A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában Szakdolgozat Készítette: Sára Csenge Matematika Bsc, tanári szakirány

Témavezető: Somfai Zsuzsa ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2010

1

Tartalomjegyzék 1

Bevezetés ............................................................................................................................ 3

2

Motiválás

3

Komplex számok ................................................................................................................ 6 3.1

„Motiválás nélkül nincs tanulás.” ............................................................. 4

Komplex számok bevezetése középiskolában ............................................................. 6

3.1.1

Komplex szám fogalma ........................................................................................ 7

3.1.2

Műveletek komplex számokkal ............................................................................ 7

3.1.3

Komplex számok tulajdonságai............................................................................ 9

3.2

Komplex számok áttekintése más megközelítéssel ................................................... 11

3.2.1

A geometriai jelentés .......................................................................................... 11

3.2.2

A komplex számsík ............................................................................................ 11

3.2.3

Műveletek komplex számokkal .......................................................................... 12

3.2.4

Komplex számok trigonometrikus alakja ........................................................... 15

3.3

Feladatok ................................................................................................................... 19

3.3.1

Egy középiskolai geometria feladat szemléltetése ............................................. 19

3.3.2

Feladatok az algebra I. gyakorlatról ................................................................... 25

4

Összegzés .......................................................................................................................... 34

5

Köszönetnyilvánítás .......................................................................................................... 34

6

Irodalomjegyzék ............................................................................................................... 35

2

1 Bevezetés Amikor szakdolgozati témámat választottam, a következő szempontokat vettem figyelembe. Amiről írni szeretnék, olyan matematikai témakört foglaljon magába, amit szerettem tanulni az egyetemen; valamint kapcsolódjon a tanári szakirányhoz. Így esett a választásom a motiválás a matematikában címre, melyet aztán leszűkítettem az algebra témakörére. Szakdolgozatomban arra a kérdésre keresem a válaszokat, hogy milyen módon lehet bevezetni egy -a középiskolában nem taglalt- új témakört szakköri foglalkozáson. Azért hangsúlyozom, hogy nem tanórán esik szó az új anyagrészről, mert mindvégig feltételezem, hogy olyan gyerekek motiválásáról van szó, akik érdeklődnek a matematika iránt. Ez azért nagyon fontos, mert nagyrészt a matematika eszközeivel próbálom a motiválás lehetőségeit bemutatni, és csak kisebb részben a pszichológiával. Ez utóbbi természetesen nagyon fontos, de szakdolgozatomban terjedelmi okok miatt, nincs lehetőségem bővebben kitérni rá. Az egyetemi algebra tananyag nagyon széles skálán mozog, melynek csak egy szeletét, a komplex számok témakörét fogom körüljárni. Ezen belül is a komplex számok direkt, illetve geometriai bevezetésével foglalkozom. Utóbbit azért tartom nagyon fontosnak, mert már a középiskolában fel kell hívnunk a diákok figyelmét a matematika különböző területei közötti összefüggésekre. Jó ha látják, hogy nagyon hasznos amit tanulnak, mert ez is egyfajta motiváció lehet a számukra.

3

2 Motiválás

„Motiválás nélkül nincs tanulás.”1

„A tanulás motiválása nem más, mint egy kívánatos célállapot elérésére való késztetés, irányítás, koordinálás a tanuló tanulási tevékenységére való ösztönzése céljából.”2 Vagyis a tanári munka legfontosabb feladata a tanulók számára a legmegfelelőbb motivációs segítség nyújtása, valamint a tudás hatékony közvetítése. Ezt különböző eszközökkel érhetik el a pedagógusok. Először nézzük meg a tanítási órához fűződő motivációs tényezőket, melyek a tanórák szervezési formáiban rejlő motiválást jelentik, ami összefüggésben van a tanulói aktivitással. Ez alatt azt értem, hogy a tanítás megfelelő minőségével és az ebből következő eredményes tanulással lehet motiválni a tanulót. Vagyis: -

magának a tananyagnak kell aktivizáló tényezőnek lennie;

-

érdemes alkalmazni a csoportmunkát és az önálló munkát, mert ezek megszervezése több

lehetőséget

ad

a

tanulók

önállóságának,

kezdeményezőkészségének

kibontakozására, mely az alkotó aktivitás, a kreativitás kritériuma; -

mivel a gondolkodás aktivitása olyan feladatokkal kapcsolatban ébred fel a tanulókban, melyeket nem lehet az általuk addig megismert módokon megoldani igényük lesz a feladat megoldásához vezető utak megismerésére, ezért érdemes minél több olyan feladatot feladni az órán, melyben új gondolatok mentén haladva lehet megoldani azokat;

-

fontos tényező a probléma iránti érdeklődés felkeltése, melynek lényege, hogy a tanulókat a szituáció tartalmi oldala érdekelje;

-

tanítási órán nagyon fontos szerepe van az optimális, a komplex értékelésnek, valamint a folyamatos visszajelzéseknek, melyek segíthetik a diákokat abban, hogy meg tudják állapítani, hol tartanak a tananyagban (optimális értékelés: nagyobb számban tartalmaz pozitív visszajelzést, de nem zárja ki a negatív visszajelzést; komplex értékelés: tudás, magatartás, személyiség értékelése együttesen);

-

továbbá nagy jelentősége van a tanítási óra légkörének, a tanár-diák viszony jellegének.

1

2

Réthy Endréné: Motiváció, tanulás, tanítás Miért tanulunk jól vagy rosszul?, Nemzetközi tankönyvkiadó, Budapest, 2003 Réthy Endréné: Motiváció, tanulás, tanítás Miért tanulunk jól vagy rosszul?, Nemzetközi tankönyvkiadó, Budapest, 2003 (80.o.)

4

Ha ezek az alapvető tényezők meg vannak egy órán, akkor a tanár elérheti célját, mely nem más, mint hogy felkeltse a tanulók érdeklődését és ezt az állapotot folyamatosan ébren tudja tartani; fejlessze a folyamatos tanulás igényének kialakulását; és segítsen leküzdeni a tanulás ellen ható tényezőket. Ezek által tanár és diák közt létre jöhet aktív együttműködés, mely a közös munka hatékonyságának alapvető pillére. Szakdolgozatom szempontjából, azonban hangsúlyosabb szerephez jut a tananyag általi ösztönzés, melynek főbb elvárásai a következők: -

a feladatok struktúrája legyen változatos, jól követhető, férjen bele az óra- és a tanterv keretébe, valamint a nehézségi fok az adott csoportnak megfelelő legyen;

-

fontos

a

tananyag

vonzerejének

kiaknázása,

a

téma

„problémásítása”,

problémaszituációk tervezése; -

jelentős

hangsúlyt

kell

fektetni

a

tanulandó

ismeretek

hasznosságának,

használhatóságának tudatosítására; -

valamint az órára való felkészüléskor számba kell venni a várható tanulási-tanítási nehézségeket.

A fent említett pontokból látszik, hogy a tanároknak nagyon felkészültnek kell lenniük, mind pszichológiai-pedagógiai, mind szakmai szempontból. Ahhoz, hogy teljes képet kapjunk a motiválás és motiváltság közti kapcsolatról, meg kell említenem azt is, hogy a tanulásra való motiválás nem csak a tanár feladata. A közös munka az, ami által létre tud jönni a hatékony tanulás. Vagyis a diáknak is ugyanolyan kemény munka ez, hiszen a tanulás egy olyan önszabályozó folyamat, melyet a tanuló saját maga határoz meg. A tanuló maga alakítja ki saját motivációs struktúráját és itt jön képbe a tanári segítség jelentősége, mert a motivációs rendszer alakításában a gyereket motiválással kell segítenie a pedagógusnak. Pszichológiailag fontos tényező a tanítás-tanulási folyamatban a külső motiváció arányainak fokozatos eltolódása a belső motiváció felé. Ez a folyamat önszabályozó interakciókon keresztül valósul meg. Az önszabályozott tanulás lényege, hogy a tanuló önmagát motiválja, és a tanulási tevékenységet önmaga végzi. Hiszen „a belső motiváció jelentősége éppen az, amit tanul, s őszintén érdeklődik iránta.”3 Ezekből az információkból azt a végső következtetést vonhatjuk le, hogy a megfelelő hatékonyságú tanulás elengedhetetlen eszköze a motiválás, melyből az következik, hogy a tanulási teljesítmény és a motiváció egymással kölcsönhatásban van.

3

Réthy Endréné Dr.: Motiváció a tanítási órán, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978 (26.o.)

5

3 Komplex számok4 3.1 Komplex számok bevezetése középiskolában Fontos pedagógiai követelmény, hogy az új tananyag feldolgozását megelőzze a problémából való kiindulás. Esetünkben ez a következő: egy középiskolai szakköri csoportban, a másodfokú egyenletek tárgyalásakor felmerülhet az a kérdés, hogy vajon létezik-e olyan számhalmaz, amelyben minden másodfokú egyenletnek van gyöke. Hiszen tudjuk, hogy nem minden másodfokú egyenletnek van megoldása a valós számhalmazon. Nézzük az x 2  1 egyenletet. Tudjuk, hogy ennek a valós számok körében nincs megoldása. Ekkor azt mondhatjuk a diákoknak, hogy létezik egy olyan számhalmaz, amelyen van megoldása ennek az egyenletnek. Ez nem más, mint a valós számkör olyan bővítése, melyben a negatív számokból való négyzetgyökvonás is értelmezhető. Így építhető fel középiskolában a komplex számok halmaza. Ha a következőkben leírt módon bevezetjük és értelmezzük az i számot, attól kezdve létezik negatív szám négyzetgyöke. Így már tudják a tanulók, hogy ha a komplex számok halmazán oldanak meg egy másodfokú egyenletet, annak akkor is van gyöke, ha diszkriminánsa negatív. Ennek a törekvésnek a jegyében nézzük újra az x 2  1 egyenletet. Most már megtehetjük, hogy mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk. Ekkor az x    1 megoldást kapjuk. A kezdve a

 1 -et nevezzük el i-nek ( i 2  1 ), vagyis az x    1  i. Innentől

1  i -t mindig ki tudjuk emelni, ha negatív számból vonunk gyököt.

A komplex számok halmazának felépítésekor arra törekszünk, hogy a valós számok kapcsán megismert műveleti tulajdonságok, azonosságok és összefüggések ne változzanak a bővítéssel. Tehát célunk az, hogy a bővebben értelmezett fogalom (komplex számok halmaza) minél inkább megőrizze a szűkebb fogalomrendszer (valós számok halmaza) tulajdonságait. Ezt a matematikában permanencia elvnek (állandósági elv) nevezik.

4

Bárczy Barnabás: Algebra II., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962 (51-60.o.) Sárközy András: Komplex számok példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973 Kiss Emil: Bevezetés az algebrába, Typotex , Budapest, 2007 Algebra I. alapszint, előadás jegyzet, 2007

6

3.1.1 Komplex szám fogalma A számfogalom az egész emberiség történelme során fejlődött. A XVI. században olasz matematikusok a harmadfokú egyenlet megoldásával kapcsolatban vetették fel, hogy érdemes a valós számok fogalmát tovább bővíteni. Bombelli az 1572-ben megjelent könyvében javasolta, hogy a negatív számok négyzetgyökét is tekintsék számnak. Ezeket a számokat elnevezte képzetes számoknak. A képzetes számokat („új számokat”) csak a XVIII. században értelmezte kifogástalanul Gauss. Az ő munkássága révén terjedt el a „komplex szám” fogalma. Definíció: Az a  bi alakú formális kifejezéseket komplex számoknak nevezzük, ahol a és b valós számok, i 2  1 . Jele: C  a  bi a, b  R. Másképpen fogalmazva, azokat a számokat, melyek valós és képzetes részből állnak, komplex számoknak nevezzük. A komplex számokat általában z, w, u  C-vel jelöljük, továbbá felírhatók z  a  bi alakban, ahol a  Re(z ) a z valós része, és b  Im(z ) a z képzetes része. Továbbá két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik különkülön megegyeznek, vagyis az a  bi  c  di  a  c, b  d , ahol a, b, c, d  R .

3.1.2 Műveletek komplex számokkal Definíció: A z  a  bi komplex szám konjugáltja a z  a  bi komplex szám. Vagyis ha két komplex szám csak képzetes részük előjelében tér el egymástól, akkor konjugált komplex számpárt alkotnak. Állítás: Legyenek z és w tetszőleges komplex számok. Ekkor a következő tulajdonságok teljesülnek: 1. z  z bijekció C-ből C-be 2.

z   z

3. z  w  z  w 4. z  w  z  w 7

5. z  z  2  Rez   R 6. z  z  a 2  b 2  R, z  a  bi  Állítás: Legyenek z  a  bi és w  c  di tetszőleges komplex számok, melyekkel a következő műveleteket végezhetők el: 1. Összeadás:

z  w  a  bi   c  di   a  c  bi  di  a  c  b  d i  a'b' i 2. Kivonás: z  w  a  bi   c  di   a  bi  c  di   a  c  bi  di  a  c   b  d i

3. Szorzás:

z  w  a  bi c  di   ac  adi  bci  bdi 2  ac  adi  bci  bd 

 ac  bd  adi  bci  ac  bd   ad  bc i 4. Ellentett:

 z  a  bi   a  bi 5. Osztás: Nézzük meg részletesebben az osztást! Legyen z  a  bi , w  c  di és u  x  yi . 

Komplex szám osztása valós számmal: Állítás: A z komplex számot tudjuk c nem nulla valós számmal osztani. z a  bi a b    i c c c c

Bizonyítás: Az osztás definíciójából következik, hogy z  u  z  u c c a  bi  u  a  bi  c  x  yi   c  x  c  yi. c

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha képzetes és valós részeik megegyeznek, vagyis a x c b b  c y   y c z a b    i. c c c a  cx 

8

Tehát komplex számot úgy osztok valós számmal, hogy a komplex szám valós és képzetes részét is elosztom vele. 

Komplex szám osztása komplex számmal: Már tudunk komplex számokat összeadni, kivonni, szorozni és valóssal osztani. Célunk tehát, hogy az eddig alkalmazott összefüggésekre támaszkodva jussunk el két komplex szám osztásáig. Vagyis a szorzás műveletét felhasználva a z 1  z w w

alak felírására kell törekednünk. Csináljunk reciprokot! A reciprokkal való szorzással azt szeretnénk elérni, hogy az átalakítás végén csak valós számmal kelljen osztani. 1 1 1 c  di c  di , ahol c 2  d 2  R\ 0.     2 2 w c  di c  di c  di c  d

Vagyis a nevező konjugáltjával bővítettük a törtet. z 1 z w  z   w w w w z a  bi c  di ac  bd   bc  ad i ac  bd bc  ad     2   i, w c  di c  di c2  d 2 c  d 2 c2  d 2

ahol a nevező valós szám. Tehát komplex számot komplex számmal úgy osztunk, hogy a nevező konjugáltjával bővítjük a törtet. Így visszavezetjük az osztást a valós számmal való osztásra. 3.1.3 Komplex számok tulajdonságai Állítás: Tetszőleges z, w, u  C számokra érvényesek az alábbiak: 1. Az összeadás kommutatív: z  w  w  z 2. Az összeadás asszociatív: z  w  u  z  w  u  3. Létezik nullelem: z  0  0  z  z minden z esetén 4. Létezik ellentett: minden

z-nek létezik

ellentettje, azaz

olyan w, melyre

z  w  w z  0 5. A szorzás kommutatív: zw  wz

9

6. A szorzás asszociatív: zwu  zwu  7. Létezik egységelem: létezik 1  C , hogy z  1  1  z  z minden z esetén 8. Létezik inverz: minden nullától különböző z komplex számnak létezik w inverze, hogy 1  z  w  1,  z   . w 

9. Disztributivitás:

z  wu  uz  uw z w  u   zu  zw Definíció: Komplex szám abszolút értéke a z  zz  a 2  b 2 nemnegatív valós szám,

z C . Állítás: Legyenek z  a  bi és w  c  di komplex számok. Ekkor z illetve w abszolút értékére a következő tulajdonságok teljesülnek: 1. z  0  R

z 0z0 2. z  z z  zz 

a  bi   a  bi  

z  zz  zz 

a2  b2

a  bi   a  bi  

a2  b2

3. z  w  z  w z  w  z  w z  w  z  w z  w  z  z  w w  z  w  z  z  w w  z  z  w w 

a

2



a

2



 b2  c2  d 2

 b2  c2  d 2





4. z  w  z  w háromszög-egyenlőtlenség (bizonyítás később)

10

3.2 Komplex számok áttekintése más megközelítéssel A komplex számokat -az előző fejezetben tárgyalt módnál- sokkal szemléletesebben is bemutathatjuk az elképzelt szakköri csoportban. Ez nem más, mint a komplex számok geometriai szemléltetése, valamint a trigonometrikus alak bevezetése. Feltételezzük, hogy a középiskolás diákok megfelelő alapismeretekkel rendelkeznek a vektorokat, a trigonometriát, és a síkgeometriát illetően, hiszen mindegyik témakör a kerettanterv része. A már meglévő ismeretekre pedig könnyebben lehet felépíteni az újat.

3.2.1 A geometriai jelentés Azt már -az előző fejezetben tanultak alapján- tudják a tanulók, hogy a komplex számhalmaz a valós számkör bővítése. Ebből kiindulva rá tudjuk vezetni a diákokat arra, hogyan/hol ábrázoljuk a komplex számokat. Hiszen ha a valós számokat a számegyenesen, akkor feltehetjük a kérdést, hogy a komplex számokat, vajon milyen rendszerben ábrázoljuk. Ha még azt is hozzávesszük mindehhez, hogy a komplex számok valós és képzetes részből állnak, akkor a tanulók megsejthetik, hogy számpár(oka)t kell ábrázolniuk. Számpárokat pedig számsíkon ábrázolunk. Ezen információk alapján, a komplex számsíkot a valós számegyenes bővítéseként is értelmezhetjük az „új számok” geometriai szemléltetésének bevezetésekor. 3.2.2 A komplex számsík A komplex számsíkot másképpen Gauss-féle számsíknak nevezzük. Egy derékszögű koordinátarendszer segítségével ábrázoljuk a komplex számokat, melynek origója megegyezik a valós számegyenes 0 pontjával. Továbbá x-tengelye a valós tengelynek, ytengelye pedig a képzetes tengelynek fele meg. Az x-tengelyen az adott komplex szám valós részét, az y-tengelyen ennek tisztán képzetes részét ábrázoljuk. Vagyis a z  a  bi  C számnak az a, b  R 2 koordinátájú pontot feletetjük meg. Ez a megfeleltetés bijektív, vagyis minden komplex számnak a komplex számsík egyetlen pontja felel meg és fordítva. A komplex számok halmaza teljesen kitölti a sík pontjait. Ha a z komplex szám valós része 0, akkor csak a képzetes tengelyen mozgunk, ha pedig képzetes része 0, akkor ennek megfelelően csak a valós tengelyen. 11

Ha a z komplex számnak megfeleltetett pontot elnevezzük Z-nek, az origót pedig Oval jejöljük, akkor a z komplex szám egyértelműen megadható az OZ vektorral, mert a sík pontjai és a komplex számok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Hiszen a pontok egyértelműen megadják a komplex számokat, az OZ vektor pedig a Z pontba mutató helyvektor, ami egyértelműen egy komplex számnak felel meg. Egy adott komplex számot pedig egyértelműen tudunk ábrázolni a síkon. Így a Z ponthoz egy adott helyvektor tartozik

OZ .

Ezekből az következik, hogy a z  a  bi komplex számot megadhatjuk a neki megfelelő Z ponttal, valamint az OZ vektorral. E kettő a geometriai megadása a komplex számoknak.

1.ábra 3.2.3 Műveletek komplex számokkal Az előző fejezet felépítését követve, most áttekintjuk a komplex számok közti műveletek geometriai jelentését. Először nézzük meg a konjugált fogalmát. Legyen z  a  bi , ekkor a z  a  bi . Az algebrai alakból látszik, hogy a két szám csak képzetes részükben tér el egymástól. Vagyis a z-t tükrözve a valós tengelyre, megkapjuk z -t, hiszen képzetes részeik ellentettjeik egymásnak.

12

2.ábra Vektorok összegét és különbségét a parallelogramma-szabály alkalmazásával számítják ki középiskolában a diákok. Ennek ismeretében a komplex számok geometriai úton történő összeadása és kivonása jól interpretálható az elképzelt szakköri csoportban. A szorzásra és az osztásra majd a trigonometrikus alak tárgyalásánál térek ki. 1. Összeadás: Legyenek a z és w komplex számokhoz tartozó vektorok OZ és OW , ezen vektorok vektorösszege pedig az OV vektor. Két vektort úgy adunk össze, hogy a két O pontból kiinduló vektort kiegészítjük parallelogrammává. A két vektor összege ( OV ) pedig nem más, mint a parallelogramma O pontból kiinduló átlójához tartozó V-be mutató vektor. Vagyis a komplex

számok

geometriai

módon

történő

összeadása

megegyezik

a

vektorösszeadással.

3.ábra 13

Azt is megfigyelhetjük, hogy az összeadás geometriai értelemben eltolást jelent, mert két komplex szám összeadásakor valós részeiket, valamint képzetes részeiket adjuk össze egymással.

z  w  a  bi   c  di   a  c  bi  di  a  c   b  d i Rez   Rew  Rez  w ImZ   Imw  Imz  w 2. Kivonás: Az összeadáshoz hasonlóan, a kivonást is vektorokkal adjuk meg. A z komplex számhoz tartozó OZ , és a w komplex számhoz tartozó OW vektorok különbsége a kiegészített parallelogramma azon átlója, mely W-ből Z-be mutat.

4.ábra

z  w  a  bi   c  di   a  bi  c  di  a  c  bi  di  a  c   b  d i Rez   Rew  Rez  w Imz   Imw  Imz  w A kivonás geometriai jelentése szintén eltolás, hiszen ebben az esetben a két komplex szám valós részét, illetve képzete részét vonjuk ki egymásból.

14

3.2.4 Komplex számok trigonometrikus alakja Látni fogjuk itt is, hogy a középiskolai ismeretek (pl.: trigonometrikus azonosságok és addíciós tételek) elegendőek ahhoz, hogy a tanulók fel tudják írni a komplex számok trigonometrikus alakját. A komplex számokat az 5. ábrával szemléltetve láthatóvá válik, hogy a derékszögű háromszögre vonatkozó oldalak és szögek közti összefüggések segítségével határozzuk meg a trigonometrikus alakot.

5.ábra Jól látható az 5. ábrából, hogy minden nem nulla helyvektort egyértelműen meghatároz a hossza (a végpontjának az origótól mért távolsága), valamint a valós tengellyel bezárt szöge (a tengely pozitív felétől mérve). Ez irányított szög. Tudjuk, hogy egy vektor hossza megegyezik abszolút értékével. A vektor abszolút értékének definíciója szerint, az OZ vektor abszolút értéke egyenlő a neki megfeleltetett

a, b  R 2

koordináták négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel. Tehát a z komplex számhoz

tartozó OZ vektor hossza nem más, mint z  a 2  b 2  r . Ezen z komplex szám szögét más néven argumentumát- pedig arg( z )   -val jelöljük. Az 5. ábrából leolvashatóak a derékszögű háromszög oldalai és szögei közti összefüggések (trigonometrikus azonosságok), mégpedig a  r  cos  és b  r  sin  .

5

Definíció: A z  a  bi trigonometrikus alakja z  r  cos   i  r  sin   r  cos   i  sin   .

5

a b  cos  , valamint  sin  r r

15

A komplex számokkal való műveletek geometriai úton történő bemutatása során elmaradt a szorzás, és az osztás levezetése. Ezt most pótolom a trigonometrikus alak segítségével. 1. Szorzás: Állítás: Legyen a z  r  cos   i  sin   és w  s  cos   i  sin   . Ekkor a két szám szorzata z  w  r  s  cos     i  sin    Bizonyítás: z  w  r  cos   i  sin    s  cos   i  sin   Minden tagot minden taggal megszorozva, a következőt kapjuk: z  w  r  s  cos   cos   cos   i  sin   i  sin   cos   i  sin   i  sin   z  w  r  s  cos   cos   sin   sin    i  cos   sin   sin   cos  

Az addíciós képleteket6 kihasználva adódik, hogy

z  w  r  s  cos     i  sin    . Tehát két komplex szám szorzásakor abszolút értékük összeszorzódik, szögeik pedig összeadódnak. Ennek

geometriai

vonatkozása

is

van.

Mégpedig

az,

hogy

a

z  r  cos   i  sin    0 komplex számmal való szorzás az origó körüli, α szögű forgatás, és az origóból történő r-szeresre nyújtás, vagyis a forgatva nyújtás.

6.ábra

cos   cos   sin   sin   cos    , valamint cos   sin   sin   cos   sin   

6

Addíciós tételek:

16

2. Osztás: Állítás: Legyen z  r  cos   i  sin   és w  s  cos   i  sin   komplex számok hányadosa

z r   cos     i  sin    . w s

Bizonyítás: Tudjuk, hogy komplex számok osztásánál a nevező konjugáltjával bővítjük a törtet.

z 1  z w w 1 1 w   w w w A konjugált trigonometrikus alakja pedig w  s  cos    i  sin   .

1 1 1 cos    i  sin       w s  cos   i  sin   s cos   i  sin    cos    i  sin    1 1   cos    i  sin    7 w s

Az osztás trigonometrikus alakban felírva: 8

z r  cos   i  sin   r    cos   i  sin    cos    i  sin     w s  cos   i  sin   s r   cos   cos    i  cos   sin     i  sin   cos    sin   sin     s r r  cos   cos   sin   sin    i  sin   cos   sin   cos     cos     i  sin    . s s Tehát osztáskor a két komplex szám abszolút értékét elosztjuk, szögeiket pedig 

kivonjuk egymásból. 3. Hatványozás: A szorzás következményeként a hatványozást is fel tudjuk írni. Egy z komplex szám n-edik hatványa azt jelenti, hogy z-t n-szer vesszük szorzótényezőül. Legyen z  r  cos   i  sin   , ekkor z n  z  z  z  ...  z  r n  cos n  i  sin n  .

7

cos   cos   , sin    sin   cos   i  sin    cos    i  sin    cos    i  sin    cos    i  sin   

 cos    sin    1 8 Addíciós tételek: cos   cos   sin   sin   cos    , valamint sin   cos   sin   cos   sin    2

2

17

Ebből jól látható, hogy z abszolút értékét az n-edik kitevőre emeltük, szögét pedig megszoroztuk n-nel. Ezt Moivre-képletnek nevezzük. A hatványozás geometriai jelentése pedig egy ismételt forgatva nyújtás. Ezen ismeretek tükrében szeretnék bemutatni egy középiskolai geometria feladatot, melyet a komplex számok segítségével is megoldok, valamint olyan egyetemi példákat, melyekkel az algebra I. gyakorlati órák során foglalkoztunk.

18

3.3 Feladatok 3.3.1 Egy középiskolai geometria feladat szemléltetése 1. Az ABC háromszög oldalaira kifelé szabályos háromszögeket szerkesztünk. Ezeket jelöljük CBA’, ACB’, és BAC’-vel. Igazoljuk, hogy ezen háromszögek középpontjai egy szabályos háromszög csúcsai (E, F, G)! a) Középiskolai módszerrel:9

7.ábra Az ABC háromszög oldalait jelölje a, b, c, szögeit pedig  ,  , és  . Azt szeretnénk belátni, hogy az EFG háromszög szabályos. Ennek a háromszögnek az oldalait e, f, g betűkkel jelöljük. Azt tudjuk, hogy egy háromszög középpontja a súlypontja, továbbá azt is tudjuk, hogy szabályos háromszögek esetén a súlyvonalak, magasságvonalak, szögfelezők, és az oldalfelező merőlegesek megegyeznek egymással és egy pontban metszik egymást.

9

www.trefort.elte.hu/~gerocs/ppt/geo_napoleon_en.ppt

19

Ezeket az ismereteket felhasználva megállapíthatjuk, hogy a 8. ábrán zölddel jelölt szögek, mind 30  -osak, valamint a szabályos háromszögek oldalaira és súlyvonalaira felírva a Pitagorasz tételt megkapjuk az AG, GC, CF, FB, BE és EA oldalakat, melyek a következök: AG  GC 

b 3 a 3 c 3 , CF  FB  , és BE  EA  . 3 3 3

A bizonyítás első lépéseként írjuk fel a GCF háromszögre a koszinusz tételt! 2

2

b 3 a 3 b 3 a 3     2 e     cos 30     30     3 3  3   3 



2

e2 



b2 a2 ab   2   cos 60    3 3 3



10

b2 a2 ab   2   cos 60   cos   sin 60   sin   3 3 3 2 2  b a ab  1 3 e2    2     cos    sin   3 3 3 2 2  e2 

e2 

b 2 a 2 ab  cos  ab 3  sin     3 3 3 3

8.ábra

10

cos     cos   cos   sin   sin  20

Az előbbiekhez hasonlóan nézzük meg a GAE háromszöget! 2

2

b 3 c 3 b 3 c 3     2 f     cos 60       3 3  3   3 



2





f2

b2 c2 b 3 c 3   2   cos 60  cos   sin 60  sin  3 3 3 3

f2

 b2 c2 b 3 c 3 1 3   2    cos   sin   3 3 3 3 2 2 

f2

b 2 c 2 bc  cos  bc 3  sin     3 3 3 3

A kérdés pedig az, hogy az f

2



egyenlő e az e 2 -tel. Vagyis igaz-e, hogy

b 2 a 2 ab  cos  ab 3  sin  b 2 c 2 bc  cos  bc 3  sin         3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 a  ab  cos   ab 3  sin   c  bc  cos   bc 3  sin  ab 3  sin   bc 3  sin  ,

ami a szinusz tételből11 adódik. a 2  ab  cos   c 2  bc  cos 

Osszuk el mindkét oldalt ac-vel! a b c b   cos     cos  c c a a

A szinusz tétel alkalmazásával a következőket kapjuk:

sin  sin  sin  sin    cos     cos  sin  sin  sin  sin  Szorozzuk meg mindkét oldalt sin   sin  -val!

sin 2   sin   sin   cos   sin 2   sin   sin   cos  sin 2   sin 2   sin   sin   cos   sin   sin   cos  sin 2   sin 2   sin   sin   cos   sin   cos   12 sin 2   sin 2   sin   sin   

11

12

a sin   c sin  sin  cos   sin  cos   sin    21

Tudjuk, hogy minden háromszögben teljesül sin   sin    . Ezt behelyettesítve a fenti egyenlőségbe a következőket kapjuk: sin 2   sin 2   sin      sin     sin 2   sin 2   sin  cos   sin  cos    sin  cos   sin  cos   sin 2   sin 2   sin  cos    sin  cos   2

2

sin 2   sin 2   sin 2  cos 2   sin 2  cos 2 







sin 2   sin 2   sin 2   1  sin 2   sin 2   1  sin 2 



sin   sin   sin   sin  sin   sin   sin  sin 2  2

2

2

2

2

2

2

sin 2   sin 2   sin 2   sin 2 

és a lépések megfordíthatók, ezért e  f . Ugyanígy belátható, hogy e  g is teljesül, tehát a háromszög szabályos.

b) Komplex számokkal: Legyen a háromszög B csúcsa az origó (vagyis a 0 komplex szám), a c  di a B-ből Aba, az a  bi pedig a B-ből C-be mutató helyvektornak megfeleltetett komplex szám. Ezezn komplex számok segítségével ki tudjuk fejezni az ABC háromszög oldalaira írt szabályos háromszögek A’, B’, C’ csúcsait. Majd azt kihasználva, hogy a szabályos háromszög középpontja egyenlő a csúcsainak számtani közepével, megkapjuk a szabályos háromszögek középpontjait. Végül megnézzük, hogy ezen középpontok távolsága egyenlő e.

9.ábra 22

Először írjuk fel az A’ csúcsot. Ezt úgy kapjuk, hogy a BC oldalt elforgatjuk B körül









 60  -kal, vagyis az  60  cos  60   i  sin  60  

1 3  i -vel szorozzuk az 2 2

a  bi -t. 1 3  1 3   3 1  A'  a  bi     i    a  b     a  b   i 2   2 2  2 2  2

Az A’, B, C csúcsok számtani közepét felírva megkapjuk F-et.



F

3   3 1  b     a  b   i 2   2 2 

a  bi    1 a  2

3

 3 3 3 3  a b  a b 2  2 2 i  2   3 3    

1 3   3 1  F   a  b     a  b   i 6   6 2  2 Hasonlóképpen írjuk fel az E és G pontokat. 1 3  1 3   3 1  C '  c  di     i    c  d    c  d   i 2   2 2  2 2  2 

E

c  di    1 c  2

3   3 1  d    c  d   i 2   2 2  3

 3 3 3 3  c d  c d 2  2 2 i  2   3 3    

1 3   3 1  E   c  d    c  d   i 6   6 2  2

B’ pont felírása az előző kettőnél összetettebb, hiszen az A-ból C-be mutató vektornak megfeletetett komplex szám az a  bi és c  di komplex számok különbségének  60  -os elforgatottja.

1 3  B'  a  bi   c  di     i   c  di  2 2   1 3  B'  a  c   b  d i     i   c  di  2 2  

23

1 1 1 1 3 3 3 3 a  c  bi  di  ai  ci  b d  c  di 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3   3 1 3 1  B'   a  b c d    a b c  d   i 2 2 2   2 2 2 2  2 B' 



3 1 3   3 1 3 1  b c d    a b c  d   i 2 2 2   2 2 2 2  2 G 3 3 3 3 3   3 3 3 3   a b c d    a b c  d   i 2 2 2 2   2 2 2 2  G 3

a  bi   c  di    1 a 

1 3 1 3   3 1 3 1  G   a  b c d    a b c  d   i 6 2 6   6 2 6 2  2

Az E és F, F és G, valamint G és E pontok távolsága ha egyenlő, akkor készen vagyunk. Hiszen egy háromszög akkor szabályos, ha mindhárom oldala egyenlő hosszúságú. Két komplex szám távolsága, pedig a két szám különbségének abszolút értéke. Az abszolút érték definíciója szerint egy z  a  bi alakú komplex szám abszolút értéke

z  z  z  a 2  b 2 . Jelöljük a távolságot d E, F  , d F , G  , valamint d G, E  -vel. Ha

ezen

távolságok

egyenlőek,

akkor

készen

vagyunk.

Vagyis

d E, F   d F , G   d G, E  kell belátnunk. Az átláthatóság kedvéért elhagyom az abszolút érték definíciójában használt gyökvonást.

2

1 3 1 3   3 1 3 1  d E , F    c  d  a b    c d  a  b  6 2 6   6 2 6 2  2

2

d E , F  

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 c  d  a  b  c  d  a  b  cd  ac  4 12 4 12 12 4 12 4 6 2 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3  bc  ad  bd   ab  cd  ac  bc  ad  bd  ab 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 1 1 1 1 1 3 3 1 d E , F   a 2  b 2  c 2  d 2  ac  bc  ad  bd 3 3 3 3 3 3 3 3 1 d E , F    a 2  b 2  c 2  d 2  ac  3bc  3ad  bd 3





24

2

1 3 1 3 1 3   3 1 3 1 3 1  d F , G    a  b c d  a b    a b c d  a  b  6 2 6 2 6   6 2 6 2 6 2  2

2

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 d F , G   b 2  c 2  d 2  a 2  c 2  d 2  bc  bd  ac  ad 3 4 12 3 12 4 3 3 3 3 1 d F , G    a 2  b 2  c 2  d 2  ac  3bc  3ad  bd 3





2

1 3 1 3 1 3   3 1 3 1 3 1  d G, E    a  b c d  c d    a b c d  c  d  6 2 6 2 6   6 2 6 2 6 2  2 1 1 1 1 3 3 1 3 1 3 d G, E   a 2  b 2  c 2  d 2  ab  ad  bd  ab  ac  bc 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3 1 d G, E    a 2  b 2  c 2  d 2  ac  3bc  3ad  bd 3





A fent kiszámoltakból látjuk, hogy d E, F   d F , G   d G, E  . Vagyis beláttuk, hogy az EFG háromszög szabályos. 3.3.2 Feladatok az algebra I. gyakorlatról 13 2. Bizonyítsuk be a komplex számok abszolút értékére vonatkozó háromszögegyenlőtlenséget z  w  z  w !

a) Komplex szám abszolút értékének definícióját felhasználva: Legyenek z és w komplex számok. Azt kell belátnunk, hogy

z  w  z  w teljesül. Mindkét oldalt négyzetre emelhetjük, hiszen z és w, valamint z  w abszolút értéke nem negatív valós számok, így a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás.

z  w  z  w 2

2

z  w  z  2 z  w  w 2

2

2

Az abszolút érték definíciója szerint

 z  w  z  w   z  z   2  2

z  w  z  w  z  z  2  13

2

z  z  w w 

 w w

2

z  z  w w  w w

Algebra I. alapszint, gyakorlat, 2. feladatsor, 2007

25

2

A konjugálás 3. és 4. tulajdonságából adódik, hogy

z  w  z  w  z 2  2 

z  z  w  w  w2

z  z  z  w  w  z  w  w  z 2  2  z  z  w  w  w2 Konjugálás 6. tulajdonságából következik, hogy

z 2  z  w  w  z  w2  z 2  2  z  z  w  w  w2 Vonjuk ki mindkét oldalból z 2  w 2 -et!

z  w  w z  2 z  z  w w Legyen z  w  x , ekkor x  z  w .

x  x  2 x x x  x  2 x Legyen x  u  vi , vagyis

u  vi  u  vi  2  u 2  v 2 2  u  2  u2  v2 . Ami pedig triviális. b) Geometriai magyarázat: Minden háromszögre teljesül, hogy bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal.

13.ábra

26

Vegyük az OZV háromszöget, ekkor a háromszög oldalai z  OZ , w  ZV és z  w  OV , oldalainak hossza pedig z , w valamint z  w .

Ha a háromszög oldalaira érvényes egyenlőtlenséget felírjuk, hogy OZ  ZV  OV , akkor a z  w  z  w is teljesül.

Abban az esteben, ha z és w egy egyenesbe eső, egyállású vektorokkal szemléltethetők, akkor összegüket úgy ábrázoljuk, hogy w kezdőpontját eltoljuk z végpontjába. Az összegvektor ekkor a z kezdőpontjából induló w végpontjába mutató vektor. 3. Bizonyítsuk be, hogy egy parallelogramma átlói hosszának négyzetösszege egyenlő a négy oldal hosszának négyzetösszegével! a) Vektorok segítségével: Legyenek a parallelogramma oldalai a (az A-ból B-be, valamint a D-ből C-be mutató vektorok) és b (az A-ból D-be, illetve a B-ből C-be mutató vektorok). Átlóit pedig jelölje e (az A-ból C-be mutató vektor) és f (a D-ből B-be mutató vektor). Az AB  a vektor koordinátái a1 , a2  , hossza a  a1  a2 . 2

2

Az AD  b vektor koordinátái b1 ,b2  , hossza b  b1  b2 . 2

2

14.ábra 27

Az oldalak hosszának négyzetösszege:



a  b  a  b  2 a  b 2

2



2

2

 2  a1  a2  b1  b2 2

2

2

2

2



2

  2   

2 2  2 2 2 2 a1  a2    b1  b2       

Az átlók hosszának négyzetösszege:

ab 

a1  b1 2  a2 b 2 2

 a1  2a1b1  b1  a2  2a2b2  b2  2

2

a  b  a1  2a1b1  b1  a2  2a2b2  b2 2

2

2

2

2

2

2

a  b  a1  b1  a2  b2  2  a1b1  a2b2  2

2

a b 

2

2

2

a1  b1 2  a 2 b 2 2

 a1  2a1b1  b1  a 2  2a 2 b2  b2 2

2

2

2

a  b  a1  2a1b1  b1  a 2  2a 2 b2  b2  2

2

2

2

2

a  b  a1  b1  a 2  b2  2  a1b1  a 2 b2  2

2

2

2



2



a  b  a  b  2  a1  b1  a 2  b2  2  a1b1  a 2 b2   2  a1b1  a 2 b2   2



2

 2  a1  b1  a 2  b2 2

2

2

2

2

2

2

  2  a

1

2

2

 a 2  b1  b2 2

2

2



Ez megegyezik a parallelogramma oldalainak négyzetösszegével. Tehát vektorok segítségével beláttuk, hogy a parallelogramma oldalainak négyzetösszege megegyezik átlóinak négyzetösszegével. b) Komplex számok segítségével: Első lépésként ábrázoljunk a komplex számsíkon egy parallelogrammát! Legyenek a parallelogramma oldalai a z és w, átlói pedig a z  w és z  w komplex számok.

15.ábra 28

A z, w, valamint a z  w hossza a komplex szám abszolút értékének definícióját felhasználva: z  zz w  w w

z  w  z  w  z  w  z  w

zw 

z  w  z  w  z  w  z  w

zw 

Az oldalak hosszának négyzetösszege:



z  w  z  w  2 z  w 2

2

2

2

2

2

  2  z  z  w  w

Az átlók hosszának négyzetösszege:









z  w  z  w   z  w  z  w   z  w  z  w  2

2



 z  z  z  w  w z  w w  z  z  z  w  w z  w w  2 z  z  w w



Ez megegyezik az oldalak hosszának négyzetösszegével. Tehát komplex számok segítségével is beláttuk, hogy a parallelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő átlóinak négyzetösszegével. 4. Ábrázoljuk a Gauss-számsíkon a z  2  3i komplex számot! Adjuk meg algebrai alakban és ábrázoljuk ugyanezen az ábrán a  z, z, z, iz ,iz számokat! Figyeljük meg, hogy az egyes vektorok milyen kapcsolatban állnak egymással!14  z  2  3i   z  2  3i a z 180 -os elforgatottja, másképpen a z origóra való tükrözése.  z  2  3i a z valós tengelyre való tükrözése.15   z  2  3i a z képzetes tengelyre vett tükörképe, vagy a z -nak az origóra történő tükrözése.  iz  2i  3 a z  90 -os elforgatottja.   iz  3  2i a z  90 -os elforgatottja, vagy az iz origóra vett tükörképe. 14

Bruder Györgyi és Láng Csabáné: KOMPLEX SZÁMOK, Példák és feladatok, Szerkesztette: Láng Csabáné, Lektorálta: Burcsi Péter, ELTE IK Budapest, 2008-11-26, 2. javított kiadás (34. o.) 15 Az ábrán a konjugáltakat vesszővel (’) jelölöm.

29

16.ábra 5. Adjuk meg annak a négyzetnek a másik két csúcsát (W, Z), amelynek két csúcsát -két adott komplex szám v  3  i ( V  3;1 ), és u  1 2i ( U  1;2 ) alkotja! A feladatban a  90  -os forgatás az 90  i -vel, valamint a  90  -os forgatás az

 90  i -vel való szorzást jelenti. 

17.ábra

30

v  u   90  u  3  i   1  2i   i  1  2i   3  i  1  2i   i  1  2i    2  i   i  1  2i   2i  1  1  2i  0  0  i  0  z1 

Vagyis a négyzet Z1 csúcsa a 0 komplex számhoz rendelt 0;0 pont.

Ezután a ZU vektort  90  -kal elforgatva megkapjuk a négyzet W1 csúcsát. Vagyis:

w1  1  2i   i  i  2

18.ábra

A másik eset, amikor az UV vektort  90  -kal forgatjuk el. Ekkor a négyzet harmadik és negyedik csúcsa a következőképpen kapható meg: z 2  v  u   90  u  2  i    i   1  2i   2i  1  1  2i  2  4i

w2  z 2  w1  2  4i  2  i  4  3i .

19.ábra 31

A feladatban csak a komplex számok szorzásának geometriai jelentését kellett kihasználni, mely a forgatás. 6. Egy egyenlő oldalú háromszög két csúcsa a komplex számsíkon a  1 4i és

b  3  2i . Számítsuk ki a harmadik csúcsot! Az előző feladathoz hasonlóan, a megadott két csúcsból meg tudjuk határozni a háromszög ezen két csúcsához tartozó oldalát. Ezt  60  -kal elforgatva, megkapjuk a háromszög mindkét lehetséges harmadik oldalát. A  60  –os forgatás pedig az 60  cos 60   i  sin 60  

 60  cos  60    i  sin  60    

1 3  i -vel, valamint 2 2

1 3  i -vel való szorzást jelenti. 2 2

Először nézzük a  60  -os forgatást!

1 3  c  z1  z 2    60  z 2  1  4i  3  2i     i   3  2i   2 2  



 



1 3    2  6i     i   3  2i   1  3i  3i  3 3  3  2i  2  3 3  1  3 i 2 2  

20.ábra 32

A  60  -os forgatás pedig: 1 1 3  3  c'  z1  z 2    60  z 2  1  4i  3  2i     i   3  2i    2  6i     i   3  2i   2 2 2 2    



 



 1  3i  3i  3 3  3  2i  2  3 3  1  3 i

Így megkaptuk mindkét lehetséges harmadik csúcsot.

21.ábra Ezen feladatok áttekintésével a tanulók betekintést nyerhetnek a komplex számok geometriai alkalmazásába, valamint további középiskolai geometria feladatoknál a komplex számokkal való megoldást is meggondolhatják a diákok.

33

4 Összegzés Több tankönyv és feladatgyűjtemény is segítséget nyújtott abban, hogyan építsem fel szakdolgozatomat. Eleinte nagyon nehéznek bizonyult a következetes, jól követhető felépítés létrehozása. Egyre több szakirodalommal megismerkedve és konzulensemnek, valamint Szabó Csaba Tanár Úrnak köszönhetően úgy érzem, sikerült átlátható rendszerbe foglalnom választott témakörömet. A szakdolgozat készítése közben ébredtem rá arra, hogy mennyire fontos a „jó” tanári munka, amely rengeteg szakmai felkészülést és hozzáértést igényel. Saját tapasztalat híján csak feltételezni tudom, hogy a dolgozatban megfogalmazottak működőképesek lehetnek középiskolában.

5 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni Somfai Zsuzsa Tanárnőnek, hogy tudásával és szakmai

tapasztalatával

segítette

munkámat,

főként

a

szakdolgozat

felépítésének

összeállításában, és a nehézkesen, néhol ügyetlenül megfogalmazott részek korrigálásában; valamint Szabó Csaba Tanár Úrnak szakdolgozatom átdolgozásakor nyújtott segítségét. Végül, de nem utolsó sorban szeretném megköszönni családomnak, hogy tanulmányaim során mindvégig támogattak.

34

6 Irodalomjegyzék 

Algebra I. alapszint előadás jegyzet, 2007



Algebra I. alapszint, gyakorlat, feladatsorok, 2007



Bárczy Barnabás: Algebra II., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962



Bruder Györgyi és Láng Csabáné: KOMPLEX SZÁMOK, Példák és feladatok, Szerkesztette: Láng Csabáné, Lektorálta: Burcsi Péter, ELTE IK Budapest, 2008-1126, 2. javított kiadás (34. o.)



Kiss Emil: Bevezetés az algebrába, Typotex , 2007



Reiman István: A geometria határterületei, Gondolat, Budapest, 1986



Sárközy András: Komplex számok példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973



Szele Tibor: Bevezetés az algebrába, Tankönyvkiadó, 1977



Dr. Molnár József: Az algebra és az elemi függvények tanítása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967



Pszichológia pedagógusoknak, Szerkesztette: N. Kollár Katalin, Szabó Éva, Osiris Kiadó, Budapest, 2004



Réthy Endréné Dr.: Motiváció a tanítási órán, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978



Réthy Endréné: Motiváció, tanulás, tanítás, Nemzetközi Tankönyvkiadó, Budapest, 2003



Richard R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája, Gondolat, Budapest, 1975



www.trefort.elte.hu/~gerocs/ppt/geo_napoleon_en.ppt

Szakdolgozatomban a címsorok elején hivatkoztam azokra a szakirodalmakra, amelyeket felhasználtam, és amelyekből helyenként szó szerint idéztem. Ezeket nem jelöltem külön idézőjellel, mert a matematikailag helyes megfogalmazás elkerülhetetlenné teszi a pontos idézést.

35