Állapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1

Állapottér modellek tulajdonságai

2008.11.22.

PTE PMMK – MI BSc

1

Kalman-féle rendszer definíció

Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T – az időhalmaz X – a lehetséges belső állapotok halmaza U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza Ω - a lehetséges bemenet időfüggvények halmaza Γ - a lehetséges kimenet időfüggvények halmaza ϕ - az állapotátmeneti függvény η - a kiolvasó függvény PTE PMMK MI BSc

Állapottér modellek tul./2

Állapottér modell Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y(t ) = C x(t ) + Du(t )

x – belső állapotok vektora u – bemeneti vektor y – kimeneti vektor A – állapot-átmeneti mátrix (rendszer m.) B – bemeneti mátrix C – kimeneti mátrix D – segédmátrix PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell - megoldhatóság • induljunk ki a rendszeregyenletből: x& = Ax + Bu x(t 0 ) = x0 • Laplace-transzformálva x0 kezdeti feltételek mellett: sX (s ) − x0 = AX (s ) + BU (s )

• átrendezve

sX (s ) − AX (s ) = x0 + BU (s )

(sI − A)X (s ) = x0 + BU (s ) X (s ) = (sI − A) x0 + (sI − A) BU (s ) −1

PTE PMMK MI BSc

−1


Állapottér modell - megoldhatóság • az (sI-A)-1 értelmezése:

(sI − A)

−1

−1

 1 A 1 A A2  =  I −  =  I + + 2 + ... s s s s s 

• inverz Laplace-transzformálva: −1

L

{(sI − A) } −1

1 22 = I + At + A t + ... ≡ e At 2!

ahol eAt a mátrixexponenciális és t ≥ 0.

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell - megoldhatóság • inverz Laplace-transzformálva az X (s ) = (sI − A) x0 + (sI − A) BU (s ) −1

−1

egyenletet: t

x(t ) = e A(t −t0 ) x0 + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ t0

• a kimeneti egyenlet:

y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell - megoldhatóság • a megoldás értelmezése: x (t )

=

e A (t − t 0 ) x 0

t

+

∫

e A (t −τ ) Bu (τ )d τ

t0

pillanatnyi állapot =

PTE PMMK MI BSc

kezdőállapottól függő tag

bemenettől + függő tag


Állapottér modell - megoldhatóság x(t ) = e

A (t − t 0 )

t

x0 + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ t0

• az első tag írja le a kezdő állapottól való függést eA(t-t0) = Φ(t – t0)

állapotátviteli mátrix (n×n-es mátrix)

• a második tag írja le a bemenettől való függést t

∫

e A(t −τ ) Bu (τ )dτ

kényszerfüggvény

t0

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – I/O modell kapcsolata • induljunk ki az állapottér modellből: x& = Ax + Bu

y = Cx + Du • Laplace-transzformáljuk mindkét egyenletet zérus kezdeti feltétel mellett és fejezzük ki az első egyenletből X(s)-t: X (s ) = (sI − A) BU (s ) Y (s ) = CX (s ) + DU (s ) −1

• helyettesítsünk be a második egyenletben X(s) helyére: −1

(

)

Y (s ) = C (sI − A) B + D ⋅ U (s )

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – I/O modell kapcsolata • innen

Y (s ) −1 = C (sI − A) B + D U (s )

• ez pedig nem más, mint az átviteli függvény: L{y (t )} −1 G (s ) = = C (sI − A) B + D L{u (t )} z .k . f .

• azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje között az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – megfigyelhetőség • Legyen adott egy rendszer állapottér modellje:

x& = Ax + Bu y = Cx • Működés közben mérhető paraméterek a bemenetek u(t) és a kimenetek y(t). • A rendszer működésének megismeréséhez viszont kellenek az állapotváltozók tetszőleges időpontbeli értékei PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – megfigyelhetőség • Definíció: Megfigyelhetőség fogalma Az

x& = Ax + Bu

y = Cx modellel megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 időponthoz tartozó x(t0) kezdőállapothoz és u(t) = 0 bementhez létezik olyan t1> t0 időpont, hogy y(t) | t ∈(t0, t1] kimenet ismerete elegendő x(t0) kezdőállapot megadásához. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – megfigyelhetőség • A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy a t1

x(t1 ) = e A(t1 −t0 ) x(t 0 ) + e A(t1 −τ ) Bu (τ )dτ

∫

t0

y (t1 ) = Cx(t1 ) = Ce A(t1 −t0 ) x(t0 )

egyenletből x(t0) kiszámítható legyen. Ehhez viszont CeA(t1-t0) mátrix sorainak kell a vizsgált időközben lineárisan függetlennek lenniük. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – megfigyelhetőség • Tétel: Megfigyelhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az x& = Ax + Bu

y = Cx modellel megadott rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett O megfigyelhetőségi mátrix :  C   CA   On −1 =   M   n −1  CA 

teljes rangú: PTE PMMK MI BSc

r(On-1) = n Állapottér modellek tul./14

Állapottér modell – irányíthatóság • A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor elemei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy az

x& = Ax + Bu y = Cx modell állapotváltozóit adott induló állapotból kiindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – irányíthatóság • Definíció: Állapotirányíthatóság Az x& = Ax + Bu

y = Cx modellel leírt rendszert egy adott (t0,t1] időintervallumon teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0) kezdőállapothoz és tetszőleges x(t1) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdőállapotból a végállapotba átviszi. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – irányíthatóság • Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy az t1

x(t1 ) = e A(t1 −t0 ) x(t0 ) + ∫ e A(t1 − τ ) Bu (τ)dτ t0

összefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az eA(t1-t0) B mátrix sorainak lineáris függetlenségét kellene vizsgálni. • Ez nyilvánvalóan nehéz feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alkalmazzuk. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – irányíthatóság • Tétel: Irányíthatóság teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel) Az x& = Ax + Bu y = Cx

állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett C irányíthatósági mátrix

C n −1 = [B AB A2 B K An −1 B ] teljes rangú: r(Cn-1) = n PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – irányíthatóság • Megj.: Létezik ún. kimenet-irányíthatóság is, amikor y(t1) vagyis a kimenet értékeire írunk elő követelményeket. • egy kimenetű rendszereknél triviálisan teljesül • szóhasználat: irányíthatóság ≈ állapotirányíthatóság

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – tulajdonságok • megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve kapcsolatba hozható más állapottér tulajdonságokkal állapottér modell megfigyelhető és irányítható

az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető

az állapotváltozók száma minimális PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – tulajdonságok • Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető: K (s − z1 )(s − z 2 )K (s − z m ) L{y (t )} b(s ) −1 G (s ) = = = C (sI − A) B + D = (s − p1 )(s − p2 )K (s − pn ) L{u (t )} a(s )

a(s), b(s) polinomok relatív prímek, azaz nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel. • Állapotváltozók száma minimális: ha kevesebb állapotváltozóval írjuk le a rendszert, akkor nem ugyanazt a rendszert kapjuk (nem egyeznek meg az átviteli függvények). PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – tulajdonságok • Megj.: Egy rendszer állapottér modelljének megadása nem egyértelmű, definiálhatók ún. hasonlósági transzformációk, melyekkel a rendszer áttranszformálható másik alakra, de az átviteli függvény nem változik!

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – stabilitás • Stabilitás fogalmak x& = Ax + Bu • Tekintsük az állapottér modellt. y = Cx • BIBO stabilitás Korlátos bemenetre korlátos kimenet – külső stabilitás, a kimenet viselkedését vizsgáljuk. • Belső stabilitás A modell – azaz az adott együttható mátrixokkal leírt rendszer – stabilitása, az állapotváltozók viselkedését vizsgáljuk. 23

PTE PMMK MI BSc

Állapottér modellek tul./

Állapottér modell – stabilitás • Definíció: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi állapottér modell x& (t ) = Ax(t )

x(t0 ) = x0 ≠ 0 t > t0

azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

lim x(t ) = 0 t →∞

PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – stabilitás • Definíció: Stabilitási mátrix Egy A∈Rn×n mátrixot stabilitási mátrixnak nevezünk, ha valamennyi saját értéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám: Re{λi(A)} < 0, i = 1,…, n • Megj.: A sajátérték fogalma Egy A∈Rn×n mátrix sajátértékei a | λI - A | = 0 egyenlet λi gyökei. Az n×n-es mátrixnak n db sajátértéke van. PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – stabilitás • Tétel: A belső stabilitás teljesülése Egy adott állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A mátrix stabilitási mátrix. • Tétel: Belső stabilitás és a BIBO stabilitás kapcsolata A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást. (Ha egy modell belső stabilitású, akkor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.) PTE PMMK MI BSc


Állapottér modell – stabilitás • Stabilitásvizsgálati módszerek: • Stabilitási mátrix definíciója alapján: A mátrix sajátértékeinek meghatározásával (csak max. három állapotváltozós rendszerek esetében). • Ljapunov kritérium

PTE PMMK MI BSc


Stabilitási kritériumok • Tétel: Ljapunov kritérium Egy állapottér modell rendszermátrixa (A mátrix) stabilitási mátrix, azaz Re{λi(A)} < 0, ∀i-re, akkor és csak akkor, ha tetszőleges pozitív definit, szimmetrikus Q mátrixhoz létezik olyan pozitív definit, szimmetrikus P mátrix, hogy T A P + PA = -Q

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell • Diszkrét idejű állapottér modell • az időtartományban kitüntetett időpontok adottak • a változók értékei csak ezekben a mintavételi időpontokban ismertek • a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható • a bemenő jel(ek) egy nulladrendű tartón keresztül jut(nak) a rendszerbe • az állapottér modell első egyenlete differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell • A lineáris, időinvariáns, diszkrét idejű állapottér modell: x((k + 1)T ) = Φx(kT ) + Γu (kT ) y (kT ) = Cx(kT ) ahol Φ = e AT

Γ = A−1 (e AT − I )B

A, B a folytonos idejű modell együttható mátrixai, T a mintavételezési idő PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell • áttérés a folytonos modellről diszkrétre: • induljunk ki a folytonos eset megoldásából t

x(t ) = e A(t −t0 ) x0 + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ t0

• írjuk fel ezt valamely tk és tk+1 mintavételi időpontokra: x(t k +1 ) = e A(t k +1 −t k ) x(t k ) +

t k +1

A(t k +1 −τ ) e Bu (τ )dτ ∫

tk

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell • állandó mintavételi időt feltételezve: t k +1 − t k = T = konst .

• illetve • így

τ − tk = Θ t k +1 − τ = (t k +1 − t k ) − (τ − t k ) = T − Θ

• behelyettesítve az új változókat a megoldásba, valamint nulladrendű tartót feltételezve: T

x(t k +1 ) = e AT x(t k ) + ∫ e A(T −Θ ) Bu (t k )dΘ 0 PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell • az integrálást elvégezve: T

T

0

0

A(T −Θ ) AT − AΘ e Bu ( t ) d Θ = e e k ∫ ∫ dΘ ⋅ Bu(t k )

T

∫e

− AΘ

[

dΘ = −

]

−1 − AΘ T A e 0

(

= A −1 I − e − AT

)

0

• azaz a diszkrét állapotegyenlet:

(

)

x(t k +1 ) = e AT x(t k ) + A −1 e AT − I Bu (t k )

Φ PTE PMMK MI BSc

Γ Állapottér modellek tul./33

Diszkrét állapottér modell - megoldás • Legyen x(0) a kezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, ekkor x(1) = Φx(0) + Γu (0 ) x(2 ) = Φx(1) + Γu (1) = Φ 2 x(0) + ΦΓu (0 ) + Γu (1)

x(3) = Φx(2 ) + Γu (2 ) = Φ 3 x(0 ) + Φ 2Γu (0 ) + ΦΓu (1) + Γu (2 )

M k −1

x(k ) = Φx(k − 1) + Γu (k − 1) = Φ k x(0 ) + ∑Φ k − j −1Γu ( j ) j =0

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - megoldás • összevetve a folytonos időtartománybeli eredménnyel:

x(kT )

Φ k x(0T )

=

+

k −1

k − j −1 Φ Γu ( jT ) ∑ j =0

pillanatnyi állapot

x(t1 ) =

kezdő= állapottól függő tag

e

A(t1 −t 0 )

x(t 0 )

+

bemenettől függő tag t1

+

∫e

A(t1 −τ )

Bu (τ )dτ

t0 PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. • Diszkrét idejű pulzus válasz függvény h(k) : Induljunk ki a diszkrét állapottér modell x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx (k )

előbb levezett megoldásából k −1

x(k ) = Φ x(0) + ∑Φ k − j −1Γu ( j ) k

j =0

és helyettesítsük be a kimeneti egyenletbe: k −1

y (k ) = CΦ x(0 ) + ∑ CΦ k − j −1Γu ( j ) k

j =0

ebből látható, hogy PTE PMMK MI BSc

 0 h(k ) =  k −1 C Φ Γ 

k <1 k ≥1


Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. • A diszkrét idejű átviteli függvény a diszkrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz: H (z ) = Z (h(k ))

illetve

PTE PMMK MI BSc

h(k ) = Z −1 (H ( z ))


Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség • Definíció: Megfigyelhetőség Az x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k )

diszkrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőnek nevezzük, ha véges k számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-kimenet párok ismerete elégséges a kezdőállapot megadásához:

{u (0),K ,u (k − 1), y(0),K , y(k − 1)} ⇒ x(0)

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség • Tétel: Megfigyelhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k )

diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett WO megfigyelhetőségi mátrix :  C 

teljes rangú: r(WO) = n . PTE PMMK MI BSc

 CΦ   WO =   M   n −1  CΦ 


Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság • Diszkrét idejű rendszereknél megkülönböztetünk • irányíthatóságot • elérhetőséget • Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is.

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság • Definíció: Irányíthatóság Az x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k )

diszkrét idejű állapottér modellt irányíthatónak nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba: x(k)=0 átvihető.

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - elérhetőség • Definíció: Elérhetőség Az x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k ) diszkrét idejű állapottér modellt elérhetőnek nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba x(k) átvihető.

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - elérhetőség • Tétel: Elérhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k ) diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett WC elérhetőségi mátrix

[

WC = Γ

ΦΓ

Φ 2Γ

K Φ n −1Γ

]

teljes rangú: r(WC) = n PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Stabilitás • folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjük itt is a külső (BIBO) és a belső (állapotváltozókra vonatkozó) stabilitást • kiindulási modell itt is a x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k )

x(0 ) = x0

diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell. PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Definíció: Belső stabilitás Tekintsük a x(k +1) = Φ x(k) x(0) ≠ 0 azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(k) megoldás kielégíti az alábbi feltételt: lim x(kT ) = 0

k →∞

PTE PMMK MI BSc


Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Tétel: Belső stabilitás teljesülése Egy diszkrét idejű állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha a Φ mátrix valamennyi saját értéke az egység sugarú körön belül van: λi(Φ )< 1

PTE PMMK MI BSc

i = 1,…, n


Állapottér modellek tulajdonságai PTE PMMK MI BSc 1

Recommend Documents