SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary1∗ , Endang Lily2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the numerical method to solve a nonlinear Volterra-Fredholm integral equation using a New Basis function obtained through a set of Block-Pulse functions (BPFs). The Use of the New Basis function produces a system of linear equations and the solution of this system is the solution for the nonlinear VolterraFredholm integral equation. Through two examples, it is seen that the discussed method provides close enough solutions to the exact solutions. Keywords: nonlinear Volterra - Fredholm integral equation, New Basis functions (NFs), Block-Pulse functions (BPFs). ABSTRAK Artikel ini membahas metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear dengan menggunakan fungsi Basis Baru yang diperoleh melalu himpunan fungsi Block-Pulse (BPFs). Penggunaan fungsi Basis Baru menghasilkan suatu sistem persamaan linear dan solusi sistem ini merupakan solusi dari persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Melalui dua contoh terlihat bahwa metode yang didiskusikan memberikan solusi yang cukup dekat ke solusi eksak. Kata kunci: persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear, fungsi Basis Baru (NFs), fungsi Block-Pulse (BPFs). 1. PENDAHULUAN Banyak permasalahan yang muncul dalam metode numerik, salah satunya berupa persamaan integral. Permasalahan yang akan dicari penyelesaiannya dapat dipecahkan secara matematis. Secara umum, terdapat dua jenis persamaan integral [5, h. 33], yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Repository FMIPA
1
Fredholm. Persamaan integral Volterra memiliki batas integral berupa variabel sedangkan persamaan integral Fredholm memiliki batas integral berupa konstanta. Artikel ini membahas mengenai solusi numerik persamaan integral VolterraFredholm yang bentuk umumnya diberikan sebagai berikut ∫ x ∫ 1 u(x) = f (x) + λ1 K1 (x, t)u(t)dt + λ2 K2 (x, t)u(t)dt. (1) 0
0
Pada persamaan integral Volterra-Fredholm ini, terdapat beberapa fungsi f (x), K1 (x, t), K2 (x, t), u(x), λ1 , λ2 . Fungsi-fungsi tersebut diaproksimasi ke bentuk matriks yang dijabarkan melalui fungsi Basis Baru (NFs) yang diperoleh dari himpunan fungsi Block-Pulse (BPFs). Selanjutnya, fungsi-fungsi tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan integral Volterra-Fredholm (1) sehingga diperoleh suatu persamaan. Pada artikel ini di bagian dua diuraikan mengenai fungsi Block-Pulse (BPFs) dan representasi fungsi Basis Baru (NFs) yang akan digunakan untuk perhitungan solusi numerik persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Kemudian pada bagian tiga dibahas mengenai solusi numerik persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear menggunakan persamaan nonlinear yang dihasilkan dari transformasi fungsi Basis Baru (NFs). Selanjutkan pada bagian empat mengaplikasikan sistem nonlinear untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear dalam bentuk contoh numerik, dan di bagian lima merupakan kesimpulan. 2. FUNGSI BLOCK-PULSE (BPFs) Pada bagian ini dibahas mengenai fungsi Block-Pulse (BPFs) beserta sifat-sifatnya[2]. Fungsi Block-Pulse (BPFs) merupakan suatu fungsi orthogonal dengan nilai-nilai konstan piecewise, dipelajari dan diterapkan secara luas sebagai alat yang berguna dalam analisis, sintesis, identifikasi dan masalah lain kontrol dan sistem ilmu pengetahuan. Definisi 1 [2] Fungsi Block-Pulse (BPFs) merupakan suatu m-himpunan dengan interval [0, T ) ditulis sebagai: { 1, untuk iT ≤ t < (i+1)T , m m ϕi (t) = (2) 0, untuk lainnya, dengan i = 0, 1, ..., m − 1 dan m bilangan bulat positif. Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Disjoinedness, yaitu { ϕi (t), untuk i = j, ϕi (t)ϕj (t) = 0, untuk i ̸= j,
(3)
dengan i = 0, 1, ..., m − 1. Repository FMIPA
2
Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Orthogonality [2], yaitu : ∫ 1 ϕi (t)ϕj (t)dt = hδi,j , 0
dengan δi,j adalah delta Kronecker yaitu { 0, untuk i ̸= j, δij = 1, untuk i = j,
(4)
Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Completeness [1, h. 304-306] yaitu ∫ 1 ∞ ∑ 2 f (t)dt = fi2 ∥ϕi (t)∥2 , 0
i=0
dengan 1 fi = h
∫
1
f (t)ϕi (t)dt.
(5)
0
Selain itu, bentuk vektor suatu fungsi sebarang misalkan f (t), dapat diaproksimasi dalam bentuk f (t) =
m−1 ∑
fi ϕi (t)
i=0
= [f0 (t), f1 (t), · · · , fm−1 (t)] [ϕ0 (t), ϕ1 (t), · · · , ϕm−1 (t)] = ΦTi (t)F, dengan F = [f0 , f1 , ..., fm−1 ]T dan fi didefinisikan pada persamaan (5) dan Φ(t) = [ϕ0 (t), ϕ1 (t), ..., ϕm−1 (t)]T . Definisi 2(Fungsi Basis Baru) Fungsi Basis Baru ditulis NFs [3] terdiri dari m-himpunan fungsi pada interval [0, T ) dari sisi kiri ke-i yaitu N 1i (x) dan sisi kanan ke-i yaitu N 2i (x) didefinisikan dengan: { ((i+1)h)2 −x2 , ih ≤ x < (i + 1)h, (2i+1)h2 N 1i (x) = (6) 0, untuk lainnya, {
dan N 2i (x) =
x2 −(ih)2 , (2i+1)h2
0,
ih ≤ x < (i + 1)h, untuk lainnya ,
(7)
T dengan i = 0, 1, ..., m − 1 dan h = m , sedangkan N 1i (x) dan N 2i (x) masingmasing suku ke-i dari N 1(x) dan N 2(x). Selanjutnya, fungsi N 1i (x) dan N 2i (x) diasumsikan T = 1, sehingga fungsi Basis Baru (NFs) terdefinisi pada [0, 1), dan h = m1 . Suku m pertama pada fungsi Basis Baru (NFs) pada persamaan (6) dan (7), dapat ditulis secara singkat sebagai m-vektor, yaitu:
N1(x) = [N 10 (x), N 11 (x), ..., N 1m−1 (x)]T , x ∈ [0, 1), Repository FMIPA
(8) 3
dan N2(x) = [N 20 (x), N 21 (x), ..., N 2m−1 (x)]T , x ∈ [0, 1).
(9)
Penjumlahan dari N 1i (x) dan N 2i (x) berdasarkan definisi [2] dan sifat Disjoinedness dari fungsi Block-Pulse (BPFs) diperoleh: N 1i (x) + N 2i (x) = ϕi (x), dengan ϕi (x) merupakan BPFs ke-i dan terdefinisi pada persamaan (2), sehingga: m−1 ∑
N 1i (x) +
i=0
m−1 ∑
N 2i (x) = 1, 0 ≤ x < 1.
(10)
i=0
m−1 Berdasarkan persamaan (10), maka jelas bahwa {N 1i (x)}m−1 i=0 dan {N 2i (x)}i=0 disjoint. Sifat Orthogonality fungsi Block-Pulse (BPFs) yang terdapat pada fungsi Basis Baru (NFs) berasal dari ∫ 1 ∫ 1 8 N 1i (x)N 1j (x)dx = hδi,j , N 1i (x)N 2j (x)dx ≃ 0, (11) 15 0 0
dan
∫
1
0
3 N 2i (x)N 2j (x)dx = hδi,j , 15
∫
1
N 2i (x)N 1j (x)dx ≃ 0,
(12)
0
dengan i, j = 0, 1, 2, ..., m − 1 dan δi,j merupakan notasi fungsi delta Kronecker. Representasi dari dua vektor N1(x) dan N1T (x) berdasarkan sifat disjointedness ditunjukkan sebagai berikut: N 10 (x) 0 ··· 0 0 N 11 (x) · · · 0 N1(x)N1T (x) = = diagN1(x), .. .. .. ... . . . 0 0 · · · N 1m−1 (x) N2(x)N2 (x) = T
T
N 20 (x) 0 0 N 21 (x) .. .. . . 0 0
··· ··· .. .
0 0 .. .
···
N 2m−1 (x)
= diagN2(x),
T
N1(x)N2 (x) =N2(x)N1 (x) = 0m×m .
Misalkan V merupakan 2m-vektor dengan bentuk V T = (V 1 V 2)T dengan V 1 dan V 2 berukuran m. Selanjutnya, direpresentasikan perkalian vektor dari fungsi
Repository FMIPA
4
Basis Baru (NFs) dengan vektor V yang tak diketahui seperti N(x)NT (x)V . Maka diperoleh ( ) ( ) N1(x) V1 T T T N(x)N (x)V = (N1 (x) N2 (x)) , N2(x) V2 = diag(N(x))V = diag(V )N(x), ˜ N(x)NT (x)V = VN(x),
(13)
˜ merupakan matriks diagonal berukuran 2m × 2m. dengan V Misalkan terdapat matriks B berukuran m × m ( ) B11 B12 B= , B21 B22 maka matriks B juga dapat diaproksimasi dengan menggunakan perkalian dua vektor fungsi Basis Baru (NFs), sehingga ) )( ( N1(x) B11 B12 T T T , N (x)BN(x) = (N1 (x) N2 (x)) N2(x) B21 B22 = N1T (x)B11N1(x) + N2T (x)B22N2(x) b T N1(x) + B22 b T N2(x), NT (x)BN(x) = B11 b dan B22 b merupakan m-vektor dengan elemen yang sama dengan entri dengan B11 diagonal dari matriks B, maka b T N(x). NT (x)BN(x) = B
(14)
Perluasan fungsi Basis Baru (NFs) pada interval [0, 1), didefinisikan C1 dan C2 sebagai bentuk koefisien fungsi Basis Baru (NFs), dengan C1i = f (ih) dan C2i = f (i + 1)h, untuk i = 0, 1, · · · , m − 1. Maka suatu fungsi f (x) dapat dihampiri menjadi f (x) ≃ f (x) =
m−1 ∑ i=0 m−1 ∑
f (ih)N1i (x) + C1T N1(x) +
f ((i + 1)h)N2i (x),
i=0 m−1 ∑
i=0
Apabila C didefinisikan dengan
m−1 ∑
C2T N2(x).
i=0
(
C1 C2
) ,
maka f (x) = C1T N1(x) + C2T N2(x), f (x) = C T N(x) Repository FMIPA
(15) 5
Selain itu, untuk setiap p bilangan bulat positif pada fungsi f (x) dapat diaproksimasi menggunakan basis baru seperti [f (x)]p ≃ CpT N(x), dengan Cp merupakan vektor kolom yang elemen ke-p nya merupakan elemen dari vektor C tersebut. Lemma 3: Misalkan C 2m-vektor dan Cp merupakan koefisien fungsi Basis Baru (NFs) dari f (x) dan [f (x)]p . Jika [ ] C = C1T C2T = [C10 , C11 , ..., C1m−1 , C20 , C21 , ..., C2m−1 ]T , maka
[ ]T Cp = C1p0 , C1p1 , ...C1pm−1 , C2p0 , C2p1 , ..., C2pm−1 ,
(16)
dengan p ≥ 1 bilangan bulat positif. Selanjutnya, pada persamaan (1) terdapat k(x, t) sebagai sebuah fungsi sebarang dari dua variabel. Fungsi tersebut dapat ditransformasikan menggunakan fungsi Basis Baru (NFs), sehingga k(x, t) ≃ NT (x)kN′ (t), dengan N(x) dan N′ (t) merupakan vektor dari fungsi Basis Baru (NFs) dan h = m1 dan h′ = m1′ . Selain itu k juga merupakan koefisien matriks 2m×2m yang berbentuk: ) ( k11 k12 , k= k21 k22 dengan k11ij k12ij k21ij k22ij
= k(ih, jh), = k(ih, (j + 1)h), = k((i + 1)h, jh), = k((i + 1)h, (j + 1)h).
Salah satu sifat fungsi Block-Pulse (BPFs) yaitu orthogonality dari N 1(x) dan N 2(x) pada persamaan (11) dan (12), dan ∫ 1 ∫ 1 2 N 1i (x)N 2j (x)dx = N 2i (x)N 1j (x)dx = hδi,j , 15 0 0 selanjutnya perhatikan bahwa, [ ] ∫ 1 h 8Im×m 2Im×m T (17) D= N(x)N (x)dx ≃ 15 2Im×m 3Im×m 0 ∫1 Maka, untuk menghampiri 0 N(x)dx berdasarkan persamaan (6) dan (7), perhatikan bahwa ∫ (i+1)h 2 N 1i (x)dx ≃ h, 3 ih Repository FMIPA
6
dan
∫
(i+1)h
ih
sehingga
1 N 2i (x)dx ≃ h, 3
0, ∫ 1 1 2 N(x)dx ≃ 2 ( 3 h), 0 2 h, 3
Oleh karena itu ∫
1
N 1i (x)dx ≃ 0
0 ≤ x < ih, ih ≤ x < (i + 1)h, (i + 1)h ≤ x < 1.
h [0, ..., 0, 2, 4, ..., 4, 0, ..., 0, 4, ..., 4]N (x). 6
Hal ini berlaku untuk N 2i (r) ∫ 1 h N 2i (x)dx ≃ [0, ..., 0, 1, 2, ..., 2, 0, ..., 0, 2, ..., 2]N (x), 6 0 dengan N(x) didefinisikan pada persamaan (8) dan (9). Sehingga dapat dikatakan bahwa ∫ x N (x)dx ≃ PN(x), 0
dengan P2m×2m disebut operasi matriks yang diintegralkan dan direpresentasikan dari: 2 4 ··· 4 0 4 ··· 4 . . 0 . . . . . . .. 0 . . . . . . .. . .. . . .. . ... ... . . 4 4 . . h 0 · · · 0 2 0 · · · 0 0 P= . (18) 6 1 2 ··· 2 0 2 ··· 2 0 . . . . . . ... 0 . . . . . . ... .. . . . . .. .. . . . 2 .. . . . 2 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 2m×2m 3. SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU (NFs) Misalkan terdapat bentuk persamaan Integral Volterra-Fredholm nonlinear sebagai berikut : ∫ x ∫ 1 p1 u(x) = f (x) + k1 (x, t)[u(t)] dt + k2 (x, t)[u(t)]p2 dt; 0 ≤ x < 1, (19) 0
Repository FMIPA
0
7
dengan f (x) ∈ L2 [0, 1), k1 (x, t) ∈ ([0, 1) × [0, 1)) dan k2 (x, t) ∈ L2 ([0, 1) × [0, 1)) merupakan fungsi yang diketahui, sedangkan u(x) tidak diketahui, serta p1 dan p2 merupakan bilangan bulat positif. Menggunakan aproksimasi fungsi f (x), k1 (x, t), k2 (x, t), u(x), [u(x)]p1 dan [u(x)]p2 yang bergantung pada fungsi Basis Baru (NFs) diperoleh: f (x) ≃ FT N(x), k1 (x, t) ≃ NT (x)K1 N(x), k2 (x, t) ≃ NT (x)K2 N(x),
(20)
u(x) ≃ U T N(x), [u(x)]p1 ≃ UpT1 N(x), [u(x)]p2 ≃ UpT2 N(x).
Selanjutnya, substitusikan aproksimasi fungsi pada persamaan (20) ke persamaan (19), sehingga diperoleh: ∫ x ∫ 1 T T T T U N(x) =F N(x) + N (x)K1 N(t)Up1 N(t)dt + NT (x)K2 N(t)UpT2 N(t)dt 0 ∫0 x ∫ 1 T T T =F N(x) + N(x) (x)K1 N(t)N (t)Up1 dt + NT K2 N(t)NT (t)Up2 dt 0 0 ∫ x ∫ 1 T T T T T U N(x) =F N(x) + N (x)K1 N(t)N (t)Up1 dt + N (x)K2 N(t)NT (t)Up2 dt 0
0
dengan menggunakan persamaan (13) dan persamaan (17) diperoleh suatu persamaan baru yaitu ∫ x T T T U N(x) = F N(x) + N (x)K1 U˜p1 N(t)dt + NT (x)K2 DUp2 , 0
menggunakan persamaan (18) diperoleh: U T N(x) = F T N(x) + NT (x)K1 U˜p1 P N(x) + NT (x)K2 DUp2 .
(21)
Bila diketahui pada persamaan (14) b N(x), NT (x)BN(x) ≃ B T
diasumsikan bahwa B = K1 U˜p1 P , kemudian substitusikan ke persamaan (14), sehingga menjadi b T N(x) NT (x)K1 U˜p1 PN(x) ≃ B (22) Selanjutnya, substitusikan persamaan (22) ke persamaan (21), sehingga diperoleh U T N(x) = F T N(x) + NT (x)BN(x) + NT (x)K2 DUp2 b N(x) + NT (x)K2 DUp2 = F T N(x) + B T
b T N(x) + B b T N(x) + (K2 DUp2 )T N(x). U T N(x) = F T N(x) + B Repository FMIPA
(23) 8
dengan mengabaikan N(x), maka persamaan (23) menjadi b + K2 DUp2 , U =F +B dengan persamaan ini merupakan persamaan nonlinear dari sistem aljabar. 4. CONTOH NUMERIK Contoh 1. Misalkan persamaan integral Fredholm nonlinear ∫ 1 x+1 u(x) = e − ex−2t [u(t)]3 dt, 0
dengan u(x) = ex , 0 ≤ x < 1. Pada soal diketahui
f (x) = ex+1 k(x, t) = ex−2t u(x) = ex [u(x)]p = [u(t)]3 ;
p = 3.
Misalkan dipilih m = 32, maka nilai setiap koefisien fungsi Basis Baru (NFs) yang diaproksimasi pada persamaan (20) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi eksak dan aproksimasinya diperoleh seperti pada Tabel 1. Tabel 1: Solusi Numerik untuk Contoh 1 xi Solusi Solusi Numerik Eksak (m=32) 0.0 1.000000000 1.001216299 0.1 1.105170918 1.105804282 0.2 1.221402758 1.222324209 0.3 1.349858807 1.351126849 0.4 1.491824697 1.493459217 0.5 1.648721270 1.650726610 0.6 2.822118800 1.824242364 0.7 2.013752707 2.016101706 0.8 2.225540928 2.228181764 0.9 2.459603111 2.462571911
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan sangat akurat dan mendekati solusi eksak. Contoh 2. Misalkan persamaan integral Fredholm nonlinear ∫ 1 (1 + 2e3 )x x u(x) = e − + xt[u(t)]3 dt, 9 0 Repository FMIPA
9
dengan u(x) = ex , 0 ≤ x < 1. Pada soal diketahui
(1 + 2e3 )x f (x) = e − 9 k(x, t) = xt u(x) = ex [u(x)]p = [u(t)]3 ; p = 3. x
Misalkan dipilih m = 32, maka nilai setiap koefisien fungsi Basis Baru (NFs) yang diaproksimasi pada persamaan (20) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi eksak dan aproksimasinya seperti pada Tabel 2. Tabel 2: Solusi Numerik untuk Contoh 2 xi Solusi Solusi Numerik Eksak (m=32) 0.0 1.000000000 1.000000000 0.1 1.105170918 1.107143156 0.2 1.221402758 1.226226768 0.3 1.349858807 1.357579383 0.4 1.491824697 1.502445630 0.5 1.648721270 1.662228899 0.6 2.822118800 1.838231192 0.7 2.013752707 2.032558679 0.8 2.225540928 2.247083152 0.9 2.459603111 2.483891686
Berdasarkan Tabel 2 terlihat bahwa hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan sangat akurat dan mendekati solusi eksak.
5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa proses untuk mendapatkan solusi numerik persamaan integral Volterra - Fredholm nonlinear adalah dengan menggunakan representasi dari fungsi Basis Baru dan operasi matriksnya, yang kemudian digunakan untuk mendapatkan sebuah persamaan aljabar. Selanjutnya dihasilkan solusi aproksimasi dengan sistem metode iterasi Newton. Untuk menunjukkan konvergensi dan stabilitas, metode ini dijalankan dengan meningkatkan m sehingga hasil komputasi lebih akurat lagi. Metode ini dapat dijalankan dengan sangat cepat bahkan untuk nilai m yang besar.
Repository FMIPA
10
Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. Leli Deswita, M.Si yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R. G. & R. D. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, 4rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [2] Babolian, E. & Z. Masouri. 2008. Direct Method to Solve Volterra Integral Equations of the First Kind Using Operational Matrix with Block Pulse Functions. Computational and Applied Mathematics, 195: 51–57. [3] Deb. A., A. Dasgubta, & G. Sarkar,. 2006. A New Set of Orthogonal Functions and Its Application to the Analysis of Dynamic System, Journal of the Franklin Institute, 343: 1-26. [4] Maleknejad, K. & M. T. Kajani. 2002. Solving Integro-Differential Equation by Using Hybrid Legendre and Block-Pulse Functions. Computational and Applied Mathematics, 11: 67–76. [5] Wazwaz. A.M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equations. Higher Education Press, Beijing.
Repository FMIPA
11
