A törési lécről és a törési lépcsőről Ezek a fogalmak az erdészeti tanulmányok során jönnek elő, a fadöntés kapcsán. Magyarázatukhoz tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra – forrása: [ 1 ] Itt azt írják, hogy a törési lépcső és a törési léc együtt biztosítják a fa irányított dőlé sét. Úgy képzelhetjük el, mintha ezekkel egy csuklót / zsanért készítenénk, hogy a fa törzs e körül forogva dőljön le. Hogy ez az elképzelés nagyon is valós, azt igazolja az alábbi 2. ábra is, melyet az ismert mechanikai feladatgyűjteményből vettünk ki.
2. ábra forrása: [ 2 ]
2
Jól látszik, hogy itt a törési lépcső és léc helyett azok elvárt egyenértékűjét, egy a döntés síkjára merőleges, vízszintes tengelyű hengeres csuklót rajzoltak. Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra – forrása: [ 3 ] Itt azt mutatják és írják, hogy „ A törési lépcső megakadályozza a fa tövének visszacsúszását a tuskón.”, valamint „A fát a döntőfűrészvágással nem szabad teljesen átmetszeni, hanem egy 2 - 3 cm széles sávot – törési lécként – átvágatlanul kell hagyni. A törési lécnek a fa dőlési iránytartásában nagy a szerepe.” Ez a szövegrész is arra utal, hogy a döntési feladat jelentős részét képezi a „zsanér” kialakítása, illetve a „zsanérszerű” működés biztosítása. Ez mind szép, azonban előtte még be kell látnunk, hogy valóban szükség van egy ilyen megoldásra. Ehhez vegyük át az alábbi segédfeladatot! 1. Segédfeladat – [ 4 ]: A 2 ⋅ l hosszúságú homogén AB rúd az A végével egy sima, vízszintes síkra támasz kodik, α szöget alkotva vele a kezdő pillanatban, amikor a rúd még nyugalomban van. Határozzuk meg a B pont pályáját – ld. a 4. ábrát is! Megoldás: A súrlódásmentesség miatt a rúdra csak a C súlypontjában lefelé ható függőleges súlyerő, valamint az A támasznál a szintén függőleges, felfelé mutató támaszerő működik.
3
4. ábra
Minthogy gyorsító erő - összetevő híján a súlypont sebességének vx vízszintes összetevője a mozgás során változatlan marad, így ha a mozgás kezdetekor a rúd súlypontja a C0 - ban nyugalomban volt, akkor a mozgás során vx = 0 marad, azaz a C pont mozgása egy függőleges egyenes mentén zajlik le. Egy tetszőleges t időpontban, amikor a rúd a vízszintes síkkal ϕ < α szöget zár be, a B végpont koordinátáira felír ható, hogy
xB = l ⋅ cos ϕ , yB = 2 ⋅ l ⋅ sin ϕ .
(1/1)
Innen φ kiküszöbölésével: 2
2
xB y B + =1 , l 2⋅l
(1/2)
vagyis a B pont pályája egy ellipszis - ív, melynek féltengelyei l és 2 ⋅ l . Az erősen idealizált feladat tanulságai az alábbiak: a mozgás folyamán ~ a C súlypont függőlegesen mozog, ~ a B végpont ellipszis / görbe mentén mozog, ~ az A végpont vízszintesen jelentős mértékben elmozdul: eA max = l ⋅ (1 − cos α ) . Ha a súrlódástól nem tekintünk el, hanem azt a Coulomb - féle formában vesszük figyelembe, akkor a kép némileg módosul, de a támaszkodó vég vízszintes elmoz dulása ekkor is előáll, bár egy kisebb értékkel – v. ö.: [ 5 / 1 ]. Ezek szerint tényleg jó okunk van arra, hogy a valóban felléphető nagyon baleset veszélyes tőelmozdulást megakadályozzuk, a törési lépcső kialakításával. Ezután annak nézünk utána, hogy miért nem szabad a törési lécet átvágni. Ehhez vegyük át a következő segédfeladatot is!
4
2. Segédfeladat – [ 5 / 2 ] Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!
5. ábra – [ 5 / 2 ] Címe: Vízszintes fix tengely körül önsúlya következtében elforduló rúd alakú test A dőlő fát úgy tekintjük, mint amely az O ponton átmenő vízszintes „zsanér” körül fordul el a mozgása során. Az ellenállásoktól eltekintünk. A közelítőleg síkprobléma vizsgálatához felvesszük az O ponton átmenő vízszintes x, y és függőleges z tengelye ket. Az M tömegű fát itt rúd alakúnak testnek tekintjük, melyre hatnak: ~ az S súlypontjában ható Mg súlyerő, ~ az O csuklópontban működő reakcióerő, melynek vízszintes és függőleges össze tevői a H és V vektorok. A rúd síkmozgásának egyenletei – az eredeti jelöléseket megtartva – az alábbiak. d 2 xs M⋅ 2 =H , (2/1) dt
d 2 zs M ⋅ 2 =V − M ⋅g , dt
(2/2)
d 2ϕ J ⋅ 2 = M ⋅ g ⋅ xs . dt
(2/3)
A geometriai egyenletek:
xs = r ⋅ sin ϕ , zs = r ⋅ cos ϕ . Az egyenletekben J, M, g, r: állandó mennyiségek.
(2/4)
5
Most ( 2 / 4 – 1 ) idő szerinti kétszeri differenciálásával: dxs dϕ = r ⋅ cos ϕ⋅ = r ⋅ cos ϕ ⋅ ω , dt dt dϕ ω= , d 2 xs dt 2 → 2 = r ⋅ ( − sin ϕ ⋅ ω + cos ϕ⋅ ε ) ; 2 (2/5) d xs dω dt = r ⋅ − sin ϕ ⋅ ω2 + cos ϕ⋅ , 2 dt dt dω =ε , dt majd ( 2 / 4 – 2 ) - vel hasonlóan eljárva: dzs dϕ = r ⋅ ( − sin ϕ ) ⋅ = − r ⋅ sin ϕ⋅ ω , dt dt dϕ ω= , d 2 z dt 2 s → 2 = − r ⋅ ( cos ϕ⋅ ω + sin ϕ⋅ ε ) . 2 (2/6) d zs dω dt 2 r = − ⋅ cos ϕ⋅ ω + sin ϕ⋅ , dt 2 dt dω =ε , dt Ezután ( 2 / 1 ), ( 2 / 2 ) és ( 2 / 5 ), ( 2 / 6 ) - tal:
d 2 xs H = M ⋅ 2 = M ⋅ r ⋅ ε ⋅ cos ϕ − ω2 ⋅ sin ϕ , dt
(
)
(2/7)
d 2 zs V = M ⋅ g + M ⋅ 2 = M ⋅ g − M ⋅ r ⋅ ε ⋅ sin ϕ + ω2 ⋅ cos ϕ . dt
(
)
(2/8)
Az
d 2ϕ ε= 2 dt szöggyorsulást ( 2 / 3 ) - ból fejezzük ki, ( 2 / 4 – 1) - et is felhasználva: d 2ϕ M ⋅ g M ⋅g = ⋅ x = ⋅ r ⋅ sin ϕ ; s dt 2 J J
(2/9)
( 2 / 10 )
bevezetve a ρ inerciasugarat is:
J = M ⋅ρ2 ,
( 2 / 11 )
6
majd ( 2 / 10 ) és ( 2 / 11 ) - gyel a szöggyorsulás kifejezése:
d 2ϕ g ⋅ r ε = 2 = 2 ⋅ sin ϕ . dt ρ
( 2 / 12 )
Az ω szögsebesség kifejezését a munkatétellel kapjuk: 1 ⋅ J ⋅ ( ω2 − ω02 ) = M ⋅ g ⋅ ( z0 − zs ) , 2 1 2 ω0 = 0 , → ⋅ J ⋅ ω = M ⋅ g ⋅ r ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) , ( 2 / 13 ) 2 z0 = r ⋅ cos ϕ0 , zs = r ⋅ cos ϕ , innen ( 2 / 11 ) - gyel is:
ω2 =
2⋅ g ⋅r ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) . ρ2
( 2 / 13 )
Most a ( 2 / 7 ), ( 2 / 8 ) és a ( 2 / 12 ), ( 2 / 13 ) képletekkel: g ⋅r 2⋅ g ⋅r H = M ⋅ r ⋅ ε ⋅ cos ϕ − ω2 ⋅ sin ϕ = M ⋅ r ⋅ 2 ⋅ sin ϕ⋅ cos ϕ − ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) ⋅ sin ϕ = 2 ρ ρ
(
)
2
r g ⋅ r2 = M ⋅ 2 ⋅ sin ϕ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) = M ⋅ g ⋅ ⋅ sin ϕ ⋅ ( 3 ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ cos ϕ0 ) , ρ ρ
tehát: 2
r H ( ϕ ) = M ⋅ g ⋅ ⋅ ( 3 ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ cos ϕ0 ) ⋅ sin ϕ ; ρ valamint: g ⋅r 2⋅ g ⋅r ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) ⋅ cos ϕ = V = M ⋅ g − M ⋅ r ⋅ 2 ⋅ sin ϕ ⋅ sin ϕ + 2 ρ ρ g ⋅r = M ⋅ g − M ⋅ r ⋅ 2 ⋅ sin ϕ⋅ sin ϕ + 2 ⋅ ( cos ϕ0 − cos ϕ ) ⋅ cos ϕ = ρ 2 r = M ⋅ g ⋅ 1 − ⋅ sin 2 ϕ − 2 ⋅ cos 2 ϕ + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ = ρ
r 2 = M ⋅ g ⋅ 1 − ⋅ 1 − cos 2 ϕ − 2 ⋅ cos 2 ϕ + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ = ρ r 2 = M ⋅ g ⋅ 1 − ⋅ 1 − 3 ⋅ cos 2 ϕ + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ , ρ
( 2 / 14 )
7
tehát:
r 2 V ( ϕ ) = M ⋅ g ⋅ 1 − ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ − 3 ⋅ cos 2 ϕ ρ
(
)
.
( 2 / 15 )
Ha a dőlő rúd hasáb alakú, melynek hossza l , valamint a forgástengely a rúd egyik végén található, akkor l l2 r= , 2 r 2 4 3 → = 2 = , ( 2 / 16 ) 2 l 4 l ρ 2 ρ = , 3 3 így ( 2 / 14 ), ( 2 / 15 ), ( 2 / 16 ) - tal: 3 H ( ϕ ) = ⋅ M ⋅ g ⋅ ( 3 ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ cos ϕ0 ) ⋅ sin ϕ ; 4 3 2 V ( ϕ ) = M ⋅ g ⋅ 1 − ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ − 3 ⋅ cos ϕ . 4
(
)
( 2 / 17 )
Most képezzük ( 2 / 17 ) - tel a dimenziótlan H M ⋅g V η= M ⋅g ξ=
,
( 2 / 18 )
mennyiségeket! Ekkor ( 2 / 17 ) és ( 2 / 18 ) szerint:
3 ⋅ ( 3 ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ cos ϕ0 ) ⋅ sin ϕ ; 4 3 2 η ( ϕ ) = 1 − ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ϕ0 ⋅ cos ϕ − 3 ⋅ cos ϕ . 4 ξ ( ϕ) =
(
)
( 2 / 19 )
Most válasszunk egy kezdő hajlásszöget! Legyen a rúd kezdetben függőleges! Ekkor: ϕ0 = 0 . ( 2 / 20 )
Így ( 2 / 19 ) és ( 2 / 20 ) - szal:
8
3 ⋅ ( 3 ⋅ cos ϕ − 2 ) ⋅ sin ϕ ; 4 3 2 η ( ϕ ) = 1 − ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ϕ − 3 ⋅ cos ϕ . 4 ξ ( ϕ) =
(
( 2 / 21 )
)
A ( 2 / 21 ) függvényeket a 6. ábrán mutatjuk meg. y
f(x)=3/4*(3*cos(x)-2)*sin(x) f(x)=1-3/4*(1+2*cos(x)-3*cos(x)*cos(x))
4
3.5
3
V / Mg
2.5
2
1.5
1
0.5
x ( fok ) -10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
-0.5
-1
H / Mg
-1.5
-2
-2.5
6. ábra A 6. ábra kék görbéje, vagyis a H / Mg függvény alakulása érdekesebb itt számunkra. Ugyanis: ~ Az olyan szögtartományban, ahol H > 0 , ott a „zsanér” nyomja a dőlő fa / rúd tövét. Ha itt hirtelen átvágnánk a döntő fűrészvágással a fát, akkor a támaszkodó törzsvég elindulna – itt – balra, hiszen nem lenne meg az a balról jobbra mutató vízszintes erő, ami a helyén tarthatná. ~ Az olyan szögtartományban, ahol H < 0 , ott a „zsanér” húzza a dőlő fa tövét. Ha a fa tövét a döntésnél átvágtuk, vagyis a törési léc eltűnt, akkor nem lesz visszahúzó erő, vagyis a fa töve jobbra – a döntési irányba – elmozdul. Ekkor a ledőlő fa töve eltávolodik a tuskótól. Látjuk, hogy a balesetelhárítási szempontból nagyon fontos tőmozgás többféleképpen is alakulhat, a fenti modell szerint.
9
Megjegyzések: M1. A ( 2 / 1 ) és ( 2 / 2 ) mozgásegyenletek az S súlypont síkmozgását írják le, míg a ( 2 / 3 ) egyenlet az O pont – tehát nem a súlypont – körüli forgómozgást írja le. M2. A J mennyiség az O ponton átmenő vízszintes tengelyre vonatkoztatott tömeg tehetetlenségi nyomaték, egy régebbi jelöléssel. M3. A valóságban gyakran nem egyazon függőleges síkban mozogva dől a fa; ez azt is jelenti, hogy az itteni mondanivalónk inkább csak a dőlő fa viselkedésének értelme zését, az erről szóló ismeretterjesztő jellegű tájékoztatást szolgálja. M4. Hogy a törési léc szerepét más is egy zsanérhoz hasonlítja, arra példa a 7. ábrán látható kép is.
7. ábra – forrása: [ 6 ] M5. Úgy tűnik, az 1. és a 3. ábra szerint a törési léc csak egy vízszintes méret; nem így mondja ezt [ 7 ], ahonnan a 8. ábra is származik.
8. ábra
10
Ugyanis [ 7 ] szerint: „ Azt a közelítőleg téglatest alakú idomot, melynek alapja a szelvény, magassága a törési lépcső, törési lécnek nevezzük.” Korábban: „ Szükséges bevezetni a döntés során pillanatról pillanatra változó szelvény fogalmát. Ehhez úgy jutunk, hogy a döntő fűrészvágás síkja által kimetszett körbe berajzoljuk a hajk fenékvonalát és a döntő fűrészvágás fenékvonalát.” Illetve még korábban: „ A döntő fűrészvágás síkjának és a hajk alap síkjának egymástól mért távolsága a továbbiakban m - mel jelölt törési lépcső.” Azt gondoljuk, hogy a törési lécnek ez utóbbi meghatározása lesz a megfelelő, mely nek elölnézetét a 8. ábrán pontozással is kiemelték. A 8. / b ábrán a ferdén nőtt fatörzs esetére értelmezi a fogalmakat a szerző. M6. Most tekintsük a 9. ábrát!
9. ábra – forrása: [ 8 ] Itt azt vesszük észre, hogy nincs törési lépcső. Lehet, hogy ez csak rajzolási hiba? De akkor miért ilyen minden ábrájuk? Biztosan kísérleteznek. M7. A [ 9 ] műben egy az ittenivel elvileg megegyező feladatot tárgyalnak. Ennek az a sajátossága, hogy a függőleges reakciókomponens képletét eltévesztették. M8. Ajánljuk az Olvasónak a ( 2 / 1, 2, 3 ) képleteken való alapos elmerengést! M9. Úgy látjuk – a hozzáférhető, főleg internetes szakirodalom alapján is – , hogy gyakorta csak az ittenihez hasonló típusú, nem átfogó jellegű vizsgálatokkal talál kozni, a fadöntés mechanikája terén. Lehet, hogy ez még várat magára? Vagy ebben a
11
végeselemes / számítógépes világban egy hagyományos típusú, ámde alapos elemzés már nem is várható? Vagy ez már mind megtörtént, csak mi nem tudunk róla? Vajon ki az, aki tud róla? Bizonyára másnak is feltűnt már, hogy az idevágó magyar nyelvű szakirodalom gyakorlatilag hiányzik. Nem kellene már tenni ez ügyben is valamit? Kezdetnek nem ártana – mondjuk a Faipari Kézikönyv mintájára – egy mai erdészeti kézikönyvet összeállítani, de nem csak a laikusoknak szóló ismeretterjesztés szintjén. Ekkor legalább erdészeti szakemberek által összeválogatott szakirodalmi forrásokat találhatna az érdeklődő olvasó, amivel elkezdhetné a keresést.
Szakirodalmi források: [ 1 ] – http://tuzelo.ewk.hu/feltolt/fatuzeles_ebert.pdf [ 2 ] – I. V. Mescserszkij: Szbornyik zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike 35. kiadás, Nauka, Moszkva, 1981., 298. o. [ 3 ] – Szász Tibor: Famunkák jó szerszámmal, szakszerűen Euro - Midi Kft., 2003., 54. o. [ 4 ] – V. M. Sztarzsinszkij: Tyeoretyicseszkaja mehanyika Nauka, Moszkva, 1980., 344. o. [ 5 ] – Nagy Dezső: Dinamika A Magyar Mérnök - És Építész - Egylet Könyvkiadó Vállalata, 1905., / 1: 261. o. / 2: 309. o. [ 6 ] – http://books.google.hu/books?id=DeO93VLn0gC&pg=PA25&hl=hu&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=true [ 7 ] – Hajdu Endre: Balesetvédelmi és környezetkímélő eljárások az erdészeti faanyagmozgatásban Kandidátusi értekezés, Sopron, 1988., 10. o. [ 8 ] – http://journals.hil.unb.ca/index.php/IJFE/article/view/5710/6715 [ 9 ] – Martin Grübler: Lehrbuch der Technischen Mechanik Verlag von Julius Springer, Berlin, 1921., Dritter Band, 100. o. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. december 15.
