Aljabar Linear & Matriks
Pert. 5
Evangs Mailoa
Pengantar Determinan
Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2
dapat dibalik jika ad − bc ≠ 0.
Pernyataan ad − bc disebut (determinant) dari matriks A,
sebagai
determinan
Dinotasikan sebagai det(A) atau |A|.
Sehingga A −1 yang diberikan pada teorema 1.4.3, dapat ditulis kembali
Tujuan dari pecarian determinan adalah bagaimana mendapatkan analog rumus invers untuk matriks yang mempunyai ordo lebih tinggi.
Sehingga perlu diperluas untuk konsep determinan untuk matriks bujursangkar dengan berbagai ordo.
Untuk dapat melakukan itu, dibutuhkan beberapa hasil awal dari permutasi.
Permutasi
Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ... , n} adalah susunan integer-integer menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan.
Contoh 1 Permutasi dari Tiga Integer • Untuk himpunan integer {1, 2, 3} terdapat enam permutasi yang berbeda, yaitu » (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) » (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) • Satu metode yang paling mudah untuk menyusun daftar permutasi secara sistematis adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).
Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer • Buatlah daftar semua permutasi dari empat himpunan integer {1, 2, 3, 4}.
Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer • Dari gambar 2.1.1, diperoleh permutasi-permutasi berbeda dapat disusun menjadi (1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) (1, 3, 2, 4) (1, 3, 4, 2)
(2, 1, 3, 4) (2, 1, 4, 3) (2, 3, 1, 4) (2, 3, 4, 1)
(3, 1, 2, 4) (3, 1, 4, 2) (3, 2, 1, 4) (3, 2, 4, 1)
(4, 1, 2, 3) (4, 1, 3, 2) (4, 2, 1, 3) (4, 2, 3, 1)
• Diperoleh 24 permutasi untuk empat integer {1, 2, 3, 4} • Dapat disimpulkan dengan empat integer diperoleh banyak permutasi 4∙3∙2∙1 = 24 susunan. • Secara umum, himpunan {1, 2, . . . , n} akan memiliki n(n−1) (n−2) . . . 2∙1= n! permutasi berbeda.
Invers dalam Permutasi
Dinyatakan suatu permutasi umum dari {1, 2, ..., n} sebagai (j1, j2, ... , jn), dimana j1 adalah integer pertama dalam dari permutasi, j2 adalah integer kedua dalam dari permutasi, dan seterusnya. Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, ... , jn) jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.
Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan banyak integer yang lebih kecil dari j1 dan mengikuti j1 dalam permutasi; 2. Tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari j2 dan mengikuti j2 dalam permutasi. Lanjutkan proses perhitungan ini untuk j3, ... , jn−1.
Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan merupakan total banyaknya inversi ini dalam permutasi tersebut.
Contoh 3 Menghitung Invers • Tentukan banyaknya inversi pada permutasipermutasi berikut (a). (6, 1, 3, 4, 5, 2), (b). (2, 4, 1, 3), (c). (1, 2, 3, 4). • Penyelesaian: (a). Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8. (b). Banyak inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3. (c). Tidak ada inversi untuk permutasi ini.
Contoh 4 Mengklasifikasi Permutasi • Tabel berikut ini mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1, 2, 3} sebagai genap atau ganjil. Permutasi Banyaknya Inversi
Klasifikasi
(1, 2, 3)
0
genap
(1, 3, 2)
1
ganjil
(2, 1, 3)
1
ganjil
(2, 3, 1)
2
genap
(3, 1, 2)
2
genap
(3, 2, 1)
3
ganjil
Pengertian Determinan
Suatu hasilkali elementer (elementary product) dari suatu matriks A, n x n, adalah hasilkali dari n entri di A, yang tidak berasal dari baris dan kolom yang sama.
Contoh 5 HasilKali Elementer • Buatlah daftar hasil kali elementer dari matriks-matriks:
Penyelesaian: Karena setiap hasil kali elementer merupakan perkalian entri dalam matriks yang tidak sekolom dan sebaris maka untuk, diperoleh: a11 a22 dan a12 a21
diperoleh: a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22a31
HasilKali Elementer Bertanda
Pada contoh 4, matriks A mempunyai n! hasilkali elementer. Hasilkali elementer berbentuk a1j1 a2j2 . . .anjn, dimana (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ... , n} Hasilkali bertanda dari A (signed elementary product from A) adalah hasilkali elementer a1j1 a2j2 . . .anjn dikalikan +1 atau −1. Digunakan tanda + jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi genap dan tanda − jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi ganjil.
Contoh 6 HasilKali Elementer Bertanda • Buatlah daftar hasilkali elementer bertanda dari matriks-matriks:
Penyelesaian (a): Hasilkali Elementer
Permutasi yang Berkaitan
Genap atau Ganjil
Hasilkali Elementer Bertanda
a11 a22
(1, 2)
genap
a11 a22
a12 a21
(2, 1)
ganjil
−a12 a21
Penyelesaian (b): Hasilkali Elementer
Permutasi yang Berkaitan
Genap atau Ganjil
Hasilkali Elementer Bertanda
a11 a22 a33
(1, 2, 3)
genap
a11 a22 a33
a11 a23 a32
(1, 3, 2)
ganjil
−a11 a23 a32
a12 a21 a33
(2, 1, 3)
ganjil
−a12 a21 a33
a12 a23 a31
(2, 3, 1)
genap
a12 a23 a31
a13 a21 a32
(3, 1, 2)
genap
a13 a21 a32
a13 a22 a31
(3, 2, 1)
ganjil
−a13 a22 a31
Fungsi Determinan Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar. Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan didefenisikan det(A) sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda dari A.
Contoh 7 Determinan dari Matriks 2 x 2 dan 3 x 3 • Mengacu pada contoh 6, didapat:
Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3 (Cara lain) Untuk memudahkan perhitungan determinan dapat dilakukan dengan mengalikan entri-entri yang arah panah ke kanan dan mengurangkannya dengan hasil perkalian dari entri-entri dengan arah panah ke kiri.
Contoh 8 Menghitung Determinan • Hitunglah determinan dari:
Penyelesaian: det (A) = (3)(−2) − (1)(4) = −10
det (B) = (45) + (84) + (96) − (105) − (−48) − (−72) = 240
Menghitung Determinan Determinan dari matriks bujursangkar A dengan ordo m x m, secara umum diberikan oleh:
dimana Aij adalah matriks A yang baris ke-i dan kolom ke-j dihapus.
Contoh 9 Menghitung Determinan
• Hitunglah determinan dari: Penyelesaian:
Contoh 10 Menghitung Determinan
• Hitunglah determinan dari: Penyelesaian:
Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Teorema Dasar
Pada bagian sebelumnya, sangat ampuh untuk menghitung determinan jika matriks berukuran kurang dari atau sama dengan 3 x 3, tidak berlaku lagi untuk matriks yang ukuran lebih besar dari 3 x 3. Oleh karena itu, dimulai dari teorema dasar yang akan mengarahkan pada prosedur untuk menghitung matriks dengan ordo n. Teorema 1 Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(A) = 0. b) det(A) = det(AT).
Matriks Segitiga
Teorema berikut mempermudah perhitungan determinan suatu matriks segitiga, berapun ukurannya.
Teorema 2 Misalkan A adalah suatu matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasilkali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut; yaitu
Contoh 11 Determinan Matriks Segitiga Atas
• Hitunglah determinan dari: Penyelesaian: Berdasarkan teorema 2, maka determinan dari Q adalah:
Operasi Baris Elementer
Teorema 3 Misalkan A adalah suatu matriks n x n. a) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau kolom dari A dikalikan dengan suatu skalar k, maka det(B) = k det(B). b) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det (B) = − det (B). c) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka det (B) = det (A).
Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3
Baris pertama dari A dikalikan dengan dengan k.
Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan.
Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3
Suatu kelipatan dari baris kedua dari A ditambahkan ke baris pertama.
Matriks Elementer
Teorema 4 Misalkan E adalah suatu matriks n x n. a) Jika E adalah hasil perkalian suatu baris dari In dengan k, maka det(E) = k. b) Jika E adalah hasil pertukaran dua baris dari In, maka det(E) = -1. c) Jika E adalah hasil penjumlahan kelipatan satu baris dari In, ke baris lainnya, maka det(E) = 1.
Contoh 13 Determinan dari Matriks Elementer Determinan matriks berikut dihitung dengan inspeksi, menggunakan teorema 4.
Matriks dengan Baris/Kolom yang Proporsional
Jika suatu matriks bujursangkar A memiliki dua baris yang proporsional, maka suatu baris bilangan nol dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ke baris yang lainnya. Hal yang sama juga berlaku untuk kolom.
Teorema 5 Jika A adalah suatu matriks bujursangkar dengan dua baris atau dua kolom yang proporsional, maka det(A) = 0.
Contoh 14 Membentuk Baris Nol Perhitungan berikut menggambarkan cara membentuk suatu baris bilangan nol jika terdapat dua baris yang proporsional: Baris kedua merupakan 2 kali baris pertama, sehingga dengan menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk membentuk satu baris nol
Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Mencari determinan dari suatu matriks dengan reduksi baris adalah dengan membawa matriks awal ke bentuk matriks segitiga atas, sehingga memudahkan perhitungan.
Contoh 15 Reduksi Baris untuk Menghitung Determinan
Hitunglah det(A) di mana:
Penyelesaian:
Matriks A direduksi menjadi bentuk eselon baris yaitu segitiga atas. Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan Suatu faktor bersama yaitu 3 dari baris pertama, dikeluarkan dari tanda determinan
Penyelesaian:
Baris ketiga mengurangi 2 kali baris pertama
Baris ketiga mengurangi 10 kali baris kedua
Suatu faktor bersama yaitu (-55), dan dikeluarkan dari determinan
Contoh 16 Reduksi Kolom untuk Menghitung Determinan
Hitunglah determinan dari
Mengubah B menjadi bentuk segitiga bawah dengan melakukan operasi kolom; k3 − 2k1
Mau bertanya..?
