Analisa Numerik Matriks dan Komputasi
M AT R I K S Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung
K O N S E P M AT R I K S Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Contoh :
A=
a
b
Kolom ke 1
c
d
Kolom ke 2
baris ke 1
baris ke 2
A=
a
b
Kolom ke 1
c
d
Kolom ke 2
baris ke 1
baris ke 2
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A2X2 atau (a22). “Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”
Kesamaan Matriks Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B. Contoh :
A=
a
b
c
d
e
f
dan
B=
a
b
c
d
e
f
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3
M A C A M - M A C A M M AT R I K S
M AT R I K S B A R I S Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh : A = ( 4 3 2 4 )
M AT R I K S K O L O M Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
4
Contoh : A =
5 -1
M AT R I K S P E R S E G I ATA U M AT R I K S B U J U R S A N G K A R Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom Contoh : Contoh : A=
4
5
-1
5
2
4
3
2
1
jumlah baris = jumlah kolom
M AT R I K S N O L Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O Contoh : O2X3 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
MATRIKS SEGI TIGA Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol). Contoh : C=
2
0
0
0
8
2
1
-3
3
7
0
0
0
6
5
4
-9
0
8
0
0
0
3
7
4
1
-3
5
0
0
0
9
,
D=
M AT R I K S D I A G O N A L Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. Contoh : E=
5
0
0
0
0
7
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
8
M AT R I K S S K A L A R Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. Contoh : F=
7
0
0
0
0
7
0
0
0
0
7
0
0
0
0
7
M AT R I K S I D E N T I TA S ATA U M AT R I K S S AT U A N Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I. Contoh : I3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, I4 =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
M AT R I K S S I M E T R I S Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.
Contoh : G =
1
3
2
5
3
4
6
9
2
6
7
8
5
9
10
2
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga
M AT R I K S M E N D ATA R Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contoh : H2X3 =
3
2
1
4
5
1
M AT R I K S T E G A K Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K3x2 =
1
-8
4
1
9
1
Penulisan Matriks dengan Matlab
Contoh Tuliskan matriks berikut:
A=
Cara I: A(1,1) = 1; A(1,2) = 2; A(1,3) = 3; A(1,4) = 4; A(2,1) = 2; A(2,2) = 0; A(2,3) = 0; A(2,4) = 0;
A(3,1) = 3; A(3,2) = 0; A(3,3) = 0; A(3,4) = 0; A(4,1) = 4; A(4,2) = 0; A(4,3) = 0; A(4,4) = 0;
Cara 2 A = [ 1 2 3 4; 2 0 0 0; 3 0 0 0; 4 0 0 0];
Cara 3 >> A = zeros(4); (Ket: semua elemen diisi dgn nol >> r = 1:4; >> A(:,1) = r'; (ket: % kolom pertama) >> A(1,:) = r; (Ket: % baris pertama) >> A
Cara 4 >> A = [1 2 3 4; 2 zeros(1,3); 3 zeros(1,3); 4 zeros(1,3)];
M A T R I K S T R A N S P O S ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A. Misal Matriks A =
1
-2
5
8
9
1
4
2
0
3
-2
-3
Maka Transpos A adalah At =
1
9
0
-2
1
3
5
4
-2
8
2
-3
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
Transpose dengan Matlab Cari transpose Matriks:
Jawab >> A = [3 8 -1; 5 2 0]; >>A >> transpose (A)
Lihat apa yang terjadi
O P E R A S I M AT R I K S
PENJUMLAHAN DAN P E N G U R A N G A N 2 M AT R I K S Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
C O N TO H Jika A =
3
2
1
5
4
6
Maka A + B = A-B =
, dan B =
10
7
-2
3
5
6
7
5
-3
-2
1
0
3-7
2-5
1-(-3)
5-(-2)
4-1
6-0
=
-4
-3
4
7
3
6
Penjumlahan/Pengurangan dengan Matlab Diketahui:
Maka nilai C = A+B dan D = A – B adalah
PERKALIAN BILANGAN REAL D E N G A N M AT R I K S Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Jadi, jika A =
a11
a12
a21
a22
Contoh : Misal A =
maka 3A = 3
, maka : kA =
7
5
-3
-2
1
0
7
5
-3
-2
1
0
ka11
ka12
ka21
ka22
,
=
3.7
3.5
3.(-3)
3.(-2)
3.1
3.0
=
21
15
-9
-6
3
0
Dengan Matlab >> A = [7 5 -3; -2 1 0];
>> B = 3* A Hasilnya:
B= 21 15 -9 -6 3 0
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS) Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang
berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn. A mxp.Bpxn = C mxn
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.
Secara umum jika A =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
B=
>> ordo matriks 2x3
b11
b12
b21
b22
b31
b32
C =A .B = c11 c21
Dimana c11 = a11b11+a12b21+a13b31 c12 = a11b12+a12b22+a13b32 c21 = a21b11+a22b21+a23b31 c22 = a21b12+a22b22+a23b32
c12 c22
>> ordo matriks 3x2
>> ordo matriks 2x2
Contoh Diketahui
A = I dan Hitung A*B dan A/B!
Hasilnya: >>A = eye(2); B = [1 2; 3 4]; >>C = A*B C= 12 34
>> C = A/B C= -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000
Latihan Diketahui:
Buatlah script untuk menghitung: Transpose matriks A, B, dan X A + B dan A – B A x B, X x A, dan X x B
Hatur Nuhun
