ANALISIS INTERVENSI DENGAN FUNGSI STEP DAN APLIKASINYA TERHADAP DATA INDEKS HARGA KONSUMEN (IHK) KOTA BANDAR LAMPUNG (Skripsi)
Oleh ANISA RAHMAWATI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRACT
INTERVENTION ANALYSIS BY STEP FUNCTION AND ITS APPLICATION ON DATA CONSUMER PRICE INDEX (CPI) IN BANDAR LAMPUNG
By
Anisa Rahmawati
Analysis of intervention is one of time series analysis to model time series data that is experiencing an event with a time of intervention known occurrences. An event experienced time series data can significantly impact or no significant effect on the behavior of time series data. In general, there are two kinds of functions in the analysis of intervention are the step function and pulse function. The aims of this study is analyze and predict the impact of intervening events experienced by the data consumer price index (CPI) in Bandar Lampung January 2009 - January 2016 with intervention analysis step function. The best model to forecast the CPI data in Bandar Lampung January 2009 -Januari 2016 is ARIMA (1,1,0) as a model before the intervention and response to intervention order b = 0, s = 2, r = 0. The results of forecasting the CPI data showed that the forecasting gained significantly for six months period from the last data and forecasting errors are random. Key Words : ARIMA, Intervention Analysis by Step Function, CPI data in Bandar Lampung.
ABSTRAK
ANALISIS INTERVENSI DENGAN FUNGSI STEP DAN APLIKASINYA TERHADAP DATA INDEKS HARGA KONSUMEN (IHK) KOTA BANDAR LAMPUNG
Oleh
Anisa Rahmawati
Analisis intervensi merupakan salah satu analisis dalam deret waktu untuk memodelkan data deret waktu yang mengalami suatu kejadian intervensi dengan waktu kejadian diketahui. Suatu kejadian yang dialami data deret waktu dapat mempengaruhi secara signifikan atau tidak signifikan terhadap perilaku data deret waktu. Secara umum, ada dua macam fungsi dalam analisis intervensi, yaitu fungsi step dan fungsi pulse. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisa dan meramalkan dampak kejadian intervensi yang dialami data Indeks Harga Konsumen (IHK) Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Januari 2016 dengan analisis intervensi fungsi step. Model terbaik untuk meramalkan data IHK Kota Bandar Lampung Januari 2009 โJanuari 2016 adalah ARIMA (1,1,0) sebagai model sebelum intervensi dan orde respon intervensi ๐ = 0, ๐ = 2, ๐ = 0. Hasil peramalan pada data IHK menunjukkan bahwa peramalan yang diperoleh signifikan untuk periode enam bulan kedepan dari data terakhir dan galat peramalan bersifat acak. Kata Kunci : ARIMA, Analisis Intervensi Fungsi Step, IHK Kota Bandar Lampung.
ANALISIS INTERVENSI DENGAN FUNGSI STEP DAN APLIKASINYA TERHADAP DATA INDEKS HARGA KONSUMEN (IHK) KOTA BANDAR LAMPUNG
Oleh
ANISA RAHMAWATI Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 23 Januari 1994, sebagai anak bungsu pasangan Bapak Sarnubi Hz S.H., (alm) dan Ibu Farida (almh).
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 1 Labuhan Dalam diselesaikan pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negri 8 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 13 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan yaitu Sekertaris Umum Gematika 2012-2013, anggota bidang kaderisasi Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014, dan Anggota kaderisasi Pers Mahasiswa Natural 2012-2013. Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung, pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Gunung Timbul, Kecamatan Tumijajar, Tulang Bawang Barat, Lampung.
MOTTO
โKarena Sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahanโ (Al-Insyirah:5)
โAllah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannyaโ (Al-Baqarah:286)
โBelajar dari hari kemarin, hidup untuk hari ini, dan berharap untuk hari esokโ (Albert Einstain)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepadaAllah SWT, penulis persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Papa (alm.) , Mama (almh), Cicik, Pakcik, Bibi, Mamang, Abang, Ayuk, Kakak, dan keluarga yang telah meberikan banyak masukan dan pengarahan serta menjadi motivasi terbesar selama ini Dosen Pembimbing dan Penguji yang senantiasa mengarahkan dan memberi motivasi kepada penulis
Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan, semangat, serta motivasi yang diberikan kepada penulis.
Almamater penulis Universitas Lampung
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan ridho-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul โANALISIS INTERVENSI DENGAN FUNGSI STEP DAN APLIKASINYA TERHADAP DATA INDEKS HARGA KONSUMEN (IHK) KOTA BANDAR LAMPUNGโ tepat pada waktunya. Shalawat beriring salam kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua. Selesainya penulisan skripsi ini adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : 1.
Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku pembimbing pertama, terimakasih atas setiap bimbingan, kesabaran dalam memberikan arahan, semangat, serta dukungan dalam proses penyusunan skripsi ini.
2.
Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing kedua, yang selalu sabar dalam memberi pengarahan, semangat dan bahkan dukungan.
3.
Bapak Ir. Warsono, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan kritik, saran, dan masukan kepada penulis.
4.
Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si., selaku pembimbing akademik yang selalu memberikan masukan dan bimbingan dalam menjalani perkuliahan.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh Dosen dan Tenaga Kependidikan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Papa (alm), Mama (almh), Cicik, Pakcik, Bibi, Mamang, Abang, Ayuk, Kakak, dan keluarga tercinta yang memberi semangat, dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9.
Sahabat-sahabat penyemangat: Lina, Merda, Grita, Sella, Citra, Hana, Oci, Kiki, Nina, Nida, Devi, Mahap.
10. Teman-teman sebimbingan: Anggryani, Selvi, Erni, Ernia, Suyanti, Maya, Rohimatul, Riyama, Mbed, Rendi yang telah berjuang bersama. Gery, Yefta yang tidak pernah sungkan membagi ilmunya. 11. Teman-teman Matematika angkatan 2012 yang tidak dapat disebutkan satu persatu. 12. Keluarga Besar HIMATIKA dan Natural Universitas Lampung 13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Penulis,
Anisa Rahmawati
September 2016
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ..................................................................................... DAFTAR GAMBAR ................................................................................ I.
PENDAHULUAN 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
II.
x xi
Latar Belakang ........................................................................ Batasan Masalah ...................................................................... Tujuan Penelitian...................................................................... Manfaat Penelitian....................................................................
1 4 4 5
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3
Indeks Harga Konsumen ......................................................... Data Deret Waktu ..................................................................... Stasioneritas ............................................................................ 2.3.1 Stasioner pada Nilai Tengah ........................................ 2.3.2 Stasioner pada Ragam .................................................. 2.4 Fungsi autokorelasi .................................................................. 2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial .................................................... 2.6 White Noise .............................................................................. 2.7 Uji unit Root ............................................................................. 2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average ................ 2.8.1 Proses Autoregressive .................................................. 2.8.1.1 Order Pertama Autoreregressive ...................... 2.8.1.2 Autoregressive order p ..................................... 2.8.2 Model Moving Average ................................................ 2.8.2.1 Order Pertama Moving Average ....................... 2.8.3 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ........ 2.8.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average ...... 2.9 Model Fungsi Transfer ditambah Noise ................................... 2.10 Analisis Model Intervensi ........................................................ 2.10.1 Pengelompokkan Data ................................................. 2.10.2 Model Noise ................................................................. 2.10.3 Identifikasi Respon Intervensi ......................................
6 6 7 8 9 10 14 18 20 22 22 22 24 25 27 27 28 28 32 34 34 35
2.10.4 Estimasi Parameter Model Intervensi .......................... 2.11 Prosedur Box-Jenkins ...............................................................
37 39
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 3.2 3.3
VI.
46 46 46
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
V.
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. Data Penelitian ......................................................................... Metode Penelitian.....................................................................
Aplikasi pada Data Indeks Harga Konsumen (IHK) Bulanan dengan Perubahan Harga Tahun Dasar Kota Bandar Lampung Januari 2009 - Januari 2016 ..................................... 4.1.1 Pengelompokkan Data .................................................. 4.1.2 Pemodelan ARIMA Data Pre-Intervensi ...................... 4.1.2.1 Identifikasi Model ARIMA .............................. 4.1.2.2 Estimasi Parameter Model ARIMA ................. 4.1.2.3 Evaluasi Model ARIMA .................................. 4.1.3 Model Intervensi........................................................... 4.1.3.1 Identifikasi Respon Intervensi .......................... 4.1.3.2 Estimasi Parameter Respon Intervensi ............. 4.1.3.3 Evaluasi Model Intervensi ................................ 4.1.4 Peramalan .....................................................................
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
49 50 51 51 55 56 58 58 60 65 67
DAFTAR GAMBAR
Gambar
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
Halaman
Plot data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung .............. Plot ACF IHK Bulanan Kota Bandar Lampung ................................ Plot Box-Cox IHK Bulanan Kota Bandar Lampung .......................... Grafik Pola Variabel Input................................................................. Abrupt Permanent.............................................................................. . Gradual Permanent 0 < ๐ฟ < 1 ......................................................... Gradual Permanent ๐ฟ = 1 ................................................................ Plot data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Januari 2016 .............................................................. Plot data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Desember 2013 (n=60).............................................. Plot Box โ Cox data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Desember 2013 (n=60).............................................. Plot ACF dan PACF data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Desember 2013 (n=60) ............................. Plot diferensiasi data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Desember 2013 (n=60) ............................. Plot evaluasi model data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Desember 2013 (n=60) ............................. Plot Normal data deret waktu IHK Bulanan Bandar Lampung (n=60) Plot deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009Januari 2016 ....................................................................................... Plot Residual IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009Januari 2016 ....................................................................................... Plot evaluasi model data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Januari 2016 .............................................. Plot Normal data deret waktu IHK Bulanan Bandar Lampung (n=85) Plot Peramalan data deret waktu IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Januari 2016 .............................................. Plot ACF pada error .......................................................................... Plot kenormalan pada error ...............................................................
2 2 3 36 36 36 37 50 51 52 53 53 56 57 58 59 65 66 68 69 70
DAFTAR TABEL
Tabel
2.1 2.2 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11
Halaman
Transformasi Parameter Box-Cox ........................................................ Pola ACF dan PACF Untuk Model ARIMA ....................................... Hasil output program R Uji ADF ......................................................... Hasil output program R Uji ADF Diferensiasi ..................................... Hasil output program R Penentuan Model ........................................... Pendugaan Parameter ARIMA (1,1,0).................................................. Hasil output program R Uji Normal Preintervensi ............................... Pendugaan Parameter Model Intervensi ๐ = 3 ..................................... Pendugaan Parameter Model Intervensi ๐ = 0 ..................................... Hasil output program R Uji Normal Data IHK .................................... Hasil output program R Peramalan....................................................... Peramalan IHK Bulanan Kota Bandar Lampung Februari - Juli 2016. Peramalan error one-step-ahead ..........................................................
10 39 52 54 55 55 57 64 65 66 67 67 68
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Sekumpulan data yang diperoleh dari hasil penelitian atau observasi pada periode waktu tertentu dikenal sebagai data deret waktu. Data deret waktu ini bersifat saling berkorelasi antar variabelnya yang artinya data pada masa saat ini dan yang akan datang dipengaruhi oleh data pada masa lalu. Sehingga, data deret waktu ini digunakan untuk data dalam peramalan. Ramalan adalah suatu kondisi yang diperkirakan akan terjadi pada masa yang akan datang.
Dalam analisisnya, data deret waktu memiliki beberapa metode peramalan, diantaranya Autoregressive (AR), Moving Avergae (MA), Autoregressive Moving Avergae (ARMA), dan Autoregressive Integrated Moving Avergae (ARIMA). ARIMA sering juga disebut sebagai model Box-Jenkins karena dikembangkan oleh George EP Box dan Gwilym M Jenkins (1976). Data deret waktu memiliki karakteristik
khusus,
yaitu
stasioneritas
yang
artinya
residual
bersifat
homoskedastisitas, tidak berkorelasi antar residual satu dengan yang lainnya, dan tidak ada korelasi antar varibel independen yang satu dengan yang lainnya.
2
Data Indeks Harga Konsumen (IHK) mengalami kejadian internal, yaitu berupa kebijakan pemerintah terhadap penetapan harga tahun dasar yang baru untuk data IHK. Observasi awal yang kami lakukan terhadap data IHK dalam kurun waktu Januari 2009 - Januari 2016 dengan menggunakan plot deret waktu.
Gambar 1.1 Plot data IHK Kota Bandar Lampung Januari 2009- Januari 2016
Pada Januari 2014 data mengalami penurunan yang drastis sehingga secara visual terlihat bahwa kejadian perubahan harga tahun dasar mempengaruhi data. Dilakukan pula analisis deret waktu dengan metode Box-Jenikins untuk observasi awal. Saat pengujian kestasioneran data, maka data tidak stasioner pada nilai tengah maupun pada varians.
Gambar 1.2 Plot ACF data IHK Kota Bandar Lampung Januari 2009 โ Januari 2016
3
Box-Cox Plot of IHK Lower C L
1,50
Upper C L Lambda (using 95,0% confidence)
1,45
StDev
1,40
Estimate
-0,50
Lower C L Upper C L
-2,55 1,35
Rounded Value
-0,50
1,35
1,30 Limit 1,25 -5,0
-2,5
0,0 Lambda
2,5
5,0
Gambar 1.3 Plot Box-Cox data IHK Kota Bandar Lampung Januari 2009-Januari 2016
Data kemudian distasionerkan dengan transformasi yaitu
1 โ๐๐ก
data dan diferensiasi
satu kali. Setelah data ditransformasi diperoleh data stasioner pada varians dan juga diperoleh data stasioner pada nilai tengah setelah diferensiasi satu kali. Selanjutnya penentuan order ARIMA (p, d, q). Saat order telah ditentukan dan diestimasi tidak ada satu pun order dari yang terkecil sampai order ARIMA (4,1,4) yang penduganya yang signifikan, bahkan dengan bantuan R best order yang diperoleh adalah (0,1,0). Pada evaluasi model pun model yang diperoleh tidak memadai baik pada uji independensi maupun kenormalannya, maka data IHK ini tidak dapat dilakukan peramalan dengan menggunakan model ARIMA.
Terkadang data deret waktu mengalami kejadian pada waktu yang diketahui sehingga data sebelum terjadi kejadian tersebut kondisinya terpengaruh signifikan ataupun tidak signifikan saat dan setelah kejadian, yang disebut kejadian intervensi. Teknik untuk mengevaluasi kejadian intervensi ini disebut dengan analisis
4
intervensi. Analisis intervensi dapat memberikan solusi terhadap persoalan data deret waktu terkait dengan adanya pengaruh kejadian eksternal atau internal terhadap data. Secara umum, ada dua macam fungsi dalam analisis intervensi, yaitu fungsi step dan fungsi pulse. Sebuah pendekatan yang dapat dilakukan untuk mengetahui perubahan IHK yang dipengaruhi kejadian intervensi adalah dengan menganalisa kejadian yang terjadi signifikan atau tidak signifikan. Untuk menunjukan bahwa dugaan terhadap data IHK telah mengalami intervensi maka diperlukan penelitian. Berkaitan dengan penelitian ini akan diduga parameter pada model intervensi serta meramalkan data deret waktu dengan mempertimbangkan faktor intervensi terhadap data indeks harga konsumen (IHK) Kota Bandar Lampung periode Januari 2009 - Januari 2016.
1.2 Batasan Masalah
Permasalahan pada penelitian ini dibatasi pada model intervensi dengan fungsi step dan aplikasi pada data Indeks Harga Konsumen (IHK) Kota Bandar Lampung Januari 2009 - Januari 2016.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan memaparkan langkah-langkah model intervensi Box-Tiao berkenaan dengan sebuah intervensi berpeubah fungsi step. Selain itu, juga menganalisa dan meramalkan dampak dari kejadian intervensi yang dilakukan pada
5
perubahan tahun dasar IHK Kota Bandar Lampung mulai periode Januari 2014 hingga Januari 2016 yang menggunakan analisis intervensi dengan fungsi step.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan manfaat selain dapat digunakan sebagai referensi bagi penelitian tingkat lanjut berkaitan dengan analisis intervensi dengan fungsi step untuk data yang mengalami kejadian intervensi, juga dapat menjadi acuan kebijakan Pemerintah Kota Bandar Lampung sehubungan dengan perkembangan kenaikan harga-harga kebutuhan rumah tangga.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Indeks Harga Konsumen (IHK)
IHK merupakan nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga (household). IHK sering digunakan untuk mengukur tingkat inflasi suatu negara dan juga sebagai pertimbangan untuk penyesuaian gaji, upah, uang pensiun, dan kontrak lainnya. IHK adalah harga sekelompok barang dan jasa relatif terhadap harga sekelompok barang dan jasa yang sama pada tahun dasar. Adapun rumus untuk menghitung IHK adalah: IHK = (Pn/Po)x100 dengan Pn = Harga sekarang Po = Harga pada tahun dasar. Mulai Januari 2014 sampai Januari 2016 perhitungan IHK menggunakan tahun dasar 2012 sebagai harga tahun dasarnya.
2.2 Data Deret Waktu
Data deret waktu adalah suatu data runtun waktu atau deret dari kronologi pengamatan pada suatu peubah terkait (Montgomery, 2008). Suatu data deret waktu dapat diolah sehingga diperoleh inferensi yang bermanfaat untuk pengambilan keputusan dimasa yang akan datang. Banyak himpunan data muncul sebagai data deret waktu misalkan indeks harga konsumen, curah hujan harian, kuantitas barang
7
yang dikirim dari pabrik dalam waktu bulanan, jumlah uang beredar, dan lain sebagainnya. Mempelajari hubungan timbal balik dengan menggunakan data runtun waktu disebut dengan analisis deret waktu (Pankratz, 1991). Agar hasil analisis deret waktu dapat dipertanggungjawabkan maka data deret waktu haruslah bersifat stasioner.
2.3
Stasioneritas
Dasar dari analisis deret waktu adalah kestasioneran atau stasioneritas. Model stasioner diasumsikan sebagai proses yang tetap dalam kesetimbangan atau kestabilan statistik dengan sifat probabilistik yang tidak berubah dari waktu ke waktu, dengan kata lain nilai tengah (rata-rata) dan ragamnya konstan (Box and Jenkins, 2016). Data dikatakan stasioner jika memenuhi tiga kriteria, yaitu nilai tengah (rata-rata) dan ragamnya konstan dari waktu ke waktu, serta peragam antara dua data deret waktu hanya bergantung dari periode waktu (lag) pada dua periode waktu (lag). Setiap data deret waktu merupakan suatu data dari hasil proses stokastik. Proses stokastik memiliki rata-rata yang terbatas dan varians-kovarians stasioner jika untuk semua t dan t-s, secara statistik dinyatakan sebagai berikut: ๐ธ (๐๐ก ) = ๐ธ (๐๐กโ๐ ) = ๐, rata-rata Z konstan
(2.1)
๐ธ(๐๐ก โ ๐)2 = ๐ธ(๐๐กโ๐ โ ๐)2 = ๐๐2 , ragam Z konstan
(2.2)
๐ธ [(๐๐ก โ ๐ )(๐๐กโ๐ โ ๐ )] = ๐ธ[(๐๐กโ๐ โ ๐)(๐๐กโ๐โ๐ โ ๐)] = ๐พ๐ ,
(2.3)
(Enders, 2015). Terdapat dua perilaku stasioneritas data, yaitu stasioneritas data pada nilai tengah (rata-rata) dan stasioneritas data pada ragam (varians). Pada umumnya data deret
8
waktu tidak stasioner hal ini dikarenakan adanya prilaku data antar waktu yang menimbulkan kedinamisan. Oleh karena itu, diperlukan langkah-langkah dalam menangani data yang tidak stasioner.
2.3.1 Stasioner pada Nilai Tengah
Data deret waktu dikatakan stasioner pada nilai tengah (rata-rata atau mean) apabila data berfluktuasi pada sekitar suatu nilai tengah yang tetap dari waktu ke waktu selama pengamatan. Data deret waktu yang tidak stasioner pada nilai tengah diatasi dengan diferensiasi sedemikian sehingga menjadi stasioner pada nilai tengah. Proses diferensiasi merupakan proses mencari selisih antara data satu periode dengan periode sebelumnya secara berurutan. Proses diferensiasi dapat dilakukan hingga beberapa periode sampai data stasioner. Diferensiasi pertama dinotasikan sebagai berikut: โ๐๐ก = ๐๐ก โ ๐๐กโ1 = ๐๐ก โ ๐ต๐๐ก = (1 โ ๐ต)๐๐ก
(2.4)
Dengan โ๐๐ก merupakan data asli stelah dilakukan diferensiasi tingkat pertama, B merupakan operator Backshift yang didefinisikan dengan ๐ต๐ ๐ง๐ก = ๐ง๐กโ๐ . Jika diferensiasi pertama belum memberikan hasil yang stasioner pada nilai tengah maka dilakukan diferensiasi pada periode selanjutnya dari hasil diferensiasi pertama untuk semua t. Kemudian diferensiasi tingkat dua didefinisikan sebagai berikut: โ2 ๐๐ก = โ๐๐ก โ โ๐๐กโ1 = (๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1 ) โ (๐ง๐กโ1 โ ๐ง๐กโ2 ) = (๐ง๐ก โ 2๐ง๐กโ1 + ๐ง๐กโ2 )
9
= (๐ง๐ก โ 2๐ต๐ง๐ก + ๐ต2 ๐ง๐ก ) = ๐ง๐ก (1 โ 2๐ต + ๐ต2 ) = (1 โ ๐ต)2 ๐ง๐ก
(2.5)
Deret yang dihasilkan di atas disebut dengan diferensiasi kedua dari ๐๐ก . Sehingga diferensiasi d kali dinyatakan sebagai berikut: โ๐ ๐๐ก = โ๐โ1 ๐๐ก โ โ๐โ1 ๐๐กโ1 โ๐ ๐๐ก = โ๐โ1 ๐๐ก โ โ๐โ1 ๐ต๐๐ก โ๐ ๐๐ก = โ๐โ1 ๐๐ก (1 โ ๐ต) โ๐ ๐๐ก = (1 โ B)๐โ1 (1 โ ๐ต)๐๐ก โ๐ ๐๐ก = (1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก
(2.6)
(Pankratz, 1991).
2.3.2 Stasioner pada Ragam
Data deret waktu dikatakan stasioner pada ragam apabila data tersebut berfluktuasi dengan varians yang tetap dari waktu ke waktu. Dengan kata lain nilai ragamnya konstan untuk semua t. Ragam yang tidak konstan menyebabkan data menjadi tidak stasioner pada ragamnya. Modifikasi dilakukan agar data stasioner pada ragam dengan melakukan transformasi pada data deret waktu (Pankratz, 1991).
Dua modifikasi yang dapat dilakukan adalah pertama, jika standar deviasi dari data deret waktu proporsional terhadap data aslinya maka digunakan logaritma asli (ln) sedemikian sehingga deret yang baru memiliki varians yang konstan. Kedua, jika
10
ragam dari data deret waktu proporsional terhadap data aslinya maka digunakan akar kuadrat untuk memperoleh varians yang konstan.
Tabel 2.1 Transformasi Parameter Box-Cox: ๐
Transformasi
-1
-0,5
1 ๐๐ก 1 โ๐๐ก
0
Ln ๐๐ก
0,5
โ๐๐ก
1
๐๐ก (tidak dilakukan transformasi)
(Pankratz, 1991). Transformasi tersebut merupakan anggota dari transformasi Box-Cox. Dengan transformasi ini, suatu series Zt yang baru dapat didefinisikan sebagai berikut: ๐๐กโฒ =
๐๐ก๐ โ1 ๐
(2.7)
Dengan ๐ merupakan parameter transformasi Box-Cox dan Zt merupakan nilai deret waktu pada waktu ke-t. Perlu dicatat bahwa Zt tidak boleh negatif. Jika nilai Zt negatif, maka kita tambahkan suatu konstanta pada Zt sehingga nilainya bernilai positif (Pankratz, 1991).
2.4 Fungsi Autokorelasi
Autokorelasi mengukur arah (positif atau negatif) dan keeratan hubungan antara pengamatan dalam single deret waktu Zt ketika pengamatan terpisah pada waktu
11
periode k, untuk k = 1, 2, . . ., K. Misalnya, mengukur bagaimana sebarang nilai deret (Zt) saat ini berkaitan dengan nilai yang dimiliki dimasa akan datang (Zt+1, Zt+2, . . .) atau sama nilainya, dengan nilai pada masa lampaunya (Zt-1, Zt-2, . . .). Studi mengenai pola-pola
autokorelasi
dalam
data
deret
waktu
membantu
kita
dalam
mengidentifikasi model ARIMA untuk series tersebut (Pankratz, 1991).
Koefesien autokorelasi didefinisikan sebagai: ๐๐ =
๐ธ[(๐๐ก โ๐๐ง )(๐๐ก+๐ โ๐๐ง)] โ๐ธ[(๐๐ก โ๐๐ )2].๐ธ[(๐๐ก+๐ โ๐๐ )2]
=
๐ถ๐๐ฃ(๐๐ก ,๐๐ก+๐ ) ๐๐๐(๐๐ก )
=
๐พ๐ ๐พ0
(2.8)
Dengan Var(Zt) = Var(Zt+k) = ๐พ0 , ๐พ๐ merupakan fungsi autokovarians pada lag k, ๐๐ merupakan koefesien autokorelasi untuk lag k, dan dengan ๐0 = 1 dan kumpulan dari nilai ๐๐ , k = 1, 2, โฆ, disebut fungsi autokorelasi (ACF). Sehingga ๐พ๐ dan ๐๐ menggambarkan kovarians dan korelasi antara Zt dan Zt+k dari proses yang sama tetapi dipisahkan oleh waktu periode k. Fungsi autokovariansi ๐พ๐ dan fungsi autokorelasi ๐๐ memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1. ๐พ0 = Var (๐๐ก ) ; ๐0 = 1. 2. โ๐พ๐ โ โค ๐พ0 ; โ ๐๐ โ โค 1. 3. ๐พ๐ = ๐พโ๐ dan ๐๐ = ๐โ๐ untuk semua k, ๐พ๐ dan ๐๐ adalah fungsi yang sama dan simetrik lag k=0. Bukti 1. Dengan menggunakan definisi korelasi antara Xt dan Xt+k, akan di buktikan bahwa ๐พ0 = Var (๐๐ก ) ; ๐0 = 1. ๐๐ =
๐ถ๐๐ฃ (๐๐ก , ๐๐ก+๐ ) โ๐๐๐ (๐๐ก )๐๐๐ (๐๐ก+๐ )
Diberikan k = 0, maka
=
๐พ๐ ๐พ0
12
๐0 =
๐0 =
๐0 =
๐0 = ๐0 =
๐ถ๐๐ฃ (๐๐ก , ๐๐ก+0 ) โ๐๐๐ (๐๐ก )๐๐๐ (๐๐ก+0 ) ๐ถ๐๐ฃ (๐๐ก , ๐๐ก ) โ๐๐๐ (๐๐ก )๐๐๐ (๐๐ก ) ๐๐๐ (๐๐ก ) โ๐๐๐ 2 (๐๐ก ) ๐๐๐ (๐๐ก ) ๐๐๐ (๐๐ก ) ๐พ0 ๐พ0
๐0 = 1 2. Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari atau sama dengan 1 dalam nilai mutlak. 3. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara ๐๐ก dan ๐๐ก+๐ . ๐พ๐ = Cov (Xt+k, Xt) = Cov (Xt, Xt+k) = ๐พ(โ๐) Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag nonnegatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram.
Data sampel digunakan untuk memperoleh informasi mengenai koefesien autokorelasi populasi pada lag k yang beragam, k = 1, 2, โฆ, K. Untuk menghitung sampel fungsi autokorelasi (SACF) sampel kovarians pada lag k, (๐พฬ๐ ) dan sampel varians (๐พฬ0 ) untuk ๐ก = 1, 2, โฆ , ๐ dengan menggunakan formula berikut:
๐พฬ๐ = ๐พฬ0 =
ฬ
ฬ
โ๐ ๐ก=๐+1(๐๐ก โ๐)(๐๐ก+๐ โ๐) ๐ ฬ
2 โ๐ ๐ก=1(๐๐ก โ๐) ๐
(2.9) (2.10)
13
๐
โ ๐๐ก Dengan ๐ฬ
= ๐ก=1 adalah rata-rata sampel dan T adalah ukuran sampel. Dengan ๐
menggunakan dua formula di atas, SACF pada lag k dapat dihitung dengan skema berikut: ๐ฬ๐ =
๐พฬ๐ ฬ ๐พ 0
ฬ
ฬ
โ๐ ๐ก=๐+1(๐๐ก โ๐)(๐๐ก+๐โ๐) ๐ ฬ
2 โ๐ ๐ก=1(๐๐ก โ๐) ๐
=
=
โ๐ ๐ก=๐+1(๐ง๐ก โ๐งฬ
)(๐ง๐ก+๐ โ๐งฬ
)
(2.11)
2 โ๐ ๐ก=1(๐ง๐ก โ๐งฬ
)
Plot SACF (๐ฬ๐ ) terhadap k disebut sebagai sampel korelogram. Tes signifikan untuk nilai koefesien autokorelasi perlu dilakukan untuk berbeda tidak ๐ฬ๐ dari nilai nol. Hipotesis yang digunakan untuk menguji hubungan linear dari populasi antara zt dan zt+k sebagai berikut: ๐ป0
: ๐๐ = 0 (Koefesien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)
๐ป1
: โ๐๐ โ 0, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐พ (koefesien autokorelasi berbeda secara signifikan)
Dengan statistik uji :
๐กโ๐๐ก๐ข๐๐ =
โ๐ ๐ก=๐+1(๐ง๐ก โ๐งฬ
)(๐ง๐ก+๐โ๐งฬ
) 2 โ๐ ๐ก=1(๐ง๐กโ๐งฬ
)
โ
(2.12)
ฬ2 (1+2 โ๐โ1 ๐=1 ๐๐ ) ๐
ฬ ๐
๐กโ๐๐ก๐ข๐๐ = ๐๐ธ(๐๐ฬ
๐)
Dengan ๐๐ธ(๐ merupakan standard error dari ๐ ฬ, ฬ๐ merupakan koefesien ฬ ๐ ๐ ๐) autokorelasi pada periode waktu ke-i, ๐ = 1, 2, โฆ, dan k merupakan selisih waktu. Pengambilan keputusan pada uji ini adalah tolak H0 jika |๐กโ๐๐ก๐ข๐๐ | > ๐ก๐ผ,๐๐ , dengan 2
๐ก๐ผ,๐๐ dapat dilihat pada table t (Tsay, 2010). 2
14
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Fungsi autokorelasi parsial (PACF) didefinisikan sebagai korelasi antara Zt dan Zt+k setelah menghilangkan pengaruh peubah-peubah intervensi (Zt+1, Zt+2, . . ., Zt+k-1). PACF dapat dinotasikan dengan ๐๐๐๐(๐๐ก , ๐๐ก+๐ ) dengan ๐ = 1, 2, โฆ , ๐. Misalkan ๐๐ก adalah proses yang stasioner dengan E(๐๐ก ) = 0. Konsep PACF dianalogikan dengan konsep koefesien regresi parsial. K persamaan regresi dibahas sebagai berikut: ๐๐ก+1 = ๐11 ๐๐ก + ๐ผ๐ก+1 ๐๐ก+2 = ๐21 ๐๐กโ1 + ๐22 ๐๐ก + ๐ผ๐ก+2 โฎ ๐๐ก+๐ = ๐๐1 ๐๐ก+๐โ1 + ๐๐2 ๐๐ก+๐โ2 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐ก + ๐ผ๐ก+๐
(2.13)
Dengan ๐๐๐ merupakan parameter regresi ke-i, ๐ = 1,2, โฆ , ๐. Koefesien autokorelasi parsial untuk populasi pada lag ๐ = 1, 2, โฆ , ๐พ adalah koefesien terakhir (๐๐๐ ) pada setiap persamaan, dan ๐ผ๐ก+๐ merupakan kesalahan nilai residual yang tidak berkorelasi dengan ๐๐ก+๐โ๐ dengan j = 1, 2, .. ., k. Untuk mendapatkan nilai PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.13) dengan ๐๐ก+๐โ๐ pada kedua ruas sehingga diperoleh : ๐๐ก+๐โ๐ ๐๐ก+๐ = ๐๐1 ๐๐ก+๐โ1 ๐๐ก+๐โ๐ + โฏ + ๐๐๐ ๐๐ก ๐๐ก+๐โ๐ + ๐ผ๐ก+๐ ๐๐ก+๐โ๐
Misalkan ๐ธ(๐๐ก+๐โ๐ ๐๐ก+๐ ) = ๐พ๐ dan ๐ธ(๐ผ๐ก+๐ ๐๐ก+๐โ๐ ) = 0 sehingga diperoleh: ๐พ๐ = ๐๐1 ๐พ๐โ1 + ๐๐2 ๐พ๐โ2 + โฏ + ๐๐๐ ๐พ๐โ๐
15
Langkah kedua yaitu dengan membagi kedua ruas dengan ๐พ0 : ๐พ๐ ๐พ0
= ๐๐1
๐พ๐โ1 ๐พ0
+ ๐๐2
๐พ๐โ2 ๐พ0
+ โฏ + ๐๐๐
๐พ๐โ๐ ๐พ0
Sehingga diperoleh persamaan berikut: ๐๐ = ๐๐1 ๐๐โ1 + ๐๐2 ๐๐โ2 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ๐
(2.14)
dengan j = 1, 2, โฆ, k dan diberikan ๐0 = 1. untuk ๐ = 1, 2, 3 , โฆ , ๐ didapatkan sistem persamaan sebagai berikut : ๐1 = ๐๐1 ๐0 + ๐๐2 ๐1 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ1 ๐2 = ๐๐1 ๐1 + ๐๐2 ๐0 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ2 โฎ ๐๐ = ๐๐1 ๐๐โ1 + ๐๐2 ๐๐โ2 + โฏ + ๐๐๐ ๐0
(2.15)
Sistem persamaan (2.15) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer. Persamaan (2.15) untuk j = 1, 2, 3, โฆ, k digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu ๐๐1 , ๐๐2, โฆ , ๐๐๐ . a.
Untuk lag pertama (k = 1) dan (j = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai berikut: ๐1 = ๐11 ๐0, karena ๐0 = 1 sehingga ๐1 = ๐11 yang berarti bahwa fungsi autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama.
b.
Untuk lag kedua (k = 2) dan (j = 1,2) diperoleh sistem persamaan ๐1 = ๐11 ๐0 + ๐22 ๐1 = ๐11 ๐1 + ๐22 ๐0 persamaan (2.15) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi ๐0 [๐ 1
๐1 ๐11 ๐1 ๐0 ] [๐22 ] = [๐2 ]
16
๐ด= [
1 ๐1
๐1 1 ] , ๐ด2 = [ ๐1 1
๐1 ], ๐2
dan dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh ๐22
c.
=
det(๐ด2) det(๐ด)
=
1 ๐1 ๐1 ๐2 | 1 ๐1 | | ๐1 1 |
Untuk lag ketiga (k = 3) dan (j = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan ๐1 = ๐11 ๐0 + ๐22 ๐1 + ๐33 ๐2 ๐2 = ๐11 ๐1 + ๐22 ๐0 + ๐33 ๐1 ๐3 = ๐11 ๐2 + ๐22 ๐1 + ๐33 ๐0 persamaan (2.27) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi ๐0 [๐1 ๐2
๐1 ๐0 ๐1
1 ๐ด = [๐1 ๐2
๐2 ๐11 ๐1 ๐1 ] [๐22 ] = [๐2 ] ๐0 ๐33 ๐3 ๐1 1 ๐1
๐2 1 ๐1 ], ๐ด3 = [๐1 ๐2 1
๐1 1 ๐1
๐1 ๐2 ] dan dengan menggunakan aturan ๐3
Cramer diperoleh 1
๐33
d.
3) = det(๐ด = det(๐ด)
๐1 1 ๐2 ๐1 1 ๐1 |๐1 1 ๐2 ๐1 |๐1
๐1 ๐2 | ๐3 ๐2 ๐1 | 1
Untuk k lag j = 1,2,3,โฆ, k diperoleh sistem persamaannya adalah ๐1 = ๐11 ๐0 + ๐22 ๐1 + ๐33 ๐2 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ1 ๐2 = ๐11 ๐1 + ๐22 ๐0 + ๐33 ๐1 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ2 ๐3 = ๐11 ๐2 + ๐22 ๐1 + ๐33 ๐0 + โฏ + ๐๐๐ ๐๐โ3 โฎ ๐๐ = ๐11 ๐1 + ๐22 ๐2 + ๐33 ๐3 + โฏ + ๐๐๐ ๐0
17
Persamaan (2.32) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi 1 ๐1 ๐2 โฎ [๐๐โ1
โฆ ๐๐โ1 ๐2 โฆ ๐๐โ2 ๐1 โฏ ๐๐โ3 1 โฑ โฎ โฎ ๐๐โ3 โฆ ๐๐ ]
๐1 1 ๐1 โฎ ๐๐โ2
๐11 ๐1 ๐22 ๐2 ๐33 = ๐3 โฎ โฎ [๐๐๐ ] [๐๐ ]
dengan aturan Cramer diperoleh 1 ๐1 ๐ด๐ = ๐2 โฎ [๐๐โ1
๐1 1 ๐1 โฎ ๐๐โ2
โฆ ๐1 ๐2 โฆ ๐2 ๐1 โฏ ๐3 1 โฑ โฎ โฎ โฆ ๐๐โ3 ๐๐ ]
Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah 1 ๐1 ๐2 | โฎ ๐๐โ1 1 | ๐1 ๐2 | โฎ ๐๐โ1 |
๐๐๐ =
det(๐ด๐) det(๐ด)
=
๐1 1 ๐1 โฎ ๐๐โ2 ๐1 1 ๐1 โฎ ๐๐โ2
โฆ ๐1 ๐2 โฆ ๐2 | ๐1 1 โฏ ๐3 โฑ โฎ| โฎ ๐๐โ3 โฆ ๐๐ โฆ ๐๐โ1 ๐2 โฆ ๐๐โ2 | ๐1 1 โฏ ๐๐โ3 | โฑ โฎ โฎ ๐๐โ3 โฆ 1
(2.16)
Dengan ๐๐๐ disebut PACF antara Zt dan Zt+k (Wei, 2006). Fungsi ๐๐๐ menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi ๐๐ก dan ๐๐ก+๐ dalam analisis time series. Fungsi ๐๐๐ akan bernilai nol untuk k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol dan Moving Average berlaku ACF menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai PACF model AR yaitu ๐๐๐ = 0, k > p dan model MA yaitu ๐๐๐ = 0, untuk k > q (Wei, 2006). Himpunan hasil nilai dari fungsi autokorelasi parsial sampel disingkat SPACF. Setiap koefesien populasi diduga untuk suatu himpunan data yang diberikan oleh sampel pasangan (๐ฬ๐๐ ). Penduga koefesien populasi didefinisikan sebagai berikut:
18
๐ฬ๐๐ =
ฬ ฬ ๐ โโ๐โ1 ฬ ๐โ๐ ๐ ๐=1 ๐๐โ1,๐ ๐ ฬ ๐โ1,๐ ๐ ฬ๐ 1โโ๐โ1 ๐
untuk k=2,3,โฆ
๐=1
Dengan ๐ฬ๐๐ = ๐ฬ๐โ1,๐ โ ๐ฬ๐๐ ๐ฬ๐โ1,๐โ๐
untuk ๐ = 1,2, โฆ , ๐ โ 1
Kita dapat mengukur signifikansi setiap ๐ฬ ๐๐ dengan membandingkan penduganya dengan standar erornya: 1 ๐๐(๐ฬ๐๐ ) = โ๐
(2.17)
Dengan n merupakan banyaknya pengamatan sampel. Hal itu lebih mudah untuk menjelaskan SPACF (kumpulan dari nilai dugaan ๐ฬ ๐๐ untuk ๐ = 1, 2, โฆ , ๐พ) dengan bentuk grafik (Pankratz, 1991).
2.6 White Noise Suatu proses {๐ผ๐ก } dikatakan sebagai proses white noise jika {๐ผ๐ก } adalah barisan dari peubah acak yang tidak ada autokorelasi dan berdistribusi tertentu dengan mean konstan ๐ธ(๐ผ๐ก ) = 0, varians konstan ๐๐๐(๐ผ๐ก ) = ๐๐ผ2 dan ๐ถ๐๐ฃ (๐ผ๐ก , ๐ผ๐ก+๐ ) = 0 untuk semua ๐ โ 0 (Wei, 2006). Dengan definisi tersebut, sehingga suatu proses white noise stasioner dengan fungsi autokovarians : ๐2, ๐ = 0 ๐พ๐ = { ๐ 0, ๐ โ 0 fungsi autokorelasi : 1, ๐ = 0 ๐๐ = { 0, ๐ โ 0
19
fungsi autokorelasi parsial : ๐๐๐ = {
1, ๐ = 0 0, ๐ โ 0 (Wei, 2006).
White noise sebagai istilah untuk menjelaskan bahwa suatu data memiliki residual dengan
perilaku
acak
dan
stasioner.
White
noise
dinotasikan
dengan
{๐ผ๐ก }~๐๐(0, ๐๐ผ2 ). Barisan {๐ผ๐ก } mengarah sebagai white noise dengan mean 0 dan varians ๐๐ผ2 . Sehingga setiap barisan IID (0, ๐๐ผ2 ) adalah WN (0, ๐๐ผ2 ) (Brockwell, 2002). Untuk mengetahui apakah residual merupakan white noise dapat menggunakan uji statistik Ljung-Box (LB) yang merupakan modifikasi dari statistic uji Q. Tes ini menggunakan seluruh residual sampel dari SACF dengan hipotesis nol: ๐ป0 : ๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = 0 (Residual bersifat white noise) ๐ป1 : โ๐๐ โ 0, ๐ = 1,2, โฆ , ๐พ (Residual tidak bersifat white noise) Dengan statistik uji: ฬ )2 (๐
๐ ๐ฟ๐ต = ๐(๐ + 2) โ๐พ ๐=1 (๐โ๐)
Dengan: T
: banyaknya pengamatan
K
: banyaknya lag yang diuji
k
: selisih lag
๐ ฬ๐
: koefesien autokorelasi pada periode ke-k
(2.18)
20
Dengan kriteria pengujian: 2 Jika ๐ฟ๐ต โค ๐(๐ผ,๐๐) maka ๐ป0 tidak ditolak (๐ผ๐ก merupakan suatu barisan yang 2 independen atau data bersifat acak). Jika ๐ฟ๐ต > ๐(๐ผ,๐๐) maka ๐ป0 ditolak (Wei, 2006).
2.7 Uji Unit Root
Proses unit root merupakan proses analisis deret waktu yang mengalami ketidakstasioneran. Indikasi terdapatnya unit root adalah adanya random walk yang artinya data deret waktu tidak stasioner pada ragam karena ragamnya merupakan fungsi dari waktu. Random walk tanpa drift dijelaskan dalam skema berikut: ๐1 = ๐0 + ๐ผ1 ๐2 = ๐1 + ๐ผ2 = ๐0 + ๐ผ1 + ๐ผ2 โฎ ๐๐ก = ๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก = ๐0 + โ๐ก๐=1 ๐ผ๐
(2.19)
dengan ๐ผ๐ merupakan white noise. Dengan demikian dapat diperoleh: ๐ธ (๐๐ก ) = ๐ธ (๐0 + โ๐ก๐=1 ๐ผ๐ ) = ๐ธ (๐0 ) + ๐ธ (โ๐ก๐=1 ๐ผ๐ ) = ๐ธ (๐0 ) + (๐ธ(๐ผ1 ) + ๐ธ (๐ผ2 ) + โฏ + ๐ธ (๐ผ๐ก )) = ๐0 + 0 + 0 + โฏ + 0 = ๐0
(2.20)
๐๐๐(๐๐ก ) = ๐๐๐(๐0 + โ๐ก๐=1 ๐ผ๐ ) = ๐๐๐(๐0 ) + ๐๐๐(โ๐ก๐=1 ๐ผ๐ ) = 0 + ๐๐๐(๐ผ1 + ๐ผ2 + โฏ + ๐ผ๐ก ) = ๐ 2 + ๐ 2 + โฏ + ๐ 2 = ๐ก๐ 2
(2.21)
Kemudian random walk dengan drift dijelaskan dalam skema berikut: ๐๐ก = ๐ฝ1 + ๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก
(2.22)
dengan ๐ฝ1 merupakan parameter drift dan ๐ผ๐ก adalah white noise, sedemikian sehingga dapat diperoleh sifat-sifat berikut:
21
๐ธ (๐๐ก ) = ๐0 + ๐ก๐ฝ1
(2.23)
๐๐๐(๐๐ก ) = ๐ก๐ 2
(2.24)
Misalkan random walk ditulis seperti berikut: ๐๐ก = ๐๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก ; โ1 โค ๐ โค 1
(2.25)
Jika ๐ = 1 maka akan diperoleh persamaan random walk tanpa drift yang diindikasikan data deret waktu ๐๐ก memiliki unit root. Persamaan (2.25) kedua ruasnya dikurangi dengan ๐๐กโ1 , sehingga diperoleh skema sebagai berikut: ๐๐ก โ ๐๐กโ1 = ๐๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก โ ๐๐กโ1 โ๐๐ก = (๐ โ 1)๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก โ๐๐ก = ๐๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก dengan ๐ = (๐ โ 1) dan โ๐๐ก = ๐๐ก โ ๐๐กโ1. Dikatakan ๐๐ก tidak stasioner pada ๐ = 1 atau ๐ = 0 akan tetapi data deret waktu yang dilakukan proses diferensiasi โ๐๐ก bersifat stasioner dengan kata lain ๐๐ก terintegrasi dengan order 1. Jika |๐| < 1 maka ๐๐ก bersifat stasioner (Gujarati, 2009). Uji unit root memiliki berbagai metode salah satunya adalah uji Augmanted Dickey Fuller (Uji ADF). Uji ADF ini menggunakan persamaan sebagai berikut: โ๐๐ก = ๐ฝ1 + ๐ฝ2 ๐ก + ๐๐๐กโ1 + โ๐ ๐=1 ๐ข๐ โ๐๐กโ๐ + ๐ผ๐ก Uji ADF dilakukan dengan menghitung nilai ๐ (tau) statistik dengan rumus: ฬ ๐
๐ = ๐๐ธ(๐๐ฬ
๐)
Hipotesis dilakukan sebagai berikut: ๐ป0 : ๐ = 0 (yang artinya ๐๐ก tidak stasioner) ๐ป0 : ๐ โ 0 (yang artinya ๐๐ก stasioner)
(2.26)
22
Jika ๐ statistik < ๐ tabel maka ๐ป0 tidak ditolak yang berarti data dikatakan tidak stasioner (Gujarati, 2009).
2.8 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autorgressive Integrated Moving Average (ARIMA) didasarkan pada data yang tersedia; teoritis (populasi) berhubungan dengannya adalah suatu Proses ARIMA. Untuk mengidentifikasi model ARIMA dibuat terlebih dahulu plot ACF dan plot PACF (Pankratz, 1991).
2.8.1 Proses Autoregressive (AR)
Suatu proses autoregressive (AR) adalah suatu nilai pada saat sekarang dari peubah ๐ yang bergantung pada nilai pada periode sebelumnya pada peubah yang sama yang ditambah dengan residualnya yang memiliki rata-rata nol dan berdistribusi white noise. Proses ini mengasumsikan bahwa deret waktu mempunyai rata-rata konstan dan varians konstan dari waktu ke waktu yang berarti bersifat stasioner (Brooks, 2014).
2.8.1.1 Order pertama Autoregressive, AR(1)
Pertama, diberikan persamaan time series stasioner sebagai : โ
๐๐ก = ๐ + โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ ๐=0
23
โ
= ๐ + โ ๐๐ ๐ต๐ ๐ผ๐ ๐=0
= ๐ + ฮจ(๐ต)๐ผ๐ก
(2.28)
๐ Dengan ฮจ(๐ต) = โโ ๐=0 ๐๐ ๐ต .
Dengan pendekatan eksponensial ๐๐ = ๐ ๐ dimana
|๐| < 1 sehingga dapat ditulis : ๐๐ก = ๐ + ๐ผ๐ก + ๐๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ
(2.29)
Diperoleh : ๐๐กโ1 = ๐ + ๐ผ๐กโ1 + ๐๐ผ๐กโ2 + ๐2 ๐ผ๐กโ3 + โฏ
(2.30)
Kita dapat mengkombinasikan persamaan (2.29) dan (2.30) sebagai berikut ๐๐ก = ๐ + ๐ผ๐ก + ๐๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ = ๐ โ ๐๐ + ๐๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก = ๐ + ๐๐๐กโ1 + ๐ผ๐ก Dengan
๐๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ = ๐๐๐กโ1 โ ๐๐
(2.31)
dan
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐(1 โ ๐).
Persamaan (2.31) disebut order pertama proses autoregressive karena pada persamaan (2.31) merupakan regresi dari ๐๐ก pada ๐๐กโ1 . Proses AR (1) stasioner jika |๐| < 1. Rata-rata dari AR(1) yang stasioner adalah : ๐ฟ
๐ธ (๐๐ก ) = ๐ = 1โ๐
(2.32)
Autokovarian dari AR (1) dapat dihitung dari persamaan (2.29) ๐พ๐ง (๐ ) = ๐ 2 ๐ ๐
1 1โ ๐ 2
untuk k = 0, 1, 2, โฆ
Nilai varian diberikan sebagai: 1
๐พ๐ง (0) = ๐ 2 1โ ๐2
24
Hubungan dengan fungsi autokorelasi diberikan sebagai: ๐(๐) =
๐พ๐ (๐) ๐พ๐ (0)
untuk k = 0, 1, 2, 3,โฆ
Ini menyebabkan proses stasioner AR (1) turun secara eksponensial (Montgomery, 2008).
2.8.1.2 Autoregressive Order p, (AR(p))
Bentuk umum order ke-p model Autoregressive adalah ๐๐ก = ๐ + ๐1 ๐๐กโ1 + ๐2 ๐๐กโ2 + โฏ + ๐๐ ๐๐กโ๐ + ๐ผ๐ก
dengan : ๐ผ๐ก ~ N (0,ฯ2) Zt
: nilai peubah pada waktu ke-t
๐ผ๐ก
: white noise pada waktu t
๐๐
: koefisien regresi, ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐
p
: order AR
c
: konstanta
Dengan ๐ผ๐ก white noise. Persamaan (2.33) dapat juga ditulis ฮฆ(B)๐๐ก = ๐ + ๐ผ๐ก Dengan ฮฆ(B) = 1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ต๐ untuk AR (p) stasioner ๐ธ (๐๐ก ) = ๐ = 1โ๐
๐ 1 โ๐2 โโฏโ๐๐
(2.33)
25
dan ๐พ๐ (๐ ) = ๐๐๐ฃ (๐๐ก , ๐๐กโ๐ ) = ๐๐๐ฃ ( ๐ + ๐1 ๐๐กโ1 + ๐2 ๐๐กโ2 + โฏ + ๐๐ ๐๐กโ๐ + ๐ผ๐ก , ๐๐กโ๐ ) ๐
โ ๐๐ ๐๐๐ฃ(๐๐กโ๐ , ๐๐กโ๐ ) + ๐๐๐ฃ(๐ผ๐ก , ๐๐กโ๐ )
=
๐=1
๐ 2 ๐๐๐๐ ๐ = 0 = โ๐๐=1 ๐๐ ๐พ๐ (๐ โ ๐ ) + { 0 ๐๐๐๐ ๐ > 0
(2.34)
Kemudian kita peroleh ๐
๐พ๐ (0) = โ ๐๐ ๐พ๐ (๐ ) + ๐ 2 ๐=1
โ ๐พ๐ (0)[1 โ โ๐๐=1 ๐๐ ๐๐ (๐ )] = ๐ 2
(2.35)
Hasil pembagian persamaan (2.34) dengan ๐พ๐ (0)untuk k > 0 dapat digunakan untuk mencari nilai ACF pada proses AR(p) yang memenuhi persamaan Yule-Walker ๐๐ (๐ ) = โ๐๐=1 ๐๐ ๐๐ (๐ โ ๐ )
k = 1, 2, โฆ
(Montgomery, 2008).
2.8.2 Model Moving Average (MA)
Model moving average dengan order q dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai : ๐๐ก = ฮผ + ๐ผ๐ก โ ๐1๐ผ๐กโ1 โ ๐2 ๐ผ๐กโ2 โ ๐3 ๐ผ๐กโ3 โ โฆ โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ dengan : ๐ผ๐ก ~ N (0,ฯ2) Zt : nilai peubah pada waktu ke-t ๐ผ๐ก : white noise pada waktu t
(2.36)
26
๐๐ : koefisien regresi, i: 1,2,3, โฆ,q q : order MA Persamaan di atas dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi : Zt = ฮผ + (1 โ ๐1B โ ๐2 ๐ต2 โ โฆ โ ฮธq ๐ต๐ ) ๐ผ๐ก = ๐ + (1 โ โ๐๐=1 ๐๐ ๐ต๐ )๐ผ๐ก = ๐ + ฮ(๐ต)๐ผ๐ก
(2.36) ๐
dimana ฮ(๐ต) = 1 โ โ๐=1 ๐๐ ๐ต๐ Karena ๐ผ๐ก white noise, nilai harapan MA (q) adalah ๐ธ (๐๐ก ) = ๐ธ(ฮผ + ๐ผ๐ก โ ๐1 ๐ผ๐กโ1 โ ๐2 ๐ผ๐กโ2 โ ๐3 ๐ผ๐กโ3 โ โฆ โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ ) = ๐
(2.37)
dan varians Var (๐๐ก ) = ๐พ๐ (0) = Var(ฮผ + ๐ผ๐ก โ ๐1๐ผ๐กโ1 โ ๐2 ๐ผ๐กโ2 โ โฆ โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ )
(2.38)
= ฯ2 (1 + ฮธ12 + ฮธ22 + โฆ + ฮธ๐2)
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k ๐พ๐ (๐) = Cov (๐๐ก , ๐๐ก+๐ ) = ๐ธ[(ฮผ + ๐ผ๐ก โ ๐1 ๐ผ๐กโ1 โ ๐2 ๐ผ๐กโ2 โ ๐3 ๐ผ๐กโ3 โ โฆ โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ )(๐ผ๐ก+๐ โ ๐1 ๐ผ๐ก+๐โ1 โ ๐2 ๐ผ๐ก+๐โ2 โ ๐3 ๐ผ๐ก+๐โ3 โ โฆ โ ๐๐ ๐ผ๐ก+๐โ๐ )] ={
๐ 2 (โ๐๐ + ๐1 ๐๐+1 + โฏ + ๐๐โ๐ ๐๐ ) ๐ = 1, 2, โฆ , ๐ 0 ๐>๐
(2.39)
Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu ๐๐ (๐ ) =
๐พ๐ (๐) ๐พ๐ (0)
(โ๐๐ + ๐1 ๐๐+1 +โฏ+๐๐โ๐ ๐๐ )
={
1+ ๐1 2 +โฏ+ ๐๐ 2
0
, ๐ = 1, 2, 3, โฆ ๐
(2.40)
๐>๐
Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q (Montgomery, 2008).
27
2.8.2.1 Order pertama Moving Average, MA(1)
Model paling sederhana dari Moving Average yakni MA(1) ketika nilai q =1 ๐๐ก = ๐ + ๐ผ๐ก โ ๐1 ๐ผ๐กโ1 untuk model MA (1) kita peroleh nilai autocovariance function ๐พ๐ (0) = ๐ 2 (1 + ๐1 2 ) ๐พ๐ (1) = โ๐1๐ 2 ๐พ๐ (๐ ) = 0 k > 1 Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi ๐๐ (1) =
โ๐1 (1+๐1 2 )
๐๐ (๐ ) = 0
๐>1
Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA (1) dibatasi โ๐๐ (1)โ =
โ๐1 โ (1+๐1 2 )
โค
1 2
dan autokorelasi cut off setelah lag 1 (Montgomery, 2008).
2.8.3
Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) diberikan pada halaman selanjutnya sebagai berikut: ๐๐ก = ๐ฟ + ๐1 ๐๐กโ1 + ๐2 ๐๐กโ2 + โฏ + ๐๐ ๐๐กโ๐ + ๐ผ๐ก โ ๐1 ๐ผ๐กโ1 โ ๐2 ๐ผ๐กโ2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ = ๐ฟ + โ๐๐=1 ๐๐ ๐๐กโ๐ + โ๐๐=1 ๐๐ ๐ผ๐กโ๐ atau
ฮฆ(๐ต)๐๐ก = ๐ฟ + ฮ(๐ต)๐ผ๐ก
dengan
๐๐ก
= nilai variabel pada waktu ke-t
(2.41)
28
๐๐
= parameter model AR, j=1,2,3,...,p
p
= order AR
๐๐
= parameter model MA ke-i, i=1,2,3,...,q
๐ผ๐ก
= nilai error pada waktu ke-t diasumsikan White Noise (Wei, 2006 ).
2.8.4
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Jika d adalah bilangan bulat nonnegative, maka {Zt} dikatakan proses ARIMA dengan โ๐ ๐๐ก = (1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก merupakan akibat dari proses ARMA. Definisi berikut digunakan dalam membangun model ARIMA: ๐(๐ต) = (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ต๐ )
(operator AR order p)
๐ (๐ต) = (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ต๐ )
(operator MA order q) (Pankratz, 1991).
Definisi diatas berarti bahwa {Zt} memenuhi persamaan : ๐(๐ต)โ๐ ๐๐ก = ๐ (๐ต)๐ผ๐ก ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก = ๐(๐ต)๐ผ๐ก ๐(๐ต)๐๐ก = ๐(B)๐ผ๐ก
(2.42)
dengan {๐ผ๐ก } โผ ๐๐(0, ๐ 2 ), ๐(๐ต) dan ๐(๐ต) adalah derajat polinomial dari p dan q, ๐(๐ต) โ 0 untuk |๐(๐ต)| < 1 (Brockwell, 2002).
2.9 Model Fungsi Transfer ditambah Noise
Model fungsi transfer merupakan model yang digunakan untuk menganalisis data deret waktu multivariate yang ditransformasi ke dalam bentuk univariate agar
29
didapatkan informasi yang lengkap dan simultan. Diasumsikan terdapat pasangan pengamatan ๐๐ก dan ๐๐ก yang masing-masing merupakan input dan output dari system dinamis dan keduanya stasioner (Box and Jenkins, 2016). Dibangun sebuah hubungan filter linear dari pasangan pengamatan ๐๐ก dan ๐๐ก sebagai berikut: ๐๐ก = (๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฃ1 ๐๐กโ1 + ๐ฃ2 ๐๐กโ2 + โฏ ) + ๐๐ก = (๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฃ1 ๐ต๐๐ก + ๐ฃ2 ๐ต2 ๐๐ก + โฏ ) + ๐๐ก = (๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฏ )๐๐ก + ๐๐ก ๐ = (โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ต )๐๐ก + ๐๐ก
= ๐ฃ (๐ต)๐๐ก + ๐๐ก
(2.43)
๐ Dengan ๐ฃ(๐ต) = ๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฏ = โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ต disebut sebagai fungsi transfer
filter dan ๐ฃ0 , ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ juga disebut dengan fungsi impulse respon. Model fungsi transfer dikatakan stabil jika โ|๐ฃ๐ | < โ. Artinya, pada model fungsi transfer sebuah peubah independen yang dibatasi akan selalu menghasilkan peubah dependen yang terbatas. Sedangkan model fungsi transfer dikatakan kausal jika ๐๐ = 0 untuk i < 0. Artinya, nilai peubah dependen di masa depan dipengaruhi oleh nilai peubah independen di masa lalu, dan ๐๐ก sebagai noise yang merupakan peubah acak berdistribusi identik saling bebas dengan mean 0 dan varians ๐ 2 dan saling bebas dengan ๐๐ก . Misalkan diberikan ๐ฟ1 adalah suatu konstan dengan 0 < |๐ฟ1 | < 1 yang menunjukkan tingkat penurunan, ๐ฃ0 nilai awal untuk penurunan, dan misalkan pembobot dalam ๐ฃ(๐ต) sebagai berikut: ๐ฃ1 = ๐ฟ1 ๐ฃ0 ๐ฃ2 = ๐ฟ1 ๐ฃ1 = ๐ฟ12 ๐ฃ0
30
๐ฃ3 = ๐ฟ1 ๐ฃ2 = ๐ฟ13 ๐ฃ0 โฎ ๐๐ = ๐ฟ1 ๐๐โ1 = ๐ฟ1๐ ๐0 ; ๐ โฅ 0 Sehingga dibangun persamaan fungsi transfer tanpa noise sebagai berikut: ๐๐ก = ๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฃ1 ๐๐กโ1 + ๐ฃ2 ๐๐กโ2 + โฏ ๐๐ก = ๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฟ1 ๐ฃ0 ๐๐กโ1 + ๐ฟ12 ๐ฃ0 ๐๐กโ2 + โฏ
(2.44)
Selanjutnya pada lag ke-1 diperoleh persamaan: ๐๐กโ1 = ๐ฃ0 ๐๐กโ1 + ๐ฟ1 ๐ฃ0 ๐๐กโ2 + ๐ฟ12 ๐ฃ0 3 + โฏ
(2.45)
Kalikan kedua ruas pada (2.44) dengan ๐ฟ1 dan diperoleh: ๐ฟ1 ๐๐กโ1 = ๐ฟ1 ๐ฃ0 ๐๐กโ1 + ๐ฟ12 ๐ฃ0 ๐๐กโ2 + ๐ฟ13 ๐ฃ0 3 + โฏ
(2.46)
Kurangkan 2.44 dengan 2.46 sehingga diperoleh bentuk rasional ๐๐ก : ๐๐ก โ ๐ฟ1 ๐๐กโ1 = ๐ฃ0 ๐๐ก (1 โ ๐ฟ1 ๐ต)๐๐ก = ๐ฃ0 ๐๐ก ๐ฃ ๐
0 ๐ก ๐๐ก = (1โ๐ฟ ๐ต)
(2.47)
1
(Pankratz, 1991). Peubah ๐๐ก dan ๐๐ก mempunyai angka yang terbatas sedangkan ๐ฃ(๐ต) mempunyai koefesien yang tidak terbatas. Oleh karena itu, fungsi transfer filter diubah ke dalam bentuk rasional sebagai berikut mengikuti bentuk rasional 2.47 dengan order berhingga: ๐ฃ (๐ต ) =
๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
=
๐0 โ ๐1 ๐ตโ โฆโ ๐๐ ๐ต๐ 1โ ๐ฟ1 ๐ตโ โฆโ ๐ฟ๐ ๐ต๐
(2.48)
31
Sehingga diperoleh model fungsi transfer-noise sebagai berikut: ๐๐ก =
๐ค๐ (๐ต) ๐ฟ๐ (๐ต)
๐๐ก + ๐๐ก =
๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
๐๐ก + ๐๐ก
(2.49)
Dalam beberapa kondisi memungkinkan terjadinya sebuah delay (b) yang merupakan waktu yang berlalu sebelum implus dari peubah independen menghasilkan efek terhadap peubah dependen, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
๐๐ก = (๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฃ1 ๐๐กโ1 + ๐ฃ2 ๐๐กโ2 + โฏ ) + ๐๐ก = (๐ฃ0 ๐๐ก + ๐ฃ1 ๐ต๐๐ก + ๐ฃ2 ๐ต2 ๐๐ก + โฏ ) + ๐๐ก = (๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฏ )๐๐ก + ๐๐ก ๐ = (โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ต )๐๐ก + ๐๐ก
= ๐ฃ(๐ต)๐๐กโ๐ + ๐๐ก = =
๐ค๐ (๐ต) ๐ฟ๐ (๐ต) ๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
๐๐กโ๐ + ๐๐ก
๐ต๐ ๐๐ก + ๐๐ก
(2.50)
Dari model fungsi transfer untuk ๐๐ก dan ๐๐ก diasumsikan independen. Order dari r, s dan b dapat ditentukan dari persamaan : ๐ฃ (๐ต ) =
๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
=
๐0 โ ๐1 ๐ตโ โฆโ ๐๐ ๐ต๐ 1โ ๐ฟ1 ๐ตโ โฆโ ๐ฟ๐ ๐ต๐
๐ฟ(๐ต)๐ฃ(B) = ๐(๐ต) [1 โ ๐ฟ1 ๐ต โ โฆ โ ๐ฟ๐ ๐ต๐ ][๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฆ] = [๐0 โ ๐1 ๐ต โ โฆ โ ๐๐ ๐ต ๐ ] [1 โ ๐ฟ1 ๐ต โ โฆ โ ๐ฟ๐ ๐ต๐ ][๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฏ ] โ [๐0 โ ๐1 ๐ต โ โฆ โ ๐๐ ๐ต ๐ ] = 0 ๐ ๐ [1 โ ๐ฟ1 ๐ต โ โฆ โ ๐ฟ๐ ๐ต๐ ](โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ต ) โ [๐0 โ ๐1๐ต โ โฆ โ ๐๐ ๐ต ] = 0
(2.51)
32
Sehingga : ๐ฟ1 ๐๐โ1 + ๐ฟ2 ๐๐โ2 + โฆ + ๐ฟ๐ ๐๐โ๐ โ๐๐โ๐ , ๐ = ๐ + 1, โฆ , ๐ + ๐ ๐๐ = { ๐ฟ1 ๐๐โ1 + ๐ฟ2 ๐๐โ2 + โฆ + ๐ฟ๐ ๐๐โ๐ , ๐ >๐+๐
(2.52)
Dengan ๐๐ = ๐ฟ1 ๐๐โ1 + ๐ฟ2 ๐๐โ2 + โฆ + ๐ฟ๐ ๐๐โ๐ + ๐๐ untuk ๐ = ๐ dan ๐๐ = 0 untuk ๐ < ๐. Sehingga kesimpulannya : a. b dicari berdasarkan fakta bahwa ๐๐ = 0 untuk ๐ < ๐ dan ๐๐ โ 0 b. r dicari berdasarkan pola dari impuls respon terboboti, yang identik dengan mencari order p pada identifikasi ARIMA (p,d,q) univariate melalui fungsi parsial autokorelasi (PACF). c. Untuk nilai b yang ditetapkan jika ๐ = 0 maka nilai s dapat dicari berdasarkan fakta, ๐ฃ๐ = 0, ๐ > ๐ + ๐ , sedangkan jika ๐ โ 0 maka s dicari dengan berdasarkan pengamatan pola kelambatan impuls terboboti, dan nilai s adalah perkiraan dimulainya kelambatan.
Model fungsi transfer memiliki asumsi yang harus dipenuhi yaitu tidak ada feedback. Feedback adalah tidak ada arah (exogeneity) pada peubah independen dan peubah dependen. Artinya, peubah ๐๐ก haruslah independen terhadap peubah ๐๐ก . Jika terdapat autokerelasi pada peubah independen maka dibutuhkan prewhitening. Prewhitening digunakan dengan membangun sebuah model ARMA (Autoregressive-Moving Average) pada peubah independen (Wei, 2006).
2.10 Analisis Model Intervensi
Model intervensi merupakan kasus khusus dari model fungsi transfer yang ditambah noise. Data deret waktu dalam model intervensi dipengaruhi oleh kejadian-kejadian
33
lain seperti kebijakan pemerintah, bencana alam, promosi, dan lain-lain. Data deret waktu yang dipengaruhi kejadian luar dengan diketahui waktu kejadian dapat dianalisis menggunakan analisis intervensi . Pada prinsipnya dikenal dua macam peubah fungsi intervensi, yaitu peubah intervensi fungsi step (step function) dan peubah intervensi fungsi pulse (pulse function). Step function adalah suatu bentuk intervensi yang terjadi dalam kurun waktu yang panjang, sedangkan pulse function adalah suatu bentuk intervensi yang terjadi hanya dalam suatu waktu tertentu. Dalam model intervensi, jika kejadian intervensi
fungsi pulse terjadi selama periode ๐ก = ๐, maka didefinisikan sebagai berikut: 0, ๐ก โ ๐ ๐๐ก = ๐๐ก = { 1, ๐ก = ๐ Untuk intervensi fungsi step didefinisikan sebagai berikut: ๐๐ก = ๐๐ก = {
0, ๐ก < ๐ 1, ๐ก โฅ ๐
Dengan T merupakan waktu terjadinya intervensi. Peubah independen dari model intervensi merupakan proses deterministik. Secara umum, model intervensi dimodelkan sebagai berikut: ๐๐ก = ๐ฃ (๐ต)๐๐กโ๐ + ๐๐ก = ๐ฃ (๐ต)๐ต๐ ๐๐ก + ๐๐ก
Dengan
dengan
๐ ๐ฃ(๐ต) = ๐ฃ0 + ๐ฃ1 ๐ต + ๐ฃ2 ๐ต2 + โฏ = โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ต =
(2.53) ๐๐ (๐ต) ๐ฟ๐ (๐ต)
disebut
sebagai fungsi transfer filter atau juga biasa disebut dengan impulse respon terboboti, ๐๐ก merupakan peubah respon atau dependen pada waktu t, ๐๐ก merupakan peubah fungsi step yang bersifat deterministik, dan ๐๐ก sebagai noise yang merupakan peubah acak berdistribusi identik saling bebas dengan mean 0 dan varians ๐ 2 dan saling bebas dengan ๐๐ก . Sehingga diperoleh model untuk analisis intervensi:
34
๐๐ก =
๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
๐ต๐ ๐ฅ๐ก + ๐๐ก
(2.54)
Dengan ๐๐ก didefinisikan pada persamaan (2.53) (Box and Jenkins, 2016).
2.10.1 Pengelompokkan Data
Pada data deret waktu yang mengalami intervensi terbagi menjadi dua data, yaitu sebelum terjadinya intervensi disebut pre-intervensi dan saat terjadi sampai setelah intervensi terjadi post-intervensi. Oleh karena itu, hal yang pertama kali dilakukan dalam analisis intervensi ini adalah membagi data tersebut menjadi dua bagian yang telah disebutkan. Data pra intervensi merupakan data yang dimulai saat ๐ก = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1 dan data post-intervensi merupakan data yang dimulai dari ๐ก = ๐, ๐ + 1, ๐ + 2, โฆ , ๐ dengan n merupakan banyaknya datum pada data deret waktu tersebut. Setelah dikelompokkan barulah dilakukan identifikasi pada data pre-intervensi dengan prosedur ARIMA (p,d,q) dan data deret waktu dengan fungsi transfer yang ditambahkan noise.
2.10.2 Model Noise
Data pre-intervensi digunakan dalam membangun model noise yang dimodelkan dengan proses ARIMA (p,d,q) sebagai berikut: (1โ๐1 ๐ตโ๐2 ๐ต2 โโฏโ๐๐ ๐ต๐ )
๐๐ก = (1โ๐
2 ๐ ๐ 1 ๐ตโ๐2 ๐ต โโฏโ๐๐ ๐ต )(1 โ ๐ต)
๐(B)
๐๐ก = ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐ผ๐ก ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก = ๐(B)๐ผ๐ก ๐(๐ต)๐๐ก = ๐(B)๐ผ๐ก
๐ผ๐ก
35
๐(๐ต)
๐๐ก = ฯ(๐ต) ๐ผ๐ก
(2.55)
Dengan ๐(B) moving average order q, ๐(๐ต) autoregressive order p, dan (1 โ ๐ต)๐ proses integrated order d. Order โ order ini dapat ditentukan dengan melihat plot ACF dan PACF. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter dan evaluasi model untuk mendapatkan model terbaik mengikuti prosedur Box-Jenkins.
2.10.3 Identifikasi Respon Intervensi
Respon intervensi menunjukan adanya dampak dari intervensi dalam bentuk input deterministik ๐๐ก . Identifikasi respon intervensi dilakukan dengan melihat plot deret waktu seluruh data untuk mengetahui pola respon setelah terjadinya intervensi. Pandang model fungsi transfer berikut : ๐๐ก = ๐ฃ(๐ต)๐ต๐ ๐ฅ๐ก =
๐๐ (๐ต) ๐ฟ๐ (๐ต)
๐ต๐ ๐ฅ๐ก
(2.56)
Karena sifat deterministik dari peubah input ๐ฅ๐ก maka identifikasi struktur operator model intervensi tidak didasarkan pada teknik model fungsi transfer yang dikenal dengan sebutan prewhitening. Identifikasi respon intervensi dapat dilakukan dengan identifikasi order b, s, dan r dari grafik residual pada data. Order b ditentukan dengan melihat kapan efek intervensi mulai terjadi. Order b bernilai nol ketika waktu mulai terjadinya efek intervensi langsung dirasakan pada saat T. Order s ditentukan dengan melihat residual data kembali stabil dihitung dari waktu mulai intervensi. Sedangkan order r ditentukan saat residual dari data membentuk pola yang jelas. Bentuk v(B) juga dituliskan mengikuti model ARMA (Autoregressive-Moving Average), yaitu denominator (r) meringkas banyaknya koefisien {๐ฟ๐ } pada bagian AR dari model
36
ARMA. Sedangkan numerator (s) meringkas banyaknya koefisien {๐๐ } pada bagian MA dari model ARMA (Montgomery, 2008). Identifikasi dapat dibantu oleh inspeksi langsung dari data yang menunjukkan bentuk dari dampak karena kejadian yang diketahui waktunya. Berikut ini merupakan grafik respon dari fungsi step yang dapat terjadi adalah: Input
Gambar 2.1 Grafik Pola Variabel Input
Output a)
Suatu dampak tetap yang tidak diketahui dari suatu intervensi muncul pada b periode setelah intervensi dengan ๐ฟ = 0 atau disebut dengan abrupt permanent, memiliki bentuk respon:
๐ฃ(๐ต)๐๐ก = ๐(๐ต)๐๐ก
๐ Gambar 2.2 Abrupt Permanent
b) Suatu dampak intervensi muncul pada b periode setelah intervensi tetapi responnya bertahap dengan 0 < ๐ฟ < 1, memiliki bentuk respon :
๐ 1โ๐ฟ
๐(๐ต)
๐ฃ(๐ต)๐๐ก = 1โ๐ฟ(๐ต) ๐๐ก
Gambar 2.3 Gradual Permanent 0 < ๐ฟ < 1 c)
Suatu dampak intervensi muncul pada b periode setelah intervensi tetapi responnya naik secara linear tanpa batas dengan ๐ฟ = 1, memiliki bentuk respon:
37
๐ฃ(๐ต)๐๐ก =
๐
๐(๐ต) 1โ๐ต
๐๐ก
Gambar 2.4 Gradual Permanent ๐ฟ = 1
2.10.4 Estimasi Parameter Model Intervensi
Estimasi parameter model intervensi dilakukan setelah model intervensi diidentifikasi. Model intervensi secara umum dituliskan sebagai berikut: ๐๐ก = ๐๐ก =
๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต) ๐(๐ต) ๐ฟ(๐ต)
๐ต๐ ๐ฅ๐ก + ๐๐ก ๐ต๐ ๐ฅ๐ก +
๐(B) ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐
๐ผ๐ก
(2.57)
Dengan menyamakan penyebut pada persamaan (2.57) sehingga diperoleh: ๐ฟ (๐ต)๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก = ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐(๐ต)๐ต๐ ๐ฅ๐ก + ๐ฟ(๐ต) ๐(B)๐ผ๐ก ๐
๐(๐ต)๐๐ก = ๐(๐ต)๐ต ๐ฅ๐ก + ๐(๐ต) ๐ผ๐ก ๐(๐ต)๐๐ก = ๐(๐ต)๐ฅ๐กโ๐ + ๐(๐ต) ๐ผ๐ก ๐(๐ต)๐๐ก โ ๐(๐ต)๐ฅ๐กโ๐ = ๐(๐ต) ๐ผ๐ก
๐ผ๐ก =
๐(๐ต)๐๐ก โ๐(๐ต)๐ฅ๐กโ๐
๐(๐ต)
(2.58)
dengan, ๐ 2 ๐(๐ต) = ๐ฟ(๐ต)๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ = (1 โ ๐ฟ1 ๐ต โ โฆ โ ๐ฟ๐๐ต ) (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต โ โฏ โ
๐๐ ๐ต๐ ) (1 โ ๐ต)๐ = (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐+๐๐ต๐+๐) ๐(๐ต) = ๐ (๐ต)๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ = (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ต๐ )(๐0 โ ๐1๐ต โ โฆ โ ๐๐ ๐ต ๐ )(1 โ ๐ต)๐ = (๐0 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )
38
๐(๐ต) = ๐ฟ (๐ต) ๐ (B) = (1 โ ๐ฟ1 ๐ต โ โฆ โ ๐ฟ๐ ๐ต๐ )(1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐ ๐ต๐ ) = (1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )
Maka nilai residualnya, yaitu: ๐ผ๐ก =
(1โ๐1 ๐ตโ๐2 ๐ต2 โโฏโ๐๐+๐๐ต๐+๐ )๐๐ก โ(๐0 โ๐1 ๐ตโ๐2 ๐ต2โโฏโ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )๐ฅ๐กโ๐ (1โ๐1๐ตโ๐2 ๐ต2 โโฏโ๐๐+๐ ๐ต๐+๐)
๐ผ๐ก = [(1 โ ๐1 ๐ต โ ๐2 ๐ต2 โ โฏ โ ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )๐๐ก ] โ [(๐0 + ๐1 ๐ต + ๐2 ๐ต2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )๐ฅ๐กโ๐ ] + (๐1 ๐ต + ๐2 ๐ต2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ต๐+๐ )๐ผ๐ก ๐ผ๐ก = (๐๐ก โ ๐1 ๐๐กโ1 โ ๐2 ๐๐กโ2 โ โฏ โ ๐๐+๐ ๐๐กโ๐โ๐ ) โ [(๐0 ๐ฅ๐กโ๐ + ๐1 ๐ฅ๐กโ๐โ1 + ๐2 ๐ฅ๐กโ๐โ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ฅ๐กโ๐โ๐โ๐ )] + (๐1 ๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ผ๐กโ๐โ๐ )
(2.59)
Dengan asumsi ๐ผ๐ก ~ ๐๐(0, ๐ 2 ), sehingga fungsi likelihood menggunakan fungsi distribusi normal sebagai berikut: ๐ฟ(๐ฟ, ๐, ๐, ๐, ๐ 2 ) = โ๐๐ก=1 ๐(๐ผ๐ก , ๐๐ผ2 ) = (2๐๐๐ผ2 )โ๐/2 exp [โ
1 2๐๐ผ2
โ๐๐ก=1 ๐ผ๐ก2 ]
1
๐ฟ(๐ฟ, ๐, ๐, ๐, ๐ 2 ) = (2๐๐๐ผ2 )โ๐/2 exp [โ 2๐2 โ๐๐ก=1[(๐๐ก โ ๐1 ๐๐กโ1 โ ๐2 ๐๐กโ2 โ โฏ โ ๐ผ
๐๐+๐ ๐๐กโ๐โ๐ ) โ [(๐0 ๐ฅ๐กโ๐ + ๐1 ๐ฅ๐กโ๐โ1 + ๐2 ๐ฅ๐กโ๐โ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ฅ๐กโ๐โ๐โ๐ )] + (๐1 ๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ผ๐กโ๐โ๐ )]2 ]
(2.60)
Agar diperoleh keadaan maksimum, fungsi likelihood (2.60) perlu dilogaritmakan. 1
1
1
ln ๐ฟ(๐1 , ๐0 , ๐1 , ๐ 2 ) = โ 2๐ ln(2๐) โ 2๐ ln(๐๐ผ2 ) โ 2๐2 โ๐๐ก=1[(๐๐ก โ ๐1 ๐๐กโ1 โ ๐ผ
๐2 ๐๐กโ2 โ โฏ โ ๐๐+๐ ๐๐กโ๐โ๐ ) โ [(๐0 ๐ฅ๐กโ๐ + ๐1 ๐ฅ๐กโ๐โ1 +
39
๐2 ๐ฅ๐กโ๐โ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ฅ๐กโ๐โ๐โ๐ )] + (๐1 ๐ผ๐กโ1 + ๐2 ๐ผ๐กโ2 + โฏ + ๐๐+๐ ๐ผ๐กโ๐โ๐ )]2
(2.61) (Wei, 2006).
Estimasi parameter tersebut diperoleh harus dengan menggunakan metode iterasi karena tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perhitungannya diselesaikan dengan menggunakan bantuan fasilitas komputer.
2.11 Prosedur Box-Jenkins Langkah โ langkah yang harus dilakukan dalam membangun model data deret waktu menggunakan prosedur Box-Jenkins adalah: a. Identifikasi Identifikasi model merupakan langkah awal dalam membangun model dalam prosedur Box-Jenkins. Salah satu identifikasi yang dapat dilakukan dengan membuat plot data deret waktu. Pembuatan plot ini untuk mengetahui terdapat atau tidak masalah stasioner dalam data deret waktu yang digunakan. Plot yang digunakan adalah plot ACF dan PACF. Menurut Gujarati (2009) pemilihan model ARIMA (p,d,q) dengan ACF maupun PACF secara grafis mengikuti ketentuan sebagai berikut: Tabel 2.2 Pola ACF dan PACF Untuk Model ARIMA Tipe Model Pola Umum dari ACF Pola Umum dari PACF AR(p)
Eksponensial menurun atau Menurun drastis pada lag p seperti pola gelombang sinus atau
dapat
keduanya
membentuk
40
MA(q)
Menurun drastis pada lag q
Menurun
secara
eksponensial atau seperti pola gelombang sinus atau dapat membentuk keduanya ARMA (p,q)
Menurun secara eksponensial
Menurun
secara
eksponensial
b. Estimasi Parameter Model
Pendugaan parameter yang digunakan adalah penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimators / MLE). Misalkan ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ adalah sampel random dari populasi dengan densitas ๐(๐๐ ; ๐), fungsi likelihood didefinisikan dengan: L(ฮธ1,ฮธ2,....,ฮธn)= โ๐๐=1 ๐( ๐๐ ; ๐). Bila fungsi likelihood ini terdiferensikan dalam ฮธ maka calon estimator likelihood yang mungkin adalah ๐ฬ sedemikian sehingga: ๐๐ฟ( ๐ฬ) =0 ๐๐ฬ Untuk membuktikan bahwa ๐ฬ benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood L(๐ฬ) harus ditunjukan bahwa: ๐ 2 ๐ฟ( ๐ฬ) <0 ๐๐ฬ 2 Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada logaritma dari L(๐ฬ). Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma naik tegas
41
pada (0, โ) yang berarti bahwa ๐ฟ(๐ฬ) mempunyai ekstrem yang sama (Hogg and Craig, 1995). Saat pendugaan yang diperoleh berbentuk implisit, maka perlu dilakukan metode numerik untuk memperoleh nilai dugaan. Metode numerik yang banyak digunakan adalah metode Newton-Raphson. Metode Newton Raphson adalah metode untuk meneyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti persamaan likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi. Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret taylor sebagai berikut: p
๐(๐๐ก+1 ) = ๐ (๐๐ก ) + โi=1
1 โp f(๐๐ก ) (๐๐ก+1 i! โ(๐๐ก )i
โ ๐๐ก )i
bila pada suku order 1 maka: ๐(๐๐ก+1 ) = ๐(๐๐ก ) + (๐๐ก โ ๐๐ก+1 ) ๐โฒ(๐๐ก ) Karena persoalan mencari akar, maka ๐(๐๐ก+1 ) = 0, sehingga 0 = ๐(๐๐ก ) + (๐๐ก โ ๐๐ก+1 ) ๐โฒ(๐๐ก ) ๐๐ก+1 = ๐๐ก โ
๐(๐๐ก ) ๐โฒ(๐๐ก )
Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter. Misal ๐1, ๐2 ,โฆ, ๐๐ maka iterasinya sebagai berikut: ๐๐ก+1 = ๐๐ก โ (Ht )โ1 Gt Dengan indeks t menyatakan ukuran iteratif. Untuk G, ๐๐ก+1 , ๐๐ก dalam bentuk vektor, dan H dalam bentuk matriks. Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut: 1. Ambil estimasi awal dari ฮธ misal ฮธ0 . โ1 2. ฮธฬ1 = ฮธ0 โ H(ฮธฬ0 ) G(ฮธฬ0 ) merupakan derivative pertama dari f(ฮธ) pada ฮธ =ฮธฬt .
42
โ1 3. ฮธฬt+1 = ฮธฬt โ H(ฮธฬt ) G(ฮธฬt ) dengan H(ฮธฬt ) = Ht dan G(ฮธฬt )= Gt sehingga ฮธฬt+1 =
ฮธฬt โ (Ht )โ1 Gt. 4. Estimator ฮธฬt diiteratif hingga diperoleh nilai jarak antara ฮธฬt+1 dan ฮธฬt sangat kecil atau ฮธฬt+1 โ ฮธฬt = ฮต. Untuk G, ฮธฬt+1 dan ฮธฬt dalam bentuk vektor , dan H dalam bentuk matriks yaitu : โ2 F(ฮธ) โ(ฮธ1 )2
โ2 F(ฮธ) โฮธ1 โฮธ2
H= : [
โ2 F(ฮธ)
...
โฮธ1 โฮธp
โถ
โ2 F(ฮธ)
โ2 F(ฮธ)
2
โฮธp โฮธ2
โ(ฮธp )
โถ
. ..
โ2 F(ฮธ) 2
โ(ฮธp )
]
โF(ฮธ)
Dan G =
โฮธ1
:
โF(ฮธ)
[ โฮธp ] (Gilat dan Subramaniam, 2011).
Setelah diperoleh nilai dugaan untuk parameter, selanjutnya dilakukan uji kelayakan model dengan mencari model yang terbaik. Model yang terbaik dapat diperoleh dengan menggunakan Akaikeโs Information Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC). AIC dan BIC didefinisikan sebagai berikut: ๐ด๐ผ๐ถ = ln (โ๐๐ก=1 ๐ต๐ผ๐ถ = ln (โ๐๐ก=1
๐ผ๐ก2 ๐ ๐ผ๐ก2 ๐
)+ )+
2๐
(2.62)
๐ ๐ ln(๐) ๐
(2.63)
dengan ๐ผ๐ก2 merupakan kuadrat residual, T banyaknya pengamatan, dan ๐ = ๐ + ๐ + 1 (jumlah total parameter yang diduga).
43
c. Evaluasi Model Model terbaik terpilih sementara kemudian dilakukan pemeriksaan diagnostik pada model terpilih untuk melihat model yang terpilih cukup memadai. Pada pemeriksaan diagnostik dilakukan pengujian pada residual model yang terpilih. Model dapat dikatakan memadai jika residual (๐ผ๐ก ) yang diperoleh dari tahap estimasi parameter merupakan white noise error dan juga dilakukan uji normalitas menggunakan plot normalitas. Sedemikian sehingga ๐ผ๐ก bersifat acak yang tidak ada autokorelasi dan dengan distribusi normal yang memiliki nilai tengah konstan (๐ธ (๐ผ๐ก ) = 0), varians konstan (๐๐๐(๐ผ๐ก ) = ๐ 2 ), dan ๐ถ๐๐ฃ (๐ผ๐ก , ๐ผ๐ก+๐ ) = 0 untuk semua ๐ โ 0. Jika model yang terpilih belum memadai (residual (๐ผ๐ก ) bukan white noise error) maka dilakukan kembali pemilihan model yang terbaik.
d. Peramalan Peramalan merupakan tahap terakhir dalam analisis model dari data deret waktu. Untuk meramalkan G waktu ke depan menggunakan model intervensi dengan persamaan (2.57) berikut: ๐ฟ (๐ต)๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก = ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐(๐ต)๐ต๐ ๐ฅ๐ก + ๐ฟ(๐ต) ๐(B)๐ผ๐ก ๐(๐ต)๐๐ก = ๐(๐ต)๐ฅ๐กโ๐ + ๐(๐ต) ๐ผ๐ก
Kemudian pada waktu t+G, persamaannya menjadi: ๐+๐ ๐๐ก+๐บ = โ๐+๐ ๐=1 ๐(๐ต)๐๐ก+๐บโ๐ + ๐0 ๐ฅ๐กโ๐+๐บ โ โ๐=1 ๐๐ ๐ฅ๐กโ๐โ๐+๐บ + ๐ผ๐ก+๐บ โ
โ๐+๐ ๐=1 ๐๐ ๐ผ๐กโ๐+๐บ
(2.64)
Dengan r adalah order ๐ฟ (๐ต), p order bagi ๐ (๐ต), s order bagi ๐(๐ต), dan q order bagi ๐ (B). Untuk G waktu ke depan mean error untuk peramalan dapat diperoleh dari persamaan berikut:
44
๐ฬ๐ก+๐บ (๐บ ) = ๐ธ[๐๐ก+๐บ |๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ , ๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ ] ฬ = โ๐+๐ ฬ๐กโ๐+๐บ (๐ก) โ โ๐+๐ ฬ๐กโ๐โ๐+๐บ (๐ก) โ ๐=1 ๐(๐ต)๐๐ก+๐บโ๐ (๐ก) + ๐0 ๐ฅ ๐=1 ๐๐ ๐ฅ โ๐+๐ ๐=1 ๐๐ ๐ผ๐กโ๐+๐บ
untuk ๐บ = 1,2, โฆ , ๐
(2.65)
Bentuk MA akan hilang untuk ๐บ > ๐ + ๐, sehingga persamaan (2.64) diperoleh menggunakan: ๐ผ , ๐โฅ๐บ ๐ธ [๐ผ๐กโ๐+๐บ |๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ , ๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ ] = { ๐กโ๐+๐บ 0, ๐ < ๐บ
(2.66)
Dan ๐ฬ๐ก (โ) = ๐ธ[๐๐ก+โ |๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ , ๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ ] = ๐ธ[๐๐ก+โ |๐๐ก , ๐๐กโ1 , โฆ ]
(2.67)
Persamaan (2.66) menyiratkan bahwa hubungan antara ๐๐ก dan ๐๐ก searah dan ๐ฬ๐ก (โ) adalah peramalan dari model ARIMA ๐(๐ต)(1 โ ๐ต)๐ ๐๐ก = ๐(B)๐ผ๐ก . Sehingga peramalan ๐ฬ๐ก+๐บ (๐บ ) dapat dihitung secara rekursif dari persamaan (2.66) dan (2.67). varians dari error peramalan dapat diperoleh dari MA tak terbatas untuk ๐๐ก dan ๐๐ก ๐(๐ต)
๐๐ก = ฯ(๐ต) ๐ผ๐ก1 = ฮจ(๐ต) ๐ผ๐ก1 Dan ๐(๐ต)
๐๐ก = ฯ(๐ต) ๐ผ๐ก2 = ฮจ(๐ต) ๐ผ๐ก2 = โโ ๐=0 ฮจ๐ ๐ผ๐ก2โ๐ Oleh Karena bentuk MA tak terbatas dari model fungsi transfer ditambah noise diberikan sebagai: ๐๐ก = ๐ฃ (๐ต)ฮจ(๐ต)๐ผ๐ก1โ๐ + ฮจ(๐ต) ๐ผ๐ก2
45
๐๐ก = ๐ฃ (๐ต)โ ๐ผ๐ก1โ๐ + ฮจ(๐ต) ๐ผ๐ก2 โ โ ๐๐ก = โโ ๐=0 ๐ฃ๐ ๐ผ๐ก1โ๐โ๐ + โ๐=0 ฮจ๐ ๐ผ๐ก2โ๐
(2.68)
Maka peramalan minimum mean error dapat dijelaskan sebagai: โ ๐บโ1 ๐ฬ๐ก+๐บ = โโ ๐=๐บโ๐ ๐ฃ๐ ๐ผ๐ก1+๐บโ๐โ๐ + โ๐=0 ฮจ๐ ๐ผ๐ก2+๐บโ๐
(2.69)
Dan error peramalan G waktu ke depan adalah: ๐๐ก (๐บ ) = ๐๐ก+๐บ โ ๐ฬ๐ก+๐บ = โ๐บโ๐โ1 ๐ฃ๐โ ๐ผ๐ก1+๐บโ๐โ๐ + โ๐บโ1 ๐=0 ๐=0 ฮจ๐ ๐ผ๐ก2+๐บโ๐
(2.70) (Montgomery, 2008).
Untuk mengetahui besarnya kesalahan dalam peramlan dapat dilihat dengan menghitung nilai rata-rata kesalahannya, yaitu mean absolut error (MAE), root mean square error (RMSE), dan mean absolute percentage error (MAPE). Ukuran akurasi peramalan tersebut didefinisikan sebagai berikut: ๐๐ด๐ธ = โ๐๐ก=1
|๐ฬ๐ก โ๐๐ก |
๐
๐๐๐ธ = โโ๐๐ก=1
๐๐ด๐๐ธ =
(2.71)
๐ (๐ฬ๐ก โ๐๐ก )2
ฬ ๐ก โ๐๐ก | |๐ โ๐ ๐ก=1 ๐๐ก
๐
๐
ร 100
(2.72)
(2.73)
Ukuran akurasi peramalan tersebut mengukur keragaman pada peramalan residual. Peramalan akan baik jika ukuran akurasi memiliki nilai keragaman yang kecil.
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada semester genap tahun akademik 2015/2016.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh secara skunder, yaitu data Indeks Harga Konsumen (IHK) bulanan Kota Bandar Lampung tahun 2009-2016. Sumber data diperoleh dari Badan Pusat Statistik Provinsi Lampung. Data dikumpulkan secara periodik dari Januari 2009-Januari 2016. Sehingga terdapat 85 pengamatan.
3.3 Metode Penelitian Langkah โ langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : a. Plot time series dan uji stasioner Pengujian stasioner terhadap mean menggunakan difference dilakukan jika akar-akar unitnya lebih dari ๐ผ (taraf nyata). Sedangkan pengujian stasioner
47
terhadap varian menggunakan transformasi dilakukan jika nilai lamda (ฮป)โ 1. Selanjutnya stasioner juga diuji dengan uji Augmanted Dickey Fuller. b. Pengelompokkan data menjadi dua kelompok, yaitu: i.
Data sebelum intervensi (pre-intervensi)
ii.
Data saat dan setelah intervensi (post-intervensi)
c. Pemodelan ARIMA data sebelum intervensi, yaitu: i.
Identifikasi model 1. Tentukan orde Autoregresi (AR) dan Moving Average (MA). Pengamatan dilakukan pada korelogram ACF dan PACF untuk melihat pola grafik dan tentukan orde dengan mengikuti ketentuan pemilihan orde. 2. Pilih model terbaik untuk dianalisis
ii.
Estimasi Parameter Model dengan Bantuan Software R
iii.
Evaluasi Model dengan Pengujian terhadap residual model. Model yang memadai bersifat random (white noise): 1. Uji Idependensi 2. Uji Normalitas
d. Pemodelan data Intervensi: i.
Identifikasi respon intervensi
ii.
Estimasi parameter pada model intervensi: 1. Membangun model intervensi dengan ARIMA pre-intervensi dan respon intervensi
48
2. Mengestimasi parameter pada model intervensi yang dibangun dengan MLE dan dikarenakan tidak dapat diselesaikan secara analitik didekati menggunakan metode Newton Raphson. iii.
Evaluasi model intervensi dengan Pengujian terhadap residual model. Model yang memadai bersifat random (white noise): 1. Uji Idependensi 2. Uji Normalitas
e. Peramalan dengan model intervensi fungsi step.
V.
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut : 1.
Estimasi parameter ๐0 , ๐1, ๐2 , dan ๐1 pada model Intervensi dengan metode iterasi Newton Raphson diperoleh ๐ ฬ 0 = โ48,5399, ๐ ฬ1 = 0,0000, ๐ ฬ2 = ฬ1 = 0,500 0,0000, dan ๐
2.
Model intervensi menggunakan fungsi step yang diperoleh dari data Indeks Harga Konsumen (IHK) Bandar Lampung Januari 2009- Januari 2016 yaitu : ๐๐ก = โ48,5399๐๐ก + ๐ผ๐ก + ๐๐กโ1 + 0,500โ๐๐กโ1
3.
Hasil peramalan dengan model intervensi fungsi step pada data Indeks Harga Konsumen (IHK) Bandar Lampung Februari 2016 โ Juli 2016 adalah :
Bulan
Peramalan
Februari 2016
124,6008
Maret 2016
124,9519
April 2016
125,2755
Mei 2016
125,5739
Juni 2016
125,8489
Juli 2016
126,1025
DAFTAR PUSTAKA
Box, G.E.P. dan Jenkins, G.M. 2016. Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden Day, Inc., California. Brockwell, Peter J. dan Richard A. Davis. 2002. Introduction to Time Series and Forecasting Second Edition. Springer. United States of America. Brooks, Chris. 2014. Introductory Econometrics for Finance Third Edition. Cambridge University Press. New York. Enders, Walter. 2015. Applied Econometric Time Series Fourth Edition. John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Gilat, Amos and Subramaniam, Vish. 2011. Numerical Methods for Enginers and Scientist. Third Editional. John Wiley and Sons, United States of America. Gujarati, Damodar N., and Dawn C. Porter. 2009. Basic Econometrics Fifth Edition. McGraw-Hill/Irwin Companies, Inc., New York. Hogg, Robert V., dan Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition. Prentice-Hall International, Inc., New Jersey. Montgomery, D.C., Jennings, C.L. dan Kulahci, M. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. John Wiley and Sons, Inc., Canada. Tsay, Ruey S. 2010. Analysis of Financial Time Series Third Edition. John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Wei, W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.
Pearson Education, Inc., New York. Yafee, R.A. dan McGee, M. 1999. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications with SAS and SPSS. Academic Press, Inc.