ANALISIS KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN BARU UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA Rini Christine Prastika Sitompul1∗ 1
2
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the uniqueness and convergence analysis of the new Adomian decomposition method, modified from Adomian decomposition method, to solve a nonlinear Volterra integral equation of the second kind. Numerical comparison through two examples shows that the solutions of nonlinear Volterra integral equations of the second kind obtained through the new Adomian decomposition method is better than that of Adomian decomposition method. Keywords: Adomian decomposition method, convergence analysis, nonlinear Volterra integral equation of the second kind ABSTRAK Artikel ini membahas ketunggalan dan analisis konvergensi metode dekomposisi Adomian baru, dimodifikasi dari metode dekomposisi Adomian, untuk memecahkan persamaan integral Volterra nonlinear dari jenis kedua. Perbandingan numerik melalui dua contoh menunjukkan bahwa solusi dari nonlinear Volterra persamaan integral dari jenis kedua diperoleh melalui metode dekomposisi Adomian baru lebih baik dari yang diperoleh dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: Metode dekomposisi adomian, analisis konvergensi, persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua 1. PENDAHULUAN Salah satu permasalahan di alam yang dapat dibuat model matematika dinyatakan dalam bentuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua yang bentuk umumnya mengandung fungsi f yang tidak diketahui diberikan oleh[3] Z t y(t) = x(t) + k(t, τ )f (y(τ ))dτ. (1) 0
Repository FMIPA
1
Pada persamaan (1), diasumsikan x(t) terbatas untuk semua t ∈ J = [0, T ], dan kernel k(t, τ ) diasumsikan untuk membatasi |k(t, τ )| ≤ M, untuk setiap 0 ≤ τ ≤ t ≤ T , dimana f (y(τ )) adalah fungsi nonlinear dari y(τ ). Bentuk nonlinear f (y) adalah kontinu Lipschitz dengan definisi |f (y) − f (z)| ≤ L |y − z| .
(2)
Penyelesaian persamaan (1) dapat dilakukan dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian baru yang merupakan hasil modifikasi dari metode dekomposisi Adomian lama. Dengan menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan integral nonlinear diperoleh solusi yang mendekati solusi eksak. Pada artikel ini bagian dua dibahas metode dekomposisi Adomian baru dan lama, kemudian pada bagian tiga dibahas konvergensi metode dekomposisi Adomian baru terhadap persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua yang merupakan kajian ulang dari artikel I.L. El-Kalla [3], dengan judul ”Convergence of the Adomian method applied to a class of nonlinear integral equations” dan kemudian dilanjutkan dengan melakukan uji komputasi numerik. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN 2.1 Metode Dekomposisi Adomian Lama[1] Metode dekomposisi Adomian terdiri dari penguraian solusi deret dalam bentuk deret fungsi ∞ X y(t) = yi (t), (3) i=0
dengan yi adalah perhitungan rekursif dan fungsi nonlinear dari fungsi f (y) didefinisikan sebagai ∞ X Ai (y0 , y1 , · · · , yi ), (4) f (y) = i=0
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh ∞ X
Z yi (t) = x(t) +
i=0
t
k(t, τ ) 0
∞ X
Ai (y0 , y1 , · · · , yi (τ ))dτ,
(5)
i=0
dari persamaan (5) dapat diketahui A0 fungsi dari y0 , A1 fungsi dari y0 dan y1 , A2 fungsi dari y0 , y1 dan y2 ,. . . ,sehingga Ai fungsi dari y0 , y1 , . . . dan yi . Dari persamaan
Repository FMIPA
2
(5) dapat dibentuk rumus rekursif sebagai berikut y0 (t) = x(t), Z t k(t, τ )A0 (y0 (τ ))dτ, y1 (t) = 0 Z t k(t, τ )A1 (y0 , y1 (τ ))dτ, y2 (t) = 0
.. .. .=. Z t yi (t) = k(t, τ )Ai−1 (y0 , y1 , · · · , yi (τ ))dτ.
(6)
0
Fungsi nonlinear f (y) pada persamaan (1) dapat diperluas menggunakan deret Taylor untuk y mendekati y0 yaitu 1 1 00 000 (y − y0 )2 f y0 + (y − y0 )3 f (y0 ) + · · · 2! 3! 1 0 00 f (y) = f (y0 ) + f (y0 )(y1 + y2 + y3 + · · · ) + (y1 + y2 + y3 + · · · )2 f (y0 ) 2! 1 000 + (y1 + y2 + y3 + · · · )3 f (y0 ) + · · · 3! 1 00 0 f (y) = f (y0 ) + f (y0 )(y1 + y2 + y3 + · · · ) + f (y0 )(y12 + 2y1 y2 + 2y1 y3 2! 1 000 + · · · + y22 + 2y2 y3 + · · · + y32 + · · · ) + f (y0 )(y13 + 3y12 y2 3! 2 2 2 3 + 3y1 y2 + 3y1 y3 + 3y1 y3 + · · · + y2 + 3y22 y3 + 3y2 y32 + · · · + 3y32 + · · · ). (7) 0
f (y) = f (y0 ) + (y − y0 )f (y0 ) +
Dari persamaan (7) diperoleh polinomial Adomian lama sebagai berikut A0 = f (y0 ), A1 = y1 f 0 (y0 ), A2 = y2 f 0 (y0 ) +
1 2 00 y f (y0 ), 2! 1
A3 = y3 f 0 (y0 ) + y1 y2 f 00 (y0 ) +
1 3 000 y f (y0 ), 3! 1
.. .. .=. n X ∞ 1 d i An = f λ yi . n! dλn i=0
Repository FMIPA
(8)
3
2.2 Metode Dekomposisi Adomian Baru[4] Bedasarkan persamaan (7) dapat disusun sebagai berikut 1 1 f (y) = f (y0 ) + y1 f 0 (y0 ) + y12 f 00 (y0 ) + y13 f 000 (y0 ) + · · · + y2 f 0 (y0 ) 2! 3! 1 1 2 + (y2 + 2y1 y2 )f 00 (y0 ) + (3y12 y2 + 3y1 y22 + y23 )f 000 (y0 ) 2! 3! 1 + · · · + y3 f 0 (y0 ) + (y32 + 2y1 y3 + 2y2 y3 )f 00 (y0 ) 2! 1 3 2 000 2 + (y3 + 3y3 (y1 + y2 ) + 3y3 (y1 + y2 ) )f (y0 ) + · · · . 3!
(9)
Sehingga diperoleh polinomial Adomian[4] A0 = f (y0 ), A1 = y1 f 0 (y0 ) + 2!1 y12 f 00 (y0 ) + 3!1 y13 f 000 (y0 ) + · · · , A2 = y2 f 0 (y0 ) + 2!1 (y22 + 2y1 y2 )f 00 (y0 ) + 3!1 (3y12 y2 + 3y1 y22 +y23 )f 000 (y0 ) + · · · , A3 = y3 f 0 (y0 ) + 2!1 (y32 + 2y1 y3 + 2y2 y3 )f 00 (y0 ) + 3!1 (y33 + 3y32 (y1 + y2 ) + 3y3 (y1 + y2 )2 )f 000 (y0 ) + · · · .. . . = .. Misalkan jumlah parsial Sn = sebagai berikut
Pn
i=0
(10)
yi (t), maka persamaan (10) diperoleh hasil
A0 = f (y0 ) = f (S0 ), 1 2 00 1 3 000 0 A0 + A1 = f (y0 ) + y1 f (y0 ) + y1 f (y0 ) + y1 f (y0 ) + · · · , 2! 3! = f (y0 + y1 ), A1 = f (S1 ), 1 A0 + A1 + A2 = f (y0 + y1 ) + y2 f 0 (y0 ) + (y22 + 2y1 y2 )f 00 (y0 ) 2 1 2 2 3 000 + (3y1 y2 + 3y1 y2 + y2 f (y0 ) + · · · , 6 = f (y0 + y1 + y2 ) A2 = f (S2 ) .. .. .=. A0 + A1 + A2 + · · · + An = f (y0 + y1 + y2 + · · · + yn ). P Misalkan A0 + A1 + A2 + · · · = n−1 i=0 Ai maka n−1 X
Ai + An = f (Sn ),
i=0
Repository FMIPA
4
sehingga diperoleh rumus lain untuk polinomial Adomian baru An = f (Sn ) −
n−1 X
Ai .
(11)
i=0
3. ANALISIS KONVERGENSI PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA Teorema 1 (Teorema Ketunggalan) [3] Masalah persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua pada persamaan (1) memiliki solusi tunggal bilamana 0 < α < 1, dengan α = LM R t T , dimana L= fungsi Lipschitz, M = batas |k(t, τ )| ≤ M dan T = t ∈ J = [0, T ], 0 dτ ≤ T . Bukti: Asumsikan y dan y ∗ dua solusi berbeda untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua sehingga Z t y= k(t, τ )f (y) dτ, (12) 0
dan Z
∗
y =
t
k(t, τ )f (y ∗ ) dτ.
(13)
0
Selanjutnya dengan mengurangi persamaan (12) ke persamaan (13) diperoleh Z t Z t ∗ y−y = k(t, τ )f (y) dτ − k(t, τ )f (y ∗ ) dτ (14) 0
0
Jika kedua ruas di mutlakkan maka persamaan (14) dapat ditulis Z t ∗ ∗ |y − y | = k(t, τ )(f (y) − f (y )) dτ .
(15)
0
Bedasarkan teorema nilai mutlak sehingga persamaan (15) menjadi Z t ∗ |y − y | ≤ |k(t, τ )| |(f (y) − f (y ∗ ))| dτ.
(16)
0
Pada persamaan (16) yang memenuhi kontinu Lipschitz dengan |k(t, τ )| ≤ M, untuk setiap 0 ≤ τ ≤ t ≤ T diperoleh Z t ∗ |y − y | ≤ M |f (y) − f (y ∗ )| dτ, 0 Z t ∗ ≤ M L |y − y | dτ, 0 Z t ∗ ∗ |y − y | ≤ LM |y − y | dτ. (17) 0
Repository FMIPA
5
Karena t ∈ J = [0, T ] maka
Rt 0
dτ ≤ T , sehingga persamaan (17) dapat ditulis
|y − y ∗ | ≤ LM |y − y ∗ | T, ≤ LM T |y − y ∗ |, |y − y ∗ | ≤ α |y − y ∗ |.
(18)
Persamaan (18) dapat ditulis menjadi (1 − α)|y − y ∗ | ≤ 0, dimana 0 < α < 1, sehingga |y − y ∗ | = 0, maka terbukti y = y ∗ . Teorema 2 P (Kekonvergenan Metode Dekomposisi Adomian) [3] Solusi deret ∞ i=0 yi (t) pada permasalahan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua pada persamaan (1) menggunakan metode dekomposisi Adomian konvergen jika 0 < α < 1 dan |y1 | < ∞. Bukti: Misalkan (C[J], k.k) ruang Banach dari setiap fungsi kontinu pada J yang bernorm kf (t)k = max∀t∈J |f (t)|. Definisi suatu barisan dari jumlah parsial {Sn }; misalkan Sn dan Sm merupakan dua penjumlahan parsial dengan n ≥ m. Sekarang akan dibuktikan bahwa {Sn } adalah barisan Cauchy di ruang Banach. kSn − Sm k = max |Sn − Sm | t∈J n m X X kSn − Sm k = max yi (t) − yi (t) t∈J i=0
(19)
i=0
Bedasarkan persamaan (6) maka persamaan (19) diperoleh n Z t m Z t X X k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ , k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ − kSn − Sm k = max t∈J
i=0
0
i=0
0
n Z t m Z t X X = max k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ − k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ t∈J i=0 0 m Z t X
+
i=0
i=0 0 m Z t X
k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ −
0
i=0
Z n−1 t X kSn − Sm k = max k(t, τ ) Ai (τ )dτ , t∈J 0
0
k(t, τ )Ai−1 (τ )dτ , (20)
i=m
dengan menggunakan persamaan (4) maka persamaan (20) dapat ditulis dengan Z t kSn − Sm k = max k(t, τ ) (f (Sn − 1) − f (Sm − 1)) dτ . (21) t∈J 0
Pada persamaan (21) yang memenuhi kontinu Lipschitz dengan |k(t, τ )| ≤ M, untuk setiap 0 ≤ τ ≤ t ≤ T sehingga diperoleh Z t kSn − Sm k ≤ L max M |Sn−1 − Sm−1 | dτ, t∈J 0 Z t kSn − Sm k ≤ LM max |Sn−1 − Sm−1 | dτ. (22) t∈J
Repository FMIPA
0
6
Karena t ∈ J = [0, T ] maka
Rt 0
dτ ≤ T . Sehingga persamaan (22) menjadi
kSn − Sm k ≤ LM T kSn−1 − Sm−1 k , kSn − Sm k ≤ α kSn−1 − Sm−1 k .
(23)
Pada persamaan (23) dimisalkan n = m + 1, maka kSm+1 − Sm k ≤ α kSm − Sm−1 k ≤ α2 kSm−1 − Sm−2 k ≤ · · · ≤ αm kS1 − S0 k . (24) Dengan menggunakan sifat norm[2] pada persamaan (24) diperoleh kSn − Sm k = kSm+1 − Sm + Sm+2 − Sm+1 + · · · + Sn − Sn−1 k , ≤ kSm+1 − Sm k + kSm+2 − Sm+1 k + · · · + kSn − Sn−1 k , kSn − Sm k ≤ αm (1 + α + α2 + · · · + αn−m−1 ) kS1 − S0 k .
(25)
Jika kedua ruas persamaan (25) dikalikan dengan α maka diperoleh α kSn − Sm k ≤ (αm+1 + αm+2 + · · · + αn ) kS1 − S0 k .
(26)
Berikutnya persamaan (25) dikurangkan ke persamaan (26), sehingga diperoleh (1 − α) kSn − Sm k ≤ (αm − αn ) kS1 − S0 k n−m m 1−α kSn − Sm k ≤ α kS1 − S0 k . 1−α Misalkan S1 − S0 = y1 (t) persamaan (27) menjadi 1 − αn−m m kSn − Sm k ≤ α ky1 (t)k . 1−α
(27)
(28)
Karena 0 < α < 1 dan n ≥ m maka (1 − αn−m ) ≤ 1 sehingga persamaan (28) dapat ditulis dengan m α αn kSn − Sm k ≤ − ky1 (t)k . (29) 1−α 1−α Kemudian hitung nilai limit dari persamaan (29) dengan n → ∞ seperti berikut m α αn − lim kSn − Sm k ≤ lim ky1 (t)k , n→∞ n→∞ 1−α 1−α αm αn ≤ lim ky1 (t)k − lim ky1 (t)k , n→∞ 1 − α n→∞ 1 − α αm kSn − Sm k ≤ ky1 (t)k . (30) 1−α Karena kyk = max|y1 (t)| maka persamaan (30) menjadi t∈J
kSn − Sm k ≤
αm max |y1 (t)|. 1 − α t∈J
(31)
Jika |y1 | < ∞ dan m → ∞ maka kSnP − Sm k → 0. Diperoleh bahwa {Sn } adalah barisan Cauchy di C[J] dan deretnya ∞ i=0 yi (t) adalah konvergen. Repository FMIPA
7
Teorema 3 (Penaksir Error) [3] Error maksimum mutlak dari solusi deret persamaan (3) pada persoalan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua persamaan (1) diberikan oleh m X Kαm+1 , K = max|f (x(t)). max y(t) − yi (t) ≤ t∈J t∈J L(1 − α) i=0 Bukti: Dari Teorema 2 yaitu pada persamaan (31) diperoleh kSn − Sm k ≤ Jika Sn =
Pn
i=0
αm max |y1 (t)| . 1 − α t∈J
yi (t) dengan n → ∞ maka Sn → y(t) dan max |y1 (t)| ≤ T M
max |f (y0 )| serta α = LM T maka T M = t∈J
α L
t∈J
dan y0 (t) = x(t)sehingga diperoleh
αm max |y1 (t)| , 1 − α t∈J αm ≤ T M max |f (y0 )| , t∈J 1−α αm α max |f (x(t))| , ≤ 1 − α L t∈J αm+1 ky(t) − Sm k ≤ max |f (x(t))| . L(1 − α) t∈J kSn − Sm k ≤
Ubah bentuk ky(t) − Sm k ke dalam bentuk max|y(t) − t∈J
m X
y1 (t)| maka
i=0
αm+1 max |f (x(t))| , ky(t) − Sm k ≤ L(1 − α) t∈J K αm+1 ≤ , L(1 − α) m X K αm+1 max y(t) − y1 (t) ≤ . t∈J L(1 − α) i=0
(32)
Persamaan (32) adalah error maksimum mutlak dari solusi deret persamaan (2) pada persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua (1) yang berada pada interval J. 3. CONTOH NUMERIK Contoh 1 Selesaikan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua berikut dengan metode dekomposisi Adomian lama Z t 1 1 2 4 6 y(t) = (300 + 315t + 5t + t ) − (t − τ )y 2 (τ )dτ, (33) 20 150 0 dengan solusi eksak y(t) = 15(t2 + 1). Repository FMIPA
8
Penyelesaian: Dengan menerapkan rumus polinomial Adomian lama pada persamaan (8) diperoleh A0 = y02 , A1 = 2y0 y1 , . = .. Dari persamaan (5) solusi y(t) adalah Z t ∞ ∞ X X yi (t) = x(t) + k(t, τ ) Ai (y0 , y1 , · · · , yi (τ ))dτ, i=0
0
i=0
untuk i = 0, y0 = 15 +
1 63 2 1 4 t + t + t6 . 4 4 20
Kemudian dilakukan perhitungan rekursif untuk komponen y1 , y2 , · · · diperoleh untuk i = 1, Z t 1 y1 = − (t − τ )A0 (τ )dτ, 150 0 Z t 1 =− (t − τ )y0 (τ )2 dτ, 150 0 21 1363 6 1 8 131 10 1 1 3 t − t − t − t12 − t14 . y1 = t2 − t4 − 4 80 24000 896 1080000 792000 10920000 . = .. Dari y0 , y1 , · · · diperoleh solusi untuk y(t) dengan menggunakan Maple 13 sebagai berikut y(t) = y0 (t) + y1 (t) + · · · 33 1 163 6 1 8 131 10 1 1 y(t) = 15 + t2 − t4 − t − t − t − t12 − t14 2 80 24000 896 1080000 792000 10920000 + ··· (34) Jadi, persamaan (34) merupakan solusi numerik pada persamaan (33) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian lama. Selanjutnya, hasil pada komputasi Contoh 1 dapat dilihat pada Tabel 1. Pada Tabel 1 kolom y(t) merupakan solusi eksak untuk persamaan (33) dengan t diberikan. Kolom m menyatakan batas solusi numerik yang diperoleh Pmdengan metode dekomposisi Adomian lama. Sedangkan kolom |y(t) − i=0 yi (t)| menunjukkan selisih antara solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian lama dengan solusi eksak sehingga diperoleh error solusi mutlak untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua.
Repository FMIPA
9
Tabel 1: Hasil Komputasi Contoh 1 untuk t = 1 dan m = 20 P t y(t) = 15(t2 + 1) m |y(t) − m i=0 yi (t)| 1 30 5 .1058507925e − 2 1 30 10 .1058236178e − 2 1 30 15 .1058236179e − 2 1 30 20 .1058236179e − 2
Contoh 2 Selesaikan persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua berikut dengan metode dekomposisi Adomian baru Z t 1 1 2 4 6 (t − τ )y 2 (τ )dτ, (35) y(t) = (300 + 315t + 5t + t ) − 20 150 0 dengan solusi eksak y(t) = 15(t2 + 1). Penyelesaian: Dengan menerapkan rumus polinomial Adomian baru pada persamaan (11) diperoleh A0 = y02 , A1 = y12 + 2y0 y1 , . = .. Dari persamaan (5) solusi y(t) adalah ∞ X
Z yi (t) = x(t) +
i=0
t
k(t, τ ) 0
∞ X
Ai (y0 , y1 , · · · , yi (τ ))dτ,
i=0
untuk i = 0, y0 = 15 +
63 2 1 4 1 t + t + t6 . 4 4 20
Kemudian dilakukan perhitungan rekursif untuk komponen y1 , y2 , · · · diperoleh untuk i = 1, Z t 1 y1 = − (t − τ )A0 (τ )dτ, 150 0 Z t 1 (t − τ )y0 (τ )2 dτ, =− 150 0 3 63 1363 6 1 8 131 10 1 12 1 y1 = t2 − t4 − t − t − t − t − t14 . 4 80 480 128 27000 72000 840000 .. =.
Repository FMIPA
10
Dari y0 , y1 , · · · diperoleh solusi untuk y(t) dengan menggunakan Maple 13 sebagai berikut y(t) = y0 (t) + y1 (t) + · · · + y5 (t), 33 1 163 6 1 8 131 10 1 y(t) = 15 + t2 − t4 − t − t − t − t12 + · · · (36) 2 80 24000 896 1080000 792000 Jadi, persamaan (36) merupakan solusi numerik pada persamaan (35) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian baru. Selanjutnya, hasil komputasi pada Contoh 2 dapat dilihat pada Tabel 2. Pada Tabel 2 kolom y(t) merupakan Tabel 2: Hasil Komputasi Contoh 2 untuk t = 1 dan m = 20 P t y(t) = 15(t2 + 1) m |y(t) − m i=0 yi (t)| 1 30 5 .1038958158e − 2 1 30 10 .1038737178e − 2 1 30 15 .1038737179e − 2 1 30 20 .1038737179e − 2 solusi eksak untuk persamaan (33) dengan t diberikan. Kolom m menyatakan batas solusi numerik yang diperoleh Pm dengan metode dekomposisi Adomian baru. Sedangkan kolom |y(t) − i=0 yi (t)| menunjukkan selisih antara solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian baru dengan solusi eksak sehingga diperoleh error solusi mutlak untuk persamaan integral Volterra nonlinear jenis kedua. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Ibu Dr. Leli Deswita, M.Si dan Bapak Drs. Endang Lily, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi penulis yang menjadi acuan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [2] Atkinson, K. & W. Han. 2005. Theoretical Numerical Analysis, 3nd Ed. Springer, New York. [3] El-Kalla, I. L. 2005. Convergence of the Adomian method applied to a class of nonlinear integral equations. Applied Mathematics Letters, No. 21, 372-376. [4] El-Kalla, I. L. 2007. Error analysis of adomian series solution to a class of nonlinear differential equations. Applied Mathematics E-Notes, No. 7, 214-221. [5] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equations. Higher Education Press, Beijing.
Repository FMIPA
11
