
(i = 1,2,... nk ) egy beosztássorozat [a, b] -
Bizonyítás: ! Bk = xik a = xok < x1k < x 2k ... < x nkk = b nek. mik = inf f ( x) M ik = sup f ( x ) nk
Va = ∑ πmik ∆xik 2
i =1
[
x ∈ xik−1 , xik nk
]
ξ i ∈ [xik−1 , xik ]
V f == ∑ πM ik ∆xik 2
i =1
nk
( )
V = ∑ π f 2 ξ ik ∆xik i =1
Va ≤ V ≤ V f ↓ b
π ∫ f 2 ( x )dx a
Általánosan: Ha T ( x ) jelöli egy test x tengelyre merőleges síkmetszetének a területét a ≤ x ≤ b , ekkor b
V = ∫ T (x )dx. a
Paraméteresen:
37
β
⋅
V = ∫ y 2 (t ) x(t )dt α
2
Pl:
x y2 + =1 a2 b2
y = b 1−
x2 a2
2
a x2 x2 V = π ∫ b 1 − 2 dx = b 2π ∫ 1 − 2 a a − a a a
4 dx = πab 2 3
Forgástest palástjának felszíne
Ha az f : [a, b] → R/ folytonos függvény [a, b] -hez tartozó ívét az x tengely körül megforgatjuk akkor az ív egy forgástest palástját írja le. Ha a görbébe egy töröttvonalat is írunk és azt is vele forgatjuk, akkor a töröttvonal egy csonkakúppalástokból összetett felületet fog leírni. Definíció: A forgástest palástjának a felszínén azt a határértéket értjük, amelyhez a görbébe írt töröttvonal forgatásának előálló forgásfelület tart, ha a görbébe írt töröttvonal egy olyan töröttvonal sorozatot fut be, amelynél a leghosszabb oldal hossza is a 0-hoz tart. Tétel: ! f , g → R/ és Bk egy normális beosztássorozata [a, b] -nek
ξ ik ,η ik ,∈ [xik−1 , xik ]
( ) ( )
nk
∧
I ( f ⋅ g , Bk ) = ∑ f ξ ik ⋅ g η ik ∆xik . i =1
b
Ha f és g folytonosak, akkor Iˆ( f ⋅ g , Bk ) → ∫ f ⋅ g . a
Bizonyítás: B.sz. Tétel: Ha f : [a, b] → R/ folytonosan deriválható [a, b] -n, akkor f [a, b] -hez tartozó ívének forgatásával előálló forgástest felszíne b
F = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx . a
Bizonyítás: ! B egy beosztása [a, b] -nek. Pi ( xi , f ( xi )) A Pi −1 , Pi egy csonkakúpfelületet ír le f ( xi −1 ) + f ( xi ) Ti = 2π hi 2 Mivel f folytonos ezért ∃ξ ∈ ( xi −1 , xi ) f (ξ i ) =
f ( xi −1 ) + f ( xi ) 2
Ti = 2πf (ξ i ) ( xi − xi −1 ) + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = 2πf ( xi ) 2
2
(η i ∈ ( xi , xi −1 ) Lagrange-tétel.) n
b
i =1
a
Fn = ∑ Ti → 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx.
38
1 + f 12 (η i ) ∆xi
β
Paraméteresen F = 2π ∫ y (t ) x& 2 (t ) + y& 2 (t )dt α
Numerikus integrálok
Téglányformula ! f : [a, b] → R/ folytonos függvény b
Def. szerint
∫
n
f ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )∆xi n →∞
a
(*)
i =1
Közelítőleg úgy tekinthetjük, hogy b
∫
n speciálisan ∑ M i ∆xi b i =1 ∫a f (x )dx ≈ ∑n mi ∆xi i =1
n
f ( x )dx ≈ ∑ f (ξ i )∆xi i =1
a
b−a és ξ i gyanánt az [xi −1 , xi ] kezdő vagy végpontját választjuk, akkor n b b−a ∫a f (x )dx ≈ n [ f (a ) + f (x1 ) + ... + f (xn−1 )]
! ∆xi =
b
b−a [ f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (b )]. n a Az integrálnak-e képlet szerint való kiszámításánál elkövetett hiba nem nagyobb mint ∑(M i − mi )∆xi .
∫ f (x )dx ≈
Ha f ′(x ) korlátos akkor ∃ K ∈ R/ + f ′(x ) ≤ K . Ekkor Lagrange tétel szerint M i − mi = f (ξ i ) − f (η i ) = f ′(γ i )ξ i − η i ≤ K ∆xi n
∑ (M i =1
i
− mi )∆xi ≤ Kε∆xi
Ha [a, b] -t n egyenlő részre osztjuk ∆xi = b
∫
n
f ( x )dx − ∑ f (ξ i )∆xi < K n
(b − a )2
i =1
a
b−a n
n2
K (b − a ) <ε n 2
=
Trapéz formula: a (*) spec. esete b
∫ a
n
f ( x )dx = ∑ i =1
f ( xi −1 ) + f ( xi ) ∆xi 2
Ui Bolzano-tétel szerint ∃ξ i ∈ (xi −1 , xi )
b
∫ a
f (ξ i ) =
f ( xi −1 ) + f (xi ) 2
f ( xi ) + f ( xi −1 ) ∆xi trapéz területe 2 f ( x n −1 ) + f (b ) b − a f (a ) + f ( x ) f ( x1 ) + f ( x 2 ) f (x )dx = + + ... + n 2 2 2
39
a hiba:
=
b − a f (a ) + f (b ) + f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x1−1 ) n 2
(b − a )3 ⋅ K < ε .
n>
12n 2
(b − a )3 K
f ′′( x ) ≤ K
12ε
Simpson módszer: A trapéz-szabályhoz hasonlóan egyszerű, de pontosabb lényege, hogy a görbét nem húrral b−a . hanem parabola ívvel helyettesítjük. Osszuk az [a, b] -ot 2n egyenlő részre. !h = 2n b h ∫a f (x ) dx ≈ 3 ( y0 + y 2n + 4( y1 + y3 + ... + y 2n−1 ) + 2( y 2 + y 4 + ... + y 2n−2 )) a hiba
(b − a )5 ⋅ K 〈ε
f (x ) ≤ K
2880n 4
Függvénysorok
Definíció: Legyenek f1 , f 2 ,..., f n ,... : D → R/ függvények. A ∞
∑ f (x ) sort függvénysornak nevezük. n =1
Definíció: A
n
∑ f (x ) függvénysor konvergens az x n
o
∈ D pontban, ha a
∞
∑ f (x ) numerikus sor konvergens. n =1
n
o
∞
∑ f (x ) függvénysor konvergenciapontjának nevezzük. A konvergenciapontok összességét a ∑ f ( x ) konvergenciatartományának nevezzük. Definíció: ! D a ∑ f ( x ) függvénysor konvergencia tartománya, akkor az s ( x ) = ∑ f ( x ) Az
xo pontot a
n =1
n
n
∞
n =1
n
n
n
k =1
k
el értelmezett (n = 1,2,...) s n (x ) sorozatot a függvénysor részletösszeg sorozatának nevezzük. Definíció: A
∞
∑ f (x ) függvénysor összegfüggvényén a n =1
n
lim s n ( x ) = s( x ) n→∞
Pl: 1)
∞
∑ xn n =0
(x ∈ D ) függvényt értjük.
s n ( x ) = 1 + x + x 2 + ... + x n =
x n +1 − 1 x −1
(ez konvergens x < 1 )
1 = s(x ) . n→∞ 1− x Megjegyzés: A numerikus sorokkal kapcsolatban megvizsgáltuk, hogy érvényben maradnak-e a véges összegekre megismert általános szabályok. Láttuk, hogy nem, s alkottunk egy speciális konvergenciafogalmat. Ugyanúgy merül fel a kérdés a függvénysorokkal kapcsolatban is: a) A folytonos függvényekből alkotott függvények összegfüggvénye folytonos-e? b) Az integrálható függvényekből alkotott függvények végtelen sorának lim s n ( x ) =
40
tagonkénti integrálása ugyanazt adja-e mint az összegfüggvény integrálja? c) Érvényes-e a tagonkénti deriválás szabálya. A válasz általában nem.
∑ (x ∞
Pl:
− x n −1 ) = ( x − 1) + (x 2 − x ) + (x 3 − x 2 ) + ... + függvénysor
n
n =1
folytonosak. Összegfüggvénye s ( x ) = lim s n ( x ) = lim( x − 1) m →∞
n →∞
nem folytonos a (0,1] -on. A
∞
∑ f (x ) n =1
tagjai
a
(0;1] -en
x n − 1 − 1 ha x ∈ (0,1) = x − 1 1 ha x = 1.
függvénysor konvergenciájának vizsgálatánál ugyanahhoz az ε > 0 -hoz más no
n
tartozik, ha x0 más. Ha ∃n0 amely csak ε -tól függ, akkor a
∞
∑ f (x ) n =1
n
egyenletesen
konvergens. ∞
∑ f (x )
Definíció: Az
n =1
függvénysor egyenletesen konvergál a D halmazon az s ( x )
n
függvényhez, ha ∀ε > 0 -hoz ∃no ∈ N/ , hogy ha n > no , akkor s n ( x ) − s( x ) < ε , ∀x ∈ D esetén. Az összegfüggvény nélkül is meg lehet fogalmaznia az egyenletes konvergenciát a Cauchy féle konvergencia kritérium alapján. ∞
∑ f (x )
Tétel: (Cauchy-féle konvergencia kritérium) A
n
n =1
konvergens
D-n,
∀ε > 0 -hoz
ha
függvénysor ⇔ egyenletesen
∃ no ∈ N/ , ha ∀n, m > no
s n (x ) − s m (x ) < ε .
és x ∈ D
esetén
Bizonyítás: A Cauchy féle konvergencia kritériumból jön. Tétel: (Egyenletes konvergencia és folytonosság) Ha az f1 , f 2 ,..., f n ,.... függvények folytonosak xo -ban ( x o ∈ D és kovergál D − n s ( x ) -hez, akkor s ( x ) folytonos xo -ban. Bizonyítás: ! xo ∈ D és ε 1 > o tetszőleges. ∞
∑ f (x ) n =1
n
egyenletes konvergenciája miatt ε 1 =
∀x ∈ D − re s n ( x ) − s ( x ) < ε 1 ,
s n ( x ) folytonos xo ban, így ε 1 > o ∃ δ 1 > o,
ε 3
∞
∑ f (x ) n =1
n
egyenletesen
-hez ∃ no ∈ N/ , hogy ha n > no és
x − xo < δ 1 ⇒ s n (x ) − s n (xo ) ε 1
s(x ) − s(xo ) ≤ s(x ) − s n (x ) + s n (x ) − s n (xo ) + s n (xo ) − s(xo ) < ε 1 + ε 1 + ε 1 = ε
Tehát ha ε 1 = s(x ) − s(xo )
ε
és δ = δ 1 akkor x − xo < δ esetén 3 < ε , azaz s folytonos xo -ban.
Tétel: (Weierstrass) Ha a
∞
∑
∞
f ( x ) függvénysorhoz ∃
∑a
n =1
f n (x ) ≤ a n
n =1
∀x ∈ D - re és (n ∈ N/ ) -re ekkor
∞
konvergens numerikus sor, hogy
∑ f (x ) egyenletesen konvergens D-n. n =1
41
n
n
Bizonyítás: Sorokra vonatkozó majoráns kritérium és a Cuchy féle konvergencia kritériumból következik.
∑ a n konvergens ⇒ ∀ε 〉 0 ∃no ∈ N/ , ha n, m > no akkor n
s m (x ) − s n (x ) =
∑
∑ f (x )
Definíció: A
f k (x ) ≤
k = m +1
n
∑ f (x ) ≤ ∑ a
k = m +1
k
k
n
∑a
k = m +1
k
< ε , ekkor ∀x ∈ D -re.
<ε
függvénysor abszolút konvergens D-n, ha ∀x ∈ D -re
n
∑ f (x ) n
konvergens. Hatványsorok ∞
∑ C (x − x ) (C
Definíció: A
n
n
n =0
o
n
, x, xo ∈ R/ )
függvénysort
xo
körüli hatványsornak
nevezzük. Mivel az xo körüli hatványsor, az x − x o = z eltolással origó körüli hatványsorba megy át, ezért a továbbiakban csak a ∞
∑ C x hatványsort vizsgáljuk. Tétel: (Ábel): Ha a ∑ C x hatványsor konvergens egy x ≠ o pontban , akkor abszolút konvergens a (− x , x ) -ban. Bizonyítás: Mivel a ∑ c x konvergens, ezért általános tagja tart a 0-hoz, azaz n
n
n =o
n
o
n
o
o
n
n
o
n
n
C n xo → 0 ⇒ ∃ K > 0
C n xo ≤ K . n
x ∑ C n x = ∑ C n xo x és tekintsük a o n
n
x ∑ C n ⋅ x = ∑ C n xo x o n
n
n
x ≤ ∑ K xo
n
ez utóbbi egy konvergens geometriai sor
x < x o esetén.
Tehát a
∑C
n
x n sor abszolút konvergens x < x o esetén.
A hatványsor a (− xo , x o ) minden [a, b] intervallumában egyenletesen konvergens. Következtetés: Ha a
∑C
n
x m hatványsor divergens az xo pontban, akkor divergens minden
x pontban amelyre x ≥ x o .
Ha ugyanis a hatványsor konvergens lenne egyetlen olyan x1 pontban amelyre x1 > x o ⇒ Ábel tétele értelmében xo -ban is konvergensnek kellene lenni. 2, Egy
∞
∑C n =o
n
x n hatványsor konvergenciatartománya csak a 0 pontból vagy a számegyenes
minden pontjából, vagy egy az origóra szimmetrikus (− R, R ) intervallumból áll. Ez utóbbi esetben a hatványsor az intervallum végpontjaiban különbözőképpen viselkedhet. Lehet mindkét végpontban konvergens és divergens illetve egyikben konvergens a másikban divergens. 42
Tétel: (Cauchy-Hadamard) Legyen adott
∞
∑C n =c
n
x n htványsor és
1 1 R= =l = l R = c lim C n lim n +1 n →∞ n →∞ c n 1, ha l = o akkor ∀x ∈ R/ pontban abszolút konvergens R = ∞ . 2, ha l = ∞ akkor csak az x = o -ban R = o 3, ha o < l < ∞ akkor (− R, R ) -ben abszolút konvergens x 〉 R esetén divergens, a
hatványsor x = o -ban abszolútkonvergens. Bizonyítás: B.sz. Definíció: Az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. A (− R, R ) -ot a hatványsor konvergencia intervallumának nevezzük. Pl:
∞
x x2 = 1+ x + + .... 2 n =1 n 1 R= = 1. 1 lim n n→∞ n
a) 1 + ∑
az x = −1 helyen konvergens az x = 1 helyen divergens ∞ xn x2 x3 b) x + ∑ n = 1 + x + 2 + 3 + ... 2 3 n =1 n 1 =∞ R= 1 lim n n n n =1
c)
∞
∑ n! x
n
= 1 + x + 2! x 2 + 3! x 3 + ...
n =o
1 = 0. ( n + 1)! lim n →∞ n! Tétel: (Hatványsorok tagonkénti deriválása) R=
Ha a (1)
∞
∑c n =0
n
x n hatványsor konvergencia-sugara R ≠ 0 , akkor a hatványsor
f ( x ) összegfüggvénye minden olyan x pontban deriválható, amelyre − R < x < R és ∞
f ′( x ) = ∑ nc n x n −1 .
(*)
n =1
Bizonyítás: Először megmutatjuk, hogy a (*) sor is konvergens. ! x ∈ (− R, R ) és r > o olyan x < r < R. Az (1) sor x = r esetén konvergens ezért C n r n → 0 azaz C n r n ≤ K (K > o ) .
43
n −1
n −1
C rn x K x Vizsgáljuk (*) általános tagját nC n x = n n ≤ n (**)ez utóbbi r r r r konvergens, ugyanis D’Alembert-féle kritériumot alkalmazva. n (n + 1) K x a n +1 n +1 x x r r = = → 〈1 . n −1 an n r r K x n r r Tehát (**) sor majorálja (*) és ezért (*) sor abszolút és egyenletesen konvergens (-R,R)-ben. Megmutatja, hogy (1)-nek és (*)-nek ugyanaz a konvergense. 1 1 R* = = = R. lim n n c n lim n c n n −1
n→∞
n →∞
Tétel: Ha a
∞
∑c n =0
n
x n hatványsor konvergencia sugara R ≠ 0 és f ( x ) az összegfüggvénye,
akkor minden olyan [a, b] ⊂ (− R, R ) fennáll h
∫ a
∞ b
∞
[ ]
cn x n +1 + 1 n n =0
f (x )dx = ∑ ∫ c n x n dx = ∑ n =0 a
b a
Bizonyítás: B.sz. A Taylor-sor
! f : D → Rx0 ∈ D és f az x0 pontban akárhányszor deriválható. Definíció: Az f függvény x0 ponthoz tartozó Taylor-során az
∞
f ((xn0 ))
n =0
n!
∑
( x − x 0 )n
hatványsort
értjük. Tétel: Az f függvénynek az x0 ponthoz tartozó Taylor-sora ⇔ konvergál az f-hez valamely intervallumon, ha a Taylor-formula maradéktagjainak sorozata nullához konvergál ugyanezen az intervallumon. Megjegyzés: x0 = 0 , akkor a Taylor-sort Mac Laurin sornak nevezzük. ! f : D → ℜ és x0 ∈ D Definíció: Az f függvény analitikus az x0 pontban, ha ∃ δ 〉 0(δ ∈ ℜ ) , hogy f x0 -hoz tartozó Taylor-sora konvergens a V ( x0 , δ ) ∩ D halmazon és ∞
f ((xn0 ))
n =0
n!
f (x ) = ∑
( x − x 0 )n
∀x ∈ V ( x0 , δ ) ∩ D .
Impróprius integrál 1. Nem korlátos függvény impróprius integrál integrálja D :!(a, b] → ℜ az (a, b] minden pontjában értelmezve, de az a pont környezetében nem korlátos. 44
Ha az f ( x ) bármely [a + ε , b] intervallumon Riemann-integrálható és a (0〈ε 〈b − a ) b
lim ε →0
∫ f (x ) dx
határérték ∃ akkor az f függvény az [a, b] -on imprópriusan integrálhatónak
a +ε
nevezzük és az f integrálján a határértéket értjük. b
b
∫ f (x ) dx = lim ∫ε f (x ) dx ε →0
a
a+
Ha az [a, b] -ban véges sok olyan pont van, amelyek környezetében a függvény nem korlátos, akkor ezen pontok segítségével feldaraboljuk az intervallumot részintervallumnak és ezeken a részintervallumokon külön-külön megnézzük, hogy léteznek-e a imprópius integrálok, ha igen, akkor ezek összegeként definiáluk az [a, b] -n az imprópius integrált. Ha pl. az a = c0 〈 c1 〈 c...〈 c n = b azok a pontok, ahol a f nem körlátos akkor ha ∃ -nek a ci + ε
lim ε →0 b
∫ f (x ) dx , akkor
ci −1 +ε
n
ci −ε
lim ∫ f ( x ) dx. (0〈 2ε 〈 min (ci − ci −1 )) ∫ f (x ) dx = ∑ ε →0 i =1 a
ci −1 +ε
2. Végtelen intervallumon vett improprius integrálok b
Definíció: ! f ∀x ≥ a helyen értelmezett és ∀[a, b] -n (a〈b ) integrálható, ha lim ∫ f (x ) dx b →∞
határérték létezik, akkor ezt a határértéket az f függvény
(a, ∞ ) -on
∞
integráljának nevezzük, azaz
∫ f (x ) dx = lim f (x ) dx. a
b →∞
Az x − r improprius inegrálja (r 〉 0 ) 1 1 1 ha 0〈 r 〈1 11− r ε 1− r x − r +1 1 1 = 1 − r dx = lim = lim − r ∫0 x r dx = lim ∫ ε →0 ε →0 1 − r ε ε →0 1 − r 1 − r ∞ 0 +ε x ha r 〉1 b ha 0〈 r 〈1 ∞ b ∞ x 1− r b1− r 11− r 1 1 = 1 − dx = lim = blim ∫1 x r dx = blim b→∞ 1 − r →∞ ∫ x r → ∞ 1 − r 1 − r ha r 〉1 1 1 r −1 1
45
a
vett improprius
